山东省潍坊市2024-2025学年高二上学期11月期中数学试题

2024—2025学年上学期期中质量监测 高二数学 2024.11 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 直线过点，，则的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 与向量平行的一个向量的坐标是（ ） A. B. C. D. 3. 已知直线：，：，若，则a的值为（ ） A. B. 3 C. D. 3或 4. 已知是直线上一点，且是直线的一个法向量，则的方程为（ ） A. B. C. D. 5. 直线与圆的位置关系是（ ） A. 相交 B. 相切 C. 相离 D. 与a的取值有关 6. A，B，C，D是空间不共面的四点，且满足，，，M为的中点，则是（ ） A. 钝角三角形 B. 锐角三角形 C. 直角三角形 D. 不确定 7. 已知，分别为椭圆的两个焦点，P是椭圆E上的点，，且，则椭圆E的离心率为（ ） A. B. C. D. 8. 三棱锥中，，，直线与平面所成角的正弦值为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 设椭圆的左，右焦点分别为是上的动点，则（ ） A. B. 的最大值为9 C. 的面积的最大值为12 D. 存在点，使得 10. 将正方形沿对角线折成直二面角，下列结论中正确的是（ ） A. B. C. 与平面所成的角为 D. 与所成的角为 11. 已知圆：和圆：，点Q是圆上的动点，则（ ） A. 与圆、圆都相切的直线有四条 B. 若圆上到直线的距离为的点有4个，则m的取值范围是 C. 过点Q作圆的两条切线，切点分别为M和N，则 D. 已知，，若点B为圆上一动点，则的最小值为2 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量为单位向量，，则向量在向量方向上投影的数量为_____. 13. 已知圆心在直线上，且，都是圆上的点，则圆的标准方程为______. 14. 已知圆台的上、下底面半径分别为和，母线长为.若该圆台内部有一个球，则球的半径的最大值为_____；若该圆台内部有一个正方体，且底面在圆台的下底面内，当正方体的棱长最大时，以为球心，半径为的球与正方体表面交线的长度为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知，，. （1）求与夹角的余弦值； （2）若，求的模. 16. 如图，在直三棱柱中，，，，，D，E分别是，的中点. （1）证明：平面平面； （2）求二面角的余弦值. 17. 在平面直角坐标系中，O为坐标原点，，，满足条件的点P的轨迹为C. （1）求C的轨迹方程； （2）点M为直线：上的动点，过M作C的两条切线，切点分别为E，F，当四边形的面积最小时，求直线的方程. 18. 如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点的五面体中，四边形与四边形均为等腰梯形，，，，，，，M为的中点，设平面与平面的交线为. （1）证明：平面； （2）证明：平面平面； （3）设H为上的动点，当与平面所成角的正弦值最大时，求的长. 19. 球面三角学是球面几何学的一部分，主要研究球面多边形（特别是三角形）的角、边、面积等问题，其在航海、航空、卫星定位等方面都有广泛的应用.定义：球的直径的两个端点称为球的一对对径点；过球心的平面与球面的交线称为该球的大圆；对于球面上不在同一个大圆上的点A，B，C，过任意两点的大圆上的劣弧，，所组成的图形称为球面，记其面积为.易知：球的任意两个大圆均可交于一对对径点，如图1的A和；若球面上A，B，C，的对径点分别为，，，则球面与球面全等.如图2，已知球O的半径为R，圆弧和所在平面交成的锐二面角的大小为，圆弧和所在平面、圆弧和所在平面交成的锐二面角的大小分别为，.记. （1）请写出，的值，并猜测函数的表达式； （2）（i）当时，球面的面积为________（只写结果）. （ⅱ）用，，，表示； （3）若将图一中四面体截出得到图二，若平面三角形为直角三角形，，设，，，求证：. 2024—2025学年上学期期中质量监测 高二数学 2024.11 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 【1题答案】 【答案】D 【2题答案】 【答案】B 【3题答案】 【答案】C 【4题答案】 【答案】A 【5题答案】 【答案】A 【6题答案】 【答案】C 【7题答案】 【答案】B 【8题答案】 【答案】C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 【9题答案】 【答案】BCD 【10题答案】 【答案】ABD 【11题答案】 【答案】ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 【12题答案】 【答案】## 【13题答案】 【答案】 【14题答案】 【答案】 ①. ## ②. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 【15题答案】 【答案】（1） （2） 【16题答案】 【答案】（1）证明：由直三棱柱性质，以及D，E分别是，的中点， 所以，即四边形为平行四边形， 可得， 又平面，平面，所以平面； 又易知，即四边形为平行四边形, 可得， 又平面，平面，所以平面； 显然平面， 所以平面平面； （2） 【17题答案】 【答案】（1） （2） 【18题答案】 【答案】（1）证明：由，为的中点， 得，则四边形为平行四边形，， 而平面平面，则平面，又平面， 平面平面，因此，而平面，平面， 所以平面. （2）证明：作交于，连接， 由四边形为等腰梯形，，，得， 由（1）知，，又，则为等边三角形，，为中点， 又四边形为等腰梯形，为中点，则， 四边形为平行四边形，，于是为等腰三角形，， ，有，因此， 平面，则平面，而平面， 所以平面平面. （3）. 【19题答案】 【答案】（1），，猜测. （2）（i）；（ii） （3） 由余弦定理可得： ，且， 所以， 即，消去， 则有:， 即； 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $