27.2.1相似三角形的判定 知识梳理及同步练习 -2023-—2024学年人教版数学九年级下册

27.2.1相似三角形的判定知识梳理及同步练习 人教版2024—2025学年九年级下册 知识点一：相似三角形 1、相似三角形的概念：对应角相等，对应边的比相等的两个三角形是相似三角形。三角形相似具有传递性。 2、相似比的概念：相似三角形对应边的比叫做相似比。相似三角形对应边的比是有顺序的。 3、相似三角形与全等三角形的关系： 相似三角形不一定是全等三角形，但全等三角形一定是相似三角形。 若两个相似三角形的相似比是1，则这两个三角形是全等三角形，由此可见，全等三角形是相似三角形的一种特例。 考点一：相似三角形的判定1：定义：对应角相等，对应边成比例的两个三角形相似。（基本不用） 考点二：相似三角形的判定2：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。 例1、如图 ，梯形ABCD中，AB∥CD，点在上，连与的延长线交于点G。 （1）求证：； （2）当点F是BC的中点时，过F作交于点，若，求的长。 变式1、如图，AB//CD，AE//FD，AE、FD分别交BC于点G、H，则图中共有相似三角形（ ） A、4对 B、5对 C、6对 D、7对 变式2、如图，在△ABC的边AB、AC、BC上分别取点E、D、F，使四边形AEDF是一个菱形，若AB=15 cm，BC=12 cm，那么菱形的边长是多少？ 变式3、如图所示，梯形ABCD中，AB∥CD，且AB=2CD，E、F分别是AB、BC的中点，EF与BD相交于点M。 （1）求证：△EDM∽△FBM； （2）若DB=9，求BM。 （3）若△BFM的面积为1，求梯形的面积。 变式4、如图：AD∥EG∥BC，EG交DB于点F，已知AD＝6，BC＝8，AE＝6，EF＝2． （1）求EB的长； （2）求FG的长． 考点三：相似三角形的判定3：如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似。 例2、判断图中两三角形是否相似，简单说明理由。 变式1、下列四个三角形，与左图中的三角形相似的是（ ） A、 B、 C、 D、 考点四：相似三角形的判定4：如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似。 例3、如图所示，已知在正方形ABCD中，P是BC上的一点，且BP=3PC，Q是CD的中点。 求证：△ADQ∽△QCP。 变式1、如图，点E，F分别在正方形ABCD的边BC，CD上，BE＝3，EC＝6，CF＝2．求证：△ABE∽△ECF． 变式2、如图，在△ABC中，AB＝AC＝1，BC＝，在AC边上截取AD＝BC，连接BD． （1）通过计算，判断AD2与AC•CD的大小关系； （2）求∠ABD的度数． 变式3、如图，△ABC中，D是BC上一点，已知AC=15，BC=9，CD=3，在AC上找一点E，使△CDE与原三角形相似，求CE的长。 变式4、如图，点T在O上，延长O的直径AB交TP于P，若PA=18，PT=l2，PB=8。 （1）求证：△PTB∽△PAT； （2）求证：PT为圆O的切线； （3）在弧AT上是否存在一点C，使得BT2=8TC?若存在，请证明；若不存在，请说明理由。 变式5、如图，在四边形ABCD中，AC，BD相交于点E，点F在BD上，且∠BAF＝∠DBC，． （1）求证：△ABC∽△AFD； （2）若AD＝2，BC＝5，△ADE的面积为4，求△BCE的面积． 考点五：相似三角形的判定5：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。 例4、如图，△ABC为正三角形，D、E分别是AC、BC上的点（不在顶点），∠BDE=60°。 （1）求证：△DEC∽△BDA； （2）若正三角形的边长为4，并设DC=，BE=，试求与之间的函数关系式。 变式1、如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC边上一点，E为AC 边上一点，且∠ADE＝∠B． （1）求证：△ABD∽△DCE； （2）若AC＝8，BC＝6，CE＝1，求BD的长． 变2、如图，在△ABC中，D，E分别是边AB，AC上的点，连接DE，且∠ADE＝∠ACB． （1）求证：△ADE∽△ACB； （2）若AD＝2DB，AE＝4，AC＝9，求BD的长． 变式3、已知：如图，△ABC是等边三角形，点D、E分别在边BC、AC上，∠ADE＝60°． （1）求证：△ABD∽△DCE； （2）如果AB＝3，EC＝，求DC的长． 变式4、如图，△ABC内接于⊙O，AD是△ABC的边BC上的高，AE是⊙O的直径，连接BE，△ABE与△ADC相似吗？请证明你的结论。 考点六：相似三角形的判定6：直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形都相似（此知识常用，但用时需要证明）。 例5、如图，∠BAC=90°，AD⊥BC于点D，求证：。 课后练习 1、如图所示，在矩形ABCD中，E为边CD上一点，且AE⊥BD． （1）求证：AD2＝DE•DC； （2）F为线段AE延长线上一点，且满足，求证：CE＝AD． 2、如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，对角线AC与BD相交于点O，点F为BC的中点，连接AF与BD相交于点E，连接CE并延长交AB于点G． （1）证明：△BEF∽△BCO； （2）证明：△BEG≌△AEG． 3、如图，△ABC中，AD是∠BAC的平分线，AD的垂直平分线交AD于点E，交BC 的延长线于点F。求证：△ABF∽△CAF。 4、正方形边长为4，、分别是、上的两个动点，当点在上运动时，保持和垂直， （1）证明：； （2）设，梯形的面积为，求与之间的函数关系式；当点运动到什么位置时，四边形面积最大，并求出最大面积； （3）当点运动到什么位置时，求此时的值。 5、如图1，在△ABC中，BD平分∠ABC，BD＝CD，AB＝4，AC＝6． （1）求CD的长； （2）如图2，在（1）的条件下，E为BC上的点，作∠AEF＝∠ABC交AC于点F，AE、BD相交于点G． ①求证：△ABG∽△ECF； ②若BG＝2CF，求． 6、如图，AB是⊙O的直径，△ACD内接于⊙O，＝，AB，CD的延长线相交于点E，且DE＝AD． （1）求证：△CAD∽△CEA； （2）求∠ADC的度数． 7、如图，在⊙O中，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点E，． （1）求证：△ACD∽△ECB； （2）若AC＝3，BC＝1，求CE的长． 8、如图，点C在以AB为直径的⊙O上，过点C作⊙O的切线l，过点A作AD⊥l，垂足为D，连接AC、BC． （1）求证：△ABC∽△ACD； （2）若AC＝5，CD＝4，求⊙O的半径． 学科网（北京）股份有限公司 $$