专题1.4 代数式全章知识典例详解（必考点分类集训）-【新教材】2024-2025学年七年级数学上册必考点分类集训系列（浙教版2024）

专题1.4 代数式全章知识典例详解 【浙教版2024】 知识点1 代数式 1．用含字母的式子表示数 用字母或含有字母的式子表示数和数量关系,为我们今后的学习和研究带来了极大的方便. 用含字母的式子表示数的书写规则: （1）字母与字母相乘时, “×”号通常省略不写或写成“·”; （2）字母与数相乘时,数通常写在字母的前面; （3）带分数与字母相乘时,通常化带分数为假分数; （4）字母与字母相除时,要写成分数的形式； （5）当式子为几个数的和或差的形式,且结果带单位时,式子整体加括号. 2．代数式的概念 用运算符号把数或表示数的字母连接起来的式子叫作代数式.单独的一个数或字母也是代数式. 3．代数式的意义 根据生活实际将给定的代数式的意义用语言叙述出来,就是将代数式的字母及运算符号赋予具体的含义. 4．列代数式 把简单的与数量有关的词语用代数式表示出来叫作列代数式.例如:用代数式表示:a与a减去b的差的商,其中运算词“差”表示的数量关系是a减去b，列成式子a-b，运算词“商”表示的数量关系是a除以“差”，即（填完整的代数式）. 【典例1】在π，x2+2，1﹣2x＝0，，ab，a＞3，0，中，代数式有（　　） A．6个 B．5个 C．4个 D．3个 【典例2】下列式子中，符合代数式书写格式的有（　　） ①m×n；②3ab；③；④m+2天；⑤abc3 A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【典例3】用代数式表示“a的2倍与b的平方的和”，正确的是（　　） A．（2a+b）2 B．2（a+b）2 C．2a+b2 D．（a+2b）2 【典例4】小咏用现金买了8支相同的签字笔，找回了（50﹣8a）元，有下列两种说法： 说法Ⅰ：若小咏原有现金50元，则每支签字笔a元； 说法Ⅱ：若每支签字笔2a元，则小咏原有现金50+8a元． 则下面判断正确的是（　　） A．Ⅰ对Ⅱ错 B．Ⅰ错Ⅱ对 C．Ⅰ与Ⅱ都对 D．Ⅰ与Ⅱ都错 【典例5】x表示一个两位数，把6写到x的右边组成一个三位数，则表示这个三位数的式子是（　　） A．6x B．10x+6 C．100x+6 D．600+x 【典例6】超市出售某商品，先在原标价a的基础上提价20%，再打8折，则商品现售价为（　　） A．0.2×（1+20%）a B．0.2×（1﹣20%）a C．0.8×（1+20%）a D．0.8×（1﹣20%）a 【典例7】如图，已知圆环内直径为a厘米，外直径为b厘米，将9个这样的圆环一个接一个环套地连成一条锁链，那么这条锁链拉直后的长度为（　　） A．（8a+b）厘米 B．（8b+a）厘米 C．（9a﹣b）厘米 D．（9b﹣a）厘米 【典例8】小明在超市买回若干个相同的纸杯，他把纸杯整齐地叠放在一起．如图①，3个纸杯的高度为11cm；如图②，5个纸杯的高度为13cm．若把n个这样的纸杯叠放在一起，则高度为（　　） A．（n+10）cm B．（n+8）cm C．（2n+5）cm D．（2n+3）cm 知识点2 代数式的值 1．代数式的值的概念 用数值代替代数式中的字母,按照代数式中的运算关系计算得出的结果,叫作代数式的值.这个过程叫作求代数式的值. 2．求代数式的值的步骤 求代数式的值有代入和计算两步. 第一步:用数值代替代数式里的字母,简称“代入”.代入时,将相应的字母换成已给定的或已算出来的数值,其他的运算符号、原来的数字及运算顺序都不改变. 第二步:按照代数式中给出的运算,计算出结果,简称“计算”.代入的值不同,最后计算出的结果也可能不同. 【典例1】当x＝﹣1，y＝3时，代数式x3﹣2y的值为（　　） A．﹣7 B．﹣5 C．4 D．7 【典例2】若3x2+4x+1＝0，则代数式6x2+8x+2024的值是（　　） A．2021 B．2022 C．2023 D．2024 【典例3】若x﹣3y＝﹣4，则（x﹣3y）2+2x﹣6y﹣10的值为（　　） A．14 B．2 C．﹣18 D．﹣2 【典例4】如图是一个运算程序的示意图，如果第一次输入x的值为1024；那么第2024次输出的结果为（　　） A．64 B．16 C．4 D．1 【典例5】如图是某一长方形闲置空地，宽为3a米，长为b米．为了美化环境，准备在这个长方形空地的四个顶点处分别修建一个半径a米的扇形花圃（阴影部分），然后在花圃内种花，中间修一条长b米，宽a米的小路，剩余部分种草． （1）小路的面积为 　 　平方米；种花的面积为 　 　平方米；（结果保留π） （2）请计算该长方形场地上种草的面积；（结果保留π） （3）当a＝2，b＝10时，请计算该长方形场地上种草的面积．（π取3.14，结果精确到1） 知识点3 整式 1．单项式 （1）单项式的定义：像，，，等，都是数与字母的乘积，这样的代数式叫做单项式，单独的一个数或字母也是单项式． （2）单项式的系数：单项式中的数字因数叫做单项式的系数． 【注】 ①系数包括单项式前面的符号； ②只含有字母因数的单项式的系数是1或； ③是一个数，不要将它当作字母． （3）单项式的次数：单项式中所有字母的指数和．单独一个非零数的次数是0． 【例】 ①3，a，，，，0.15a，都是单项式； ②单项式的系数是，的系数是； ③单项式的次数为四，的次数为六；9的次数是零． 2．多项式 多项式：几个单项式的和叫做多项式． 多项式的项：在多项式中，每个单项式叫做多项式的项. 多项式的次数：一个多项式中，次数最高项的次数，叫做这个多项式的次数． 多项式的命名：关于某字母的几次几项式． 【注】 ①多项式中的各项包括它前面的符号； ②书写多项式时，通常把各项按照某个字母降幂排列． 【例】 ①是多项式； ②的各项是、、； ③次数是四次； ④是关于x的二次二项式，是关于x、y的四次三项式，是关于x、y的五次四项式； ⑤是按x的降幂排列；是按x的升幂排列． 3．整式 整式：单项式和多项式统称为整式． 【例】a，，，是整式． 【典例1】下列代数式：（1）mn，（2）m，（3），（4），（5）2m+1，（6），（7），（8）x2+2x，（9）y3﹣5y中，整式有 　 　个． 【典例2】下列各式：，2x﹣1，，，，a2+2ab+b2，，y3中单项式的个数有　 　个，多项式有　　个． 【典例3】单项式的系数是 　　，次数是 　 　． 【典例4】把多项式2x4﹣y4+3x3y﹣2xy2﹣5x2y3按照x的降幂排列是 　 　． 【典例5】已知（m﹣2）x3y|m|+1是关于x，y的六次单项式，则m＝　 　． 【典例6】若多项式2x|a﹣1|﹣（a﹣3）x+7是关于x的二次三项式，则a的值为 　 　． 【典例7】若关于x，y的多项式x3+2xm+1y3+nx2y2的次数与关于a，b的单项式﹣4a4b3的次数相同，且单项式的系数与多项式中次数为4的项的系数相同，则mn的值为 　 　． 知识点4 整式的加减 1．同类项 定义：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，这样的项叫做同类项． 同类项中所含字母可以看成是数字、单项式、多项式等． 【注】 ①一是所含字母相同，二是相同字母的指数也相同，两者缺一不可； ②同类项与系数的大小无关； ③同类项与它们所含的字母顺序无关； ④所有常数项都是同类项． 2．合并同类项 合并同类项的定义：把多项式中同类项合成一项，叫做合并同类项． 合并同类项的法则：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变． 【注】 ①要掌握同类项的概念，会辨别同类项，并准确地掌握判断同类项的两条标准：带有相同系数的代数项；字母和字母指数； ②明确合并同类项的含义是把多项式中的同类项合并成一项，经过合并同类项，式的项数会减少，达到化简多项式的目的； ③“合并”是指同类项的系数的相加，并把得到的结果作为新的系数，要保持同类项的字母和字母的指数不变． 3．去括号、添括号： ①括号前是“+”号，把括号和它前面的“+”号去掉后，原括号里各项的符号都不改变； ②括号前是“”号，把括号和它前面的“”号去掉后，原括号里各项的符号都要改变． 【注】合并同类项和去括号都只是改变了原来式子的形式，并没有改变式子的值. 4．整式的加减： 几个整式相加减，通常用括号把每一个整式括起来，再用加减号连接；然后去括号、合并同类项． 【规律方法】整式的加减步骤及注意问题 ①整式的加减的实质就是去括号、合并同类项．一般步骤是：先去括号，然后合并同类项． ②去括号时，要注意两个方面：一是括号外的数字因数要乘括号内的每一项；二是当括号外是“-”时，去括号后括号内的各项都要改变符号． 5．整式的化简求值： 整式的化简求值是以整式加减为基础的，具体步骤为： 化：通过去括号、合并同类项将整式化简； 代：把已知的字母或某个整式的取值代入化简后的式子； 算：依据有理数的混合运算和法则进行计算. 【典例1】下列各组单项式中，不是同类项的是（　　） A．3x2y3与 B．﹣2a与15a C．与 D．﹣3与 【典例2】下列计算正确的是（　　） A．2a﹣a＝2 B．2a2+3a2＝5a4 C．3xy2+4xy2＝7xy2 D．3m2n﹣3mn2＝0 【典例3】去括号正确的是（　　） A．a2﹣（a﹣b+c）＝a2﹣a﹣b+c B．5+a﹣2（3a﹣5）＝5+a﹣6a+10 C．3a（3a2﹣2a）＝3a﹣a2a D．a3﹣[a2﹣（﹣b）]＝a3﹣a2+b 【典例4】（﹣a+2b+3c）（a+2b﹣3c）＝[2b﹣（　 　）][2b+（a﹣3c）]． 【典例5】若单项式与的差仍是单项式，则m﹣n＝　 　． 【典例6】若一个多项式加上y2+3xy﹣4，结果是3xy+2y2﹣5，则这个多项式为 ． 【典例7】多项式4x2﹣3x+7与多项式5x3+（m﹣2）x2﹣2x+3相减后，结果不含x2项，则常数m的值为 　 　． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题1.4 代数式全章知识典例详解 【浙教版2024】 知识点1 代数式 1．用含字母的式子表示数 用字母或含有字母的式子表示数和数量关系,为我们今后的学习和研究带来了极大的方便. 用含字母的式子表示数的书写规则: （1）字母与字母相乘时, “×”号通常省略不写或写成“·”; （2）字母与数相乘时,数通常写在字母的前面; （3）带分数与字母相乘时,通常化带分数为假分数; （4）字母与字母相除时,要写成分数的形式； （5）当式子为几个数的和或差的形式,且结果带单位时,式子整体加括号. 2．代数式的概念 用运算符号把数或表示数的字母连接起来的式子叫作代数式.单独的一个数或字母也是代数式. 3．代数式的意义 根据生活实际将给定的代数式的意义用语言叙述出来,就是将代数式的字母及运算符号赋予具体的含义. 4．列代数式 把简单的与数量有关的词语用代数式表示出来叫作列代数式.例如:用代数式表示:a与a减去b的差的商,其中运算词“差”表示的数量关系是a减去b，列成式子a-b，运算词“商”表示的数量关系是a除以“差”，即（填完整的代数式）. 【典例1】在π，x2+2，1﹣2x＝0，，ab，a＞3，0，中，代数式有（　　） A．6个 B．5个 C．4个 D．3个 【分析】根据代数式的定义，代数式是有数和字母组成，表示加、减、乘、除、乘方、开方等运算的式子，或含有字母的数学表达式，注意不能含有＝、＜、＞、≤、≥、≈、≠等符号进行解答即可． 【解答】解：∵1﹣2x＝0，a＞3，含有＝和＞，所以不是代数式， ∴代数式的有π，x2+2，，ab，0，，共6个． 故选：A． 【典例2】下列式子中，符合代数式书写格式的有（　　） ①m×n；②3ab；③；④m+2天；⑤abc3 A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【分析】根据代数式的书写要求判断各项． 【解答】解：①正确的书写格式是mn； ②正确的书写格式是ab； ③的书写格式是正确的， ④正确的书写格式是（m+2）天； ⑤的书写格式是正确的． 故选：A． 【典例3】用代数式表示“a的2倍与b的平方的和”，正确的是（　　） A．（2a+b）2 B．2（a+b）2 C．2a+b2 D．（a+2b）2 【分析】先求倍数，然后求平方，再求和． 【解答】解：用代数式表示“a的2倍与b的平方的和”为2a+b2， 故选：C． 【典例4】小咏用现金买了8支相同的签字笔，找回了（50﹣8a）元，有下列两种说法： 说法Ⅰ：若小咏原有现金50元，则每支签字笔a元； 说法Ⅱ：若每支签字笔2a元，则小咏原有现金50+8a元． 则下面判断正确的是（　　） A．Ⅰ对Ⅱ错 B．Ⅰ错Ⅱ对 C．Ⅰ与Ⅱ都对 D．Ⅰ与Ⅱ都错 【分析】根据题中的条件，计算出每支签字笔的价钱和小咏原有的现金，即可进行选择． 【解答】解：每支签字笔的价钱：50﹣（50﹣8a）＝8a，8a÷8＝a（元）； 小咏原有现金：2a×8+50﹣8a＝（50+8a）元， ∴Ⅰ与Ⅱ都对，故C符合题意， 故选：C． 【典例5】x表示一个两位数，把6写到x的右边组成一个三位数，则表示这个三位数的式子是（　　） A．6x B．10x+6 C．100x+6 D．600+x 【分析】x原来的最高位是十位，现在扩大了10倍，而6写到x的右边组成一个三位数，6成为三位数的个位，即可得出结果． 【解答】解：根据题意可知，x表示一个两位数，把6写到x的右边组成一个三位数， ∴相当于将x扩大了10倍， ∴表示这个三位数的式子是10x+6， 故答案为：B． 【典例6】超市出售某商品，先在原标价a的基础上提价20%，再打8折，则商品现售价为（　　） A．0.2×（1+20%）a B．0.2×（1﹣20%）a C．0.8×（1+20%）a D．0.8×（1﹣20%）a 【分析】根据售价＝原价×（1+提价率）×折数÷10即可求解． 【解答】解：根据售价＝原价×（1+提价率）×折数÷10， 得售价为：a（1+20%）×8÷10＝0.8×（1+20%）a， 故选：C． 【典例7】如图，已知圆环内直径为a厘米，外直径为b厘米，将9个这样的圆环一个接一个环套地连成一条锁链，那么这条锁链拉直后的长度为（　　） A．（8a+b）厘米 B．（8b+a）厘米 C．（9a﹣b）厘米 D．（9b﹣a）厘米 【分析】画出相应图形，得到一定个数圆环长度和的规律，进而得到9个圆环的长度即可． 【解答】解：如图：当圆环个数为3个时，链长为：3a2＝b+2a， 当圆环个数为9时，链长为9a+2（8a+b）（cm）， 故答案选：A． 【典例8】小明在超市买回若干个相同的纸杯，他把纸杯整齐地叠放在一起．如图①，3个纸杯的高度为11cm；如图②，5个纸杯的高度为13cm．若把n个这样的纸杯叠放在一起，则高度为（　　） A．（n+10）cm B．（n+8）cm C．（2n+5）cm D．（2n+3）cm 【分析】根据题意可以求得每增加一个水杯增加的高度，然后根据题目中的数据即可求得把n个这样的杯子叠放在一起，高度是多少，本题得以解决． 【解答】解：由题意可得， 每增加一个水杯，增加的高度是（13﹣11）÷（5﹣3）＝2÷2＝1cm， ∴把n个这样的杯子叠放在一起，高度为：11+（n﹣3）×1＝11+n﹣3＝（n+8）cm， 故选：B． 知识点2 代数式的值 1．代数式的值的概念 用数值代替代数式中的字母,按照代数式中的运算关系计算得出的结果,叫作代数式的值.这个过程叫作求代数式的值. 2．求代数式的值的步骤 求代数式的值有代入和计算两步. 第一步:用数值代替代数式里的字母,简称“代入”.代入时,将相应的字母换成已给定的或已算出来的数值,其他的运算符号、原来的数字及运算顺序都不改变. 第二步:按照代数式中给出的运算,计算出结果,简称“计算”.代入的值不同,最后计算出的结果也可能不同. 【典例1】当x＝﹣1，y＝3时，代数式x3﹣2y的值为（　　） A．﹣7 B．﹣5 C．4 D．7 【分析】将x＝﹣1，y＝3代入计算即可得． 【解答】解：将x＝﹣1，y＝3代入得：x3﹣2y＝（﹣1）3﹣2×3＝﹣1﹣6＝﹣7， 故选：A． 【典例2】若3x2+4x+1＝0，则代数式6x2+8x+2024的值是（　　） A．2021 B．2022 C．2023 D．2024 【分析】由已知条件可得3x2+4x＝﹣1，将原式变形后代入数值计算即可． 【解答】解：∵3x2+4x+1＝0， ∴3x2+4x＝﹣1， ∴6x2+8x+2024 ＝2（3x2+4x）+2024 ＝2×（﹣1）+2024 ＝2022， 故选：B． 【典例3】若x﹣3y＝﹣4，则（x﹣3y）2+2x﹣6y﹣10的值为（　　） A．14 B．2 C．﹣18 D．﹣2 【分析】直接将原式变形，进而代入已知得出答案． 【解答】解：∵x﹣3y＝﹣4， ∴（x﹣3y）2+2x﹣6y﹣10 ＝（﹣4）2+2（x﹣3y）﹣10 ＝16+2×（﹣4）﹣10 ＝16﹣8﹣10 ＝﹣2． 故选：D． 【典例4】如图是一个运算程序的示意图，如果第一次输入x的值为1024；那么第2024次输出的结果为（　　） A．64 B．16 C．4 D．1 【分析】计算出前8次的输出结果，找出规律，利用规律求解． 【解答】解：由题意知，第1次输入x的值为1024时， 第1次输出的结果为：， 第2次输出的结果为：， 第3次输出的结果为：， 第4次输出的结果为：， 第5次输出的结果为：， 第6次输出的结果为：1+3＝4， 第7次输出的结果为：， 第8次输出的结果为：1+3＝4， …… 以此类推可知，从第5次输出结果开始，奇数次输出结果为1，偶数次输出结果为4， 因此第2024次输出的结果为4， 故选：C． 【典例5】如图是某一长方形闲置空地，宽为3a米，长为b米．为了美化环境，准备在这个长方形空地的四个顶点处分别修建一个半径a米的扇形花圃（阴影部分），然后在花圃内种花，中间修一条长b米，宽a米的小路，剩余部分种草． （1）小路的面积为 　 　平方米；种花的面积为 　 　平方米；（结果保留π） （2）请计算该长方形场地上种草的面积；（结果保留π） （3）当a＝2，b＝10时，请计算该长方形场地上种草的面积．（π取3.14，结果精确到1） 【分析】（1）利用长方形和扇形面积公式求解； （2）根据种草的面积是整个长方形的面积减去小路面积和扇形花圃面积即可； （3）由此利用已知数据求出种草的面积即可． 【解答】解：（1）依题意得小路的面积为ab平方米，种花的面积为平方米， 故答案为：ab，πa2； （2）该长方形场地上种草的面积为： 3a⋅b﹣ab﹣πa2＝（2ab﹣πa2）平方米， 故长方形场地上种草的面积为（2ab﹣πa2）平方米； （3）当a＝2，b＝10时，2ab﹣πa2≈2×2×10﹣3.14×2×2＝27.44≈27平方米． 答：该长方形场地上种草的面积为27平方米． 知识点3 整式 1．单项式 （1）单项式的定义：像，，，等，都是数与字母的乘积，这样的代数式叫做单项式，单独的一个数或字母也是单项式． （2）单项式的系数：单项式中的数字因数叫做单项式的系数． 【注】 ①系数包括单项式前面的符号； ②只含有字母因数的单项式的系数是1或； ③是一个数，不要将它当作字母． （3）单项式的次数：单项式中所有字母的指数和．单独一个非零数的次数是0． 【例】 ①3，a，，，，0.15a，都是单项式； ②单项式的系数是，的系数是； ③单项式的次数为四，的次数为六；9的次数是零． 2．多项式 多项式：几个单项式的和叫做多项式． 多项式的项：在多项式中，每个单项式叫做多项式的项. 多项式的次数：一个多项式中，次数最高项的次数，叫做这个多项式的次数． 多项式的命名：关于某字母的几次几项式． 【注】 ①多项式中的各项包括它前面的符号； ②书写多项式时，通常把各项按照某个字母降幂排列． 【例】 ①是多项式； ②的各项是、、； ③次数是四次； ④是关于x的二次二项式，是关于x、y的四次三项式，是关于x、y的五次四项式； ⑤是按x的降幂排列；是按x的升幂排列． 3．整式 整式：单项式和多项式统称为整式． 【例】a，，，是整式． 【典例1】下列代数式：（1）mn，（2）m，（3），（4），（5）2m+1，（6），（7），（8）x2+2x，（9）y3﹣5y中，整式有 　 　个． 【分析】利用整式的定义判断得出即可． 【解答】解：（1），（2）m，（3），（5）2m+1，（6），（8）x2+2x都是整式， 故整式有（1）、（2）、（3）、（5）、（6）、（8）6个． 故答案为：6． 【典例2】下列各式：，2x﹣1，，，，a2+2ab+b2，，y3中单项式的个数有　 　个，多项式有　　个． 【分析】直接利用多项式以及单项式的定义分析得出答案． 【解答】解：，2x﹣1，，，，a2+2ab+b2，，y3中单项式的个数有： ，，，共3 个， 多项式有：2x﹣1，a2+2ab+b2，，共3个． 故答案为：3，3． 【典例3】单项式的系数是 　　，次数是 　 　． 【分析】直接利用单项式的次数与系数的定义分析得出答案． 【解答】解：单项式是，次数为2+3＝5． 故答案为：，5． 【典例4】把多项式2x4﹣y4+3x3y﹣2xy2﹣5x2y3按照x的降幂排列是 　 　． 【分析】把多项式按照某个字母的降幂排列即是按照这个字母的指数由高到低排列． 【解答】解：把多项式2x4﹣y4+3x3y﹣2xy2﹣5x2y3按照x的降幂排列是2x4+3x3y﹣5x2y3﹣2xy2﹣y4， 故答案为：2x4+3x3y﹣5x2y3﹣2xy2﹣y4． 【典例5】已知（m﹣2）x3y|m|+1是关于x，y的六次单项式，则m＝　 　． 【分析】根据单项式系数、次数的定义求解即可． 【解答】解：∵（m﹣2）x3y|m|+1是关于x，y的六次单项式， ∴|m|+1+3＝6且m﹣2≠0， ∴m＝±2且m≠2， ∴m＝﹣2， 故答案为：﹣2． 【典例6】若多项式2x|a﹣1|﹣（a﹣3）x+7是关于x的二次三项式，则a的值为 　 　． 【分析】根据多项式2x|a﹣1|﹣（a﹣3）x+7是关于x的二次三项式可知|a﹣1|＝2且a﹣3≠0，解方程和不等式，求出m即可． 【解答】解：∵多项式2x|a﹣1|﹣（a﹣3）x+7是关于x的二次三项式， ∴， 由①得：a﹣1＝±2， a＝3或﹣1， 由②得：a≠3， ∴a＝﹣1， 故答案为：﹣1． 【典例7】若关于x，y的多项式x3+2xm+1y3+nx2y2的次数与关于a，b的单项式﹣4a4b3的次数相同，且单项式的系数与多项式中次数为4的项的系数相同，则mn的值为 　 　． 【分析】直接利用多项式的项和次数以及单项式的系数与次数确定方法分别得出m，n的值，进而得出答案． 【解答】解：∵单项式﹣4a4b3的系数为﹣4，次数为7次， 又∵多项式x3+2xm+1y3+nx2y2的项为：x3、2xm+1y3、2nx2y2，其次数分别为3次、（m+4）次、4次； ∵关于x，y的多项式x3+2xm+1y3+nx2y2的次数与关于a，b的单项式﹣4a4b3的次数相同， ∴m+4＝7，解得m＝3， ∵单项式的系数与多项式中次数为4的项的系数相同， ∴n＝﹣4， ∴mn＝3×（﹣4）＝﹣12． 故答案为：﹣12． 知识点4 整式的加减 1．同类项 定义：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，这样的项叫做同类项． 同类项中所含字母可以看成是数字、单项式、多项式等． 【注】 ①一是所含字母相同，二是相同字母的指数也相同，两者缺一不可； ②同类项与系数的大小无关； ③同类项与它们所含的字母顺序无关； ④所有常数项都是同类项． 2．合并同类项 合并同类项的定义：把多项式中同类项合成一项，叫做合并同类项． 合并同类项的法则：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变． 【注】 ①要掌握同类项的概念，会辨别同类项，并准确地掌握判断同类项的两条标准：带有相同系数的代数项；字母和字母指数； ②明确合并同类项的含义是把多项式中的同类项合并成一项，经过合并同类项，式的项数会减少，达到化简多项式的目的； ③“合并”是指同类项的系数的相加，并把得到的结果作为新的系数，要保持同类项的字母和字母的指数不变． 3．去括号、添括号： ①括号前是“+”号，把括号和它前面的“+”号去掉后，原括号里各项的符号都不改变； ②括号前是“”号，把括号和它前面的“”号去掉后，原括号里各项的符号都要改变． 【注】合并同类项和去括号都只是改变了原来式子的形式，并没有改变式子的值. 4．整式的加减： 几个整式相加减，通常用括号把每一个整式括起来，再用加减号连接；然后去括号、合并同类项． 【规律方法】整式的加减步骤及注意问题 ①整式的加减的实质就是去括号、合并同类项．一般步骤是：先去括号，然后合并同类项． ②去括号时，要注意两个方面：一是括号外的数字因数要乘括号内的每一项；二是当括号外是“-”时，去括号后括号内的各项都要改变符号． 5．整式的化简求值： 整式的化简求值是以整式加减为基础的，具体步骤为： 化：通过去括号、合并同类项将整式化简； 代：把已知的字母或某个整式的取值代入化简后的式子； 算：依据有理数的混合运算和法则进行计算. 【典例1】下列各组单项式中，不是同类项的是（　　） A．3x2y3与 B．﹣2a与15a C．与 D．﹣3与 【分析】所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，这样的项叫做同类项． 【解答】解：A、符合同类项的定义，是同类项； B、符合同类项的定义，是同类项； C、相同字母的指数不相同，不是同类项； D、符合同类项的定义，是同类项； 故选：C． 【典例2】下列计算正确的是（　　） A．2a﹣a＝2 B．2a2+3a2＝5a4 C．3xy2+4xy2＝7xy2 D．3m2n﹣3mn2＝0 【分析】根据同类项的定义进行逐项判断即可． 【解答】解：A、2a﹣a＝a，故该项不正确，不符合题意； B、2a2+3a2＝5a2，故该项不正确，不符合题意； C、3xy2+4xy2＝7xy2，故该项正确，符合题意； D、3m2n与3mn2不是同类项，不能进行相加，故该项不正确，不符合题意； 故选：C． 【典例3】去括号正确的是（　　） A．a2﹣（a﹣b+c）＝a2﹣a﹣b+c B．5+a﹣2（3a﹣5）＝5+a﹣6a+10 C．3a（3a2﹣2a）＝3a﹣a2a D．a3﹣[a2﹣（﹣b）]＝a3﹣a2+b 【分析】根据负正得负，负负得正，正正得正即可进行各选项的判断，从而得出答案． 【解答】解：A、a2﹣（a﹣b+c）＝a2﹣a+b+c，故本选项错误； B、5+a﹣2（3a﹣5）＝5+a﹣6a+10，故本选项正确； C、3a（3a2﹣2a）＝3a﹣a2a，故本选项错误； D、a3﹣[a2﹣（﹣b）]＝a3﹣a2﹣b，故本选项错误． 故选：B． 【典例4】（﹣a+2b+3c）（a+2b﹣3c）＝[2b﹣（　 　）][2b+（a﹣3c）]． 【分析】原式利用去括号与添括号法则计算即可． 【解答】解：（﹣a+2b+3c）（a+2b﹣3c）＝[2b﹣（ a﹣3c）][2b+（a﹣3c）]． 故答案为：a﹣3c． 【典例5】若单项式与的差仍是单项式，则m﹣n＝　 　． 【分析】利用同类项的定义，可得到相应的式子，从而求得m，n的值，即可求解． 【解答】解：∵单项式与的差仍是单项式， ∴单项式与属于同类项， ∴m＝2，n+1＝4， 解得：m＝2，n＝3， ∴m﹣n＝2﹣3＝﹣1． 故答案为：﹣1． 【典例6】若一个多项式加上y2+3xy﹣4，结果是3xy+2y2﹣5，则这个多项式为 ． 【分析】根据题意，列出3xy+2y2﹣5﹣（y2+3xy﹣4）去括号化简即可． 【解答】解：3xy+2y2﹣5﹣（y2+3xy﹣4） ＝3xy+2y2﹣5﹣y2﹣3xy+4 ＝y2﹣1． 故答案为：y2﹣1． 【典例7】多项式4x2﹣3x+7与多项式5x3+（m﹣2）x2﹣2x+3相减后，结果不含x2项，则常数m的值为 　 　． 【分析】先将4x2﹣3x+7与5x3+（m﹣2）x2﹣2x+3相加，令结果中x2项的系数为0，即可解得答案． 【解答】解：（4x2﹣3x+7）﹣[5x3+（m﹣2）x2﹣2x+3] ＝4x2﹣3x+7﹣5x3﹣（m﹣2）x2+2x﹣3 ＝﹣5x3+（﹣m+6）x2﹣x+4， ∵结果不含x2项， ∴﹣m+6＝0， 解得m＝6， 故答案为：6． 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