福建省泉州第五中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试题

1 泉州五中 2024-2025 学年高二上学期期中考 数学卷参考答案 一、 单选题 1-8 DDAACBBC 8.过点 P 作 X 轴的垂线，垂足为T ，由 1 2 1 2 | PF | | PF | 2 | | | | (1 ) ( 1) 2 a PF PF c c + =  − = + − − = 得 1 2 | PF | 1 | | 1 a PF a = +  = − ，则 2 2 2 2| | ( 1) ( 3 ) ( 1) ( 3 )PT a c a c= + − + = − − − 即 4 4 3a c= 得 3 3 e = 二、 多选题 9.AB ;10. ABD; 11.ACD 11. 选项 ABC 可用几何法， 选项 D：方法一（几何法）取 BC 中点 E ，利用 1A ED 为直角三角形即得； 方法二：坐标法，以M 为坐标原点， ,MH MD 所在直线分 别为 ,x y轴，垂直于此平面的直线为 z 轴，建立空间直角 坐标系，则 ( ) ( ) ( )2, 2,0 , 2, 2,0 , 0,2,0B C D− ， 当 (0,π) 时， ( )1 cos 1,cos 1, 2 sinA   + − ， 此时 ( )1 1 cos , cos 1, 2 sinA B   = − − − − ， ( ) ( ) ( )0,2,0 2,2,0 2,0,0CD = − = − ， 故 ( ) ( )1 1 cos , cos 1, 2 sin 2,0,0 2cos 2 0A B CD     = − − − −  − = −  ， 故不存在 ，使得 1A B CD⊥ ，B 错误； C 选项，当 π 2  = 时， 1AG ⊥平面BCM ，此时四棱锥 1A BCDM− 的体积最大， 此时 ( )1 1, 1, 2A − ，设平面 1A MD的法向量为 ( ), ,m x y z= ， 则 ( ) ( ) ( ) ( ) 1 , , 1, 1, 2 2 0 , , 0,2,0 2 0 m MA x y z x y z m MD x y z y   =  − = − + =    =  = = ， 解得 0y = ，令 1z = ，则 2x = − ，故 ( )2,0,1m = − ， 2 故点 B 到平面 1A MD的距离 ( ) ( )2, 2,0 2,0,1 2 2 2 6 32 1 3 MB m d m −  − = = = = + ，C 正确； D 选项， ( )1 cos 1,cos 1, 2 sinMA   = + − ， ( )0, 4,0BC = ， 故 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 22 2 1 cos 1,cos 1, 2 sin 0,4,0 cos cos , 4 1 cos cos 1 2 sin MA BC MA BC MA BC        + −  = = =  + + − + − 2 1 cos 1 cos sin 2 22 2   − − = = = + ，D 正确.故选：ACD 三、 填空题 12. 2 ; 13. 5 3 ; 14. 9 2 − √3 14. 如图，由题知动点 P 的轨迹是过OD 的终点D且垂直OD的平 面 ，动点Q的轨迹是以线段 AB为直径的球M ， PQ 的最小值就是球心M 到平面 的距离d 减去球M 的半径 R . ( )1 3 2 9 2 OA OB OC OC DM OC d OC OC   + −     = = = ， 𝑅 = 1 2 |𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗| = 1 2 √(𝑂𝐵⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ − 𝑂𝐴⃗⃗ ⃗⃗ ⃗) 2 = √3， ∴ |𝑃𝑄⃗⃗⃗⃗ ⃗𝑚𝑖𝑛| = 9 2 − √3|. 四、 解答题 15. 【详解】（1）由于PA⊥平面 ABCD， ,AB AD平面 ABCD，所以 ,PA AB PA AD⊥ ⊥ ， 由于 AB AD⊥ ，所以 , ,AB AD AP两两相互垂直. 以A 为原点，建立如图所示空间直角坐标系， ( ) ( ) ( ) ( )0,0,2 , 2,0,0 , 2,2,0 , 0,4,0P B C D ， ( ) ( )2,0, 2 , 2,2,0PB CD= − = − ，设直线PB与直线CD所成角为 ， 则 4 1 cos 22 2 2 2 PB CD PB CD   = = =  ，由于 π 0 2   ，所以 π 3  = . 3 （2） ( )0, 4, 2PD = − ， ( ) ( )2,2,0 , 0,0,2AC AP= = ， 设平面PAC 的法向量为 ( ), ,n x y z= ，则 2 2 0 2 0 n AC x y n AP z   = + =   = = ，故可设 ( )1, 1,0n = − ， 设直线 PD与平面 PAC所成角为 ，则 4 10 sin 52 5 2 PD n PD n   = = =  . 16.解：(1)圆C 的圆心 (0,4)C ，半径为 2，直线方程即 0x y m− + = ， 圆心C 到直线 l 的距离 | 4 | 2 2 m d − =  ，解得4 2 2 4 2 2m−   + ， 即实数m 的取值范围为 4 2 2,4 2 2− +（ ）. (2)①依题意可得 | | 4CQ  ， QACB 2 212 2 2 | | 2 | | 2 | | 4 2 4 4 4 3 2 ACQ AQ AQ CQs s= =    = = −  − =四边形 当 | | 4CQ = 即点Q在原点时，四边形QACB面积最小值为4 3 . ②依题意可得Q A C B、 、 和 四点共圆，设为圆 E ，则圆 E 圆心 (2,2)E ，半径为 2 2 ， 故圆 E 2 2: ( 2) ( 2) 8x y− + − = ， 又圆 2 2: ( 4) 4C x y+ − = ，两圆的方程相减得4 4 8 4x y− + = − ，即 3 0x y− + = ， 故直线 AB 的方程为 3 0x y− + = . 17.解：(1)设右焦点 (2,0)F、 ，则 2 25 5 2 | | | | 16 ( ) 6 9 3 a PF PF= + = + + =、 ，得 3a = ， 又 2, 5c b= =故 ，故椭圆C 的方程为 2 2 1 9 5 x y + = . (2) ①当直线 l 垂直于 x 轴时，显然不符合题意； ②当直线 l 不垂直于 x 轴时，设直线 AB的斜率为 k ，设 ( ) ( )1 1 2 2, , ,A x y B x y ， 则直线 l 的方程为 ( )2 1y k x− = − ，联立方程 4 ( ) ( ) 2 2 2 2 21 5 9 18 9(2 ) 45 0 2 29 5 x y k x k k y kx k k x−  + =  + + + + − − =  = − + ， 则 2 2 2[18 (2 )] 4(5 9 )[9(2 ) 45]k k k k = − − + − − 2180(8 4 1) 0k k= + +  得 k R 1 2 2 5 2 9 18 ( 2) 5 18 x k k k k x+ = =  = − + − ， 故直线 AB的方程为 ( ) 5 2 1 5 18 41 0 18 y x x y− = − − + − =即 ． 18. 【详解】（1）证明：因为四边形 ABCD正方形，所以 //AB CD． 因为CD 平面PAB， AB平面PAB，所以 //CD 平面PAB． 又因为CD平面 PCD，平面PAB平面PCD l= ，所以 //CD l ． 因为 l  平面 ABCD，CD平面 ABCD，所以 //l 平面 ABCD． （2）因为四边形 ABCD是正方形，所以 AB AD⊥ ． 又因为PA AD⊥ ，PA AB A= ，PA、 AB平面PAB，所以 AD⊥平面PAB． 因为 //AD BC，所以 ⊥BC 平面PAB， 因为PB平面PAB，所以，BC PB⊥ ． 由PE 14= ．得 2 2 14 1 13PB PE BE= − = − = ． 所以 2 2 2 5 4 13 5 cos 2 52 5 2 PA AB PB PAB PA AB + − + −  = = = −    ． 以A 为坐标原点， AB、 AD所在直线分别为 x、 y 轴，建立如图所示的空间直角坐标系．点 P 到平面 yAz 的距离为 ( ) 5 cos π 5 1 5 AP PAB− =  = ， 点 P 到平面 xAy 的距离为 2 21 5 1 2AP − = − = ． 则 ( )1,0,2P − ， ( )2,2,0C ， ( )0,2,0D ， ( )2,1,0E ， 设 ( )0, ,0F a ( )0 2a  ，则 ( )3, 2, 2PC = − ， ( )2,0,0CD = − ， 5 设平面 PCD的法向量为 ( )1 1 1, ,xn y z= ， 则 1 1 1 1 3 2 2 0 2 0 PC n x y z CD n x   = + − =   = − = ，取 1 1y = ，可得 ( )0,1,1n = ． 设平面PEF 的法向量为 ( )2 2 2, ,m x y z= ， ( )3,1, 2PE = − ， ( )1, , 2PF a= − ， 则 2 2 2 2 2 2 3 2 0 2 0 PE m x y z PF m x ay z   = + − =   = + − = ，取 2 4y = ，可得 ( )2 2,4,3 1m a a= − − ． 设平面PEF 与平面 PCD的夹角为 ， 则 ( ) ( ) ( ) 2 22 3 1 cos 2 2 2 4 3 1 m n a m n a a   + = =   − + + − ，令  1 1,3a t+ =  ， 则 ( ) ( ) 2 2 22 3 3 2 cos 2 13 40 482 2 4 4 3 4 t t t tt t  = =  − + − + + − 2 3 2 1 2 1 1 48 40 13 t t =    −  +    ． 当 1 5 12t = 时， 2 1 1 48 40 13 t t   −  +    取得最小值，最小值为 14 3 ， 所以cos的最大值为 3 2 1 3 21 2 1414 3  = ，此时， 7 5 a = ． 故平面PEF 与平面 PCD的夹角的余弦值的最大值为 3 21 14 ． 19.解：(1)依题意可得 2 2 0 0 1 6 3 x y + = 得 2 2 2 20 0 0 01 3 6 3 2 x y x y+ = = −， ， 故 2 2 2 2 2 20 0 0 0 0 0 0 1 1 | | ( 1) ( 1) 3 2 4 ( 2) 2 2 2 2 x PT x y x x x x= − + = − + − = − + = − + ， 06 6x−   故当 0 2x = 时， min| | 2PT = ，即求点 P 到点 (1,0)T 距离的最小值为 2 . (2)①当直线 l 垂直于 x 轴时，设直线 l x m=： 代入椭圆 2 2 : 1 6 3 x y C + = 得 2 2 3 2 m y = − ， 6 6m−   6 故 OAB 面积 21 1 1 94 2 2 2| | 2 3 3 ( 3) 2 2 2 2 2 OAB m S m m m m = − = − + = − − + ， 当 3m =  时， OAB 面积最大值为 3 2 2 ； ②当直线 l 不垂直于 x 轴时，设直线 AB y kx m= +： ， ( ) ( )1 1 2 2 , , ,A x y B x y ， 由 2 2 1 6 3 x y y kx m + = = +     得 2 2 2(2 1) 4 2 6 0k x mkx m+ + + − = ， 2 28(6 3) 0k m = − +  ， 弦长 2 2 2 2 1 2 2 8(6 3) | | 1 | | 1 |1 2 | k m AB k x x k k − + = + − = + + 又直线 l 即 0kx y m− + = ，原点O到直线 l 的距离 2 | | 1 m d k = + ， 故 OAB 面积 2 2 2 2 2 8(6 3)1 | | 1 2 |1 2 | 1 OAB k m m S k k k  − + = +  + + 2 2 2 2 2 2 2 2 6 3) (6 3) 2 2 1 2 2(1 2 ) k m m k m m k k − +  − + + =  + + （ 3 2 2 = （当且仅当 2 26 2 3 0k m− + = 取等号） 由①②得 OAB 面积最大值为 3 2 2 . (3) 当 0 02, 1x y= = ，直线 l斜率 k =1 时，直线 l y x m： ， 由（2）得 2 23 4 2 6 0x mx m+ + − = 两根为 1 2,x x ， 则 1 2 4 3 x x m+ = − ， 2 1 2 2 6 3 m x x − + = ，设直线PA的斜率为 1k ，直线PB的斜率为 2k ， 则 1k 1 2 1 2 1 2 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 1 1 1 2 ( 3)( ) 4 4 2 2 2 2 ( 2)( 2) y y x m x m x x m x x m k x x x x x x − − + − + − + − + + − + = + = + = − − − − − − = 2× 2𝑚2−6 3 +(𝑚−3)× −4𝑚 3 +4−4𝑚 (𝑥1−2)(𝑥2−2) =0，即 1 2k k= − 故直线 2x = 为 APB 的内角平分线，故 PAB 的内心在定直线 2x = 上. 1 泉州五中 2024-2025 学年高二上学期期中考数学卷 满分：150 分 时间：120 分钟 2024.11 一、单选题（每题只有一个正确选项，每题 5分，共 40分） 1．设直线 l的方程为 3 3 0x y   ，则直线 l的倾斜角 为（ ） A． 6  B． 3  C． 2 3  D． 5 6  2．若椭圆 2 2: 1 x C y m   的离心率为 1 2 ，则m 的值为（ ） A． 1 2 B．2 C． 1 2 2 或 D． 4 3 3 4 或 3．设a 为实数，已知直线  1 2: 3 2 0 : 6 3 4 0l ax y l x a y      ， ，若 1 2l l∥ ，则a （ ） A．6 B． 3 C．6 或 3 D． 6 或 3 4．已知空间向量  1,0,2a  ， (0,1, 1), ( 3,1, )b c x    ，若向量 a ，b ， c 共面，则 实数 x的值为（ ） A． 7 B． 5 C． 3 D． 1 5．平行六面体 1 1 1 1ABCD A B C D 的底面 ABCD是边长为 2 的正方形，且 1 1 60A AD A AB   ， 1 3AA  ，则线段 1AC 的长为（ ） A．5 B．2 7 C． 29 D． 30 6．若圆 2 2: ( ) ( 1) 1C x a y    上恰好有两点到点 (2 ,0)P a 的距离为 3，则整数a 的取值 个数共有（ ）. A．2 个 B．4 个 C．6 个 D．8 个 7．已知O为坐标原点，过点  2,1P 的直线 l 分别与 x 轴、 y 轴交于 A B、 两点，使 OAB 的面积为 s 的直线 l 恰有 3 条，则 s 为（ ） A．3 B．4 C．5 D．6 8．已知椭圆 2 2 2 2 : 1( 0) x y C a b a b     的左、右焦点分别为 1F 、 2F ，点  1 1,P x y 是C 上 的一点， 1 2PF F 的内切圆圆心为  2 2,Q x y ，当 1 3x  时， 2 1x  ，则椭圆C 的离心率 为（ ） A． 3 2 B． 3 1 C． 3 3 D．2 3 2 二、多选题（每题至少有两个答案，每题 6分，每题部分答对得部分分，全对得 6分，共 18分） 9．已知O为坐标原点，椭圆 2 2 : 1 25 16 x y C   的左、右焦点分别为 1 2F F和 ，点P 为椭圆 C 上的任意点，下列说法正确的有（ ） A．4 | | 5PO  B． 1 2| | | |PF PF 的最大值为 25． C． 1 2| | | |PF PF 的最小值为 9． D．若 0 1 2 60F PF  ，则 1 2F PF 的面积为5 3 ． 10．已知圆 2 2: ( 1) 25C x y   ，直线 l 过点  2,3N ，且交圆C 于 P Q、 两点，则下列结 论正确的是（ ） A．若圆C 关于直线 l 对称，则 PQ =10． B． PQ 的最小值为2 15． C．若 l的方程是 5 0x y   ，则圆C 上仅有 3 个点到直线 l的距离为 3． D．圆C 在 P Q、 两点处的切线的交点轨迹方程为 3 26 0x y   ． 11．如图，在矩形 ABCD中， 1AB  ， 2BC  ，M是 AD的中点，将 ABM 沿着直线 BM翻折得到 1A BM△ ．记二面角 1A BM C  的平面角为 ，当 的值在区间 (0,π) 范围 内变化时，下列说法正确的有（ ） A．存在 ，使得 1A B CM B．存在 ，使得 1A B CD C．若四棱锥 1A BCDM 的体积最大时，点 B到平面 1A MD的距离为 6 3 ． D．若直线 1A M 与 BC所成的角为  ，则 2cos sin 2    ． 3 三、填空题（每题 5分，共 15分） 12．原点  0,0O 到动直线      : 1 2 1 3 0 Rl m x m y m m      距离的最大值为_________. 13．若椭圆 2 2 2 2 : 1( 0) x y C a b a b     的右焦点F 关于直线 1 : 2 l y x 对称的点在椭圆 C 上，则椭圆的离心率为_________. 14．若 ,E F 为平面上两个定点，则满足EM EF 为常数的动点M 的轨迹是直线，满足 0NE NF  的动点 N 的轨迹是圆．将此性质类比到空间中，解决下列问题：已知点 , , ,O A B C 为空间中四个定点， 2 2 4OB OA OC   ，且 , ,OA OB OC 两两的夹角都是 60 ，若动点 P 满足 12OP OC  ，动点Q满足 0QA QB  ，则 PQ 的最小值是_________. 四、解答题（共 77分，解答应写出文字说明，证明过程或者演算步骤） 15．如图，在四棱锥P ABCD 中，PA平面 ABCD， AB BC ， AB AD ，且 1 2 2 PA AB BC AD    ． (1)求直线 PB与直线CD所成角的大小； (2)求直线 PD与平面 PAC所成角的正弦值． 16．已知圆 2 2: ( 4) 4C x y   ， （1）若直线 :l y x m  与圆C 相交，求实数m 的取值范围； （2）若点Q为 x 轴上一点，过点Q作圆C 的切线，切点分别为 A B和 ， ①求四边形QACB 面积的最小值； ②当点Q横坐标为 4 时，求直线 AB 的方程． 4 17．已知椭圆 2 2 2 2 : 1( 0) x y C a b a b     上的左焦点为 ( 2,0)F  ，点 5 (2 ) 3 P ， 为椭圆C 上一点. (1)求椭圆C 的方程； (2)直线 l与椭圆C 相交于 ,A B两点，若线段 AB的中点坐标为 (1, 2)，求直线 l的方程． 18．在四棱锥P ABCD 中，底面 ABCD是边长为2的正方形，E是BC的中点，点F 在 棱 AD上，且PA AD ， 14PE  ， 5PA  ． (1)若平面PAB平面PCD l ，证明： //l 平面 ABCD； (2) 求平面PEF 与平面 PCD的夹角的余弦值的最大值． 19．已知点O为坐标原点， 0 0( , )P x y 为椭圆 2 2 : 1 6 3 x y C   上任一点，直线 l与椭圆C 相 交于 ,A B两点， （1）求点P 到点 (1,0)T 距离的最小值； （2）求 OAB 面积的最大值； （3）当 0 02, 1x y  ，直线 l斜率为 1，且点P 在直线 l的上方时， PAB 的内心是否在 定直线上？若是，求出该定直线，不是，请说明理由．