2024-2025学年人教版数学七年级上册期末必刷常考题：有理数的运算

2024-2025学年上学期初中数学人教版（2024）七年级期末必刷常考题之有理数的运算 一．选择题（共5小题） 1．（2024春•沂水县校级月考）﹣2024的倒数是（　　） A．﹣2024 B．2024 C． D． 2．（2024•黄岩区一模）随着人工智能（AI）技术的飞速发展，全球范围内的算力竞赛愈发激烈．调查显示，数据和算力中心每处理1G数据大约需要消耗电力13千瓦时．国网能源研究院曾测算，到2030年国内数据和算力中心的用电量将超过400000000000千瓦时，数据400000000000用科学记数法可以表示为（　　） A．0.4×1012 B．0.4×1011 C．4×1012 D．4×1011 3．（2024•秦都区二模）一个数的倒数是﹣2024，则这个数是（　　） A．2024 B．﹣2024 C． D． 4．（2024秋•南海区期中）在下列各数中：﹣10，（﹣4）2，+（﹣3），﹣5，﹣|﹣2|，（﹣1）2021，0．其中是负数的有（　　）个． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 5．（2024秋•蓝田县期中）课堂上，老师规定：符号“△”为选择两数中的较大数，“⊙”为选择两数中的较小数．例如：3△5＝5，5⊙3＝3．则[（6△3）⊙（﹣4）]÷[2⊙（6△5）]的值为（　　） A．3 B．﹣2 C．1 D． 二．填空题（共5小题） 6．（2024秋•青岛期中）2024年“五一”假期，福州市累计接待游客约5763300人次，旅游总收入约5356000000元．将总收入用科学记数法表示为 　 　． 7．（2023秋•双流区期末）定义一种新的运算：如果x≠0，则有x▲y＝x+xy+|y|，那么2▲（﹣4）的值是 　 　． 8．（2024秋•鹿城区校级期中）若|a+1|与（b﹣2）2互为相反数，则a+b的值是 　 　． 9．（2024秋•西城区校级期中）有8筐白菜，以每筐25kg为标准，超过的千克数记作正数，不足的千克数记作负数，称后记录如下： 这8筐白菜总计 　 　kg． 10．（2024秋•金水区期中）下表列出了国外几个城市与北京的时差.2024年巴黎奥运会网球女单决赛时间为当地时间8月3日13：30，小红在北京观看电视直播的时间为 　 　.（甲城市与乙城市的时差为两城市同一时刻的时数之差，如当北京时间为8：00，东京时间为9：00，那么东京与北京的时差为9﹣8＝+1h） 城市 纽约 巴黎 东京 芝加哥 时差/h ﹣13 ﹣7 +1 ﹣14 三．解答题（共5小题） 11．（2024秋•深圳校级期中）计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 12．（2024秋•西乡塘区校级期中）计算：． 13．（2024秋•杨浦区期中）计算：． 14．（2024秋•江南区期中）综合与实践 【问题情境】进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统．约定十进制是逢十进一，二进制就是逢二进一．也就是说，“逢几进一”就是几进制，几进制的基数就是几．日常生活中我们最常用的是十进制，使用0～9十个数字记数，而电子计算机使用的是二进制，其各数位上的数字为0或1．如（101）2就是二进制数101的简单写法，十进制数一般不标注基数． 【初探感知】（1）把十进制数转换成二进制数，采用“除以2取余数”的方法，即将十进制数除以2，然后对商继续除以2，直到商等于0为止，最后将所有的余数从后往前倒序写，就是结果．例如将十进制数30转换为二进制数，如图所示，所以30的二进制为（11110）2． 任务1：仿照图，将23转换为二进制数． 【深入领悟】（2）关于不同进位制之间是可以相互转换的．例如二进制数转换为十进制数为： （11）2＝1×21+1×20＝3 （101）2＝1×22+0×21+×1×20＝5 任务2：仿照上面过程，把（111）2转换为十进制数． 15．（2024秋•南海区期中）发展新能源汽车是我国从汽车大国迈向汽车强国的必由之路，是应对气候变化、推动绿色发展的战略举措．为响应国家政策，何老师新换了一辆新能源纯电汽车，他连续7天记录了每天行驶的路程，如表所示．以50km为标准，多于50km的记为“+”，不足50km的记为“﹣”，刚好50km的记为“0”． 第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 第六天 第七天 路程（km） ﹣8 ﹣12 ﹣16 0 +22 +31 +33 （1）最多的一天比最少的一天多走 　 　km；这7天一共行驶 　 　千米． （2）已知新能源汽车每行驶100km耗电量为15度，每度电为0.5元，何老师的爱车在这7天里一共花费多少元的电费？ 2024-2025学年上学期初中数学人教版（2024）七年级期末必刷常考题之有理数的运算 参考答案与试题解析 一．选择题（共5小题） 1．（2024春•沂水县校级月考）﹣2024的倒数是（　　） A．﹣2024 B．2024 C． D． 【考点】倒数．版权所有 【专题】实数；数感． 【答案】C 【分析】根据题意利用倒数定义即可得出本题答案． 【解答】解：∵， 故选：C． 【点评】本题考查倒数定义，解题的关键是掌握倒数的定义． 2．（2024•黄岩区一模）随着人工智能（AI）技术的飞速发展，全球范围内的算力竞赛愈发激烈．调查显示，数据和算力中心每处理1G数据大约需要消耗电力13千瓦时．国网能源研究院曾测算，到2030年国内数据和算力中心的用电量将超过400000000000千瓦时，数据400000000000用科学记数法可以表示为（　　） A．0.4×1012 B．0.4×1011 C．4×1012 D．4×1011 【考点】科学记数法—表示较大的数．版权所有 【专题】实数；数感． 【答案】D 【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数． 【解答】解：400000000000＝4×1011． 故选：D． 【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，正确确定a的值以及n的值是解决问题的关键． 3．（2024•秦都区二模）一个数的倒数是﹣2024，则这个数是（　　） A．2024 B．﹣2024 C． D． 【考点】倒数．版权所有 【专题】实数；数感． 【答案】D 【分析】根据倒数的定义即可求解． 【解答】解：一个数的倒数是﹣2024，所以这个数是， 故选：D． 【点评】本题考查了倒数的定义，掌握倒数的定义是解题的关键． 4．（2024秋•南海区期中）在下列各数中：﹣10，（﹣4）2，+（﹣3），﹣5，﹣|﹣2|，（﹣1）2021，0．其中是负数的有（　　）个． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【考点】有理数的乘方；正数和负数；相反数；绝对值．版权所有 【专题】实数；符号意识． 【答案】D 【分析】先判断各数的符号，再辨别、求解． 【解答】解：∵﹣10，+（﹣3），﹣5，﹣|﹣2|，（﹣1）2021是负数， ∴其中是负数的有5个， 故选：D． 【点评】此题考查了正负数概念的应用能力，关键是能准确理解和运用以上知识． 5．（2024秋•蓝田县期中）课堂上，老师规定：符号“△”为选择两数中的较大数，“⊙”为选择两数中的较小数．例如：3△5＝5，5⊙3＝3．则[（6△3）⊙（﹣4）]÷[2⊙（6△5）]的值为（　　） A．3 B．﹣2 C．1 D． 【考点】有理数的混合运算．版权所有 【专题】实数；运算能力． 【答案】B 【分析】根据新定义先计算大括号里面的运算，然后再计算小括号里面的，最后再计算有理数的除法运算即可． 【解答】解：原式＝[6⊙（﹣4）]÷（2⊙6） ＝（﹣4）÷2 ＝﹣2． 故选：B． 【点评】本题主要考查了新定义的有理数混合运算，熟练掌握运算法则是关键． 二．填空题（共5小题） 6．（2024秋•青岛期中）2024年“五一”假期，福州市累计接待游客约5763300人次，旅游总收入约5356000000元．将总收入用科学记数法表示为 　5.356×109　． 【考点】科学记数法—表示较大的数．版权所有 【专题】实数；符号意识． 【答案】5.356×109． 【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数． 【解答】解：5356000000＝5.356×109． 故答案为：5.356×109． 【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 7．（2023秋•双流区期末）定义一种新的运算：如果x≠0，则有x▲y＝x+xy+|y|，那么2▲（﹣4）的值是 　﹣2　． 【考点】有理数的混合运算．版权所有 【专题】实数；运算能力． 【答案】﹣2． 【分析】根据题中给出的新定义的运算法则直接运算即可． 【解答】解：∵x▲y＝x+xy+|y|， ∴2▲（﹣4）＝2+2×（﹣4）+|﹣4|＝2﹣8+4＝﹣2， 故答案为：﹣2． 【点评】本题考查了新定义下的运算，按照题中给出的新定义的运算法则正确计算是解答本题的关键． 8．（2024秋•鹿城区校级期中）若|a+1|与（b﹣2）2互为相反数，则a+b的值是 　1　． 【考点】非负数的性质：偶次方；非负数的性质：绝对值．版权所有 【专题】计算题；实数；运算能力． 【答案】1． 【分析】根据非负数的性质列出方程求出未知数的值，再代入所求代数式计算即可． 【解答】解：∵|a+1|和（b﹣2）2互为相反数， ∴|a+1|+（b﹣2）2＝0， ∴a+1＝0，b﹣2＝0， ∴a＝﹣1，b＝2， ∴a+b＝﹣1+2＝1． 故答案为：1． 【点评】本题考查了非负数的性质：掌握几个非负数的和为0，则这几个非负数分别等于0，并正确得出未知数的值是解题的关键． 9．（2024秋•西城区校级期中）有8筐白菜，以每筐25kg为标准，超过的千克数记作正数，不足的千克数记作负数，称后记录如下： 这8筐白菜总计 　194.5　kg． 【考点】有理数的混合运算；正数和负数．版权所有 【专题】实数；运算能力． 【答案】194.5． 【分析】根据正数和负数的实际意义列式计算即可． 【解答】解：25×8+（1.5﹣3+2﹣0.5+1﹣2﹣2﹣2.5） ＝200﹣5.5 ＝194.5（kg）， 即这8筐白菜总计194.5kg， 故答案为：194.5． 【点评】本题考查正数和负数，有理数的混合运算，结合已知条件列得正确的算式是解题的关键． 10．（2024秋•金水区期中）下表列出了国外几个城市与北京的时差.2024年巴黎奥运会网球女单决赛时间为当地时间8月3日13：30，小红在北京观看电视直播的时间为 　20：30　.（甲城市与乙城市的时差为两城市同一时刻的时数之差，如当北京时间为8：00，东京时间为9：00，那么东京与北京的时差为9﹣8＝+1h） 城市 纽约 巴黎 东京 芝加哥 时差/h ﹣13 ﹣7 +1 ﹣14 【考点】有理数的减法；正数和负数．版权所有 【专题】实数；应用意识． 【答案】20：30． 【分析】根据题意可知，巴黎时间减去北京时间＝﹣7h，由2024年巴黎奥运会网球女单决赛时间为当地8月3日13：30，由此计算13时30分加上7时即可得出答案． 【解答】解：∵由2024年巴黎奥运会网球女单决赛时间为当地8月3日13：30，巴黎与北京是时差为﹣7h， ∴13时30分﹣北京时间＝﹣7时， ∴北京时间为13时30分+7时＝20时30分，即北京时间是20：30． 故答案为：20：30． 【点评】本题考查了有理数的减法运算，正数和负数在实际中的应用，掌握有理数的减法运算法则，正数和负数是解题的关键． 三．解答题（共5小题） 11．（2024秋•深圳校级期中）计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 【考点】有理数的混合运算．版权所有 【专题】实数；运算能力． 【答案】（1）； （2）﹣9； （3）14； （4）﹣28． 【分析】（1）根据有理数加减混合运算法则计算即可； （2）根据乘除混合运算计算即可； （3）根据乘法分配律和有理数的乘方计算即可； （4）先算乘方，再算乘除，最后算加减即可． 【解答】解：（1） ； （2） ＝﹣32 2 2 ＝﹣9； （3） ＝5﹣（2﹣20+9） ＝5﹣（﹣18+9） ＝5﹣（﹣9） ＝5+9 ＝14； （4） ＝﹣27﹣152 ＝﹣27﹣3+2 ＝﹣28． 【点评】本题主要考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则，准确计算是解题的关键． 12．（2024秋•西乡塘区校级期中）计算：． 【考点】有理数的混合运算．版权所有 【专题】实数；运算能力． 【答案】3． 【分析】先算乘方及绝对值，再算乘法，最后算加减即可． 【解答】解：原式＝﹣8﹣9×（）+8 ＝﹣8+3+8 ＝3． 【点评】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 13．（2024秋•杨浦区期中）计算：． 【考点】有理数的混合运算．版权所有 【专题】实数；运算能力． 【答案】8． 【分析】先计算括号内的式子，再算括号外的乘法，然后计算括号外的加法即可． 【解答】解： ＝2（41）2 ＝262 ＝232 ＝8． 【点评】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 14．（2024秋•江南区期中）综合与实践 【问题情境】进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统．约定十进制是逢十进一，二进制就是逢二进一．也就是说，“逢几进一”就是几进制，几进制的基数就是几．日常生活中我们最常用的是十进制，使用0～9十个数字记数，而电子计算机使用的是二进制，其各数位上的数字为0或1．如（101）2就是二进制数101的简单写法，十进制数一般不标注基数． 【初探感知】（1）把十进制数转换成二进制数，采用“除以2取余数”的方法，即将十进制数除以2，然后对商继续除以2，直到商等于0为止，最后将所有的余数从后往前倒序写，就是结果．例如将十进制数30转换为二进制数，如图所示，所以30的二进制为（11110）2． 任务1：仿照图，将23转换为二进制数． 【深入领悟】（2）关于不同进位制之间是可以相互转换的．例如二进制数转换为十进制数为： （11）2＝1×21+1×20＝3 （101）2＝1×22+0×21+×1×20＝5 任务2：仿照上面过程，把（111）2转换为十进制数． 【考点】有理数的混合运算．版权所有 【专题】实数；运算能力． 【答案】（1）（10111）2； （2）7． 【分析】（1）根据题意列式计算即可； （2）根据题意列式计算即可． 【解答】解：（1）23÷2＝11……1， 11÷2＝5……1， 5÷2＝2……1， 2÷2＝1……0， 1÷2＝0……1， 则将23转换为二进制数为（10111）2； （2）（111）2＝1×22+1×21+1×20＝4+2+1＝7． 【点评】本题考查有理数的混合运算，理解题意并列得正确的算式是解题的关键． 15．（2024秋•南海区期中）发展新能源汽车是我国从汽车大国迈向汽车强国的必由之路，是应对气候变化、推动绿色发展的战略举措．为响应国家政策，何老师新换了一辆新能源纯电汽车，他连续7天记录了每天行驶的路程，如表所示．以50km为标准，多于50km的记为“+”，不足50km的记为“﹣”，刚好50km的记为“0”． 第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 第六天 第七天 路程（km） ﹣8 ﹣12 ﹣16 0 +22 +31 +33 （1）最多的一天比最少的一天多走 　49　km；这7天一共行驶 　400　千米． （2）已知新能源汽车每行驶100km耗电量为15度，每度电为0.5元，何老师的爱车在这7天里一共花费多少元的电费？ 【考点】有理数的混合运算；正数和负数．版权所有 【专题】实数；运算能力． 【答案】（1）49；400； （2）30元． 【分析】（1）根据正数和负数的实际意义列式计算即可； （2）结合（1）中所求列式计算即可． 【解答】解：（1）33﹣（﹣16） ＝33+16 ＝49（km）， 即最多的一天比最少的一天多走49km； 50×7+（﹣8﹣12﹣16+0+22+31+33） ＝350+50 ＝400（千米）， 即这7天一共行驶400千米； 故答案为：49；400； （2）400÷100×15×0.5＝30（元）， 即何老师的爱车在这7天里一共花费30元的电费． 【点评】本题考查正数和负数，有理数的混合运算，结合已知条件列得正确的算式是解题的关键． 考点卡片 1．正数和负数 1、在以前学过的0以外的数叫做正数，在正数前面加负号“﹣”，叫做负数，一个数前面的“+”“﹣”号叫做它的符号． 2、0既不是正数也不是负数．0是正负数的分界点，正数是大于0的数，负数是小于0的数． 3、用正负数表示两种具有相反意义的量．具有相反意义的量都是互相依存的两个量，它包含两个要素，一是它们的意义相反，二是它们都是数量． 2．相反数 （1）相反数的概念：只有符号不同的两个数叫做互为相反数． （2）相反数的意义：掌握相反数是成对出现的，不能单独存在，从数轴上看，除0外，互为相反数的两个数，它们分别在原点两旁且到原点距离相等． （3）多重符号的化简：与“+”个数无关，有奇数个“﹣”号结果为负，有偶数个“﹣”号，结果为正． （4）规律方法总结：求一个数的相反数的方法就是在这个数的前边添加“﹣”，如a的相反数是﹣a，m+n的相反数是﹣（m+n），这时m+n是一个整体，在整体前面添负号时，要用小括号． 3．绝对值 （1）概念：数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的绝对值． ①互为相反数的两个数绝对值相等； ②绝对值等于一个正数的数有两个，绝对值等于0的数有一个，没有绝对值等于负数的数． ③有理数的绝对值都是非负数． （2）如果用字母a表示有理数，则数a 绝对值要由字母a本身的取值来确定： ①当a是正有理数时，a的绝对值是它本身a； ②当a是负有理数时，a的绝对值是它的相反数﹣a； ③当a是零时，a的绝对值是零． 即|a|＝{a（a＞0）0（a＝0）﹣a（a＜0） 4．非负数的性质：绝对值 在实数范围内，任意一个数的绝对值都是非负数，当几个数或式的绝对值相加和为0时，则其中的每一项都必须等于0． 5．倒数 （1）倒数：乘积是1的两数互为倒数． 一般地，a•1 （a≠0），就说a（a≠0）的倒数是． （2）方法指引： ①倒数是除法运算与乘法运算转化的“桥梁”和“渡船”．正像减法转化为加法及相反数一样，非常重要．倒数是伴随着除法运算而产生的． ②正数的倒数是正数，负数的倒数是负数，而0 没有倒数，这与相反数不同． 【规律方法】求相反数、倒数的方法 求一个数的相反数 求一个数的相反数时，只需在这个数前面加上“﹣”即可 求一个数的倒数 求一个整数的倒数，就是写成这个整数分之一 求一个分数的倒数，就是调换分子和分母的位置 注意：0没有倒数． 6．有理数的减法 （1）有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数． 即：a﹣b＝a+（﹣b） （2）方法指引： ①在进行减法运算时，首先弄清减数的符号； ②将有理数转化为加法时，要同时改变两个符号：一是运算符号（减号变加号）； 二是减数的性质符号（减数变相反数）； 【注意】：在有理数减法运算时，被减数与减数的位置不能随意交换；因为减法没有交换律． 减法法则不能与加法法则类比，0加任何数都不变，0减任何数应依法则进行计算． 7．有理数的乘方 （1）有理数乘方的定义：求n个相同因数积的运算，叫做乘方． 乘方的结果叫做幂，在an中，a叫做底数，n叫做指数．an读作a的n次方．（将an看作是a的n次方的结果时，也可以读作a的n次幂．） （2）乘方的法则：正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；0的任何正整数次幂都是0． （3）方法指引： ①有理数的乘方运算与有理数的加减乘除运算一样，首先要确定幂的符号，然后再计算幂的绝对值； ②由于乘方运算比乘除运算又高一级，所以有加减乘除和乘方运算，应先算乘方，再做乘除，最后做加减． 8．非负数的性质：偶次方 偶次方具有非负性． 任意一个数的偶次方都是非负数，当几个数或式的偶次方相加和为0时，则其中的每一项都必须等于0． 9．有理数的混合运算 （1）有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算． （2）进行有理数的混合运算时，注意各个运算律的运用，使运算过程得到简化． 【规律方法】有理数混合运算的四种运算技巧 1．转化法：一是将除法转化为乘法，二是将乘方转化为乘法，三是在乘除混合运算中，通常将小数转化为分数进行约分计算． 2．凑整法：在加减混合运算中，通常将和为零的两个数，分母相同的两个数，和为整数的两个数，乘积为整数的两个数分别结合为一组求解． 3．分拆法：先将带分数分拆成一个整数与一个真分数的和的形式，然后进行计算． 4．巧用运算律：在计算中巧妙运用加法运算律或乘法运算律往往使计算更简便． 10．科学记数法—表示较大的数 （1）科学记数法：把一个大于10的数记成a×10n的形式，其中a是整数数位只有一位的数，n是正整数，这种记数法叫做科学记数法．【科学记数法形式：a×10n，其中1≤a＜10，n为正整数．】 （2）规律方法总结： ①科学记数法中a的要求和10的指数n的表示规律为关键，由于10的指数比原来的整数位数少1；按此规律，先数一下原数的整数位数，即可求出10的指数n． ②记数法要求是大于10的数可用科学记数法表示，实质上绝对值大于10的负数同样可用此法表示，只是前面多一个负号． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$