湖北省武汉市江夏区第一中学2023-2024学年上学期九年级期末数学试卷

2023-2024学年湖北省武汉市江夏一中九年级（上）期末数学试卷 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（3分）已知x＝m是一元二次方程x2+2x+n﹣3＝0的一个根，则m+n的最大值等于（　　） A． B．4 C． D． 2．（3分）甲、乙两名同学在一次用频率去估计概率的实验中，统计了某一结果出现的频率绘出的统计图如图，则符合这一结果的实验可能是（　　） A．掷一枚正六面体的骰子，出现1点的概率 B．抛一枚硬币，出现正面的概率 C．从一个装有2个白球和1个红球的袋子中任取一球，取到红球的概率 D．任意写一个整数，它能被2整除的概率 3．（3分）如图所示是某几何体的三视图，根据图中数据计算，这个几何体的侧面积为（　　） A． B．12π C．2π D．24π 4．（3分）如图，A、D是⊙O上的两个点，BC是直径，若∠D＝32°，则∠OAC等于（　　） A．64° B．58° C．68° D．55° 5．（3分）已知⊙O的半径为3，点P到圆心O的距离为4，则点P与⊙O的位置关系是（　　） A．点P在⊙O外 B．点P在⊙O上 C．点P在⊙O内 D．无法确定 6．（3分）已知反比例函数的图象经过点P（﹣2，1），则这个函数的图象位于（　　） A．第一、三象限 B．第二、三象限 C．第二、四象限 D．第三、四象限 7．（3分）若A（﹣4，y1），B（﹣3，y2），C（1，y3）为二次函数y＝x2+4x﹣5的图象上的三点，则y1，y2，y3的大小关系是（　　） A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y1＜y3 C．y3＜y1＜y2 D．y1＜y3＜y2 8．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠BAC＝20°．动点P、Q分别在直线BC上运动，且始终保持∠PAQ＝100°．设BP＝x，CQ＝y，则y与x之间的函数关系用图象大致可以表示为（　　） A． B． C． D． 9．（3分）如图，矩形ABCD中，点A在双曲线y＝﹣上，点B，C在x轴上，延长CD至点E，使CD＝2DE，连接BE交y轴于点F，连接CF，则△BFC的面积为（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 10．（3分）如图，矩形ABCD中，E为DC的中点，AD：AB＝：2，CP：BP＝1：2，连接EP并延长，交AB的延长线于点F，AP、BE相交于点O．下列结论：①EP平分∠CEB；②BF2＝PB•EF；③PF•EF＝2AD2；④EF•EP＝4AO•PO．其中正确的是（　　） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．③④ 二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分． 11．（4分）在一个不透明的口袋中有红色、黄色和绿色球共60个，它们除颜色外，其余完全相同．在不倒出球的情况下，要估计袋中各种颜色球的个数．同学们通过大量的摸球试验后，发现摸到红球和绿球的频率分别稳定在20%和40%．由此推测口袋中黄球的个数是 　 　个． 12．（4分）在平面直角坐标系中，点（﹣2，3）关于原点对称的点的坐标是 　 　． 13．（4分）如图，矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，E为BC的中点，连接AE、DE．以E为圆心，BE长为半径画弧，分别与AE，DE交于点F，G．向该矩形ABCD游戏板随机发射一枚飞针，则击中图中阴影部分区域的概率为 　 　． 14．（4分）如图，直线y＝mx+n与抛物线y＝x2+bx+c交于A，B两点，其中点A（2，﹣3），点B（5，0），不等式x2+bx+c＜mx+n的解集为 　 　． 15．（4分）如图，两个反比例函数y＝和y＝在第一象限内的图象依次是C1和C2，设点P在C1上，PC⊥x轴于点C，交C2于点A，PD⊥y轴于点D，交C2于点B，若四边形PAOB的面积为5，则k＝　 　． 16．（4分）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，BO为△ABC的角平分线，以点O为圆心，OC为半径作⊙O与边AC交于点D，若tanA＝，AD＝2，则tan∠BOC＝　 　． 17．（4分）在△ABC中，∠ABC＝60°，AD是BC边上的高，AD＝4，CD＝1，则△ABC的面积为 　 　． 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题6分，共18分． 18．（6分）（1）先化简，再求值：，其中x＝2tan60°﹣4sin30°； （2）因式分解：4m2﹣16m+16． 19．（6分）某食品公司通过网络平台直播，对其代理的某品牌瓜子进行促销，该公司每天拿出2000元现金，作为红包发给购买者．已知该瓜子的成本价格为6元/kg，每日销售y/（kg）与销售单价x（元/kg）满足关系式：y＝kx+b，部分数据如表： 销售单价x（元/kg） 1 2 … 10 每日销售量（kg） 4900 4800 … 4000 经销售发现，销售单价不低于成本价格且不高于30元/kg．设该食品公司销售这种瓜子的日获利为w（元）． （1）y与x的函数关系式是 　 　，x的范围是 　 　；w与x的函数关系式是 　 　； （2）当销售单价定为多少时，销售这种瓜子日获利最大？最大利润为多少元？ （3）网络平台将向食品公司可收取a元/kg（a＜4）的相关费用，若此时日获利的最大值为42100元，直接写出a的值． 20．（6分）如图，在等腰△ABC中，∠A＝∠B＝30°，过点C作CD⊥AC交AB于点D． （1）尺规作图：作AD的垂直平分线，交AD于点O，以点O为圆心，OA为半径作⊙O（保留痕迹，不要求写作法）； （2）在（1）所作的图形中， ①求证：BC是⊙O的切线； ②若⊙O的半径为，问线段BC上是否存在一点P，使得以P，D，B为顶点的三角形与△BOC相似？若存在，求出DP的长；若不存在，请说明理由． 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题8分，共24分． 21．（8分）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2﹣4ax+3a．（a为常数，a≠0） （1）当a＝1时，求抛物线的顶点坐标； （2）当a＞0时，设抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），顶点为C，若△ABC为等边三角形，求a的值； （3）过T（0，t）（其中﹣1≤t≤2且垂直y轴的直线l与抛物线交于M，N两点．若对于满足条件的任意t值，线段MN的长都不小于1，求a的取值范围． 22．（8分）在矩形ABCD中，已知AD＞AB．在边AD上取点E，使AE＝AB，连接CE，过点E作EF⊥CE，与边AB或其延长线交于点F． 猜想：如图①，当点F在边AB上时，线段AF与DE的大小关系为　 　． 探究：如图②，当点F在边AB的延长线上时，EF与边BC交于点G．判断线段AF与DE的大小关系，并加以证明． 应用：如图②，若AB＝2，AD＝5，利用探究得到的结论，求线段BG的长． 23．（8分）从2021年秋季开学以来，全国各地中小学都开始实行了“双减政策”．为了解家长们对“双减政策”的了解情况，从某校1200名家长中随机抽取部分家长进行问卷调查，调查评价结果分为“了解较少”“基本了解”“了解较多”“非常了解”四类，并根据调查结果绘制出如图所示的两幅不完整的统计图． （1）本次抽取家长共有 　 　人，扇形图中“基本了解”所占扇形的圆心角是 　 　°． （2）估计此校“非常了解”和“了解较多”的家长共有多少人？ （3）学校计划从“了解较少”的家长中抽取1位初一学生家长，1位初二学生家长，2位初三学生家长参加培训，若从这4位家长中随机选取两人作为代表，请通过列表或画树状图的方法求所选出的两位家长既有初一家长，又有初二家长的概率． 五、解答题（三）：本大题共2小题，每小题10分，共20分． 24．（10分）如图所示，在Rt△ABC中，AC＝CB，E，F分别是AC，BC上的点，△CEF的外接圆交AB于点Q，D． （1）如图甲所示，若D为AB的中点，求证：∠DEF＝∠B． （2）在第（1）题的条件下，请回答下列问题： ①如图乙所示，连接CD，交EF于点H，AC＝4，若△EHD为等腰三角形，求CF的长； ②如图乙所示，△AED与△ECF的面积之比是3：4，且ED＝3，求△CED与△ECF的面积之比．（直接写出答案） 25．（10分）如图，在平面直角坐标系中，点A、点B分别在x轴与y轴上，直线AB的解析式为，以线段AB、BC为边作平行四边形ABCD． （1）如图1，若点C的坐标为（3，7），判断四边形ABCD的形状，并说明理由； （2）如图2，在（1）的条件下，P为CD边上的动点，点C关于直线BP的对称点是Q，连接PQ，BQ． ①当∠CBP＝　 　°时，点Q位于线段AD的垂直平分线上； ②连接AQ，DQ，设CP＝x，设PQ的延长线交AD边于点E，当∠AQD＝90°时，求证：QE＝DE，并求出此时x的值． 2023-2024学年湖北省武汉市江夏一中九年级（上）期末数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（3分）已知x＝m是一元二次方程x2+2x+n﹣3＝0的一个根，则m+n的最大值等于（　　） A． B．4 C． D． 【分析】根据一元二次方程的解的定义，将x＝m代入一元二次方程x2+2x+n﹣3＝0，即可求得n＝﹣m2﹣2m+3，然后代入所求的代数式，利用配方法m+n的最大值． 【解答】解：∵x＝m是一元二次方程x2+2x+n﹣3＝0的一个根， ∴x＝m满足一元二次方程x2+2x+n﹣3＝0， ∴m2+2m+n﹣3＝0， ∴n＝﹣m2﹣2m+3， ∴m+n＝m﹣m2﹣2m+3＝﹣（m﹣）2+≤， ∴m+n的最大值为， 故选：A． 【点评】本题主要考查了一元二次方程的解的定义，注意配方法在解题过程中的应用． 2．（3分）甲、乙两名同学在一次用频率去估计概率的实验中，统计了某一结果出现的频率绘出的统计图如图，则符合这一结果的实验可能是（　　） A．掷一枚正六面体的骰子，出现1点的概率 B．抛一枚硬币，出现正面的概率 C．从一个装有2个白球和1个红球的袋子中任取一球，取到红球的概率 D．任意写一个整数，它能被2整除的概率 【分析】根据统计图可知，试验结果在0.33附近波动，即其概率P≈0.33，计算四个选项的概率，约为0.33者即为正确答案． 【解答】解：A、掷一枚正六面体的骰子，出现1点的概率为，故此选项错误； B、掷一枚硬币，出现正面朝上的概率为，故此选项错误； C、从一装有2个白球和1个红球的袋子中任取一球，取到红球的概率是：＝≈0.33；故此选项正确； D、任意写出一个整数，能被2整除的概率为，故此选项错误． 故选：C． 【点评】此题考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：频率＝所求情况数与总情况数之比．同时此题在解答中要用到概率公式． 3．（3分）如图所示是某几何体的三视图，根据图中数据计算，这个几何体的侧面积为（　　） A． B．12π C．2π D．24π 【分析】直接利用三视图判断出几何体，再利用圆锥侧面积公式求出答案． 【解答】解：由三视图可判断该几何体是圆锥， 底面直径为4，母线长为6， 故这个几何体的侧面积为：×4π×6＝12π． 故选：B． 【点评】此题主要考查了由三视图判断几何体，正确得出几何体的形状是解题关键． 4．（3分）如图，A、D是⊙O上的两个点，BC是直径，若∠D＝32°，则∠OAC等于（　　） A．64° B．58° C．68° D．55° 【分析】先根据圆周角定理求出∠B及∠BAC的度数，再由等腰三角形的性质求出∠OAB的度数，进而可得出结论． 【解答】解：∵BC是直径，∠D＝32°， ∴∠B＝∠D＝32°，∠BAC＝90°． ∵OA＝OB， ∴∠BAO＝∠B＝32°， ∴∠OAC＝∠BAC﹣∠BAO＝90°﹣32°＝58°． 故选：B． 【点评】本题考查的是圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解答此题的关键． 5．（3分）已知⊙O的半径为3，点P到圆心O的距离为4，则点P与⊙O的位置关系是（　　） A．点P在⊙O外 B．点P在⊙O上 C．点P在⊙O内 D．无法确定 【分析】根据点与圆心的距离与半径的大小关系即可确定点P与⊙O的位置关系． 【解答】解：∵⊙O的半径分别是3，点P到圆心O的距离为4， ∴d＞r， ∴点P与⊙O的位置关系是：点在圆外． 故选：A． 【点评】本题考查了点与圆的位置关系．注意若半径为r，点到圆心的距离为d，则有：当d＞r时，点在圆外；当d＝r时，点在圆上，当d＜r时，点在圆内． 6．（3分）已知反比例函数的图象经过点P（﹣2，1），则这个函数的图象位于（　　） A．第一、三象限 B．第二、三象限 C．第二、四象限 D．第三、四象限 【分析】先根据点的坐标求出k值，再利用反比例函数图象的性质即可求解． 【解答】解：∵图象过（﹣2，1）， ∴k＝xy＝﹣2＜0， ∴函数图象位于第二，四象限． 故选：C． 【点评】本题考查了待定系数法求反比例函数解析式和反比例函数图象的性质． 7．（3分）若A（﹣4，y1），B（﹣3，y2），C（1，y3）为二次函数y＝x2+4x﹣5的图象上的三点，则y1，y2，y3的大小关系是（　　） A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y1＜y3 C．y3＜y1＜y2 D．y1＜y3＜y2 【分析】分别计算x＝﹣4、﹣3、1时的函数值，然后比较大小即可． 【解答】解：当x＝﹣4时，y1＝（﹣4）2+4×（﹣4）﹣5＝﹣5； 当x＝﹣3时，y2＝（﹣3）2+4×（﹣3）﹣5＝﹣8； 当x＝1时，y3＝12+4×1﹣5＝0， 所以y2＜y1＜y3． 故选：B． 【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式． 8．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠BAC＝20°．动点P、Q分别在直线BC上运动，且始终保持∠PAQ＝100°．设BP＝x，CQ＝y，则y与x之间的函数关系用图象大致可以表示为（　　） A． B． C． D． 【分析】根据△ABC是等腰三角形，∠BAC＝20°，则∠ABC＝∠ACB＝80°．根据三角形的外角等于不相邻的两内角的和，得到∠QAC＝∠P，得到△APB∽△QAC，根据相似三角形的对应边的比相等，即可求得x与y的函数关系式，即可进行判断． 【解答】解：∵△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝20° ∴∠ACB＝80° 又∵∠PAQ＝∠PAB+∠BAC+∠CAQ＝100° ∴∠PAB+∠CAQ＝80° △ABC中：∠ACB＝∠CAQ+∠AQC＝80° ∴∠AQC＝∠PAB 同理：∠P＝∠CAQ ∴△APB∽△QAC ∴，即＝． 则函数解析式是y＝． 故选：A． 【点评】注意本题不一定要通过求解析式来解决．能够根据角度的关系，联想到△APB∽△QAC是解决本题的关键． 9．（3分）如图，矩形ABCD中，点A在双曲线y＝﹣上，点B，C在x轴上，延长CD至点E，使CD＝2DE，连接BE交y轴于点F，连接CF，则△BFC的面积为（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 【分析】如图，设AD交y轴于J，交BE于K，设AB＝CD＝2m，则DE＝m，设DK＝b．利用平行线分线段成比例定理求出BC，OF即可解决问题． 【解答】解：如图，设AD交y轴于J，交BE于K，设AB＝CD＝2m，则DE＝m，设DK＝b． ∵点A在y＝﹣上， ∴A（﹣，2m）， ∴AJ＝， ∵四边形ABCD是矩形， ∴DK∥BC， ∴＝＝， ∴BC＝AD＝3b，AK＝2b，JK＝2b﹣， ∵JF∥DE， ∴＝， ∴＝， ∴JF＝， ∴OF＝OJ﹣JF＝2m﹣＝， ∴S△BFC＝•BC•OF＝×3b•＝6， 故选：B． 【点评】本题考查反比例函数系数的几何意义，矩形的性质，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考选择题中的压轴题． 10．（3分）如图，矩形ABCD中，E为DC的中点，AD：AB＝：2，CP：BP＝1：2，连接EP并延长，交AB的延长线于点F，AP、BE相交于点O．下列结论：①EP平分∠CEB；②BF2＝PB•EF；③PF•EF＝2AD2；④EF•EP＝4AO•PO．其中正确的是（　　） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．③④ 【分析】由条件设AD＝x，AB＝2x，就可以表示出CP＝x，BP＝x，用三角函数值可以求出∠EBC的度数和∠CEP的度数，则∠CEP＝∠BEP，运用勾股定理及三角函数值就可以求出就可以求出BF、EF的值，从而可以求出结论． 【解答】解：设AD＝x，AB＝2x， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AD＝BC，CD＝AB，∠D＝∠C＝∠ABC＝90°．DC∥AB， ∴BC＝x，CD＝2x， ∵CP：BP＝1：2， ∴CP＝x，BP＝x． ∵E为DC的中点， ∴CE＝CD＝x， ∴tan∠CEP＝＝＝，tan∠EBC＝＝， ∴∠CEP＝30°，∠EBC＝30°， ∴∠CEB＝60°， ∴∠PEB＝30°， ∴∠CEP＝∠PEB， ∴EP平分∠CEB，故①正确； ∵DC∥AB， ∴∠CEP＝∠F＝30°， ∴∠F＝∠EBP＝30°，∠F＝∠BEF＝30°， ∴△EBP∽△EFB， ∴， ∴BE•BF＝BP•EP． ∵∠F＝∠BEF， ∴BE＝BF， ∴②BF2＝PB•EF．故②正确； ∵∠F＝30°， ∴PF＝2PB＝x， 过点E作EG⊥AF于G， ∴∠EGF＝90°， ∴EF＝2EG＝2x， ∴PF•EF＝x•2x＝8x2， 2AD2＝2×（x）2＝6x2， ∵6x2≠8x2， ∴PF•EF≠2AD2，故本答案错误； 在Rt△ECP中， ∵∠CEP＝30°， ∴EP＝2PC＝x． ∵tan∠PAB＝＝， ∴∠PAB＝30°， ∴∠APB＝60°， ∴∠AOB＝90°， 在Rt△AOB和Rt△POB中，由勾股定理得， AO＝x，PO＝x， ∴EF•EP＝2x•x＝4x2 4AO•PO＝4×xx＝4x2． ∴EF•EP＝4AO•PO．故④正确． 故选：B． 【点评】本题考查了矩形的性质的运用，相似三角形的判定及性质的运用，特殊角的正切值的运用，勾股定理的运用及直角三角形的性质的运用，解答时根据比例关系设出未知数表示出线段的长度是关键． 二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分． 11．（4分）在一个不透明的口袋中有红色、黄色和绿色球共60个，它们除颜色外，其余完全相同．在不倒出球的情况下，要估计袋中各种颜色球的个数．同学们通过大量的摸球试验后，发现摸到红球和绿球的频率分别稳定在20%和40%．由此推测口袋中黄球的个数是 　24　个． 【分析】在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，用频率估计概率可知黄色球的数量为总数乘以其所占百分比． 【解答】解：根据题意得： 60×（1﹣20%﹣40%）＝24（个）， 答：此推测口袋中黄球的个数是24个． 故答案为：24． 【点评】本题主要考查频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． 12．（4分）在平面直角坐标系中，点（﹣2，3）关于原点对称的点的坐标是 　（2，﹣3）　． 【分析】根据关于原点对称的点的横坐标与纵坐标都互为相反数解答． 【解答】解：点（﹣2，3）关于原点对称的点的坐标为（2，﹣3）． 故答案为：（2，﹣3）． 【点评】本题考查了关于原点对称的点的坐标，两点关于原点对称，则两点的横、纵坐标都是互为相反数． 13．（4分）如图，矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，E为BC的中点，连接AE、DE．以E为圆心，BE长为半径画弧，分别与AE，DE交于点F，G．向该矩形ABCD游戏板随机发射一枚飞针，则击中图中阴影部分区域的概率为 　　． 【分析】击中图中阴影部分区域的概率为阴影面积与矩形面积的比值，阴影的面积用三角形ADE的面积减去2个扇形的面积即可， 【解答】解：∵四边形ABCD在矩形， ∴AD＝2AB＝4，E为BC的中点， ∴BE＝CE＝2， ∴∠BAE＝∠AEB＝∠CDE＝∠DEC＝45°， ∴阴影部分的面积为﹣2×＝4﹣π， 矩形的面积4×2＝8， ∴击中图中阴影部分区域的概率为． 故答案为：． 【点评】本题考查了几何概率，求概率时，已知和未知与几何有关的就是几何概率．计算方法是长度比，面积比，体积比等． 14．（4分）如图，直线y＝mx+n与抛物线y＝x2+bx+c交于A，B两点，其中点A（2，﹣3），点B（5，0），不等式x2+bx+c＜mx+n的解集为 　2＜x＜5　． 【分析】根据图象及点A，B坐标求解． 【解答】解：由图象可得，在点A，B之间的抛物线在直线下方， ∴2＜x＜5时，x2+bx+c＜mx+n， 故答案为：2＜x＜5． 【点评】本题考查二次函数与不等式，解题关键是掌握二次函数与方程及不等式的关系，结合图象求解． 15．（4分）如图，两个反比例函数y＝和y＝在第一象限内的图象依次是C1和C2，设点P在C1上，PC⊥x轴于点C，交C2于点A，PD⊥y轴于点D，交C2于点B，若四边形PAOB的面积为5，则k＝　8　． 【分析】根据反比例函数系数k的几何意义得到S矩形PCOD＝k，S△AOC＝S△BOD＝，然后利用四边形PAOB的面积＝S矩形PCOD﹣S△AOC﹣S△BOD进行计算． 【解答】解：∵PC⊥x轴，PD⊥y轴， ∴S矩形PCOD＝k，S△AOC＝S△BOD＝＝， ∴四边形PAOB的面积＝S矩形PCOD﹣S△AOC﹣S△BOD＝k﹣﹣＝5． 解得k＝8． 故答案为：8． 【点评】主要考查了反比例函数y＝中k的几何意义，即图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S的关系即S＝|k|． 16．（4分）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，BO为△ABC的角平分线，以点O为圆心，OC为半径作⊙O与边AC交于点D，若tanA＝，AD＝2，则tan∠BOC＝　2　． 【分析】过O作OH⊥AB于H，根据角平分线的性质得到OH＝OC，设⊙O的半径为3x，则OH＝OD＝OC＝3x，在解直角三角形即可得到结论． 【解答】解：过O作OH⊥AB于H， ∵∠ACB＝90°， ∴OC⊥BC， ∵BO为△ABC的角平分线，OH⊥AB， ∴OH＝OC， 即OH为⊙O的半径， 设⊙O的半径为3x，则OH＝OD＝OC＝3x， 在Rt△AOH中，tanA＝＝， ∴＝， ∴AH＝4x， ∴AO＝＝5x， ∵AD＝2， ∴AO＝OD+AD＝3x+2， ∴3x+2＝5x， ∴x＝1， ∴OA＝3x+2＝5，OH＝OD＝OC＝3x＝3， ∴AC＝OA+OC＝5+3＝8， 在Rt△ABC中，tanA＝， ∴BC＝AC•tanA＝8×＝6， ∴tan∠BOC＝＝＝2， 故答案为：2． 【点评】此题考查了解直角三角形，熟记锐角三角函数定义并作辅助线构建直角三角形是解题的关键． 17．（4分）在△ABC中，∠ABC＝60°，AD是BC边上的高，AD＝4，CD＝1，则△ABC的面积为 　10或　． 【分析】根据AD在△ABC内部或外部，分两种情形，分别画图，求出BD即可得到BC的长，从而求出面积． 【解答】解：当AD在△ABC内部时， 在△ABD中，∠ADB＝90°，AD＝4， ∴BD＝， ∴BC＝BD+CD＝4+1＝5， ∴S△ABC＝， 当AD在△ABC外部时， 同理可得：BD＝4， ∴BC＝BD﹣CD＝4﹣1＝3， ∴S△ABC＝． 故答案为：10或6． 【点评】本题主要考查了三角函数的计算，以及三角形的面积等知识，根据高AD在形内还是形外分类讨论是解题的关键． 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题6分，共18分． 18．（6分）（1）先化简，再求值：，其中x＝2tan60°﹣4sin30°； （2）因式分解：4m2﹣16m+16． 【分析】（1）先算除法，再算减法即可化简题目中的式子，再将x的值代入化简后的式子计算即可； （2）先提公因式，再根据完全平方公式分解因式即可． 【解答】解：（1） ＝•﹣ ＝﹣ ＝， 当x＝2tan60°﹣4sin30°＝2﹣4×＝2﹣2时，原式＝＝； （2）4m2﹣16m+16 ＝4（m2﹣4m+4） ＝4（m﹣2）2． 【点评】本题考查分式的化简求值、因式分解，解答本题的关键是明确分式混合运算的运算法则和因式分解的方法． 19．（6分）某食品公司通过网络平台直播，对其代理的某品牌瓜子进行促销，该公司每天拿出2000元现金，作为红包发给购买者．已知该瓜子的成本价格为6元/kg，每日销售y/（kg）与销售单价x（元/kg）满足关系式：y＝kx+b，部分数据如表： 销售单价x（元/kg） 1 2 … 10 每日销售量（kg） 4900 4800 … 4000 经销售发现，销售单价不低于成本价格且不高于30元/kg．设该食品公司销售这种瓜子的日获利为w（元）． （1）y与x的函数关系式是 　y＝﹣100x+5000　，x的范围是 　6≤x≤30　；w与x的函数关系式是 　w＝﹣100x2+5600x﹣32000（6≤x≤30）　； （2）当销售单价定为多少时，销售这种瓜子日获利最大？最大利润为多少元？ （3）网络平台将向食品公司可收取a元/kg（a＜4）的相关费用，若此时日获利的最大值为42100元，直接写出a的值． 【分析】（1）由表中数据可得两点（1，4900），（2，4800），再运用待定系数法求出函数关系式；根据总利润﹣销售单价×销售量﹣红包费用即可得到函数W的函数关系式； （2）根据二次函数的图象与性质可求最值： （3）先求出收取费用后的函数关系式，再求出当x＝28+a时函数有最大值42100元，代入函数关系式得一元二次方程，求出a的值，进行取舍即可． 【解答】解：（1）由表中数据可得，当x＝1时，y＝4900，当x＝2时，y＝4800，代入y＝kx+b得， ， 解得， ∴y与x的函数关系式是y＝﹣100x+5000，且x＞1； 由于销售单价不低于成本价格（6元＞且不高于30元/kg， 则w＝（x﹣6）（﹣100x+5000）﹣2000 ＝﹣100x2+5600x﹣32000（6≤x≤30）． 故答案为：y＝﹣100x+5000；6≤x≤30；w＝﹣100x2+5600x﹣32000（6≤x≤30）． （2）由（1）知，w＝﹣100x2+5600x﹣32000（6≤x≤30）． ∵a＝﹣100＜0， ∴函数图象开口向下，有最大值， 函数图象的对称轴为x＝﹣＝28， ∵6≤x≤30， ∴当x＝28时，函数w有最大值，为46400， ∴销售单价定为28元时，获利最大，为46400元； （3）收取α元后，利润为w＝（x﹣6﹣a）（﹣100x+5000）﹣2000＝﹣100x2+（5600+100a）x﹣32000﹣5000a， ∵a＝﹣100＜0， ∴函数图象开口向下，有最大值， 又函数图象的对称轴为x＝﹣＝28+a， ∵a＜4， ∴当x＝28+a时，获利最大值为42100元， 将x＝28+a代入得，（28+a﹣6﹣a）[﹣100（28+a）+5000]﹣2000＝42100， 解得a＝2或a＝86（舍）， ∴a＝2． 【点评】本题考查了二次函数的应用，二次函数的性质，求出函数关系式是本题的关键． 20．（6分）如图，在等腰△ABC中，∠A＝∠B＝30°，过点C作CD⊥AC交AB于点D． （1）尺规作图：作AD的垂直平分线，交AD于点O，以点O为圆心，OA为半径作⊙O（保留痕迹，不要求写作法）； （2）在（1）所作的图形中， ①求证：BC是⊙O的切线； ②若⊙O的半径为，问线段BC上是否存在一点P，使得以P，D，B为顶点的三角形与△BOC相似？若存在，求出DP的长；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）先判断出△ACD是直角三角形，进而得出过A，C，D的圆的圆心必是AD中点，即可作出图形； （2）①先求出∠ACO＝30°，再求出∠ACB＝120°，即可得出结论； ②先求出BD＝OC，再分两种情况用三角形的中位线和用含30°的直角三角形的性质即可得出结论． 【解答】（1）解：如图1， ∵CD⊥AC，∴∠ACD＝90°， ∴△ACD是直角三角形， ∴过点A，C，D的圆的圆心是斜边AD的中点， 所以作出边AD的中垂线交AD于O， 即：⊙O为所求作的图形， （2）①证明：如图2， 连接OC，∵OA＝OC， ∴∠ACO＝∠A＝30°， 在△ABC中，∠A＝∠B＝30°， ∴∠ACB＝120°， ∴∠OCB＝90°， ∴CO⊥BC， ∴BC是⊙O的切线； ②解：由（2）知，∠COD＝60°， ∵CO＝DO＝， ∴∠ODC＝60°， ∵∠B＝30°， ∴∠BCD＝∠ADC﹣∠B＝30°＝∠B， ∴CD＝BD＝， ∴OD＝BD， 由（2）知，∠OCB＝90°， ∵以P，D，B为顶点的三角形与△BCO相似， ∴①当∠BPD＝∠BCO＝90°， ∴DP∥OC， ∵OD＝BD， ∴PD＝OC＝， ②当∠BDP＝90°时， 在Rt△BDP中，∠B＝30°，BD＝， ∴DP＝BD＝1， 即：满足条件的DP的长为或1． 【点评】此题是相似三角形的综合题，主要考查了直角三角形的判定和性质，含30°的直角三角形的性质，三角形的外角的性质，相似三角形的性质，三角形的中位线定理，解（1）的关键是得出过点A，C，D的圆的圆心是AD的中点，解（2）的关键是求出∠ACO＝30°，解（3）的关键是分情况讨论． 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题8分，共24分． 21．（8分）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2﹣4ax+3a．（a为常数，a≠0） （1）当a＝1时，求抛物线的顶点坐标； （2）当a＞0时，设抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），顶点为C，若△ABC为等边三角形，求a的值； （3）过T（0，t）（其中﹣1≤t≤2且垂直y轴的直线l与抛物线交于M，N两点．若对于满足条件的任意t值，线段MN的长都不小于1，求a的取值范围． 【分析】（1）化为顶点式，即可求出顶点坐标； （2）根据题意，画出图形，当y＝0时，ax2﹣4ax+3a＝0，求得A，B，由（1）可知，顶点C的坐标为（2，﹣a），根据△ABC为等边三角形，可得，即可求解； （3）分两种情况考虑，根据对称性求得M的横坐标，确定t的值，即M的纵坐标，分①当a＞0时，②当a＜0时画出图形，结合图象列出不等式，解不等式即可求解． 【解答】解：（1）∵y＝ax2﹣4ax+3a＝y＝a（x﹣2）2﹣a， ∴当a＝1时，抛物线的顶点坐标为（2，﹣1）； （2）依照题意，画出图形，如图1所示． 当y＝0时，ax2﹣4ax+3a＝0， 解得：x1＝1，x2＝3． 由（Ⅰ）可知，顶点C的坐标为（2，﹣a）． ∵a＞0， ∴﹣a＜0． ∵△ABC为等边三角形，BC＝AB＝2， ∴， ∴点C的坐标为， ∴， ∴； （3）分两种情况考虑，如图2所示： ∵MN≥1，设M在对称轴左边， 当MN＝1时，， ①当a＞0时，t＝﹣1， ∴， 解得：； ②当a＜0时，t＝2， ∴， 解得：， 综上，当a＞0时，；当a＜0时，． 【点评】本题考查了二次函数的综合运用，掌握二次函数图象与性质是解题的关键． 22．（8分）在矩形ABCD中，已知AD＞AB．在边AD上取点E，使AE＝AB，连接CE，过点E作EF⊥CE，与边AB或其延长线交于点F． 猜想：如图①，当点F在边AB上时，线段AF与DE的大小关系为　AF＝DE　． 探究：如图②，当点F在边AB的延长线上时，EF与边BC交于点G．判断线段AF与DE的大小关系，并加以证明． 应用：如图②，若AB＝2，AD＝5，利用探究得到的结论，求线段BG的长． 【分析】①根据题意证明△AEF≌△DCE即可； ②证明方法与①相同可以证明结论； ③根据平行线分线段成比例定理列出比例式，计算得到答案． 【解答】解：①AF＝DE； ②AF＝DE， 证明：∵∠A＝∠FEC＝∠D＝90°， ∴∠AEF＝∠DCE， 在△AEF和△DCE中， ， ∴△AEF≌△DCE， ∴AF＝DE． ③∵△AEF≌△DCE， ∴AE＝CD＝AB＝2，AF＝DE＝3，FB＝FA﹣AB＝1， ∵BG∥AD， ∴＝， ∴BG＝． 【点评】本题考查的是矩形的性质、全等三角形的判定和性质、相似三角形的性质和判定，灵活运用相关的定理和性质是解题的关键． 23．（8分）从2021年秋季开学以来，全国各地中小学都开始实行了“双减政策”．为了解家长们对“双减政策”的了解情况，从某校1200名家长中随机抽取部分家长进行问卷调查，调查评价结果分为“了解较少”“基本了解”“了解较多”“非常了解”四类，并根据调查结果绘制出如图所示的两幅不完整的统计图． （1）本次抽取家长共有 　120　人，扇形图中“基本了解”所占扇形的圆心角是 　54　°． （2）估计此校“非常了解”和“了解较多”的家长共有多少人？ （3）学校计划从“了解较少”的家长中抽取1位初一学生家长，1位初二学生家长，2位初三学生家长参加培训，若从这4位家长中随机选取两人作为代表，请通过列表或画树状图的方法求所选出的两位家长既有初一家长，又有初二家长的概率． 【分析】（1）由“非常了解”的人数除以所占百分比得出本次抽取家长共有的人数，即可解决问题； （2）由某校1200名家长人数乘以“非常了解”和“了解较多”的家长所占的比例即可； （3）画树状图，共有12种等可能的结果，其中所选出的两位家长既有初一家长，又有初二家长的结果与2种，再由概率公式求解即可． 【解答】解：（1）本次抽取家长共有：57÷47.5%＝120（人）， 则“基本了解”的占：18÷120×100%＝15%， ∴扇形图中“基本了解”所占扇形的圆心角是360°×＝54°， 故答案为：120、54； （2）“了解较多”的家长人数为：120﹣57﹣18﹣12＝33（人）， ∴估计此校“非常了解”和“了解较多”的家长共有1200×＝900（人）； （3）把初一学生家长和初二学生家长分别记为A、B，2名初三学生家长分别记为C、D， 画树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中所选出的两位家长既有初一家长，又有初二家长的结果与2种， ∴所选出的两位家长既有初一家长，又有初二家长的概率为＝． 【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．也考查了条形统计图和扇形统计图． 五、解答题（三）：本大题共2小题，每小题10分，共20分． 24．（10分）如图所示，在Rt△ABC中，AC＝CB，E，F分别是AC，BC上的点，△CEF的外接圆交AB于点Q，D． （1）如图甲所示，若D为AB的中点，求证：∠DEF＝∠B． （2）在第（1）题的条件下，请回答下列问题： ①如图乙所示，连接CD，交EF于点H，AC＝4，若△EHD为等腰三角形，求CF的长； ②如图乙所示，△AED与△ECF的面积之比是3：4，且ED＝3，求△CED与△ECF的面积之比．（直接写出答案） 【分析】（1）连接CD，根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半可得CD＝BD，由此推出∠DCB＝∠B＝45°，再由∠DCF＝∠DEF，可得∠DEF＝∠B； （2）①分三种情况讨论：当EH＝HD时，可推导出矩形CEDF是正方形，得到ED是△ABC的中位线，即可得CF＝CE＝AC＝2；EH＝ED时，推导出∠BDF＝∠BFD，则BD＝BF，利用勾股定理求出AB＝4，可求BD＝BF＝2，CF＝4﹣2；当DA＝FH时，点E与点A重合，点H与点C重合，CF＝0； ②过点D作DM⊥AC交于M，过点D作DN⊥BC交于N，连接DF，通过证明△ADE≌△CDF（SAS），可得AE＝CF，再证明四边形DMCN是正方形，则DM＝CM＝CN＝DN，根据＝＝＝，设DN＝3x，则EC＝4x，AC＝BC＝6x，AE＝CF＝2x，即可求＝． 【解答】（1）证明：连接CD， 在Rt△ABC中，AC＝CB， ∴∠A＝∠B＝45°， ∵点D是Rt△ACB斜边的中点， ∴CD＝BD， ∴∠DCB＝∠B＝45°， ∵∠DCF＝∠DEF， ∴∠DEF＝∠B； （2）解：①如图2，当EH＝HD时， ∵∠DEF＝45°， ∴∠DEF＝∠EDH＝45°， ∴∠DCF＝∠DEF＝45°，∠EDH＝∠EFC＝45°，∠EHD＝90°， ∴∠CEF＝∠CDF＝45°， ∴∠CED＝∠EDF＝∠ECF＝90°， ∴四边形CEDF是矩形， 又∵∠EHD＝90°， ∴矩形CEDF是正方形， ∴ED∥BC，又点D是AB的中点， ∴ED是△ABC的中位线， ∴CF＝CE＝AC＝2； 如图3，EH＝ED时，∠EDH＝∠EHD＝67.5°， ∵∠EDF＝∠CDB＝90°， ∴∠EDH＝∠BDF＝67.5°，∠BFD＝180°﹣45°﹣67.5°＝67.5°， 即∠BDF＝∠BFD， ∴BD＝BF， ∵AC＝BC＝4，∠ACB＝90°， ∴AB＝4， ∴BD＝BF＝2，CF＝4﹣2； 当DA＝FH时，点E与点A重合，点H与点C重合，CF＝0； 综上所述，满足条件的CF的值为0或2或4﹣2； ②过点D作DM⊥AC交于M，过点D作DN⊥BC交于N，连接DF， ∵AC＝BC，AD＝BD，∠ACB＝90°， ∴CD⊥AB，∠ACD＝∠BCD＝45°，CD＝AD＝BD， ∴DE＝DF， ∵∠ADC＝∠EDF＝90°， ∴∠ADE＝∠CDF， ∴△ADE≌△CDF（SAS）， ∴AE＝CF， ∵DC平分∠ACB，DM⊥AC，DN⊥BC， ∴DM＝DN， ∴四边形DMCN是正方形， ∴DM＝CM＝CN＝DN， ∵＝＝＝， 设DN＝3x，则EC＝4x，AC＝BC＝6x，AE＝CF＝2x， ∴＝． 【点评】本题考查圆的综合应用，熟练掌握三角形全等的判定及性质，正方形的判定及性质，等腰直角三角形的性质，圆的性质是解题的关键． 25．（10分）如图，在平面直角坐标系中，点A、点B分别在x轴与y轴上，直线AB的解析式为，以线段AB、BC为边作平行四边形ABCD． （1）如图1，若点C的坐标为（3，7），判断四边形ABCD的形状，并说明理由； （2）如图2，在（1）的条件下，P为CD边上的动点，点C关于直线BP的对称点是Q，连接PQ，BQ． ①当∠CBP＝　30　°时，点Q位于线段AD的垂直平分线上； ②连接AQ，DQ，设CP＝x，设PQ的延长线交AD边于点E，当∠AQD＝90°时，求证：QE＝DE，并求出此时x的值． 【分析】（1）过C作CH⊥y轴于H，在y＝﹣x+3中，可得A（4，0），B（0，3），即有OA＝4，OB＝3，AB＝5，而C（3，7），故OB＝CH＝3，OA＝BH＝4，可证△AOB≌△BHC（SAS），得AB＝BC，∠ABO＝∠BCH，从而可得∠ABC＝90°，根据四边形ABCD是平行四边形，且AB＝BC，∠ABC＝90°，即知四边形ABCD是正方形； （2）①过Q作QK⊥AD于K，连接CQ，由Q在AD的垂直平分线上，可得BQ＝CQ，而C关于直线BP的对称点是Q，有BC＝BQ，故△BCQ是等边三角形，∠CBQ＝60°，即可得∠CBP＝∠QBP＝∠CBQ＝30°； ②由∠AQD＝90°，C关于直线BP的对称点是Q，四边形ABCD是正方形，可得∠DQE＝∠BQA，∠QDE＝∠BAQ，而AB＝BQ，有∠BQA＝∠BAQ，故∠DQE＝∠QDE，即得QE＝DE，从而可得DE＝QE＝AE＝，设CP＝PQ＝x，在Rt△PDE中有（5﹣x）2+（）2＝（x+）2，从而可解得x的值是． 【解答】解：（1）四边形ABCD是正方形，理由如下： 过C作CH⊥y轴于H，如图： 在y＝﹣x+3中，令x＝0得y＝3，令y＝0得x＝4， ∴A（4，0），B（0，3）， ∴OA＝4，OB＝3，AB＝＝5， ∵C（3，7）， ∴BH＝OH﹣BO＝4，CH＝3， ∴OB＝CH＝3，OA＝BH＝4， 在△AOB和△BHC中， ， ∴△AOB≌△BHC（SAS）， ∴AB＝BC，∠ABO＝∠BCH， ∵∠BCH+∠HBC＝90°， ∴∠ABO+∠HBC＝90°， ∴∠ABC＝90°， ∵四边形ABCD是平行四边形，且AB＝BC，∠ABC＝90°， ∴四边形ABCD是正方形； （2）①过Q作QK⊥AD于K，连接CQ，如图： ∵Q在AD的垂直平分线上， ∴直线QK是正方形ABCD的对称轴， ∴QK是BC的垂直平分线， ∴BQ＝CQ， ∵C关于直线BP的对称点是Q， ∴BC＝BQ， ∴BC＝BQ＝CQ， ∴△BCQ是等边三角形， ∴∠CBQ＝60°， ∵C关于直线BP的对称点是Q， ∴∠CBP＝∠QBP＝∠CBQ＝30°， 故答案为：30； ②如图： ∵∠AQD＝90°， ∴∠DQE+∠EQA＝90°，∠QDE+∠DAQ＝90°， ∵C关于直线BP的对称点是Q，四边形ABCD是正方形， ∴∠BQP＝∠C＝90°，∠BAD＝90°，AB＝BC＝BQ， ∴∠BQE＝90°＝∠BQA+∠EQA，∠BAQ+∠DAQ＝90°， ∴∠DQE＝∠BQA，∠QDE＝∠BAQ， ∵AB＝BQ， ∴∠BQA＝∠BAQ， ∴∠DQE＝∠QDE， ∴QE＝DE， ∵∠EQA＝90°﹣∠DQE＝90°﹣∠QDE＝∠EAQ， ∴QE＝AE， ∴DE＝QE＝AE， ∴QE＝DE＝AD＝AB＝， 设CP＝PQ＝x，则PD＝CD﹣x＝5﹣x，PE＝PQ+QE＝x+， 在Rt△PDE中，PD2+DE2＝PE2， ∴（5﹣x）2+（）2＝（x+）2， 解得x＝， ∴x的值是． 【点评】本题考查一次函数的综合应用，涉及正方形的判定，等边三角形的判定，勾股定理及应用等知识，解题的关键是掌握对称的性质． 考点卡片 1．提公因式法与公式法的综合运用 先提取公因式，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解即可． 2．因式分解-分组分解法 1、分组分解法一般是针对四项或四项以上多项式的因式分解，分组有两个目的，一是分组后能出现公因式，二是分组后能应用公式． 2、对于常见的四项式，一般的分组分解有两种形式：①二二分法，②三一分法． 例如：①ax+ay+bx+by ＝x（a+b）+y（a+b） ＝（a+b）（x+y） ②2xy﹣x2+1﹣y2 ＝﹣（x2﹣2xy+y2）+1 ＝1﹣（x﹣y）2 ＝（1+x﹣y）（1﹣x+y） 3．分式的化简求值 先把分式化简后，再把分式中未知数对应的值代入求出分式的值． 在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简．化简的最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式． 【规律方法】分式化简求值时需注意的问题 1．化简求值，一般是先化简为最简分式或整式，再代入求值．化简时不能跨度太大，而缺少必要的步骤，代入求值的模式一般为“当…时，原式＝…”． 2．代入求值时，有直接代入法，整体代入法等常用方法．解题时可根据题目的具体条件选择合适的方法．当未知数的值没有明确给出时，所选取的未知数的值必须使原式中的各分式都有意义，且除数不能为0． 4．一元二次方程的解 （1）一元二次方程的解（根）的意义： 能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根． （2）一元二次方程一定有两个解，但不一定有两个实数解．这x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两实数根，则下列两等式成立，并可利用这两个等式求解未知量． ax12+bx1+c＝0（a≠0），ax22+bx2+c＝0（a≠0）． 5．一元二次方程的应用 1、列方程解决实际问题的一般步骤是：审清题意设未知数，列出方程，解所列方程求所列方程的解，检验和作答． 2、列一元二次方程解应用题中常见问题： （1）数字问题：个位数为a，十位数是b，则这个两位数表示为10b+a． （2）增长率问题：增长率＝增长数量/原数量×100%．如：若原数是a，每次增长的百分率为x，则第一次增长后为a（1+x）；第二次增长后为a（1+x）2，即 原数×（1+增长百分率）2＝后来数． （3）形积问题：①利用勾股定理列一元二次方程，求三角形、矩形的边长．②利用三角形、矩形、菱形、梯形和圆的面积，以及柱体体积公式建立等量关系列一元二次方程．③利用相似三角形的对应比例关系，列比例式，通过两内项之积等于两外项之积，得到一元二次方程． （4）运动点问题：物体运动将会沿着一条路线或形成一条痕迹，运行的路线与其他条件会构成直角三角形，可运用直角三角形的性质列方程求解． 【规律方法】列一元二次方程解应用题的“六字诀” 1．审：理解题意，明确未知量、已知量以及它们之间的数量关系． 2．设：根据题意，可以直接设未知数，也可以间接设未知数． 3．列：根据题中的等量关系，用含所设未知数的代数式表示其他未知量，从而列出方程． 4．解：准确求出方程的解． 5．验：检验所求出的根是否符合所列方程和实际问题． 6．答：写出答案． 6．动点问题的函数图象 函数图象是典型的数形结合，图象应用信息广泛，通过看图获取信息，不仅可以解决生活中的实际问题，还可以提高分析问题、解决问题的能力． 用图象解决问题时，要理清图象的含义即会识图． 7．一次函数综合题 （1）一次函数与几何图形的面积问题 首先要根据题意画出草图，结合图形分析其中的几何图形，再求出面积． （2）一次函数的优化问题 通常一次函数的最值问题首先由不等式找到x的取值范围，进而利用一次函数的增减性在前面范围内的前提下求出最值． （3）用函数图象解决实际问题 从已知函数图象中获取信息，求出函数值、函数表达式，并解答相应的问题． 8．反比例函数的图象 用描点法画反比例函数的图象，步骤：列表﹣﹣﹣描点﹣﹣﹣连线． （1）列表取值时，x≠0，因为x＝0函数无意义，为了使描出的点具有代表性，可以以“0”为中心，向两边对称式取值，即正、负数各一半，且互为相反数，这样也便于求y值． （2）由于函数图象的特征还不清楚，所以要尽量多取一些数值，多描一些点，这样便于连线，使画出的图象更精确． （3）连线时要用平滑的曲线按照自变量从小到大的顺序连接，切忌画成折线． （4）由于x≠0，k≠0，所以y≠0，函数图象永远不会与x轴、y轴相交，只是无限靠近两坐标轴． 9．反比例函数的性质 反比例函数的性质 （1）反比例函数y＝（k≠0）的图象是双曲线； （2）当k＞0，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小； （3）当k＜0，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增大． 注意：反比例函数的图象与坐标轴没有交点． 10．反比例函数系数k的几何意义 比例系数k的几何意义 在反比例函数y＝图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|． 在反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是|k|，且保持不变． 11．反比例函数图象上点的坐标特征 反比例函数y＝k/x（k为常数，k≠0）的图象是双曲线， ①图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy＝k； ②双曲线是关于原点对称的，两个分支上的点也是关于原点对称； ③在y＝k/x图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|． 12．二次函数图象上点的坐标特征 二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象是抛物线，顶点坐标是（﹣，）． ①抛物线是关于对称轴x＝﹣成轴对称，所以抛物线上的点关于对称轴对称，且都满足函数函数关系式．顶点是抛物线的最高点或最低点． ②抛物线与y轴交点的纵坐标是函数解析中的c值． ③抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称，设两个交点分别是（x1，0），（x2，0），则其对称轴为x＝． 13．二次函数与不等式（组） 二次函数y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）与不等式的关系 ①函数值y与某个数值m之间的不等关系，一般要转化成关于x的不等式，解不等式求得自变量x的取值范围． ②利用两个函数图象在直角坐标系中的上下位置关系求自变量的取值范围，可作图利用交点直观求解，也可把两个函数解析式列成不等式求解． 14．二次函数的应用 （1）利用二次函数解决利润问题 在商品经营活动中，经常会遇到求最大利润，最大销量等问题．解此类题的关键是通过题意，确定出二次函数的解析式，然后确定其最大值，实际问题中自变量x的取值要使实际问题有意义，因此在求二次函数的最值时，一定要注意自变量x的取值范围． （2）几何图形中的最值问题 几何图形中的二次函数问题常见的有：几何图形中面积的最值，用料的最佳方案以及动态几何中的最值的讨论． （3）构建二次函数模型解决实际问题 利用二次函数解决抛物线形的隧道、大桥和拱门等实际问题时，要恰当地把这些实际问题中的数据落实到平面直角坐标系中的抛物线上，从而确定抛物线的解析式，通过解析式可解决一些测量问题或其他问题． 15．二次函数综合题 （1）二次函数图象与其他函数图象相结合问题 解决此类问题时，先根据给定的函数或函数图象判断出系数的符号，然后判断新的函数关系式中系数的符号，再根据系数与图象的位置关系判断出图象特征，则符合所有特征的图象即为正确选项． （2）二次函数与方程、几何知识的综合应用 将函数知识与方程、几何知识有机地结合在一起．这类试题一般难度较大．解这类问题关键是善于将函数问题转化为方程问题，善于利用几何图形的有关性质、定理和二次函数的知识，并注意挖掘题目中的一些隐含条件． （3）二次函数在实际生活中的应用题 从实际问题中分析变量之间的关系，建立二次函数模型．关键在于观察、分析、创建，建立直角坐标系下的二次函数图象，然后数形结合解决问题，需要我们注意的是自变量及函数的取值范围要使实际问题有意义． 16．三角形的面积 （1）三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半，即S△＝×底×高． （2）三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分． 17．角平分线的性质 角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等． 注意：①这里的距离是指点到角的两边垂线段的长；②该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，有时不必证明全等；③使用该结论的前提条件是图中有角平分线，有垂直角平分线的性质语言：如图，∵C在∠AOB的平分线上，CD⊥OA，CE⊥OB∴CD＝CE 18．等腰三角形的性质 （1）等腰三角形的概念 有两条边相等的三角形叫做等腰三角形． （2）等腰三角形的性质 ①等腰三角形的两腰相等 ②等腰三角形的两个底角相等．【简称：等边对等角】 ③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．【三线合一】 （3）在①等腰；②底边上的高；③底边上的中线；④顶角平分线．以上四个元素中，从中任意取出两个元素当成条件，就可以得到另外两个元素为结论． 19．含30度角的直角三角形 （1）含30度角的直角三角形的性质： 在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半． （2）此结论是由等边三角形的性质推出，体现了直角三角形的性质，它在解直角三角形的相关问题中常用来求边的长度和角的度数． （3）注意：①该性质是直角三角形中含有特殊度数的角（30°）的特殊定理，非直角三角形或一般直角三角形不能应用； ②应用时，要注意找准30°的角所对的直角边，点明斜边． 20．矩形的性质 （1）矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形． （2）矩形的性质 ①平行四边形的性质矩形都具有； ②角：矩形的四个角都是直角； ③边：邻边垂直； ④对角线：矩形的对角线相等； ⑤矩形是轴对称图形，又是中心对称图形．它有2条对称轴，分别是每组对边中点连线所在的直线；对称中心是两条对角线的交点． （3）由矩形的性质，可以得到直角三角形的一个重要性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 21．四边形综合题 涉及到的知识点比较多，主要考查平行四边形、菱形、矩形、正方形，经常与二次函数和圆一起出现，综合性比较强． 22．垂径定理 （1）垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧． （2）垂径定理的推论 推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧． 推论2：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧． 推论3：平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧． 23．圆周角定理 （1）圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角． 注意：圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上．②角的两条边都与圆相交，二者缺一不可． （2）圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半． 推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径． （3）在解圆的有关问题时，常常需要添加辅助线，构成直径所对的圆周角，这种基本技能技巧一定要掌握． （4）注意：①圆周角和圆心角的转化可通过作圆的半径构造等腰三角形．利用等腰三角形的顶点和底角的关系进行转化．②圆周角和圆周角的转化可利用其“桥梁”﹣﹣﹣圆心角转化．③定理成立的条件是“同一条弧所对的”两种角，在运用定理时不要忽略了这个条件，把不同弧所对的圆周角与圆心角错当成同一条弧所对的圆周角和圆心角． 24．点与圆的位置关系 （1）点与圆的位置关系有3种．设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，则有： ①点P在圆外⇔d＞r ②点P在圆上⇔d＝r ①点P在圆内⇔d＜r （2）点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系． （3）符号“⇔”读作“等价于”，它表示从符号“⇔”的左端可以得到右端，从右端也可以得到左端． 25．切线的判定与性质 （1）切线的性质 ①圆的切线垂直于经过切点的半径． ②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点． ③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心． （2）切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线． （3）常见的辅助线的： ①判定切线时“连圆心和直线与圆的公共点”或“过圆心作这条直线的垂线”； ②有切线时，常常“遇到切点连圆心得半径”． 26．圆锥的计算 （1）连接圆锥顶点和底面圆周上任意一点的线段叫做圆锥的母线．连接顶点与底面圆心的线段叫圆锥的高． （2）圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长． （3）圆锥的侧面积：S侧＝•2πr•l＝πrl． （4）圆锥的全面积：S全＝S底+S侧＝πr2+πrl （5）圆锥的体积＝×底面积×高 注意：①圆锥的母线与展开后所得扇形的半径相等． ②圆锥的底面周长与展开后所得扇形的弧长相等． 27．圆的综合题 考查的知识点比较多，一般考查垂径定理、圆周角定理、切线长定理、扇形的面积和弧长，经常与四边形一起，难度比较大． 28．关于原点对称的点的坐标 关于原点对称的点的坐标特点 （1）两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P（x，y）关于原点O的对称点是P′（﹣x，﹣y）． （2）关于原点对称的点或图形属于中心对称，它是中心对称在平面直角坐标系中的应用，它具有中心对称的所有性质．但它主要是用坐标变化确定图形． 注意：运用时要熟练掌握，可以不用图画和结合坐标系，只根据符号变化直接写出对应点的坐标． 29．相似三角形的性质 相似三角形的定义：如果两个三角形的对应边的比相等，对应角相等，那么这两个三角形相似． （1）相似三角形的对应角相等，对应边的比相等． （2）相似三角形（多边形）的周长的比等于相似比； 相似三角形的对应线段（对应中线、对应角平分线、对应边上的高）的比也等于相似比． （3）相似三角形的面积的比等于相似比的平方． 由三角形的面积公式和相似三角形对应线段的比等于相似比可以推出相似三角形面积的比等于相似比的平方． 30．相似形综合题 主要考查相似三角形的判定与性质，其中穿插全等三角形的判定和性质、平行线分线段成比例等知识，难度大． 31．特殊角的三角函数值 （1）特指30°、45°、60°角的各种三角函数值． sin30°＝； cos30°＝；tan30°＝； sin45°＝；cos45°＝；tan45°＝1； sin60°＝；cos60°＝； tan60°＝； （2）应用中要熟记特殊角的三角函数值，一是按值的变化规律去记，正弦逐渐增大，余弦逐渐减小，正切逐渐增大；二是按特殊直角三角形中各边特殊值规律去记． （3）特殊角的三角函数值应用广泛，一是它可以当作数进行运算，二是具有三角函数的特点，在解直角三角形中应用较多． 32．解直角三角形 （1）解直角三角形的定义 在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形． （2）解直角三角形要用到的关系 ①锐角、直角之间的关系：∠A+∠B＝90°； ②三边之间的关系：a2+b2＝c2； ③边角之间的关系： sinA＝＝，cosA＝＝，tanA＝＝． （a，b，c分别是∠A、∠B、∠C的对边） 33．由三视图判断几何体 （1）由三视图想象几何体的形状，首先，应分别根据主视图、俯视图和左视图想象几何体的前面、上面和左侧面的形状，然后综合起来考虑整体形状． （2）由物体的三视图想象几何体的形状是有一定难度的，可以从以下途径进行分析： ①根据主视图、俯视图和左视图想象几何体的前面、上面和左侧面的形状，以及几何体的长、宽、高； ②从实线和虚线想象几何体看得见部分和看不见部分的轮廓线； ③熟记一些简单的几何体的三视图对复杂几何体的想象会有帮助； ④利用由三视图画几何体与有几何体画三视图的互逆过程，反复练习，不断总结方法． 34．用样本估计总体 用样本估计总体是统计的基本思想． 1、用样本的频率分布估计总体分布： 从一个总体得到一个包含大量数据的样本，我们很难从一个个数字中直接看出样本所包含的信息．这时，我们用频率分布直方图来表示相应样本的频率分布，从而去估计总体的分布情况． 2、用样本的数字特征估计总体的数字特征（主要数据有众数、中位数、平均数、标准差与方差 ）． 一般来说，用样本去估计总体时，样本越具有代表性、容量越大，这时对总体的估计也就越精确． 35．扇形统计图 （1）扇形统计图是用整个圆表示总数用圆内各个扇形的大小表示各部分数量占总数的百分数．通过扇形统计图可以很清楚地表示出各部分数量同总数之间的关系．用整个圆的面积表示总数（单位1），用圆的扇形面积表示各部分占总数的百分数． （2）扇形图的特点：从扇形图上可以清楚地看出各部分数量和总数量之间的关系． （3）制作扇形图的步骤 ①根据有关数据先算出各部分在总体中所占的百分数，再算出各部分圆心角的度数，公式是各部分扇形圆心角的度数＝部分占总体的百分比×360°．　　②按比例取适当半径画一个圆；按扇形圆心角的度数用量角器在圆内量出各个扇形的圆心角的度数； ④在各扇形内写上相应的名称及百分数，并用不同的标记把各扇形区分开来． 36．条形统计图 （1）定义：条形统计图是用线段长度表示数据，根据数量的多少画成长短不同的矩形直条，然后按顺序把这些直条排列起来． （2）特点：从条形图可以很容易看出数据的大小，便于比较． （3）制作条形图的一般步骤： ①根据图纸的大小，画出两条互相垂直的射线． ②在水平射线上，适当分配条形的位置，确定直条的宽度和间隔． ③在与水平射线垂直的射线上，根据数据大小的具体情况，确定单位长度表示多少． ④按照数据大小，画出长短不同的直条，并注明数量． 37．几何概率 所谓几何概型的概率问题，是指具有下列特征的一些随机现象的概率问题：设在空间上有一区域G，又区域g包含在区域G内（如图），而区域G与g都是可以度量的（可求面积），现随机地向G内投掷一点M，假设点M必落在G中，且点M落在区域G的任何部分区域g内的概率只与g的度量（长度、面积、体积等）成正比，而与g的位置和形状无关．具有这种性质的随机试验（掷点），称为几何概型．关于几何概型的随机事件“向区域G中任意投掷一个点M，点M落在G内的部分区域g”的概率P定义为：g的度量与G的度量之比，即 P＝g的测度G的测度 简单来说：求概率时，已知和未知与几何有关的就是几何概率．计算方法是长度比，面积比，体积比等． 38．列表法与树状图法 （1）当试验中存在两个元素且出现的所有可能的结果较多时，我们常用列表的方式，列出所有可能的结果，再求出概率． （2）列表的目的在于不重不漏地列举出所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，求出概率． （3）列举法（树形图法）求概率的关键在于列举出所有可能的结果，列表法是一种，但当一个事件涉及三个或更多元素时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树形图． （4）树形图列举法一般是选择一个元素再和其他元素分别组合，依次列出，象树的枝丫形式，最末端的枝丫个数就是总的可能的结果n． （5）当有两个元素时，可用树形图列举，也可以列表列举． 39．利用频率估计概率 （1）大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． （2）用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确． （3）当实验的所有可能结果不是有限个或结果个数很多，或各种可能结果发生的可能性不相等时，一般通过统计频率来估计概率． 声明：试 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$