17.1 勾股定理 解答题常考题型分类训练（8大题型70题）2024-2025学年人教版数学八年级下册

学习是一个快乐而充满挑战的过程！ 第17章 17.1 勾股定理 解答题常考题型分类训练（8大题型70题）（原卷版） 题型1：用勾股定理解三角形（8题） 题型2：以直角三角形三边为边长的图形面积（7题） 题型3：勾股定理与折叠问题（14题） 题型4：利用勾股定理求两条线段的平方和（差）（5题） 题型5：利用勾股定理证明线段平方关系（8题） 题型6：勾股定理的证明方法（9题） 题型7：以弦图为背景的计算题（9题） 题型8：用勾股定理构造图形解决问题（10题） 题型1：用勾股定理解三角形（8题） 1．如图，在中，，两直角边，．求斜边上的高的长． 2．如图，某住宅小区在施工过程中留下了一块空地（图中的四边形），经测量，在四边形中，，，，．小区为美化环境，欲在空地上铺草坪，已知草坪每平方米100元，试问铺满这块空地共需花费多少元？ 3．如图，将等边放在含有30°角的直角三角板上（，），使落在线段上，与分别交边于点H、G，其中．(1)证明：；(2)求的长． 4．如图，将长方形沿着对角线折叠，使点落在处，交于点．此时，若，，求的面积． 5．在中，，是上的一点．(1)若E是的中点，，，，求的长； (2)若是的角平分线，，，求的度数． 6．如图，在等腰直角中，，，为边上一点，连接，且，连接，．(1)求证：；(2)若，，求的长． 7．如图，在中，，点D是上一动点，连接，过点A作，并且始终保持，连接．(1)求证：；(2)若平分交于．求的值． 8．在中，， 若如图①，则有 ；若是锐角三角形，小明猜想，理由： 如图②， 过点A作， 垂足为D，设．在中，，在 中， ，，整理得 ， ，，， ，∴当是锐角三角形时， ，∴小明的猜想是正确的． (1)请你猜想，是钝角三角形且为钝角时， （填“>”“<”或“=”）； (2)根据图③证明你猜想的结论是正确的． (3)若， 则的面积是 ． 题型2：以直角三角形三边为边长的图形面积（7题） 9．如图①，美丽的弦图，蕴含着四个全等的直角三角形． (1)弦图中包含了一大，一小两个正方形，已知每个直角三角形较长的直角边为a．较短的直角边为b，斜边长为c，结合图①，试验证勾股定理；(2)如图②，将这四个直角三角形紧密地拼接，形成飞镖状，已知外围轮廓线的周长为，，求该飞镖状图案的面积；(3)如图③，将八个全等的直角三角形紧密地拼接，记图中正方形，正方形，正方形的面积分别为、、，若，求． 10．综合与实践【问题背景】数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助这种方法可将抽象的数学知识变得直观，从而可以帮助我们快速解题，初中数学里的一些代数公式，很多都可以通过表示几何图形面积的方法进行直观推导和解释．如图1，在中，，以Rt的三边长向外作正方形的面积分别为． 【解决问题】试猜想之间存在的等量关系，直接写出结论______． 【拓展探究】如图2，如果以的三边长为直径向外作半圆，那么上面的结论是否成立？请说明理由． 【推广应用】如图3，在中，，三边分别为，分别以它的三边为直径向上作半圆，请直接写出图3中阴影部分的面积． 11．定义：如图①．如果点D在的边上且满足．那么称点D为的“理根点”，如图②，在中， ，如果点D是的“理想点”，连接．求的长． 12．甲同学在拼图探索活动中发现；用4个形状大小完全相同的直角三角形（直角边长分别为，a，b，斜边长为c，可以拼成像图1那样的正方形，并由此得出了关于a2，b2，c2.的一个等式． （1）请你写出这一结论：　 　，并给出验证过程； （2）试用上述结论解决问题：如图2如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，分别以四边向外作正方形甲、乙，丙、丁，若甲的面积为30，乙的面积为16，丙的面积为17，求“丁”的面积． 13．小林同学是一名剪纸爱好者，喜欢运用数学知识对自己的作品进行分析思考，下面是他利用勾股定理对部分作品的数量关系进行探究思考的过程，请你帮助他一起完成． (1)如图1，中，°，，，分别以、为直径作半圆，求图中阴影部分的面积． (2)如图2，这是由四个全等的直角三角形紧密地拼接形成的飞镖状图案，测得外围轮廓（实线）的周长为80，，求该飞镖状图案的面积． 14．现有如图1的8张大小形状相同的直角三角形纸片，三边长分别是a、b、c用其中4张纸片拼成如图2的大正方形（空白部分是边长分别为a和b的正方形）；用另外4张纸片拼成如图3的大正方形（中间的空白部分是边长为c的正方形）(1)观察：从整体看，整个图形的面积等于各部分面积的和所以图2和图3的大正方形的面积都可以表示为，记为结论①：图2中的大正方形的面积又可以用含字母a、b的代数式表示为：_________________记为结论②；图3中的大正方形的面积又可以用含字母a、b、c的代数式表示为：____________记为结论③： (2)思考：结合结论①和结论②，可以得到一个等式到一个等式__________________，结合结论②和结论③，可以得到一个等式_________________；(3)应用：若分别以直角三角形三边为直径，向外作半圆（如图4）三个半圆的面积分别记作，，，且，求的值． 15．小林同学是一名剪纸爱好者，喜欢运用数学知识对自己的剪纸作品进行分析思考，下面是他利用勾股定理对部分剪纸作品的数量关系进行探究思考的过程，请你帮助他一起完成．(1)如图1，图案1是以的三条边为直径，向外作半圆，其面积分别记为，，，请写出，，之间的数量关系：______． (2)如图2，这是由四个全等的直角三角形紧密地拼接形成的飞镖状图案，测得外围轮廓（实线）的周长为80，，求该飞镖状图案的面积．(3)如图3，这是由八个全等的直角三角形紧密地拼接形成的大正方形，记图中正方形，正方形，正方形的面积分别为，，．若，则______． 题型3：勾股定理与折叠问题（14题） 16．如图所示，在中，，点D为边上一点，将沿翻折得到，若点在边上，，，求的长． 17．如图，纸片为长方形纸片，把纸片折叠，使点B恰好落在边上的E处，折痕为．已知，．(1)求的长．(2)求的长． 18．如图，在长方形中，，将长方形沿折叠后，使点D恰好落在对角线上的点F处，求的长． 19．在中，． (1)如图1，把折叠，使点B与点C重合，折痕交于点D，交于点E．求证：D是的中点； (2)如图2，把折叠，使点B与点A重合，折痕交于点D，交于点F．求的长； (3)如图3，M为边上一点，沿着折叠，得到，边交于点N，若，求的长． 20．在矩形纸片中，，．(1)如图①，将矩形纸片沿折叠，点落在对角线上的点处，求的长：(2)如图②，点为上一点，将沿翻折至，与相交于点，与相交于点、且，求的长：(3)如图③，将矩形纸片折叠，使顶点落在边上的点处，折痕所在直线同时经过、包括端点，请直接写出的最大值和最小值． 21．如图，在平面直角坐标系中，将长方形沿直线折叠（点E在边上），折叠后顶点D恰好落在边上的点F处，若点D的坐标为．(1)写出点F的坐标．(2)求的长． 22．如图，将长方形沿直线 折叠，顶点 恰好落在边上点处，未被覆盖的部分涂黑记为阴影部分，已知，．(1)求 的长;(2)求阴影部分的面积． 23．如图1，在中，，，．点P从点B出发沿方向以每秒2个单位长度的速度向右运动，当点P与点C重合时，停止运动．设点P的运动时间为秒，连接． (1)当秒时，求的长． (2)如图2，将沿直线折叠，使得点C的对应点M恰好落在边上，求此时的值． 24．如图，在中，点H为边上的一点，，，，．(1)求的长； (2)已知点E为线段上一点，为等腰三角形，求线段的长度；(3)点P是直线上任意一点，把沿着直线翻折，直接写出当为何值时，点H翻折后的对应点恰好落在直线上． 25．探究式学习是新课程提倡的重要学习方式，某兴趣小组拟做以下探究．（注：长方形的对边平行且相等，四个角都是直角） 【初步感知】（1）如图1，在三角形纸片中，，，，将其沿折叠，使点A与点B重合，折痕与交于点E，求的长； 【深入探究】（2）如图2，将长方形纸片沿着对角线折叠，使点C落在处，交于E，若，，求的长； 【拓展延伸】（3）如图3，在长方形纸片中，，，点E从点A出发以每秒2个单位长度的速度沿射线运动，把沿直线折叠，当点A的对应点F刚好落在线段的垂直平分线上时，直接写出运动时间t（秒）的值． 26．同学们，我们经常用翻折的方法验证两个图形是否是轴对称，并研究其相关性质，请你用翻折的性质解决下列问题：(1)如图1，将沿着翻折到，则 ， ；(2)如图2，将长方形对折，使得边、边重合，折痕与边、边交于点、点，，，点是边上一点，将沿着折叠得到，线段、线段分别交边于点、点．①当、重合时，线段的长是多少 ②当点与点重合时，点是边上一点，将沿着线段折叠，使得点落在边上的点，线段的长是多少? 27．如图，长方形纸片，，，现将该纸片折叠，使点C与点A重合，折痕为， (1)试判断的形状，并说明理由；(2)求线段的长；(3)求折痕的长． 28．如图，将长方形纸片沿对角线折叠，使点落到点位置，与交于点，且，． (1)求证：；(2)求的长；(3)点为线段上任一点，于，于．请直接写出的值． 29．如图，在直角三角形纸片中，，，．将该纸片折叠，折叠后点A与点B重合，折痕与边交于点D，与边交于点E．求：(1)的面积；(2)的长；(3)折痕的长． 题型4：利用勾股定理求两条线段的平方和（差）（5题） 30．如图，在四边形中，，求的长． 31．对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线，交于点．(1)若，，，，请求出，，，的值．(2)若，，求的值．(3)请根据（1）（2）题中的信息，写出关于“垂美”四边形关于边的一条结论． 32．如图，中，，为中点，点在边上（点不与点，重合），连接，过点作交于点，连接．(1)求证：.(2)若，，，直接写出线段的长． 33．如图，在中，已知，是斜边的中点，交于点，连接． (1)求证：；(2)若，，求的周长及的长． 34．(1)如图1，四边形的对角线于点．判断与的数量关系，并说明理由． (2)如图2，分别以的直角边和斜边为边向外作正方形和正方形，连接，，交点为．①判断，的关系，并说明理由．②连接．若，，请直接写出的长． 题型5：利用勾股定理证明线段平方关系（8题） 35．在中，，D是的中点，以为腰向外作等腰直角连接，交于点F，交于点G．(1)求证：；(2)试判断线段与三者之间的等量关系，并证明你的结论． 36．概念理解：对角线互相垂直的四边形叫做垂直四边形．如图1，四边形中，； 新意应用：如图2，在四边形中，，，问四边形是垂直四边形吗？请说明理由； 性质探究：如图1，垂直四边形被对角线分成了四个直角三角形，与有什么关系？并证明你的猜想．    37．如图，已知是等腰直角三角形，动点在斜边所在的直线上，以为直角边作等腰直角，其中，探究并解决下列问题：(1)如图1，若点在线段上时，猜想，，三者之间的数量关系，并证明你的结论；(2)如图2，若点在的延长线上，在（1）中所猜想的，，三者之间的数量关系仍然成立，请利用图2进行证明． 38．如图，在等腰中，，点为边 上一点，连接，将绕点逆时针旋转得到线段 连接，．(1)求证：；(2)当时，求的值． 39．已知与都是等边三角形． (1)如图1，点A、B、E三点共线，求证：； (2)如图2，点D是外一点，且，请证明结论； (3)如图3，若，，．试求的度数． 40．如图，在中，．(1)求证：；(2)当，，时，求的值． 41．（1）如图①，在中，，，为边上的中线，则的取值范围是 （提示：延长到点，使，连接）；（2）如图②，在中，，是边上的中点，，交于点，交于点，连接，求证；（3）如图③，在中，点，分别是边，的中点，连接，求证．（简述解题思路即可） 42．如图，E．F是等腰的斜边上的两动点，，且．求证： (1)；(2)；(3)连接，若，求的最小值． 题型6：勾股定理的证明方法（9题） 43．古往今来，人们对勾股定理的证明一直保持着极大的热情．意大利著名画家达芬奇用如图所示的方法证明了勾股定理，其中图1的空白部分是由两个正方形和两个直角三角形组成，图2的空白部分由两个直角三角形和一个正方形组成．设图1中空白部分的面积为，图2中空白部分的面积为．请利用达芬奇的方法证明勾股定理．    44．勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，且巧妙各有不同，其中的“面积法”给了小聪以灵感．他惊喜地发现：当两个全等的直角三角形如图（1）或图（2）摆放时，都可以用“面积法”来证明勾股定理． 下面是小聪利用图（1）证明勾股定理的过程：将两个全等的直角三角形按如图（1）所示摆放，其中．求证：． 45．勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力，图1中的2个全等的直角三角形可以拼成不同的图形，用来证明勾股定理． (1)把两个全等的直角和如图2放置，其三边长分别为a，b，c，，可得．请用a，b，c分别写出梯形，四边形，的面积，再根据这三个图形面积之间的关系，证明勾股定理． (2)若图1中，，图3中方格纸中的小正方形的边长为1，请你用两种不同的方式将图1中两个全等的直角三角形放入图3的两个五边形中，并涂上阴影，则图3（1）中空白部分的面积为________，图3（2）中空白部分的面积为________，从而得到． (3)用（2）中4个全等的直角三角形（，）拼成如图4中的形状，则这个图形外围轮廓（实线）的周长为________． 46．我们已经知道，通过不同的方法表示同一图形的面积，可以探求相应的等式，如图①所示，四个形状大小完全相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个大正方形，四个直角三角形的两条直角边长分别为、，斜边长为． (1)请利用图①完成勾股定理的证明．(2)通过不同的方法表示同一几何体的体积，也可以探求相应的等式．图②是棱长为的正方体，被如图所示的分割线分成8块．试一试，你能从中得到什么等式．(3)已知，，利用上面的等式求． 47．著名的赵爽弦图（如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为，较小的直角边长都为，斜边长部为），大正方形的面积可以表示为，也可以表示为，由推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为，，斜边长为，则．(1)图②为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图②推导勾股定理：(2)如图③，在一条东西走向河流的一侧有一村庄，河边原有两个取水点、，，由于某种原因，由到的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点（、、在同一条直线上），并新修一条路，且．测得千米，千米，求新路比原路少多少千米？ (3)已知中，，，，求的面积． 48．把两个全等的和如图1放置，其三边长分别为a，b，c，，显然． (1)连接．请用a，b，c分别表示出四边形，梯形，的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，证明勾股定理；(2)如图2，在中，是边上的高，，，，设，求x的值. 49．综合与实践【背景介绍】勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．如图1是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，用它可以证明勾股定理，思路是大正方形的面积有两种求法，一种是等于，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，即，从而得到等式，化简便得结论．这里用两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”． 【方法运用】千百年来，人们对勾股定理的证明趋之若鹜，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者．向常春在2010年构造发现了一个新的证法：把两个全等的直角三角形和如图2放置，其三边长分别为a，b，c，，显然． (1)请用a，b，c，分别表示出四边形，梯形，的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，证明勾股定理． (2)请利用“双求法”解决下面的问题：如图3，小正方形边长为1，连接小正方形的三个顶点，则面积为______． (3)如图4，在中，是边上的高，，，，设，求x的值． 50．现有4个全等的直角三角形（阴影部分），直角边长分别为a、b，斜边长为c，将它们拼合为如图的形状． (1)添加如图辅助线，根据该图，可以用两种不同的方法计算整个组合图形的面积，通过面积相等，从而证明勾股定理，请你将下面的证明过程补充完整：整个组合图形面积表示，方法一：以c为边的正方形的面积两个直角三角形的面积，即最后化简为 ；方法二：以a和b为边的两个小正方形的面积两个直角三角形的面积，即最后化简为 ；根据面积相等，直接得等式 ，化简最后结果是 ，从而证明勾股定理． (2)当，时，求空白部分的面积． 51．请阅读下列材料，并完成相应的任务． 勾股定理又称毕达哥拉斯定理、商高定理、百牛定理等，是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，大约有五百多种证明方法，下面是我国三国时期的数学家赵爽和意大利著名画家达·芬奇的证明方法． 赵爽利用4个全等的直角三角形拼成如图1所示的“弦图”（史称“赵爽弦图”），其中a，b和c分别表示直角三角形的两直角边和斜边，四边形和四边形是正方形．    达·芬奇用如图2所示的方法证明，其中剪开前的空白部分由2个正方形和2个全等的直角三角形组成，面积记为；剪开翻转后的空白部分由2个全等的直角三角形和1个正方形组成，面积记为． 任务：(1)下面是小颖利用赵爽弦图验证勾股定理的过程，请你帮她补充完整． 证明：由图1，知，正方形的边长为 ． ， ， ， ，即． (2)请你参照小颖的验证过程，利用图2及图中标明的字母写出勾股定理的验证过程． 题型7：以弦图为背景的计算题（9题） 52．综合与实践【背景介绍】勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．如图1是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，用它可以证明勾股定理，思路是大正方形的面积有两种求法，一种是等于，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，即，从而得到等式，化简便得结论．这里用两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”． 【方法运用】向常春在2010年构造发现了一个新的证法：把两个全等的直角和如图2放置，，显然．（对角线互相垂直的四边形的面积等于对角线乘积的一半）(1)请用a，b，c分别表示出四边形，梯形的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，证明勾股定理． (2)【方法迁移】请利用“双求法”解决下面的问题：如图3，在中，，是边上的高，，求的长度；(3)如图4，在中，是边上的高，，求的长． 53．“赵爽弦图”是四个全等的直角三角形与中间一个小正方形拼成的大正方形．赵爽利用几何图形的截、割、拼、补来证明代数式之间的恒等关系，在验明勾股定理，为中国古代以形证数形数统一、代数和几何紧密结合、互不可分的独特风格树立了一个典范．(1)如图1，是小琪制作的一个“赵爽弦图”纸板．①设，，，请你利用图1验证：；②若大正方形的边长为13，小正方形的边长为7，求直角三角形两直角边之和为多少？(2)如图2，小昊把四个全等的直角三角板紧密地拼接在一起，已知外围轮廓实线的周长为48，，求这个图案的面积． 54．我国是最早了解勾股定理的国家之一，汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅如图1所示“赵爽弦图”（边长为c的大正方形中放四个全等的直角三角形，两直角边长分别为a，b，斜边长为c）． (1)如图1，请用两种不同方法表示图中阴影部分面积．方法1：______；方法2：______； 根据以上信息，可以得到等式：______； (2)小亮将“弦图”中的4个三角形进行了运动变换，得到图2，请利用图2证明勾股定理； (3)如图3，将图2的2个三角形进行了运动变换，若，，求阴影部分的面积． 55． 【背景介绍】勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力． 如图1是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，用它可以证明勾股定理，思路是：大正方形的面积有两种求法，一种是等于c²，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，即 从而得到等式 化简便得结论 这里用两种求法来表示同一个量，从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”． 【方法运用】千百年来，人们对勾股定理的证明趋之若鹜，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者． 向常春在 2010年构造发现了一个新的证法：把两个全等的直角三角形 和 如图2放置，其三边长分别为a，b，c， (1)求证： 四边形的面积为 (2)求梯形，的面积，再探究四边形的面积与这两个图形面积之间的关系，证明勾股定理 (3)如图3， 在中，是边上的高， 求的长． 56．课本再现：（1）如图1，四个全等的直角三角形拼成一个大正方形，中间空白部分也是正方形．已知直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c．课堂上，老师结合图形，用不同的方式表示大正方形的面积，证明了勾股定理．请证明：． 类比迁移：（2）小贤将四个全等的直角三角形拼成图2的“帽子”形状，若，请求出“帽子”外围轮廓（实线）的周长． 方法运用：（3）如图3，分别以的三条边向外作三个正方形，连接，若设，，求之间的关系，并证明． 57．勾股定理具有丰富的文化内涵，它揭示了直角三角形的三边关系，搭建起几何与代数之间的桥梁，为解决几何问题拓宽了思路．请完成下面问题：(1)“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为b，较短直角边长为a，若，大正方形的面积为13，则小正方形的面积是多少？ (2)同学们在探索过程中发现，当把赵爽弦图里的4个全等的直角三角形适当拼合，可以得到如图的图形，设直角三角形的直角边分别为a、b，斜边为c，利用这个图形也可以验证勾股定理，你能说明其中的道理吗？ (3)图（1）“赵爽弦图”中，若，，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到图（2）所示的“数学风车”，请直接写出这个风车的外围（实线）周长． 58．阅读下列材料，并完成相应的任务： 小明在经过八年级上册的知识学习后，发现用不同的方式表示同一图形的面积不仅可以得到整式的乘法公式，还可以用来证明勾股定理，我们把这种方法称为等面积法，这是一种重要的数学方法．如图1，这是我国汉代数学家赵爽证明勾股定理时创制的一幅“勾股圆方图”，后人称之为“赵爽弦图”，它由4个全等的直角三角形和1个小正方形组成． 任务一：如图1，请用它验证勾股定理． 任务二：如图1，若，求的面积． 任务三：如图2，在中，，是边上的高，，请直接写出的长． 59．综合与实践 长方体中蕴藏着丰富的数学知识，善思小组开展长方体中数学知识的探究．如图①底面为正方形的长方体盒子，，，．该小组把长方体的两侧面，剪下来，沿着和剪开，得到四个全等的直角三角形，拼成如图②所示的“弦图”． 【探究一】（1）如图②，若每个直角三角形较小锐角为，小正方形的面积为16．求大正方形的面积； 【探究二】（2）根据图②的“弦图”证明勾股定理（写出推理过程）； 【探究三】（3）为了使长方体盒子更加美观，现准备在长方体外表面从点A到点G粘贴一条彩色条（宽度忽略不计），设所用彩色条的长度为l，探究l的最小值（用含有a，b的式子表示），该小组探究如下：将长方体盒子侧面，展开成图③所示的平面图形，连接，在中，，即l的最小值为．上述探究结果是否正确？若不正确，画图并求出l的最小值． 60．【探究发现】我国三国时期的数学家赵爽利用四个全等的直角三角形拼成如图1所示图形，其中四边形和四边形都是正方形，巧妙地用面积法得出了直角三角形三边长a，b，c之间的一个重要结论：. （1）请你将数学家赵爽的说理过程补充完整： 已知：中，，，，.求证：. 证明：由图可知， ，______， 正方形边长为______， ， 即． 【深入思考】如图2，在中，，，，，以为直角边在的右侧作等腰直角，其中，，过点D作，垂足为点E（2）求证：，； （3）请你用两种不同的方法表示梯形的面积，并证明：； 【实际应用】（4）将图1中的四个直角三角形中较短的直角边分别向外延长相同的长度，得到图3所示的“数学风车”，若，，“数学风车”外围轮廓（图中实线部分）的总长度为108，求这个风车图案的面积． 题型8：用勾股定理构造图形解决问题（10题） 61．2024盐城各中小学举办了红色主题研学活动，开启红色文化之旅．在新四军纪念馆门口离地面一定高度的墙上处，装有一个由传感器控制的迎宾门铃，人只要移动到该门口及以内时，门铃就会自动发出“欢迎您”的语音．如图，一个身高的中学生刚走到处（学生头顶在点），门铃恰好自动响起，此时测得迎宾门铃与地面的距离和到该生头顶的距离相等．(1)请你计算迎宾门铃距离地面多少米？(2)若该生继续向前走，此时迎宾门铃距离该生头顶多少米？（保留根号） 62．白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．诗中隐含着一个有趣的数学问题：诗中将军在观望烽火之后从山脚的A点出发，奔向小河旁边的P点饮马，饮马后再到B点宿营，若A，B到水平直线l（l表示小河）的距离分别是2，1，两点之间水平距离是4．(1)请作出使和最小的点P．(2)请求出最小值． 63．【综合与实践】制作靠垫面子．材料准备：两块完全相同的长方形布料（），其它若干布料． 【操作1】小江把长方形布料裁成形状、大小都相同的四块（如图①），拼成如图②的大正方形靠垫面子，其中，正中部分从其它布料处裁得．求从其它布料处裁得的正中部分的小正方形布料的面积．（裁剪、接缝处布料忽略不计，结果用a，b表示） 【操作2】小滨把长方形布料裁成如图③形状的四块，每一块形状、大小都相同，拼成如图④的大正方形靠垫面子，其中，正中部分从其它布料处裁得（裁剪、接缝处布料忽略不计）．若原长方形布料的面积为90平方分米，图②中的大正方形靠垫面子的面积为106平方分米，试求图④中的大正方形靠垫面子的面积． 64．阅读理解：在平面直角坐标系中，任意两点，，，之间的位置关系有以下三种情形； ①如果轴，则， ②如果轴，则， ③如果与轴、轴均不平行，如图，过点作与轴的平行线与过点作与轴的平行线相交于点，则点坐标为，，由①得；由②得；根据勾股定理可得平面直角坐标系中任意两点的距离公式． 小试牛刀：（1）若点坐标为，点坐标为则　5　； （2）若点坐标为，点坐标为则　　；（3）若点坐标为，点坐标为则　　； 【学以致用】若点坐标为，点坐标为，点P是x轴上的动点，当取得最小值时，请直接写出的最小值为 ； 【挑战自我】已知， 根据数形结合，直接写出的最小值　　；的最大值　　；    65．小明家有一块四边形地（如图），已知其周长为，其中，，且．请帮小明计算一下这块地的面积． 66．在中，，且．(1)当是锐角三角形时，小明猜想：．以下是他的证明过程： 如图①，过点作，垂足为．设． ∵在中，， 在中， ① ， ∴ ① ． 化简得，． ② ．  其中，①是______；②是______． (2)如图②，当是钝角三角形时，猜想与之间的关系并证明．    67．【背景介绍】勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力． 【知识运用】（1）如图，铁路上A、B两点（看作直线上的两点）相距40千米，C、D为两个村庄（看作两个点），，，垂足分别为A、B，千米，千米，则两个村庄的距离为______千米． （2）在（1）的背景下，若千米，千米，千米，现要在上建造一个供应站P，使得，请用尺规作图在图中作出P点的位置并求出的距离． （3）【知识迁移】借助上面的思考过程与几何模型，则代数式（其中）最小值为多少？画图并写出解题过程． 68．阅读下面材料：实际问题：如图（1），一圆柱的底面半径为5cm，BC是底面直径，高AB为5cm，求一只蚂蚁从点A出发沿圆柱表面爬行到点C的最短路线，小明设计了两条路线．    解决方案：路线1：侧面展开图中的线段AC，如图（2）所示： 这路线一的长度为；则； 路线2：高底面直径BC，如图（1）所示： 设路线2的长度为：则； 为比较和的大小，我们采用“作差法”： ∵，∴．∴． 小明认为应选择路线2较短． (1)问题类比：小亮对上述结论有些疑惑，于是他把条件改成：“圆柱的底面半径为1cm，高AB为5cm”请你用上述方法帮小亮比较出与的大小； (2)问题拓展：请你帮他们继续研究：在一般情况下，当圆柱的底面半径为时，高为，蚂蚁从A点出发沿圆柱表面爬行到点C，当满足什么条件时，选择路线2最短？请说明理由． (3)问题解决：如图（3）为两个相同的圆柱紧密排列在一起，高为5cm，当蚂蚁从点A出发，沿圆柱表面爬行到C点的两条路线长度相等时，求圆柱的底面半径r．（注：按上面小明所设计的两条路线方式） 69．勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．千百年来，人们对它的证明趋之若鹜，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者．向常春在1994年构造发现了一个新的证法．证法如下：把两个全等的直角三角形如图1放置（），，点在落在边上，此时，设中，，，，用、、分别表示出梯形、四边形、的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，可证明勾股定理．(1)请根据上述图形的面积关系，证明勾股定理；(2)如图2，某平原上有一条铁路l，在铁路的同侧有两个小镇C、D且相距千米，它们到铁路的距离分别是2千米和5千米，现要在铁路上修建一个站点P和站点到两镇的公路，为使总造价最低，请在图上确定P的位置，并求出两条公路的总长； (3)借助上面的思考过程，求代数式的最大值． 70．[探究]（1）已知，均为正实数，且，求的最小值，通过分析，小文想到了构造图形解决此问题：如图，，，，，，且，两点在直线的异侧．点是线段上的动点，且不与端点重合，连接，，设，． ①用含的代数式表示_______，用含的代数式表示________； ②据此求出的最小值； [类比]（2）根据上述方法，直接写出代数式的最小值________． 1 1 教育是一个优雅而漫长的过程! 学科网（北京）股份有限公司 $$ 学习是一个快乐而充满挑战的过程！ 第17章 17.1 勾股定理 解答题常考题型分类训练（8大题型70题）（解析版） 题型1：用勾股定理解三角形（8题） 题型2：以直角三角形三边为边长的图形面积（7题） 题型3：勾股定理与折叠问题（14题） 题型4：利用勾股定理求两条线段的平方和（差）（5题） 题型5：利用勾股定理证明线段平方关系（8题） 题型6：勾股定理的证明方法（9题） 题型7：以弦图为背景的计算题（9题） 题型8：用勾股定理构造图形解决问题（10题） 1．如图，在中，，两直角边，．求斜边上的高的长． 【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理和三角形的面积公式．首先根据勾股定理求出的斜边的长度，再根据三角形的面积公式得到等式，把、、代入即可求得的长． 【详解】解：如图所示 在中，，，， 由勾股定理得 ， 中，为斜边上的高， ， ， ，，， ， ． 故答案为：． 2．如图，某住宅小区在施工过程中留下了一块空地（图中的四边形），经测量，在四边形中，，，，．小区为美化环境，欲在空地上铺草坪，已知草坪每平方米100元，试问铺满这块空地共需花费多少元？ 【答案】铺满这块空地共需花费3600元 【分析】本题主要考查勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键；由题意易得，然后可求四边形的面积，进而问题可求解． 【详解】解：∵，，， ∴， 同理可得， ∴， ∴（元）； 答：铺满这块空地共需花费3600元． 3．如图，将等边放在含有30°角的直角三角板上（，），使落在线段上，与分别交边于点H、G，其中．    (1)证明：； (2)求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）利用三角形的外角性质求得，再利用等边对等角可证得； （2）过点F作于，利用直角三角形的性质以及勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：∵为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：过点F作于，      ∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴由三线合一得， ∴． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，三角形的外角性质，直角三角形的性质，等边对等角，勾股定理，正确引出辅助线解决问题是解题的关键． 4．如图，将长方形沿着对角线折叠，使点落在处，交于点．此时，若，，求的面积． 【答案】10 【分析】本题主要考查了勾股定理，设，则，在中利用勾股定理即可列方程求得x的值，然后根据三角形面积公式求解即可． 【详解】解：由题意得，， 设，则， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得：， ∴， ∴． 5．在中，，是上的一点． (1)若E是的中点，，，，求的长； (2)若是的角平分线，，，求的度数． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题考查了勾股定理，三角形内角和定理，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键． （1）根据垂直定义可得：，再利用直角三角形的两个锐角互余可得：，从而可得，然后在中，利用勾股定理求出的长，从而求出的长，再利用线段中点的定义可得，从而可得，最后在中，利用勾股定理进行计算即可解答； （2）先利用三角形内角和定理可得：，然后利用角平分线的定义可得，再利用直角三角形的两个锐角互余可得，从而利用角的和差关系进行计算，即可解答． 【详解】（1）解： ， ， ， ， ， ， 在中，，， ， ， 是的中点， ， ， ； （2）解：，， ， 是的角平分线， ， ， ， ． 6．如图，在等腰直角中，，，为边上一点，连接，且，连接，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析； (2)的长为． 【分析】（）由，得，然后通过“”证明即可； （）连接，由勾股定理得，由（）得，，，则，由勾股定理得，则，故，最后由勾股定理即可求解； 本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∴， 在和中， ∴； （2）解：如图，连接， ∵，，， ∴由勾股定理得：， ∵，， ∴， 由（）得：， ∴，， ∴， ∴由勾股定理得：， ∴， ∴， ∴由勾股定理得：， ∴的长为． 7．如图，在中，，点D是上一动点，连接，过点A作，并且始终保持，连接． (1)求证：； (2)若平分交于．求的值． 【答案】(1)见解析 (2)13 【分析】本题考查三角形全等的判定和性质，角平分线的定义，勾股定理．掌握三角形全等的判定和性质是解题关键，解（2）时正确作出辅助线构造全等三角形是关键． （1）根据题意可证，结合，，即可证； （2）连接，由全等三角形的性质可得出，，即可求出，再根据勾股定理可求出．又易证，即得出． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴，即． 又∵，， ∴； （2）解：如图，连接． ∵， ∴，． ∵， ∴，即， ∴． ∵平分， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∴． 8．在中，， 若如图①，则有 ；若是锐角三角形，小明猜想，理由： 如图②， 过点A作， 垂足为D，设．在中，，在 中， ，，整理得 ， ，，， ，∴当是锐角三角形时， ，∴小明的猜想是正确的． (1)请你猜想，是钝角三角形且为钝角时， （填“>”“<”或“=”）； (2)根据图③证明你猜想的结论是正确的． (3)若， 则的面积是 ． 【答案】(1) (2)见解析 (3)24 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用， 对于（1），根据题意猜想即可； 对于（2），先过点A作，交的延长线于点D，设，再根据勾股定理得，整理可得答案； 对于（3），先说明三角形的形状，再根据勾股定理求出x，进而得出答案． 【详解】（1）是钝角三角形且为钝角时，． 故答案为：； （2）如图所示，过点A作，交的延长线于点D，设， 根据勾股定理得， 则， 即． ∵， ∴； （3）∵， ∴， ∴时钝角三角形． 过点A作，交的延长线于点D，设， 由（2），得， ∴， 解得， ∴． 在中，根据勾股定理，得， ∴． 故答案为：24． 9．如图①，美丽的弦图，蕴含着四个全等的直角三角形． (1)弦图中包含了一大，一小两个正方形，已知每个直角三角形较长的直角边为a．较短的直角边为b，斜边长为c，结合图①，试验证勾股定理； (2)如图②，将这四个直角三角形紧密地拼接，形成飞镖状，已知外围轮廓线的周长为，，求该飞镖状图案的面积； (3)如图③，将八个全等的直角三角形紧密地拼接，记图中正方形，正方形，正方形的面积分别为、、，若，求． 【答案】(1)见解析； (2)该飞镖状图案的面积是； (3) 【分析】本题考查了勾股定理的证明，正方形的性质，一元二次方程，（1）依据图1中的正方形的面积可以用四个三角形面积和中间小正方形面积之和表示，也可以用直角三角形斜边的边长表示，即可得； （2）根据四个全等的直角三角形，外围轮廓线的周长为24得直角三角形的斜边长为6，设，依题意有，进行计算即可得； （3）设每个三角形的面积都为y，则，，即可得，根据，即可得； 掌握勾股定理的证明，正方形的性质，一元二次方程是解题的关键． 【详解】（1）解：， ， 则． （2）解：∵四个全等的直角三角形，外围轮廓线的周长为24， ∴直角三角形的斜边长为：， 设， 依题意有， ， 解得：， ． 故该飞镖状图案的面积是． （3）解：设每个三角形的面积都为y， ∴，， ∴， 又∵， ∴． 10．综合与实践 【问题背景】数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助这种方法可将抽象的数学知识变得直观，从而可以帮助我们快速解题，初中数学里的一些代数公式，很多都可以通过表示几何图形面积的方法进行直观推导和解释．如图1，在中，，以Rt的三边长向外作正方形的面积分别为． 【解决问题】试猜想之间存在的等量关系，直接写出结论______． 【拓展探究】如图2，如果以的三边长为直径向外作半圆，那么上面的结论是否成立？请说明理由． 【推广应用】如图3，在中，，三边分别为，分别以它的三边为直径向上作半圆，请直接写出图3中阴影部分的面积． 【答案】【解决问题】；【拓展探究】结论仍成立，理由见解析；【推广应用】30 【分析】本题主要考查勾股定理； （1）先分别列式表示出，，，再运用勾股定理可得； （2）先分别列式表示出，，，再运用勾股定理可得； （3）先分别求得三个半圆和的面积，且由勾股定理可得两个小半圆面积的和等于大半圆的面积，再根据图中阴影部分的面积等于两个小半圆和的面积的和减去大半圆的面积进行计算即可． 【详解】[解决问题]解：在中，，，，，由勾股定理得： ， 由正方形面积公式可得：， ∴； 故答案为； [拓展探究]解：成立，理由如下： 在中，由勾股定理得：， 根据圆的面积公式可得：， ∴； [推广应用]解：如图， 根据（2）的结论，两个以直角边为直径的半圆面积等于斜边为直径的半圆面积． 阴影部分的面积直径为5与直径为12的两个半圆面积之和直角三角形的面积直角为13的半圆 直角三角形的面积， 阴影部分的面积． 11．定义：如图①．如果点D在的边上且满足．那么称点D为的“理根点”，如图②，在中， ，如果点D是的“理想点”，连接．求的长． 【答案】. 【分析】只要证明CD⊥AB即可解决问题． 【详解】解：如图②中， ∵点D是△ABC的“理想点”， ∴∠ACD=∠B， ∵， ∴， ∴， ， 在Rt△ABC中， ， ∴BC= ， ∵, ． 【点睛】本解考查了直角三角形判定和性质，理解新定义是解本题的关键． 12．甲同学在拼图探索活动中发现；用4个形状大小完全相同的直角三角形（直角边长分别为，a，b，斜边长为c，可以拼成像图1那样的正方形，并由此得出了关于a2，b2，c2.的一个等式． （1）请你写出这一结论：　 　，并给出验证过程； （2）试用上述结论解决问题：如图2如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，分别以四边向外作正方形甲、乙，丙、丁，若甲的面积为30，乙的面积为16，丙的面积为17，求“丁”的面积． 【答案】（1）；（2）29． 【分析】（1）用不同的方法表示阴影部分的面积，即可得到关于，，的一个等式． （2）由（1）得，，进而根据正方形面积得出等量关系求出“丁”的面积． 【详解】解：（1）结论：． 验证：阴影部分的面积， 阴影部分的面积= ， ， 即． 故答案为：． （2）如图，连接AC， ∵∠B＝∠D＝90° ∴，， 又∵，，，， ∴， 又∵甲的面积为30，乙的面积为16，丙的面积为17 ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了勾股定理以及面积法的运用，在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方． 13．小林同学是一名剪纸爱好者，喜欢运用数学知识对自己的作品进行分析思考，下面是他利用勾股定理对部分作品的数量关系进行探究思考的过程，请你帮助他一起完成． (1)如图1，中，°，，，分别以、为直径作半圆，求图中阴影部分的面积． (2)如图2，这是由四个全等的直角三角形紧密地拼接形成的飞镖状图案，测得外围轮廓（实线）的周长为80，，求该飞镖状图案的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查勾股定理，三角形和扇形的面积，能根据勾股定理列方程是解题的关键． （1）根据阴影部分面积两个扇形的面积和的面积计算即可； （2）根据三角形的全等可得，，然后根据勾股定理得到，即可求出长，然后计算面积即可． 【详解】（1）解：阴影部分的面积为； （2）解：∵四个直角三角形全等，外围轮廓（实线）的周长为80， ∴，， ∵是直角三角形， ∴，即， 解得：， ∴， ∴飞镖状图案的面积为． 14．现有如图1的8张大小形状相同的直角三角形纸片，三边长分别是a、b、c用其中4张纸片拼成如图2的大正方形（空白部分是边长分别为a和b的正方形）；用另外4张纸片拼成如图3的大正方形（中间的空白部分是边长为c的正方形） (1)观察：从整体看，整个图形的面积等于各部分面积的和所以图2和图3的大正方形的面积都可以表示为，记为结论①：图2中的大正方形的面积又可以用含字母a、b的代数式表示为：_________________记为结论②；图3中的大正方形的面积又可以用含字母a、b、c的代数式表示为：____________记为结论③： (2)思考：结合结论①和结论②，可以得到一个等式到一个等式__________________，结合结论②和结论③，可以得到一个等式_________________； (3)应用：若分别以直角三角形三边为直径，向外作半圆（如图4）三个半圆的面积分别记作，，，且，求的值． 【答案】(1)， (2)， (3) 【分析】本题考查完全平方公式的几何表示形式，勾股定理几何意义，圆面积公式，解题的关键在于利用数形结合的思想解决问题． （1）根据图形分别表示出图2中的大正方形的面积和图3中的大正方形的面积即可； （2）根据结论进行等量代换，即可解题； （3）根据图形和圆的面积公式分别表示出，，，再根据建立等式，结合求解，即可解题． 【详解】（1）解：由图知，图2中的大正方形的面积又可以用含字母a、b的代数式表示为： ， 图3中的大正方形的面积又可以用含字母a、b、c的代数式表示为： ， 故答案为：，． （2）解：结合结论①和结论②，可以得到一个等式到一个等式：； ，即， 所以结合结论②和结论③，可以得到一个等式：； 故答案为：，； （3）解：由图知， ，， ， ， ， ， ， 解得． 15．小林同学是一名剪纸爱好者，喜欢运用数学知识对自己的剪纸作品进行分析思考，下面是他利用勾股定理对部分剪纸作品的数量关系进行探究思考的过程，请你帮助他一起完成． 图1                    图2                        图3 (1)如图1，图案1是以的三条边为直径，向外作半圆，其面积分别记为，，，请写出，，之间的数量关系：______． (2)如图2，这是由四个全等的直角三角形紧密地拼接形成的飞镖状图案，测得外围轮廓（实线）的周长为80，，求该飞镖状图案的面积． (3)如图3，这是由八个全等的直角三角形紧密地拼接形成的大正方形，记图中正方形，正方形，正方形的面积分别为，，．若，则______． 【答案】(1) (2)120 (3)6 【分析】本题考查勾股定理，以直角三角形的三边构成的图形的面积问题： （1）利用圆的面积公式，结合勾股定理进行求解即可； （2）根据周长公式和勾股定理求出的长，分割法求出面积即可； （3）利用勾股定理结合正方形的面积公式以及面积关系，求解即可． 【详解】（1）解：由题意，得：，， ∴； （2）解：设：，由题意，得：， ∴，， ∴， ∴， 解得：， ∴飞镖状图案的面积为； （3）解：设直角三角形的长直角边为，短直角边为，斜边长为，则：， 由题意，得：， ∴ ， ∴， ∴． 16．如图所示，在中，，点D为边上一点，将沿翻折得到，若点在边上，，，求的长． 【答案】 【分析】由勾股定理求出，由折叠的性质得出，，，得出，，设，则，在中，由勾股定理得出方程，可求长，由勾股定理可求的长．本题考查了翻折变换的性质，勾股定理等知识；熟练掌握翻折变换的性质，由勾股定理得出方程是解题的关键． 【详解】解：由折叠可知：，，， 在中，由勾股定理得：， ， 设，则， 在中，由勾股定理得：， ， ，， ， 17．如图，纸片为长方形纸片，把纸片折叠，使点B恰好落在边上的E处，折痕为．已知，． (1)求的长． (2)求的长． 【答案】(1)6 (2)5 【分析】本题考查折叠性质、勾股定理，熟练掌握折叠性质是解答的关键． （1）根据长方形的性质和折叠性质得到，，在中，利用勾股定理求解即可； （2）设，则在中，，，，由勾股定理列方程求解x值即可． 【详解】（1）解：由题意，，，， 由折叠性质得，， 在中，， ∴； （2）解：设， 在中，，，， 由勾股定理得，则， 解得， 故． 18．如图，在长方形中，，将长方形沿折叠后，使点D恰好落在对角线上的点F处，求的长． 【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理，图形的折叠．根据勾股定理可得的长，再由折叠的性质可得，，从而得到，，设，则，在中，根据勾股定理，即可求解． 【详解】解：在长方形中，，， ∴， 由折叠的性质得：，， ∴，， 设，则， 在中，∵， ∴， 解得：， 即． 19．在中，． (1)如图1，把折叠，使点B与点C重合，折痕交于点D，交于点E．求证：D是的中点； (2)如图2，把折叠，使点B与点A重合，折痕交于点D，交于点F．求的长； (3)如图3，M为边上一点，沿着折叠，得到，边交于点N，若，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】本题考查了折叠与三角形的问题，勾股定理，掌握折叠性质以及勾股定理是解题的关键． （1）先证，再证明进而得出即可； （2）设x，则，在中用勾股定理求解即可； （3）先求出，得出，进而求出，即可求出结论． 【详解】（1）解：∵折叠后点B与点C重合， ∴， 在中， ∴， ∴， ， ，即D是的中点； （2）解：∵直线是对称轴， ∴， ∵， 设，则 在中，， ∴， ∴， 解得， ∴； （3）解：由题意得：，， ， ， ， ， ， ， ， ． 20．在矩形纸片中，，． (1)如图①，将矩形纸片沿折叠，点落在对角线上的点处，求的长： (2)如图②，点为上一点，将沿翻折至，与相交于点，与相交于点、且，求的长： (3)如图③，将矩形纸片折叠，使顶点落在边上的点处，折痕所在直线同时经过、包括端点，请直接写出的最大值和最小值． 【答案】(1) (2) (3)的最小值为，最大值为 【分析】本题考查了勾股定理，折叠问题，全等三角形的性质与判定； （1）设，在中，由勾股定理得出方程，解方程即可； （2）由证明，得出，，，因此，，在中，由勾股定理得出方程，解方程即可； （3）当折痕所在直线经过点时，如图1所示；此时最小；当折痕所在直线经过点时，如图2所示：此时最大，由勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：设，，，， 在中，由勾股定理得：， 解得：， ； （2）解：设， 由折叠的性质得：， 在和中， ， ， ， ，， ，， 在中，由勾股定理得：， 解得： ， ． （3）当折痕所在直线经过点时，如图1所示： 此时最小； 当折痕所在直线经过点时，如图2所示： 此时最大，， 由勾股定理得：； 综上所述，的最小值为，最大值为． 21．如图，在平面直角坐标系中，将长方形沿直线折叠（点E在边上），折叠后顶点D恰好落在边上的点F处，若点D的坐标为． (1)写出点F的坐标． (2)求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了折叠的性质，勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解答本题的关键． （1）由点D的坐标可知，，根据翻折的性质可知，由勾股定理可求得，进而可求出点F的坐标． （2）设，由折叠得，则，在△中，利用勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：∵点D的坐标为，在矩形中， ∴，， 由折叠的性质的可知： ， 在中，由勾股定理得：， ∴． （2）解：设，由折叠得，则， ∵， ∴， 在△中，， 解得： ， ∴． 22．如图，将长方形沿直线 折叠，顶点 恰好落在边上点处，未被覆盖的部分涂黑记为阴影部分，已知，． (1)求 的长; (2)求阴影部分的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了勾股定与折叠问题； （1）根据折叠得出，在中，根据勾股定理即可求解； （2）设，则，在中，根据勾股定理建立方程，求得，进而根据即可求解． 【详解】（1）解：四边形是长方形， ，， 由折叠得，， 在中，根据勾股定理可得 ； （2）由（1）得，则  设，则 在中，根据勾股定理可得 即  解得，即 23．如图1，在中，，，．点P从点B出发沿方向以每秒2个单位长度的速度向右运动，当点P与点C重合时，停止运动．设点P的运动时间为秒，连接． (1)当秒时，求的长． (2)如图2，将沿直线折叠，使得点C的对应点M恰好落在边上，求此时的值． 【答案】(1)； (2)； 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理及二次根式的性质，解决本题的关键是动点运动到不同位置形成不同的等腰三角形． （1）根据条件求出，在中，用勾股定理即可求出； （2）折叠性质可知：，进而求出，然后根据列方程即可求解． 【详解】（1）解：由题意得：， ∴， ∵， 在中，， ∴的长度为； （2）解：在中，，， ∴， 由折叠性质可知：， ∴，，， ∴， ∵， ∴，即 解得：； ∴将沿直线折叠，使得点C的对应点M恰好落在边上，此时t的值； 24．如图，在中，点H为边上的一点，，，，． (1)求的长； (2)已知点E为线段上一点，为等腰三角形，求线段的长度； (3)点P是直线上任意一点，把沿着直线翻折，直接写出当为何值时，点H翻折后的对应点恰好落在直线上． 【答案】(1)10 (2)6或4或 (3)或 【分析】本题主要考查了勾股定理及其逆定理，等腰三角形的性质和判定，翻折变换，熟练掌握勾股定理、等腰三角形的性质、折叠的性质、及分类讨论是解题的关键． （1）根据勾股定理逆定理判断是直角三角形，在根据勾股定理即可解答； （2）当时，根据等腰三角形的性质可解答；当点E在线段上，且时，根据可得答案；当时，根据勾股定理可得答案； （3）设，分别当点P在线段上时，或点P在延长线上时，根据，在中，根据勾股定理即可得出答案． 【详解】（1） ，，， ，， ， 是直角三角形，且， ， ， ，， 的长为10； （2）①当时： ，， H为中点， ， ； ②当点E在线段上，且时： ， ， ， ③当时：如图 在中 ，， ， 综上所述，线段的长度为6或4或； （3）①当点P在线段上时，如图： 设，则， ， ， 在中， 根据勾股定理可得： 解得， ； ②当点P在延长线上时，如图： 设，则， ， ， 在中， 根据勾股定理可得： 解得， ； 综上所述，的值为或． 25．探究式学习是新课程提倡的重要学习方式，某兴趣小组拟做以下探究．（注：长方形的对边平行且相等，四个角都是直角） 【初步感知】 （1）如图1，在三角形纸片中，，，，将其沿折叠，使点A与点B重合，折痕与交于点E，求的长； 【深入探究】 （2）如图2，将长方形纸片沿着对角线折叠，使点C落在处，交于E，若，，求的长； 【拓展延伸】 （3）如图3，在长方形纸片中，，，点E从点A出发以每秒2个单位长度的速度沿射线运动，把沿直线折叠，当点A的对应点F刚好落在线段的垂直平分线上时，直接写出运动时间t（秒）的值． 【答案】（1）5；（2）6；（3）t的值为2.5或10 【分析】（1）由折叠的性质得到：由折叠的性质得：，设，则，利用勾股定理即可求解； （2）根据长方形的性质与折叠的性质易得：，设，则，在中，由勾股定理得：，即可求解； （3）分两种情况，①当点在长方形内部时，由折叠的性质得，，再由勾股定理得，设，则，然后在中，由勾股定理得出方程，解方程即可；②当点在长方形外部时，折叠的性质得，，同①得，设，则，然后在中，由勾股定理得出方程，解方程即可． 【详解】解：（1）由折叠的性质得：， 设，则， 在中，由勾股定理得：， ， 解得： ； （2）四边形是长方形， ，，， ， 由折叠的性质得：， ， ， 设，则， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：， 即的长为； （3）四边形是长方形， ，， 设线段的垂直平分线交于点，交于点， 则， 分两种情况： ①如图，当点在长方形内部时， 点在线段的垂直平分线上， ，， 由折叠的性质得：，， 在中，由勾股定理得：， ， 设，则， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：， 即的长为5， （秒）； ②如图，当点在长方形外部时， 由折叠的性质得：，， 同①得：， ， 设，则， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：， 即的长为， （秒）； 综上所述，点刚好落在线段的垂直平分线上时，t的值为2.5秒或10秒． 【点睛】本题考查了折叠的性质、等腰三角形的判定、勾股定理、线段垂直平分线的性质以及分类讨论等知识，本题综合性强，熟练掌握折叠的性质和勾股定理是解题的关键，属于中考常考题型． 26．同学们，我们经常用翻折的方法验证两个图形是否是轴对称，并研究其相关性质，请你用翻折的性质解决下列问题： (1)如图1，将沿着翻折到，则 ， ； (2)如图2，将长方形对折，使得边、边重合，折痕与边、边交于点、点，，，点是边上一点，将沿着折叠得到，线段、线段分别交边于点、点． ①当、重合时，线段的长是多少 ②当点与点重合时，点是边上一点，将沿着线段折叠，使得点落在边上的点，线段的长是多少? 【答案】(1) (2)①；② 【分析】本题考查了勾股定理与折叠问题； （1）根据折叠的性质即可求解； （2）①勾股定理求得，进而求得，在中，勾股定理建立方程，解方程，即可求解； ②设，在中勾股定理求得，进而在中，求得，进而根据线段的和差，即可求解． 【详解】（1）解：将沿着翻折到，则， 故答案为：． （2）（2）①如图所示， 设，则， ，， 在中， ∴， 在中， ∴ 解得： ∴， ②如图所示， 设， ∵折叠， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ 在中，， 解得： ∴， ∵ 在中， ∴ 27．如图，长方形纸片，，，现将该纸片折叠，使点C与点A重合，折痕为， (1)试判断的形状，并说明理由； (2)求线段的长； (3)求折痕的长． 【答案】(1)为等腰三角形，理由见详解 (2) (3) 【分析】本题主要考查折叠的性质、全等三角形的性质与判定及勾股定理，熟练掌握折叠的性质及勾股定理是解题的关键； （1）由折叠的性质可知，然后可得，进而问题可求解； （2）设，则有，然后根据勾股定理可建立方程进行求解； （3）过点E作于点H，由题意易得，然后可得，进而根据勾股定理可进行求解． 【详解】（1）解：为等腰三角形，理由如下： 由折叠的性质可知，， 在长方形中，， ∴， ∴，即为等腰三角形； （2）解：在长方形中，， 由（1）可设，则有， 在中，由勾股定理得：， 解得：， ∴； （3）解：过点E作于点H，如图所示： 在长方形中，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 28．如图，将长方形纸片沿对角线折叠，使点落到点位置，与交于点，且，． (1)求证：； (2)求的长； (3)点为线段上任一点，于，于．请直接写出的值． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】本题主要考查了勾股定理与折叠问题，全等三角形的性质与判定： （1）由长方形的性质和折叠的性质证明，进而可利用证明，即可证明； （2）由全等三角形的性质得到，设，则，利用勾股定理建立方程，解方程求出即可； （3）先得到，再根据列式求解即可． 【详解】（1）证明：由长方形的性质可得， 由折叠的性质可得， ∴， 又∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴； （3）解：如图所示，连接， 由（1）（2）得， ∵， ∴， ∴， ∴． 29．如图，在直角三角形纸片中，，，．将该纸片折叠，折叠后点A与点B重合，折痕与边交于点D，与边交于点E．求： (1)的面积； (2)的长； (3)折痕的长． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了勾股定理，折叠的性质，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解． （1）直接利用三角形面积公式求解即可； （2）利用勾股定理求解即可； （3）根据折叠的性质可以得到，，．设，则，然后利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）解： 是直角三角形，，， ． （2）解：是直角三角形，，， ． （3）解：由折叠，得． 设，则． 在中，， 即， 解得， ． 由折叠，得， ∴在中，． 30．如图，在四边形中，，求的长． 【答案】． 【分析】延长相交于点，中，解得，继而根据含30°角直角三角形的性质解得，，在中，由勾股定理解得的长即可． 【详解】解：延长相交于点， 中， 中， 设 在中，由勾股定理得， ． 【点睛】本题考查含30°角的直角三角形、勾股定理等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 31．对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线，交于点． (1)若，，，，请求出，，，的值． (2)若，，求的值． (3)请根据（1）（2）题中的信息，写出关于“垂美”四边形关于边的一条结论． 【答案】(1)，，， (2) (3)“垂美”四边形对边的平方和相等 【分析】本题考查了勾股定理的应用，灵活运用勾股定理是解题的关键． （1）根据“垂美”四边形的定义可得，再根据勾股定理即可求解； （2）根据“垂美”四边形的定义可得，进而得到，，根据即可求解； （3）由（1）（2）得到，即可求解． 【详解】（1）解：四边形是“垂美”四边形，对角线，交于点， ， ，，，， ，，，， ，，，； （2）四边形是“垂美”四边形，对角线，交于点， ， ，， ，， ； （3）由（1）（2）可得：，即“垂美”四边形对边的平方和相等． 32．如图，中，，为中点，点在边上（点不与点，重合），连接，过点作交于点，连接． (1)求证：. (2)若，，，直接写出线段的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定和勾股定理，中垂线的性质； （1）延长至使，连接，证明，从而得，，由得为中垂线，故，在中根据勾股定理即可的结论； （2）结合（1）中的结论可得，，在中利用勾股定理即可解决． 【详解】（1）证明：作，交延长线于，连接 ， ， ， ， ， 在和中，， ， ，， ， ， ， ， ， （2）解：设， ，，， 则， ， ， ， 即：， 由（1）知：，，， ，， ， ， 即：， 解得：， 即：． 33．如图，在中，已知，是斜边的中点，交于点，连接． (1)求证：； (2)若，，求的周长及的长． 【答案】(1)见解析 (2)的周长为， 【分析】本题考查了勾股定理的应用、线段垂直平分线的性质等知识点． （1）由线段垂直平分线的性质可得，在利用勾股定理建立线段的平方关系，再等量代换即可求证； （2）在中，由勾股定理得的长度，结合线段垂直平分线的性质、勾股定理，即可求解． 【详解】（1）证明：如图所示，连接， ∵是斜边的中点，， ∴是线段的垂直平分线， ∴. 在中，由勾股定理得， ∴， 即. （2）解：∵是斜边的中点，， ∴. 在中，由勾股定理得， ∴. 又∵， ∴， ∴的周长为. ∵ ∴， 即， 解得：． 34．(1)如图1，四边形的对角线于点．判断与的数量关系，并说明理由． (2)如图2，分别以的直角边和斜边为边向外作正方形和正方形，连接，，交点为． ①判断，的关系，并说明理由． ②连接．若，，请直接写出的长． 【答案】(1)，理由见解析；(2)①，，理由见解析；② 【分析】（1）根据勾股定理得到 ，同理求出即可求解； （2）①证明即可得到；进而得到，②在四边形中，根据（1）求得的结论即可求出的长． 【详解】解：（1）∵，∴， ∴在中，， 在中，， 在中，， 在中，， ∴， 即； （2）①∵四边形和四边形为正方形， ∴，，， ∴， 即， ∴ ， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 综上，，； ② 解析：在四边形中，，由（1）知 ∵，， ∴ ∴， ∴， ∴． 图2 【点睛】本题考查勾股定理，三角形全等的判定与性质，熟练掌握勾股定理，三角形全等的判定与性质是解题关键． 35．在中，，D是的中点，以为腰向外作等腰直角连接，交于点F，交于点G． (1)求证：； (2)试判断线段与三者之间的等量关系，并证明你的结论． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、全等三角形综合问题以及勾股定理，证是解题关键． （1）证得，结合、可得，即可求证； （2）由得，结合，得，根据勾股定理即可求解. 【详解】（1）证明：∵，D是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， 由题意得：， ∴， ∴， ∴； （2）解：，理由如下： ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴． 36．概念理解：对角线互相垂直的四边形叫做垂直四边形．如图1，四边形中，； 新意应用：如图2，在四边形中，，，问四边形是垂直四边形吗？请说明理由； 性质探究：如图1，垂直四边形被对角线分成了四个直角三角形，与有什么关系？并证明你的猜想．    【答案】新意应用：四边形是垂直四边形，理由见解析；性质探究：，证明见解析 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的判定，勾股定理： 新意应用：连接，根据线段垂直平分线的判定定理，即可求解； 性质探究：根据勾股定理，即可求解． 【详解】解：新意应用：四边形是垂直四边形， 理由：连接，      ∵， ∴点A在线段的垂直平分线上， ∵， ∴点C在线段的垂直平分线上， ∴直线是线段的垂直平分线， ∴， 即四边形是垂直四边形； 性质探究：，理由如下： ∵， ∴， 由勾股定理得，，， ∴． 37．如图，已知是等腰直角三角形，动点在斜边所在的直线上，以为直角边作等腰直角，其中，探究并解决下列问题： (1)如图1，若点在线段上时，猜想，，三者之间的数量关系，并证明你的结论； (2)如图2，若点在的延长线上，在（1）中所猜想的，，三者之间的数量关系仍然成立，请利用图2进行证明． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）连接，根据等腰直角三角形的性质可得到，进而得到，，在中利用勾股定理即可得到三边的关系； （2）连接，根据等腰直角三角形的性质可得到，进而得到，，在中利用勾股定理即可得到三边的关系； 【详解】（1）解：结论：，理由如下： 如图，连接， ∵、均为等腰直角三角形，， ∴，， ∵ ∴ 在和中， ， ∴ ∴，， ∴， 在中， ∵ ∴； （2）如图，连接， ∵、均为等腰直角三角形，， ∴，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴ ∴，， ∴，即： 在中， ∵ ∴． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形下的全等模型，等腰直角三角形的性质，等角的余角相等，全等三角形的判定与性质，勾股定理，合理构造辅助线是解决本题的关键． 38．如图，在等腰中，，点为边 上一点，连接，将绕点逆时针旋转得到线段 连接，． (1)求证：； (2)当时，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)4 【分析】（1）先根据条件证明出，再根据全等三角形的性质证明； （2）先根据前面的条件将线段转换，再证明出是直角三角形，然后根据勾股定理即可求出最后答案． 【详解】（1）证明：∵是等腰三角形， ∴, 又是由绕点C逆时针旋转90°得到， ∴，， ∵ ∴， ∴， ∴． （2）由（1）得，是等腰直角三角形， ∵， ∴， 在等腰中，， ∵， ∴， ∴， ∴是直角三角形． 又， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查全等三角形的性质与判定、勾股定理、等腰三角形的性质，运用相关性质证明三角形全等，再将线段进行转化是解题关键． 39．已知与都是等边三角形． (1)如图1，点A、B、E三点共线，求证：； (2)如图2，点D是外一点，且，请证明结论； (3)如图3，若，，．试求的度数． 【答案】(1)详见解析 (2)详见解析 (3) 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、等腰三角形的性质等知识点，解题的关键是作出恰当的辅助线． （1）先由等边三角形的性质得出，然后利用“边角边”定理证明两三角形全等，进而得到 （2）连接，由等边三角形性质证得，于是可证两三角形全等，则得出然后证得为直角，最后由勾股定理即可证得结论． （3）作交的延长线于点F，利用全等三角形性质、勾股定理、等边对等角即可求得结果． 【详解】（1）证明：与都是等边三角形， 在和中， ， （2）证明：如图2，连接， ∵与都是等边三角形， 在和中， （3）解：如图3，作交的延长线于点F，则， 解得， 的度数是 40．如图，在中，． (1)求证：； (2)当，，时，求的值． 【答案】(1)证明见解析； (2)； 【分析】本题考查了勾股定理和平方差公式的相关证明和计算及解二元一次方程组，熟练掌握和运用勾股定理是解决问题的关键． （1）在和中，分别运用勾股定理可得，，利用边相等，联立两式移项即得证． （2）根据第一问的结论，可求出的值，利用平方差公式，结合，可求得，而，由此可求得、，由勾股定理即可求出． 【详解】（1）证明： ， 在和中，根据勾股定理得， ，， ， 移项得：． 故． （2）解： ，， ， ， ，即， ， ，解得， ， ． 41．（1）如图①，在中，，，为边上的中线，则的取值范围是 （提示：延长到点，使，连接）； （2）如图②，在中，，是边上的中点，，交于点，交于点，连接，求证； （3）如图③，在中，点，分别是边，的中点，连接，求证．（简述解题思路即可） 【答案】（1） （2）见解析 （3）见解析 【分析】（1）如图①所示，延长到点，使，连接，先证明，得到，然后根据三角形三边关系即可证得结论； （2）如图②所示，延长到点，使，连接，，先证明，得到，，进而证得，由勾股定理得，再证，即可证得结论； （3）如图③所示，延长到点，使，连接，，证明，得到，，再证明，得到，即可证得结论． 【详解】解：（1）如图①所示，延长到点，使，连接， 在和中， ， ， ， ，即， ， 故答案为：． （2）证明：延长到点，使，连接，，如图②， 是边上的中点， ， 又，， ， ，， ， ， ， ， ，， 垂直平分， ， ． （3）证明：延长到点，使，连接，，如图③， ，， ， ，， ， ，， ， 又， ， ， 又， ． 【点睛】此题考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，三角形三边关系，平行线的性质，合理添加辅助线，利用“倍长中线法”构造全等三角形是解本题的关键． 42．如图，E．F是等腰的斜边上的两动点，，且．求证：    (1)； (2)； (3)连接，若，求的最小值． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）利用证明即可； （2）证明，得到，结合，即可得证； （3）易证是等腰直角三角形，得到，进而得到当时，最小，此时最小，求出的长，即可． 【详解】（1）证明：∵是等腰直角三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在和中，， ∴； （2）证明：由（1）知，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， 在与中，， ∴， ∴， 在中，根据勾股定理得，， ∵， ∴． （3）连接，    ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴ ∴． 当取最小值时，最小， ∴当时，最小，此时最小， ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴的最小值为． 【点睛】本题考查等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理．熟练掌握全等三角形的判定方法，证明三角形全等，是解题的关键． 43．古往今来，人们对勾股定理的证明一直保持着极大的热情．意大利著名画家达芬奇用如图所示的方法证明了勾股定理，其中图1的空白部分是由两个正方形和两个直角三角形组成，图2的空白部分由两个直角三角形和一个正方形组成．设图1中空白部分的面积为，图2中空白部分的面积为．请利用达芬奇的方法证明勾股定理．    【答案】证明见解析 【分析】本题考查勾股定理的证明，首先根据正方形和三角形的面积公式，用含，，的代数式分别表示，，再根据题意列方程即可得到结论． 【详解】证明：根据题意得，图1中空白部分的面积， 图2中空白部分的面积， 由，得， ． 44．勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，且巧妙各有不同，其中的“面积法”给了小聪以灵感．他惊喜地发现：当两个全等的直角三角形如图（1）或图（2）摆放时，都可以用“面积法”来证明勾股定理． 下面是小聪利用图（1）证明勾股定理的过程： 将两个全等的直角三角形按如图（1）所示摆放，其中．求证：． 【答案】见解析 【分析】此题考查了勾股定理的证明，用两种方法表示出四边形的面积是解本题的关键．证明勾股定理时，用几个全等的直角三角形拼成一个规则的图形，然后利用大图形的面积等于几个小图形的面积和，化简整理即可得到勾股定理表达式． 【详解】证明：如图（1），连接，过点作边上的高，则． ， ， ， ． 45．勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力，图1中的2个全等的直角三角形可以拼成不同的图形，用来证明勾股定理． (1)把两个全等的直角和如图2放置，其三边长分别为a，b，c，，可得．请用a，b，c分别写出梯形，四边形，的面积，再根据这三个图形面积之间的关系，证明勾股定理． (2)若图1中，，图3中方格纸中的小正方形的边长为1，请你用两种不同的方式将图1中两个全等的直角三角形放入图3的两个五边形中，并涂上阴影，则图3（1）中空白部分的面积为________，图3（2）中空白部分的面积为________，从而得到． (3)用（2）中4个全等的直角三角形（，）拼成如图4中的形状，则这个图形外围轮廓（实线）的周长为________． 【答案】(1)见解析 (2)作图见解析，25，25 (3)20 【分析】本题考查了勾股定理的证明和应用，掌握三角形和正方形面积计算公式是解决问题的关键． （1）由题意可知，，，，得到，然后代入整理求解即可； （2）根据题意画出图形，然后表示出图（1）中空白面积和图（2）中空白面积，进而求解即可； （3）首先根据勾股定理求出，然后由，得到，然后证明出，证明出，得到，设，则，根据勾股定理求出，得到，进而求解即可． 【详解】（1）证明：由题意可知，，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：如图所示，    ∵，， ∴图3（1）中空白面积； 图3（2）中空白面积． ∴； （3）如图所示，    ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， 设，则， ∴中，， ∴， 解得， ∴， 同理可得，， ∴这个图形外围轮廓（实线）的周长． 故答案为：20． 46．我们已经知道，通过不同的方法表示同一图形的面积，可以探求相应的等式，如图①所示，四个形状大小完全相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个大正方形，四个直角三角形的两条直角边长分别为、，斜边长为．    (1)请利用图①完成勾股定理的证明． (2)通过不同的方法表示同一几何体的体积，也可以探求相应的等式．图②是棱长为的正方体，被如图所示的分割线分成8块．试一试，你能从中得到什么等式． (3)已知，，利用上面的等式求． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】本题考查了勾股定理的证明、完全平方公式的几何应用，能正确表示出各个部分的面积和体积是解此题的关键． （1）两种方法表示出图中大正方形的面积为或，即可得解； （2）表示出图形的体积为或，即可得解 （3）根据（2）可得，代入计算即可得解． 【详解】（1）证明：图中阴影部分小正方形的边长可表示为， 图中大正方形的面积为或， ， 即； （2）解：图形的体积为：或， ， ； （3）解：，，， ， 解得：． 47．著名的赵爽弦图（如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为，较小的直角边长都为，斜边长部为），大正方形的面积可以表示为，也可以表示为，由推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为，，斜边长为，则． (1)图②为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图②推导勾股定理： (2)如图③，在一条东西走向河流的一侧有一村庄，河边原有两个取水点、，，由于某种原因，由到的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点（、、在同一条直线上），并新修一条路，且．测得千米，千米，求新路比原路少多少千米？ (3)已知中，，，，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)0.2千米 (3)84 【分析】此题考查了勾股定理的证明方法、勾股定理的应用等知识． （1）利用梯形的面积的两种表示方法即可证明； （2）设千米，在中，根据勾股定理得到，解得，即千米，即可得到答案； （3）作，垂足为，在中，，在中，，则，则，解得：，利用勾股定理即可求解． 【详解】（1）证明：梯形的面积为， 也可以表示为， ， 即； （2）设千米， 千米， 在中，根据勾股定理得：， ，解得， 即千米， （千米）， 答：新路比原路少0.2千米； （3）作，垂足为， 设， ， ，，，， 根据勾股定理： 在中，， 在中，， ， 即， 解得：， ， ． ． 48．把两个全等的和如图1放置，其三边长分别为a，b，c，，显然．        (1)连接．请用a，b，c分别表示出四边形，梯形，的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，证明勾股定理； (2)如图2，在中，是边上的高，，，，设，求x的值. 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了勾股定理的证明，三角形全等的判定和性质，三角形面积的计算，解题的关键是数形结合，熟练掌握三角形面积的计算公式． （1）根据，得出，求出，，，根据，即可证明结论； （2）设，则，根据勾股定理得出，求出x的值即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵ ， ， ， 又∵， ∴， ∴． （2）解：∵， ∴， 设，则， 根据勾股定理得：， ∴， 解得：． 49．综合与实践 【背景介绍】勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．如图1是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，用它可以证明勾股定理，思路是大正方形的面积有两种求法，一种是等于，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，即    ，从而得到等式，化简便得结论．这里用 两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”． 【方法运用】千百年来，人们对勾股定理的证明趋之若鹜，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者．向常春在2010年构造发现了一个新的证法：把两个全等的直角三角形和如图2放置，其三边长分别为a，b，c，，显然． (1)请用a，b，c，分别表示出四边形，梯形，的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，证明勾股定理． (2)请利用“双求法”解决下面的问题：如图3，小正方形边长为1，连接小正方形的三个顶点，则面积为______． (3)如图4，在中，是边上的高，，，，设，求x的值． 【答案】(1)见解析 (2)6 (3) 【分析】此题主要考查了证明勾股定理，勾股定理的应用，证明勾股定理常用的方法是利用面积证明，是解本题的关键． （1）表示出三个图形的面积进行加减计算可证； （2）利用割补法即可求解； （3）运用勾股定理在和中求出，列出方程求解即可； 【详解】（1）证明：∵，，， ， ∴， ∴， ∴； （2）； （3）解：在中，由勾股定理得： ∵， ∴ 在中，由勾股定理得 ∴， ∴． 50．现有4个全等的直角三角形（阴影部分），直角边长分别为a、b，斜边长为c，将它们拼合为如图的形状． (1)添加如图辅助线，根据该图，可以用两种不同的方法计算整个组合图形的面积，通过面积相等，从而证明勾股定理，请你将下面的证明过程补充完整：整个组合图形面积表示，方法一：以c为边的正方形的面积两个直角三角形的面积，即最后化简为 ；方法二：以a和b为边的两个小正方形的面积两个直角三角形的面积，即最后化简为 ；根据面积相等，直接得等式 ，化简最后结果是 ，从而证明勾股定理． (2)当，时，求空白部分的面积． 【答案】(1)，，， (2)13 【分析】本题考查了勾股定理的几何背景，代数式求值，正确识图是解题的关键． （1）根据题意和图形即可求解； （2）根据空白部分的面积等于以c为边的正方形的面积减去2个直角三角形的面积可得空白部分的面积为，再把，代入计算即可求解． 【详解】（1）解：方法一：以c为边的正方形的面积两个直角三角形的面积为： 即最后化简为； 方法二：以a和b为边的两个小正方形的面积两个直角三角形的面积，即最后化简为； 根据面积相等，得：， 化简最后结果是． 故答案为：，，， （2）解：根据题意得：空白部分的面积为 当，时，原式． 51．请阅读下列材料，并完成相应的任务． 勾股定理又称毕达哥拉斯定理、商高定理、百牛定理等，是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，大约有五百多种证明方法，下面是我国三国时期的数学家赵爽和意大利著名画家达·芬奇的证明方法． 赵爽利用4个全等的直角三角形拼成如图1所示的“弦图”（史称“赵爽弦图”），其中a，b和c分别表示直角三角形的两直角边和斜边，四边形和四边形是正方形．   达·芬奇用如图2所示的方法证明，其中剪开前的空白部分由2个正方形和2个全等的直角三角形组成，面积记为；剪开翻转后的空白部分由2个全等的直角三角形和1个正方形组成，面积记为． 任务： (1)下面是小颖利用赵爽弦图验证勾股定理的过程，请你帮她补充完整． 证明：由图1，知，正方形的边长为 ． ， ， ， ，即． (2)请你参照小颖的验证过程，利用图2及图中标明的字母写出勾股定理的验证过程． 【答案】(1)，， (2)见解析 【分析】本题考查了直角三角形和正方形的面积公式，根据题目读懂题意，列出等量关系，验证勾股定理是解答本题的关键． （1）依题分析，直角三角形两个直角边长分别，，正方形的边长为，根据直角三角形和正方形的面积公式，得到三角形面积为，正方形的面积为； （2）剪开前，直角三角形的两直角边长分别为，，两个正方形边长分别为，；剪开后正方形的边长为，直角三角形的两直角边长分别为，，根据直角三角形和正方形的面积公式，列出剪开前后的面积公式，两个面积相等，得到验证． 【详解】（1）解：由图知， 直角三角形的两个边长为，， 正方形的边长为， ， ， 故答案为，， （2）根据题意，得， ， ， ，即 52．综合与实践 【背景介绍】勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．如图1是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，用它可以证明勾股定理，思路是大正方形的面积有两种求法，一种是等于，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，即，从而得到等式，化简便得结论．这里用两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”． 【方法运用】向常春在2010年构造发现了一个新的证法：把两个全等的直角和如图2放置，，显然．（对角线互相垂直的四边形的面积等于对角线乘积的一半） (1)请用a，b，c分别表示出四边形，梯形的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，证明勾股定理． (2)【方法迁移】请利用“双求法”解决下面的问题：如图3，在中，，是边上的高，，求的长度； (3)如图4，在中，是边上的高，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】本题主要考查了梯形，证明勾股定理，勾股定理的应用，构造直角三角形是解题的关键． （1）表示出三个图形的面积进行加减计算即可证明结论； （2）计算出的面积，再根据三角形的面积进行计算即可； （3）利用勾股定理求出，列出方程求解即可． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， 化简得：； （2）解：在中，，， ， 是边上的高， ， ； （3）解：设， 在中， ， ， ， 在中， ， ， ， ． 53．“赵爽弦图”是四个全等的直角三角形与中间一个小正方形拼成的大正方形．赵爽利用几何图形的截、割、拼、补来证明代数式之间的恒等关系，在验明勾股定理，为中国古代以形证数形数统一、代数和几何紧密结合、互不可分的独特风格树立了一个典范． (1)如图1，是小琪制作的一个“赵爽弦图”纸板． ①设，，，请你利用图1验证：； ②若大正方形的边长为13，小正方形的边长为7，求直角三角形两直角边之和为多少？ (2)如图2，小昊把四个全等的直角三角板紧密地拼接在一起，已知外围轮廓实线的周长为48，，求这个图案的面积． 【答案】(1)①见解析；②； (2) 【分析】本题主要考查了勾股定理的证明，能用不同的方法表示出正方形的面积及巧用整体思想是解题的关键． ①用两种不同的方法去求正方形的面积即可． ②利用①中发现的结论即可解决问题． 设，根据勾股定理建立关于m的方程即可解决问题． 【详解】（1）解：①证明：中间小正方形的边长为， 小正方形的面积为 又四个直角三角形的面积为：， 大正方形的面积为： 又大正方形的边长为c， 大正方形的面积还可以表示为， ； ②解：由①可知， ， ， ， ， ， 舍负， 即直角三角形两直角边之和为； （2）解：设， ， 外围轮廓实线的周长为48， ， 则 在中， ， 解得， 即， ． 54．我国是最早了解勾股定理的国家之一，汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅如图1所示“赵爽弦图”（边长为c的大正方形中放四个全等的直角三角形，两直角边长分别为a，b，斜边长为c）． (1)如图1，请用两种不同方法表示图中阴影部分面积． 方法1：______； 方法2：______； 根据以上信息，可以得到等式：______； (2)小亮将“弦图”中的4个三角形进行了运动变换，得到图2，请利用图2证明勾股定理； (3)如图3，将图2的2个三角形进行了运动变换，若，，求阴影部分的面积． 【答案】(1)；； (2)见解析 (3)27 【分析】本题考查了勾股定理的证明与运用，灵活掌握等面积法在证明勾股定理中的作用是解题的关键． （1）方法1：求得小正方形的边长为，方法2：大正方形的面积减4个直角三角形的面积，据此计算即可； （2），列式计算即可证明； （3）先用勾股定理计算出c，再利用计算面积即可． 【详解】（1）解：方法1：； 方法2：； ∵，即， 故； 根据以上信息，可以得到等式：； 故答案为：；；； （2）解：∵， 即， 整理得， 故； （3）解：如图，， ∵，， ∴， 则， ∴， 故阴影部分的面积为27． 55． 【背景介绍】勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力． 如图1是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，用它可以证明勾股定理，思路是：大正方形的面积有两种求法，一种是等于c²，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，即 从而得到等式 化简便得结论 这里用两种求法来表示同一个量，从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”． 【方法运用】千百年来，人们对勾股定理的证明趋之若鹜，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者． 向常春在 2010年构造发现了一个新的证法：把两个全等的直角三角形 和 如图2放置，其三边长分别为a，b，c， (1)求证： 四边形的面积为 (2)求梯形，的面积，再探究四边形的面积与这两个图形面积之间的关系，证明勾股定理 (3)如图3， 在中，是边上的高， 求的长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题主要考查了梯形，证明勾股定理，勾股定理的应用，证明勾股定理常用的方法是利用面积证明，是解本题的关键． （1）由三角形内角和定理求出，根据三角形面积公式即可求解； （2）表示出三个图形的面积进行加减计算可证； （3）运用勾股定理在和中求出，列出方程求解即可． 【详解】（1）证明： ， ， ∴，即 ∴ （2）证明：； ， ∴， ∴， ∴； （3）解：设的长为x， 在中，由勾股定理得 ， ∵， ∴， 在中，由勾股定理得 ， ∴ ∴， 即． 56．课本再现： （1）如图1，四个全等的直角三角形拼成一个大正方形，中间空白部分也是正方形．已知直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c．课堂上，老师结合图形，用不同的方式表示大正方形的面积，证明了勾股定理．请证明：． 类比迁移 （2）小贤将四个全等的直角三角形拼成图2的“帽子”形状，若，请求出“帽子”外围轮廓（实线）的周长． 方法运用 （3）如图3，分别以的三条边向外作三个正方形，连接，若设，，求之间的关系，并证明． 【答案】（1）见解析；（2）20；（3），证明见解析 【分析】本题考查勾股定理的几何应用，三角形全等的判定与性质，解题的关键是能够根据题目的条件，进行推理． （1）用两种方法求出正方形的面积，即可求解； （2）利用三角形全等的性质求出，再证明，利用勾股定理求出，同理得，即可求解； （3）设正方形的边长分别为，则，且，分别表示出，，，即可证明． 【详解】（1）证明：， ， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， 设，则， ∴即：， ∴， ∴， 同理得； ∴“帽子”外围轮廓（实线）的周长为：； （3）解：，证明如下： 设正方形的边长分别为，则，且， ∴， ， ， ∵， ∴． 57．勾股定理具有丰富的文化内涵，它揭示了直角三角形的三边关系，搭建起几何与代数之间的桥梁，为解决几何问题拓宽了思路．请完成下面问题： (1)“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为b，较短直角边长为a，若，大正方形的面积为13，则小正方形的面积是多少？ (2)同学们在探索过程中发现，当把赵爽弦图里的4个全等的直角三角形适当拼合，可以得到如图的图形，设直角三角形的直角边分别为a、b，斜边为c，利用这个图形也可以验证勾股定理，你能说明其中的道理吗？ (3)图（1）“赵爽弦图”中，若，，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到图（2）所示的“数学风车”，请直接写出这个风车的外围（实线）周长． 【答案】(1)5 (2)见解析 (3)76 【分析】本题考查勾股定理的几何背景，完全平方公式与几何图形的面积： （1）设直角三角形的斜边为，利用勾股定理和完全平方公式求出的值，利用大正方形的面积减去小正方形的面积进行计算即可； （2）根据图形的总面积等于一个大正方形的面积加上两个直角三角形的面积，也等于两个小正方形的面积加上两个直角三角形的面积，然后整理即可得证； （3）根据外延的4部分全等，且，由勾股定理求得，根据风车的外围周长是，计算求解即可． 【详解】（1）解：设斜边的长为，由题意，得：， ∵， ∴， ∴小正方形的面积为：； （2）解：图形的总面积可以表示为 ， 也可以表示为， ∴ ． ∴． （3）解：如图2，由题意知，外延的4部分全等，且， ∴， 由勾股定理得，， ∴这个风车的外围周长是． 58．阅读下列材料，并完成相应的任务： 小明在经过八年级上册的知识学习后，发现用不同的方式表示同一图形的面积不仅可以得到整式的乘法公式，还可以用来证明勾股定理，我们把这种方法称为等面积法，这是一种重要的数学方法．如图1，这是我国汉代数学家赵爽证明勾股定理时创制的一幅“勾股圆方图”，后人称之为“赵爽弦图”，它由4个全等的直角三角形和1个小正方形组成． 任务一：如图1，请用它验证勾股定理． 任务二：如图1，若，求的面积． 任务三：如图2，在中，，是边上的高，，请直接写出的长． 【答案】任务一：见解析；任务二：；任务三： 【分析】本题考查了勾股定理，以弦图为背景的计算题，等面积法，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 任务一：根据正方形的面积个全等的直角三角形的面积＋一个小正方形的面积，列式，化简即可作答； 任务二：结合，化简得出，再代入直角三角形的面积公式进行计算，即可作答． 任务三：先运用勾股定理计算，再运用等面积法列式计算，即可作答． 【详解】解：任务一：正方形的面积，且正方形的面积个全等的直角三角形的面积＋一个小正方形的面积， ， 整理得． 任务二：， ， ， ， 的面积． 任务三：∵在中，， ． 是边上的高， ， ， ． 59．综合与实践 长方体中蕴藏着丰富的数学知识，善思小组开展长方体中数学知识的探究．如图①底面为正方形的长方体盒子，，，．该小组把长方体的两侧面，剪下来，沿着和剪开，得到四个全等的直角三角形，拼成如图②所示的“弦图”． 【探究一】 （1）如图②，若每个直角三角形较小锐角为，小正方形的面积为16．求大正方形的面积； 【探究二】 （2）根据图②的“弦图”证明勾股定理（写出推理过程）； 【探究三】 （3）为了使长方体盒子更加美观，现准备在长方体外表面从点A到点G粘贴一条彩色条（宽度忽略不计），设所用彩色条的长度为l，探究l的最小值（用含有a，b的式子表示），该小组探究如下：将长方体盒子侧面，展开成图③所示的平面图形，连接，在中，，即l的最小值为．上述探究结果是否正确？若不正确，画图并求出l的最小值． 【答案】（1）；（2）见解析；（3）不正确； 【分析】本题主要考查了勾股定理的几何证明，勾股定理的应用，解题的关键是数形结合，熟练掌握勾股定理． （1）根据小正方形面积求出，再根据含直角三角形的性质求出，再根据勾股定理求出，最后根据正方形面积公式求出结果即可； （2）根据正方形面积公式表示出小正方形的面积为，用大正方形面积减去4个直角三角形面积表示出小正方形面积为，即可证明勾股定理； （3）将长方体盒子侧面，展开成平面图形，求出此时，然后再比较大小即可． 【详解】解：（1）∵小正方形的面积为16， ∴， ∵每个直角三角形较小锐角为， ∴， ∴根据勾股定理得：， ∴大正方形的边长为， ∴大正方形的面积为：． （2）∵小正方形的边长为c， ∴小正方形的面积为， ∵大正方形的边长为， ∴大正方形的面积为：， ∵四个全等的直角三角形的面积为：； ∴小正方形的面积可以表示为： ， ∴； （3）不正确；理由如下： 将长方体盒子侧面，展开成平面图形，如图所示： 连接，在中， ， ∵ ， ∵， ∴， ∴， 即l的最小值为． 60．【探究发现】 我国三国时期的数学家赵爽利用四个全等的直角三角形拼成如图1所示图形，其中四边形和四边形都是正方形，巧妙地用面积法得出了直角三角形三边长a，b，c之间的一个重要结论：. （1）请你将数学家赵爽的说理过程补充完整： 已知：中，，，，. 求证：. 证明：由图可知， ，______， 正方形边长为______， ， 即． 【深入思考】 如图2，在中，，，，，以为直角边在的右侧作等腰直角，其中，，过点D作，垂足为点E （2）求证：，； （3）请你用两种不同的方法表示梯形的面积，并证明：； 【实际应用】 （4）将图1中的四个直角三角形中较短的直角边分别向外延长相同的长度，得到图3所示的“数学风车”，若，，“数学风车”外围轮廓（图中实线部分）的总长度为108，求这个风车图案的面积． 【答案】（1），  （2）见解析  （3）见解析  （4） 【分析】本题考查了勾股定理的验证和运用，理解勾股定理解决问题的关键． （1）依据题意得， 再由图形是由四个全等的直角三角形拼成如图所示图形,然后用两种方法表示正方形的面积，即可解题； （2）依据题意,通过证明即可判断得解； （3）依据题意，用两种方法分别表示出梯形和，再列式变形即可得解； （4）依据题意，结合图形，“数学风车”外围轮廓 (图中实线部分)的总长度为，可得又设 故又在 中,则，求出后可列式计算得解. 【详解】(1)证明：由图可知， ，， 正方形边长为， ， 即． 故答案为：，； （2）证明: ∵, ∴， ∵, ∴， ∴， 又, , ∴. ∴； (3)证明： 由题意，第一种方法： ， 第二种方法： ， ， ， ； (4)由题意,如图, ∵“数学风车”外围轮廓 (图中实线部分)的总长度为, ， 设则， 在中, ， 将代入可得， ， ， ∴小正方形的边长等于 ∴风车的面积为：． 61．2024盐城各中小学举办了红色主题研学活动，开启红色文化之旅．在新四军纪念馆门口离地面一定高度的墙上处，装有一个由传感器控制的迎宾门铃，人只要移动到该门口及以内时，门铃就会自动发出“欢迎您”的语音．如图，一个身高的中学生刚走到处（学生头顶在点），门铃恰好自动响起，此时测得迎宾门铃与地面的距离和到该生头顶的距离相等． (1)请你计算迎宾门铃距离地面多少米？ (2)若该生继续向前走，此时迎宾门铃距离该生头顶多少米？（保留根号） 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键． （1）过点作于点，则，，设迎宾门铃距离地面 ，则 ，，在中，由勾股定理得出方程，解方程即可； （2）为该生向前走后的位置，则，，由（1）可知，，然后在中，由勾股定理求出的长即可． 【详解】（1）解：由题意知，，，，， 过点作于点，如图1， 则，， 设迎宾门铃距离地面 ，则 ，， 在中，由勾股定理得，即，解得：． 答：宾门铃距离地面； （2）解：为该生向前走后的位置，如图2， 则， ， 由（1）可知，， 在中，由勾股定理得， 答：此时迎宾门铃距离该生头顶． 62．白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．诗中隐含着一个有趣的数学问题：诗中将军在观望烽火之后从山脚的A点出发，奔向小河旁边的P点饮马，饮马后再到B点宿营，若A，B到水平直线l（l表示小河）的距离分别是2，1，两点之间水平距离是4． (1)请作出使和最小的点P． (2)请求出最小值． 【答案】(1)见解析 (2)5 【分析】本题考查了轴对称-最短路径问题以及勾股定理． （1）作A关于直线l的对称点，连接交直线l于点P，此时最小； （2）由（1）可得的最小值，过点B作于点C，设与直线交于点O，再利用勾股定理求解，即可求得答案． 【详解】（1）解：作A关于直线l的对称点，连接交直线l于点P，此时最小； （2）解：由（1）， ∴， 过点B作于点C，设与直线交于点O， 则， ∴， ∴， ∴最小值． 63．【综合与实践】制作靠垫面子． 材料准备：两块完全相同的长方形布料（），其它若干布料． 【操作1】小江把长方形布料裁成形状、大小都相同的四块（如图①），拼成如图②的大正方形靠垫面子，其中，正中部分从其它布料处裁得．求从其它布料处裁得的正中部分的小正方形布料的面积．（裁剪、接缝处布料忽略不计，结果用a，b表示） 【操作2】小滨把长方形布料裁成如图③形状的四块，每一块形状、大小都相同，拼成如图④的大正方形靠垫面子，其中，正中部分从其它布料处裁得（裁剪、接缝处布料忽略不计）．若原长方形布料的面积为90平方分米，图②中的大正方形靠垫面子的面积为106平方分米，试求图④中的大正方形靠垫面子的面积． 【答案】操作1：小正方形布料的面积为，详见解析；操作2：图④中的大正方形靠垫面子的面积为平方分米，详见解析 【分析】本题主要考查了代数式的应用，勾股定理，完全平方公式应用等知识点， 操作1：根据图形和数据求出大正方形的面积和四个直角三角形的面积，再作差即可； 操作2：根据长方形布料的面积为90平方分米，图②中的大正方形靠垫面子的面积为106平方分米列出方程组，求出的值，再根据图④求正方形的面积； 关键是掌握矩形的面积、正方形的面积和直角三角形的面积公式． 【详解】操作1：∵图②大正方形的边长为， ∴图②大正方形的面积为， ∴图②中间小正方形的面积为； 操作2：根据题意得： ， 得：， 解得（负值已舍去）， ∴③， 把③代入①得：， 解得或， 当时，；当时，， ∵， ∴，， ∴图④大正方形面积为（平方分米）． 64．阅读理解：在平面直角坐标系中，任意两点，，，之间的位置关系有以下三种情形； ①如果轴，则， ②如果轴，则， ③如果与轴、轴均不平行，如图，过点作与轴的平行线与过点作与轴的平行线相交于点，则点坐标为，，由①得；由②得；根据勾股定理可得平面直角坐标系中任意两点的距离公式． 小试牛刀：（1）若点坐标为，点坐标为则　5　； （2）若点坐标为，点坐标为则　　； （3）若点坐标为，点坐标为则　　； 【学以致用】若点坐标为，点坐标为，点P是x轴上的动点，当取得最小值时，请直接写出的最小值为 ； 【挑战自我】已知， 根据数形结合，直接写出的最小值　　；的最大值　　；    【答案】【小试牛刀】（1）5 ；（2）6；（3）5 ；【学以致用】 ；【挑战自我】    ； 【分析】本题考查学生的阅读理解能力，解题的关键是正确理解题意，仿照题意求出答案，本题考查学生综合能力，属于中等题型． 小试牛刀：（1）利用两点间的距离公式进行解答； （2）利用两点间的距离公式进行解答； （3）利用两点间的距离公式进行解答； 学以致用：利用轴对称的性质求得点的坐标以及的最小值； 挑战自我：利用、所表示的几何意义解答． 【详解】解：小试牛刀：（1）． 故答案为：5； （2）． 故答案为：6； （3）． 故答案为：5； 学以致用：如图， 点坐标为， 点关于轴对称的点的坐标是， 此时． 故答案为：． 挑战自我：， 当取最小值时，表示点与点的距离与点与点的距离之和（或表示点与点的距离与点与点的距离之和）， 此时．， 当取最大值时，表示点与点的距离与点与点的距离之差（或表示点与点的距离与点与点的距离之差）， 此时． 故答案为：；． 65．小明家有一块四边形地（如图），已知其周长为，其中，，且．请帮小明计算一下这块地的面积． 【答案】这块地的面积是． 【分析】本题考查了勾股定理、勾股定理的逆定理的应用、三角形的面积公式．连接，根据勾股定理先求出，再利用周长求出，根据勾股定理的逆定理证明为直角三角形即可解答． 【详解】解：连接， ，， 在中，根据勾股定理，得 ， 四边形的周长为， ， ， 在中，， ， ， 为直角三角形， ， 答：这块地的面积是． 66．在中，，且． (1)当是锐角三角形时，小明猜想：．以下是他的证明过程： 小明的证明过程 如图①，过点作，垂足为．设． ∵在中，， 在中， ① ， ∴ ① ． 化简得，． ② ．    其中，①是______；②是______． (2)如图②，当是钝角三角形时，猜想与之间的关系并证明．    【答案】(1)， (2)；证明见详解 【分析】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理，正确添加辅助线是解题的关键． （1）在中根据勾股定理即可表示出，从而得出，然后进行判断即可； （2）过点作的延长线，垂足为，设，在和中分别根据勾股定理表示出，然后仿照（1）中的方法判断即可． 【详解】（1）解：如图①，过点作，垂足为，设， 在中，， 在中，， ， 化简得，， ，， ， ， ． 其中，①是；②是； 故答案为：，； （2）； 证明：如图，    过点作的延长线，垂足为，设， 在中，， 在中，， ， 化简得，， ，， ， ， ． 67．【背景介绍】勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力． 【知识运用】（1）如图，铁路上A、B两点（看作直线上的两点）相距40千米，C、D为两个村庄（看作两个点），，，垂足分别为A、B，千米，千米，则两个村庄的距离为______千米． （2）在（1）的背景下，若千米，千米，千米，现要在上建造一个供应站P，使得，请用尺规作图在图中作出P点的位置并求出的距离． （3）【知识迁移】借助上面的思考过程与几何模型，则代数式（其中）最小值为多少？画图并写出解题过程． 【答案】（1）50；（2）画图见解析，的距离为16千米；（3）画图见解析， 【分析】本题考查了勾股定理的应用，线段垂直平分线的性质与尺规作图，轴对称—最短路线问题等知识，熟练掌握勾股定理是解题的关键． （1）连接，作于点E，根据，得到，，由平行线间的距离处处相等可得千米，千米，求出，然后利用勾股定理求得CD两地之间的距离； （2）连接，作的垂直平分线交于P，根据线段垂直平分线的性质可得，点P即为所求；设千米，则千米，分别在和中，利用勾股定理表示出和，然后根据建立方程，解方程即可； （3）如图3，，，，，，设， 则，然后根据轴对称求最短路线的方法求解即可． 【详解】解：（1）如图1，连接，作于点E， ∵，， ∴，， ∴千米，千米， ∴千米， ∴（千米），即两个村庄的距离为千米， 故答案为：； （2）如图2，连接，作的垂直平分线交于P，点P即为所求， 设千米，则千米， 在中，， 在中，， ∵， ∴， 解得，即的距离为16千米； （3）如图3，，，，，，设，则， 由勾股定理得， ∴ 作点C关于的对称点F，连接，过点F作于E，则是的最小值，即代数式的最小值为， ∵，，， ∴代数式最小值为：. 68．阅读下面材料：实际问题：如图（1），一圆柱的底面半径为5cm，BC是底面直径，高AB为5cm，求一只蚂蚁从点A出发沿圆柱表面爬行到点C的最短路线，小明设计了两条路线．    解决方案： 路线1：侧面展开图中的线段AC，如图（2）所示： 这路线一的长度为；则； 路线2：高底面直径BC，如图（1）所示： 设路线2的长度为：则； 为比较和的大小，我们采用“作差法”： ∵， ∴． ∴． 小明认为应选择路线2较短． (1)问题类比： 小亮对上述结论有些疑惑，于是他把条件改成：“圆柱的底面半径为1cm，高AB为5cm”请你用上述方法帮小亮比较出与的大小； (2)问题拓展： 请你帮他们继续研究：在一般情况下，当圆柱的底面半径为时，高为，蚂蚁从A点出发沿圆柱表面爬行到点C，当满足什么条件时，选择路线2最短？请说明理由． (3)问题解决： 如图（3）为两个相同的圆柱紧密排列在一起，高为5cm，当蚂蚁从点A出发，沿圆柱表面爬行到C点的两条路线长度相等时，求圆柱的底面半径r．（注：按上面小明所设计的两条路线方式） 【答案】(1) (2)当时，，即选择路线2最短． (3)当圆柱的底面半径r为厘米时，蚂蚁从点A出发沿圆柱表面爬行到C点的两条线段相等． 【分析】（1）由阅读材料，可知路线1：；路线2：；将数据代入即可求出的值，再运用差比法即可得出即可； （2）先根据阅读材料用含h、r的代数式分别表示，再由列出关于h、r的不等式，然后解不等式即可求解； （3）先根据阅读材料将代入，用含r的代数式分别表示，再由列出关于r的方程求解即可． 【详解】（1）解：如图2：∵圆柱的底面半径为1cm，高AB为5cm， 路线1：； 路线2： ； ∵， ∴． ∴． （2）解：如图2：∵圆柱的底面半径为时，高为， 路线1：； 路线2： ； ∵， ∵； ∴， ∴当时，，即选择路线2最短． （3）解：如图（3），圆柱的高为5厘米．，， 由题意，得，解得， 所以当圆柱的底面半径r为厘米时，蚂蚁从点A出发沿圆柱表面爬行到C点的两条线段相等． 【点睛】本题主要考查了平面展开-最短路径问、比较整式的大小、阅读能力等知识点，掌握数形集合思想和作差法是解答本题的关键． 69．勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．千百年来，人们对它的证明趋之若鹜，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者．向常春在1994年构造发现了一个新的证法．证法如下：把两个全等的直角三角形如图1放置（），，点在落在边上，此时，设中，，，，用、、分别表示出梯形、四边形、的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，可证明勾股定理． (1)请根据上述图形的面积关系，证明勾股定理； (2)如图2，某平原上有一条铁路l，在铁路的同侧有两个小镇C、D且相距千米，它们到铁路的距离分别是2千米和5千米，现要在铁路上修建一个站点P和站点到两镇的公路，为使总造价最低，请在图上确定P的位置，并求出两条公路的总长； (3)借助上面的思考过程，求代数式的最大值． 【答案】(1)见解析 (2)见解析，25千米 (3)5 【分析】本题考查了勾股定理，最值问题等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，也考查二次根式运算． （1）根据梯形和三角形的面积公式即可得到结论； （2）过作于，根据矩形的性质得到，求得千米，根据勾股定理得到（千米），作点关于直线的对称点，连接交直线于点，则此时的值最小，即总造价最低，过作于，则千米，千米，根据勾股定理得到（千米）； （3）如图3，取线段，在线段所在直线的同侧分别过、作，，且，，连接，并延长交的延长线于点，根据勾股定理即可得到结论． 【详解】（1）证明：如图， ∵ ∴，，， ∴， ∴梯形的面积 ，四边形的面积 ，的面积 ， ∵梯形的面积四边形的面积的面积， ， 化简得； （2）解：过作于， ，， ， 四边形是长方形， ，， 千米，千米， 千米， 千米， （千米）， 作点关于直线的对称点，则，， ∴， ∴当、、三点共线时，的值最小，最小值为长，即连接交直线于点， 过作于，则四边形为长方形， 则千米，千米， （千米）， （千米）， 答：两条公路的总长为25千米； （3）解：如图3，取线段，在线段所在直线的同侧分别过、作，，且，，连接，并延长交的延长线于点，过作于，则四边形为长方形， 设，则 ∴，， ∴， ∵， ∴当三点共线时，最小， ∵四边形为长方形， ∴，， ∴， ∴， ∴的最大值，最大值为． 70．[探究] （1）已知，均为正实数，且，求的最小值，通过分析，小文想到了构造图形解决此问题：如图，，，，，，且，两点在直线的异侧．点是线段上的动点，且不与端点重合，连接，，设，． ①用含的代数式表示_______，用含的代数式表示________； ②据此求出的最小值； [类比] （2）根据上述方法，直接写出代数式的最小值________． 【答案】（1）①，；②； （2） 【分析】本题主要考查勾股定理的运用，两点之间线段最短的知识，掌握勾股定理的运算，最短路径的运用，合理作出图形是解题的关键． （1）①根据图形，运用勾股定理即可求解． ②运用材料提示，构造图形后，用两点之间线段最短得出直角三角形，运用勾股定理即可求解． （2）运用材料提示，构造图形后，用两点之间线段最短得出直角三角形，运用勾股定理即可求解． 【详解】和是直角三角形，， 在中，，， ， 在中，，， ， 故答案为：，． ②如图所示，过点做的平行线交延长线于点， ∴，， 当点，，三点共线时，有最小值， ∴， 在直角中，，， ∴， ∴的最小值为， 故答案为：． （2）如图所示，，，，，，设，则， ∴，， 当，，三点共线时，的值最小， ∴由上证明可得，，， ∴在直角中，， ∴的最小值为， 故答案为：． 1 1 教育是一个优雅而漫长的过程! 学科网（北京）股份有限公司 $$