27.2.2相似三角形知识梳理与同步练习 2023—2024学年人教版数学九年级下册

27.2.2相似三角形知识梳理与同步练习人教版2024—2025学年九年级下册 知识点一：相似三角形的性质 1、对应角相等，对应边的比相等； 2、拓展：对应高的比，对应中线的比，对应角平分线的比都等于相似比。 3、相似三角形周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方。（相似多边形周长比等于相似比，相似多边形的面积比等于相似比的平方。） 例1、两个相似三角形的面积比是9：16，且较小三角形的周长是24 cm，则较大三角形的周长是________。 变式1、两个相似三角形的对应中线之比为2：3，周长之和是20，那么这两个三角形的周长分别是（ ） A、8和12 B、9和11 C、7和13 D、6和14 变式2、已知△ABC∽△A1B1C1，AD、A1D1分别是△ABC与△A1B1C1的对应高，且AD：A1D1=2:3，则下列结论正确的是（ ） A、△ABC的周长：△A1B1C1的周长=4:9 B、A1B1：AB=2:3 C、S△ABC：S△A1B1C1=2:3 D、AB：A1B1=2:3 例2、如图，若DE//BC，EF//AB，，，则________，________，________。 变式1、如图所示，点D、E分别在AB、AC上，连接DE，△ADE∽△ABC，已知△ADE和△ABC的相似比是1：2，且△ADE的面积是1，求四边形DBCE的面积． 例3、如图，在矩形ABCD中，点EF分别在边AD，DC上，△ABE∽△DEF，AB＝6，AE＝9，DE＝2． （1）求EF的长． （2）求证：∠BEF＝90°． 变式1、如图，已知△ABC∽△ACD． （1）若CD平分∠ACB，∠ACD＝35°，求∠ADC的度数； （2）若AD＝3，BD＝5，求AC的长． 变式2、如图，△ABC∽△CBD，若AB＝6，BD＝9，求BC的长． 变式3、如图，AD＝2，AC＝4，BC＝6，∠B＝36°，∠D＝107°，△ABC∽△DAC （1）求AB的长； （2）求CD的长； （3）求∠BAD的大小． 例4、如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，过点E作ED⊥AB，垂足为D． （1）若AB＝10，AC＝8，AE＝5，求AD的长； （2）连接BE，若△CEB∽△CBA，且CE＝1，AE＝3，求DE的长． 变式1、如图，在正方形ABCD中，点M是BC边上的任一点，连接AM并将线段AM绕点M顺时针旋转90°得到线段MN，在CD边上取点P使CP＝BM，连接NP、BP． （1）求证：BP＝MN； （2）线段MN与CD交于点Q，连接AQ，若△MCQ∽△AMQ，试证明BM＝MC． 例5、如图，正方形ABCD中，AE=BF=CG=DH=AB，则四边形EFGH与正方形ABCD面积比为（ ） A、 B、 C、 、 变式1、如图，小明作出了边长为1的第1个正△A1B1C1，算出了正△A1B1C1的面积．然后分别取△A1B1C1三边的中点A2、B2、C2，作出了第2个正△A2B2C2，算出了正△A2B2C2的面积．用同样的方法，作出了第3个正△A3B3C3，算出了正△A3B3C3的面积…，由此可得，第10个正△A10B10C10的面积是（　　） A、 B、 C、 D、 例6、如图1，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，动点P从点B出发，在BA边上以每秒3cm的速度向点A匀速运动，同时动点Q从点C出发，在CB边上以每秒2cm的速度向点B匀速运动，运动时间为t秒（0＜t＜2），连接PQ． （1）若△BPQ与△ABC相似，求t的值； （2）（如图2）连接AQ，CP，若AQ⊥CP，求t的值． 变式1、如图，在△ABC中，AB＝8cm，BC＝16cm．动点P从点A开始沿AB边运动，速度为2cm/s；同时动点Q从点B开始沿BC边运动，速度为4cm/s．当点P到达点B时，P，Q两点同时停止运动．求两动点运动多长时间，△BPQ与△ABC相似？ 变式2、如图，在平面直角坐标系中，直线AB与x轴、y轴分别交于点A、点B，直线CD与x轴、y轴分别交于点C、点D，AB与CD相交于点E，线段OA、OC的长是一元二次方程x2﹣18x+72＝0的两根（OA＞OC），BE＝5，OB＝OA． （1）求点A、点C的坐标； （2）在x轴上是否存在点P，使点C、点E、点P为顶点的三角形与△DCO相似？若存在，请求出点P的坐标；如不存在，请说明理由． 知识点二：面积专题 1、直接法：根据三角形的面积公式解题 2、等积法：等底等高的两三角形面积相等 3、等比法：将面积比转化为线段比 ①等底（或同底）的三角形面积之比等于高之比 ②等高（或同高）的三角形面积之比等于对应底之比 ③相似三角形的面积比等于相似比的平方 例1、如图，平行四边形ABCD中，BE：AB=2：3，且S△BPE = 4，求平行四边形ABCD的面积。 变式1、、如图，梯形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，设△OCD、△OAD、△OAB、△OCB的面积分别为S1、S2、S3、S4，且。已知S1=1，求梯形ABCD的面积。 变式2、如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，且AD＝3，AC＝6，AE＝4，AB＝8． （1）如果BC＝7，求线段DE的长； （2）设△DEC的面积为2，求△BDC的面积． 变式3、如图，在四边形ABCD中，AC，BD相交于点E，点F在BD上，且∠BAF＝∠DBC，． （1）求证：△ABC∽△AFD； （2）若AD＝2，BC＝5，△ADE的面积为4，求△BCE的面积． 学科网（北京）股份有限公司 $$