精品解析：河北省沧州市任丘第六中2024-2025学年九年级上学期期中数学试卷

2024—2025学年度第一学期完美测评② 九年级数学（冀教版） 考试范围：九年级上册 考生注意：1．本试卷共6页，总分120分． 2．答题前请将密封线左侧的项目填写清楚． 3．答案请用蓝、黑色钢笔或圆珠笔填写． 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分） 1. 有31位学生参加学校举行的“最强大脑”智力游戏比赛，比赛结束后根据每个学生的最后得分计算出中位数、平均数、众数和方差，如果去掉一个最高分和一个最低分，则一定不发生变化的是（　　） A. 中位数 B. 平均数 C. 众数 D. 方差 2. 已知，那么下列比例式中成立的是（　　） A. B. C. D. 3. 如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠C＝100°，那么∠A是（ ） A. 60° B. 50° C. 80° D. 100° 4. 如图，反比例函数的图象与过点的直线相交于、两点．已知点的坐标为，点为轴上任意一点．如果，那么点的坐标为（ ） A. B. C. 或 D. 或 5. 下列说法：①长度相等的弧是等弧；②相等的圆心角所对的弧相等；③劣弧一定比优弧短；④直径是圆中最长的弦．其中正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 6. 一根水平放置的圆柱形输水管道横截面如图所示，其中有水部分水面宽0.8米，最深处水深0.2米，则此输水管道的直径是（ ） A. 0.5 B. 1 C. 2 D. 4 7. 如果α是锐角，且sinα=，那么cos（90°﹣α）的值为（　　） A. B. C. D. 8. 若圆锥经过轴的剖面是正三角形，则它的侧面积与底面积之比为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，某数学活动小组要测量校园内旗杆的高度，点、在同一条水平线上，测角仪在处测得旗杆最高点的仰角为．若测角仪，，则旗杆的高度为（ ） A. B. C. D. 10. 三个顶点的坐标分别为、、，以原点为位似中心画一个三角形，使它与位似，且位似比是，则点的对应点的坐标是（ ） A. B. C. 或 D. 或 11. 如图所示的网格由边长相同的小正方形组成，点、、、、、、都在小正方形的顶点上，则的外心是（    ） A. 点 B. 点 C. 点 D. 点 12. 如图，双曲线（）与矩形的边、分别交于点、，且与矩形的对角线交于点，连接，与对角线交于点，是对角线上的一点，连接、．若，，，则点的坐标为（　　　） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 13. 计算sin60°+tan30°＝_____． 14. 已知一组数据x1＝3，x2＝6，x3＝9，那么另一组数据2x1﹣1，2x2﹣1，2x3﹣1的方差为 _____． 15. 如图，在平面直角坐标系中，点，点，点，连接，过A点作双曲线交线段于点D（不与点B、C重合），已知，若，则a的取值范围是______． 16. 如图，在中，，，点P从A出发，以的速度向B运动，同时点Q从C出发，以的速度向A运动，当其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动的时间为，当________s时，以A、P、Q为顶点的三角形与相似． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. （1）解方程：． （2）计算：． 18. 4月23日是世界读书日，读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气．某校鼓励师生利用课余时间广泛阅读．该校文学社为了解学生课外阅读情况，抽样调查了部分学生每月用于课外阅读的时间，随机采访了九年级的10名同学，得到这10名同学一月内用于课外阅读的时间次数分别为：17，12，15，20，17，0，7，26，17，9． （1）这组数据的中位数是________，众数是________； （2）计算这10名同学一月内用于课外阅读的平均次数； （3）若该学校九年级有500名学生，试估计该学校九年级同学一月内用于课外阅读总次数． 19. 如图，是的一条弦，，垂足为，交于点，点在上． （1）若，求的度数； （2）若，，求弦的长． 20. 有一个人患了流感，经过两轮传染后有若干人被传染上流感．假设在每轮的传染中平均一个人传染了个人． （1）第二轮被传染上流感人数是______；（用含的代数式表示） （2）在进入第二轮传染之前，如果有名患者被及时隔离（未治愈），经过两轮传染后是否会有人患病的情况发生，并说明理由． 21. 如图，中，，，点，点，反比例函数的图象经过点A． （1）求反比例函数的解析式； （2）将直线向上平移个单位后经过反比例函数，图象上的点，求，的值． 22. 图1是疫情期间测温员用“额温枪”对小红测温时的实景图，图2是其侧面示意图，其中枪柄BC与手臂MC始终在同一直线上，枪身BA与额头保持垂直．量得胳膊MN＝28cm，MB＝42cm，肘关节M与枪身端点A之间的水平宽度为25.3cm（即MP的长度），枪身BA＝8.5cm．（参考数据：sin66.4°≈0.92，cos66.4°≈0.40，sin23.6°≈0.40，） （1）求∠ABC的度数； （2）测温时规定枪身端点A与额头距离范围为3~5cm．在图2中，若测得∠BMN＝68.6°，小红与测温员之间距离为50cm．问此时枪身端点A与小红额头的距离是否在规定范围内？并说明理由．（结果保留小数点后一位） 23. 如图，四边形内接于，是的直径，，连接，． （1）求的度数． （2）求弧的长． （3）移动点，使为弧的中点，请直接写出此时的长． 24. 【问题背景】如图1，点，，在同一直线上，，易证：； （1）在图1中，当点为中点时，求证：； 【拓展应用】如图2，矩形中，，点是的中点，连接．将沿着折叠后得，延长交于，连接． （2）求证：； （3）若，，求线段长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年度第一学期完美测评② 九年级数学（冀教版） 考试范围：九年级上册 考生注意：1．本试卷共6页，总分120分． 2．答题前请将密封线左侧的项目填写清楚． 3．答案请用蓝、黑色钢笔或圆珠笔填写． 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分） 1. 有31位学生参加学校举行的“最强大脑”智力游戏比赛，比赛结束后根据每个学生的最后得分计算出中位数、平均数、众数和方差，如果去掉一个最高分和一个最低分，则一定不发生变化的是（　　） A. 中位数 B. 平均数 C. 众数 D. 方差 【答案】A 【解析】 【分析】根据中位数的定义（将一组数据按照由小到大（或由大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数）即可得． 【详解】解：由中位数的定义可知，去掉一个最高分和一个最低分对中位数没有影响， 所以中位数一定不发生变化， 故选：A． 【点睛】本题考查了中位数，熟记中位数的定义是解题关键，难度不大． 2. 已知，那么下列比例式中成立的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查了比例的性质，正确将已知变形是解题关键．直接利用比例的性质变形得出答案． 【详解】解：， ， 则， 故选：B． 3. 如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠C＝100°，那么∠A是（ ） A. 60° B. 50° C. 80° D. 100° 【答案】C 【解析】 【分析】根据圆内接四边形的对角互补计算即可． 【详解】解：∵四边形ABCD内接于⊙O， ∴∠A+∠C＝180°， ∵∠C＝100°， ∴∠A＝180°﹣∠C＝180°﹣100°＝80°， 故选：C． 【点睛】本题考查的是圆内接四边形的性质，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键． 4. 如图，反比例函数的图象与过点的直线相交于、两点．已知点的坐标为，点为轴上任意一点．如果，那么点的坐标为（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】反比例函数的图象过点，可得，进而求得直线的解析式为，得出点的坐标，设，根据，解方程即可求解． 【详解】解：∵反比例函数的图象过点 ∴ ∴ 设直线的解析式为， ∴， 解得：, ∴直线的解析式为， 联立， 解得：或， ∴， 设， ∵， 解得：或， ∴的坐标为或， 故选：D． 【点睛】本题考查了一次函数与反比例数交点问题，待定系数法求解析式，求得点的坐标是解题的关键． 5. 下列说法：①长度相等的弧是等弧；②相等的圆心角所对的弧相等；③劣弧一定比优弧短；④直径是圆中最长的弦．其中正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查圆中有关定义．利用等弧的定义、圆周角定理、弧的定义及弦的定义分别判断后即可确定正确的选项． 【详解】解：①长度相等的弧不一定是等弧，弧的度数必须相同，故原说法错误； ②同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等，故原说法错误； ③同圆或等圆中劣弧一定比优弧短，故原说法错误； ④直径是圆中最长的弦，故原说法正确， 正确的只有1个， 故选：A． 6. 一根水平放置的圆柱形输水管道横截面如图所示，其中有水部分水面宽0.8米，最深处水深0.2米，则此输水管道的直径是（ ） A. 0.5 B. 1 C. 2 D. 4 【答案】B 【解析】 【详解】解：设半径为r，过O作OE⊥AB交AB于点D，连接OA、OB， 则AD=AB=×0.8=0.4米， 设OA=r，则OD=r﹣DE=r﹣0.2， 在Rt△OAD中， OA2=AD2+OD2， 即r2=0.42+（r﹣0.2）2， 解得r=0.5米， 故此输水管道的直径=2r=2×0.5=1米． 故选B． 7. 如果α是锐角，且sinα=，那么cos（90°﹣α）的值为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据：cos（90°﹣α）= sinα． 【详解】cos（90°﹣α）= sinα=． 故选B 【点睛】本题考核知识点：三角函数.解题关键点：理解cos（90°﹣α）= sinα.． 8. 若圆锥经过轴的剖面是正三角形，则它的侧面积与底面积之比为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查圆锥的侧面积，设圆锥母线为t，底面半径为r，根据等边三角形的性质可得，再分别表示出圆锥的侧面积与底面积，即可求得结果． 【详解】设圆锥母线为t，底面半径为r，由题意得． ∴ ∴ 故选：C． 9. 如图，某数学活动小组要测量校园内旗杆的高度，点、在同一条水平线上，测角仪在处测得旗杆最高点的仰角为．若测角仪，，则旗杆的高度为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】过点作交于点，根据仰角的正切值解直角三角形，求出，最后再求解即可． 【详解】解：过点作交于点， 由题意得：， ∴ ， 故选C． 【点睛】本题主要考查解直角三角形，熟练掌握构造直角三角形的方法并利用三角函数解直角三角形是解决本题的关键． 10. 三个顶点的坐标分别为、、，以原点为位似中心画一个三角形，使它与位似，且位似比是，则点的对应点的坐标是（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了求位似图形对应点坐标，分与在原点同侧和异侧两种情况，根据位似图形对应点坐标的特点进行求解即可 【详解】解：当与在原点同侧时， ∵与关于原点位似，且位似比是，， ∴，即； 当与在原点异侧时， ∵与关于原点位似，且位似比是，， ∴，即； 故选：C． 11. 如图所示的网格由边长相同的小正方形组成，点、、、、、、都在小正方形的顶点上，则的外心是（    ） A. 点 B. 点 C. 点 D. 点 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形的外心的定义，掌握“三角形三边的垂直平分线相交于一点，这一点是该三角形的外心”是解题的关键．作线段、的垂直平分线，即可求解． 【详解】解：作线段、的垂直平分线，如图所示： 的外心是点， 故选：A． 12. 如图，双曲线（）与矩形的边、分别交于点、，且与矩形的对角线交于点，连接，与对角线交于点，是对角线上的一点，连接、．若，，，则点的坐标为（　　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设OB长为4a，用含a的式子分别表示出CE，CF长度，再连接OF，OE，通过含a和k的式子表示出四边形面积，通过方程组求出k的值．再联立直线与双曲线方程求交点坐标． 【详解】设OB＝4a， ∴点E坐标为（4a，）， 由sin∠COB＝可得BC＝3a，OC＝5a． ∴点C坐标为（4a，3a），点F坐标为（，3a）． ∴CE＝3a−，CF＝4a−． ∵S△EFG＝，GH：HC＝1：2， ∴S△FCE＝2S△EFG＝， ∴CE•CF＝（3a−）（4a−）＝12a2−2k＋＝①． 连接OF，OE， ∵OG：GH：HC＝3：1：2， ∴点G为OC中点，S△OFG＋S△OEG＝S△EFG＋S△EFC＝＋＝4， ∵S△ODF＋S△OBE＝k， ∴矩形OBCD面积为S△OFG＋S△OEG＋S△EFG＋S△EFC＋S△ODF＋S△OBE＝4＋4＋k＝8＋k， 又∵矩形OBCD面积为OB•OC＝12a2， ∴8＋k＝12a2②， 联立方程①②解得k＝4． ∴y＝． OC所在直线解析式为y＝x， 联立， 解得， ∴点A坐标为（，）． 故选：D． 【点睛】本题考查反比例函数k的几何意义，解题关键是通过设坐标，用参数表示出矩形面积求解． 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 13. 计算sin60°+tan30°＝_____． 【答案】 【解析】 【分析】直接把各特殊角的三角函数值代入进行计算即可． 【详解】原式＝ ＝． 故答案为：． 【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值的加法运算，熟练掌握各特殊角的三角函数值是解题的关键. 14. 已知一组数据x1＝3，x2＝6，x3＝9，那么另一组数据2x1﹣1，2x2﹣1，2x3﹣1的方差为 _____． 【答案】24 【解析】 【分析】根据平均数和方差的计算公式变形即可得到结果． 【详解】解：数据x1，x2，x3，的平均数＝（3+6+9）÷3＝6， 则其方差为S12＝×[（3﹣6）2+（6﹣6）2+…+（3﹣6）2]＝6， 则2x1﹣1，2x2﹣1，2x3﹣1的平均数为2×6﹣1＝11，其方差为S22＝4S12＝24． 故答案为：24． 【点睛】本题考查平均数和方差，熟记平均数和方差的求解公式及变形公式是解答的关键． 15. 如图，在平面直角坐标系中，点，点，点，连接，过A点作双曲线交线段于点D（不与点B、C重合），已知，若，则a的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查利用待定系数法求反比例函数解析式，反比例函数图象上点的坐标特征以及解不等式．先求出双曲线解析式，由题意可用a表示出D点坐标．即可求出和的长．再由线段与双曲线有交点且与点B、C不重合和可列出不等式，解出不等式即可求出a的取值范围． 【详解】解：由题意可知点A在双曲线上， ∴将点A坐标代入双曲线解析式得：， 解得：． 即双曲线解析式为， ∵，， ∴轴， ∴D点纵坐标为a， 将D点纵坐标代入双曲线解析式得：， 即， ∴D点坐标为． ∵线段与双曲线有交点且与点B、C不重合， ∴， 解得：． ∵，，且． ∴． ∴． 综上可知． 故答案为：． 16. 如图，在中，，，点P从A出发，以的速度向B运动，同时点Q从C出发，以的速度向A运动，当其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动的时间为，当________s时，以A、P、Q为顶点的三角形与相似． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，相似三角形的动点问题，根据路程速度时间即可表示出的长度；再分两种情况进行讨论，利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】解：根据题意可得：，， ∴， ∵，为顶点的三角形与相似， ∴或， ∴或， ∴或， ∴或时，以、、为顶点的三角形与相似． 故答案为：或． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. （1）解方程：． （2）计算：． 【答案】（1），；（2）． 【解析】 【分析】（1）根据配方法进行求解一元二次方程即可； （2）利用特殊三角函数值进行求解即可． 【详解】解：（1）， ， ，即， ∴或， ∴，． （2）原式． 【点睛】本题主要考查一元二次方程的解法及特殊三角函数值，熟练掌握一元二次方程的解法及特殊三角函数值是解题的关键． 18. 4月23日是世界读书日，读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气．某校鼓励师生利用课余时间广泛阅读．该校文学社为了解学生课外阅读情况，抽样调查了部分学生每月用于课外阅读的时间，随机采访了九年级的10名同学，得到这10名同学一月内用于课外阅读的时间次数分别为：17，12，15，20，17，0，7，26，17，9． （1）这组数据的中位数是________，众数是________； （2）计算这10名同学一月内用于课外阅读的平均次数； （3）若该学校九年级有500名学生，试估计该学校九年级同学一月内用于课外阅读总次数． 【答案】（1）16，17 （2）这10名同学一月内用于课外阅读的平均次数为14； （3）估计该学校九年级同学一月内用于课外阅读总次数是7000． 【解析】 【分析】本题考查了中位数、众数、平均数的概念以及利用样本平均数估计总体． （1）将数据按照大小顺序重新排列，计算出中间两个数的平均数即是中位数，出现次数最多的即为众数； （2）根据平均数的概念，将所有数的和除以10即可； （3）用样本平均数估算总体的平均数． 【小问1详解】 解：按照从小到大的顺序排列为：0，7，9，12，15，17，17，17，20，26， 所以中位数是； 17出现3次，次数最多，所以众数是17， 故答案为：16，17； 【小问2详解】 解：， 答：这10名同学一月内用于课外阅读的平均次数为14； 【小问3详解】 解：， 答：估计该学校九年级同学一月内用于课外阅读总次数是7000． 19. 如图，是的一条弦，，垂足为，交于点，点在上． （1）若，求的度数； （2）若，，求弦的长． 【答案】（1）20°；（2）8 【解析】 【分析】（1）欲求，又已知一圆心角，可利用圆周角与圆心角的关系求解； （2）利用垂径定理可以得到，从而得到结论． 【详解】解：（1）， ， ． （2），，且， ， ， ， ， ． 【点睛】此题考查了圆周角与圆心角定理以及垂径定理，熟练掌握垂径定理得出是解题关键． 20. 有一个人患了流感，经过两轮传染后有若干人被传染上流感．假设在每轮的传染中平均一个人传染了个人． （1）第二轮被传染上流感人数是______；（用含的代数式表示） （2）在进入第二轮传染之前，如果有名患者被及时隔离（未治愈），经过两轮传染后是否会有人患病的情况发生，并说明理由． 【答案】（1）； （2）根据题意得：， 解得：，（舍）， ∵为正整数， ∴第二轮传染后会有人患病的情况发生． 【解析】 【分析】（1）一个人患流感，则经过一轮传染后患病的总人数为人，然后每个人又传染人，表示出第二轮传染上流感的人数即可； （2）因进入第二轮传染之前，有名患者被及时隔离（未治愈），则第二轮后共有人患流感，而此时患流感的人数为人，根据这个等量关系列出方程，若能求出正整数解，则会有人患病的情况发生． 【详解】解：（1）根据题意：第二轮被传染上流感人数是：， 故答案为：； （2） 略 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是能根据进入第二轮传染之前，有四位患者被及时隔离（未治愈）列出方程并求解． 21. 如图，中，，，点，点，反比例函数的图象经过点A． （1）求反比例函数的解析式； （2）将直线向上平移个单位后经过反比例函数，图象上的点，求，的值． 【答案】（1）；（2）， 【解析】 【分析】（1）作轴，可知，得出点坐标，待定系数法求出解析式即可， （2）将点代入（1）中解析式和直线的解析式中，分别求出，的值即可． 【详解】（1）如图，作轴，则 ，， 点，点 ， ∴OD=OC+CD=6， 代入中， ． （2）在上， 设直线OA解析式为 ， 直线向上平移个单位后的解析式为： 图象经过（1，12） 解得： ，． 【点睛】本题考查了待定系数法求反比例函数解析式，正比例函数解析式，函数图像的平移，三角形全等的性质与判定，解题的关键是掌握一次函数与反比例函数的相关性质和数形结合思想． 22. 图1是疫情期间测温员用“额温枪”对小红测温时的实景图，图2是其侧面示意图，其中枪柄BC与手臂MC始终在同一直线上，枪身BA与额头保持垂直．量得胳膊MN＝28cm，MB＝42cm，肘关节M与枪身端点A之间的水平宽度为25.3cm（即MP的长度），枪身BA＝8.5cm．（参考数据：sin66.4°≈0.92，cos66.4°≈0.40，sin23.6°≈0.40，） （1）求∠ABC的度数； （2）测温时规定枪身端点A与额头距离范围为3~5cm．在图2中，若测得∠BMN＝68.6°，小红与测温员之间距离为50cm．问此时枪身端点A与小红额头的距离是否在规定范围内？并说明理由．（结果保留小数点后一位） 【答案】（1）113.6°； （2）∵∠BMN＝68.6°，∠BMH＝66.4°， ∴∠NMI＝180°−∠BMN−∠BMH＝180°−68.6°−66.4°＝45°， ∵MN＝28cm， ∴cos45°＝， ∴MI≈19.80cm， ∵KI＝50cm， ∴PK＝KI−MI−MP＝50−19.80−25.3＝4.90≈4.9（cm）， ∴此时枪身端点A与小红额头的距离是在规定范围内． 【解析】 【分析】（1）过点B作BH⊥MP，垂足为H，根据解直角三角形cos∠BMH＝，即可计算出∠BMH的度数，再根据平行线的性质即可算出∠ABC的度数； （2）根据（1）中的结论和已知条件可计算出∠NMI的度数，根据三角函数即可算出MI的长度，再根据已知条件即可算出PK的长度，即可得出答案． 【详解】解：（1）过点B作BH⊥MP，垂足为H，过点M作MI⊥FG，垂足为I，过点P作PK⊥DE，垂足为K， ∵MP＝25.3cm，BA＝HP＝8.5cm， ∴MH＝MP−HP＝25.3−8.5＝16.8（cm）， 在Rt△BMH中， cos∠BMH＝， ∴∠BMH＝66.4°， ∵AB∥MP， ∴∠BMH＋∠ABC＝180°， ∴∠ABC＝180°−66.4°＝113.6°； （2）略 【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用，熟练掌握解直角三角形的方法进行计算是解决本题的关键． 23. 如图，四边形内接于，是的直径，，连接，． （1）求的度数． （2）求弧的长． （3）移动点，使为弧的中点，请直接写出此时的长． 【答案】（1） （2） （3）6 【解析】 【分析】（1）由是的直径，得到，则可得到，根据圆内接四边形对角互补可得； （2）如图所示，连接，由圆周角定理得到，再根据弧长公式求解即可； （3）如图所示，过点D作于E，由含30度角的直角三角形的性质得到；再证明，由三线合一定理得到，求出，则． 【小问1详解】 解；∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是圆内接四边形， ∴ 【小问2详解】 解：如图所示，连接， ∵是的直径，， ∴， ∵， ∴， ∴弧的长； 【小问3详解】 解：如图所示，过点D作于E， 在中，， ∴； ∵为弧的中点， ∴弧与弧相等， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，弧与弦之间的关系，求弧长等等，正确作出辅助线是解题的关键． 24. 【问题背景】如图1，点，，在同一直线上，，易证：； （1）在图1中，当点为中点时，求证：； 【拓展应用】如图2，矩形中，，点是的中点，连接．将沿着折叠后得，延长交于，连接． （2）求证：； （3）若，，求线段长． 【答案】（1） 证明：， ， 点为中点， ， 又， ； （2） 证明：由折叠可得，，，， ∴， ，， 由（1）得， ， 即； （3） 【解析】 【分析】（1）由相似三角形的性质推出，等量代换得到，利用相似三角形的判定定理即可证明结论成立； （2）证明，推出，再证明，即可证明结论成立； （3）利用三角函数的定义求得，在中，利用勾股定理列式得到，据此求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：在中，，， ∴， ∵点为中点， ∴， 在中，， 由（2）得， ∴， 解得或， ， ． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，解直角三角形，解一元二次方程以及全等三角形的判定和性质等知识．解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $