精品解析：四川省资阳市安岳县四川省安岳中学2024-2025学年九年级上学期11月期中数学试题

资阳市安岳县安岳中学九年级上期半期考试 数学 注意事项： 1.答卷前考生务必把自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2.回答选择题时用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑；回答非选择题时，用0.5毫米黑色墨迹签字笔将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3.试卷满分150分，考试时间120分钟，考试结束后将本试卷和答题卡一并交回． 第I卷（选择题） 一、单选题（共40分） 1. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是二次根式的混合运算，熟知二次根式混合运算的法则是解题的关键．根据二次根式混合运算的法则对各选项进行逐一判断即可． 【详解】解：A、，原计算错误，不符合题意； B、，原计算错误，不符合题意； C、，原计算正确，符合题意； D、，原计算错误，不符合题意． 故选：C 2. 要使式子有意义，则x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了二次根式和分式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件（被开方数大于或等于0），分式有意义的条件（分母不等于0）可得答案． 【详解】要使式子有意义， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 3. 下列二次根式与不是同类二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先化简各选项，再根据同类二次根式的定义解答． 【详解】解：A、原式=2，与的被开方数相同，即它们是同类二次根式，故本选项不合题意； B、原式=，与的被开方数相同，即它们是同类二次根式，故本选项不合题意； C、原式=4，与的被开方数相同，即它们是同类二次根式，故本选项不合题意； D、原式=3，与的被开方数不相同，即它们不是同类二次根式，故本选项符合题意； 故选：D． 【点睛】此题主要考查了同类二次根式的定义，即：化成最简二次根式后，被开方数相同，这样的二次根式叫做同类二次根式． 4. 如图，在中，点D， E分别在边 ， 上，且， 若 ， 的面积是 2，则的面积是( ) A. 3 B. 4 C. 8 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了三角形相似的判定和性质，根据相似三角形面积之比等于相似比的平方，计算即可． 【详解】∵， ∴， ∴， ∵的面积是 2， ∴， 解得， 故选D． 5. 在平面直角坐标系中，将点向右平移个单位，再向下平移个单位，得到的点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据向下平移纵坐标减，向右平移横坐标加求解即可． 【详解】∵点向右平移个单位，再向下平移个单位， ∴所得到的点的横坐标是，纵坐标是， ∴所得点的坐标是． 故选：A． 【点睛】本题考查了坐标与图形变化：平移，平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减． 6. 近年来，由于新能源汽车的崛起，燃油汽车的销量出现了不同程度的下滑，经销商纷纷开展降价促销活动．某款燃油汽车今年3月份售价为万元，5月份售价为万元．设该款汽车这两月售价的月均下降率是x，则所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用．根据题意正确的列方程是解题的关键． 由题意知，4月份的售价为，5月份的售价为，进而可列方程． 【详解】解：依题意得，， 故选：B． 7. 如图，点P是△ABC的重心，过点P作DEAC交BC，AB于D，E，EFBC交AC于点F，若AC=8，BC=11，则四边形CDEF的周长为（　　） A. 9 B. 18 C. 19 D. 20 【答案】B 【解析】 【分析】连接BP并延长交AC于点G，由△ABC的重心点P可知BP：BG=2：3，然后得到BD：BC=ED：AC=2：3，从而求得ED和FC的长，然后得到CD：BC=1：3，再结合EF∥BC求得四边形CDEF是平行四边形，最后求得四边形CDEF的周长． 【详解】解：连接BP并延长交AC于点G， ∵△ABC的重心点P， ∴BP：BG=2：3， ∵EDAC， ∴△BDP∽△BCG，△BEP∽△BAG， ∴，， ∴，， ∵AC=8，BC=11， ∴ED=，CD=， ∵EFBC，EDAC， ∴四边形CDEF是平行四边形， ∴四边形CDEF的周长为2×（+）=18． 故选：B． 【点睛】本题考查了三角形重心的性质、相似三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质，解题的关键是由△ABC的重心得到相关线段长度的比值． 8. 已知实数a在数轴上的位置如图所示，则化简：的结果为（ ） A. 2 B. -2 C. 2a-6 D. -2a+6 【答案】A 【解析】 【分析】根据数轴即可确定a的范围，然后根据绝对值和二次根式的性质得出，，再化简即可． 【详解】解：根据数轴可以得到： ， ∴，， ∴ 故选：A． 【点睛】本题主要考查了二次根式的化简，以及绝对值的性质，得出，是解题的关键． 9. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围（ ） A. B. C. 且 D. 且 【答案】C 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义和根的判别式的意义得到 且然后解两个不等式得到它们的公共部分即可； 【详解】解：根据题意得 且， 解得 且 ， 故选：C． 【点睛】本题考查了根的判别式和一元二次方程的定义，能根据题意得出关于的不等式是解此题 的关键 10. 如图，直线l的解析式为，点，轴交直线l于点；点为y轴上位于上方的一点，且，轴交直线l于点；点为y轴上位于上方的一点，且，轴交直线l于点，按此规律，线段的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据解析式得出：，，，从而得出规律，再计算的长度即可． 【详解】解：∵， ∴将代入得：， ∴， ∴ ∴将代入得：， ∴， ∴, ∴将代入得：， ， ∴ ∴ ∴ 故选：C． 【点睛】本题考查一次函数的性质，点的坐标的规律，正确得出规律是解题的关键． 第II卷（非选择题） 二、填空题（共24分） 11. 使代数式有意义的x的取值范围是_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式被开方数必须是非负数的条件，要使在实数范围内有意义，必须，从而可得答案． 【详解】解：代数式有意义， 故答案为： 12. 当时，代数式的值是_____． 【答案】2017 【解析】 【分析】根据得到，把x2-4x+4变形为（x-2）2，再代入求值即可． 【详解】解：∵ ∴x-2= ∴x2-4x+4=（x-2）2 =2017 故答案为2017． 【点睛】本题考查了二次根式的化简求值，掌握完全平方公式是解题的关键． 13. 已知一元二次方程有两个相等的实数根，则k的值是 _____． 【答案】4 【解析】 【分析】由关于一元二次方程有两个相等的实数根，即可得根的判别式且，继而可求得的值． 【详解】解：∵一元二次方程， ∴，且， 解得：． 故答案为：4． 【点睛】此题考查了一元二次方程根的判别式的知识．此题比较简单，注意掌握一元二次方程有两个相等的实数根，即可得． 14. 实数在数轴上的位置如图所示，化简=______________ 【答案】a. 【解析】 【分析】先根据数轴判断出a、b的正负情况以及两数绝对值的大小，然后根据绝对值的性质以及二次根式的性质解答即可． 【详解】解：由数轴可知，a<0，b>0，|a|>|b| 所以，a-b<0， =|b|-|a-b|=b-(b-a)=b-b+a=a. 故答案为a. 【点睛】本题考查实数与数轴，绝对值的性质以及二次根式的性质，解题关键是根据数轴判断出a、b的正负情况． 15. 工人师傅童威准备在一块长为60，宽为48的长方形花圃内修建四条宽度相等，且与各边垂直的小路．四条小路围成的中间部分恰好是一个正方形，且边长是小路宽度的8倍．若四条小路所占面积为160．设小路的宽度为x，依题意列方程，化为一般形式为_________ 【答案】16x2+108x-160=0． 【解析】 【分析】设小路的宽度为x米，则小正方形的边长为8x米，根据小路的横向总长度（60+8x）米和纵向总长度（48+8x）米，结合矩形的面积公式得到：（60+8x+48+8x）x=160．进行整理即可． 【详解】设小路的宽度为x米，则小正方形的边长为8x米， 依题意得：（60+8x+48+8x）x=160． 整理得：16x2+108x-160=0． 故答案为16x2+108x-160=0． 【点睛】考查了一元二次方程的应用，解题的关键是找到该小路的总的长度，利用矩形的面积公式列出方程． 16. 如图，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=9cm，点E，F分别在边AB，BC上，AE=2cm，BD，EF交于点G，若G是EF的中点，则BG的长为____________cm． 【答案】 【解析】 【分析】根据矩形的性质可得AB=CD=6cm，∠ABC=∠C=90°，AB∥CD，从而可得∠ABD=∠BDC，然后利用直角三角形斜边上的中线可得EG=BG，从而可得∠BEG=∠ABD，进而可得∠BEG=∠BDC，再证明△EBF∽△DCB，利用相似三角形的性质可求出BF的长，最后在Rt△BEF中，利用勾股定理求出EF的长，即可解答． 【详解】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴AB=CD=6cm，∠ABC=∠C=90°，AB∥CD， ∴∠ABD=∠BDC， ∵AE=2cm， ∴BE=AB-AE=6-2=4（cm）， ∵G是EF的中点， ∴EG=BG=EF， ∴∠BEG=∠ABD， ∴∠BEG=∠BDC， ∴△EBF∽△DCB， ∴， ∴， ∴BF=6， ∴EF=（cm）， ∴BG=EF=（cm）， 故答案为：． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，矩形的性质，直角三角形斜边上的中线，熟练掌握直角三角形斜边上的中线，以及相似三角形的判定与性质是解题的关键． 三、解答题（共86分） 17. （1）计算： （2）解方程： 【答案】（1）；（2）， 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算、零次幂、绝对值和解一元二次方程，准确的计算是解决本题的关键． （1）根据零指数幂、立方根、绝对值和二次根式的混合运算法则进行求解即可； （2）根据一元二次方程的配方法解方程即可． 【详解】解：（1） ； （2） ∵ ∴ ∴，． 18. 先化简，再求值：÷（-m-1）其中m是方程m2-4m-12=0的根． 【答案】，． 【解析】 【分析】先把分式运算中的括号里化简，再用括号外分式乘以其倒数，最后化简；解一元二次方程得到m两个值，根据分式有意义的条件进行取舍后代入化简后的式子可求值． 【详解】解：原式= = =．  解方程m2-4m-12=0 得m=-2或6， 当m=-2时，分式无意义，所以m=6． 当m=6时，原式=． 【点睛】本题主要考查了分式的化简求值，以及解一元二次方程，解决这类问题要注意在计算的过程中要使分式有意义的条件． 19. 已知是方程的两根，在不解方程的前提下，求下列各式的值． （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系．由一元二次方程的根与系数的关系可得，； （1）将所求式子变形为，然后整体代入上面两个式子计算即可； （2）先求得，再根据平方根的定义计算即可． 【小问1详解】 解：∵，，是一元二次方程的两根， ∴，． ∴； 【小问2详解】 解：∵，，是一元二次方程的两根， ∴，． ∴ ， ∴． 20. （1）计算：； （2）若，求的值． 【答案】（1）；（2）4 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，正确对二次根式进行分母有理化是解题的关键． （1）首先把每个式子分母有理化，化成根式的和、差形式即可化简求解； （2）根据二次根式的性质化简，根据完全平方公式得到，再整体代入计算即可得到答案． 【详解】解：（1） ； （2）∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴. 21. 阅读下面的例题． 解方程． 解：原方程化为． 令，原方程化成，解得，． 当时，；当时（不合题意，舍去）． ∴原方程的解是，． 请模仿上面的方法解方程：． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了换元法解一元二次方程、绝对值的性质及一元二次方程的解法，解题的关键是通过换元法将含绝对值的复杂方程转化为普通的一元二次方程，再结合绝对值的非负性对解进行取舍． 先根据，将原方程化为；令，将方程转化为关于的一元二次方程，求解得，；根据绝对值的非负性，舍去；解，得，进而求出，． 【详解】解：原方程化为， 令，原方程化成， 解得：，， 当， ， 解得：，； 当时（舍去）． 则原方程的解是，． 22. 如图，某数学兴趣小组想测量一棵树CD的高度，他们先在点A处测得树顶C的仰角为30°，然后沿AD方向前行10m，到达B点，在B处测得树顶C的仰角高度为60°（A、B、D三点在同一直线上）．请你根据他们测量数据计算这棵树CD的高度（结果精确到0.1m）．（参考数据：≈1.414，≈1.732） 【答案】这棵树CD的高度为8.7米 【解析】 【详解】试题分析：首先利用三角形的外角的性质求得∠ACB的度数，得到BC的长度，然后在直角△BDC中，利用三角函数即可求解． 试题解析：∵∠CBD=∠A+∠ACB， ∴∠ACB=∠CBD﹣∠A=60°﹣30°=30°， ∴∠A=∠ACB， ∴BC=AB=10（米）． 在直角△BCD中，CD=BCsin∠CBD=10×=5≈5×1.732=8.7（米）． 答：这棵树CD的高度为8.7米． 考点：解直角三角形的应用 23. 定义：已知是关于x的一元二次方程的两个实数根，若，且，则称这个方程为“限根方程”．如：一元二次方程的两根为，因，，所以一元二次方程为“限根方程”． 请阅读以上材料，回答下列问题： （1）判断一元二次方程是否为“限根方程”，并说明理由； （2）若关于x的一元二次方程是“限根方程”，且两根满足，求k的值； （3）若关于x的一元二次方程是“限根方程”，求m的取值范围． 【答案】（1） 此方程为“限根方程”， 理由：， ， ∴或， ∴． ∵，， ∴此方程为“限根方程”； （2）k的值为2 （3）m的取值范围为或 【解析】 【分析】（1）解该一元二次方程，得出，再根据“限根方程”的定义判断即可； （2）由一元二次方程根与系数的关系可得出，，代入，即可求出，．再结合“限根方程”的定义分类讨论舍去不合题意的值即可； （3）解该一元二次方程，得出或．再根据此方程为“限根方程”，即得出此方程有两个不相等的实数根，结合一元二次方程根的判别式即可得出，且，可求出m的取值范围．最后分类讨论即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵方程的两个根分比为， ∴， ． ∵， ∴， 解得：，． 分类讨论：①当时，原方程为， ∴，， ∴，， ∴此时方程是“限根方程”， ∴符合题意； ②当时，原方程为， ∴，， ∴，， ∴此时方程不是“限根方程”， ∴不符合题意． 综上可知k的值为2； 【小问3详解】 ， ， ∴或， ∴或． ∵此方程为“限根方程”， ∴此方程有两个不相等的实数根， ∴，且， ∴，即， ∴且． 分类讨论：①当时， ∴， ∵， ∴， 解得：； ②当时， ∴， ∵， ∴， 解得：． 综上所述，m的取值范围为或． 【点睛】本题考查解一元二次方程，一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程根的判别式．读懂题意，理解“限根方程”的定义是解题关键． 24. 某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件可盈利40元．为了扩大销售量，增加盈利，尽快减少库存，商场采取适当的降价措施．经调查发现，如果每件降价1元，商场平均每天可多售出2件． （1）若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？ （2）该商场平均每天盈利能达到1500元吗？如果能，求出此时应降价多少；如果不能，请说明理由； （3）该商场平均每天盈利最多多少元？达到最大值时应降价多少元？ 【答案】（1）20元； （2）不能达到1500元， 假设能达到，由题意，得， 整理，得， ， 即：该方程无解， 所以，商场平均每天盈利不能达到1500元； （3）平均每天盈利最多1250元，达到最大值时应降价15元． 【解析】 【分析】（1）设每件衬衫应降价元，则每件盈利元，每天可以售出，所以此时商场平均每天要盈利元，根据商场平均每天要盈利元，为等量关系列出方程求解即可． （2）假设能达到，根据商场平均每天要盈利元，为等量关系列出方程，看该方程是否有解，有解则说明能达到，否则不能． （3）设商场平均每天盈利元，由（1）可知商场平均每天盈利元与每件衬衫应降价元之间的函数关系为：，用“配方法”求出该函数的最大值，并求出降价多少． 【详解】解：（1）设每件衬衫应降价元，则每件盈利元，每天可以售出， 由题意，得， 即：， 解，得，， 为了扩大销售量，增加盈利，尽快减少库存，所以的值应为20， 所以，若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价20元； （2） 略 （3）设商场平均每天盈利元，每件衬衫应降价元， 由题意，得， ， ， ， 当元时，该函数取得最大值为1250元， 所以，商场平均每天盈利最多1250元，达到最大值时应降价15元． 【点睛】本题主要考查一元二次方程的应用，和二次函数的最值，关键在于理解清楚题意找出等量关系列出方程求解，另外还用到的知识点有“根的判别式”和用“配方法”求函数的最大值． 25. 如图1，在等边中，，点D，E分别在边上，，连接，点M，P，N分别为的中点． （1）观察猜想：图1中，线段与的数量关系是 ， ； （2）探究证明：把绕点A逆时针方向旋转到图2的位置，连接，则上面题（1）中的两个结论是否依然成立，并说明理由； （3）拓展延伸：把绕点A在平面内自由旋转，若，请直接写出周长的最大值 【答案】（1），； （2）成立，理由如下： ∵AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=60°，∠ABC=∠ACB=60°， ∴∠BAD=∠CAE， ∵AB=AC，∠BAD=∠CAE，AD=AE， ∴△ABD≌△ACE（SAS）， ∴BD=CE， ∵DM=ME，DP=PC，BN=NC， ∴MP=EC，PM∥EC，PN=BD，PN∥BD， ∴MP=PN， ∴△PMN是等腰三角形． ∵PM∥CE， ∴∠DPM=∠DCE， ∵PN∥BD， ∴∠PNC=∠DBC， ∵∠DPN=∠DCB+∠PNC=∠DCB+∠DBC， ∴∠MPN=∠DPM+∠DPN=∠DCE+∠DCB+∠DBC=∠BCE+∠DBC=∠ACB+∠ACE+∠DBC=∠ACB+∠ABD+∠DBC=∠ACB+∠ABC， ∵∠BAC=60°， ∴∠ACB+∠ABC=120°， ∴∠MPN=120°， ∴PM=PN，∠MPN=120°； （3） 【解析】 【分析】（1）利用三角形的中位线定理以及平行线的性质解决问题即可； （2）证明△ABD≌△ACE（SAS），推出BD=CE，再利用三角形的中位线定理解决问题即可； （3）首先证明点D恰好在BA延长线上时，PM 、PN的最大值为7，再利用30度角的直角三角形的性质以及勾股定理，求出M N的长度即可解决问题． 【详解】解：（1）∵△ABC是等边三角形， ∴AB=AC，∠A=60°， ∵AD=AE， ∴AB-AD=AC-AE，即BD=CE， ∵M，P，N分别是DE，DC，BC的中点， ∴MP=EC，PM∥EC，PN=BD，PN∥BD， ∴PM=PN，∠MPD=∠ACD，∠NPD=∠ADC， 在△ACD中，∠ADC+∠ACD=180°-∠A=120°， ∴∠MPN=∠MPD+∠NPD=120°． 故答案为：PM=PN，120°； （2）略 （3）由（2）知：PM=PN，∠MPN=120°， ∵BD≤AB+AD， ∴BD≤14， ∴点D恰好在BA延长线上时，BD、CE取得最大值，且最大值为14， ∴PM 、PN的最大值为7， 此时MN经过点A，即MN垂直平分BC，如图： ∵△ABC、△ADE是等边三角形，且AD=4，AB=10， ∴∠BAN=∠DAM=30°， ∴BN=CN=5，DM=EM=2， ∴AN=5，AM=2， ∴△PMN周长的最大值为PM+PN+MN=7+7+5+2=14+7． 【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的中位线定理，三角形的面积等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考压轴题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 资阳市安岳县安岳中学九年级上期半期考试 数学 注意事项： 1.答卷前考生务必把自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2.回答选择题时用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑；回答非选择题时，用0.5毫米黑色墨迹签字笔将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3.试卷满分150分，考试时间120分钟，考试结束后将本试卷和答题卡一并交回． 第I卷（选择题） 一、单选题（共40分） 1. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 要使式子有意义，则x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 3. 下列二次根式与不是同类二次根式的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在中，点D， E分别在边 ， 上，且， 若 ， 的面积是 2，则的面积是( ) A. 3 B. 4 C. 8 D. 5. 在平面直角坐标系中，将点向右平移个单位，再向下平移个单位，得到的点的坐标为（ ） A. B. C. D. 6. 近年来，由于新能源汽车的崛起，燃油汽车的销量出现了不同程度的下滑，经销商纷纷开展降价促销活动．某款燃油汽车今年3月份售价为万元，5月份售价为万元．设该款汽车这两月售价的月均下降率是x，则所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，点P是△ABC的重心，过点P作DEAC交BC，AB于D，E，EFBC交AC于点F，若AC=8，BC=11，则四边形CDEF的周长为（　　） A. 9 B. 18 C. 19 D. 20 8. 已知实数a在数轴上的位置如图所示，则化简：的结果为（ ） A. 2 B. -2 C. 2a-6 D. -2a+6 9. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围（ ） A. B. C. 且 D. 且 10. 如图，直线l的解析式为，点，轴交直线l于点；点为y轴上位于上方的一点，且，轴交直线l于点；点为y轴上位于上方的一点，且，轴交直线l于点，按此规律，线段的长为（ ） A. B. C. D. 第II卷（非选择题） 二、填空题（共24分） 11. 使代数式有意义的x的取值范围是_______． 12. 当时，代数式的值是_____． 13. 已知一元二次方程有两个相等的实数根，则k的值是 _____． 14. 实数在数轴上的位置如图所示，化简=______________ 15. 工人师傅童威准备在一块长为60，宽为48的长方形花圃内修建四条宽度相等，且与各边垂直的小路．四条小路围成的中间部分恰好是一个正方形，且边长是小路宽度的8倍．若四条小路所占面积为160．设小路的宽度为x，依题意列方程，化为一般形式为_________ 16. 如图，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=9cm，点E，F分别在边AB，BC上，AE=2cm，BD，EF交于点G，若G是EF的中点，则BG的长为____________cm． 三、解答题（共86分） 17. （1）计算： （2）解方程： 18. 先化简，再求值：÷（-m-1）其中m是方程m2-4m-12=0的根． 19. 已知是方程的两根，在不解方程的前提下，求下列各式的值． （1） （2） 20. （1）计算：； （2）若，求的值． 21. 阅读下面的例题． 解方程． 解：原方程化为． 令，原方程化成，解得，． 当时，；当时（不合题意，舍去）． ∴原方程的解是，． 请模仿上面的方法解方程：． 22. 如图，某数学兴趣小组想测量一棵树CD的高度，他们先在点A处测得树顶C的仰角为30°，然后沿AD方向前行10m，到达B点，在B处测得树顶C的仰角高度为60°（A、B、D三点在同一直线上）．请你根据他们测量数据计算这棵树CD的高度（结果精确到0.1m）．（参考数据：≈1.414，≈1.732） 23. 定义：已知是关于x的一元二次方程的两个实数根，若，且，则称这个方程为“限根方程”．如：一元二次方程的两根为，因，，所以一元二次方程为“限根方程”． 请阅读以上材料，回答下列问题： （1）判断一元二次方程是否为“限根方程”，并说明理由； （2）若关于x的一元二次方程是“限根方程”，且两根满足，求k的值； （3）若关于x的一元二次方程是“限根方程”，求m的取值范围． 24. 某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件可盈利40元．为了扩大销售量，增加盈利，尽快减少库存，商场采取适当的降价措施．经调查发现，如果每件降价1元，商场平均每天可多售出2件． （1）若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？ （2）该商场平均每天盈利能达到1500元吗？如果能，求出此时应降价多少；如果不能，请说明理由； （3）该商场平均每天盈利最多多少元？达到最大值时应降价多少元？ 25. 如图1，在等边中，，点D，E分别在边上，，连接，点M，P，N分别为的中点． （1）观察猜想：图1中，线段与的数量关系是 ， ； （2）探究证明：把绕点A逆时针方向旋转到图2的位置，连接，则上面题（1）中的两个结论是否依然成立，并说明理由； （3）拓展延伸：把绕点A在平面内自由旋转，若，请直接写出周长的最大值 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $