4.1 比例线段（2） 课件 2024--2025学年浙教版九年级数学上册

4.1 比例线段（2） 第4章 相似三角形 浙教版 九年级上册 学习目标 学习目标 1.了解线段的比的和比例线段的概念. 2.能根据条件写出比例线段. 3.会运用比例线段解决简单的实际问题. 复习回顾 【2】比例的基本性质 【3】解决比例问题的常用方法： ①根据等式的性质（合比和等比）；②设比值参数 【1】成比例的定义 在描述判定方法（SAS）时我们要注意强调这个角是两边的夹角. 3 新知学习 两条线段的长度的比叫做这两条线段的比. 【新知1】两条线段的比 如图，线段OC=2，OC'=4，线段OC与OC' 的比是2：4= ，记做 = ； 线段AB= ，A'B'=2 ，线段AB与A'B'的比是 ∶2 = ，记做 = ． 【注意】求两条线段的比必须选定同一长度单位，但比值与单位的大小无关. 在描述判定方法（SAS）时我们要注意强调这个角是两边的夹角. 4 新知学习 【合作学习】由下图我们还可以看到，线段OC与OC'的比和线段AB与A'B'的比相等，也就是 = ．你还能找到这样的比例吗？       在描述判定方法（SAS）时我们要注意强调这个角是两边的夹角. 5 新知学习 一般地，四条线段a，b，c，d中，如果a与b的比等于c与d的比， 即 = ，那么这四条线段a，b，c，d叫做成比例线段，简称比例线段. 【新知2】成比例线段 在描述判定方法（SAS）时我们要注意强调这个角是两边的夹角. 6 新知学习 【例1】已知线段a=10mm , b=6cm，c=2cm，d=3cm .问这四条线段是否成比例？为什么 答：这四条线段成比例. 即线段a、c、d、b成比例. ∵a=10mm=1cm 在描述判定方法（SAS）时我们要注意强调这个角是两边的夹角. 7 新知学习 【小结】判断给定的四条线段是否成比例的三步骤： (1)排：先将四条线段的长度单位统一，再按大小顺序排列好. (2)算：分别计算出前两条线段的长度之比与后两条线段的长度之比（或者算它们两两的积）. (3)判：若这两个比值相等（或两两的积相等），则这四条线段是成比例线段；若这两个比值不相等（或不存在两两的积相等），则这四条线段不是成比例线段. 在描述判定方法（SAS）时我们要注意强调这个角是两边的夹角. 8 新知学习 【例2】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，DE⊥AC，请找出一组比例线段，并说明理由． 在描述判定方法（SAS）时我们要注意强调这个角是两边的夹角. 9 新知学习 【例3】如图，在菱形ABCD中，AE⊥BC，对角线BD与AC相交于点O.试判断线段AE，AO，BD，BC是否成比例，并说明理由． 在描述判定方法（SAS）时我们要注意强调这个角是两边的夹角. 10 新知学习 【例4】如图表示我国台湾省几个城市的位置关系. 问：基隆市在高雄市的哪一个方向？到高雄市的实际距离是多少千米？ 基隆 台北 台中 台南 高雄 α 比例尺 1∶9000000 北 在描述判定方法（SAS）时我们要注意强调这个角是两边的夹角. 11 新知学习 解：如图，量出高雄市到基隆市的图上距离约35 mm. 设实际距离为s，则， ∴s=35×9000000=315000000(mm)， 即s=315(km). 量得图中∠a=28°. 答：基隆市在高雄市的北偏东28°方向， 到高雄市的实际距离约为315 km. 基隆 台北 台中 台南 高雄 α 比例尺 1∶9000000 北 在描述判定方法（SAS）时我们要注意强调这个角是两边的夹角. 12 新知学习 (2)若△ABC的面积为a，求△BOC的面积． 在描述判定方法（SAS）时我们要注意强调这个角是两边的夹角. 13 新知学习 在描述判定方法（SAS）时我们要注意强调这个角是两边的夹角. 14 新知学习 (2)若△ABC的面积为a，求△BOC的面积． 在描述判定方法（SAS）时我们要注意强调这个角是两边的夹角. 15 学以致用 【1】已知△ABC的三边a，b，c，a＝2，b＝4，c＝3，ha，hb，hc分别为a，b，c上的高，则ha∶hb∶hc＝________． 6：3：4 在描述判定方法（SAS）时我们要注意强调这个角是两边的夹角. 16 学以致用 【2】下面四组线段中，成比例的是(　　) A．a＝2，b＝3，c＝4，d＝5 B．a＝1，b＝2，c＝2，d＝4 C．a＝4，b＝6，c＝8，d＝10 B 在描述判定方法（SAS）时我们要注意强调这个角是两边的夹角. 17 学以致用 【3】已知A，B两地的实际距离AB＝5 km，画在地图上的距离A′B′＝2 cm，则该地图的比例尺为(　　) A．2：5 B．1：2 500 C．250 000：1 D．1：250 000 D 在描述判定方法（SAS）时我们要注意强调这个角是两边的夹角. 18 学以致用 在描述判定方法（SAS）时我们要注意强调这个角是两边的夹角. 19 学以致用 【5】若有一条公共边的两个三角形称为“共边三角形”．如图①，△ABC与△ABD是以AB为公共边的“共边三角形”．“共边三角形”的性质：如图①，共边△ABC与△ABD，连结第三个顶点DC并延长交AB于点E，则 S∆ABC S∆ABD 【问题解决】如图②，在△ABC中，D为BC的中点，E为AD的中点，连结BE并延长交AC于点F，连结DF. (1)找出以BF为公共边的所有“共边三角形”，若△ABC的面积为45 cm2，分别求出这些“共边三角形”的面积； (3)若将“D为BC的中点”条件，改为“BD：DC＝2：3”，则AF：CF＝________． 在描述判定方法（SAS）时我们要注意强调这个角是两边的夹角. 20 学以致用 在描述判定方法（SAS）时我们要注意强调这个角是两边的夹角. 21 学以致用 在描述判定方法（SAS）时我们要注意强调这个角是两边的夹角. 22 学以致用 (3)若将“D为BC的中点”条件，改为“BD：DC＝2：3”，则AF：CF＝________． 2 ∶5　 【解析】 在描述判定方法（SAS）时我们要注意强调这个角是两边的夹角. 23 课堂总结 两条线段的比 成比例线段 判断四条线段是否成比例 比例尺、图上距离和实际距离 成比例线段 在描述判定方法（SAS）时我们要注意强调这个角是两边的夹角. 24 解：(答案不唯一) AB ∶AC＝BC ∶CD.理由： ∵S△ABC＝AB·CD＝AC·BC， ∴AB·CD＝AC·BC. ∴AB：AC＝BC：CD. 【解析】 成比例．理由如下： ∵AE⊥BC，∴S△ABC＝eq \f(1,2)BC·AE. ∵四边形ABCD是菱形， ∴BD⊥AC，AO＝CO， ∴S菱形ABCD＝eq \f(1,2)AC·BD＝AO·BD. ∵S菱形ABCD＝2S△ABC， ∴AO·BD＝BC·AE，即eq \f(AE,AO)＝eq \f(BD,BC). 【例5】如图，已知点D，E分别在边AB，AC上，BE，CD交于点O，＝＝，AB＝7，DB＝4，BC＝9，CD＝10. (1)求DE，CO的长； 解：（1）∵AB＝7，DB＝4， ∴AD＝AB－DB＝7－4＝3. ∴＝. ∴＝＝. ∴DE＝BC＝×9＝， ＝，即＝. ∴CO＝CD＝×10＝7. 解：设点C到AB的距离为h，点B到CD的距离为m. ∵＝＝＝，∴S△DBC＝S△ABC＝a. ∵＝＝＝，∴S△BOC＝S△DBC＝×a＝a. D．a＝，b＝，c＝3，d＝ 【4】已知三条线段的长分别为1 cm，2 cm， cm，如果另外一条线段与它们是成比例线段，那么另外一条线段的长为___________________________． 2 cm或 cm或 cm (2)求证：AF＝AC； 解：(1)以BF为公共边的“共边三角形”为△ABF，△DBF，△CBF.由“共边三角形”的性质得 ＝＝，＝＝， ∴S△ABF:S△DBF:S△CBF＝1︰1︰2. ∵△ABC的面积为45 cm2， ∴S△DBF＝S△ABF＝S△ABC＝15 cm2， S△CBF＝S△ABC＝30 cm2. (2)求证：AF＝AC； 证明:由“共边三角形”的性质得＝， 由(1)得＝， ∴＝.∴＝.∴AF＝AC. 由“共边三角形”的性质得＝＝， ＝＝， ∴S△ABF:S△DBF:S△CBF＝2:2:5. ∴＝＝. $$