专题17 等腰（等边）三角形中重要模型之帽子模型、等边截等长与等边内接等边模型-2024-2025学年八年级数学上册常见几何模型全归纳之模型解读与提分精练（人教版）

专题17 等腰（等边）三角形中重要模型之帽子模型、等边截等长与等边内接等边模型 等腰（等边）三角形是中学阶段非常重要三角形，具有许多独特的性质和判定定理。各类考试的常客，并且形式多样，内容新颖，能较好地考查同学们的相关能力。本专题将把等腰三角形的几类重要模型作系统的归纳与介绍，方便大家对它有个全面的了解与掌握。 2 模型1.等腰三角形中的重要模型-帽子模型（长短手模型） 2 模型2.等边截等长模型（定角模型） 3 模型3.等边内接等边 4 8 模型1.等腰三角形中的重要模型-帽子模型（长短手模型） 帽子模型，其实是等腰三角形独特性质的应用，因为模型很像帽子，学习知识点的同时也增加了趣味性。 条件：如图，已知AB=AC，BD=CE，DG⊥BC于G，结论：①DF=FE；②。 证明：如图，过点D作交于H，则，， ∵，∴，∴，∴，∵，∴， 在和中,，∴，∴； ∵，∴，∵，，∴， ∴，∴． 例1．（23-24八年级上·四川·期中）如图，在中，在线段上，在的延长线，连交于，过点作于．（1）若，求的度数（2）若，猜想线段之间的关系并证明你的结论． 例2．（23-24八年级上·辽宁葫芦岛·期末）【问题初探】（1）数学课上，李老师出示了这样一个问题：如图1，在中，，点F是上一点，点E是延长线上的一点，连接，交于点D，若，求证：． ①如图2，小乐同学从中点的角度，给出了如下解题思路：在线段上截取，使，连接，利用两个三角形全等和已知条件，得出结论； ②如图3，小亮同学从平行线的角度给出了另一种解题思路：过点E作交的延长线于点M，利用两个三角形全等和已知条件，得出了结论； 请你选择一位同学的解题思路，写出证明过程； 【类比分析】（2）李老师发现两位同学的做法非常巧妙，为了让同学们更好的理解这种转化的思想方法，李老师提出了新的问题，请你解答， 如图4，在中，点E在线段上，D是的中点，连接，，与相交于点N，若，求证：； 【学以致用】（3）如图5，在中，，，平分，点E在线段的延长线上运动，过点E作，交于点N，交于点D，且，请直接写出线段，和之间的数量关系． 例3．（2024·贵州铜仁·模拟预测）如图，过边长为6的等边△ABC的边AB上一点P，作PE⊥AC于E，Q为BC延长线上一点，连PQ交AC边于D，当PA＝CQ时，DE的长为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 例4．（23-24八年级上·湖南长沙·开学考试）如图，是等边的边 上一点，是延长线上一点，连接交于，过点作于点．证明下列结论： 模型2.等边截等长模型（定角模型） 条件：如图，在等边中，点，分别在边，上，且，与相交于点，于点．结论：①；②AD=BE；③；④BQ=2PQ。 证明：在等边三角形中，，， 在和中，，，∴AD=BE，∠CAD=∠ABE； ． ，，∴BQ=2PQ． 例1．（23-24八年级下·广东清远·期中）请补充完成以下证明过程： 如图，已知在等边三角形中，D、E分别是上的点，且． 求证：． 证明：为等边三角形，（已知） ，（                        ） （                        ） （已知） （                        ） ．（                        ） 例2．（23-24浙江八年级上期中）如图，△ABC是等边三角形．在AC，BC边上各取一点P，Q，使AP＝CQ，且∠ABP＝20°，AQ，BP相交于点O，则∠AQB＝ ． 例3．（23-24八年级下·河南信阳·阶段练习）已知，如图，为等边三角形，，相交于点P，于Q．(1)求证：；(2)求的度数；(3)若，求的长． 例4．（23-24八年级上·湖北咸宁·期末）如图，在等边三角形中，，分别在边，上，且，与交于点，，垂足为点.下列结论：①；②；③是等腰三角形；④，其中正确结论的个数是（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 模型3.等边内接等边 图1 图2 1）等边内接等边（截取型） 条件：如图1，等边三角形ABC中，点D，E，F分别在边AB，BC，CA上运动，且满足AD=BE=CF； 结论：三角形DEF也是等边三角形。 证明：∵是等边三角形，∴，． ∵，∴． 在和中，∴（）， ∴．同理，∴，∴是等边三角形． 2）等边内接等边（垂线型） 条件：如图，点、、分别在等边的各边上，且于点，于点，于点，结论：三角形DEF也是等边三角形。 证明：是等边三角形，， ，，，， ，，是等边三角形， 例1．（2024七年级下·成都·专题练习）如图，过等边三角形的顶点、、依次作、、的垂线、，三条垂线围成，若，则的周长为（　　） A．12 B．18 C．20 D．24 例2．（22-23七年级下·四川成都·期末）如图，和都是等边三角形，点D，E，F分别在边上，若的周长为15，，则的长为（    ）    A．2 B．3 C．4 D．5 例3．（23-24八年级下·广东云浮·期中）如图，点P，M，N分别在等边三角形的各边上，且于点P，于点M，于点N．(1)求证：是等边三角形；(2)若，求的长．    例4．（23-24八年级上·广东广州·期中）如图，点、、分别是等边各边上的点，且，．（）求证：是等边三角形．（）若，求等边的周长． 1．（23-24八年级上·江西南昌·期中）如图，将等腰三角形纸片（分别在腰、上取点、点）沿折叠，使顶点落在底边上的点处，且，下列结论：①是等腰三角形；②是的中点；③是等边三角形；④．其中正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（2024·浙江杭州·二模）如图，是等边三角形，D，E分别是，边上的点，且，连接，相交于点F，则下列说法正确的是（    ） ①；②； A．① B．② C．①② D．都错 3．（23-24八年级上·山东临沂·期末）如图，点分别是边长为的等边边上的动点，点从顶点，点从顶点同时出发，且它们的速度都为，下面结论：①；②的度数不变，始终等于；③当第秒或第秒时，为直角三角形；④当第2秒时，．其中结论正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．（23-24八年级下·广东佛山·期中）如图，等边三角形ABC中，D、E分别在AB、BC边上，且AD=BE，AE与CD交于点F，AG⊥CD于点G．下列结论：①AE=CD；②∠AFC=120°；③△ADF是等腰三角形；④，其中正确的结论是（　　） A．①② B．①③ C．①④ D．③④ 5．（2024八年级·广东·培优）如图，已知为等腰三角形，，点F为AC上一点，点D为BC延长线上一点，点E为AB延长线上一点，EF与BC相交于点G，如果，那么下列说法中，正确的个数有（    ） （1），（2），（3），（4）点G到AB，AC的距离之和为定值． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．（23-24八年级上·广西钦州·期末）如图，过边长为3的等边的边上一点，作于，为延长线上一点，当时，连接交边于点，则的长为（    ） A． B． C． D．2 7．（23-24八年级上·山东聊城·期末）如图，已知等边，点D在上，点F在的延长线上，于点于交于点P，则下列结论中：①；②；③；④．一定正确的是（    ） A．① B．②④ C．①②③ D．①②④ 8．（22-23八年级上·广东惠州·阶段练习）如图，等边 边长为 ， 在 上， 在 延长线，，过点 作 点 ，过点 作，交 边于点 ，连接 交 于点 ，则 的长为 ．    9．（23-249八年级上·安徽·期中）如图，等边三角形ABC的边AB上一点P，作PE⊥AC于点E，Q为BC延长线上的一点，当PA＝CQ时，连接PQ，交AC于点D．下列结论：①PD＝DQ；②∠Q＝30°；③DE＝AC；④AE＝CQ．其中正确的是 (填序号)． 10．（23-24八年级上·山东日照·期末）如图，在等边的边AB上一点P，作于E，Q为BC延长线上一点，当时，连PQ交AC边于D，且DE长为1，则BC长为 ． 11．（23-24八年级上·湖北武汉·期中）在中，，，点M从点B出发沿射线移动（运动到A点停止），同时点N从点C出发沿线段的延长线移动，点M，N移动的速度相同（且同时停止），与相交于点D．过点M作于点F，线段+= ． 12．（2024八年级·重庆·培优）如图所示，在等边三角形中，，若三个全等的三角形为一组，则图中共有 组全等三角形． 13．（23-24八年级上·浙江·期中）如图，点P、M、N分别在等边三角形的各边上，且于点P，于点M，于点N，若，则的长为 ． 14．（23-24八年级上·广东广州·期中）已知等边三角形， （1）尺规作图：过顶点、、依次作、、的垂线，三条垂线交于点、、（保留一条垂线的作图痕迹，另两条垂线的作图痕迹可以不保留，不需要写作法）；（2）求证：是等边三角形． 15．（23-24八年级上·浙江绍兴·期中）如图1，D是边长为4㎝的等边△ABC的边AB上的一点，DQ⊥AB交边BC于点Q，RQ⊥BC交边AC于点R，RP⊥AC交边AB于点E，交QD的延长线于点P. ①请说明△PQR是等边三角形的理由； ②若BD=1.3㎝，则AE=_______㎝（填空） ③如图2，当点E恰好与点D重合时，求出BD的长度. 图1                      图2 16．（23-24八年级上·内蒙古鄂尔多斯·期末）如图，为等边三角形，点D，E分别在BC，AC边上，且，AD与BE相交于点F，，垂足为G．(1)求证：；(2)若，求FG的长． 17．（23-24八年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，已知为等边三角形，点E，F分别在边AC，BC上，且，AF与BE相交于点D．(1)求证：；(2)求∠ADB的度数． 18．（24-25八年级上·江西南昌·期中）已知为等边三角形，点，分别在边，上，且，，相交于点．(1)在图中，全等三角形有 对，请选择其中一对全等三角形进行证明； (2)如图，过点作，垂足为点，求证：；(3)如图，若点在线段上，且，连接交于点，连接，试判断与之间的数量关系，并说明理由． 19．（23-24八年级上·浙江杭州·期末）如图，在等边的，边上分别取一点、，使，、相交于点，（1）如图所示，求∠BME的度数，（2）如图所示，过点作直线的垂线，垂足为，求证：2MH+DM=AE， 20．（23-24八年级上·河北保定·期末）在等边三角形中，点、分别在边、上，且，连接、交于点．(1)如图1，求证：； (2)如图2，过点作于点．若，，求的长度； 21．（23-24八年级上·山东日照·期中）如图,为等边三角形,,相交于点,于,,．(1)求证:;(2)求的度数;(3)求的长． 22．（23-24八年级上·云南昭通·期末）如图，中，，在线段上，在的延长线上，连交于，过作于．(1)若，，试判断的形状；并说明理由．(2)若，，求证：． 23．（23-24八年级上·河北保定·期中）如图，在等边中，点D是边上一点，E是延长线上一点，，连接交于点F，过点D作于点G，过点D作交于点H． （1）求证：；（2）求证：；（3）若，求出的面积． 24．（2023九年级·重庆·专题练习）如图，在中，，点P从点B出发沿线段移动，同时，点Q从点C出发沿线段的延长线移动，点P，Q移动的速度相同，与直线相交于点D． (1)如图①，当点P为的中点时，求证：． (2)如图②，过点P作直线的垂线，垂足为E，当P，Q在移动的过程中，线段，，中是否存在长度保持不变的线段？请说明理由． 25．（23-24八年级·北京海淀·期中）（1）老师在课上给出了这样一道题目：如图1，等边边长为2，过边上一点作于，为延长线上一点，且，连接交于，求的长． 小明同学经过认真思考后认为，可以通过点作平行线构造等边三角形的方法来解决这个问题．请根据小明同学的思路直接写出的长． （2）【类比探究】老师引导同学继续研究： ①等边边长为2，如图2当为的延长线上一点时，作的延长线于点，为边上一点，且，连接交于．求的长并证明． ②已知等边，当为的延长线上一点时，作射线于点，为延长线上一点，且，连接交直线于点，请在图3中补全图形，并证明长度保持不变． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！18 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题17 等腰（等边）三角形中重要模型之帽子模型、等边截等长与等边内接等边模型 等腰（等边）三角形是中学阶段非常重要三角形，具有许多独特的性质和判定定理。各类考试的常客，并且形式多样，内容新颖，能较好地考查同学们的相关能力。本专题将把等腰三角形的几类重要模型作系统的归纳与介绍，方便大家对它有个全面的了解与掌握。 2 模型1.等腰三角形中的重要模型-帽子模型（长短手模型） 2 模型2.等边截等长模型（定角模型） 3 模型3.等边内接等边 4 8 模型1.等腰三角形中的重要模型-帽子模型（长短手模型） 帽子模型，其实是等腰三角形独特性质的应用，因为模型很像帽子，学习知识点的同时也增加了趣味性。 条件：如图，已知AB=AC，BD=CE，DG⊥BC于G，结论：①DF=FE；②。 证明：如图，过点D作交于H，则，， ∵，∴，∴，∴，∵，∴， 在和中,，∴，∴； ∵，∴，∵，，∴， ∴，∴． 例1．（23-24八年级上·四川·期中）如图，在中，在线段上，在的延长线，连交于，过点作于．（1）若，求的度数（2）若，猜想线段之间的关系并证明你的结论． 【答案】（1）55°；（2），证明见解析． 【分析】（1）由等腰三角形两底角相等求出∠C的度数，再由直角三角形两锐角互余得出∠CEG的度数，从而求得∠CEF的度数与的度数即可； （2）过点E作EH∥AB交BC于H，由平行线的性质得到∠ABC=∠EHC，∠D=∠FEH，进而求出∠EHC=∠C，由等角对等边可得EC=EH，再求出BD=EH，再证明△BDF和△HEF全等，由全等三角形对应边相等得出BF=FH，根据等腰三角形三线合一的性质可得CG=HG，从而得出结论． 【详解】（1） （2）如图所示：过点作交于，则 ， ，在和中， 又 【点睛】考查了等腰三角形的性质和全等三角形的判定与性质，解题关键是利用了等腰三角形两底角相等、等角对等边的性质和作辅助线构造出全等三角形． 例2．（23-24八年级上·辽宁葫芦岛·期末）【问题初探】（1）数学课上，李老师出示了这样一个问题：如图1，在中，，点F是上一点，点E是延长线上的一点，连接，交于点D，若，求证：． ①如图2，小乐同学从中点的角度，给出了如下解题思路：在线段上截取，使，连接，利用两个三角形全等和已知条件，得出结论； ②如图3，小亮同学从平行线的角度给出了另一种解题思路：过点E作交的延长线于点M，利用两个三角形全等和已知条件，得出了结论； 请你选择一位同学的解题思路，写出证明过程； 【类比分析】（2）李老师发现两位同学的做法非常巧妙，为了让同学们更好的理解这种转化的思想方法，李老师提出了新的问题，请你解答， 如图4，在中，点E在线段上，D是的中点，连接，，与相交于点N，若，求证：； 【学以致用】（3）如图5，在中，，，平分，点E在线段的延长线上运动，过点E作，交于点N，交于点D，且，请直接写出线段，和之间的数量关系． 【答案】（1）①选择小乐同学的做法：证明见解析；②选择小亮同学的做法：证明见解析；（2）证明见解析；（3） 【分析】（1）①证明，得出，，证明，得出，证明，得出，即可证明结论； ②证明，得出，根据等腰三角形的判定证明，即可证明结论； （2）延长，取，连接，证明，得出，，根据等腰三角形判定得出，即可证明结论；（3）延长，使，连接，证明，得出，，证明，得出，根据直角三角形性质得出，根据，即可证明结论． 【详解】（1）证明：∵，，， ∴，∴，，∴，∴， ∵，∴，∴，∴，∴； ②∵，∴，∵，，∴，∴， ∵，∴，∵，∴，∴，∴； （2）延长，取，连接，如图所示： ∵D是的中点，∴，∵，∴，∴，， ∵，，∴， ∴，∴，∴； （3）延长，使，连接，如图所示： ∵，，∴， ∴，，∴，∴， ∵平分，∴， ∵，∴，∴， ∴，∴，∴， ∵，，∴， ∵，∴． 【点睛】本题主要考查了全等的三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，直角三角形的性质，平行线的判定和性质，解题的关键是作出辅助线，构造全等三角形，熟练掌握三角形全等的判定方法． 例3．（2024·贵州铜仁·模拟预测）如图，过边长为6的等边△ABC的边AB上一点P，作PE⊥AC于E，Q为BC延长线上一点，连PQ交AC边于D，当PA＝CQ时，DE的长为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据题意过P作BC的平行线，交AC于M；则△APM也是等边三角形，在等边三角形APM中，PE是AM上的高，根据等边三角形三线合一的性质知AE＝EM；易证得△PMD≌△QCD，则DM＝CD；此时发现DE的长正好是AC的一半，由此得解． 【详解】解：过P作PM∥BC，交AC于M， ∵△ABC是等边三角形，且PM∥BC，∴△APM是等边三角形； 又∵PE⊥AM，∴AE＝EM＝AM；（等边三角形三线合一） ∵PM∥CQ，∴∠PMD＝∠QCD，∠MPD＝∠Q； 又∵PA＝PM＝CQ，在△PMD和△QCD中，， ∴△PMD≌△QCD（AAS）；∴CD＝DM＝CM； ∴DE＝DM+ME＝（AM+MC）＝AC＝3．故选：C． 【点睛】本题考查平行线的性质、等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质；能够正确的构建出等边三角形△APM是解答此题的关键． 例4．（23-24八年级上·湖南长沙·开学考试）如图，是等边的边 上一点，是延长线上一点，连接交于，过点作于点．证明下列结论： 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析 【分析】（1）由等边△ABC，DG⊥AC，可求得∠AGD=90°，∠ADG=30°，然后根据直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半，即可证得AG=AD；（2）首先过点D作DH∥BC交AC于点H，证得△ADH是等边三角形，又由CE=DA，可利用AAS证得△DHF≌△ECF，继而可得DF=EF；（3）由△ABC是等边三角形，DG⊥AC，可得AG=GH，即可得S△ADG=S△HDG，又由△DHF≌△ECF，即可证得S△DGF=S△ADG+S△ECF． 【详解】证明：（1）∵△ABC是等边三角形，∴∠A=60°， ∵DG⊥AC，∴∠AGD=90°，∠ADG=30°，∴AG=AD； （2）过点D作DH∥BC交AC于点H， ∴∠ADH=∠B，∠AHD=∠ACB，∠FDH=∠E， ∵△ABC是等边三角形，∴∠B=∠ACB=∠A=60°， ∴∠A=∠ADH=∠AHD=60°，∴△ADH是等边三角形，∴DH=AD，∵AD=CE，∴DH=CE， 在△DHF和△ECF中，∴△DHF≌△ECF（AAS），∴DF=EF （3）∵△ABC是等边三角形，DG⊥AC，∴AG=GH，∴S△ADG=S△HDG， ∵△DHF≌△ECF，∴S△DHF=S△ECF，∴S△DGF=S△DGH+S△DHF=S△ADG+S△ECF． 【点睛】此题考查了等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质以及含30°直角三角形的性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用． 模型2.等边截等长模型（定角模型） 条件：如图，在等边中，点，分别在边，上，且，与相交于点，于点．结论：①；②AD=BE；③；④BQ=2PQ。 证明：在等边三角形中，，， 在和中，，，∴AD=BE，∠CAD=∠ABE； ． ，，∴BQ=2PQ． 例1．（23-24八年级下·广东清远·期中）请补充完成以下证明过程： 如图，已知在等边三角形中，D、E分别是上的点，且． 求证：． 证明：为等边三角形，（已知） ，（                        ） （                        ） （已知） （                        ） ．（                        ） 【答案】等边三角形的性质，等边三角形的性质，，全等三角形的性质 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质；熟练掌握等边三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键． 【详解】证明：为等边三角形，（已知） ，（等边三角形的性质） （等边三角形的性质） （已知） （） ．（全等三角形的性质） 故答案为：等边三角形的性质，等边三角形的性质，，全等三角形的性质． 例2．（23-24浙江八年级上期中）如图，△ABC是等边三角形．在AC，BC边上各取一点P，Q，使AP＝CQ，且∠ABP＝20°，AQ，BP相交于点O，则∠AQB＝ ． 【答案】/度 【分析】先证明 再利用全等三角形的性质可得 再利用三角形的外角的性质可得结论. 【详解】解： △ABC是等边三角形， 故答案为： 【点睛】本题考查的是三角形的外角的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，证明是解本题的关键. 例3．（23-24八年级下·河南信阳·阶段练习）已知，如图，为等边三角形，，相交于点P，于Q．(1)求证：；(2)求的度数；(3)若，求的长． 【答案】(1)见解析(2)(3) 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、含角的直角三角形．全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件． （1）根据全等三角形的判定证明，即可得到结论； （2）根据全等三角形的性质以及等量代换证明即可得到答案； （3）根据含角的直角三角形的性质得到，即可求出答案． 【详解】（1）证明：是等边三角形，， ， ， ； （2）解：， ， ； （3）解：，， ，，， ，． 例4．（23-24八年级上·湖北咸宁·期末）如图，在等边三角形中，，分别在边，上，且，与交于点，，垂足为点.下列结论：①；②；③是等腰三角形；④，其中正确结论的个数是（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】根据等边三角形的性质可证得，，，根据全等三角形判定，可得，然后根据全等三角形对应边相等可判定①正确；由全等三角形的性质得，求出，然后利用三角形的内角和定理即可求出，可判定②正确；通过角度的计算，得，，都互不相等，可判定③错误；根据三角形内角和定理求得，然后根据“直角三角形角所对的直角边等于斜边的一半可”即可判定④正确． 【详解】解：是等边三角形，，， ，，在和中， ，，故结论①正确； ，， ，故结论②正确； ，，， 不是等腰三角形；故结论③错误； ，，， ， ，即，故结论④正确；综上所述：正确的结论为①②④，共有3个，故选：B． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，含角直角三角形的性质，等腰三角形的判定，熟练掌握等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理等知识，证得与全等是解题关键． 模型3.等边内接等边 图1 图2 1）等边内接等边（截取型） 条件：如图1，等边三角形ABC中，点D，E，F分别在边AB，BC，CA上运动，且满足AD=BE=CF； 结论：三角形DEF也是等边三角形。 证明：∵是等边三角形，∴，． ∵，∴． 在和中，∴（）， ∴．同理，∴，∴是等边三角形． 2）等边内接等边（垂线型） 条件：如图，点、、分别在等边的各边上，且于点，于点，于点，结论：三角形DEF也是等边三角形。 证明：是等边三角形，， ，，，， ，，是等边三角形， 例1．（2024七年级下·成都·专题练习）如图，过等边三角形的顶点、、依次作、、的垂线、，三条垂线围成，若，则的周长为（　　） A．12 B．18 C．20 D．24 【答案】B 【分析】本题主要考查了等边三角形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，含30度的直角三角形的性质，先证明是等边三角形．得出．根据直角三角形的性质求出，证明，得出，求出，最后求出结果即可． 【详解】解：∵，∴， ∵是等边三角形，∴，∴， ∴，同理：，∴是等边三角形．∴． 在中，，∴，∴，∵，∴， 在与中，，∴ ∴，∴，∴的周长为．故选：B． 例2．（22-23七年级下·四川成都·期末）如图，和都是等边三角形，点D，E，F分别在边上，若的周长为15，，则的长为（    ）    A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】根据等边三角形的性质及等量代换得出，再由全等三角形的判定和性质得出，然后求解即可． 【详解】解：∵和都是等边三角形， ∴，，， ∴，，∴，∴， 同理得：，∴， ∵的周长为15，∴，∴，故选：B． 【点睛】题目主要考查等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握等边三角形的性质及全等三角形的判定和性质是解题关键． 例3．（23-24八年级下·广东云浮·期中）如图，点P，M，N分别在等边三角形的各边上，且于点P，于点M，于点N．(1)求证：是等边三角形；(2)若，求的长．    【答案】(1)证明见解析(2) 【分析】（1）先求得．得．则，再求得．即可得到结论； （2）由得到．由得到，则．由得到．即可得到答案． 【详解】（1）证明：∵是等边三角形，∴． ∵，∴． ∴． ∴．∴是等边三角形． （2）解：∵是等边三角形，∴． 在和中，，∴．∴． ∵，∴．∴． ∵，∴．∴． 【点睛】此题考查了等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、含角的直角三角形的性质等知识，证明是等边三角形是解题的关键． 例4．（23-24八年级上·广东广州·期中）如图，点、、分别是等边各边上的点，且，．（）求证：是等边三角形．（）若，求等边的周长． 【答案】（1）详见解析；（2）18 【分析】（1）由等边三角形的性质易得AB=BC=AC，∠A=∠B=∠C=60°，由已知易得BD=CE=AF，∠DEB=∠EFC，可得△BDE≌△CEF≌△AFD，由全等三角形的性质可得DE=FD=EF，证得结论； （2）首先由∠DEC=150°，易得∠FEC=90°，可得△ADF、△BED、△CFE均为直角三角形，可得∠CFE=∠ADF=∠BDE=30°，由直角三角形的性质可得CF=AD=BE=2BD=4，可得AB，易得结果． 【详解】（1）证明：∵△ABC是等边三角形， ∴AB=BC=AC，∠A=∠B=∠C=60°，∵BD=CE，∴BD=CE=AF， 在△BDE与△CEF中，，∴△BDE≌△CEF（SAS），∴DE=EF， 同理可得△BDE≌△AFD，∴DE=FD，∴DE=FD=EF，∴△DEF为等边三角形； （2）解：∵∠DEC=150°，∠DEF=60°，∴∠FEC=90°， ∴△ADF、△BED、△CFE均为直角三角形，且∠CFE=∠ADF=∠BDE=30°， ∵BD=CE=2，∴CF=AD=BE=2BD=4，∴AB=BC=AC=6，∴等边△ABC的周长为：6×3=18 【点睛】本题考查等边三角形的性质及判定和全等三角形的性质及判定，综合利用各定理是解答此题关键． 1．（23-24八年级上·江西南昌·期中）如图，将等腰三角形纸片（分别在腰、上取点、点）沿折叠，使顶点落在底边上的点处，且，下列结论：①是等腰三角形；②是的中点；③是等边三角形；④．其中正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的性质与判定，折叠的性质．连接，根据等腰三角形的性质与平行线的性质，得出，即可判断①，根据三线合一可得，即可判断②，根据不一定为，则折叠后不一定为，即可判断③，根据三角形的内角和定理与折叠的性质，即可判断④． 【详解】解：如图所示，连接， ∵是等腰三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形，故①正确； 依题意，， ∵， ∴ ∵是等腰三角形， ∴，故②正确； ∵不一定为，则折叠后不一定为， ∴不一定是等边三角形，故③不正确； ∵折叠， ∴ ∴ 故④正确 故选：C． 2．（2024·浙江杭州·二模）如图，是等边三角形，D，E分别是，边上的点，且，连接，相交于点F，则下列说法正确的是（    ） ①；②； A．① B．② C．①② D．都错 【答案】C 【分析】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题．由“”可证，根据全等三角形的性质可得，由三角形外角的性质可求． 【详解】解：是等边三角形， ，， 在和中， ， ， ， ， 故①②正确，符合题意； 故选：C 3．（23-24八年级上·山东临沂·期末）如图，点分别是边长为的等边边上的动点，点从顶点，点从顶点同时出发，且它们的速度都为，下面结论：①；②的度数不变，始终等于；③当第秒或第秒时，为直角三角形；④当第2秒时，．其中结论正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】由三角形为等边三角形，得到三边相等，且内角为，根据题意得到，利用得到，则可得，可判定①正确；由全等三角形的性质得，从而可证明，，即可得出，可判定②正确；分与为直角两种情况求出的值，即可判定③；当时，求得，，从而可证明是等边三角形，，继而证得  ，即可判定④正确． 【详解】解：设点、Q运动时间为t秒， 根据题意得：， 为等边三角形， ，， 在和中， ， ， ∴，故①正确； ∵ ， 在中，， ， 在中，， ， ， ，故②正确； 若，由，得到， ∴，即， 解得：； 若，由，得到， ∴，即， 解得：， 综上，当第秒或第秒时，为直角三角形，故③正确； 当时，则，， ∵ ∴P、Q是、边的中点，即、是的中线， ∴， 为等边三角形， ∴，，， ∴是等边三角形，， ∴， ∴， ∴， ∴，故④正确， ∴正确的有①②③④共4个， 故选：D． 【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，直角三角形的性质，三角形内角和定理，三角形重心的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键． 4．（23-24八年级下·广东佛山·期中）如图，等边三角形ABC中，D、E分别在AB、BC边上，且AD=BE，AE与CD交于点F，AG⊥CD于点G．下列结论：①AE=CD；②∠AFC=120°；③△ADF是等腰三角形；④，其中正确的结论是（　　） A．①② B．①③ C．①④ D．③④ 【答案】A 【分析】根据等边三角形的性质可得AB=AC，∠BAC=∠B=60°，然后利用“边角边”证明△ABE和△CAD全等，根据全等三角形对应边相等可得AE=CD，判定①正确；根据全等三角形对应角相等可得∠ACD=∠BAE，求出∠CAF+∠ACD=60°，然后利用三角形的内角和定理求出∠AFC=120°，判定②正确；求出∠ADF＞60°，∠FAD＜60°，∠AFD=60°，判定△ADF不是等腰三角形；求出∠AFG=60°，再求出∠FAG=30°，然后根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半可得FG=AF，然后判断④． 【详解】解：在等边△ABC中，AB=AC，∠BAC=∠B=60°， 在△ABE和△CAD中， ， ∴△ABE≌△CAD（SAS）， ∴AE=CD，故①正确； ∵∠ACD=∠BAE， ∴∠CAF+∠ACD=∠CAF+∠BCE=∠BAC=60°， 在△ACF中，∠AFC=180°﹣（∠CAF+∠ACD）=180°﹣60°=120°，故②正确； ∵∠FAD＜∠BAC，∠BAC=∠B=60°， ∴∠ADF＞60°，∠FAD＜60°，∠AFD=60°， ∴△ADF不是等腰三角形，故③错误； ∵∠AFG=180°﹣∠AFC=180°﹣120°=60°，AG⊥CD， ∴∠FAG=90°﹣60°=30°， ∴FG=AF， ∴，故④错误， 综上所述，正确的有①②． 故选：A． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，熟练掌握等边三角形和全等三角形的判定与性质，并准确识图是解题的关键． 5．（2024八年级·广东·培优）如图，已知为等腰三角形，，点F为AC上一点，点D为BC延长线上一点，点E为AB延长线上一点，EF与BC相交于点G，如果，那么下列说法中，正确的个数有（    ） （1），（2），（3），（4）点G到AB，AC的距离之和为定值． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查等腰三角形的判定及性质，熟练应用等腰三角形的判定和性质是解题的关键．过点F作，则，从而易证，因此，故（1）正确；在AD上截取，则，且易证为等腰三角形，从而，因此，故（2）正确；连接AG，利用等面积法，易证（4）正确． 【详解】解：如图，过点F作， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， 故（1）正确； 在AD上截取， ， ，， ， ，， ， ， ， ， ， ， 故（2）正确； 连接AG，过点作，，，垂足分别为，，， ，，， ， ， ， ， 点G到AB，AC的距离之和为定值， 故（4）正确； 故选：C 6．（23-24八年级上·广西钦州·期末）如图，过边长为3的等边的边上一点，作于，为延长线上一点，当时，连接交边于点，则的长为（    ） A． B． C． D．2 【答案】C 【分析】过作交于，得出等边三角形，推出，根据等腰三角形性质求出，证，推出，推出即可． 【详解】解：过作交于， ，是等边三角形， ，，，， 是等边三角形， ， ， ， ，， ， 在和中 ， ， ， ， ， ， ， ， 故选：C． 【点睛】本题综合考查了全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质和判定，等腰三角形的性质，平行线的性质等知识点的应用，能综合运用性质进行推理是解此题的关键，通过做此题培养了学生分析问题和解决问题的能力，题型较好，难度适中． 7．（23-24八年级上·山东聊城·期末）如图，已知等边，点D在上，点F在的延长线上，于点于交于点P，则下列结论中：①；②；③；④．一定正确的是（    ） A．① B．②④ C．①②③ D．①②④ 【答案】D 【分析】由等边三角形的性质可以得出△DEB≌△FGC，就可以得出BE＝CG，DE＝FG，就可以得出△DEP≌△FGP，得出∠EDP＝∠GFP，EP＝PG，得出PC＋BE＝PE，就可以得出PE＝1，从而得出结论． 【详解】解：∵△ABC是等边三角形，∴AB＝BC＝AC，∠A＝∠B＝∠ACB＝60°． ∵∠ACB＝∠GCF，∵DE⊥BC，FG⊥BC，∴∠DEB＝∠FGC＝∠DEP＝90°． 在△DEB和△FGC中，∴△DEB≌△FGC（AAS）， BE＝CG，DE＝FG，故①正确； 在△DEP和△FGP中，∴△DEP≌△FGP（AAS），故②正确； ∴PE＝PG，∠EDP＝∠GFP≠60°，故③错误；∵PG＝PC＋CG，∴PE＝PC＋BE． ∵PE＋PC＋BE＝2，∴PE＝1，故④正确．∴正确的有：①②④．故选D． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，解答时证明三角形全等是关键． 8．（22-23八年级上·广东惠州·阶段练习）如图，等边 边长为 ， 在 上， 在 延长线，，过点 作 点 ，过点 作，交 边于点 ，连接 交 于点 ，则 的长为 ．    【答案】5 【分析】先证是等边三角形，由此可得，，再证，则可得，由此可得，即可求解. 【详解】是等边三角形， . ， ， ， 是等边三角形， . ， ， ， . ， . 又， ， ， . 故答案为：5 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质.熟练掌握以上知识是解题的关键. 9．（23-249八年级上·安徽·期中）如图，等边三角形ABC的边AB上一点P，作PE⊥AC于点E，Q为BC延长线上的一点，当PA＝CQ时，连接PQ，交AC于点D．下列结论：①PD＝DQ；②∠Q＝30°；③DE＝AC；④AE＝CQ．其中正确的是 (填序号)． 【答案】①③④ 【分析】①作辅助线，证明△PFD≌△QCD，可以得：PD=DQ；②由全等可知：∠DPF=∠Q，由QP与AB不垂直，可以得∠Q不一定为30°；③根据等腰三角线三线合一得：EF=AF，由全等得：DF=FC，两式相加可得结论；④根据30°角所对的直角边是斜边一半可得结论． 【详解】①过P作PF∥BQ，交AC于F， ∵△ABC是等边三角形， ∴∠ACB=∠A=60°， ∵PF∥BQ， ∴∠AFP=∠ACB=60°，∠PFD=∠QCD， ∴△AFP是等边三角形， ∴PF=PA， ∵PA=CQ， ∴PF=CQ， 在△PFD和△QCD中， ∵， ∴△PFD≌△QCD（AAS）， ∴PD=DQ； 所以①结论正确； ②由①得：△PFD≌△QCD， ∴∠DPF=∠Q， ∵△APF等边三角形， ∴∠APF=60°， ∵QP与AB不一定垂直， ∴∠Q不一定为30°， 所以②结论不正确； ③∵△APF是等边三角形，PE⊥AC， ∴EF=AF， ∵△PFD≌△QCD， ∴DF=DC， ∴DF=FC， ∴DE=EF+DF=AF+FC=AC， 所以③结论正确； ④在Rt△AEP中，∠A=60°， ∴∠APE=30°， ∴AE=AP， ∴AE=CQ， 所以④结论正确； 所以本题结论正确的有：①③④； 故答案为①③④． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质和判定、三角形全等的性质和判定、直角三角形30°角的性质，作辅助线构建全等三角形是本题的关键． 10．（23-24八年级上·山东日照·期末）如图，在等边的边AB上一点P，作于E，Q为BC延长线上一点，当时，连PQ交AC边于D，且DE长为1，则BC长为 ． 【答案】2 【分析】过P作交AC于F，得出等边三角形APF，推出，根据等腰三角形性质求出，证≌，推出，推出即可． 【详解】过P作交AC于F， ，是等边三角形， ，是等边三角形， ， ， ， ，， ． 在和中，， ≌， ， ， ， ， ， ， 故答案为2 【点睛】本题综合考查了全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质和判定，等腰三角形的性质，平行线的性质等知识点的应用，能综合运用性质进行推理是解此题的关键. 11．（23-24八年级上·湖北武汉·期中）在中，，，点M从点B出发沿射线移动（运动到A点停止），同时点N从点C出发沿线段的延长线移动，点M，N移动的速度相同（且同时停止），与相交于点D．过点M作于点F，线段+= ． 【答案】4 【分析】过点N作，交的延长线于点H，然后由题意易得，进而可证，最后根据全等三角形的性质可求解． 【详解】解：过点N作，交的延长线于点H，如图所示： 由题意得， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为4． 【点睛】本题主要考查全等三角形的性质与判定及等腰三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质与判定及等腰三角形的性质是解题的关键． 12．（2024八年级·重庆·培优）如图所示，在等边三角形中，，若三个全等的三角形为一组，则图中共有 组全等三角形． 【答案】5 【分析】本题考查等边三角形的性质，全等三角形的判定．熟练掌握等边三角形的性质，及全等三角形的判定方法，是解题的关键．根据等边三角形性质，利用全等三角形的判定定理，对图中所有三角形进行判断，即可得出答案． 【详解】解：∵是等边三角形； ∴； ； ∵； ∴； 同理，； ； ； ； 故答案为：5． 13．（23-24八年级上·浙江·期中）如图，点P、M、N分别在等边三角形的各边上，且于点P，于点M，于点N，若，则的长为 ． 【答案】 【分析】由是等边三角形，，，可证明是等边三角形，得出，进而证明，得出，，再由，，得出，结合，可求出．本题考查了全等三角形的判定与性质，掌握全等三角形的判定方法是解决问题的关键． 【详解】解：∵是等边三角形， ， ，，， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ，， ， ，， ， ， ， ， 故答案为： 14．（23-24八年级上·广东广州·期中）已知等边三角形， （1）尺规作图：过顶点、、依次作、、的垂线，三条垂线交于点、、（保留一条垂线的作图痕迹，另两条垂线的作图痕迹可以不保留，不需要写作法） （2）求证：是等边三角形． 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【分析】（1）以点C为圆心作圆，交AC于H，交AC延长线于I，分别以点H、I为圆心，以大于HC为半径画圆，交于点G，连接CG即可； （2）本题中△ABC为等边三角形，∠ABC＝60°，求出∠M，∠N，∠G的值即可解决问题． 【详解】解：（1）如图所示： （2）证明： ∵△ABC为等边三角形， ∴∠ABC＝60°． ∵BC⊥MN，BA⊥MG， ∴∠CBM＝∠BAM＝90°． ∴∠ABM＝90°−∠ABC＝30°． ∴∠M＝90°−∠ABM＝60°． 同理：∠N＝∠G＝60°． ∴△MNG为等边三角形． 【点睛】本题考查作垂线，等边三角形的判定和性质，直角三角形两个锐角互余等知识，解题的关键是熟练掌握尺规作垂线，等边三角形的判定和性质，直角三角形两个锐角互余等基本知识． 15．（23-24八年级上·浙江绍兴·期中）如图1，D是边长为4㎝的等边△ABC的边AB上的一点，DQ⊥AB交边BC于点Q，RQ⊥BC交边AC于点R，RP⊥AC交边AB于点E，交QD的延长线于点P. 图1                      图2 ①请说明△PQR是等边三角形的理由； ②若BD=1.3㎝，则AE=_______㎝（填空） ③如图2，当点E恰好与点D重合时，求出BD的长度. 【答案】（1）详见解析；（2）2.4cm；（3）. 【分析】（1）△PQR是等边△的理由就是可以求出∠DQR和∠PRQ都是60°；（2）灵活运用Rt△中30°所对的边是斜边的一半的知识；（3）根据（1）（2）得△BDQ≌△RQC≌△ADR（AAS），得3DB=AB易求结果. 【详解】解：（1）根据题意，△ABC为等边三角形， ∴∠B=60°． 又∵DQ⊥AB， ∴∠B+∠BQD=∠BQD+∠PQR=90°， ∴∠PQR=60°． 同理，得 ∠PRQ=60° ∴△PQR是等边三角形； （2）∠DQB=30°，BD=1.3cm， ∴BQ=2.6cm， CQ=4-2.6=1.4cm， ∠QRC=30°， ∴CR=2.8cm， AR=4-2.8=1.2cm， ∠AER=30°， AE=2AR=2.4cm； （3）由（1）（2）可得△BDQ≌△RQC≌△ADR（AAS）， ∴DB=AR， ∵RQ⊥BC，∠A=60°， ∴2AR=AD， ∴3DB=AB， ∴DB=（cm）． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质和判定三角形全等的方法． 16．（23-24八年级上·内蒙古鄂尔多斯·期末）如图，为等边三角形，点D，E分别在BC，AC边上，且，AD与BE相交于点F，，垂足为G． (1)求证：； (2)若，求FG的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由等边三角形的性质可得，，再由便可证明； （2）由可得，由三角形外角的性质可得∠BFG=60°，再由直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半便可解答； 【详解】（1）证明：∵为等边三角形， ∴，， 在和中， ， ∴（SAS）， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形外角的性质，掌握30°直角三角形的边长关系是解题关键． 17．（23-24八年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，已知为等边三角形，点E，F分别在边AC，BC上，且，AF与BE相交于点D． (1)求证：；(2)求∠ADB的度数． 【答案】(1)见解析 (2)120° 【分析】（1）根据等边三角形的性质可得，，，证明，然后利用“边角边”证明和全等； （2）根据全等三角形对应角相等可得，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式整理得到即可求解． 【详解】（1）证明：∵为等边三角形， ∴，， ∵，     ∴ 在△ABE和△CAF中， ， ∴（SAS）； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记性质等边三角形的性质得到三角形全等是条件是解题的关键． 18．（24-25八年级上·江西南昌·期中）已知为等边三角形，点，分别在边，上，且，，相交于点． (1)在图中，全等三角形有 对，请选择其中一对全等三角形进行证明； (2)如图，过点作，垂足为点，求证：； (3)如图，若点在线段上，且，连接交于点，连接，试判断与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)，理由见解析； (2)证明见解析； (3)，理由见解析． 【分析】（）根据等边三角形的性质和全等三角形的判定方法即可求证； （）由，得，则，然后根据角所对直角边是斜边的一半即可求证； （）延长至点，使得， 连接，则为等边三角形，证明，得，，然后再证明，最后根据角所对直角边是斜边的一半即可求证； 本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，角所对直角边是斜边的一半，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（1）解：选； ∵为等边三角形， ∴，， ∵， ∴； 选， ∵为等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， 故答案为：； （2）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）解：，理由： 延长至点，使得，连接， 由（）得：， ∴为等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴． 19．（23-24八年级上·浙江杭州·期末）如图，在等边的，边上分别取一点、，使，、相交于点， （1）如图所示，求∠BME的度数， （2）如图所示，过点作直线的垂线，垂足为，求证：2MH+DM=AE， 【答案】（1）（2）见详解 【分析】（1）根据已知条件可以证得≌,再利用全等三角形的性质、等边三角形的性质以及三角形的外角定理即可求解； （2）先利用含角的直角三角形的性质证出，再根据（1）的结论进一步证明即可转化出最后结论． 【详解】解：（1）∵是等边三角形 ∴， 在和中 ∴≌ ∴ ∴ （2）∵， ∴ ∴ ∵≌ ∴ ∵ ∴ 故答案是：（1）（2）见详解 【点睛】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质、三角形的外角定理以及直角三角形的性质，综合性虽强但难度不大，认真推理即可得证． 20．（23-24八年级上·河北保定·期末）在等边三角形中，点、分别在边、上，且，连接、交于点． (1)如图1，求证：； (2)如图2，过点作于点．若，，求的长度； 【答案】(1)详见解析 (2) 【分析】本题考查了等边三角形的性质，三角形全等的判定和性质，直角三角形的性质． （1）根据等边三角形的性质，结合已知证明即可． （2）利用，得证，结合已知得到，得证，根据计算即可． 【详解】（1）解：∵等边三角形，， ∴，， ∴， ∴， ∴． （2）解：根据（1）得， ∴，； ∵等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴． 21．（23-24八年级上·山东日照·期中）如图,为等边三角形,,相交于点,于,,． (1)求证:;(2)求的度数;(3)求的长． 【答案】(1)证明见解析(2)(3) 【分析】本题考查全等三角形判定及性质,等边三角形性质,含30°角的直角三角形三边关系． （1）根据证明即可, （2）根据全等三角形性质得出,继而得到本题答案, （3）根据含角的直角三角形三边关系即可得到本题答案． 【详解】（1）解:证明:∵为等边三角形, ∴,, 在和中, , ∴, （2）解:由（1）知, ∴,, ∴, 故答案为:． （3）解:∵,, ∴, ∴, ∴． 22．（23-24八年级上·云南昭通·期末）如图，中，，在线段上，在的延长线上，连交于，过作于． ． (1)若，，试判断的形状；并说明理由． (2)若，，求证：． 【答案】(1)等腰直角三角形，理由见解析 (2)见解析 【分析】 （1）根据等腰三角形两底角相等求出，再根据直角三角形两锐角互余求出，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出，然后计算即可得解； （2）过点作交于，根据两直线平行，同位角相等可得，内错角相等可得，然后求出，再根据等角对等边可得，然后求出，再利用“角角边”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，根据等腰三角形三线合一的性质可得，即可得证． 【详解】（1） 解：是等腰直角三角形，理由如下： ， ， ， ， ，， ， ， 是等腰直角三角形； （2） 证明：， 则，， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， （AAS）， ， 又，， ， ． 【点睛】 本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，主要利用了等腰三角形两底角相等的性质，等角对等边的性质，（2）证得是解题的关键． 23．（23-24八年级上·河北保定·期中）如图，在等边中，点D是边上一点，E是延长线上一点，，连接交于点F，过点D作于点G，过点D作交于点H． （1）求证：； （2）求证：； （3）若，求出的面积． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）6 【分析】（1）根据含直角三角形的性质，求解即可； （2）通过证明△ADH是等边三角形，得到，利用“”得到△DHF≌△ECF，即可求解． （3）根据线段之间的关系得到，从而得到，即可求解． 【详解】（1）证明：∵△ABC是等边三角形， ∴∠A＝60°， ∵DG⊥AC， ∴∠AGD＝90°，∠ADG＝30°， ∴； （2）解：∵DH∥BC， ∴∠ADH＝∠B，∠AHD＝∠ACB，∠FDH＝∠E， ∵△ABC是等边三角形， ∴∠B＝∠ACB＝∠A＝60°， ∴∠A＝∠ADH＝∠AHD＝60°， ∴△ADH是等边三角形， ∴DH＝AD， ∵AD＝CE， ∴DH＝CE， 在△DHF和△ECF中， ， ∴△DHF≌△ECF（AAS）， ∴DF＝EF； （3）∵△ADH是等边三角形，DG⊥AC，AD＝DH， ∴AG＝GH，DH=AH ∵△DHF≌△ECF， ∴HF＝CF， ∵CF＝CE，DH＝CE， ∴HF＝DH=AH， ∴GF＝3AG， ∵△DGF和△ADG等高， ∴S△DGF＝3S△ADG＝6． 【点睛】此题考查了直角三角形的性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，解题的关键是掌握并灵活运用相关基本性质进行求解． 24．（2023九年级·重庆·专题练习）如图，在中，，点P从点B出发沿线段移动，同时，点Q从点C出发沿线段的延长线移动，点P，Q移动的速度相同，与直线相交于点D． (1)如图①，当点P为的中点时，求证：． (2)如图②，过点P作直线的垂线，垂足为E，当P，Q在移动的过程中，线段，，中是否存在长度保持不变的线段？请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)线段ED的长度保持不变，理由见解析 【分析】（1）过点作交于，由题意可证是等腰三角形，，即可得结论； （2）利用全等三角形的性质和判定可得的长度不变． 【详解】（1）解：如图，过点作交于， 点和点同时出发，且速度相同， ， ， ，， 又， ， ， ， ， 在与中， ， ， ； （2）为定值，是不变的线段， 理由：由（1）证得，， ，， ， ， 为定值． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质，添加恰当的辅助线构造全等三角形是本题的关键． 25．（23-24八年级·北京海淀·期中）（1）老师在课上给出了这样一道题目：如图1，等边边长为2，过边上一点作于，为延长线上一点，且，连接交于，求的长． 小明同学经过认真思考后认为，可以通过点作平行线构造等边三角形的方法来解决这个问题．请根据小明同学的思路直接写出的长． （2）【类比探究】老师引导同学继续研究： ①等边边长为2，如图2当为的延长线上一点时，作的延长线于点，为边上一点，且，连接交于．求的长并证明． ②已知等边，当为的延长线上一点时，作射线于点，为延长线上一点，且，连接交直线于点，请在图3中补全图形，并证明长度保持不变． 【答案】（1）1；（2）①1，见解析；②见解析 【分析】（1）过点作交于点，可证是等边三角形，可得，通过证明，可得，即可求的长； （2）①过点作交的延长线于点，可证是等边三角形，可得，通过证明，可得，即可求的长； ②过点作交的延长线于点，可证是等边三角形，可得，通过证明，可得，即可求的长．． 【详解】（1）解：如图，过点作交于点， ，，， 为等边三角形， ， ， 为等边三角形， ， ， ， ， 又，， ， ， ． （2）①解：过点作交的延长线于点， ，，， 为等边三角形， ， ， 为等边三角形， ， ， ， ， 又，， ， ， ． ②证明： 过点作交的延长线于点， ，，， 为等边三角形， ， ， 为等边三角形， ， ， ，，， ， ， ， 长度保持不变． 【点睛】本题考查三角形的综合应用，通过作辅助线构建新的等边三角形，通过证明三角形全等确定边之间的关系是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$