2025年河北中考数学一轮复习提升训练- 第二章 方程（组）与不等式（组）

2025年河北中考数学一轮复习提升训练- 第二章 方程（组）与不等式（组） 一元一次不等式（组）及其应用 学科网（北京）股份有限公司 立足教材·夯实基础 1. ［教材人七下P117练习高仿］若x＞y，则-2x□-2y，□中应该填入的符号是（ ） A． ＞ B． ＜ C． ≥ D． ≤ 2. 易错点 ［2024·张家口模拟］不等式x●1的解集在数轴上的表示如图所示，则●盖住的符号是（ ） A． ＞ B． ＜ C． ≥ D． ≤ 3. 易错点 若不等式组有解，那么n的取值范围是（ ） A． n＜5 B． n＞5 C． n≥5 D． n≤5 4.［教材人七下P126，T5变式］某工厂贷款9万元购进一台机器生产甲、乙两种产品．已知甲产品的销售净利润是每个5元，乙产品的销售净利润是每个6元，2个甲产品和1个乙产品组成一套销售，设销售x套能赚回这台机器的贷款，则x满足的关系是（ ） A． 2×5x+6x≥90 000 B． 2×5x+6x≤90 000 C． 2（5x+6x）≥90 000 D． 2（5x+6x）≤90 000 5. 难点 不等式2x-3a≤-2a的正整数解为1和2，则a的取值范围是（ ） A． 4≤a≤6 B． 4＜a＜6 C． 4＜a≤6 D． 4≤a＜6 6. 河北特色·开放式结论 若m-2＜2 0240，写出一个符合条件的正整数m的值：_______. 7.［教材冀七下P134例2变式］运行程序如图所示，该程序规定：从“输入一个值x”到“结果是否＞40”为一次程序操作，如果程序操作进行了两次即停止，那么x的取值范围是________. 8.［2024·廊坊三河模拟］【阅读】明明在学习解不等式时，类比解方程的方法解不等式＞0， 解方程： ＞0， 去分母，得-2x+4=0， 移项，得-2x=-4， 系数化为1，得x=2. 解不等式： ＞0， 去分母，得-2x+4＞0，① 移项，得2x＞4，② 系数化为1，得x＞2．③ 【解答】（1）明明在解不等式的过程中，从第____步就开始出现错误，造成该错误的原因是________________； （2）请正确解不等式＞0，并把其解集表示在数轴上； -22- （3）明明类比解方程的方法解不等式＞0，带给我们的启示是：__________________________. 9.［教材人七下P125，T2变式］一次智力测验，共设20道选择题，评分标准为：对1题得a分，答错或不答1题扣b分．下表记录了2名参赛学生的得分情况． 参赛学生得分 答对题数 答错或不答题数 得分 甲 17 3 79 乙 11 9 37 （1）若参赛学生小亮只答对了16道选择题，则小亮的得分为_______分； （2）参赛学生至少要答对几道题，总分才不会低于60分； （3）参赛学生小王获得二等奖（75～85分），请你算算小王答对了几道题？ 拓展进阶·提高能力 10.［2024·湖南］在平面直角坐标系xOy中，对于点P（x，y），若x，y均为整数，则称点P为“整点”，特别地，当（其中xy≠0）的值为整数时，称“整点”P为“超整点”．已知点P（2a-4，a+3）在第二象限，下列说法正确的是（ ） A． a＜-3 B． 若点P为“整点”，则点P的个数为3个 C． 若点P为“超整点”，则点P的个数为1个 D． 若点P为“超整点”，则点P到两坐标轴的距离之和大于10 11. 新定义 ［2024·内蒙古］对于实数a，b定义运算“※”为a※b=a+3b，例如5※2=5+3×2=11，则关于x的不等式x※m＜2有且只有一个正整数解时，m的取值范围是__________. 12. 方案选择 某商场上在销售A，B两种型号玩具，已知购买1个A型玩具和2个B型玩具共需200元；购买2个A型玩具和1个B型玩具共需280元． （1）求一个A型玩具和一个B型玩具的价格各是多少元？ （2）某公司准备购买这两种型号的玩具共20个送给幼儿园，且购买金额不能超过1 000元，请你帮该公司设计购买方案； （3）在（2）的前提下，若要求A，B两种型号玩具都要购买，且费用最少，请你选择一种最佳的设计方案，并通过计算说明． 核心素养·中考新考法 13. 生活情境 ［2024·常州］“绿波”，是指车辆到达前方各路口时，均遇上绿灯，提高通行效率．小亮爸爸行驶在最高限速80 km/h的路段上，某时刻的导航界面如图所示，前方第一个路口显示绿灯倒计时 32 s，第二个路口显示红灯倒计时44 s，此时车辆分别距离两个路口480 m和880 m.已知第一个路口红、绿灯设定时间分别是30 s，50 s，第二个路口红、绿灯设定时间分别是45 s，60 s.若不考虑其他因素，小亮爸爸以不低于40 km/h的车速全程匀速“绿波”通过这两个路口（在红、绿灯切换瞬间也可通过），则车速v（km/h）的取值范围是___________________. -23- 第四节 一元一次不等式（组）及其应用 立足教材·夯实基础 1. B 2. A 3. A 4. A 5. D 6. 1（答案不唯一） 7. 4＜x≤13 8. 解：（1）① 不等式的两边都乘一个负数，不等号的方向没有改变 （2）＞0，去分母，得-2x+4＜0， 移项，得-2x＜-4，系数化为1，得x＞2. 该不等式解集在数轴上的表示如图； （3）一定考虑分母有大于0、小于0两种情况（答案不唯一） 9. 解：（1）72 （2）由题意，得 故答对1题得5分，答错或不答1题扣2分. 设参赛学生要答对x道题， ∴5x-2（20-x）＞60， ∴x＞．x为整数，故最小取15，∴参赛学生至少要答对15道题，总分才不会低于60分； （3）由题意，设小王答对了y道题， ∴75≤5y-2（20-y）≤85，∴≤x≤． ∵x为整数，∴x=17． 答：小王答对了17道题． 拓展进阶·提高能力 10. C 提示：∵点P（2a-4，a+3）在第二象限， ∴解得-3＜a＜2，故选项A不正确，不符合题意； ∵点P（2a-4，a+3）为“整点”，∴a为整数， 又∵-3＜a＜2，∴a=-2，-1，0，1， 当a=-2时，2a-4=-8，a+3 =1，此时点P（-8，1）； 当a=-1时，2a-4=-6，a+3=2，此时点P（-6，2）； 当a=0时，2a-4=-4，a+3=3，此时点P（-4，3）； 当a=1时，2a-4=-2，a+3=4，此时点P（-2，4）； ∴“整点”P的个数是4个，故选项B不正确，不符合题意；根据“超整点”的定义得，当a=1时，点P（-2，4）是“超整点”，∴点P为“超整点”，则点P的个数为1个，故选项C正确，符合题意；当点P为“超整点”，则点P到两坐标轴的距离之和为-2+4=6＜10，故选项D不正确，不符合题意． 11. 0≤m＜ 提示：由题意知，x※m=x+3m，所以x+3m＜2，解得x＜-3m+2．因为此不等式有且只有 一个正整数解，所以1＜-3m+2≤2，解得0≤m＜. 12. 解：（1）设一个A型玩具的价格为x元，一个B型玩具的价格为y元， 依题意，得 答：一个A型玩具的价格为120元，一个B型玩具的价格为40元； （2）设购买m个A型玩具，则购买（20-m）个B型玩具， 依题意，得120m+40（20-m）≤1 000，解得m≤2.5． ∵m为非负整数，∴m=0，1，2． ∴共有3种购买方案，方案1：购买A型玩具0个，B型玩具20个； 方案2：购买A型玩具1个，B型玩具19个； 方案3：购买A型玩具2个，B型玩具18个； （3）方案2所需费用为120+19×40=880（元）， 方案3所需费用为2×120+18×40=960（元）． ∵880＜960， ∴方案2：购买A型玩具1个，B型玩具19个费用最少． 核心素养·中考新考法 13. 54≤v≤72 提示：v km/h= m/s. 根据题意，得 解得54≤v≤72， ∴车速v（km/h）的取值范围是54≤v≤72． $$ 2025年河北中考数学一轮复习提升训练- 第二章 方程（组）与不等式（组） 一次函数的图象和性质 学科网（北京）股份有限公司 立足教材·夯实基础 1. ［2024·邢台模拟］用代入消元法解方程组 将①代入②可得（ ） A． 5x-4x-2=7 B． 5x-2x-1=7 C． 5x-4x+1=7 D． 5x-4x+2=7 2. 数学文化［教材人七下P112，T8变式］《九章算术》是人类科学史上应用数学的“算经之首”，书中有题：若2人坐一辆车，则9人需要步行，若“……”．问： 人与车各多少？小明同学设有x辆车，人数为y，根据题意可列方程组为根据已有信息，题中用 “……”表示的缺失条件应补为（ ） A． 三人坐一辆车，有一车少坐2人 B． 三人坐一辆车，则2人需要步行 C． 三人坐一辆车，则有两辆空车 D． 三人坐一辆车，则还缺两辆车 3. ［教材冀七上P150原图变式］如图，已知相同物体的质量相等，①中天平保持平衡状态，则②中天平（ ） A． 能平衡 B． 不能平衡，右边比左边低 C． 不能平衡，左边比右边低 D． 无法确定 4. 河北特色·缺项题下面是一个被墨水污染过的方程：2x-=3x+◆，答案显示此方程的解是x=-1，被墨水遮盖的是一个常数，则这个常数是（ ） A． 1 B． -1 C． D． 5. 大单元教学［2024·石家庄模拟］如图，用大小形状完全相同的矩形纸片在直角坐标系中摆成如下图案，已知B（2，4），则点A的坐标为（ ） A． （4，5） B． （5，5） C． （5，6） D． （6，6） 6. ［教材人七上P80思考变式］已知x=5是方程ax-8=20+a的解，则a=____，ax-8=_____. 7. 数学文化在数学文化节游园活动中，“智取九宫格”的活动规则是：在九宫格的每一个方格中填入一个数，使每一横行、每一竖列以及每条对角线上的3个数之和都相等．小明抽取到的题目如图所示，则a=________. 8. 若（a+b-1）2+2a-b+7=0，则ab=_____. 9. 过程纠错下面是刘凯同学错题本上的一道题，请仔细阅读并完成相应的任务： 解：2×2x-（4-3x）=2（5x+8） 第一步 4x-4+3x=10x+16 第二步 4x+3x-10x=16-4 第三步 -3x=12 第四步 x=-4 第五步 （1）以上解题过程中，第一步是依据_____________进行变形的；第二步去括号时用到的运算律是______ ________________；-15- （2）第__________步开始出错，这一步错误的原因是 ______________________________； （3）请从错误的一步开始，写出解方程的正确过程． 拓展进阶·提高能力 10. 数学文化［2024·广西］《九章算术》是我国古代重要的数学著作，其中记载了一个问题，大致意思为：现有田出租，第一年3亩1钱，第二年4亩1钱，第三年5亩1钱．三年共得100钱．问：出租的田有多少亩？设出租的田有x亩，可列方程为（ ） A． B． C． 3x+4x+5x=1 D． 3x+4x+5x=100 11. 易错点现定义运算“*”，对于任意有理数a与b，满足a*b=如5*3=3×5-3=12，*1= -3×1=，若有理数x满足x*3=12，则x的值为 （ ） A． 4 B． 5 C． 21 D． 5或21 12. 整体思想［2024·宿迁］若关于x，y的二元一次方程组的解是，则关于x，y的方程组的解是________. 13. 应用意识某超市从厂家购进A，B两种型号的水杯，两次购进水杯的情况如表： 批次 A型（个） B型（个） 总费用（元） 一 100 200 8 000 二 200 300 13 000 （1）求A，B两种型号的水杯进价各是多少元？ （2）第三次进货用10 000元购进这两种水杯，如果每销售出一个A型水杯可获利10元，售出一个B型水杯可获利9元，超市决定每售出一个A型水杯就捐赠 b元．若A，B两种型号的水杯在全部售出的情况下，捐款后所得的利润始终不变，此时b为多少？利润为多少？ 核心素养·中考新考法 14. 应用意识运动心率（次/分）是指人体在运动时保持的心率状态，保持最佳运动心率对于运动效果和运动安全都很重要，对于一般人来说，最佳运动心率控制区域计算法如下：（220-年龄）×0.8=最大运动心率，（220-年龄）×0.6=最小运动心率．健身教练给一位正常成年男性制定的运动方案中，最大运动心率与最小运动心率之差为33次/分，则这位男性的年龄是______岁． -16- 第二章 方程（组）与不等式（组） 第一节 一次方程（组）及其应用 立足教材·夯实基础 1. A 2. C 3. A 4. D 5. B 6. 7 27 7. 6 8. -8 9. 解：（1）等式的基本性质2 乘法分配律 （2）三 移项后-4没有变号 （3）4x+3x-10x=16+4，-3x=20，x= 拓展进阶·提高能力 10. B 11. B 12. 提示：将方程组 ∵关于x，y的二元一次方程组 解得即关于x，y的方程组 13. 解：（1）设A种型号的水杯进价为x元，B种型号的水杯进价为y元，由题意列方程得， 答：A种型号的水杯进价为20元，B种型号的水杯进价为30元； （2）∵设总利润为w元，购进A种水杯a个， 依题意得，w=（10-b）a+9×=（10-6-b）a+ 3 000， ∵捐款后所得的利润始终不变， ∴w值与a值无关， ∴10-6-b=0，解得b=4， ∴w=（10-6-4）a+3 000=3 000. 答：捐款后所得的利润始终不变，此时b为4元，利润为3 000元． 核心素养·中考新考法 14. 55 提示：设这位男性的年龄是x岁， 由题意可得（220-x）×0.8-（220-x）×0.6=33， 解得x=55， 所以这位男性的年龄是55岁. $$ 2025年河北中考数学一轮复习提升训练- 第二章 方程（组）与不等式（组） 分式方程及其应用 学科网（北京）股份有限公司 立足教材·夯实基础 1.［教材人八上P150练习高仿］分式方程的解是（ ） A． x=1 B． x=-2 C． x= D． x=2 2.解分式方程 时，去分母变形正确的是（ ） A． 2-6x+2=-5 B． 6x-2-2=-5 C． 2-6x-1=5 D． 6x-2+1=5 3.［教材人八上P153例4高仿］某列车提速前行驶400 km与提速后行驶500 km所用时间相同，若列车平均提速20 km/h，设提速后平均速度为x km/h，则所列方程正确的是（ ） 4. 易错点关于x的方程有增根，则m的值是（ ） A． 0 B． 2或3 C． 2 D． 3 5. 综合与实践［2024·邯郸馆陶二模］某校计划为学生购买一些篮球和跳绳．调查了某商店的价格情况后，已知一个篮球的价格比一根跳绳的价格的4倍多50元，w1，w2分别表示购买篮球和跳绳所需费用w（元）与数量n（单位：个或根）的关系，如图所示．若设一根跳绳的单价为x元，则可列方程为（ ） 6. 河北特色·开放性问答若点Q（x，y）满 足，则称点Q为“美好点”，写 出一个“美好点”的坐标__________. 7. 在如图所示的正方形数阵中规定运算：16-4=2×6．若a=-2，则b=_______，此时关于x的分式方程的解为_______. 8. 河北特色·缺项题小华做作业时，由于印刷问题，有一个数“？”看不清楚： （1）她把这个数“？”猜成5，请你帮小华解这个分式方程； （2）小华的妈妈说：“我看到的标准答案是：方程的增根是x=2，原分式方程无解.”请你求出原分式方程中“？”代表的数是多少？ -17- 拓展进阶·提高能力 9. 易错点［2024·黑龙江］已知关于x的分式方程无解，则k的值为（ ） A． k=2或k=-1 B． k=-2 C． k=2或k=1 D． k=-1 10. 应用意识甲、乙、丙三名工人共同组装一批零件．已知甲、乙、丙、丁四人聊天时的对话信息如下： 甲说：我单独完成任务所需时间比乙单独完成任务所需时间多5 h. 乙说：我3 h完成的工作量与甲4 h完成的工作量相等. 丙说：我工作效率不高，我的工作效率是乙的工作效率的. 丁说：我没参加此项工作，但我可以计算你们的工作效率． 已知工程问题关系：工作效率×工作时间=工作总量. 如果每小时只安排1名工人，那么按照甲、乙、丙的轮流顺序至完成工作任务，共需（ ） A． 20 h B． 21 h C． D． 11. 若关于x的不等式组至少有2个整数解，且关于y的分式方程的解为非负整数，则所有满足条件的整数a的值之和为_____. 12. 应用意识［2024·重庆］为促进新质生产力的发展，某企业决定投入一笔资金对现有甲、乙两类共30条生产线的设备进行更新换代． （1）为鼓励企业进行生产线的设备更新，某市出台了相应的补贴政策．根据相关政策，更新1条甲类生产 线的设备可获得3万元的补贴，更新1条乙类生产 线的设备可获得2万元的补贴．这样更新完这30条生产线的设备，该企业可获得70万元的补贴．该企业甲、乙两类生产线各有多少条？ （2）经测算，购买更新1条甲类生产线的设备比购买更新1条乙类生产线的设备需多投入5万元，用200万元购买更新甲类生产线的设备数量和用180万元购买更新乙类生产线的设备数量相同，那么该企业在获得70万元的补贴后，还需投入多少资金更新生产线的 设备？ 核心素养·中考新考法 13. 数学文化记载“绫罗尺价”问题：“今有绫、罗共三丈，各直钱八百九十六文，■．”其大意为：“现在有绫布和罗布长共3丈（1丈=10尺），已知分别出售绫布和罗布均能收入896文，■．” 设绫布有x尺，则可得方程为，根据此情境，题中“■”表示缺失的条件，下列可以作为补充条件的是 （ ） A． 每尺绫布比每尺罗布贵120文 B． 每尺绫布比每尺罗布便宜120文 C． 每尺绫布和每尺罗布一共需要120文 D． 绫布的总价比罗布总价便宜120文 -18- 第二节 分式方程及其应用 立足教材·夯实基础 1. A 2. A 3. C 4. D 5. A 6.（2，-1）（答案不唯一，满足x+y=1且x≠0，y≠0即可） 7. -1 x= 8. 解：（1）方程两边同时乘（x-2）得5+3（x-2）=-1，解得x=0，经检验，x=0是原分式方程的解； （2）设“？”为m，方程两边同时乘（x-2），得m+ 3（x-2）=-1，由于x=2是原分式方程的增根，所以把x=2代入上面的等式得m+3（2-2）=-1，m=-1，所以原分式方程中“？”代表的数是-1． 拓展进阶·提高能力 9. A 提示：kx-2（x-3）=-3，kx-2x+6=-3，（k-2）x=-9，x=，∵关于x的分式方程无解，∴x-3=0，解得x=3， =3，∴3k-6=-9或k-2=0，解得k=-1或2. 10. D 提示：设甲单独完成任务需要x h，则乙单独完成任务需要（x-5） h，由题意得解得x=20，经检验，x=20是原方程的根且符合题意，∵丙的工作效率是乙的工作效率的，∴丙的工作效率是，∴一轮的工作量为，∴6轮后剩余的工作量为1-，∴还需要甲工作1小时后，乙需要的工作量为，∴乙还需要工作（h），3×6+1+=（h）．故共需 11. 16 提示：解不等式①，得x＜4，解不等式②，得x≥，∴该不等式组的解集为≤x＜4，∵该不等式组至少有2个整数解，∴≤2，解得a≤8；解分式方程 得，y=，∵解为非负整数，∴≥0，即 a≥2且a为偶数，由题意得，当a=8时，y==3；当a=6时，y==2；当a=4时，y==1（不合题意，舍去）；当a=2时，y==0，∴所有满足条件的整数a的值为8，6和2，∵8+6+2=16，∴所有满足条件的整数a的值之和为16. 12. 解：（1）设该企业有x条甲类生产线，y条乙类生产线，根据题意，得解得 答：该企业有10条甲类生产线，20条乙类生产线； （2）设购买更新1条乙类生产线的设备需投入m 万元，则购买更新1条甲类生产线的设备需投入（m+5）万元， 根据题意得，解得m=45， 经检验，m=45是所列方程的解，且符合题意， ∴10（m+5）+20m-70=10×（45+5）+20×45-70=1 330． 答：还需投入1 330万元资金更新生产线的设备． 核心素养·中考新考法 13. C $$