指数函数与对数函数章末检测-2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

指数函数与对数函数章末检测解析版 姓名___________ 班级_________ 满分150分，考试用时120分钟 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】∵且，∴， ∵且，∴， ∵且，∴， ∴，，，即且， 又∵， ，，∴， 故，故. 故选：D. 2．设函数，是奇函数，则的值是（   ） A． B． C． D．8 【答案】A 【详解】因为是奇函数， 所以， 所以. 故选：A 3．已知，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【详解】因为在R上单调递减，所以由可知， 若，显然不能得到， 反之的情况下，若满足题意，但不能得到， 则“”是“”的既不充分也不必要条件. 故选：D 4．已知函数是周期为2的奇函数，且当时，，则的值为（    ） A．3 B． C． D．2 【答案】B 【详解】因函数的周期为2，且为奇函数， 故， . 故选：B． 5．函数的单调增区间是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设，则，外层函数在上单调递增，所以整个函数的单调增区间为内层函数的增区间，而内层函数的增区间为. 故选：C 6．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的美誉，用其名字命名的“高斯函数”：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，也称取整函数，例如：．已知，则函数的值域为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】，因为，所以， ，所以函数值域为. 故选：C 7．若函数，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】的定义域需要满足： ，解得， 故的定义域为， 的定义域需满足，解得， 故的定义域为， 故选：A 8．已知，则的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】当时，，解得， 当时，，解得， 故的解集为. 故选：A 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．下列函数既是奇函数又在定义域内单调递增的是（   ） A． B． C． D． 【答案】BC 【详解】对于A，为上的奇函数，在定义域内不单调，A错误； 对于B，的定义域为，，该函数为奇函数， 当时，，在上单调递增；当时，，在上单调递增， 函数在定义域上单调递增，B正确； 对于C，的定义域为R，，是奇函数， 函数，均在上单调递增，则在上单调递增，C正确； 对于D，函数的定义域为，定义域不关于原点对称，该函数为非奇非偶函数，D错误. 故选：BC 10．已知函数（，且）的图象如图所示，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D．的图象不经过第四象限 【答案】BD 【详解】对于A，由图象可知函数单调递减，则，故A错误； 对于B，当时，，由图象可得，解得，故B正确； 对于C，由，则，由是增函数，则，故C错误； 对于D，由，，则函数是增函数， 当时，，故D正确. 故选：BD. 11．已知函数，则（ ） A． B．的值域为 C．是R上的减函数 D．函数图象关于点对称 【答案】ACD 【详解】由，A正确； 由的值域是，故的值域是，B错误； 由恒正且在R上递增，故是R上的减函数，C正确； 由于，D正确． 故选：ACD 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．已知是奇函数，则的值为 ． 【答案】4 【详解】因为函数是奇函数，所以恒成立， 即， 所以. 故答案为：4 13．已知函数的图象恒过点，则 ，函数的单调递增区间为 . 【答案】 8 【详解】当时，得， 所以过定点，即，所以； 函数， 令，解得或，函数在上递减，在上递增， 又在单调递增， 所以在为增函数，在为减函数， 所以函数的单调递增区间为． 故答案为：；． 14．已知函数，则 ；若，关于x的不等式恒成立，则实数a的取值范围是 ． 【答案】 3 【详解】因为，所以； ∵不等式,, 可化为, 即恒成立, 由题意,且的定义域为, 任取,且, 则, ∵,且,∴,,, 故,所以函数是上的增函数. ∵函数是上的增函数且, ∴，恒成立, 即恒成立, ， 当且仅当时，取得，所以. 故答案为：. 四､解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15.（本小题13分） 已知函数，其中且. (1)若，求的最小值； (2)若在区间上的最大值为，求的值； (3)若，且对任意恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）当时，函数， 所以当时，函数有最小值. （2）令，则函数， 当时，由有， 由于函数在上单调递减，在区间上的最大值为， 所以，当时，有最大值， 解得或，均不满足，舍去； 当时，由有， 由于函数在上单调递增，在区间上的最大值为， 所以，当时，有最大值， 解得或，其中不满足，舍去； 综上，. （3）因为当时，对任意恒成立 所以，对任意恒成立 所以，对任意恒成立， 因为，当且仅当，即时等号成立， 所以，恒成立，即， 所以，实数的取值范围为. 16.（本小题15分） 已知函数为奇函数. (1)求实数的值; (2)判断的单调性，并用定义证明; (3)求不等式的解集. 【答案】(1) (2)单调递增，证明见解析 (3)或 【详解】（1）为上的奇函数，则，即 ，整理可得，可得 （2）为上的单调递增函数. 证明如下：设，且， 则，因为， 根据指数函数的性质，则，，， 所以，即， 所以为上的单调递增函数. （3）因为为奇函数，不等式化为， 又因为为上的单调递增函数，所以，解得不等式的解集为或 17.（本小题15分） 已知指数函数与二次函数. (1)求函数； (2)当时，求函数的值域； (3)设函数，若，且的最小值为，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) (3). 【详解】（1）因为函数为指数函数，所以，解得， 所以函数. （2）当时，， 因为函数在上单调递减，在上单调递增， 所以，当时，， 当时，；当时，，则， 所以当时，， 又函数是增函数，则， 所以函数的值域是. （3）因为， 当时，有，函数在上单调递减，在上单调递增， 则， 这与的最小值为矛盾，故不成立； 当时，有， 当时，单调递减，故在不可能有最小值， 当时，单调递增，故的最小值为， 令，即，解得， 又时，，解得. 所以实数的取值范围是. 18.（本小题17分） 已知指数函数的图象过点，函数 (1)求的解析式； (2)判断在上的单调性，并用定义证明； (3)若不等式对恒成立，求t的取值范围． 【答案】(1)； (2)在上单调递增，证明见解析 (3) 【详解】（1）设（且）， 因为指数函数的图象过点， 所以，解得， 所以； （2）在上单调递增． 证明如下： 由（1）易知， 因为，且， 所以 ， 因为，所以，，此时， 可得，所以， 即， 则在上单调递增； （3）易知， 所以是偶函数，若，即， 易得， 因为在上单调递增， 所以即可，可得， 解得 故的取值范围为. 19.（本小题17分） 已知函数是偶函数，． (1)求函数的零点； (2)若函数有零点，求实数的取值集合； (3)当时，函数与的值域相同，求的最大值． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）是偶函数， 则，即， ， 由的任意性得，即， ， ， 令，则或（舍去），即， 有一个零点为. （2）由（1）可知，则， 令可得， 令，当且仅当时，即时，等号成立， 即，即方程有实根， 即，，令，， 由对勾函数的单调性可知，单调递减，单调递增， 所以时，，所以. 则实数的取值集合为. （3）设当时，函数的值域为， 则函数的值域也为， 由（1）知， 当且仅当，即时等号成立， 令，则， 在区间上单调递增， 所以当时，的值域为， 即，则， 即为方程的两个根，解得， 所以当时，的值域为， 令，则， 在上单调递增，对勾函数在上单调递增， 由复合函数的单调性知，在上单调递增， 是偶函数，在上单调递减， 令，即，解得或， 即或， 故的最大值为. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 指数函数与对数函数章末检测 姓名___________ 班级_________ 满分150分，考试用时120分钟 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知，，，则（    ） A． B． C． D． 2．设函数，是奇函数，则的值是（   ） A． B． C． D．8 3．已知，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．已知函数是周期为2的奇函数，且当时，，则的值为（    ） A．3 B． C． D．2 5．函数的单调增区间是（   ） A． B． C． D． 6．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的美誉，用其名字命名的“高斯函数”：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，也称取整函数，例如：．已知，则函数的值域为（   ） A． B． C． D． 7．若函数，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 8．已知，则的解集为（    ） A． B． C． D． 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．下列函数既是奇函数又在定义域内单调递增的是（   ） A． B． C． D． 10．已知函数（，且）的图象如图所示，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D．的图象不经过第四象限 11．已知函数，则（ ） A． B．的值域为 C．是R上的减函数 D．函数图象关于点对称 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．已知是奇函数，则的值为 ． 13．已知函数的图象恒过点，则 ，函数的单调递增区间为 . 14．已知函数，则 ；若，关于x的不等式恒成立，则实数a的取值范围是 ． 四､解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15.（本小题13分） 已知函数，其中且. (1)若，求的最小值； (2)若在区间上的最大值为，求的值； (3)若，且对任意恒成立，求实数的取值范围. 16.（本小题15分） 已知函数为奇函数. (1)求实数的值; (2)判断的单调性，并用定义证明; (3)求不等式的解集. 17.（本小题15分） 已知指数函数与二次函数. (1)求函数； (2)当时，求函数的值域； (3)设函数，若，且的最小值为，求实数的取值范围. 18.（本小题17分） 已知指数函数的图象过点，函数 (1)求的解析式； (2)判断在上的单调性，并用定义证明； (3)若不等式对恒成立，求t的取值范围． 19.（本小题17分） 已知函数是偶函数，． (1)求函数的零点； (2)若函数有零点，求实数的取值集合； (3)当时，函数与的值域相同，求的最大值． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$