专题17 等腰（等边）三角形中重要模型之帽子模型、等边截等长与等边内接等边模型-2024-2025学年八年级数学上册常见几何模型全归纳之模型解读与提分精练（沪科版）

专题17 等腰（等边）三角形中重要模型之帽子模型、等边截等长与等边内接等边模型 等腰（等边）三角形是中学阶段非常重要三角形，具有许多独特的性质和判定定理。各类考试的常客，并且形式多样，内容新颖，能较好地考查同学们的相关能力。本专题将把等腰三角形的几类重要模型作系统的归纳与介绍，方便大家对它有个全面的了解与掌握。 2 模型1.等腰三角形中的重要模型-帽子模型（长短手模型） 2 模型2.等边截等长模型（定角模型） 3 模型3.等边内接等边 4 8 模型1.等腰三角形中的重要模型-帽子模型（长短手模型） 帽子模型，其实是等腰三角形独特性质的应用，因为模型很像帽子，学习知识点的同时也增加了趣味性。 条件：如图，已知AB=AC，BD=CE，DG⊥BC于G，结论：①DF=FE；②。 证明：如图，过点D作交于H，则，， ∵，∴，∴，∴，∵，∴， 在和中,，∴，∴； ∵，∴，∵，，∴， ∴，∴． 例1．（23-24八年级上·四川自贡·期末）如图，在中，，，点从点出发沿线段向点移动，点同时从点出发沿线段的延长线移动，点与点移动的速度相同，线段与线段相交于点。(1)如图①，当，时，求证：；(2)如图②，过点作于点，在移动的过程中，的长是否发生变化，若改变，请说明理由；若不变，请求出其值． 【答案】(1)见解析(2)不变， 【分析】（1）根据等边三角形的性质得到，根据垂直的定义得到，推出，设得到列方程即可得到结论； （2）过点作交于，根据等腰三角形的性质得到．根据平行线的性质得到求得，根据全等三角形的性质得到，，于是得到结论． 【详解】（1）解：，， 是等边三角形，， ，，， ，，， 点与点移动的速度相同，设， ，，，，，； （2）的长不变，理由如下，过点作交于， ，，，， ，，由题意，，，，， 又，，，， ，，． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，直角三角形的性质，平行线的性质，正确的作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 例2．（23-24八年级上·辽宁葫芦岛·期末）【问题初探】（1）数学课上，李老师出示了这样一个问题：如图1，在中，，点F是上一点，点E是延长线上的一点，连接，交于点D，若，求证：． ①如图2，小乐同学从中点的角度，给出了如下解题思路：在线段上截取，使，连接，利用两个三角形全等和已知条件，得出结论； ②如图3，小亮同学从平行线的角度给出了另一种解题思路：过点E作交的延长线于点M，利用两个三角形全等和已知条件，得出了结论； 请你选择一位同学的解题思路，写出证明过程； 【类比分析】（2）李老师发现两位同学的做法非常巧妙，为了让同学们更好的理解这种转化的思想方法，李老师提出了新的问题，请你解答， 如图4，在中，点E在线段上，D是的中点，连接，，与相交于点N，若，求证：； 【学以致用】（3）如图5，在中，，，平分，点E在线段的延长线上运动，过点E作，交于点N，交于点D，且，请直接写出线段，和之间的数量关系． 【答案】（1）①选择小乐同学的做法：证明见解析；②选择小亮同学的做法：证明见解析；（2）证明见解析；（3） 【分析】（1）①证明，得出，，证明，得出，证明，得出，即可证明结论； ②证明，得出，根据等腰三角形的判定证明，即可证明结论； （2）延长，取，连接，证明，得出，，根据等腰三角形判定得出，即可证明结论；（3）延长，使，连接，证明，得出，，证明，得出，根据直角三角形性质得出，根据，即可证明结论． 【详解】（1）证明：∵，，， ∴，∴，，∴，∴， ∵，∴，∴，∴，∴； ②∵，∴，∵，，∴，∴， ∵，∴，∵，∴，∴，∴； （2）延长，取，连接，如图所示： ∵D是的中点，∴，∵，∴，∴，， ∵，，∴， ∴，∴，∴； （3）延长，使，连接，如图所示： ∵，，∴， ∴，，∴，∴， ∵平分，∴， ∵，∴，∴， ∴，∴，∴， ∵，，∴， ∵，∴． 【点睛】本题主要考查了全等的三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，直角三角形的性质，平行线的判定和性质，解题的关键是作出辅助线，构造全等三角形，熟练掌握三角形全等的判定方法． 例3．（2024七年级下·山东·专题练习）如图，过边长为1的等边的边上一点P，作于E，Q为延长线上一点，当时，连交边于D，则的长为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质和判定，等腰三角形的性质，平行线的性质等知识点的应用，过P作交于F，得出等边三角形，推出，根据等腰三角形性质求出，证，推出，推出即可． 【详解】解：过P作交于F． ，是等边三角形，，是等边三角形，， ，，，． ∵在和中，，，， ，，，，．故选：B． 例4．（23-24八年级上·吉林延边·期末）已知△ABC中，AB＝AC＝BC＝6．点P射线BA上一点，点Q是AC的延长线上一点，且BP＝CQ，连接PQ，与直线BC相交于点D． （1）如图①，当点P为AB的中点时，求CD的长； （2）如图②，过点P作直线BC的垂线，垂足为E，当点P，Q分别在射线BA和AC的延长线上任意地移动过程中，线段BE，DE，CD中是否存在长度保持不变的线段？请说明理由. 【答案】（1）CD＝；（2）线段DE的长度保持不变，理由见解析. 【分析】（1）过P点作PF∥AC交BC于F，即可构成小等边三角形BPF，再证明△PFD≌△QCD即可求解；（2）根据（1）分两种情况：点P在线段AB上时，点P在BA的延长线上时分别求解即可得出结论. 【详解】解：（1）过P点作PF∥AC交BC于F， ∵点P为AB的中点，∴BP＝A B＝3， ∵AB＝AC＝BC ，∴∠B＝∠ACB＝∠BAC＝60°， ∵PF∥AC，∴∠PFB＝∠ACB＝60°，∠BPF＝∠BAC＝60°， ∴△PBF是等边三角形，∴BF＝FP＝BP＝3，∴FC＝BC－BF＝3， 由题意，BP＝CQ，∴FP＝CQ，∵PF∥AC，∴∠DPF＝∠DQC， 又∠PDF＝∠QDC，∴△PFD≌△QCD，∴CD＝DF＝ FC＝ ； （2）当点P，Q在移动的过程中，线段DE的长度保持不变， 分两种情况讨论：①当点P在线段AB上时， 过点P作PF∥AC交BC于F，由（1）知PB＝PF， ∵PE⊥BC，∴BE＝EF，由（1）知△PFD≌△QCD，CD＝DF，∴DE＝EF＋DF＝ BC＝3， ②当点P在BA的延长线上时，同理可得DE＝3， ∴当点P、Q在移动的过程中，线段DE的长度保持不变. 点睛：本题考查全等三角形的判定、性质和等边三角形的性质.综合运用已知条件并构造辅助线是解题关键. 模型2.等边截等长模型（定角模型） 条件：如图，在等边中，点，分别在边，上，且，与相交于点，于点．结论：①；②AD=BE；③；④BQ=2PQ。 证明：在等边三角形中，，， 在和中，，，∴AD=BE，∠CAD=∠ABE； ． ，，∴BQ=2PQ． 例1．（23-24八年级·重庆·课后作业）如图，已知△是等边三角形，、分别是、边上的点，且，、相交于点.求证：； 【答案】见解析； 【分析】由△ABC是等边三角形，根据等边三角形的性质，即可得AB=BC=AC，∠ABC=∠BAC=∠C=60°，又由BD=CE，利用SAS即可判定△ABD≌△BCE，即可解答； 【详解】证明：∵△ABC是等边三角形， ∴AB=BC=AC，∠ABC=∠BAC=∠C=60°， 在△ABD和△BCE， ，∴△ABD≌△BCE（SAS），∴AD=BE． 【点睛】此题考查全等三角形的判定与性质及等边三角形的性质，证明三角形全等得出角相等是解题关键． 例2．（23-24福建八年级上期中）如图，在等边的，边上各取一点、，使，，相交于点，则 度． 【答案】60 【分析】根据等边三角形的性质可得：AB＝AC，∠BAP＝∠C＝60°，根据全等三角形的判定可得△ABP≌△CAQ（SAS），继而可得∠PBA＝∠QAC，根据三角形外角与不相邻的两个内角的关系及对顶角相等可得∠AOP＝∠ABO＋∠BAO等角代换可得∠BOQ的度数 ． 【详解】∵△ABC是等边三角形，∴AB＝AC，∠BAP＝∠C＝60°， ∵AP＝CQ∴△ABP≌△CAQ（SAS），∴∠PBA＝∠QAC， ∵∠AOP＝∠ABO＋∠BAO，∠AOP＝∠BOQ， ∴∠BOQ＝AOP＝∠CAQ＋∠BAO＝60° 故答案为60 【点睛】本题主要考查等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质，外角与不相邻的两个内角的关系，对顶角，解题的关键是是证得△ABP≌△CAQ． 例3．（23-24八年级下·安徽宿州·期中）等边中，D、E是、上的点，，与相交于点Q，．求证：(1)；(2)． 【答案】(1)见解析(2)见解析 【分析】（1）根据等边三角形的性质，结合三角形全等的判定定理证明即可． （2）根据全等三角形的性质，三角形外角性质，直角三角形的性质，证明即可． 【详解】（1）证明：∵等边，∴，, ∵，∵，∴． （2）证明：∵，∴， ∵，∴，∴， ∵，∴，∴． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，三角形全等的判定和性质，三角形外角性质，直角三角形的性质，熟练掌握性质是解题的关键． 例4．（23-24八年级上·湖北咸宁·期末）如图，在等边三角形中，，分别在边，上，且，与交于点，，垂足为点.下列结论：①；②；③是等腰三角形；④，其中正确结论的个数是（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】根据等边三角形的性质可证得，，，根据全等三角形判定，可得，然后根据全等三角形对应边相等可判定①正确；由全等三角形的性质得，求出，然后利用三角形的内角和定理即可求出，可判定②正确；通过角度的计算，得，，都互不相等，可判定③错误；根据三角形内角和定理求得，然后根据“直角三角形角所对的直角边等于斜边的一半可”即可判定④正确． 【详解】解：是等边三角形，，， ，，在和中， ，，故结论①正确； ，， ，故结论②正确； ，，， 不是等腰三角形；故结论③错误； ，，， ， ，即，故结论④正确；综上所述：正确的结论为①②④，共有3个，故选：B． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，含角直角三角形的性质，等腰三角形的判定，熟练掌握等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理等知识，证得与全等是解题关键． 模型3.等边内接等边 图1 图2 1）等边内接等边（截取型） 条件：如图1，等边三角形ABC中，点D，E，F分别在边AB，BC，CA上运动，且满足AD=BE=CF； 结论：三角形DEF也是等边三角形。 证明：∵是等边三角形，∴，． ∵，∴． 在和中，∴（）， ∴．同理，∴，∴是等边三角形． 2）等边内接等边（垂线型） 条件：如图，点、、分别在等边的各边上，且于点，于点，于点，结论：三角形DEF也是等边三角形。 证明：是等边三角形，， ，，，， ，，是等边三角形， 例1．（2024八年级上·重庆·专题练习）如图，过等边三角形的顶点、、依次作、、的垂线、，三条垂线围成，若，则的周长为（　　） A．12 B．18 C．20 D．24 【答案】B 【分析】本题主要考查了等边三角形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，含30度的直角三角形的性质，先证明是等边三角形．得出．根据直角三角形的性质求出，证明，得出，求出，最后求出结果即可． 【详解】解：∵，∴，∵是等边三角形，∴， ∴，∴，同理：， ∴是等边三角形．∴．在中，， ∴，∴，∵，∴， 在与中，，∴ ∴，∴，∴的周长为．故选：B． 例2．（22-23七年级下·四川成都·期末）如图，和都是等边三角形，点D，E，F分别在边上，若的周长为15，，则的长为（    ）    A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】根据等边三角形的性质及等量代换得出，再由全等三角形的判定和性质得出，然后求解即可． 【详解】解：∵和都是等边三角形， ∴，，， ∴，，∴，∴， 同理得：，∴， ∵的周长为15，∴，∴，故选：B． 【点睛】题目主要考查等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握等边三角形的性质及全等三角形的判定和性质是解题关键． 例3．（23-24八年级上·湖南长沙·期末）如图，点，，分别在等边的各边上，且于点，于点，于点．(1)求证：是等边三角形；(2)若，求的长．    【答案】(1)见解析(2) 【分析】本题考查了等边三角形的判定和性质，平角的意义，三角形全等的判定与性质，含角的直角三角形的特征．（1）根据等边三角形的性质得出进而得出，再根据平角的意义即可得出，即可得出结论； （2）易证得，得出，，从而求得，根据直角三角形角所对的直角边等于斜边的一半得出，即可求得的长，进而得出的长． 【详解】（1）证明：为等边三角形，， ，，，， ，，，， ，，， ，是等边三角形； （2），， ，，， ，，， ，，． 例4．（23-24八年级上·广东广州·期中）如图，点、、分别是等边各边上的点，且，．（）求证：是等边三角形．（）若，求等边的周长． 【答案】（1）详见解析；（2）18 【分析】（1）由等边三角形的性质易得AB=BC=AC，∠A=∠B=∠C=60°，由已知易得BD=CE=AF，∠DEB=∠EFC，可得△BDE≌△CEF≌△AFD，由全等三角形的性质可得DE=FD=EF，证得结论； （2）首先由∠DEC=150°，易得∠FEC=90°，可得△ADF、△BED、△CFE均为直角三角形，可得∠CFE=∠ADF=∠BDE=30°，由直角三角形的性质可得CF=AD=BE=2BD=4，可得AB，易得结果． 【详解】（1）证明：∵△ABC是等边三角形， ∴AB=BC=AC，∠A=∠B=∠C=60°，∵BD=CE，∴BD=CE=AF， 在△BDE与△CEF中，，∴△BDE≌△CEF（SAS），∴DE=EF， 同理可得△BDE≌△AFD，∴DE=FD，∴DE=FD=EF，∴△DEF为等边三角形； （2）解：∵∠DEC=150°，∠DEF=60°，∴∠FEC=90°， ∴△ADF、△BED、△CFE均为直角三角形，且∠CFE=∠ADF=∠BDE=30°， ∵BD=CE=2，∴CF=AD=BE=2BD=4，∴AB=BC=AC=6，∴等边△ABC的周长为：6×3=18 【点睛】本题考查等边三角形的性质及判定和全等三角形的性质及判定，综合利用各定理是解答此题关键． 1．（2024八年级·重庆·培优）如图，等边中，，与交于点，，垂足为点，，则的长为（    ）． A．14 B．13 C．12 D．无法求出 【答案】A 【分析】由已知可证得已知解求根据求解． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∵， ∴ ∵在中 ∴ ∴ 故选A． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，特殊直角三角形的性质，解决本题的关键是要熟练掌握全等三角形的判定及性质. 2．（23-24九年级·浙江·自主招生）如图，在等边中，，若三个全等的三角形为一组，则图中共有（    ）组全等三角形． A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】根据等边三角形的性质，利用两种判定方法，可得：， ，，，，即可得出结论． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴，，； 综上：共有5组全等三角形； 故选C． 【点睛】本题考查等边三角形的性质，全等三角形的判定．熟练掌握等边三角形的性质，及全等三角形的判定方法，是解题的关键． 3．（23-24八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，是等边三角形，、分别在、上，连接、交于点，且，则下列结论：①，②，③，④，其中正确的个数是（　　）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】证明，可得，故①③正确；再由，可得，故②正确；然后证得，再根据，可得，从而得到，故④错误，即可． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴，故①③正确； ∵， ∴，故②正确； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故④错误； 故选：C 【点睛】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质；熟练掌握等边三角形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键． 4．（2024八年级·广东·培优）如图，已知为等腰三角形，，点F为AC上一点，点D为BC延长线上一点，点E为AB延长线上一点，EF与BC相交于点G，如果，那么下列说法中，正确的个数有（    ） （1），（2），（3），（4）点G到AB，AC的距离之和为定值． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查等腰三角形的判定及性质，熟练应用等腰三角形的判定和性质是解题的关键．过点F作，则，从而易证，因此，故（1）正确；在AD上截取，则，且易证为等腰三角形，从而，因此，故（2）正确；连接AG，利用等面积法，易证（4）正确． 【详解】解：如图，过点F作， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， 故（1）正确； 在AD上截取， ， ，， ， ，， ， ， ， ， ， ， 故（2）正确； 连接AG，过点作，，，垂足分别为，，， ，，， ， ， ， ， 点G到AB，AC的距离之和为定值， 5．（23-24八年级上·湖南湘西·期末）如图，过等边的边上一点，作，垂足为为延长线上的一点，当时，连接交于点，下列结论中不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，平行线的性质；过点P作交于点F，则可得是等边三角形，从而易得；证明，则有，则可判定①；由及等边三角形性质得，则可得，可判定②；由及，可判定③；对于④，当时成立，否则不成立．从而确定答案． 【详解】解：过点P作交于点F，如图， ∵是等边三角形， ∴ ∵， ∴，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， 故①正确； ∵，是等边三角形， ∴， ∴， ∴， 故②正确； ∵，， ∴， 故③正确； 对于④，当时，则有，否则， 故④不一定正确； 故选：D． 6．（23-24八年级上·广东惠州·阶段练习）如图，等边 边长为 ， 在 上， 在 延长线，，过点 作 点 ，过点 作，交 边于点 ，连接 交 于点 ，则 的长为 ．    【答案】5 【分析】先证是等边三角形，由此可得，，再证，则可得，由此可得，即可求解. 【详解】是等边三角形， . ， ， ， 是等边三角形， . ， ， ， . ， . 又， ， ， . 故答案为：5 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质.熟练掌握以上知识是解题的关键. 7．（23-24八年级下·江西九江·期中）如图，等边三角形中，D、E分别在边上，且与交于点于点．下列结论：①；②；③是等腰三角形；④，其中正确的结论是 ． 【答案】①② 【分析】对于①，根据等边三角形的性质，得，，然后利用“边角边”定理，证明和全等，根据全等三角形对应边相等，对①作出判断；对于②，根据全等三角形对应角相等，得，求出，利用三角形的内角和定理，求出的度数，可对②作出判断；对于③，由，计算得出的度数，结合，，判断三个内角的大小关系，结合等腰三角形的判定方法，即可对③作出判断；对于④，根据，求出，然后根据直角三角形角所对的直角边等于斜边的一半，可得到与的数量关系，据此可对④作出判断． 【详解】解：为等边三角形， ，． 在和中， ， ， ，①正确． ， ， ． ， ，②正确． ，，， 的三个内角均不相等， 不是等腰三角形，③错误． ，， ， ， ， ∵， ∴，④错误． 综上所述，正确的结论有①②，共2个． 故答案为：①②． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形角所对的直角边等于斜边的一半的性质，熟练掌握等边三角形和全等三角形的判定与性质，并准确识图是解题的关键． 8．（23-24八年级上·山东济南·期末）如图，点P、M、N分别在等边△ABC的各边上，且MP⊥AB于点P，MN⊥BC于点M，PV⊥AC于点N，若AB＝12cm，求CM的长为 cm. 【答案】4 【分析】根据等边三角形的性质得出∠A＝∠B＝∠C，进而得出∠MPB＝∠NMC＝∠PNA＝90°，根据平角的义即可得出∠NPM＝∠PMN＝∠MNP，即可证△PMN是等边三角形:根据全等三角形的性质得到PA＝BM＝CN，PB＝MC＝AN，从而求得MC+NC＝AC＝12cm，再根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半得出2MC＝NC，即司得MC的长. 【详解】∵△ABC是等边三角形，∴∠A＝∠B＝∠C. ∵MP⊥AB，MN⊥BC，PN⊥AC，∴∠MPB＝∠NMC＝∠PNA＝90°， ∴∠PMB＝∠MNC＝∠APN，∠NPM＝∠PMN＝∠MNP， ∴△PMN是等边三角形∴PN=PM=MN，∴△PBM≌△MCN≌△NAP(AAS)， ∴PA＝BM＝CN，PB=MC=AN，MC+NC＝AC＝12cm， ∵∠C＝60°，∴∠MNC=30°， ∴NC=2CM，∴MC+NC=3CM=12cm,∴CM=4cm. 故答案为:4cm 【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质，平角的意义，三角形全等的性质等，得出∠NPM＝∠PMN＝∠MNP是本题的关键. 9．（23-24八年级上·山东日照·期末）如图，在等边的边AB上一点P，作于E，Q为BC延长线上一点，当时，连PQ交AC边于D，且DE长为1，则BC长为 ． 【答案】2 【分析】过P作交AC于F，得出等边三角形APF，推出，根据等腰三角形性质求出，证≌，推出，推出即可． 【详解】过P作交AC于F， ，是等边三角形， ，是等边三角形， ， ， ， ，， ． 在和中，， ≌， ， ， ， ， ， ， 故答案为2 【点睛】本题综合考查了全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质和判定，等腰三角形的性质，平行线的性质等知识点的应用，能综合运用性质进行推理是解此题的关键. 10．（23-24八年级上·湖北武汉·期中）在中，，，点M从点B出发沿射线移动（运动到A点停止），同时点N从点C出发沿线段的延长线移动，点M，N移动的速度相同（且同时停止），与相交于点D．过点M作于点F，线段+= ． 【答案】4 【分析】过点N作，交的延长线于点H，然后由题意易得，进而可证，最后根据全等三角形的性质可求解． 【详解】解：过点N作，交的延长线于点H，如图所示： 由题意得， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为4． 【点睛】本题主要考查全等三角形的性质与判定及等腰三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质与判定及等腰三角形的性质是解题的关键． 11．（23-24八年级上·安徽·期中）如图，等边三角形ABC的边AB上一点P，作PE⊥AC于点E，Q为BC延长线上的一点，当PA＝CQ时，连接PQ，交AC于点D．下列结论：①PD＝DQ；②∠Q＝30°；③DE＝AC；④AE＝CQ．其中正确的是 (填序号)． 【答案】①③④ 【分析】①作辅助线，证明△PFD≌△QCD，可以得：PD=DQ；②由全等可知：∠DPF=∠Q，由QP与AB不垂直，可以得∠Q不一定为30°；③根据等腰三角线三线合一得：EF=AF，由全等得：DF=FC，两式相加可得结论；④根据30°角所对的直角边是斜边一半可得结论． 【详解】①过P作PF∥BQ，交AC于F， ∵△ABC是等边三角形， ∴∠ACB=∠A=60°， ∵PF∥BQ， ∴∠AFP=∠ACB=60°，∠PFD=∠QCD， ∴△AFP是等边三角形， ∴PF=PA， ∵PA=CQ， ∴PF=CQ， 在△PFD和△QCD中， ∵， ∴△PFD≌△QCD（AAS）， ∴PD=DQ； 所以①结论正确； ②由①得：△PFD≌△QCD， ∴∠DPF=∠Q， ∵△APF等边三角形， ∴∠APF=60°， ∵QP与AB不一定垂直， ∴∠Q不一定为30°， 所以②结论不正确； ③∵△APF是等边三角形，PE⊥AC， ∴EF=AF， ∵△PFD≌△QCD， ∴DF=DC， ∴DF=FC， ∴DE=EF+DF=AF+FC=AC， 所以③结论正确； ④在Rt△AEP中，∠A=60°， ∴∠APE=30°， ∴AE=AP， ∴AE=CQ， 所以④结论正确； 所以本题结论正确的有：①③④； 故答案为①③④． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质和判定、三角形全等的性质和判定、直角三角形30°角的性质，作辅助线构建全等三角形是本题的关键． 12．（23-24八年级下·江西九江·阶段练习）如图，等边的顶点分别在等边的各边上，且于点E．若，求的长． 【答案】 【分析】由题可证，则，由直角三角形的性质得，，因为，所以． 【详解】解：， ， ， 同理， 又，， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是灵活运用等边三角形的性质证明三角形全等． 13．（23-24八年级上·广西北海·期中）如图，E，F分别是等边三角形ABC的边AB，AC上的点，且，CE，BF交于点P．求证：． 【答案】证明见解析 【分析】根据等边三角形性质，得到，，再利用两个三角形全等的判定定理SAS判定两个三角形全等，根据全等性质即可得到结论． 【详解】证明：∵是等边三角形， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴． 【点睛】本题考查两个三角形全等的判定与性质，涉及到等边三角形的性质，熟练掌握两个三角形全等的判定与性质是解决问题的关键． 14．（23-24八年级上·福建厦门·期中）如图，在等边中，点D，E分别在边上，且．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质．由等边三角形的性质，得到，，根据证出即可； 【详解】证明：∵是等边三角形， ∴，， 在与中， ∴， ∴． 15．（23-24浙江八年级上期中）如图，在等边三角形的，边上各取一点，，使，连接，相交于点．求的度数． 【答案】 【分析】先证明，由全等三角形的性质及三角形的外角性质，可以推出答案； 【详解】是等边三角形， 在和中∴ ， ． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质等知识点，具有较强的综合性． 16．（23-24八年级上·湖南长沙·期中）如图，点，，分别在等边的各边上，且于点，于点，于点．（1）求证：是等边三角形；（2）若，求的长． 【答案】（1）见解析；（2）6cm 【分析】（1）根据等边三角形的性质得出∠A=∠B=∠C，进而得出∠MPB=∠NMC=∠PNA=90°，再根据平角的意义即可得出∠NPM=∠PMN=∠MNP，即可证得△PMN是等边三角形； （2）易证得△PBM≌△MCN≌△NAP，得出PA=BM=CN，PB=MC=AN，从而求得BM+PB=AB=12cm，根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半得出2PB=BM，即可求得PB的长，进而得出CM的长． 【详解】解：（1）是等边三角形， ， ，，， ． ， ， 是等边三角形； （2）根据题意可得： ∵△PMN是等边三角形， ∴PM=MN=NP， 在△PBM、△MCN和△NAP中， ， ∴（AAS）， ，； ， ， ． 是正三角形， ，而， ． ， ， ， ． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定和性质等知识；证出∠NPM=∠PMN=∠MNP是本题的关键． 17．（23-24八年级上·湖北武汉·阶段练习）已知是等边三角形，点是边上一点，点是边上一点，且满足 ，连接、交于点． (1)①如图1，直接写出的度数； ②如图2，过点作于点，当时，求证：； (2)如图3，当时，求的度数． 【答案】(1)①②见详解 (2) 【分析】（1）①通过证明，得，即可知道； ②把绕着点A顺时针旋转60°，与重合，点M的对应点为点N，连接，先证明，然后得到是等边三角形，进行等边代换，即可得证； （2）先得到，过点G作交于点H，交于点M，通过“”证明，得，，然后连接，再通“”证明，进行角的等量代换以及角和和差关系，即可作答． 【详解】（1）解：因为是等边三角形， 所以，， 因为， 所以， 则， 那么； ②把绕着点A顺时针旋转60°，与重合，点M的对应点为点N，连接，如图所示： 易得，，， 因为， 所以 故 即 因为，， 所以 则， 所以， 因为 所以 即是等边三角形， 所以 因为， 则； （2）解：过点E作， 因为， 所以 即 因为 所以， 则 过点作交于点，交于点，则， 设，则， ∴，， 在中，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 连接，如图， ∵ ∴ 又∵， ∴， 在和中， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴． 即． 【点睛】本题考查了全等三角形的综合，等边三角形的性质，三角形的外角性质，三角形的内角和，作辅助线（作垂线）以及一系列的辅助线，难度大，综合强，对学生具备较强的作辅助线能力有较高要求，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 18．（23-24八年级上·江苏扬州·期中）如图，是等边三角形，D、E分别是边、上的点，且，且、交于点G，且，垂足为F． (1)求证：； (2)若，求DG的长度． 【答案】(1)见解析 (2)2 【分析】（1）证明≌，即可得到； （2）利用由（1）知，求出，又，即，得到，根据在直角三角形中，所对的直角边等于斜边的一半，可求出的长． 【详解】（1）证明：∵是等边三角形， ∴，， ∵ ∴ ∴ 在与中，， ∴≌， ∴； （2） 解：∵， ∴， ∴ ∵，即， ∴， ∴在中，， ∵， ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质定理与判定定理、等边三角形的性质，含的直角三角形的性质，解决本题的关键是证明三角形全等，找到对应角相等． 19．（24-25八年级上·江苏泰州·期中）如图，E、F分别是等边三角形的边，上的点，且，，交于点P． (1)求证：；(2)求的度数． 【答案】(1)见解析(2) 【分析】本题考查等边三角形性质，全等三角形性质和判定，三角形外角性质，解题的关键在于熟练掌握相关性质． （1）利用等边三角形性质证明，利用全等三角形性质即可证明； （2）利用全等三角形性质得到，，结合等量代换和三角形外角性质求解，即可解题． 【详解】（1）证明：是等边三角形， ，， ， ， ； （2）解：， ，， ， ， ． 20．（23-24八年级上·贵州安顺·期末）如图，在等边三角形中，，分别是边，上的点，且，与相交于点，连接． (1)求证：；(2)的度数为(3)若，求证：． 【答案】(1)见解析； (2)； (3)见解析． 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，三角形内角和定理，解题的关键是熟练掌握相关基本性质以及作出合适的辅助线． （1）通过证明即可； （2）利用全等三角形的性质可得，，再根据三角形内角和的性质，求解即可； （3）延长到点，使得，连接，，取的中点，连接，通过证明，利用等边三角形的判定与性质，以及三角形内角和定理即可求证． 【详解】（1）证明：∵是等边三角形， ∴， 又∵ ∴； （2）∵ ∴ ∴， ∴； （3）延长到点，使得，连接，，取的中点，连接，如下图： 由（2）可知：， ∴ ∴为等边三角形， ∴，， ∵是等边三角形， ∴， ∴ ∴ ∴， ∵ ∴， ∴ ∵， ∴ ∴为等边三角形， ∴， ∴ ∴ ∴ ∴． 21．（24-25八年级上·江苏南通·阶段练习）甲乙两位同学在学习直角三角形过程中得出两个结论． 甲的结论：直角三角形中，内角的两夹边长是倍的关系． 乙的结论：在一个三角形中，如果内角的两夹边长是倍的关系，那么这个三角形是直角三角形． (1)甲的结论 ．（填写“正确”或“不正确”） (2)乙的结论正确吗？如果你认为正确，请你利用图给出证明．如果你认为不正确，请给出反例． (3)如图，若等边边长为，点从点出发沿边运动，点从点出发沿边运动，速度是每秒个单位长度，当点到达点时停止运动．请问当运动时间是多少秒时，是直角三角形？请你给出解题过程． (4)在问题（3）的前提下，点，运动过程中，交于点，作于，与之间的数量关系是否发生变化？说明理由． 【答案】(1)正确 (2)正确，证明见解析 (3)秒或秒，解题过程见解析 (4)不变，理由见解析 【分析】（1）根据三角形的内角和定理得到，根据含度角的直角三角形的性质可得，于是得到结论； （2）取的中点，连接，由线段中点的定义得到，等量代换得到，进而证得是等边三角形，于是可得，，等量代换得到，根据等腰三角形和外角的性质得到，于是得到结论； （3）分两种情况考虑：当时，则，根据已知条件和等边三角形的性质可得，，设运动时间为，则可根据题意将，用表示出来，利用三角形的内角和定理可求得，根据含度角的直角三角形的性质可得，于是可列出关于的一元一次方程，解之即可求出的值；当时，则，根据已知条件和等边三角形的性质可得，，设运动时间为，则可根据题意将，用表示出来，利用三角形的内角和定理可求得，根据含度角的直角三角形的性质可得，于是可列出关于的一元一次方程，解之即可求出的值；综上，即可得到所有满足题意的的值； （4）利用垂线的性质、等边三角形的性质及已知条件可证得，于是可得，利用外角的性质可求得，利用三角形的内角和定理可求得，根据含度角的直角三角形的性质可得，于是得到结论． 【详解】（1）解：甲的结论正确，理由如下： 如图， ，， ， ， 直角三角形中，内角的两夹边长是倍的关系， 故答案为：正确； （2）解：乙的结论正确，理由如下： 如图，取的中点，连接， 是的中点， ， ， ， ， 是等边三角形， ，， ， ， ， ， ， 在一个三角形中，如果内角的两夹边长是倍的关系，那么这个三角形是直角三角形， 答：乙的结论正确； （3）解：分两种情况考虑： 当时， 如图， 则， 是边长为的等边三角形， ，， 设运动时间为，由题意可得： ，， ， ， 即：， 解得：秒； 当时， 如图， 则， 是边长为的等边三角形， ，， 设运动时间为，由题意可得： ，， ， ， 即：， 解得：秒； 综上所述，的值是秒或秒， 答：当运动时间是秒或秒时，是直角三角形； （4）解：与之间的数量关系不变，理由如下： 如图， ， ， 是等边三角形， ，， 设运动时间为，由题意可得： ， 在和中， ， ， ， ， ， ， 即：， 答：与之间的数量关系不变． 【点睛】本题主要考查了三角形的内角和定理，含度角的直角三角形的性质，线段中点的定义，等边三角形的判定与性质，等腰三角形的性质（等边对等角），外角的性质，垂线的性质，解一元一次方程，全等三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握相关知识点并能加以综合运用是解题的关键． 22．（23-24八年级上·浙江·阶段练习）如图，在等边中，点，分别在边，上，且，与相交于点，于点． (1)求证：；(2)求的度数． 【答案】(1)见解析(2) 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质等知识，解题的关键是： （1）根据全等三角形的判定定理即可求出答案． （2）根据，可知，由于．从而可知． 【详解】（1）证明：在等边三角形中，，， 在和中， ， ； （2）解：， ， ． ， ． 23．（23-24七年级下·江苏泰州·期末）概念理解：三角尺是一种常用的作图工具，每副三角尺由两个特殊的直角三角形组成．含有45°锐角的直角三角形叫做等腰直角三角尺，含有30°（或60°）锐角的直角三角形叫做细长三角尺． 性质探索：（1）如图1，在等边中，平分，直接判断是不是细长三角尺．若不是，请说明理由：若是，请求出对边与较大邻边的数量关系．（小学教材已有：等边三角形的三边都相等、三个角都是60°） 解决问题：（2）如图2，在等边中，、分别是、上的点，且，与相交于点，连接． ①求的度数； ②若，试探究与的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）是，；（2）①；②，理由见解析 【分析】（1）结论：△ABD是细长三角尺，证明△ABD≌△ACD（SAS），可得结论． （2）①证明△ABD≌△BCE（SAS），可得结论． ②结论：AF=2BF，作AG⊥BE于G，证明△CAF≌△ABG（ASA），可得结论． 【详解】解：（1）是细长三角尺， ∵平分，∠BAC=∠B=60°， ∴=30°， ∴△ABD是细长三角尺， 在和中， ∴， ∴， ∵， ∴． （2）①在和中， ∴， ∴， ∵， ∴． ②，理由如下： 作，如图： 由①知，， 又∵是直角三角形， ∴是细长三角尺， 由（1）可知，， 由①知，， ∴， 又∵， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题属于三角形综合题，考查了等边三角形的性质，细长三角尺的定义，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 24．（23-24八年级上·重庆·期中）如图1，等边中，点D在上，点E在上，连接，交于点F，． (1)求的度数；(2)如图2，连接，若，求证：；(3)如图3，在（2）的条件下，将沿翻折交于点G，过点C作的垂线交直线于点H，若，求的长． 【答案】(1)(2)见解析(3)3 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握这些知识点是解题的关键． （1）通过边角边证明，再根据全等三角形的性质得到，进而求解即可； （2）在上截取，连接，先证明，进而证明，即可求解；（3）延长到点N，使得，连接，连接，交于点M，通过证明，进而证明是等腰三角形，是等边三角形，再证明即可求解． 【详解】（1）解：∵等边，∴， 在与中，，∴，∴， ∵，∴； （2）证明：在上截取，连接， 在与中，，∴， ∴，∴， ∵，∴， ∵，∴， ∴，∴，∴， ∵，∴； （3）解：如图，延长到点N，使得，连接，连接，交于点M， ∵，∴是等边三角形， ∴，∴， 在与中，，∴，∴， ∵，∴，∴，∴， ∵，∴，∵，沿翻折交于点G，， ∴，， ∴， ∴是等腰三角形，是等边三角形， ∴， ∵，∴， 在与中，，∴， ∴，∴． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题17 等腰（等边）三角形中重要模型之帽子模型、等边截等长与等边内接等边模型 等腰（等边）三角形是中学阶段非常重要三角形，具有许多独特的性质和判定定理。各类考试的常客，并且形式多样，内容新颖，能较好地考查同学们的相关能力。本专题将把等腰三角形的几类重要模型作系统的归纳与介绍，方便大家对它有个全面的了解与掌握。 2 模型1.等腰三角形中的重要模型-帽子模型（长短手模型） 2 模型2.等边截等长模型（定角模型） 3 模型3.等边内接等边 4 8 模型1.等腰三角形中的重要模型-帽子模型（长短手模型） 帽子模型，其实是等腰三角形独特性质的应用，因为模型很像帽子，学习知识点的同时也增加了趣味性。 条件：如图，已知AB=AC，BD=CE，DG⊥BC于G，结论：①DF=FE；②。 证明：如图，过点D作交于H，则，， ∵，∴，∴，∴，∵，∴， 在和中,，∴，∴； ∵，∴，∵，，∴， ∴，∴． 例1．（23-24八年级上·四川自贡·期末）如图，在中，，，点从点出发沿线段向点移动，点同时从点出发沿线段的延长线移动，点与点移动的速度相同，线段与线段相交于点。(1)如图①，当，时，求证：；(2)如图②，过点作于点，在移动的过程中，的长是否发生变化，若改变，请说明理由；若不变，请求出其值． 例2．（23-24八年级上·辽宁葫芦岛·期末）【问题初探】（1）数学课上，李老师出示了这样一个问题：如图1，在中，，点F是上一点，点E是延长线上的一点，连接，交于点D，若，求证：． ①如图2，小乐同学从中点的角度，给出了如下解题思路：在线段上截取，使，连接，利用两个三角形全等和已知条件，得出结论； ②如图3，小亮同学从平行线的角度给出了另一种解题思路：过点E作交的延长线于点M，利用两个三角形全等和已知条件，得出了结论； 请你选择一位同学的解题思路，写出证明过程； 【类比分析】（2）李老师发现两位同学的做法非常巧妙，为了让同学们更好的理解这种转化的思想方法，李老师提出了新的问题，请你解答， 如图4，在中，点E在线段上，D是的中点，连接，，与相交于点N，若，求证：； 【学以致用】（3）如图5，在中，，，平分，点E在线段的延长线上运动，过点E作，交于点N，交于点D，且，请直接写出线段，和之间的数量关系． 例3．（2024七年级下·山东·专题练习）如图，过边长为1的等边的边上一点P，作于E，Q为延长线上一点，当时，连交边于D，则的长为（　　） A． B． C． D． 例4．（23-24八年级上·吉林延边·期末）已知△ABC中，AB＝AC＝BC＝6．点P射线BA上一点，点Q是AC的延长线上一点，且BP＝CQ，连接PQ，与直线BC相交于点D． （1）如图①，当点P为AB的中点时，求CD的长； （2）如图②，过点P作直线BC的垂线，垂足为E，当点P，Q分别在射线BA和AC的延长线上任意地移动过程中，线段BE，DE，CD中是否存在长度保持不变的线段？请说明理由. 模型2.等边截等长模型（定角模型） 条件：如图，在等边中，点，分别在边，上，且，与相交于点，于点．结论：①；②AD=BE；③；④BQ=2PQ。 证明：在等边三角形中，，， 在和中，，，∴AD=BE，∠CAD=∠ABE； ． ，，∴BQ=2PQ． 例1．（23-24八年级·重庆·课后作业）如图，已知△是等边三角形，、分别是、边上的点，且，、相交于点.求证：； 例2．（23-24福建八年级上期中）如图，在等边的，边上各取一点、，使，，相交于点，则 度． 例3．（23-24八年级下·安徽宿州·期中）等边中，D、E是、上的点，，与相交于点Q，．求证：(1)；(2)． 例4．（23-24八年级上·湖北咸宁·期末）如图，在等边三角形中，，分别在边，上，且，与交于点，，垂足为点.下列结论：①；②；③是等腰三角形；④，其中正确结论的个数是（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 模型3.等边内接等边 图1 图2 1）等边内接等边（截取型） 条件：如图1，等边三角形ABC中，点D，E，F分别在边AB，BC，CA上运动，且满足AD=BE=CF； 结论：三角形DEF也是等边三角形。 证明：∵是等边三角形，∴，． ∵，∴． 在和中，∴（）， ∴．同理，∴，∴是等边三角形． 2）等边内接等边（垂线型） 条件：如图，点、、分别在等边的各边上，且于点，于点，于点，结论：三角形DEF也是等边三角形。 证明：是等边三角形，， ，，，， ，，是等边三角形， 例1．（2024八年级上·重庆·专题练习）如图，过等边三角形的顶点、、依次作、、的垂线、，三条垂线围成，若，则的周长为（　　） A．12 B．18 C．20 D．24 例2．（22-23七年级下·四川成都·期末）如图，和都是等边三角形，点D，E，F分别在边上，若的周长为15，，则的长为（    ）    A．2 B．3 C．4 D．5 例3．（23-24八年级上·湖南长沙·期末）如图，点，，分别在等边的各边上，且于点，于点，于点．(1)求证：是等边三角形；(2)若，求的长．    例4．（23-24八年级上·广东广州·期中）如图，点、、分别是等边各边上的点，且，．（）求证：是等边三角形．（）若，求等边的周长． 1．（2024八年级·重庆·培优）如图，等边中，，与交于点，，垂足为点，，则的长为（    ）． A．14 B．13 C．12 D．无法求出 2．（23-24九年级·浙江·自主招生）如图，在等边中，，若三个全等的三角形为一组，则图中共有（    ）组全等三角形． A．3 B．4 C．5 D．6 3．（23-24八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，是等边三角形，、分别在、上，连接、交于点，且，则下列结论：①，②，③，④，其中正确的个数是（　　）个． A．1 B．2 C．3 D．4 4．（2024八年级·广东·培优）如图，已知为等腰三角形，，点F为AC上一点，点D为BC延长线上一点，点E为AB延长线上一点，EF与BC相交于点G，如果，那么下列说法中，正确的个数有（    ） （1），（2），（3），（4）点G到AB，AC的距离之和为定值． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．（23-24八年级上·湖南湘西·期末）如图，过等边的边上一点，作，垂足为为延长线上的一点，当时，连接交于点，下列结论中不正确的是（    ） A． B． C． D． 6．（23-24八年级上·广东惠州·阶段练习）如图，等边 边长为 ， 在 上， 在 延长线，，过点 作 点 ，过点 作，交 边于点 ，连接 交 于点 ，则 的长为 ．    7．（23-24八年级下·江西九江·期中）如图，等边三角形中，D、E分别在边上，且与交于点于点．下列结论：①；②；③是等腰三角形；④，其中正确的结论是 ． 8．（23-24八年级上·山东济南·期末）如图，点P、M、N分别在等边△ABC的各边上，且MP⊥AB于点P，MN⊥BC于点M，PV⊥AC于点N，若AB＝12cm，求CM的长为 cm. 9．（23-24八年级上·山东日照·期末）如图，在等边的边AB上一点P，作于E，Q为BC延长线上一点，当时，连PQ交AC边于D，且DE长为1，则BC长为 ． 10．（23-24八年级上·湖北武汉·期中）在中，，，点M从点B出发沿射线移动（运动到A点停止），同时点N从点C出发沿线段的延长线移动，点M，N移动的速度相同（且同时停止），与相交于点D．过点M作于点F，线段+= ． 11．（23-24八年级上·安徽·期中）如图，等边三角形ABC的边AB上一点P，作PE⊥AC于点E，Q为BC延长线上的一点，当PA＝CQ时，连接PQ，交AC于点D．下列结论：①PD＝DQ；②∠Q＝30°；③DE＝AC；④AE＝CQ．其中正确的是 (填序号)． 12．（23-24八年级下·江西九江·阶段练习）如图，等边的顶点分别在等边的各边上，且于点E．若，求的长． 13．（23-24八年级上·广西北海·期中）如图，E，F分别是等边三角形ABC的边AB，AC上的点，且，CE，BF交于点P．求证：． 14．（23-24八年级上·福建厦门·期中）如图，在等边中，点D，E分别在边上，且．求证：． 15．（23-24浙江八年级上期中）如图，在等边三角形的，边上各取一点，，使，连接，相交于点．求的度数． 16．（23-24八年级上·湖南长沙·期中）如图，点，，分别在等边的各边上，且于点，于点，于点．（1）求证：是等边三角形；（2）若，求的长． 17．（23-24八年级上·湖北武汉·阶段练习）已知是等边三角形，点是边上一点，点是边上一点，且满足，连接、交于点．(1)①如图1，直接写出的度数； ②如图2，过点作于点，当时，求证：； (2)如图3，当时，求的度数． 18．（23-24八年级上·江苏扬州·期中）如图，是等边三角形，D、E分别是边、上的点，且，且、交于点G，且，垂足为F．(1)求证：；(2)若，求DG的长度． 19．（24-25八年级上·江苏泰州·期中）如图，E、F分别是等边三角形的边，上的点，且，，交于点P．(1)求证：；(2)求的度数． 20．（23-24八年级上·贵州安顺·期末）如图，在等边三角形中，，分别是边，上的点，且，与相交于点，连接． (1)求证：；(2)的度数为(3)若，求证：． 21．（24-25八年级上·江苏南通·阶段练习）甲乙两位同学在学习直角三角形过程中得出两个结论． 甲的结论：直角三角形中，内角的两夹边长是倍的关系． 乙的结论：在一个三角形中，如果内角的两夹边长是倍的关系，那么这个三角形是直角三角形． (1)甲的结论 ．（填写“正确”或“不正确”） (2)乙的结论正确吗？如果你认为正确，请你利用图给出证明．如果你认为不正确，请给出反例． (3)如图，若等边边长为，点从点出发沿边运动，点从点出发沿边运动，速度是每秒个单位长度，当点到达点时停止运动．请问当运动时间是多少秒时，是直角三角形？请你给出解题过程．(4)在问题（3）的前提下，点，运动过程中，交于点，作于，与之间的数量关系是否发生变化？说明理由． 22．（23-24八年级上·浙江·阶段练习）如图，在等边中，点，分别在边，上，且，与相交于点，于点．(1)求证：；(2)求的度数． 23．（23-24七年级下·江苏泰州·期末）概念理解：三角尺是一种常用的作图工具，每副三角尺由两个特殊的直角三角形组成．含有45°锐角的直角三角形叫做等腰直角三角尺，含有30°（或60°）锐角的直角三角形叫做细长三角尺． 性质探索：（1）如图1，在等边中，平分，直接判断是不是细长三角尺．若不是，请说明理由：若是，请求出对边与较大邻边的数量关系．（小学教材已有：等边三角形的三边都相等、三个角都是60°） 解决问题：（2）如图2，在等边中，、分别是、上的点，且，与相交于点，连接．①求的度数；②若，试探究与的数量关系，并说明理由． 24．（23-24八年级上·重庆·期中）如图1，等边中，点D在上，点E在上，连接，交于点F，．(1)求的度数；(2)如图2，连接，若，求证：；(3)如图3，在（2）的条件下，将沿翻折交于点G，过点C作的垂线交直线于点H，若，求的长． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$