3.5确定二次函数的表达式 课件 2024—2025学年鲁教版（五四制）数学九年级上册

第三章 二次函数 5 确定二次函数的表达式 第2课时 确定二次函数的表达式（2） 在确定二次函数的表达式时 （1）若已知三个非特殊条件，常设一般式； （2）若已知二次函数顶点坐标或对称轴，常设顶点式。 确定二次函数的表达式的一般步骤： 1.若无坐标系,首先应建立适当的直角坐标系; 2.设抛物线的表达式; 3.写出相关点的坐标; 4.列方程(或方程组); 5.解方程或方程组,求待定系数; 6.写出函数的表达式。 5 确定二次函数的表达式 第2课时 确定二次函数的表达式（2） 情 境 导 入 2 想一想： 已知一个二次函数的图象所经过的3个点，可以确定这个二次函数的表达式吗？怎样确定这个二次函数的表达式？ 单击此处添加标题文本内容 情境导入 新课探究 课堂小结 例3：已知二次函数的图象经过(－1，10)，(1，4)，(2，7)，求这个函数的表达式，并写出它的对称轴和顶点坐标。 分析：要求二次函数的表达式，可设y=ax2+bx+c，然后一个点对应一个方程，列出三元一次方程组，求出a,b,c。 5 确定二次函数的表达式 第2课时 确定二次函数的表达式（2） 新 课 探 究 解：设所求二次函数的表达式为y=ax2+bx+c， 由已知，将三点(－1，10)，(1，4)，(2，7)分别代入表达式，得 10=a-b+c 4=a+b+c 7=4a+2b+c 解得 a=2 b=-3 c=5 故所求二次函数的表达式为y=2x2-3x+5 所以二次函数y=2x2-3x+5的对称轴为直线 ，顶点坐标为 新课探究 情境导入 课堂小结 解：（交点式） ∵二次函数图象经过点 (3,0),(-1,0) ∴设二次函数表达式为y=a(x-3)(x+1) ∵ 函数图象经过点(1,4) ∴ 4 =a (1-3)(1+1),解得a= -1 ∴ 函数的表达式为  y= -(x+1)(x-3) = -x2+2x+3 例4．已知二次函数图象经过 (1,4),(-1,0)和(3,0)三点，求二次函数的表达式。 知道抛物线与x轴的两个交点的坐标，选用交点式比较简便 新课探究 情境导入 课堂小结 6 其它解法：（一般式） 设二次函数的表达式为y=ax2+bx+c ∵二次函数图象过点(1,4),(-1,0)和(3,0) ∴  a+b+c=4       ①     a-b+c=0       ②    9a+3b+c=0      ③   解得： a= -1 b=2 c=3  ∴  函数的表达式为y= -x2+2x+3 新课探究 情境导入 课堂小结 7 解：（顶点式） ∵  抛物线与x轴交于(-1,0)和(3,0) 两点， ∴ (-1+3)/2 = 1 ∴  点(1,4)为抛物线的顶点 可设二次函数表达式为 y=a(x-1)2+4  ∵ 抛物线过点(-1, 0) ∴ 0=a(-1-1)2+4, 解得a= -1 ∴ 函数的表达式为y= -(x-1)2+4 新课探究 情境导入 课堂小结 8 例5：某商贸公司成立以来，5年的利润情况如下图所示，图中的折线近似于抛物线的一部分。 新课探究 情境导入 课堂小结 （1）试求出图象过A，C，D三点的二次函数的表达式； 解:设所求二次函数的表达式为y=ax2+bx+c， 由已知，将A(1，2.6)，C(3，3.8)，D(4，5)分别代入表达式，得 a+b+c=2.6 9a+3b+c=3.8 16a+4b+c=5 解得 a=0.2 b=-0.2 c=2.6 故所求二次函数的表达式为y=0.2x2-0.2x+2.6 新课探究 情境导入 课堂小结 （2）利用（1）的结果，分别求出当x=2和x=5时该二次函数的函数值，并分别与点B，E的纵坐标比较 解：当x=2时，y=0.2×4-0.2×2+2.6=3， 此时，y的值与点B的纵坐标相等. 当x=5时，y=0.2×25-0.2×5+2.6=6.6， 此时，y的值小于点E的纵坐标. 新课探究 情境导入 课堂小结 （3）利用（1）中求得的二次函数的表达式，预测该商贸公司第6年的利润. 解：当x=6时，y=0.2×36-0.2×6+2.6=8.6， 估计该商贸公司第6年的利润可达8.6万元. 新课探究 情境导入 课堂小结 综上解法比较可得： （1）若已知图象上三个非特殊点，常设一般式 ； （2）若已知二次函数与x轴的两个交点，常设交点式。 例4：已知二次函数图象经过点 (1,4),(-1,0)和(3,0)三点，求二次函数的表达式。 例3：已知二次函数的图象经过(－1，10)，(1，4)，(2，7)，求这个函数的表达式。并写出它的对称轴和顶点坐标。 新课探究 情境导入 课堂小结 在确定二次函数的表达式时 （1）若已知图象上三个非特殊点，常设一般式； （2）若已知二次函数顶点坐标或对称轴，常设顶点式； （3）若已知二次函数与x轴的两个交点，常设交点式。 5 确定二次函数的表达式 第2课时 确定二次函数的表达式（2） 课 堂 小 结 14 THANK YOU $$ 第三章 二次函数 5 确定二次函数的表达式 第1课时 确定二次函数的表达式(1) 1.二次函数表达式的一般形式是什么? 二次函数表达式的顶点式是什么? 3.若二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)与x轴两交点为(x1,0),(x2,0),则其函数表达式可以表示成什么形式? y=ax²+bx+c (a,b,c为常数,a ≠0) y=a(x-h)2+k (a ≠0) y=a(x-x1)(x-x2)(a ≠0) 5 确定二次函数的表达式 第1课时 确定二次函数的表达式(1) 情 境 导 入 2 创设问题情境 如图，某建筑采用薄壳型屋顶，屋顶的横截面形状为一段抛物线(曲线AOB)。它的拱宽AB为6m，拱高CO为0.9m。试建立适当的直角坐标系，写出这段抛物线所对应的二次函数的表达式。 单击此处添加标题文本内容 情境导入 新课探究 课堂小结 3 例1. 已知一个二次函数的图象的对称轴为x=－2，与y轴交点的纵坐标为2，且经过点（－3，－1），求这个二次函数的表达式。 解：设二次函数表达式为y=ax2+bx+c(a≠0) ∵ 与y轴交点的纵坐标为2 ∴  c=2 ∴  y=ax2+bx+2 ∵ 图象的对称轴为x=－2 ∴  即b=4a ①     ∵二次函数的图象经过点（－3，－1）， ∴ 9a－3b+2=－1 ② 由①②，解得a=1,b=4  ∴  二次函数表达式为y=x2+4x+2  5 确定二次函数的表达式 第1课时 确定二次函数的表达式(1) 新 课 探 究 4 如果二次函数y=ax2+bx+c的图象的顶点坐标为（h,k），那么这个二次函数的表达式可表示成什么形式？ 新课探究 情境导入 课堂小结 5 例2. 已知一个二次函数的图象的顶点坐标是(-1,-6)，并且该图象经过点（2,3），求这个二次函数的表达式。 解法1：（利用一般式） 设二次函数表达式为y=ax2+bx+c (a≠0) 由题意知 4a+2b+c = 3        -b/2a = -1      (4ac-b2)/4a = -6 解方程组得  a= 1 b= 2 c= -5 ∴ 二次函数的表达式为y= x2+2x-5  新课探究 情境导入 课堂小结 6 解法2：（利用顶点式） ∵ 图象的顶点坐标是(-1,-6) ∴可设二次函数得表达式为   y=a(x+1)2-6 ∵  函数图象过点（2，3） ∴  a(2 +1)2 -6= 3 ∴  a= 1 ∴ 二次函数的表达式为 y= (x+1)2 -6 新课探究 情境导入 课堂小结 7 如图，某建筑采用薄壳型屋顶，屋顶的横截面形状为一段抛物线(曲线AOB)。它的拱宽AB为6m，拱高CO为0.9m。试建立适当的直角坐标系，写出这段抛物线所对应的二次函数的表达式。 解:以线段AB的中垂线为y轴,以过点o且与y轴垂直的直线为x轴,建立直角坐标系 设它的函数表达式为 y=ax² (a≠0) 新课探究 情境导入 课堂小结 8 通过上述问题的解决,您能体会到求二次函数表达式采用的一般方法是什么? （待定系数法） 你能否总结出上述解题的一般步骤? 1.若无坐标系,首先应建立适当的直角坐标系; 2.设抛物线的表达式; 3.写出相关点的坐标; 4.列方程(或方程组); 5.解方程或方程组,求待定系数; 6.写出函数的表达式. 新课探究 情境导入 课堂小结 9 在确定二次函数的表达式时 （1）若已知三个非特殊条件，常设一般式 ； （2）若已知二次函数顶点坐标或对称轴，常设顶点式. 5 确定二次函数的表达式 第1课时 确定二次函数的表达式(1) 课 堂 小 结 10 THANK YOU $$