专题1.3 实数全章知识典例详解（必考点分类集训）-【新教材】2024-2025学年七年级数学上册必考点分类集训系列（浙教版2024）

专题1.3 实数全章知识典例详解 【浙教版2024】 知识点1 平方根和立方根 1．平方根 定义：一般地，如果一个数x的平方等于a，即，那么这个数x叫做a的平方根（也叫做二次方根）．0只有一个平方根，它是0本身． 【总结】（1）一个正数有两个互为相反数的平方根；（2）0的平方根为0；（3）负数没有平方根． 表示：一个非负数a的平方根可用符号表示为．数学语言：若，则． 【总结】求一个数a的平方根的运算，叫做开平方（开方），a叫做被开方数．开方运算和平方运算互为逆运算． 2．算术平方根 定义：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即，那么这个正数x就叫做a的算术平方根．记作，读作“根号a”．特别地，我们规定：0的算术平方根是0，即． 【总结】（1）一个正数只有一个算术平方根；（2）0的算术平方根为0；（3）负数没有算术平方根． 重要性质：（1）在式子中，有且． （2）如果，则有； （3）对于任意的数a，则有． 3．立方根 定义：一般地，如果一个数x的立方等于a，即，那么这个数x叫做a的立方根（也叫做三次方根）． 【总结】（1）任何实数都只有1个立方根； （2）正数的立方根为正数，负数的立方根为负数，0的立方根为0． 表示：求一个数a的立方根的运算叫做开立方，a叫做被开方数，可用符号表示为，读作“三次根号a”，中“3”叫做根指数． 数学语言：若，则． 【总结】求一个数的立方根的运算，叫做开立方，开立方与立方互为逆运算． 重要性质：（1）在式子中，a为任何实数；（2）；． 【典例1】（2024秋•南关区校级月考）的算术平方根是 　 　． 【典例2】（2024春•广安期末）若x是的算术平方根，y是的立方根，则xy的值为 　 　． 【典例3】（2023秋•高青县期末）若2m﹣4与3m﹣1是同一个数的两个不等的平方根，则这个数是 　 　． 【典例4】（2024秋•郫都区校级期中）已知实数x、y满足，则（x+y）2024的值为 　 　． 【典例5】（2024秋•鄞州区期中）若，则　 　，　 　． 【典例6】（2024秋•鲤城区校级期中）已知某正数的两个平方根分别是3b﹣4和2b﹣6，64的立方根为，关于x的方程满足x2＝9． （1）求a，b，x的值； （2）求a+b+x的算术平方根． 知识点2 实数 1．实数的分类 【总结】（1）所有的实数分成三类：有限小数，无限循环小数，无限不循环小数．其中有限小数和无限循环小数统称有理数，无限不循环小数叫做无理数． （2）无理数分成三类：①开方开不尽的数，如，等；②有特殊意义的数，如π； ③有特定结构的数，如0.1010010001… （3）凡能写成无限不循环小数的数都是无理数，并且无理数不能写成分数形式. 2．实数与数轴上的点一一对应. 数轴上的任何一个点都对应一个实数，反之任何一个实数都能在数轴上找到一个点与之对应. 3．三类具有非负性的实数 在实数范围内，正数和零统称为非负数.我们已经学习过的非负数有如下三种形式： （1）任何一个实数的绝对值是非负数，即||≥0； （2）任何一个实数的平方是非负数，即≥0； （3）任何非负数的算术平方根是非负数，即 (). 4．实数的运算 数的相反数是－；一个正实数的绝对值是它本身；一个负实数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0. 有理数的运算法则和运算律在实数范围内仍然成立.实数混合运算的运算顺序：先乘方、开方、再乘除，最后算加减.同级运算按从左到右顺序进行，有括号先算括号里. 5．实数的大小的比较 有理数大小的比较法则在实数范围内仍然成立. （1）实数和数轴上的点一一对应，在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大； （2）正数大于0，0大于负数，正数大于一切负数，两个负数比较，绝对值大的反而小； （3）两个数比较大小常见的方法有：求差法，求商法，倒数法，估算法，平方法. 6．实数的估算 （1）若，则； （2）若，则； 根据这两个重要的关系，我们通常可以找距离a最近的两个平方数和立方数，来估算和的大小．例如：，则；，则． 常见实数的估算值：，，． 【典例1】（2024秋•鲤城区校级期中）在3.14，π，3.212212221，，，，2.1212212221…（在相邻两个2之间1的个数逐次加1）中，无理数的个数为（　　） A．5 B．2 C．3 D．4 【典例2】（2024秋•成都期中）估计的值在（　　）之间． A．5和6 B．6和7 C．7和8 D．8和9 【典例3】（2024秋•郑州期中）比较下列各组数的大小，错误的是（　　） A． B． C． D． 【典例4】（2024春•光山县期末）如图，已知正方形ABCD的面积为5，点A在数轴上，且表示的数为1．现以点A为圆心，以AB的长为半径画圆，所得圆和数轴交于点E（E在A的右侧），则点E表示的数为（　　） A． B．3.2 C． D． 【典例5】（2024秋•杭州期中）已知a是3的整数部分，b是3的小数部分． （1）求a，b的值； （2）求（﹣a）3+（b+4）2的平方根． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题1.3 实数全章知识典例详解 【浙教版2024】 知识点1 平方根和立方根 1．平方根 定义：一般地，如果一个数x的平方等于a，即，那么这个数x叫做a的平方根（也叫做二次方根）．0只有一个平方根，它是0本身． 【总结】（1）一个正数有两个互为相反数的平方根；（2）0的平方根为0；（3）负数没有平方根． 表示：一个非负数a的平方根可用符号表示为．数学语言：若，则． 【总结】求一个数a的平方根的运算，叫做开平方（开方），a叫做被开方数．开方运算和平方运算互为逆运算． 2．算术平方根 定义：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即，那么这个正数x就叫做a的算术平方根．记作，读作“根号a”．特别地，我们规定：0的算术平方根是0，即． 【总结】（1）一个正数只有一个算术平方根；（2）0的算术平方根为0；（3）负数没有算术平方根． 重要性质：（1）在式子中，有且． （2）如果，则有； （3）对于任意的数a，则有． 3．立方根 定义：一般地，如果一个数x的立方等于a，即，那么这个数x叫做a的立方根（也叫做三次方根）． 【总结】（1）任何实数都只有1个立方根； （2）正数的立方根为正数，负数的立方根为负数，0的立方根为0． 表示：求一个数a的立方根的运算叫做开立方，a叫做被开方数，可用符号表示为，读作“三次根号a”，中“3”叫做根指数． 数学语言：若，则． 【总结】求一个数的立方根的运算，叫做开立方，开立方与立方互为逆运算． 重要性质：（1）在式子中，a为任何实数；（2）；． 【典例1】（2024秋•南关区校级月考）的算术平方根是 　3　． 【分析】如果一个正数x的平方等于a，即x2＝a，那么这个正数x叫做a的算术平方根．记为，由此即可得到答案． 【解答】解：∵9， ∴的算术平方根是3． 故答案为：3． 【典例2】（2024春•广安期末）若x是的算术平方根，y是的立方根，则xy的值为 　﹣2　． 【分析】先根据算术平方根的定义以及立方根的定义求出x，y的值，再求xy即可求出答案． 【解答】解：∵9， ∴x是9的算术平方根，y是的立方根， ∴x3，y， ∴xy＝32， 故答案为：﹣2． 【典例3】（2023秋•高青县期末）若2m﹣4与3m﹣1是同一个数的两个不等的平方根，则这个数是 　4　． 【分析】根据平方根的性质即可求出答案． 【解答】解：由题意可知：2m﹣4+3m﹣1＝0， 解得：m＝1， ∴2m﹣4＝﹣2 所以这个数是4， 故答案为：4． 【典例4】（2024秋•郫都区校级期中）已知实数x、y满足，则（x+y）2024的值为 　1　． 【分析】先根据非负数性质得到x﹣1＝0，y+2＝0，求出x、y的值，再代入（x+y）2024即可求得答案． 【解答】解：根据题意得，， ∴x﹣1＝0，y+2＝0， ∴x＝1，y＝﹣2， ∴（x+y）2024＝（1﹣2）2024＝1， 故答案为：1． 【典例5】（2024秋•鄞州区期中）若，则　12　，　﹣0.12　． 【分析】根据立方根的性质，进行运算，即可求解． 【解答】解：∵， ∴， ， 故答案为：12；﹣0.12． 【典例6】（2024秋•鲤城区校级期中）已知某正数的两个平方根分别是3b﹣4和2b﹣6，64的立方根为，关于x的方程满足x2＝9． （1）求a，b，x的值； （2）求a+b+x的算术平方根． 【分析】（1）根据平方根的性质求出b的值，根据立方根的定义求出a的值，根据平方根的定义求出x的值； （2）将（1）中a、b、x的值代入，再根据算术平方根的定义计算即可． 【解答】某正数的两个平方根分别是3b﹣4和2b﹣6，64的立方根为，关于x的方程满足x2＝9． 解：（1）根据题意得，3b﹣4+2b﹣6＝0， 解得b＝2， ∵64的立方根为4， ∴4， ∴a＝4， ∵x2＝9， ∴x＝±3； （2）由（1）得a＝4，b＝2，x＝±3， 当a＝4，b＝2，x＝3时，a+b+x＝4+2+3＝9， ∵9的算术平方根为3， ∴a+b+x的算术平方根为3； 当a＝4，b＝2，x＝﹣3时，a+b+x＝4+2﹣3＝3， ∵3的算术平方根为， ∴a+b+x的算术平方根为； 综上，a+b+x的算术平方根为3或． 知识点2 实数 1．实数的分类 【总结】（1）所有的实数分成三类：有限小数，无限循环小数，无限不循环小数．其中有限小数和无限循环小数统称有理数，无限不循环小数叫做无理数． （2）无理数分成三类：①开方开不尽的数，如，等；②有特殊意义的数，如π； ③有特定结构的数，如0.1010010001… （3）凡能写成无限不循环小数的数都是无理数，并且无理数不能写成分数形式. 2．实数与数轴上的点一一对应. 数轴上的任何一个点都对应一个实数，反之任何一个实数都能在数轴上找到一个点与之对应. 3．三类具有非负性的实数 在实数范围内，正数和零统称为非负数.我们已经学习过的非负数有如下三种形式： （1）任何一个实数的绝对值是非负数，即||≥0； （2）任何一个实数的平方是非负数，即≥0； （3）任何非负数的算术平方根是非负数，即 (). 4．实数的运算 数的相反数是－；一个正实数的绝对值是它本身；一个负实数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0. 有理数的运算法则和运算律在实数范围内仍然成立.实数混合运算的运算顺序：先乘方、开方、再乘除，最后算加减.同级运算按从左到右顺序进行，有括号先算括号里. 5．实数的大小的比较 有理数大小的比较法则在实数范围内仍然成立. （1）实数和数轴上的点一一对应，在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大； （2）正数大于0，0大于负数，正数大于一切负数，两个负数比较，绝对值大的反而小； （3）两个数比较大小常见的方法有：求差法，求商法，倒数法，估算法，平方法. 6．实数的估算 （1）若，则； （2）若，则； 根据这两个重要的关系，我们通常可以找距离a最近的两个平方数和立方数，来估算和的大小．例如：，则；，则． 常见实数的估算值：，，． 【典例1】（2024秋•鲤城区校级期中）在3.14，π，3.212212221，，，，2.1212212221…（在相邻两个2之间1的个数逐次加1）中，无理数的个数为（　　） A．5 B．2 C．3 D．4 【分析】无理数就是无限不循环小数，常见的无理数的形式有：π，2π等；开方开不尽的数；像0.1010010001…（每两个1之间0的个数依次加1）这样有规律的数． 【解答】解：无理数就是无限不循环小数，据此在3.14，π，3.212212221，，，，2.1212212221…（在相邻两个2之间1的个数逐次加1）中， 其中π，，，2.1212212221………为无理数，共有4个． 故选：D． 【典例2】（2024秋•成都期中）估计的值在（　　）之间． A．5和6 B．6和7 C．7和8 D．8和9 【分析】先化简二次根式，再估算无理数的大小即可得出答案． 【解答】解： ＝2 ＝3 ， ∵49＜54＜64， ∴78， ∴的值在7和8之间， 故选：C． 【典例3】（2024秋•郑州期中）比较下列各组数的大小，错误的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据算术平方根的意义进行比较，逐一判断即可解答． 【解答】解：A、，故A不符合题意； B、∵2.236， ∴1≈1.236， ∴， ∴0.5， 故B符合题意； C、0.5，故C不符合题意； D、7，故D不符合题意； 故选：B． 【典例4】（2024春•光山县期末）如图，已知正方形ABCD的面积为5，点A在数轴上，且表示的数为1．现以点A为圆心，以AB的长为半径画圆，所得圆和数轴交于点E（E在A的右侧），则点E表示的数为（　　） A． B．3.2 C． D． 【分析】根据正方形的边长是面积的算术平方根得，结合A点所表示的数及AE间距离可得点E所表示的数． 【解答】解：∵正方形ABCD的面积为5，且AB＝AE， ∴， ∵点A表示的数是1，且点E在点A的右侧， ∴点E表示的数为． 故选：A． 【典例5】（2024秋•杭州期中）已知a是3的整数部分，b是3的小数部分． （1）求a，b的值； （2）求（﹣a）3+（b+4）2的平方根． 【分析】（1）先估算出的值的范围，从而估算出3的值的范围，然后求出a，b的值； （2）把a，b的值代入进行计算，然后再利用平方根的意义即可解答． 【解答】解：（1）∵16＜17＜25， ∴45， ∴13＜2， ∴3的整数部分是1，小数部分是3﹣14， ∴a＝1，b4； （2）当a＝1，b4时， ∴（﹣a）3+（b+4）2 ＝（﹣1）3+（4+4）2 ＝﹣1+（）2 ＝﹣1+17 ＝16， ∴（﹣a）3+（b+4）2的平方根是±4． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$