精品解析：福建省厦门外国语学校2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷

厦外2024-2025学年第一学期高二期中考试 数学试题 本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分为150分.考试用时120分钟. 注意事项：1.答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和准考证号填写在答题卡相应的位置上，用2B铅笔将自己的准考证号填涂在答题卡上. 2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；在试卷上作答无效. 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔在答题卡上作答，答案必须写在答题卡上各题目指定区域内的相应位置上，超出指定区域的答案无效；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液.不按以上要求作答的答案无效. 4.考生必须保持答题卡的整洁和平整. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知直线的一个方向向量为，则直线的倾斜角（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意可以先得到直线的斜率，再根据斜率和倾斜角的关系即可得解. 【详解】因为直线的一个方向向量为， 所以直线的斜率为，， 所以直线的倾斜角. 故选：D. 2. 点在直线上，直线与关于点对称，则一定在直线上的点为（ ） A. B. C. D. （1，0） 【答案】C 【解析】 【分析】根据两直线关于点对称，利用中点坐标公式即可求直线上的对称点，且该点在直线上. 【详解】由题设关于对称的点为，若该点必在上， ∴，解得，即一定在直线上. 故选：C. 3. 若圆截直线所得弦长为，则实数的值为（ ） A. B. C. 1 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】把圆化为标准方程，找到圆心和半径，利用圆的弦长公式即可求解的值． 【详解】解：由圆 即，则， 圆心为，半径， 则圆心到直线的距离， 由弦长公式可得，解得， 故选：C． 4. 已知椭圆，则“”是“椭圆的离心率为”的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据椭圆离心率定义，对参数的取值进行分类讨论即可判断出结论. 【详解】由可得椭圆，此时离心率为， 此时充分性成立； 若椭圆的离心率为，当时，可得离心率为，解得， 即必要性不成立； 综上可知，“”是“椭圆的离心率为”的充分不必要条件. 故选：B. 5. 已知向量，若共面，则在上的投影向量的模为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用共面的条件求出，再利用投影向量及模的定义计算即得. 【详解】因为共面，则存在实数，使得，即， 于是， 所以在上的投影向量的模为. 故选：B 6. 两条异面直线所成的角为，在直线上分别取点和点，使，且.已知，则线段的长为（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】根据向量的线性运算可得，两边同时平方，利用向量的数量积运算，结合题意化简得到，进而得出结果. 【详解】由题意知， ， 所以， 又异面直线a、b所成的角为， 即， 所以， 所以或， 故选：B 7. 已知是圆上两点，且，直线上存在点使得，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意分析可知：点的轨迹是以原点为圆心，半径为的圆，且直线与圆有交点，结合直线与圆的位置关系列式求解即可. 【详解】由题意可知：圆的圆心为，半径， 设中点为，则， 且，可得， 又因为，可知为边长为2的等边三角形， 则，可得， 可知点的轨迹是以原点为圆心，半径为的圆， 因为直线上存在点使得， 即直线与圆有交点， 可知圆心到直线的距离，解得：. 故选：A. 【点睛】方法点睛：求圆的方程有两类方法： （1）几何法，通过研究圆的性质、直线和圆、圆与圆的位置关系，进而求得圆的半径和圆心，得出圆的方程； （2）代数法，求圆的方程必须具备三个独立条件，利用“待定系数法”求出圆心和半径． 8. 如图，过原点的直线交椭圆于两点，过点分别作轴、的垂线，且分别交椭圆于点，，连接交于点，若，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设，则，由，共线，点在椭圆上，得坐标关系，联立求解即可. 【详解】设，则， 由，则，即，① 由三点共线，则，即，② 又因为，即，③ 将①②代入③得，则. 故选：D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知直线，其中，则（ ） A. 直线过定点 B. 当时，直线与直线垂直 C. 当时，直线在两坐标轴上的截距相等 D. 若与平行，则这两条平行直线之间的距离为 【答案】AB 【解析】 【分析】由可得出直线所过定点的坐标，可判断A选项；利用两直线垂直斜率之积为可判断B选项；利用直线的截距式方程可判断C选项；利用平行线间的距离公式可判断D选项. 【详解】对于A选项，由可得，即直线过定点，A对； 对于B选项，当时，直线的方程为，该直线的斜率为， 而直线的斜率为，此时，直线与直线垂直，B对； 对于C选项，当时，直线的方程为，化为截距式方程为， 此时，直线在两坐标轴上的截距相反，C错； 对于D选项，若与平行，则，解得或， 则直线的方程为，这两条平行直线之间的距离为，D错. 故选：AB. 10. 古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点的距离之比为定值的点的轨迹是圆，此圆被称为“阿波罗尼斯圆”.在平面直角坐标系中，已知，，点满足，设点的轨迹为圆，下列结论正确的是（ ） A. 圆的方程是 B. 的取值范围为 C. 圆与圆有两条公切线 D. 过点A作直线，若圆上恰有三个点到直线距离为，该直线斜率为 【答案】ABCD 【解析】 【分析】对A，设，再根据列式化简可得圆的方程；对B，设，可知直线与圆有公共点，列式求解即可；对C，根据圆心间的距离与半径和差的关系判断两圆位置关系，进而可得公切线条数；对D，分直线斜率为0与不为0讨论，再根据圆心到直线距离与半径的关系列式求解即可. 【详解】对A，设， 由，可得， 即，化简可得，故A正确； 对B，由选项A可知：圆的圆心为，半径， 设，可知直线与圆有公共点， 则，解得， 所以的取值范围为，故B正确； 对C，圆圆心到圆圆心的距离为， 又因为且， 故两圆相交，有两条公切线，故C正确； 对D，当直线斜率为0时，圆C上有四个点到直线l距离为不合题意， 设直线，则由题意C到的距离等于， 即，解得，故斜率直线斜率为，故D正确； 故选：ABCD. 11. 已知椭圆的长轴长为4，离心率为，，分别为椭圆的左、右焦点，是椭圆上一点，则下列说法正确的是（ ） A. 椭圆的标准方程为 B. 若，则 C. 若，则的最大值为 D. 若过点的直线与椭圆相交于，两点，，的内切圆半径分别为，，当时，直线的斜率 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A，根据题意直接得到和，进而得到，即可得到椭圆方程；对于B，设，根据余弦定理得到，进而得到，结合三角形面积公式即可求解面积；对于C，设，根据两点距离公式写出的表达式，再结合点在椭圆上并利用二次函数性质求出最值即可；对于D，设直线，将直线与椭圆方程联立，由韦达定理结合条件求解直线的斜率即可. 【详解】对于A，因为椭圆的长轴长为，所以，又因为椭圆的离心率， 所以，所以，所以椭圆，故A错误； 对于B，设，则， 在中，由余弦定理可得 ，因为，所以， 所以，故B正确； 对于C，设，则 ，对称轴为， 又因为，则，故C正确； 对于D，显然直线斜率不为0，设直线， 由，整理得：恒成立， 所以，依题意有， 得，所以，即， 同理可得，因为，所以，又因为，所以， 因为，所以，解得， 代入到，得，解得：， 所以直线的斜率为：，故D错误. 故选：BCD. 【点睛】关键点点睛：本题C选项的关键是利用设点法，写出距离表达式，最后利用二次函数的性质即可得到最值. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在空间直角坐标系中，点在平面外，点在平面内，平面的一个法向量为，则点A到平面的距离为__________ 【答案】2 【解析】 【分析】由题意可知：，利用空间向量求点A到平面的距离. 【详解】由题意可知：，且平面的一个法向量为， 所以点A到平面的距离为. 故答案为：2. 13. 代数与几何是数学的两个重要分支，它们之间存在着紧密的联系.将代数问题转化为几何问题，可以利用几何直观来理解和解决代数问题，例如，与相关的代数问题，可以转化为点与点之间的距离的几何问题.结合上述观点，满足方程的的值为__________. 【答案】 【解析】 【详解】方程变形后，几何意义为平面内一点到两定点距离之差为，由双曲线定义得到点在双曲线左支上，代入求出. 【分析】由， 得， 其几何意义为平面内一点到两定点距离之差为， 由于，由双曲线定义可得点在双曲线的左支上， 所以，解得或（舍去）. 故答案为：. 14. 椭圆的光学性质，从椭圆一个焦点发出的光，经过椭圆反射后，反射光线都汇聚到椭圆的另一个焦点上．已知椭圆C：，为其左、右焦点．M是C上的动点，点，若的最大值为6.动直线l为此椭圆C的切线，右焦点关于直线l的对称点，，则椭圆C的离心率为____；S的取值范围为______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据题意得，求出，再求出离心率；根据椭圆的光学性质可得，即点的轨迹是以为圆心，半径为4的圆，又点到直线的距离的5倍，分析求解即可. 【详解】根据椭圆定义得：， 所以， 因为的最大值为6，，所以，即， 解得，所以离心率为； 右焦点关于直线l的对称点， 设切点为A，由椭圆的光学性质可得：三点共线， 所以， 即点的轨迹是以为圆心，半径为4的圆， 圆心到直线的距离为， 则圆上的点到直线3x＋4y－24＝0的距离最小值为，最大值为， 所以点到直线的距离为， 所以表示点到直线的距离的5倍， 则，即. 故答案为：①#；②. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图，在四棱锥中，底面是边长为1的正方形，，，在棱上，，设，，. （1）试用，，表示向量； （2）求异面直线与所成的角. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由题设条件，利用空间向量的线性运算表示向量即可； （2）根据（1）的结论，利用空间向量的模长公式，结合题设，求得和的值，最后代入空间向量的夹角公式计算可得答案. 【小问1详解】 由题意可得： ， 所以. 【小问2详解】 因为，， ， 所以 ， 所以， 因为， 所以异面直线与的夹角为. 16. 平面直角坐标系中，圆经过直线与的交点，且过点，圆心在直线上 （1）求圆的方程； （2）若，直线上有且仅有一点A满足：过点A作圆的两条切线、，切点分别为，，且使得四边形为正方形，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意可得两直线交点为，进而可求圆心和半径，即可得方程； （2）分析可知有且仅有1个点A，使得，即点到直线的距离为，列式求解即可. 【小问1详解】 联立方程，解得，即两直线交点为， 可知线段的中垂线为， 联立方程，解得， 即圆心为，半径 所以圆的方程为. 【小问2详解】 由题意可知：有且仅有1个点A，使得， 即点到直线的距离为， 则，且，解得， 所以的值为. 17. 已知椭圆经过点，且与双曲线有相同的焦点. （1）求椭圆的方程； （2）设的左，右顶点分别为A，，过点且斜率不为0的直线与交于，两点，过点作关于轴的对称点，连结得到直线，试探究：直线是否恒过轴上的一个定点. 【答案】（1） （2）直线恒过轴上的一个定点 【解析】 【分析】（1）根据双曲线方程求焦点坐标，根据椭圆上的点列式解出的值，即可得方程； （2）设直线方程为.联立直线与椭圆的方程，根据韦达定理得出的关系.设直线与轴交于点，有，代入求解得出的值，即可得出定点坐标. 【小问1详解】 由双曲线可得， 可知所求椭圆的焦点坐标为， 则，解得， 所以椭圆的方程为. 【小问2详解】 由（1）可知，， 且点在椭圆内部，直线与椭圆必有两交点. 设直线方程为，，则， 联立方程化简整理得， 则. 设直线与轴交于点，则三点共线， 于是，即，则， 可得 ， 即，解得， 所以，直线恒过轴上的定点. 18. 如图，在三棱锥中，，，是线段上的点. （1）求证：平面平面； （2）若，求平面与平面所成角的正弦值； （3）若直线与平面所成角为，求的长. 【答案】（1） 取的中点，连接，，， 则，，，， 于是，则， 由，平面，得平面， 又平面， 所以平面平面. （2） ； （3） . 【解析】 【分析】（1）取的中点，连接、，推导出平面，再利用面面垂直的判定定理可证得结论成立. （2）以点为坐标原点建立空间直角坐标系，求出平面与平面的法向量，利用面面角的向量求法求解. （3）设，借助空间向量求线面角建立关于的方程，求出即可求得的长. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知，直线两两垂直， 以点为坐标原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则，， 由，得， 则， 设平面的法向量为，则， 令，得， 设平面的法向量为，则， 令，得， 令平面与平面所成的角为，则， 所以平面与平面所成角的正弦值为. 【小问3详解】 由（2）知，设，， 则， 设平面的法向量为， 则， 令，得，由直线与平面所成角为， 得， 整理得，解得，所以. 19. 在平面直角坐标系中，动圆与圆内切，且与圆外切，记动圆圆心的轨迹为曲线. （1）求的方程； （2）已知直线与交于M，N两点，与圆交于，两点，若不重合的两条直线与分别平分线段，. ①求证：为定值； ②已知直线与曲线交于，两点，与曲线交于，两点，，求四边形面积的最大值. 【答案】（1） （2）①显然直线与垂直，设直线，则， 直线与椭圆交于,，,， 由于直线平分直线与圆的交线段， 则有， 于是， 由于，， 则，则； ②四边形面积的最大值 【解析】 【分析】（1）设动圆的半径为，分析可得，利用椭圆的定义可求得轨迹的方程； （2）①设直线，直线与椭圆交于,，,，代入椭圆方程，求解即可；②先得到，再令，得到，再求出直线与椭圆的一个交点，利用点到直线距离公式求出，求出四边形面积表达式，结合二次函数求最值即可． 【小问1详解】 设动圆的半径为， 由题意可知：圆的圆心为，半径为；圆的圆心为，半径为， 因为动圆与圆内切，且与圆外切， 则， 所以，动圆的圆心的轨迹是以、为焦点的椭圆， 设其方程为，其中，， 所以，，，从而轨迹的方程为． 【小问2详解】 ①略 ②由题可知，则， 易知， 令，得， 则直线与椭圆交线长为， 同理可得直线与椭圆的一个交点， 则到直线的距离， 所以四边形面积， 当时，四边形不存在， 当时，， 所以四边形面积的最大值，在时取到． 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为； （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，注意的判断； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式； （5）代入韦达定理求解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 厦外2024-2025学年第一学期高二期中考试 数学试题 本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分为150分.考试用时120分钟. 注意事项：1.答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和准考证号填写在答题卡相应的位置上，用2B铅笔将自己的准考证号填涂在答题卡上. 2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；在试卷上作答无效. 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔在答题卡上作答，答案必须写在答题卡上各题目指定区域内的相应位置上，超出指定区域的答案无效；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液.不按以上要求作答的答案无效. 4.考生必须保持答题卡的整洁和平整. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知直线的一个方向向量为，则直线的倾斜角（ ） A. B. C. D. 2. 点在直线上，直线与关于点对称，则一定在直线上的点为（ ） A. B. C. D. （1，0） 3. 若圆截直线所得弦长为，则实数的值为（ ） A. B. C. 1 D. 3 4. 已知椭圆，则“”是“椭圆的离心率为”的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 已知向量，若共面，则在上的投影向量的模为（ ） A. B. C. D. 6. 两条异面直线所成的角为，在直线上分别取点和点，使，且.已知，则线段的长为（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 7. 已知是圆上两点，且，直线上存在点使得，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，过原点的直线交椭圆于两点，过点分别作轴、的垂线，且分别交椭圆于点，，连接交于点，若，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知直线，其中，则（ ） A. 直线过定点 B. 当时，直线与直线垂直 C. 当时，直线在两坐标轴上的截距相等 D. 若与平行，则这两条平行直线之间的距离为 10. 古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点的距离之比为定值的点的轨迹是圆，此圆被称为“阿波罗尼斯圆”.在平面直角坐标系中，已知，，点满足，设点的轨迹为圆，下列结论正确的是（ ） A. 圆的方程是 B. 的取值范围为 C. 圆与圆有两条公切线 D. 过点A作直线，若圆上恰有三个点到直线距离为，该直线斜率为 11. 已知椭圆的长轴长为4，离心率为，，分别为椭圆的左、右焦点，是椭圆上一点，则下列说法正确的是（ ） A. 椭圆的标准方程为 B. 若，则 C. 若，则的最大值为 D. 若过点的直线与椭圆相交于，两点，，的内切圆半径分别为，，当时，直线的斜率 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在空间直角坐标系中，点在平面外，点在平面内，平面的一个法向量为，则点A到平面的距离为__________ 13. 代数与几何是数学的两个重要分支，它们之间存在着紧密的联系.将代数问题转化为几何问题，可以利用几何直观来理解和解决代数问题，例如，与相关的代数问题，可以转化为点与点之间的距离的几何问题.结合上述观点，满足方程的的值为__________. 14. 椭圆的光学性质，从椭圆一个焦点发出的光，经过椭圆反射后，反射光线都汇聚到椭圆的另一个焦点上．已知椭圆C：，为其左、右焦点．M是C上的动点，点，若的最大值为6.动直线l为此椭圆C的切线，右焦点关于直线l的对称点，，则椭圆C的离心率为____；S的取值范围为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图，在四棱锥中，底面是边长为1的正方形，，，在棱上，，设，，. （1）试用，，表示向量； （2）求异面直线与所成的角. 16. 平面直角坐标系中，圆经过直线与的交点，且过点，圆心在直线上 （1）求圆的方程； （2）若，直线上有且仅有一点A满足：过点A作圆的两条切线、，切点分别为，，且使得四边形为正方形，求的值. 17. 已知椭圆经过点，且与双曲线有相同的焦点. （1）求椭圆的方程； （2）设的左，右顶点分别为A，，过点且斜率不为0的直线与交于，两点，过点作关于轴的对称点，连结得到直线，试探究：直线是否恒过轴上的一个定点. 18. 如图，在三棱锥中，，，是线段上的点. （1）求证：平面平面； （2）若，求平面与平面所成角的正弦值； （3）若直线与平面所成角为，求的长. 19. 在平面直角坐标系中，动圆与圆内切，且与圆外切，记动圆圆心的轨迹为曲线. （1）求的方程； （2）已知直线与交于M，N两点，与圆交于，两点，若不重合的两条直线与分别平分线段，. ①求证：为定值； ②已知直线与曲线交于，两点，与曲线交于，两点，，求四边形面积的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $