精品解析：内蒙古呼和浩特市实验中学2024—2025学年上学期八年级期中数学试卷

实验中学鼓楼校区初二年级限时作业（数学学科） 第I卷（选择题） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列图形中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是轴对称图形的概念，根据轴对称图形的概念求解即可．熟知如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴是解题的关键． 【详解】解：A、图形不是轴对称图形，不符合题意； B、图形是轴对称图形，符合题意； C、图形不是轴对称图形，不符合题意； D、图形不是轴对称图形，不符合题意． 故选：B． 2. 如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，∠B=65°，∠C=35°，则∠ADB的度数为（ ） A. 55° B. 65° C. 75° D. 85° 【答案】C 【解析】 【分析】先根据三角形内角和定理求出∠BAC，再根据角平分线的定义得到∠DAC，然后根据三角形外角的性质求解即可． 【详解】解：∵在△ABC中，∠B＝65°，∠C＝35°， ∴∠BAC＝180°−∠B−∠C＝180°−65°−35°＝80°， ∵AD平分∠BAC， ∴∠DAC＝∠BAC＝40°， ∴∠ADB＝∠DAC＋∠C＝40°＋35°＝75°， 故选：C． 【点睛】本题考查三角形内角和定理、角平分线的定义、三角形外角的性质等知识，解题的关键是熟练掌握三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和． 3. 如图所示，点O是内一点，平分，于点D，连接，若，，则的面积是（　　） A. 20 B. 30 C. 50 D. 100 【答案】C 【解析】 【分析】根据角平分线的性质求出，最后用三角形的面积公式即可解答． 【详解】解：过O作于点E， ∵平分，， ∴， ∴的面积， 故选：C． 【点睛】此题考查角平分线的性质，关键是根据角平分线的性质得到． 4. 如图，用直尺和圆规作一个角等于已知角，能得出的依据是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、作图—基本作图，连接，，由作图得出，，，利用证明，即可得出，熟练掌握三角形全等的判定与性质是解此题的关键． 【详解】解：如图，连接，， 由作图可得：，，， ， ， 能得出的依据是， 故选：D． 5. 下列命题中，不正确的是（　　 ） A. 关于某条直线对称的两个三角形全等 B. 若两个图形关于直线对称，则对称轴是对应点所连线段的垂直平分线 C. 等腰三角形高、中线及角平分线重合 D. 有一个外角是120°的等腰三角形是等边三角形 【答案】C 【解析】 【分析】利用轴对称的性质与线段的垂直平分线的定义，等腰三角形的性质逐一判断即可． 【详解】解：A．关于某条直线对称的两个三角形可以重合，故全等，故A正确，不符合题意； B．若两个图形关于直线对称，则对称轴是对应点所连线段的垂直平分线，故B正确，不符合题意； C．利用等腰三角形底边上的高、底边上的中线、顶角平分线重合，对于两腰则不符合，故C错误，符合题意； D．有一个外角是，可以求出内角的度数是，利用有一个角的等腰三角形是等边三角形，故D正确，不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题主要考查命题与定理，解题的关键是掌握轴对称的性质与线段的垂直平分线的定义解决问题． 6. 如图，已知，下列条件中，不能使的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据全等三角形的判定定理逐个判断即可． 【详解】解：A．，，符合全等三角形的判定定理SSS，能推出，故本选项不符合题意； B． ，，符合两直角三角形全等的判定定理HL，能推出，故本选项不符合题意； C． ，，符合全等三角形的判定定理SAS，能推出，故本选项不符合题意； D． ，，不符合全等三角形的判定定理，不能推出，故本选项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查全等三角形的判定定理，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键，注意：全等三角形的判定定理有SAS、ASA、AAS、SSS，两直角三角形全等还有HL． 7. 如图，五边形中，，分别是的外角，则（　　） A. 90° B. 180° C. 120° D. 270° 【答案】B 【解析】 【分析】如图：根据平行线的性质可得，然后根据多边形的外角和即可解答． 【详解】解：如图，∵， ∴， ∵， ∴． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质、多边形的外角和等知识点，正确添加辅助线是解答本题的关键． 8. 如图，是边长为的等边三角形，是等边的边上的中线，是边上的动点，是边上动点．当取得最小值时，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查最短路径问题——垂线段最短，等边三角形的性质，过点作于点，交于点，连接，根据垂线段最短可知此时取得最小值，再利用等边三角形的性质求解即可，根据垂线段最短找到点是解题的关键． 【详解】解：如图：过点作于点，交于点，连接， 根据垂线段最短可知此时取得最小值， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∵是等边的边上的中线， ∴， ∴， 故选：． 9. 如图，在△ABC中，G是边BC上任意一点，D、E、F分别是AG、BD、CE的中点，S△ABC＝48，则S△DEF的值为（　　） A. 4.8 B. 6 C. 8 D. 12 【答案】B 【解析】 【分析】连接CD，根据三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形解答即可． 【详解】解：连接CD，如图所示： ∵点D是AG的中点， ∴S△ABD＝S△ABG，S△ACD＝S△AGC， ∴S△ABD+S△ACD＝S△ABC＝24， ∴S△BCD＝S△ABC＝24， ∵点E是BD的中点， ∴S△CDE＝S△BCD＝12， ∵点F是CE的中点， ∴S△DEF＝S△CDE＝6． 故选B． 【点睛】本题考查三角形的面积，主要利用三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形，原理为等底等高的三角形的面积相等． 10. 如图，中，，的角平分线、相交于点，过作交的延长线于点，交于点，则下列结论：①；②；③；④四边形，其中正确的个数是（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角形全等的判定和性质以及三角形内角和定理逐一分析判断即可． 【详解】解：∵在△ABC中，∠ACB=90°， ∴∠CAB+∠ABC=90° ∵AD、BE分别平分∠BAC、∠ABC， ∴∠BAD=，∠ABE= ∴∠BAD+∠ABE= ∴∠APB=180°-（∠BAD+∠ABE）=135°，故①正确； ∴∠BPD=45°， 又∵PF⊥AD， ∴∠FPB=90°+45°=135° ∴∠APB=∠FPB 又∵∠ABP=∠FBP BP=BP ∴△ABP≌△FBP（ASA） ∴∠BAP=∠BFP，AB=AB，PA=PF，故②正确； 在△APH与△FPD中 ∵∠APH=∠FPD=90° ∠PAH=∠BAP=∠BFP PA=PF ∴△APH≌△FPD（ASA）， ∴AH=FD， 又∵AB=FB ∴AB=FD+BD=AH+BD，故③正确； 连接HD，ED， ∵△APH≌△FPD，△ABP≌△FBP ∴，，PH=PD， ∵∠HPD=90°， ∴∠HDP=∠DHP=45°=∠BPD ∴HD∥EP， ∴ ∵ 故④错误， ∴正确的有①②③， 故答案为：B． 【点睛】本题考查了三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的方法有：SSS、SAS、AAS、ASA、HL，注意AAA和SAS不能判定两个三角形全等． 第II卷（非选择题） 二、填空题：本共6小题，每小题3分，共18分． 11. 在平面直角坐标系中，点与点关于轴对称，则代数式的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查关于坐标轴对称的点的坐标特点，解一元一次方程，根据关于轴对称的点的横坐标相同，纵坐标互为相反数，即可得到关于，的方程，求解后代入式子即可解答，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵点与点关于轴对称， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 12. 一个多边形的内角和为，从这个多边形的一个顶点出发的对角线有___________条． 【答案】6 【解析】 【分析】首先根据多边形内角和公式可得多边形的边数，再计算出对角线的条数即可． 【详解】解：设此多边形的边数为， 由题意得:， 解得：， 从这个多边形的一个顶点出发所画的对角线条数: 故答案为: 6． 【点睛】此题主要考查了多边形的内角和计算公式求多边形的边数，解题的关键是掌握多边形的内角和公式． 13. 若一个等腰三角形的两边长分别是和，则这个三角形的周长是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形定义、构成三角形的三边关系等知识，熟记等腰三角形的定义及三角形三边关系是解决问题的关键． 先由等腰三角形的定义分类：和，再根据三角形三边关系判断是否构成三角形即可得到答案． 【详解】解：一个等腰三角形的两边长分别是和， 等腰三角形三边长分两类：和， 当等腰三角形三边长为时，，不满足三角形三边关系，故不能构成三角形，舍去； 当等腰三角形三边长为时，满足三角形三边关系，能构成三角形， 则其周长为； 故答案为：． 14. 如图，中，，，的中垂线交于，交于，下述结论：（1）平分；（2）；（3）的周长等于；（4）是中点．其中正确的命题序号是________． 【答案】（1）（2）（3） 【解析】 【分析】本题主要考查线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质和特殊等腰三角形的性质．根据线段垂直平分线的性质和等腰三角形的顶角为，求出各角的度数，然后对各选项分析判断后利用排除法求解． 【详解】解：，， ， 是的垂直平分线， ，， ， ， ； （1）平分正确； （2）正确； （3）的周长 ，正确； （4），所以不是的中点，故本选项错误． 故正确的命题是（1）（2）（3）． 故答案为：（1）（2）（3）． 15. 如图，在锐角中，，和分别垂直平分边、，则的度为_________°． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质、三角形内角和定理，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．连接、，根据三角形内角和定理得到，根据线段的垂直平分线的性质得到，，进而得到，，，根据等腰三角形的性质计算，得到答案． 【详解】解：连接、， ∵， ∴， ∵和分别垂直平分边、， ∴，， ∴，，， ∴， ∴， 故答案为：． 16. 如图，，垂足为C，，射线，垂足为B，动点P从C点出发以的速度沿射线运动，点N为射线上一动点，满足，随着P点运动而运动，当点P运动_____________秒时，与点为顶点的三角形全等． 【答案】0或4或8或 【解析】 【分析】本题考查了三角形全等的判定，运用分类讨论思想解答是解题的关键． 首先要分两种情况：①当P在线段上时，②当P在上，再分别分两种情况或进行计算即可． 【详解】解：①当P在线段上，时，与全等， ， ， ， 点P的运动时间为（秒）； ②当P在线段上，时，与全等， 这时，因此时间为0秒； ③当P在上，时，与全等， ， ， ， 点P的运动时间为（秒）； ④当P在BQ上，时，与全等， ， ， ， 点P的运动时间为（秒）， 故答案为：0或4或8或． 三、解答题：本题共7小题，共32分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17. 如图，点、在上，已知，，，求证：． 【答案】 证明：， ， 即． 在和中， ， ． 【解析】 【详解】由推出，再利用直接证明三角形全等即可．本题主要考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 【分析】略 18. 如图，已知，作的平分线OC，将直角尺DEMN如图所示摆放，使EM边与OB边重合，顶点D落在OA边上，DN边与OC交于点P． （1）猜想是 三角形； （2）请将猜想到的结论进行证明． 【答案】（1）等腰 （2） 证明：∵OC平分∠AOB， ∴∠DOP=∠BOP， ∵DN∥EM， ∴∠DPO=∠BOP， ∴∠DOP=∠DPO， ∴OD=PD，即△DOP是等腰三角形． 【解析】 【分析】（1）通过观察三角形三边长度和形状进行猜想； （2）根据平行线的性质和等腰三角形的判定即可证明． 【小问1详解】 解：猜想△DOP是等腰三角形； 故答案为：等腰． 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定、平行线的性质，解决本题的关键是掌握等腰三角形的判定定理：等角对等边． 19. 已知：如图，三个顶点的坐标分别为，，．正方形网格中，每个小正方形的边长是个单位长度． （1）关于轴对称的图形为，请画出； （2）直接写出点、、的坐标； （3）求的面积． 【答案】（1） 即为所求： （2），，； （3）的面积为． 【解析】 【分析】（）找出，，关于轴对称的对称点，，，然后连接即可； （）根据平面直角坐标系写出，， （）通过长方形面积减去三个直角三角形面积即可； 本题考查了坐标与图形，轴对称变换，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：的面积为． 20. 如图所示，为延长线上的一点，，，，求证：． 【答案】 证明：∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，由，，则，证明，则，即，再证明，由全等三角形的性质即可求证，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 【详解】略 21. 已知：如图1，点C为线段上一点，、都是等边三角形，交于点E，交于点F． （1）求证： （2）求证：为等边三角形 【答案】（1） 证明：∵、是等边三角形， ∴，，，， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴； （2） 证明：∵， ∴， 又∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴为等腰三角形， 又∵， ∴为等边三角形． 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定和性质是解题关键． （1）根据等边三角形的性质，证明，即可得出结论； （2）证明，得到，即可得出结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 22. 如图，中，平分，且于E． （1）求证：； （2）如果，求的长． 【答案】（1） 证明：如图所示，过点D作交延长线于F， ∵平分，， ∴，， 在和中， ， ∴； ∴， ∵， ∴． （2）7 【解析】 【分析】（1）由角平分线的性质知，利用证得得到，根据即可得证； （2）证得，由知，根据得，据此可得，继而可得的长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵平分， ∴ 在和中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∵ ， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质的运用，解答时证明三角形全等是关键． 23. 中，，． （1）如图，若M与C重合，平分，，垂足E在的延长线上，试探究与的数量关系，并证明你的结论； （2）若M在线段上且不与B，C重合，D在线段上，且，，垂足E在的延长线上，则与的数量关系是什么？画图并说明理由． 【答案】（1） ， 理由：延长交延长线于N点， ∵，， ∴ ∵ ∴ 又∵ ∴ ∴ ∵平分， ∴ ∵ ∴ 又∵ ∴ ∴ ∴ ∴； （2） ， 过M作交延长线于N点，交于Q点， ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ 又∵ ∴ ∴ ∵ ∴， ∵ ∴ ∴ ∵， ∴ ∴ ∴ ∴． 【解析】 【分析】此题考查了全等三角形的性质和判定，三角形内角和定理， （1）延长交延长线于N点，根据题意证明出，得到，然后证明出，得到，即可证明出； （2）过M作交延长线于N点，交于Q点，首先证明出，得到，然后证明出，得到，进而求解即可． 解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定定理：，，，，．全等三角形的性质：对应边相等，对应角相等． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 实验中学鼓楼校区初二年级限时作业（数学学科） 第I卷（选择题） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列图形中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，∠B=65°，∠C=35°，则∠ADB的度数为（ ） A. 55° B. 65° C. 75° D. 85° 3. 如图所示，点O是内一点，平分，于点D，连接，若，，则的面积是（　　） A. 20 B. 30 C. 50 D. 100 4. 如图，用直尺和圆规作一个角等于已知角，能得出的依据是（　　） A. B. C. D. 5. 下列命题中，不正确的是（　　 ） A. 关于某条直线对称的两个三角形全等 B. 若两个图形关于直线对称，则对称轴是对应点所连线段的垂直平分线 C. 等腰三角形高、中线及角平分线重合 D. 有一个外角是120°的等腰三角形是等边三角形 6. 如图，已知，下列条件中，不能使的是（　　） A. B. C. D. 7. 如图，五边形中，，分别是的外角，则（　　） A. 90° B. 180° C. 120° D. 270° 8. 如图，是边长为的等边三角形，是等边的边上的中线，是边上的动点，是边上动点．当取得最小值时，则的度数为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在△ABC中，G是边BC上任意一点，D、E、F分别是AG、BD、CE的中点，S△ABC＝48，则S△DEF的值为（　　） A. 4.8 B. 6 C. 8 D. 12 10. 如图，中，，的角平分线、相交于点，过作交的延长线于点，交于点，则下列结论：①；②；③；④四边形，其中正确的个数是（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 第II卷（非选择题） 二、填空题：本共6小题，每小题3分，共18分． 11. 在平面直角坐标系中，点与点关于轴对称，则代数式的值为______． 12. 一个多边形的内角和为，从这个多边形的一个顶点出发的对角线有___________条． 13. 若一个等腰三角形的两边长分别是和，则这个三角形的周长是_____． 14. 如图，中，，，的中垂线交于，交于，下述结论：（1）平分；（2）；（3）的周长等于；（4）是中点．其中正确的命题序号是________． 15. 如图，在锐角中，，和分别垂直平分边、，则的度为_________°． 16. 如图，，垂足为C，，射线，垂足为B，动点P从C点出发以的速度沿射线运动，点N为射线上一动点，满足，随着P点运动而运动，当点P运动_____________秒时，与点为顶点的三角形全等． 三、解答题：本题共7小题，共32分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17. 如图，点、在上，已知，，，求证：． 18. 如图，已知，作的平分线OC，将直角尺DEMN如图所示摆放，使EM边与OB边重合，顶点D落在OA边上，DN边与OC交于点P． （1）猜想是 三角形； （2）请将猜想到的结论进行证明． 19. 已知：如图，三个顶点的坐标分别为，，．正方形网格中，每个小正方形的边长是个单位长度． （1）关于轴对称的图形为，请画出； （2）直接写出点、、的坐标； （3）求的面积． 20. 如图所示，为延长线上的一点，，，，求证：． 21. 已知：如图1，点C为线段上一点，、都是等边三角形，交于点E，交于点F． （1）求证： （2）求证：为等边三角形 22. 如图，中，平分，且于E． （1）求证：； （2）如果，求的长． 23. 中，，． （1）如图，若M与C重合，平分，，垂足E在的延长线上，试探究与的数量关系，并证明你的结论； （2）若M在线段上且不与B，C重合，D在线段上，且，，垂足E在的延长线上，则与的数量关系是什么？画图并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $