2024-2025学年人教版数学八年级上册期末必刷常考题：分式方程

2024-2025学年上学期初中数学人教版八年级期末必刷常考题之分式方程 一．选择题（共5小题） 1．（2024春•普陀区期末）下列关于x的方程中，属于分式方程的是（　　） A． B． C． D． 2．（2024秋•长安区校级期中）分式方程1的解是（　　） A．x B．x C．x D．方程无解 3．（2024秋•长安区校级期中）国庆期间，几个同学租一辆面包车去游览，面包车的租价为300元，出发时又增加了两名同学，结果每个同学比原来少摊了5元钱车费，设原来参加游览的同学共x人，可列方程为（　　） A． B． C． D． 4．（2024•辽宁二模）把分式方程化为整式方程，方程两边需同时乘以（　　） A．2x B．2x﹣4 C．2x（x﹣2） D．2x（2x﹣4） 5．（2024•凉州区二模）小东一家自驾车去某地旅行，手机导航系统推荐了两条线路，线路一全程75km，线路二全程90km，汽车在线路二上行驶的平均时速是线路一上车速的1.8倍，线路二的用时预计比线路一用时少半小时，如果设汽车在线路一上行驶的平均速度为x km/h，则下面所列方程正确的是（　　） A． B． C． D． 二．填空题（共5小题） 6．（2024•港南区四模）定义一种新运算：对于任意的非零实数a，b满足．若，则x的值为 　 　． 7．（2024秋•新邵县期中）若关于x的分式方程无解，则m的值是 　 　． 8．（2024秋•昌平区期中）关于x的方程（a为常数）无解，则a＝ 　 　． 9．（2024秋•鸡泽县期中）如图是一个电脑运算程序图，当输入不相等的a，b后，按照程序图运行，会输出一个结果．若a＝5，b＝x时，输出的结果为2，则x的值为 　 　． 10．（2024春•梧州期末）已知关于x的方程3的解是正数，则m的取值范围为　 　． 三．解答题（共5小题） 11．（2024秋•莱芜区期中）阅读下面材料，解答后面的问题 解方程：． 解：设，则原方程化为：，方程两边同时乘y得：y2﹣4＝0， 解得：y＝±2， 经检验：y＝±2都是方程的解，∴当y＝2时，，解得：x＝﹣1， 当y＝﹣2时，，解得：， 经检验：x＝﹣1或都是原分式方程的解， ∴原分式方程的解为x＝﹣1或．上述这种解分式方程的方法称为换元法． 【解决问题】 （1）若方程，设，则原方程可化为 　 　． （2）模仿上述换元法解方程：． 12．（2024秋•北碚区校级期中）解方程： （1）； （2）． 13．（2024•邗江区校级一模）习总书记在党的第二十次全国代表大会上，报告指出：“积极稳妥推进碳达峰碳中和”．某公司积极响应节能减排号召，决定采购新能源A型和B型两款汽车，已知每辆A型汽车进价是每辆B型汽车进价的1.5倍，若用1500万元购进A型汽车的数量比1200万元购进B型汽车的数量少20辆．求每辆B型汽车进价是多少万元？ 14．（2024秋•朝阳区校级期中）若关于y的分式方程的解是正数，求a的取值范围． 15．（2024•武威二模）某商场计划购进一批篮球和足球，其中篮球的单价比足球的单价多30元，已知用360元购进的足球和用480元购进的篮球数量相等． （1）篮球和足球的单价各是多少元？ （2）若篮球售价为每个150元，足球售价为每个110元，商场售出足球的数量比篮球数量的三分之一还多10个，且获利超过1300元，问篮球最少要卖多少个？ 2024-2025学年上学期初中数学人教版八年级期末必刷常考题之分式方程 参考答案与试题解析 一．选择题（共5小题） 1．（2024春•普陀区期末）下列关于x的方程中，属于分式方程的是（　　） A． B． C． D． 【考点】分式方程的定义．版权所有 【专题】分式方程及应用；数感． 【答案】D 【分析】分母中含有未知数的有理方程即为分式方程，据此进行判断即可． 【解答】解：A中方程的分母中不含未知数，则A不符合题意； B中方程的分母中不含未知数，则B不符合题意； C中方程不是有理方程，则C不符合题意； D中方程符合分式方程的定义，则D符合题意； 故选：D． 【点评】本题考查分式方程的定义，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握． 2．（2024秋•长安区校级期中）分式方程1的解是（　　） A．x B．x C．x D．方程无解 【考点】解分式方程；分式方程的解．版权所有 【专题】分式方程及应用；运算能力． 【答案】C 【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解． 【解答】解：去分母得：2x＝﹣（x﹣2）， 去括号得：2x＝﹣x+2， 移项得：2x+x＝2， 合并得：3x＝2， 系数化为1，得：x， 检验：把x代入得：x﹣2≠0， ∴分式方程的解为x． 故选：C． 【点评】此题考查了解分式方程，以及分式方程的解，熟练掌握分式方程的解法是解本题的关键． 3．（2024秋•长安区校级期中）国庆期间，几个同学租一辆面包车去游览，面包车的租价为300元，出发时又增加了两名同学，结果每个同学比原来少摊了5元钱车费，设原来参加游览的同学共x人，可列方程为（　　） A． B． C． D． 【考点】由实际问题抽象出分式方程．版权所有 【专题】分式方程及应用；应用意识． 【答案】D 【分析】设原来参加游览的同学共x人，面包车的租价为300元，出发时又增加了两名同学，结果每个同学比原来少摊了5元钱车费，可列方程． 【解答】解：设原来参加游览的同学共x人，由题意得， 5． 故选：D． 【点评】本题考查由实际问题抽象出分式方程，关键以钱数差价作为等量关系列方程． 4．（2024•辽宁二模）把分式方程化为整式方程，方程两边需同时乘以（　　） A．2x B．2x﹣4 C．2x（x﹣2） D．2x（2x﹣4） 【考点】解分式方程．版权所有 【答案】C 【分析】首先找最简公分母，再化成整式方程． 【解答】解：由2x﹣4＝2（x﹣2），另一个分母为2x， 故可得方程最简公分母为2x（x﹣2）． 故选：C． 【点评】本题考查的是解分式方程，最简公分母的确定时将分式方程转化为整式方程的第一步，因此要根据所给分母确定最简公分母． 5．（2024•凉州区二模）小东一家自驾车去某地旅行，手机导航系统推荐了两条线路，线路一全程75km，线路二全程90km，汽车在线路二上行驶的平均时速是线路一上车速的1.8倍，线路二的用时预计比线路一用时少半小时，如果设汽车在线路一上行驶的平均速度为x km/h，则下面所列方程正确的是（　　） A． B． C． D． 【考点】由实际问题抽象出分式方程．版权所有 【专题】应用题． 【答案】A 【分析】设汽车在线路一上行驶的平均速度为x km/h，则在线路二上行驶的平均速度为1.8x km/h，根据线路二的用时预计比线路一用时少半小时，列方程即可． 【解答】解：设汽车在线路一上行驶的平均速度为x km/h，则在线路二上行驶的平均速度为1.8x km/h， 由题意得：， 故选：A． 【点评】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是，读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列出方程． 二．填空题（共5小题） 6．（2024•港南区四模）定义一种新运算：对于任意的非零实数a，b满足．若，则x的值为 　﹣2　． 【考点】解分式方程；实数的运算．版权所有 【专题】分式方程及应用；运算能力． 【答案】﹣2． 【分析】根据题意列得方程，解方程即可． 【解答】解：由题意得：， 整理得：， 去分母得：x＝2x+2， 解得：x＝﹣2， 检验：当x＝﹣2时，x（x+1）≠0， 故原方程的解为x＝﹣2， 故答案为：﹣2． 【点评】本题考查解分式方程，根据题意列得正确的方程是解题的关键． 7．（2024秋•新邵县期中）若关于x的分式方程无解，则m的值是 　1或　． 【考点】分式方程的解．版权所有 【专题】分式方程及应用；运算能力． 【答案】1或． 【分析】本题考查了分式方程的无解问题，先把分式方程化为整式方程得到（m﹣1）x＝﹣1，由于关于x的分式方程无解，分两种情况可求得m． 【解答】解： 去分母，得mx﹣1﹣1＝x﹣3， （m﹣1）x＝﹣1． ∵关于x的分式方程无解， 当m﹣1＝0时，原方程无解， ∴m＝1， ∵最简公分母x﹣3＝0， ∴x＝3， 当x＝3时，得， 综上m的值为1或． 故答案为：1或． 【点评】本题考查了分数方程求解，解决本题的关键是把分式方程转化为整式方程，然后把整式方程的解代入原方程进行检验，若整式方程的解使分式方程的分母不为零，则这个整式方程的解是分式方程的解；若整式方程的解使分式方程的分母为零，则这个整式方程的解是分式方程的增根． 8．（2024秋•昌平区期中）关于x的方程（a为常数）无解，则a＝ 　2　． 【考点】分式方程的解．版权所有 【专题】分式方程及应用；运算能力． 【答案】2． 【分析】解分式方程，当x取增根时求出a的值即可． 【解答】解：去分母，得2＝x﹣1+a， 移项、合并同类项，得x＝3﹣a， x＝1是原分式方程的增根，即3﹣a＝1， 解得a＝2， ∴当a＝2时，原分式方程无解． 故答案为：2． 【点评】本题考查分式方程的解，掌握分式方程的解法是解题的关键． 9．（2024秋•鸡泽县期中）如图是一个电脑运算程序图，当输入不相等的a，b后，按照程序图运行，会输出一个结果．若a＝5，b＝x时，输出的结果为2，则x的值为 　或10　． 【考点】解分式方程．版权所有 【专题】分式方程及应用；运算能力． 【答案】或10． 【分析】分类讨论；分x＜5，x＞5两种情况，解分式方程即可． 【解答】解：由题意得：当x＜5时， 方程为， 解得：， 经检验，是分式方程的解； 当x＞5时， 方程为， 解得：x＝10， 经检验，x＝10是分式方程的解； 综上，x的值为或10． 故答案为：或10． 【点评】本题考查了解分式方程，结合已知条件进行正确的分类讨论是解题的关键． 10．（2024春•梧州期末）已知关于x的方程3的解是正数，则m的取值范围为　m＜6且m≠4　． 【考点】分式方程的解；解一元一次不等式．版权所有 【专题】分式方程及应用． 【答案】见试题解答内容 【分析】首先求出关于x的方程的解，然后根据解是正数，再解不等式求出m的取值范围． 【解答】解：解关于x的方程3得x＝﹣m+6， ∵x﹣2≠0，解得x≠2， ∵方程的解是正数， ∴﹣m+6＞0且﹣m+6≠2， 解这个不等式得m＜6且m≠4． 故答案为：m＜6且m≠4． 【点评】本题考查了分式方程的解，是一个方程与不等式的综合题目，解关于x的方程是关键，解关于x的不等式是本题的一个难点． 三．解答题（共5小题） 11．（2024秋•莱芜区期中）阅读下面材料，解答后面的问题 解方程：． 解：设，则原方程化为：，方程两边同时乘y得：y2﹣4＝0， 解得：y＝±2， 经检验：y＝±2都是方程的解，∴当y＝2时，，解得：x＝﹣1， 当y＝﹣2时，，解得：， 经检验：x＝﹣1或都是原分式方程的解， ∴原分式方程的解为x＝﹣1或．上述这种解分式方程的方法称为换元法． 【解决问题】 （1）若方程，设，则原方程可化为 　0　． （2）模仿上述换元法解方程：． 【考点】换元法解分式方程．版权所有 【专题】分式方程及应用；运算能力． 【答案】（1）0； （2）x1＝﹣3.5，x2＝﹣1.25． 【分析】（1）根据题意将原方程换元即可； （2）利用换元法解方程后进行检验即可． 【解答】解：（1）若方程，设，则原方程可化为0， 故答案为：0； （2）设m， 则原方程化为m0， 解得：m1＝3，m2＝﹣3， 经检验，m1＝3，m2＝﹣3都是方程m0的解， 当3时， 解得：x＝﹣3.5， 经检验，x＝﹣3.5是方程3的解； 当3时， 解得：x＝﹣1.25， 经检验，x＝﹣1.25是方程3的解； 故原方程的解为x1＝﹣3.5，x2＝﹣1.25． 【点评】本题考查换元法解分式方程，掌握用换元法解分式方程的结构特征是正确解答的关键． 12．（2024秋•北碚区校级期中）解方程： （1）； （2）． 【考点】解分式方程．版权所有 【专题】分式方程及应用；运算能力． 【答案】（1）x；（2）原方程无解． 【分析】（1）利用解分式方程的一般步骤解答即可； （2）利用解分式方程的一般步骤解答即可． 【解答】解：（1）去分母得： 2x﹣3＝2（2x﹣1）， 去括号得： 2x﹣3＝4x﹣2， 移项，合并同类项得： ﹣2x＝1， ∴x． 经检验：x是原方程的解． ∴原方程的解为x． （2）去分母得： 8+x2﹣4＝x（x+2）， 去括号得： 8+x2﹣4＝x2+2x， 移项，合并同类项得： 2x＝4， ∴x＝2． 经检验：x＝2是原方程的增根． ∴原方程无解． 【点评】本题主要考查了分式方程的解法，熟练掌握分式方程解法的一般步骤是解题的关键． 13．（2024•邗江区校级一模）习总书记在党的第二十次全国代表大会上，报告指出：“积极稳妥推进碳达峰碳中和”．某公司积极响应节能减排号召，决定采购新能源A型和B型两款汽车，已知每辆A型汽车进价是每辆B型汽车进价的1.5倍，若用1500万元购进A型汽车的数量比1200万元购进B型汽车的数量少20辆．求每辆B型汽车进价是多少万元？ 【考点】分式方程的应用．版权所有 【专题】分式方程及应用；应用意识． 【答案】每辆B型汽车进价是10万元． 【分析】设每辆B型汽车进价是x万元，则每辆A型汽车进价是1.5x万元，利用数量＝总价÷单价，结合用1500万元购进A型汽车的数量比1200万元购进B型汽车的数量少20辆，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，即可得出结论． 【解答】解：设每辆B型汽车进价是x万元，则每辆A型汽车进价是1.5x万元， 根据题意得：20， 解得：x＝10， 经检验，x＝10是所列方程的解，且符合题意． 答：每辆B型汽车进价是10万元． 【点评】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 14．（2024秋•朝阳区校级期中）若关于y的分式方程的解是正数，求a的取值范围． 【考点】分式方程的解；解分式方程；解一元一次不等式．版权所有 【专题】分式方程及应用；运算能力． 【答案】a＜8且a≠2． 【分析】先根据解分式方程的方法求出x，然后再根据分式方程的解是正数列出不等式，根据解一元一次不等式的方法求解即可． 【解答】解：， 方程两边同乘（y﹣2），得y+a﹣2a＝4（y﹣2）， 整理，得3y＝8﹣a， ∴， ∵y＞0，且y≠2， 0，且2， 解得：a＜8且a≠2， ∴a的取值范围为a＜8且a≠2． 【点评】本题考查了解分式方程，解一元一次不等式，分式方程的解，熟练掌握解分式方程的方法，解一元一次不等式的方法是解题的关键． 15．（2024•武威二模）某商场计划购进一批篮球和足球，其中篮球的单价比足球的单价多30元，已知用360元购进的足球和用480元购进的篮球数量相等． （1）篮球和足球的单价各是多少元？ （2）若篮球售价为每个150元，足球售价为每个110元，商场售出足球的数量比篮球数量的三分之一还多10个，且获利超过1300元，问篮球最少要卖多少个？ 【考点】分式方程的应用；一元一次不等式的应用．版权所有 【专题】分式方程及应用；一元一次不等式（组）及应用；应用意识． 【答案】（1）篮球的单价是120元，足球的单价是90元； （2）篮球最少要卖33个． 【分析】（1）设足球的单价是x元，则篮球的单价是（x+30）元，利用数量＝总价÷单价，结合用360元购进的足球和用480元购进的篮球数量相等，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，可得出足球的单价，再将其代入（x+30）中，即可求出篮球的单价； （2）设篮球卖了y个，则足球卖了（y+10）个，利用总利润＝每个的销售利润×销售数量，结合总利润超过1300元，可列出关于y的一元一次不等式，解之可得出y的取值范围，再结合y，y+10均为正整数，即可得出结论． 【解答】解：（1）设足球的单价是x元，则篮球的单价是（x+30）元， 根据题意得：， 解得：x＝90， 经检验，x＝90是所列方程的解，且符合题意， ∴x+30＝90+30＝120． 答：篮球的单价是120元，足球的单价是90元； （2）设篮球卖了y个，则足球卖了（y+10）个， 根据题意得：（150﹣120）y+（110﹣90）（y+10）＞1300， 解得：y＞30， 又∵y，y+10均为正整数， ∴y的最小值为33． 答：篮球最少要卖33个． 【点评】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． 考点卡片 1．实数的运算 （1）实数的运算和在有理数范围内一样，值得一提的是，实数既可以进行加、减、乘、除、乘方运算，又可以进行开方运算，其中正实数可以开平方． （2）在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行． 另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用． 【规律方法】实数运算的“三个关键” 1．运算法则：乘方和开方运算、幂的运算、指数（特别是负整数指数，0指数）运算、根式运算、特殊三角函数值的计算以及绝对值的化简等． 2．运算顺序：先乘方，再乘除，后加减，有括号的先算括号里面的，在同一级运算中要从左到右依次运算，无论何种运算，都要注意先定符号后运算． 3．运算律的使用：使用运算律可以简化运算，提高运算速度和准确度． 2．分式方程的定义 分式方程的定义：分母中含有未知数的方程叫做分式方程． 判断一个方程是否为分式方程主要是看这个方程的分母中是否含有未知数． 3．分式方程的解 求出使分式方程中令等号左右两边相等且分母不等于0的未知数的值，这个值叫方程的解． 注意：在解方程的过程中因为在把分式方程化为整式方程的过程中，扩大了未知数的取值范围，可能产生增根，增根是令分母等于0的值，不是原分式方程的解． 4．解分式方程 （1）解分式方程的步骤：①去分母；②求出整式方程的解；③检验；④得出结论． （2）解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中的分母为0，所以应如下检验： ①将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解． ②将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值为0，则整式方程的解不是原分式方程的解． 所以解分式方程时，一定要检验． 5．换元法解分式方程 1、解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法． 换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理． 2、我们常用的是整体换元法，是在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，当然有时候要通过变形才能发现． 6．由实际问题抽象出分式方程 由实际问题抽象出分式方程的关键是分析题意找出相等关系． （1）在确定相等关系时，一是要理解一些常用的数量关系和一些基本做法，如行程问题中的相遇问题和追击问题，最重要的是相遇的时间相等、追击的时间相等． （2）列分式方程解应用题要多思、细想、深思，寻求多种解法思路． 7．分式方程的应用 1、列分式方程解应用题的一般步骤：设、列、解、验、答． 必须严格按照这5步进行做题，规范解题步骤，另外还要注意完整性：如设和答叙述要完整，要写出单位等． 2、要掌握常见问题中的基本关系，如行程问题：速度＝路程时间；工作量问题：工作效率＝工作量工作时间 等等． 列分式方程解应用题一定要审清题意，找相等关系是着眼点，要学会分析题意，提高理解能力． 8．解一元一次不等式 根据不等式的性质解一元一次不等式 基本操作方法与解一元一次方程基本相同，都有如下步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤化系数为1． 以上步骤中，只有①去分母和⑤化系数为1可能用到性质3，即可能变不等号方向，其他都不会改变不等号方向． 注意：符号“≥”和“≤”分别比“＞”和“＜”各多了一层相等的含义，它们是不等号与等号合写形式． 9．一元一次不等式的应用 （1）由实际问题中的不等关系列出不等式，建立解决问题的数学模型，通过解不等式可以得到实际问题的答案． （2）列不等式解应用题需要以“至少”、“最多”、“不超过”、“不低于”等词来体现问题中的不等关系．因此，建立不等式要善于从“关键词”中挖掘其内涵． （3）列一元一次不等式解决实际问题的方法和步骤： ①弄清题中数量关系，用字母表示未知数． ②根据题中的不等关系列出不等式． ③解不等式，求出解集． ④写出符合题意的解． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$