精品解析：广东省湛江市第二十一中学2024-2025学年高二上学期11月期中考试数学试题

湛江市第二十一中学2024-2025学年第一学期高二期中考试 数学 考试时间：120分钟，满分：150分，命题人：李小丽；审核人：李辅梅、劳小佳 一、单项选择题：(本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．) 1. 已知，，求=（     ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】用点坐标减去点坐标可得． 【详解】因为，，所以, 故选：D． 2. 若直线经过两点，则直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据两点坐标求出直线的斜率，进而求出倾斜角. 【详解】由直线经过两点，可得直线的斜率为， 设直线的倾斜角为，有，又，所以. 故选：C. 3. 圆的圆心和半径分别为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】转化为标准方程即可求解. 【详解】由可得： ， 所以圆心和半径分别为. 故选：A 4. 已知向量，，则在方向上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】直接根据投影向量的概念即可得结果. 【详解】因为，， 则在方向上的投影向量为， 故选：B. 5. 直线l：与圆C：的位置关系为（ ） A. 相交 B. 相切 C. 相离 D. 无法判断 【答案】A 【解析】 【分析】根据直线与圆的位置关系求解判断. 【详解】由题，圆的圆心，半径为， 圆心到直线的距离为， 所以圆与直线相交. 故选：A. 6. 如图，在平行六面体中，底面是边长为的正方形，若，且，则的长为（ ） A. 3 B. C. 4 D. 【答案】D 【解析】 【分析】由即可求解. 【详解】因为 所以 ，即， 故选：D 7. 已知直线的方程是，下列正确的是（ ） A. 当时，直线的斜率为0 B. 当时，直线与轴的截距为 C. 当且不同时为0，方程表示经过原点的直线 D. 当不同时为0，直线与直线平行 【答案】C 【解析】 【分析】将直线方程化简，即可判断A，化成斜截式，求出纵截距，即可判断B，根据过原点的直线方程的特征判断C，根据两直线垂直判断D. 【详解】对于A，当，直线的方程为，即，此时直线的斜率不存在，故A错误； 对于B，当时，直线的方程化成斜截式为，所以直线与轴的截距为，故B错误； 对于C，因为直线过原点，所以， 所以当且不同时为0时，方程表示经过原点的直线，故C正确； 对于D，直线与直线垂直，故D错误. 故选：C 8. 如图，点在正方体的面对角线上运动（点异于，点），则下列结论不正确的是（     ） A. 异面直线与所成角为60° B. 平面 C. 三棱锥的体积不变 D. 直线与平面所成角正弦值的取值范围为 【答案】D 【解析】 【分析】选项A：利用异面直线的夹角求解即可，选项B：利用线面垂直的定义结合线面垂直的判定定理求解即可.选项C：利用等体积法求解即可，选项D：利用空间直角坐标系使用代数法求解线面角的取值范围. 【详解】 对于A，因为正方体中，且为等边三角形，故异面直线与夹角为，故A正确； 对于B，由正方体的性质可知，，平面， 平面，又因为平面 ，同理可得平面，又因为平面， 又因为平面，平面，故B正确； 对于C，因为平面，平面，所以平面 所以为定值，故C正确； 对于D，建立如图所示直角坐标系，设正方体的棱长为1，设， ，，，，，则， 所以， 由正方体的性质知：平面， 故平面的法向量为， 直线与平面所成角正弦值为， 因为，，所以当时取得最大值， 若时取得为，所以，故D错误. 故选：D 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9. 设，向量，，，且，，则下列正确的（ ） A. B. C. 6 D. 【答案】AC 【解析】 【分析】由条件结合垂直向量的坐标表示和平行向量的坐标关系求，进而逐项判断即可. 【详解】对于A，因为，，，所以，所以，A正确； 对于B，因为，，，所以，所以，B错误； 对于C，，，可得，所以，C正确； 对于D，，D错误， 故选：AC. 10. 已知圆，点，下列说法正确的是（    ） A. 点A在圆外 B. 点是的定点 C. 已知，过点B作圆的最短弦长为 D. 过点作圆:的切线，则的方程为 【答案】ABC 【解析】 【分析】先根据圆的标准方程得出圆心及半径，根据点到圆心的距离判断A,再根据直线求出定点判断B,应用几何法求过点B的最短弦长判断C,根据点在圆外有两条切线判断D. 【详解】圆的圆心为，半径为， A选项，，得出点A在圆外，A正确； B选项，直线，过定点，B正确； C选项，当弦垂直于时，弦长最短，，最短弦长为，C正确； 对于D，点在圆外，过A点作圆的切线有2条，还有一条直线过点，且与圆相切，D错误. 故选：ABC. 11. 已知曲线，点在曲线上，则下列结论正确的是（     ） A. 当时， B. 当时，曲线为圆心为，半径为圆的一部分 C. 曲线有4条对称轴，且围成的图形面积为 D. 当点在第四象限，的最大值是1 【答案】BCD 【解析】 【分析】对A：代入曲线方程后，令即可得解；对B：去掉绝对值后，结合圆的标准方程即可得；对C：易得其有对称轴轴，轴，再结合第一象限内图象即可得完整图象，即可得解；对D：结合的几何意义画图并结合点到直线的距离公式计算即可得解. 【详解】对于A，当时，可得，则或，故A错误； 对于B，当时，原方程化为，即， 所以曲线是以圆心为，半径为的圆在第一象限的部分，故B正确； 对于C，由图象关于轴，轴对称，所以曲线如上图所示， 由图象可得，该曲线关于轴，轴，和对称， 所以该曲线有4条对称轴， 曲线围成的图形由四个直径为的半圆和一个边长为的正方形组成， 所以面积为，故C正确； 对于D，设表示点与点确定的直线的斜率， 设该直线方程为，结合图象，当，即， 则圆心为，半径为的圆在第四象限的部分与直线相切时， 该切线的斜率是的最大值，由，可得， 解得或（舍），则的最大值为1，故D正确. 故选：BCD. 【点睛】关键点点睛：本题关键点在于借助绝对值的性质，得到图象关于轴，轴对称，再结合当时，其在第一象限内的图象得到整个函数的图象. 三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分．) 12. 已知直线的方程为，那么此直线在轴上的截距为____________． 【答案】 【解析】 【分析】由截距式定义即可得. 【详解】由直线的截距式方程可得直线在轴上的截距为. 故答案为：. 13. 直线l的方向向量为，且l过点，则点到l的距离为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，利用点到直线距离的向量求法计算即得. 【详解】依题意，， 所以点到的距离. 故答案为：. 14. 著名数学家华罗庚曾说过“数无形时少直觉，形少数时难人微”，事实上，很多代数问题都可以转化为几何问题加以解决，如：可以转化为平面上点与点之间的距离，结合．上述观点，可得的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】设，由题意得到的几何意义为点到两定点与的距离，求出点关于轴的对称点为，转化为求的最小值即可. 【详解】设， 则， ∴的几何意义为点与两定点，之间的距离之和． 如图所示： 设点关于x轴的对称点为，则的坐标为（2，－4）． 则， 要求的最小值，即求的最小值， 又，即的最小值为． 故答案为：. 四、解答题(本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15. 如图，在直三棱柱中，，，．以A为原点，建立如图所示空间直角坐标系． （1）求平面的一个法向量． （2）求直线与平面所成的线面角的正弦值； 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）先求出点的坐标，再根据向量垂直列方程组得出法向量即可； （2）先求出平面的法向量，再应用线面角的向量求出得出正弦值. 【小问1详解】 如图可得，，，. ，， 设面的法向量为，则 ， 即，取 ，则， 所以平面的一个法向量为 【小问2详解】 ，， 设面的法向量为，则 ， 即，取 ，则 ， 设直线与平面所成的线面角为，又 则， 所以直线与平面所成的线面角的正弦值为 16. 已知正四面体的棱长为，，分别为棱，的中点，点为线段的中点. （1）用，，表示； （2）求的值； 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）借助空间向量线性运算，以，，为基底表示即可得； （2）由正四面体的性质可得，，再结合空间向量线性运算及数量积公式计算即可得解. 【小问1详解】 由题意可得，， 则 ； 【小问2详解】 由正四面体的棱长为1，故，， 则， ， 则. 17. 已知的三个顶点为. （1）求边上的高所在直线的方程； （2）求边上的中线所在直线的方程； （3）求三角形的面积. 【答案】（1） （2） （3）5 【解析】 【分析】（1）由垂直关系求得斜率，再由点斜式即可求解； （2）由中点坐标，确定的中点，再由点斜式即可求解； （3）由点到线的距离公式求高，再结合面积公式即可求解. 【小问1详解】 因为的三个顶点为， 所以直线的斜率为， 所以边上的高所在直线的斜率为， 所以直线的方程为， 化为一般式方程为， 【小问2详解】 因为，所以的中点为， 又因为，所以直线的斜率为， 所以直线的点斜式方程为， 化为一般式为. 【小问3详解】 由（2）得直线的方程为， 则点B到直线的距离为， =， 所以. 18. 已知圆经过点，且圆心为． （1）求圆的标准方程； （2）直线经过点，且与圆相交所得弦长为，求直线的方程； （3）求与圆关于直线对称的圆的一般方程． 【答案】（1） （2）或 （3） 【解析】 【分析】（1）根据点点距离求解半径，即可得圆的方程， （2）根据圆的弦长公式，结合点到直线的距离公式，即可求解， （3）根据点关于直线的对称，可得圆心坐标，即可求解圆的方程. 【小问1详解】 设圆的圆的半径为， 因为圆经过点，故 所以圆的方程为． 【小问2详解】 依题意，圆的圆心到直线的距离为 当直线无斜率时，方程为，圆心到直线的距离为2，不符合题意， 设直线方程为，即， 则，解得，， ∴直线的方程为或 【小问3详解】 由题意得圆和圆的圆心和圆心关于直线对称，且半径相同 ， 直线的斜率为 设圆心，则,的中点坐标为，， 则,解得 所以圆的标准方程为， 19. 如图，在棱长为的正方体中，，分别是，的中点，为上一点. （1）求证：； （2）求点到平面的距离； （3）当为何值时，平面与平面所成的夹角的余弦值为. 【答案】（1） 如图，以为坐标原点建立空间直角坐标系， 则， ，， 则， ，； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）建立适当空间直角坐标系后，可表示出、，计算即可得； （2）得到平面的法向量后，借助空间中点到平面的距离公式计算即可得； （3）得到平面与平面的法向量后，借助空间向量夹角公式计算即可得. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）得，，， 设平面的法向量为， 则 ，即 ， 令，则有，，则， 所以点到平面的距离为； 【小问3详解】 设，故，， 由（1）得，设平面的法向量为， 则 ，即 ， 令，则，则， 又平面的法向量为， 则， 解得， 则时，平面与平面所成的夹角的余弦值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 湛江市第二十一中学2024-2025学年第一学期高二期中考试 数学 考试时间：120分钟，满分：150分，命题人：李小丽；审核人：李辅梅、劳小佳 一、单项选择题：(本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．) 1. 已知，，求=（     ） A. B. C. D. 2. 若直线经过两点，则直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 3. 圆的圆心和半径分别为（ ） A. B. C. D. 4. 已知向量，，则在方向上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 5. 直线l：与圆C：的位置关系为（ ） A. 相交 B. 相切 C. 相离 D. 无法判断 6. 如图，在平行六面体中，底面是边长为的正方形，若，且，则的长为（ ） A. 3 B. C. 4 D. 7. 已知直线的方程是，下列正确的是（ ） A. 当时，直线的斜率为0 B. 当时，直线与轴的截距为 C. 当且不同时为0，方程表示经过原点的直线 D. 当不同时为0，直线与直线平行 8. 如图，点在正方体的面对角线上运动（点异于，点），则下列结论不正确的是（     ） A. 异面直线与所成角为60° B. 平面 C. 三棱锥的体积不变 D. 直线与平面所成角正弦值的取值范围为 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9. 设，向量，，，且，，则下列正确的（ ） A. B. C. 6 D. 10. 已知圆，点，下列说法正确的是（    ） A. 点A在圆外 B. 点是的定点 C. 已知，过点B作圆的最短弦长为 D. 过点作圆:的切线，则的方程为 11. 已知曲线，点在曲线上，则下列结论正确的是（     ） A. 当时， B. 当时，曲线为圆心为，半径为圆的一部分 C. 曲线有4条对称轴，且围成的图形面积为 D. 当点在第四象限，的最大值是1 三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分．) 12. 已知直线的方程为，那么此直线在轴上的截距为____________． 13. 直线l的方向向量为，且l过点，则点到l的距离为______. 14. 著名数学家华罗庚曾说过“数无形时少直觉，形少数时难人微”，事实上，很多代数问题都可以转化为几何问题加以解决，如：可以转化为平面上点与点之间的距离，结合．上述观点，可得的最小值为______． 四、解答题(本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15. 如图，在直三棱柱中，，，．以A为原点，建立如图所示空间直角坐标系． （1）求平面的一个法向量． （2）求直线与平面所成的线面角的正弦值； 16. 已知正四面体的棱长为，，分别为棱，的中点，点为线段的中点. （1）用，，表示； （2）求的值； 17. 已知的三个顶点为. （1）求边上的高所在直线的方程； （2）求边上的中线所在直线的方程； （3）求三角形的面积. 18. 已知圆经过点，且圆心为． （1）求圆的标准方程； （2）直线经过点，且与圆相交所得弦长为，求直线的方程； （3）求与圆关于直线对称的圆的一般方程． 19. 如图，在棱长为的正方体中，，分别是，的中点，为上一点. （1）求证：； （2）求点到平面的距离； （3）当为何值时，平面与平面所成的夹角的余弦值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $