3.3.2 抛物线的简单几何性质(第3课时直线与抛物线) 课件-2024-2025学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

3.3.2 抛物线的简单几何性质 人教A版2019选修第一册 第3课时 直线与抛物线 学习目标 1.掌握抛物线的几何性质及其简单应用． 2.掌握直线与抛物线的位置关系的判断及相关问题． 3. 掌握抛物线中的定值与定点问题． 复习导入 方程 图形 范围 对称性 顶点 焦半径 焦点弦 通径 y2 = 2px y2 = -2px x2 = 2py x2 = -2py l F y x O l F y x O l F y x O x≥0, y∈R x≤0, y∈R x∈R, y≥0 x∈R, y≤0 l F y x O 关于x轴对称 关于y轴对称 (0,0) 抛物线的简单几何性质 直线与圆锥曲线的有关综合问题,我们已经接触了一些,在我们看来就是三句话的实践: (一)设而不求; (二)联立方程组,根与系数的关系; (三)大胆计算分析,数形结合活思维. 这一节我们来做几个关于直线与抛物线的问题…… 复习导入 直线与抛物线 一、直线与抛物线位置关系种类 x y O 1、相离；2、相切；3、相交（一个交点，两个交点） 直线与抛物线 设直线l:y=kx+m,抛物线:y2=2px(p>0),将直线方程与抛物线方程联立整理成关于x的方程k2x2+2(km-p)x+m2=0. (1)若k≠0,当Δ>0时,直线与抛物线相交,有两个交点; 当Δ=0时,直线与抛物线相切,有一个切点; 当Δ<0时,直线与抛物线相离,没有公共点. (2)若k=0,直线与抛物线有一个交点,此时直线平行于抛物线的对称轴或与对称轴重合.因此直线与抛物线有一个公共点是直线与抛物线相切的必要不充分条件. 二、直线与抛物线的位置关系 直线与抛物线 三、判断直线与抛物线位置关系的操作程序（一） 把直线方程代入抛物线方程 得到一元一次方程 得到一元二次方程 直线与抛物线的 对称轴平行（重合） 相交（一个交点） 计 算 判 别 式 >0 =0 <0 相交 相切 相离 直线与抛物线 判断直线是否与抛物线的对称轴平行 不平行 直线与抛物线相交(一个交点) 平行 三、判断直线与抛物线位置关系的操作程序（二） 计 算 判 别 式 >0 =0 <0 相交 相切 相离 直线与抛物线 分析:用坐标法解决这个问题,只要讨论直线的方程与抛物线的方程组成的方程组的解的情况,由方程组的解的个数判断直线与抛物线的公共点个数. 直线与抛物线   直线与抛物线 直线与抛物线 直线与抛物线 练习1：当实数a为何值时,直线y=(a+1)x-1与抛物线y2=ax(a≠0)相交?   直线与抛物线 直线与抛物线 抛物线中的最值 直线与抛物线 直线与抛物线 弦长与弦中点 弦长与弦中点 弦长与弦中点 点差法 弦长与弦中点 设而不求 弦长与弦中点 弦长与弦中点 练习：已知抛物线的方程是y2=4x,直线l交抛物线于A,B两点,设A(x1,y1),B(x2,y2). (1)若弦AB的中点为(3,3),求直线l的方程; (2)若y1y2=-12,求证:直线l过定点. 弦长与弦中点 l的方程为y=kx-3k=k(x-3),过定点(3,0). 当l的斜率不存在时,y1y2=-12,则x1=x2=3,l过定点(3,0). 综上,l过定点(3,0). 轨迹方程             轨迹方程 y2＝4x 轨迹方程 轨迹方程 课堂小结 已知抛物线的方程为 ,直线 过定点 ,斜率为 , 为何值时, 直线 与抛物线 : ⑴只有一个公共点; ⑵有两个公共点; ⑶没有公共点? 例2.求过定点P(0，1)且与抛物线y2＝2x只有一个公共点的直线方程． 思路分析：直线与抛物线只有一个公共点有两种情形：一种是直线与抛物线的对称轴平行，另一种是直线与抛物线相切． 解：①若直线的斜率存在，设为k，则过P的直线方程为y＝kx＋1. 由方程组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝kx＋1，,y2＝2x，))消y，得k2x2＋2(k－1)x＋1＝0.当k＝0时，得x＝eq \f(1,2)，y＝1. 故直线y＝1与抛物线相交，只有一个公共点． 当k≠0时，由于直线与抛物线只有一个公共点，则 Δ＝4(k－1)2－4k2＝0. 得k＝eq \f(1,2)，此时直线y＝eq \f(1,2)x＋1与抛物线相切，只有一个公共点． ②若直线的斜率不存在，则过P(0，1)的直线方程为x＝0. 由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝0，,y2＝2x，))得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝0，,y＝0.)) 此时直线x＝0与抛物线相切，只有一个公共点． 综上所述，所求直线方程是x＝0或y＝1或y＝eq \f(1,2)x＋1. 练习2：过点(－3,2)的直线与抛物线y2＝4x只有一个公共点，求此直线方程． 解：显然，直线斜率k存在，设其方程为y－2＝k(x＋3)， 由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(y－2＝kx＋3，,y2＝4x，))消去x，整理得ky2－4y＋8＋12k＝0.① (1)当k＝0时，方程①化为－4y＋8＝0，即y＝2， 此时过(－3,2)的直线方程为y＝2，满足条件． (2)当k≠0时，方程①应有两个相等实根． 由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(k≠0，,Δ＝0，))即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(k≠0，,16－4k8＋12k＝0，))得k＝eq \f(1,3)或k＝－1. 所以直线方程为y－2＝eq \f(1,3)(x＋3)或y－2＝－(x＋3)， 即x－3y＋9＝0或x＋y＋1＝0. 综上所述，直线方程分别为：y＝2或x－3y＋9＝0或x＋y＋1＝0. 例3：在抛物线y2＝2x上求一点P.使P到直线x－y＋3＝0的距离最短，并求出距离的最小值． 法一：设p(x0，y0)是y2＝2x上任一点， 则点P到直线l的距离d＝eq \f(|x0－y0＋3|,\r(2))＝eq \f(\f(y\o\al(2,0),2)－y0＋3,\r(2))＝eq \f(|y0－12＋5|,2\r(2))， 当y0＝1时，dmin＝eq \f(5\r(2),4)，∴Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1)). 法二：设与抛物线相切且与直线x－y＋3＝0平行的直线方程为x－y＋m＝0， 由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x－y＋m＝0，,y2＝2x，))得y2－2y＋2m＝0，∵Δ＝(－2)2－4×2m＝0， ∴m＝eq \f(1,2). ∴平行直线的方程为x－y＋eq \f(1,2)＝0， 此时点到直线的最短距离转化为两平行线之间的距离， 则dmin＝eq \f(3－\f(1,2),\r(2))＝eq \f(5\r(2),4)，此时点P的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1)). 练习：已知直线l1：4x－3y＋6＝0和直线l2：x＝－1，则抛物线y2＝4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是________． 解：x＝－1是抛物线y2＝4x的准线方程，易知抛物线的焦点为F(1，0)， ∴点P到直线x＝－1的距离与点P到点F的距离相等， 故所求距离之和的最小值为F(1，0)到直线l1：4x－3y＋6＝0的距离 d＝eq \f(|4×1－0＋6|,\r(32＋42))＝2. 弦长问题 对于抛物线y2＝2px(p>0)，设弦的端点为A(x1，y1)，B(x2，y2)， (1)一般弦长：|AB|＝eq \r(1＋k2)|x1－x2|或|AB|＝eq \r(1＋\f(1,k2))|y1－y2|.(其中k为弦所在直线的斜率，且k≠0) (2)焦点弦长：|AB|＝x1＋x2＋p. 中点弦问题 若M(x0，y0)是抛物线y2＝2px(p＞0)的弦AB的中点，则直线AB的斜率为kAB＝eq \f(p,y0). 例4　过点Q(4，1)作抛物线y2＝8x的弦AB，恰被Q所平分． (1)求AB所在直线方程； (2)求|AB|. 思路分析：因为所求弦通过定点Q，所以求弦AB所在的直线方程关键是求出斜率k，又由于Q点是所求弦AB的中点，所以所求斜率与A，B点坐标有关． 解：(1)方法一：设以Q为中点的弦AB端点的坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1≠x2)，则 y12＝8x1，① y22＝8x2，② y1＋y2＝2，③ k＝eq \f(y1－y2,x1－x2).④ 将③代入①－②，得2(y1－y2)＝8(x1－x2)． ∴y1－y2＝4(x1－x2)，∴4＝eq \f(y1－y2,x1－x2).∴k＝4. ∴所求弦AB所在直线方程为y－1＝4(x－4)， 即4x－y－15＝0. 方法二：设弦AB所在直线方程为y＝k(x－4)＋1(k≠0)． 由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y2＝8x，,y＝k（x－4）＋1，))消去x，得ky2－8y－32k＋8＝0. 此方程的两根就是线段端点A，B两点的纵坐标，由韦达定理，得y1＋y2＝eq \f(8,k). 又由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y1＋y2＝\f(8,k)，,y1＋y2＝2，))解得k＝4. ∴所求弦AB所在直线方程为4x－y－15＝0. (2)由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y2＝8x，,4x－y－15＝0，))消去x，得y2－2y－30＝0. 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则由韦达定理得y1＋y2＝2，y1·y2＝－30， |AB|＝eq \r(1＋\f(1,k2))·|y1－y2| ＝eq \r(1＋\f(1,16))·eq \r(（y1＋y2）2－4y1y2) ＝eq \f(\r(17),4)×eq \r(124)＝eq \f(\r(527),2). 解:(1)因为抛物线的方程为y2=4x,则有=4x1,=4x2,因为弦AB的中点为(3,3), 所以x1≠x2.两式相减得=4x1-4x2, 所以, 所以直线l的方程为y-3=(x-3),即y=x+1. (2)当l的斜率存在时,设l的方程为y=kx+b,代入抛物线方程,整理,得ky2-4y+4b=0,y1y2==-12,b=-3k, 练习1：平面上动点P(x，y)(x≥0)到定点F(1，0)的距离比P到y轴的距离大1，动点P的轨迹方程为________． 解：方法一：∵P(x，y)(x≥0)，则有eq \r(（x－1）2＋y2)＝x＋1. 两边平方并化简，得y2＝4x. 故点P的轨迹方程为y2＝4x. 方法二：由题意，动点P到定点F(1，0)的距离比到y轴的距离大1. 而F(1，0)到y轴的距离为1.∴当x≥0时，原条件等价于点P到F(1，0)与到直线x＝－1的距离相等，故点P在以F为焦点，x＝－1为准线的抛物线上， 其方程为y2＝4x. 练习2：若动圆M与圆C：(x－2)2＋y2＝1外切，又与直线x＋1＝0相切，求动圆圆心的轨迹方程． 解：设动圆圆心为M(x，y)，半径为R，由已知可得定圆圆心为C(2，0)，半径r＝1. 连接MC.因为两圆外切，所以|MC|＝R＋1. 又动圆M与已知直线x＋1＝0相切， 所以圆心M到直线x＋1＝0的距离d＝R. 所以|MC|＝d＋1. 即动点M到定点C(2，0)的距离等于它到定直线x＋2＝0的距离． 由抛物线的定义可知，点M的轨迹是以C为焦点，x＝－2为准线的抛物线，且eq \f(p,2)＝2， 故动圆圆心M的轨迹方程为y2＝8x. $$