安徽省卓越县中联盟＆皖豫名校联盟2024-2025学年高二上学期期中联考数学试题

安徽卓越县中联盟&皖豫名校联盟 2024一2025学年上学期高二年级期中联考 数学·答案 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分 1.答案C 命题透析本题考查空间点的坐标 解析由题意，在空间直角坐标系0：中，与点A(4,-6,~1)关于0y平面对称的点的横，纵坐标不变，竖坐 标变为相反数，即为(4.-6,1). 2.答案A 命题透析。本题考查两直线平行的条件 解析若直线a+y+1=0与(a+5)x+2y=0平行，则2a-(a+5)=0,且1×0-1×20，解得a=5 3.答案D 命题透析本题考查直线的方程 -5-0 解析设BC边的中点为D,则D(5,-5),又4(4,0)，所以w=写-=-5，故BC边上的中线所在直线的方 程为y-0=-5(x-4).即5x+y-20=0 4.答案B 命题透析本题考查线与圆的位置关系 解析当1上AC时，圆上的点到直线1的距离可取到最大值，面C(0,1),所以1AC1=√+下=E,又圆C的 半径为2，故圆C上的点到直线1的距离的最大值为巨+2 5.答案B 命题透析，本题考查空间向量的运算 解析如图所示，设店=P,A元=g,而=天由题意可知pl=lgl=r1=a,且P,9,F三向量两两夹角均为60 ~=(花+)(9+)，元=花-：g-,不.屁▣(g+)(g-2 g-p*r…g-之p小- 6.答案C 命题透析本题考查利用空间向量求空间中点到直线的距离。 一1一 解析由题意知，直线1的一个方向向量为底=（红，1,1）.取直线1的一个单位方向向量为m=广 IBCI (信方方易知点411.2)不在直线1上瓜=2.-1,2).厨·m=后 上+2=E,1= 533 √+(-1)+2=3，点A到直线1的距离为√B2-(·m)2=9-3=6. 7.答案D 命题透析本题考查椭圆的简单几何性质， x=y+c, 得 中矩为(e>0),则汽线AB的方程为=y十设1122了x (:+6)y2+2bcy-b=0,因为点F在C的内部，所以4>0,1+为=- +B方h=~+F,又5a0w= 2be 2Vc 4Ve 25m,所以=-2将方-2%代人+为=“。十后，可得为“+水“+方再将小代入 可得+=82，又：+2，所以292，放c的离心率e台-号 8答案B 命题透析本题考查新定义及空间向量的运算 解析设k分别为与，⑦，石同方向的单位向量，则店=2，⑦=2，可=4.依题意，得AC=2+2+4k, i=2i+功.由题可得4.4G=(2i+)·(2i+2对+4k)=0,即42+2可+(2+4)ij+8i,k+40,k=0,即 4+2+宁2+4)+8×宁+4x宁=0.解得1-2 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.每小题全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的 得0分 9.答案ACD 命题透析本题考查空间直线的方向向量，平面的法向量及空间基底的概念 解析对于A,因为m·n=(2,-1,2)·(2,4,0)=0,所以a⊥B,故A正确： 对于B,因为a·m=(1,4.1)·(2.-1,2)=0,所以1∥a或1C,故B错误： 对于C,由A,B可知m⊥n,m⊥a,由a,n的坐标可知a,n不共线，所以a,m,n不共面，则|a,m,n可以作为空 间的一个基底，故C正确： 对于D在a上的投影向量的模长为。升一3故D正确 10.答案D 命题透析本题考查椭圆的几何性质。 解析设椭圆C的半焦距为c(e>0).由C:号+子=1，可知a=巨，6=1，=1，所以C的左，右焦点分别为 R(-1.050.若PR1RR或g1F.则，l=号=号所以△RR:的面积S5宁F,= 一2 宁x2cx=分×2×号-号：若P所1P阳，则P是C的上顶点或下顶点，△P所，的面职Sam=宁× 2e×6=e=l. 11.答案AC 命题透析本题考查圆的方程，圆与圆的位置关系。 解折设W),由1=218，可得V2+-2可=2√+-整理得+y=1,所以曲线 C,的方程为2+y2=1,表示圆心为C,(0,0),半径1=1的圆.圆G:(x-3)2+(y+4)2=(r>0)的圆心为 点(3，-4)，半径n=,两圆的圆心距1C,C1=9+16=5 对于A,若圆C,与圆C有公共点，则1r-2I≤1C,C,1≤r,+53.即Ir-11≤5≤r+1,解得4≤r≤6，故A正确： 对于B,若r=25,由A选项知两圆没有交点，故B错误： 对于C,若r=3,则1C,C1>r1+,两圆外离，则有1C,C21-4≤1PQ1≤1C,C1+4.即1≤1PQ1≤9，故C正确： 对于D,若r=2,∠EPF=号，则四边形PEC,F为正方形，1PC,1=2E,如图，因为1C,G1-1≤1PG,1≤ 1C,G1+1.即P℃，1e[4.6],而2，Eg[4,6],所以不存在这样的点P,使得∠EPF=受，故D错误 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.答案万 命题透析本题考查圆的方程. 解析圆C的方程x2+y2-2-4y+4a2+2a-3=0可化为(x-a)2+(y-2a)2=(a-1)2+2,半径为 √(e-1)+2,当a=1时，圆C的半径取得最小值反. 1答案号+后1 命题透析本题考查椭侧的方程 解析设F,(-c,0)(e>0),由题意知当AB⊥FB时△ABF,是边长为4的正三角形，如图 y 一3 由柄圆和正三角形的对你牲，可知1F,B1=2=4×号-25，所以c=万，又1B1=1BK,1=21B邵，1=4,1B邵，1+ =2a6,所以。3，由-2得6，故精周的方程为号名1 14.答案√1⑥ 命题透析本题考查立体几何中的线线垂直及空间向量的应用 解析以D为坐标原点，D4,DC,DD,所在直线分别为x轴5y轴：轴，建立如图所示的空阿直角坐标系D: 则D,(0.0,3),13.0)B(3,33),设Pa,b,0)(a,be[0.3j).则B户=(a-3,6-3,-3),DE=(1,3,-3).因 为B,P1D,E,所以B,户.D,E=a-3+3(b-3)+9=0,得a+36-3=0,所以点P的轨迹是一条线段，当m=0 时，b=1,此时点P的坐标为(0,1,0)，当b=0时，a=3.此时点P的坐标为(3,0,0)，所以符合条件的点P形 成的轨迹的长度为√(3-0)2+(0-1)+(0-0)丁=√⑥ D D 四、解答题：本题共5小题，共T7分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.命题透析本题考查空问向量的坐标运算 解析(1)a=(3,1,5).b=(-1,6,-2)a与b不平行。…(2分) a,b,e共面， 3r-y=5. “存在实数x,y,使得C=0+)b,即x+6y=8,++…(5分） 5x-2y=A. t=2, 解得y=1, a=8 故实数入的值为8. (7分) (Ⅱ)a■(3,1,5)，b■(-1,6，-2).且(ha+b)⊥b. (ka+b)…b=组·b+b=0,444444…(10s分） 即(-3+6-10)+(1+36+4)=0解得=号 …(13分) 16.命题透析本题考查直线过定点时的性质 解析(1)将直线1的方程整理得(x+2y-7)m+(3x一y■0，++++*……(2分)】 4 曲+2-7=0. x=1, 解得 所以直线！恒过点(1.3).4…(6分） 3x-y=0. y=3, (Ⅱ)由(1)可得直线1过定点，设定点为P(1,3) 当PQ⊥1时，点Q到直线1的距离最大，且最大距离d=1PQ川=√(1-3)+(3-4)=5，即点Q到直线1的 最大距离为5。 +*(11分)】 此时如宁面直线1的斜率k一号所以~2解得a号 …(15分) 17,命题透析本题考查直线和圆的方程，直线与圆的位置关系。 解析(I)设圆1的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=2(r>0). ,(1-g)2+(-2-b)2=2 a=1. 由已知得 (-2-)2+(1-b)2=2,解得6=1. la+b-2=0, r=3 所以圆M的方程为(x-1)2+(y-1)产牛9。…(6分) (1)由(1)知圆的方程为(x-1)2+(y-1)2=9,圆心为M(1,1),半径r=3 因为S8w=宁P1,1F1=2Sam=1PE1EM=31PE1=3VP-9, 所以要使PM目·EF最小，则需1P川最小，此时PM与直线1垂直，* (9分) 由直线1：4x+y+12=0,可得直线PW的斜率为子 直线PW的方程为y-1=（-1),暉x-443=0,…（1分) 曲~+3=0， x■-3， 解得 即P一3.0)，44444444+444444(12s分) l4x+y+12=0, y=0, 则以PW为直径的调的方程为c+1)P,(-厂-子 444(13分) (x-1)2+(y-1)2=9, +产+-=卫.两式相减可得直线F的方程为4+y+4=0、……5分 18.命题透析本题考查线线垂直的证明和利用空间向量求两平面的夹角。 解析(1)连接AC,如图，由题知四边形C,C4,是菱形，则A,C1AC,…(1分) 又D,E分别为棱AC,CC,的中点，所以DE∥AC,故A,C⊥DE(2分) 因为△ABC为等边三角形，D为AC的中点，所以BD上AG++4…+4…(3分) 又平面C,C4M,⊥平面ABC,平面ABCn平面C,CM,=AC,BDC平面ABC, 所以BD1平面CC,… (4分)】 又A,CC平面CC,故DLA,C.…(5分) 又BDODE=D,BD.DEC平面BDE,所以A,C⊥平面BDE,+…………(6分) 因为BEC平面BDE.所以AC⊥BE…4+44+444…(7分) 5 (Ⅱ)连接C,D,如图 由AC=CC,=4,∠ACC=60°，可知△C,CA为等边三角形. 又D是AC的中点，所以CD上AC,………(8分) 由(I)得BD⊥平面C,CA41,所以DB,DA,DC,两两互相垂直 故以D为原点，DB,D4,DG,所在直线分别为x轴y轴：轴建立如图所示的空闻直角坐标系，则D(0,0,0), B(25,0.0),C,(0,0,25),C(0,-20)4(0,425),B(252,25).…(9分) 假设在棱B,C,上存在符合要求的点P,设C产=AC,E=(25A,2A,0)(0≤A≤1)， 侧D币=D元+G户=(25,2A,25).Di=(25.0.0）.…(10分） 设平面PB即的法向量为n=(x,J,), 侧/”·6=0、25x=0 x=0 即 即 n·=0,25x+2y+25:=0,lay+5:=0 取=-A,则y=5,所以n=(0,5,-A).4444…4444…(13分) 由(1)得m=C=(0,6,25)是平面BDE的-个法向量 因为平面PBD与平面BDE的夹角的余弦值为，所以1o(m,1=16-5-25A.B-AL.25 45×+32√+3 即3以+6h-5=0,解得A=号或小=-5含去)， …(16分》 放存在点P.且P为棱GR,上靠近点G的一个三等分点，使得平面BD与平面BE的夹角的余弦值为识 444404t4…40t444t004…(17分） 19.命题透析本题考查椭圆的方程，直线与椭圆的位置关系， 解析(1)设椭圆E的半焦距为c(e>0). 由题意得2组=4，以=2.…(l分) c=￡=.所以c=万结合2-2=62.得6=E, a 所以E的方程为子号1 (Ⅱ)(i)设直线1的方程为x=my+t,A(x1,).B(,为)， 一6 南侧+ 消去玉，得(m3+2)y2+2m+-4=0,…(5分) 1x+2y2-4=0 所以4=(2m)2-4(m2+2)(2-4)=8(2m2-2+4)>0. y1+:=- 2mt 2-4 m2 4*4(7分） 所以新+5=m(+⅓)+2=+2 6=(m+(网+)=m为+m(+为)+？=m行-4.2m +2=23-4m +…(9分）】 m+2m3+ m+2 因为以线段AB为直径的圆恒过点M(2,0) 所以.亦=0，即(x4-2)(2-2)+为=0，…… (10分)】 所以马-2（名+）+4+=0，即2-4m 24+0 -2×- 4 m2+2 m2+2 即3r-8+4=0,解得1=子或1=2（舍去），满足4>0， 故1=子 (ⅱ)由题可知m≠0 结合(1)可知与+与5’2+为3二2所以3232】 2m 所以直线ON的斜半m二区。一受。 3(m+2) 又直线1的斜率6w=六所以。=亡(-受）=一宁为定值，证华（们分) 一7绝密★启用前 安徽卓越县中联盟&完豫名校联盟 2024-2025学年上学期高二年级期中联考 数 学 考生注意: 1.答题前,考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上,并将考生号条形码粘 贴在答题卡上的指定位置 2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑:如需改 动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号,回答非选择题时,将答案写在答题卡上.写 在本试卷上无效。 3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回 一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的 1.在空间直角坐标系0xyz中,与点A(4,-6,-1)关于0xy平面对称的点的坐标为 A.(-4,-6,-1) B.(-4,6,-1) C.(4,-6,1) D.(4,6,1) 2.若直线ax+y+1=0与(a+5)x+2y=0平行,则a= A.5 B.4 C.3 D.2 3.已知△ABC的三个顶点分别为A(4.0),B(6,-7),C(4,-3),则BC边上的中线所在直线 的方程是 A.x+y=0 B.x+y-4=0 C.5x+y-12=0 D.5x+y-20=0 4.已知直线1恒过点A(1,0),圆C:x2+(y-1)②}=4,则圆C上的点到直线l的距离的最大 值为 A.2+3 B.2+2 C.2+1 D.2 5.已知四面体ABCD的所有校长都等于a.校AB.CD的中点分别是M.N.则AN·MC # A.a2 D. 数学试题 第1页(共4页) 扫描全能王 创建 6.已知直线1过点B(-1,2,0)和C(0,3,1),则点A(1,1,2)到直线1的距离为 2 D# B.2 C.6 两点,若Sos=2S.aas(0为坐标原点,S表示面积),则C的离心率为 I# # 8.在空间中,两两互相垂直且有公共原点的三条数轴构成空间直角坐标系,若任意两条数轴的 夹角均为60{,我们将这种坐标系称为“斜60坐标系”.我们类比空间直角坐标系,定义“空间 斜60坐标系”下向量的斜60{坐标:已知ij,k分别为“空间斜60*坐标系”下三条数轴(x轴。 y轴、轴)正方向的单位向量,若向量n三xi+vj+zk,则n与有序实数组(x,y,z)相对应,称向 量n的斜60*坐标为[x,y,z],记作n=[x,y,z].如图,在平行六面体ABCD-A.B.C.D.中, AB=AD=2,AA.=4, BAD=BAA.=乙DAA =60”,以AB,AD,AAl 为基底建立"空间斜 60*坐标系”,若AM=[2.t.0],且AM与AC.的夹角为90*,则t= # A.-2 B.-2 C.2 D.2 二、多项选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的四个选项中,有多项符 合题目要求,全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分 9.已知平面x,B的法向量分别是m=(2,-1,2),n=(2,4.0),直线1的方向向量为a= (1,4,1),则 A.a1/B B./a C. a.m,n可以作为空间的一个基底 D.n在a上的投影向量的模长为3/② 形,则△F.PF。的面积可以是 # # D.1 数学试题 第2页(共4页) 扫描全能王 创建 11.已知点A(0,2),B(0.),曲线C.是满足1MA1=21MB1的点M的轨迹,P,O分别是曲线 C 与圆C:(x-3)2+(y+4)=(r>0)上的动点,则下列说法正确的是 A.若曲线C.与圆C.有公共点,则4<r<6 B.若r=23,则两曲线交点所在直线的方程为3x-4v-7=0 C.若r=3.则1P01的取值范围为[1.9] 三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分 12.圆C:x2+y-2ax-4ay+4a2+2a-3=0的半径的最小值为 B两点,则A.B.F.三点能构成边长为4的正三角形时,C的方程为 D 14.如图,在梭长为3的正方体ABCD-A.B.C.D.中.BC-3EC,点P是底 面ABCD内(包括边界)的动点,且满足B.P1D.E.则符合条件的点P 形成的轨迹的长度为 四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(13分) 已知向量a=(3.1.5).b=(-1.6.-2).c=(5.8. ) (I)若a,b.c共面,求入的值 (II)若(a+)1b.求的值 16.(15分) 已知直线/的方程为(m+3)x+(2m-1)y-7m=0(m=R). (I)证明:直线/过定点 (II)当n为何值时,点0(3,4)到直线1的距离最大?最大值是多少 数学试题 第3页(共4页) 扫描全能王 创建 17.(15分) 已知圆M经过A(1,-2),B(-2,1)两点,且圆心在直线x+y-2=0上. (I)求圆M的方程; (II)若P为直线1.4x+y+12=0上的动点,过点P作圆M的切线PE.PF,切点分别为E F.当1PM1·1EF1最小时,求直线EF的方程 18.(17分) 如图,在三校柱ABC-A.B.C.中,底面是边长为4的等边三角形,CC.=4./ACC.=60* D.E分别是校AC.CC.的中点,平面C.CAA.1平面ABC (I)求证:A.C1BE 存在,求出点P的位置;若不存在,请说明理由 19.(17分) P为E上任意一点,且1PF,1+IPF。1=4 (I)求E的方程. (II)设过点T(t.0)的直线/与E有两个不同的交点A.B(均不与点M重合) (i)若以线段AB为直径的圆恒过点M.求:的值; (ii)在(1)的条件下,若直线1的斜率存在且线段AB的中点为N.求证:直线(与直 线ON(0是坐标原点)的斜率之积为定值 数学试题第4页(共4页) 进 扫描全能王 创建