精品解析：吉林省长春市第二实验中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试题

长春二实验中学高一上学期期中考试 数学试卷 考生注意： 1．满分150分，考试时间120分钟． 2．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答．超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效． 3．本卷命题范围：人教A版必修第一册第四章4.4.2结束． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 2. 已知集合，则的子集的个数是（ ） A. 15 B. 8 C. 7 D. 16 3. 若函数的定义域为，则函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 4. 设，则（ ） A. B. C. D. 5. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 6. 声强级（单位：dB）由公式给出，其中为声强（单位：）．某班级为规范同学在公共场所说话的文明礼仪，开展了“不敢高声语，恐惊读书人”主题活动，要求课下同学之间交流时，每人的声强级不超过40dB．现已知3位同学课间交流时，每人的声强分别为，，，则这3人中达到班级要求的人数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 7. 已知是上的增函数，那么a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. “高斯函数”为，其中表示不超过的最大整数，例如：，． 已知函数，，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知命题，那么命题成立的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 10. 下列说法正确的有（ ） A. 若，则的最小值是3 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，，则的最小值是4 11. 已知函数（且）在定义域内存在最大值，且最大值为，，若对任意，存在，使得，则实数的取值可以是（ ） A. B. 0 C. D. 3 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15 分． 12. 函数的图象恒过定点，则点坐标为___________. 13. 若幂函数的图象过点，则它在上的最小值为____． 14. 若集合中恰有个元素，则称函数是“阶准偶函数”.已知函数是“2阶准偶函数”，则的取值范围是________ 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. （1）若，求的值； （2）求值：． 16. 已知集合，． （1）若，求； （2）若“”是“”的必要条件，求实数的取值范围． 17. 已知是偶函数， （1）求的值； （2）若不等式在上恒成立，求实数m的取值范围. 18. 2024年8月16日，商务部等7部门发布《关于进一步做好汽车以旧换新工作的通知》.根据通知，对符合《汽车以旧换新补贴实施细则》规定，报废旧车并购买新车的个人消费者，补贴标准由购买新能源乘用车补1万元、购买燃油乘用车补7000元，分别提高至2万元和1.5万元，某新能源汽车配件公司为扩大生产，计划改进技术生产某种组件.已知生产该产品的年固定成本为2000万元，每生产百件，需另投入成本万元，且时，；当时，，由市场调研知，该产品每件的售价为5万元，且全年内生产的该产品当年能全部销售完. （1）分别写出与时，年利润y（万元）与年产量x（百件）的关系式（利润=销售收入-成本）； （2）当该产品的年产量为多少百件时，公司所获年利润最大？最大年利润是多少？ 19. 已知函数满足如下条件：①对任意，；②；③对任意，，总有. （1）写出一个符合上述条件的函数（写出即可，无需证明）； （2）证明：满足题干条件的函数在上单调递增； （3）①证明：对任意的，，其中； ②证明：对任意的，都有. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 长春二实验中学高一上学期期中考试 数学试卷 考生注意： 1．满分150分，考试时间120分钟． 2．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答．超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效． 3．本卷命题范围：人教A版必修第一册第四章4.4.2结束． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】由命题否定的定义即可得解. 【详解】全称量词命题的否定是存在量词命题，故命题“，”的否定是“，”. 故选：C. 2. 已知集合，则的子集的个数是（ ） A. 15 B. 8 C. 7 D. 16 【答案】D 【解析】 【分析】根据不等式的性质，结合子集个数公式进行求解即可. 【详解】因为，所以由， 所以的子集的个数是， 故选：D 3. 若函数的定义域为，则函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据抽象函数的定义域即可得到答案. 【详解】因为函数的定义域为， 所以，故， 所以函数的定义域为. 由，得. 故选：B. 4. 设，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据指数函数与对数函数的单调性质将a，b，c分别与1与3比较即可． 【详解】解：，， ，． 故选：B． 5. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】借助函数的奇偶性、单调性及函数正负，利用排除法即可得. 【详解】因为的定义域为，关于原点对称，又， 所以函数是奇函数，即的图象关于原点对称，故B错误； 当时，因为，所以，故C错误； 因为， 所以在上并不单调递增，故D错误. 故选：A. 6. 声强级（单位：dB）由公式给出，其中为声强（单位：）．某班级为规范同学在公共场所说话的文明礼仪，开展了“不敢高声语，恐惊读书人”主题活动，要求课下同学之间交流时，每人的声强级不超过40dB．现已知3位同学课间交流时，每人的声强分别为，，，则这3人中达到班级要求的人数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】根据所给声强级公式计算声强级不超过40dB的声强，即可求解. 【详解】依题意，， ∴， 故声强为，的两人达到要求， 故选：C 7. 已知是上的增函数，那么a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用函数的单调性，列出不等式组，转化求解的范围即可． 【详解】要使函数是R上的增函数， 需，解得， 故选：D． 8. “高斯函数”为，其中表示不超过的最大整数，例如：，． 已知函数，，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先将，转化为分段函数，然后分类解即可. 【详解】当时，，，此时， 当时，，，此时， 若， 当时，，得，故， 当时，，得，故， 所以得解集为， 故选：D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知命题，那么命题成立的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】解出不等式，再根据充分不必要的条件的判定即可得到答案. 【详解】，解得，设 则命题成立的充分不必要条件是集合的真子集，则BD选项符合题意. 故选：BD. 10. 下列说法正确的有（ ） A. 若，则的最小值是3 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，，则的最小值是4 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据基本不等式即可求解AD，根据不等式的性质即可求解BC. 【详解】对于A，由题设，则，当且仅当，即时等号成立，A错误； 对于B，因为，，所以，则，，所以，B正确； 对于C，∵，∴，∵，∴， ∵，∴，∴，故C正确； 对于D，由题设，而， 又，当且仅当时等号成立， 所以，D正确． 故选:BCD． 11. 已知函数（且）在定义域内存在最大值，且最大值为，，若对任意，存在，使得，则实数的取值可以是（ ） A. B. 0 C. D. 3 【答案】ABC 【解析】 【分析】先求出，得到时， 再由题意得到，即可求出m的范围，对照四个选项即可得到正确答案. 【详解】定义域为. 由题意知时，，即. 此时， 时， 时，，由得. 对照四个选项，可以选:ABC. 故答案为：ABC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15 分． 12. 函数的图象恒过定点，则点坐标为___________. 【答案】 【解析】 【分析】根据，可求得定点的坐标. 【详解】令，则，故，因此， 故答案为：. 13. 若幂函数的图象过点，则它在上的最小值为____． 【答案】##0.25 【解析】 【分析】先求出解析式，利用单调性求出在上的最小值. 【详解】设幂函数. 因为幂函数的图像过点，所以，解得：. 所以. 所以在上单调递减， 所以在上的最小值为. 故答案为： 14. 若集合中恰有个元素，则称函数是“阶准偶函数”.已知函数是“2阶准偶函数”，则的取值范围是________ 【答案】 【解析】 【分析】根据题意分类讨论，时，其中有部分具有偶函数性质，不符合题意；时，根据分段函数的解析式通过方程的解，确定的范围． 【详解】根据题意，函数是“2阶准偶函数”， 则集合中恰有2个元素， 当时，函数一段部分为， 注意到函数本身具有偶函数性质， 故集合中不止有两个元素； 当时，根据“2阶准偶函数”的定义得的可能取值为或， 为，，故，方程无解， 当 ，解得或， 故要使得集合中恰有2个元素， 则需要满足，即， 当时，函数的取值为，为， 根据题意得：， 解得或，满足恰有两个元素，故满足条件. 综上，实数的取值范围是. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. （1）若，求的值； （2）求值：． 【答案】（1）5；（2） 【解析】 【分析】（1）由指对互化求出和，再结合换底公式即可求解； （2）考虑将转化为，进而得解. 【详解】（1）因为，所以，， 则； （2） ． 16. 已知集合，． （1）若，求； （2）若“”是“”的必要条件，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，直接由集合的运算，即可得到结果； （2）根据题意，由条件可得，然后分与讨论，即可得到结果. 【小问1详解】 当时，， 或， 则. 【小问2详解】 因为“”是“”的必要条件，则， 当时，则，即； 当时，，解得， 综上所述，m的取值范围为. 17. 已知是偶函数， （1）求的值； （2）若不等式在上恒成立，求实数m的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据函数奇偶性的性质即可求的值； （2）根据函数的单调性将不等式在上恒成立，转化为在上恒成立，设，求出其最小值，从而得出结果. 【小问1详解】 的定义域是，因为是偶函数，所以恒成立， 所以， 即， 所以恒成立， 所以； 【小问2详解】 ，， 因为是增函数，是减函数，所以是增函数， 所以不等式等价于， 所以在上恒成立， 设，， 因为是增函数，是增函数， 所以是增函数， 所以当时，， 所以. 18. 2024年8月16日，商务部等7部门发布《关于进一步做好汽车以旧换新工作的通知》.根据通知，对符合《汽车以旧换新补贴实施细则》规定，报废旧车并购买新车的个人消费者，补贴标准由购买新能源乘用车补1万元、购买燃油乘用车补7000元，分别提高至2万元和1.5万元，某新能源汽车配件公司为扩大生产，计划改进技术生产某种组件.已知生产该产品的年固定成本为2000万元，每生产百件，需另投入成本万元，且时，；当时，，由市场调研知，该产品每件的售价为5万元，且全年内生产的该产品当年能全部销售完. （1）分别写出与时，年利润y（万元）与年产量x（百件）的关系式（利润=销售收入-成本）； （2）当该产品的年产量为多少百件时，公司所获年利润最大？最大年利润是多少？ 【答案】（1） 当时，， 当时，； （2）年产量为50百件时，该企业所获年利润最大，最大年利润是2830万元 【解析】 【分析】（1）结合题意，分和时利用利润=销售收入-成本求出关系式即可； （2）当时，由二次函数求出最值，当时，由基本不等式求出最值，再确定结果即可； 【小问1详解】 由题意可得当时，， 当时，， 【小问2详解】 由（1）得时，， 此时（百件）时，（万元）， 当时，， 当且仅当，即时等号成立，（万元）， 而，故（百件）时，利润最大， 综上所述，年产量为50百件时，该企业所获年利润最大，最大年利润是2830万元. 19. 已知函数满足如下条件：①对任意，；②；③对任意，，总有. （1）写出一个符合上述条件的函数（写出即可，无需证明）； （2）证明：满足题干条件的函数在上单调递增； （3）①证明：对任意的，，其中； ②证明：对任意的，都有. 【答案】（1）（答案不唯一） （2） 任取，. 因为，故且. 故. 故在上单调递增. （3）①由题意可知：对任意正数，都有，且， 在③中令，可得，即； 故对任意正整数与正数，都有； ②由①可知：对任意正整数与正数，都有， 故对任意正整数与正数，都有， 令，则； 对任意，可得，并且 ， 又因为，所以由（2）中已经证明的单调性可知： ，， 所以. 【解析】 【分析】（1）根据条件设计一个函数即可； （2）根据条件，运用函数单调性的定义推导即可； （3）运用递推的方法先证明①，再根据①的结论，考虑的x的区间即可证明. 【小问1详解】 ，，等，即形如均可； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【点睛】对于第二问，如何巧妙运用 要学习，抽象函数中经常会用到这个方法；对于第三问，可以把 看作 ，再运用 可以证明①，再利用①的结论推出 ， . 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $