专题提优2 二次函数中的存在性问题（8大题型）-【帮课堂】2024-2025学年九年级数学下册同步学与练（苏科版）

专题提优2 二次函数中的存在性问题 题型01 二次函数中的角度存在性问题 1．如图，抛物线 y＝﹣x2+bx+c经过A（4，0），C（﹣1，0）两点，与y轴交于点B，P为第一象限抛物线上的动点，连接AB，BC，PA，PC，PC与AB相交于点Q． （1）求抛物线的解析式： （2）设△APQ的面积为S1，△BCQ的面积为S2，当 S1﹣S2＝5 时，求点P的坐标； （3）是否存在点P，使∠PAB+∠CBO＝45°，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，说明理由． 2．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，对称轴为直线x＝2，点A的坐标为（1，0）． （1）该抛物线的表达式为 　 　； （2）点P为抛物线上一点（不与点A重合），连接PC．当∠PCB＝∠ACB时，求点P的坐标； （3）在（2）的条件下，在对称轴上是否存在一点Q，连接PQ，将线段PQ绕点Q顺时针旋转90°，使点P恰好落在抛物线上？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 3．如图①，已知抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C． （1）求该抛物线的表达式； （2）若点D是抛物线上第一象限内的一个动点，连接CD，BD，BC，AC．当△BCD的面积等于△AOC面积的2倍时，求点D的坐标； （3）抛物线上是否存在点P，使得∠CBP+∠ACO＝∠ABC？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 题型02 二次函数中的等腰三角形存在性问题 1．二次函数y＝ax2+bx﹣4的图象与x轴相交于点A（﹣4，0）和点B（2，0），与y轴相交于点C，顶点为点D． （1）求该二次函数的表达式； （2）若抛物线的对称轴l交x轴于点E，点P是线段DE上的一个动点（不与点E重合），连接PC，作PQ⊥PC交x轴于点Q（k，0），求k的取值范围； （3）连接AD、BD，点M、N分别在线段AB、AD上（均含端点），且∠DMN＝∠DBA，若△DMN是等腰三角形，求点M的坐标． 2．综合与探究 如图，直线y＝﹣x+4交x轴于点A，交y轴于点C，抛物线经过点A，交y轴于点B（0，﹣2），点D为抛物线上一动点，过点D作x轴的垂线，交直线AC于点P，设点D的横坐标为m． （1）求抛物线的解析式． （2）当点D在直线AC下方的抛物线上运动时，求出PD长度的最大值． （3）当以B，C，P为顶点的三角形是等腰三角形时，求此时m的值． 3．综合与探究． 如图，在平面直角坐标系中，已知二次函数yx+2的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，连接BC． （1）求A，B，C三点的坐标； （2）若点P是x轴上一点，当△BCP为等腰三角形时，求点P的坐标； （3）点Q是二次函数图象上的一个动点，请问是否存在点Q使∠QCB＝∠ABC？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 题型03 二次函数中的直角三角形存在性问题 1．记抛物线C1：y＝（x﹣2）2+3的顶点为A，抛物线C2：y＝ax2+1（a＜0）顶点是点B，且与x轴的正半轴交于点 C．当△ABC是直角三角形时，抛物线C2的解析式为　 　． 2．如图，抛物线y＝ax2+bx﹣4a（a≠0）经过A（﹣1，0）、C（0，4）两点，与x轴交于另一点B，连接AC，BC．在抛物线的对称轴上是否存在点M，使得由点M，A，C构成的△MAC是直角三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 3．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+4与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C，已知点B（4，0），此抛物线对称轴为直线x． （1）求抛物线的解析式； （2）将抛物线向下平移t个单位长度，使平移后所得抛物线的顶点落在△BOC内（包括△BOC的边界），求t的取值范围； （3）设点P是抛物线上任一点，点Q在直线x＝7上，△PAQ能否成为以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若能，求出符合条件的点P的坐标；若不能，请说明理由． 题型04 二次函数中的周长存在性问题 1．如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与一直线相交于A（1，0）、C（﹣2，3）两点，与y轴交于点N，其顶点为D． （1）求抛物线及直线AC的函数关系式； （2）若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，求△APC的面积的最大值及此时点P的坐标； （3）在对称轴上是否存在一点M，使△ANM的周长最小．若存在，请求出M点的坐标和△ANM周长的最小值；若不存在，请说明理由． 2．如图，在直角坐标系中，抛物线经过点A（0，4），B（1，0），C（5，0），其对称轴与x轴相交于点M． （1）求抛物线的解析式和对称轴； （2）在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使△PAB的周长最小？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 3．如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与y轴交于点C，与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点． （1）求抛物线的解析式； （2）连接AC，在抛物线的对称轴上是否存在点P，使得△ACP的周长最小？若存在，求出点P的坐标和△ACP的周长的最小值，若不存在，请说明理由． 题型05 二次函数中的面积存在性问题 1．已知关于x的二次函数y＝a（x﹣m）2﹣a（x﹣m）（a，m为常数，且a≠0）的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点N，Q为函数图象的顶点．△ABQ的面积与△ABN的面积相等时，m的值为 　 　． 2．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c（其中b，c为常数）经过点A（3，0），B（0，3），顶点为C． （1）求四边形OACB的面积； （2）点P是x轴上位于A点左侧的一动点，若△POB的面积与四边形PACB的面积之比为1：3，求点P的坐标． 3．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与轴交于点A，与x轴交于点B、C，已知A（0，4），B（4，0）． （1）求抛物线的表达式，并求出点C的坐标． （2）点M是抛物线（第一象限内）上的一个动点，连接MA，MB，当△MAB面积最大时，求M点的坐标． （3）若点M坐标固定为（1，6），Q是抛物线上除M点之外的一个动点，当△ABM与△ABQ的面积相等求出点Q的坐标． 题型06 二次函数中的平行四边形存在性问题 1．如图，直线y＝﹣x+4与x轴交于点C，与y轴交于点B，抛物线y＝ax2+x+c经过B，C两点． （1）求抛物线的解析式； （2）E是直线BC上方抛物线上的一动点，当点E到直线BC的距离最大时，求点E的坐标； （3）Q是抛物线对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点P，使得以P，Q，B，C为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 2．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A，B两点，它的对称轴直线x＝1交抛物线于点M，过点M作MC⊥y轴于点C，连接BC，已知点A的坐标为（﹣1，0）． （1）求此抛物线的函数表达式； （2）动点P，Q在此抛物线上，其横坐标分别为m，m+1，其中﹣1＜m＜1． ①若∠POA＝∠QBO，请求此时点Q的坐标； ②在线段BC上是否存在一点D，使得以C，P，D，Q为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出此时m的值；若不存在，说明理由． 3．如图抛物线y1＝ax2﹣4x+c与直线y2＝kx+b都经过A（0，5），B（﹣5，0）两点，该抛物线的顶点为C． （1）求此抛物线和直线AB的表达式； （2）根据图象，直接写出满足y1＞y2时x的取值范围； （3）设直线AB与该抛物线的对称轴交于点E，在射线EB上是否存在一点M，过点M作x轴的垂线交抛物线于点N，使点M，N，C，E是平行四边形的四个顶点？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由． 题型07 二次函数中的其他特殊四边形存在性问题 1．如图，抛物线y＝﹣x2+6x+c交y轴正半轴于点A，过点A作AC∥x轴交抛物线于另一点C，点B在x轴上，点D在抛物线上，当四边形ABCD是菱形时，则c的值为 　 　． 2．已知直线y＝﹣x+c（c＞0）与x轴、y轴分别交于A、B两点，抛物线y＝ax2+bx+c过点A，与x轴的另一个交点为点C． （1）若c＝3，点C的坐标为（1，0），求抛物线的解析式； （2）若b＝﹣4，探究OB与OC之间的数量关系，并说明理由； （3）点D的坐标为（﹣c，0），以AD为边在x轴上方作正方形ADEF，若抛物线y＝ax2+bx+c的顶点M在正方形ADEF的边上，求b的值． 3．如图，已知二次函数y＝ax2+bx﹣2的图象经过点A（1，0），B（﹣3，0）． （1）求该二次函数的表达式； （2）如图2，矩形PQMN，边MN在线段AB上（M点在N点的左侧），P、Q点在抛物线上，设N（n，0），当n为何值时，矩形PQMN的周长最大，最大值是多少？ （3）在（2）的结论下，矩形PQMN保持不动，沿x轴平移抛物线，平移后的抛物线与矩形的两边交于点E、F，且直线EF平分矩形PQMN的面积，请直接写出平移后的抛物线解析式． 题型08 二次函数中的全等三角形存在性问题 1．如图，抛物线的图象经过点A（4，4），B（5，0）和原点O，点P为抛物线上的一个动点，过点P作x轴的垂线，垂足为D（m，0）（m＞0），并与直线OA交于点C． （1）求出抛物线的函数表达式； （2）连接OP，当S△OPCS△OCD时，求出此时的点P坐标； （3）在直线OA上取一点M，使得以P、C、M为顶点的三角形与△OCD全等，求出点M的坐标． 2．如图，已知二次函数yx2+bx+c的图象与x轴和y轴的正半轴分别交于点A（6，0）和点B，直线yx+4经过点B，交x轴于点C．点D是第一象限内二次函数图象上一动点，DE⊥BC于点E，DF∥x轴交直线BC于点F． （1）求点B、点C的坐标以及二次函数的表达式； （2）是否存在点D，使得△DEF与△BOC全等？若存在，求出点D的坐标，若不存在，请说明理由． 3．如图，抛物线y1＝ax2+bx与x轴交于点A（﹣3，0），点B，点D是抛物线y1的顶点，过点D作x轴的垂线，垂足为点C（﹣1，0）． （1）求抛物线y1所对应的函数解析式； （2）如图1，点M是抛物线y1上一点，且位于x轴上方，横坐标为m，连接MC，若∠MCB＝∠DAC，求m的值； （3）如图2，将抛物线y1平移后得到顶点为B的抛物线y2．点P为抛物线y1上的一个动点，过点P作y轴的平行线，交抛物线y2于点Q，过点Q作x轴的平行线，交抛物线y2于点R．当以点P，Q，R为顶点的三角形与△ACD全等时，请直接写出点P的坐标． 提优练习 1．新定义：若一个点的纵坐标是横坐标的2倍，则称这个点为二倍点．若二次函数y＝x2﹣x+c（c为常数）在﹣2＜x＜4的图象上存在两个二倍点，则c的取值范围是 　 　． 2．如图，已知抛物线y＝x2﹣3x+2与x轴交于A、B两点，且与y轴交于点C，若抛物线上存在点P，使得△PAB的面积为1，则点P的坐标是 　 　． 3．如图，学校计划建一个矩形花圃，其中一边靠墙，已知墙长为42米，篱笆长为60米，若设垂直于墙的边AB的长为x米，平行于墙的边BC长为y米，围成的矩形花圃的面积为S平方米． （1）当x＝10米时，y＝ 　 　米，S＝ 　 　平方米； （2）求S与x之间的函数表达式； （3）围成的矩形花圃是否存在最大面积？若存在，求出这个最大面积，并求出此时x的值，若不存在，说明理由． 4．在平面直角坐标系xOy中，点（1，y1），（3，y2）在抛物线y＝x2﹣2mx+m2上． （1）求抛物线的顶点 　 　； （2）若y1＜y2，求m的取值范围； （3）若点（x0，y0）在抛物线上，若存在﹣1＜x0＜0，使y1＜y0＜y2成立，求m的取值范围． 5．如图，抛物线y＝ax2+bx+8（a≠0）与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D．已知点A（﹣4，0），B（2，0）． （1）求该抛物线的函数表达式； （2）若在抛物线的对称轴上存在一点E，使得△ECD是以CD为腰的等腰三角形，请求出所有满足题意的点E的坐标． 6．如图，已知抛物线L：y＝ax2+bx+4与x轴交于A（﹣1，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C． （1）求抛物线L的表达式； （2）若抛物线L关于原点对称的抛物线为L′，求抛物线L′的表达式； （3）在抛物线L′上是否存在一点P，使得S△ABC＝2S△ABP，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 7．如图1，已知抛物线y＝ax2﹣4ax+c的图象经过点A（1，0），B（m，0），C（0，﹣3），过点C作CD∥x轴交抛物线于点D，点P是抛物线上的一个动点，连接PD，设点P的横坐标为n． （1）填空：m＝　 　，a＝　 　，c＝　 　； （2）在图1中，若点P在x轴上方的抛物线上运动，连接OP，当四边形OCDP面积最大时，求n的值； （3）如图2，若点Q在抛物线的对称轴l上，连接PQ、DQ，是否存在点P使△PDQ为等腰直角三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由． 8．二次函数y＝ax2+bx+2的图象经过A（﹣1，0）． （1）试求二次函数表达式（用含有a的式子表示）； （2）已知点P（1，2）、Q（1，3），连接PQ，以PQ为边在PQ的右侧作正方形PQMN，若二次函数图象与正方形PQMN的边有公共点，求a的取值范围； （3）在（2）中，已知直线l：，是否存在a，使得直线l与二次函数图象同时经过正方形PQMN（包括内部与边界）？若存在，试求出a的取值范围；若不存在，说明理由． 9．如图，抛物线y＝ax2+bx+c交x轴于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点A、C的坐标分别为（﹣6，0），（0，6），对称轴x＝﹣2交x轴于E，点D为抛物线顶点． （1）求抛物线的解析式； （2）点P是直线AC下方的抛物线上一点，且S△PAC＝2S△DAC．求P的坐标； （3）M为抛物线对称轴上一点，是否存在以B、C、M为顶点的三角形是等腰三角形，若存在，请求出点M的坐标，若不存在，请说明理由． 10．如图，已知抛物线y＝ax2﹣2ax+3与x轴交于点A（﹣1，0）和点B，与y轴交于点C，连接AC，过B、C两点作直线． （1）求此抛物线的函数表达式． （2）将直线BC向下平移m（m＞0）个单位长度，交抛物线于B′、C′两点，在直线B′C′上方的抛物线上是否存在定点D，无论m取何值时，都是点D到直线B′C′的距离最大．若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由． （3）若点P是抛物线上一动点，且满足∠PBC+∠ACO＝45°，请直接写出点P的坐标． 11．如图，已知二次函数的图象经过点A（﹣1，0），B（3，0），与y轴交于点C（0，﹣3）． （1）求抛物线的解析式； （2）若点D为抛物线的顶点，求△BCD的面积； （3）抛物线上是否存在点P，使∠PAB＝∠ABC，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 12．已知：二次函数y＝x2+bx+c的顶点P在直线y＝﹣4x上，并且图象经过点A（﹣1，0）． （1）求这个二次函数的解析式； （2）D是线段BP上的一个动点，过点D作DE⊥x轴于点E，E点的坐标为（a，0），△DCE的面积为S． ①求△DCE的面积S的最大值； ②在BP上是否存在点D，使△DCE为直角三角形？若存在，请求出点D的坐标，若不存在，请说明理由． 13．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝﹣x2﹣2x+3的图象与x轴分别交于点A、C与y轴交于点B，顶点为D． （1）点A坐标为 　 　，点D坐标为 　 　； （2）P为AD之间抛物线上一点，直线BP交AD于E，交x轴于F，若S△DBE＝S△AEF，求P点坐标． （3）M为抛物线对称轴上一动点，若平面内存在点N，使得以B、C、M、N为顶点的四边形为菱形，则这样的点N共有 　 　个． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题提优2 二次函数中的存在性问题 题型01 二次函数中的角度存在性问题 1．如图，抛物线 y＝﹣x2+bx+c经过A（4，0），C（﹣1，0）两点，与y轴交于点B，P为第一象限抛物线上的动点，连接AB，BC，PA，PC，PC与AB相交于点Q． （1）求抛物线的解析式： （2）设△APQ的面积为S1，△BCQ的面积为S2，当 S1﹣S2＝5 时，求点P的坐标； （3）是否存在点P，使∠PAB+∠CBO＝45°，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，说明理由． 【分析】（1）利用待定系数法确定函数解析式； （2）根据图形得到：S1+S△AQC＝S2+S△AQC+5，即S△APC＝S△ABC+5．运用三角形的面积公式求得点P的纵坐标y＝6，然后由二次函数图象上点的坐标特征求得点P的横坐标即可； （3）在x轴的正半轴上取点E（1，0），连接BE，过点A作AP∥BE交抛物线于另一点P，易证△BOC≌△BOE，利用已知条件可求出B（0，4），E（1，0），进而求出直线BE，直线AP的解析式，求两条直线的交点即可． 【解答】解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A（4，0），C（﹣1，0）两点， ∴． 解得． ∴抛物线的解析式是y＝﹣x2+3x+4； （2）设P（x，y），对于抛物线y＝﹣x2+3x+4．令x＝0，则y＝4， ∴B（0，4）． ∵S1﹣S2＝5， ∴S1＝S2+5． ∴S1+S△AQC＝S2+S△AQC+5，即S△APC＝S△ABC+5． ∴5． ∴y＝6． ∴﹣x2+3x+4＝6． 解得x1＝1，x2＝2． ∴点P的坐标是（1，6）或（2，6）． （3）存在，使∠PAB+∠CBO＝45°，点P的坐标是（3，4）， 理由：在x轴的正半轴上取点E（1，0），连接BE，过点A作AP∥BE交抛物线于另一点P， ∵C﹣1，0），E（1，0）， ∴OC＝0E＝1， 在△BOC和△BOE中， ， ∴△BOC≌△BOE（SAS）， ∴∠CBO＝EBO， ∵AP∥BE， ∴∠ABE＝∠PAB， ∴∠PAB+∠CBO＝∠ABE+∠EBO＝∠ABO， ∵OA＝OB＝4，∠AOB＝90°， ∴∠ABO＝45°， ∴∠PAB+∠CBO＝45°， 设直线BE的解析式为y＝kx+d，把B（0，4），E（1，0）代入得， 解得：， ∴直线BE的解析式为y＝﹣4x+4， ∵AP∥BE， ∴设直线AP的解析式为y＝﹣4x+f， 将A（4，0）代入得0＝﹣16+f， 解得：f＝16， ∴直线AP的解析式为y＝﹣4x+16， 由﹣x2+3x+4＝﹣4x+16， 解得：x1＝3，x2＝4（不符合题意，舍去）， ∴P（3，4）． 【点评】本题主要考查二次函数的综合问题，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式、二次函数的性质，勾股定理的应用以及三角形面积公式等知识点．难度不是很大，注意解题过程中方程思想和分类讨论数学思想的应用． 2．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，对称轴为直线x＝2，点A的坐标为（1，0）． （1）该抛物线的表达式为 　y＝x2﹣4x+3　； （2）点P为抛物线上一点（不与点A重合），连接PC．当∠PCB＝∠ACB时，求点P的坐标； （3）在（2）的条件下，在对称轴上是否存在一点Q，连接PQ，将线段PQ绕点Q顺时针旋转90°，使点P恰好落在抛物线上？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）由对称轴为直线x＝2，点A的坐标为（1，0），得出B（3，0），由交点式得出函数关系式； （2）方法一：作AD⊥BC于D，可知D在对称轴上，求出E的坐标，得出直线CE的关系式与抛物线求交点即可； 方法二：过点B作BD垂直于x轴，交CP于D，证明△ABC≌△DBC，得AB＝BD，可得D的坐标，从而求出CP解析式，得到P的坐标； （3）分P在Q上方和下方两种情况，当P在Q上方时，构造出△PKQ≌△QTP'，得P'（m+2，m）代入抛物线即可求得m的值，从而可得Q的坐标，当Q在P上方时，由抛物线的对称性可得出Q（2，）． 【解答】解：（1）∵对称轴为直线x＝2，点A的坐标为（1，0）， ∴B（3，0）， ∴y＝（x﹣1）（x﹣3）＝x2﹣4x+3， 故答案为：y＝x2﹣4x+3； （2）方法一：作AD⊥BC于D，交CP于E，如图： 在y＝x2﹣4x+3中，令x＝0得y＝3， ∴C（0，3）， ∵B（3，0）， ∴OB＝OC， ∴∠OBC＝45°， ∴△ABD是等腰直角三角形， ∵A（1，0），B（3，0）， ∴D（2，1）， ∵∠PCB＝∠ACB， ∴AD＝DE， ∴E（3，2）， ∴直线CE的关系式为：yx+3， 由x+3＝x2﹣4x+3得：x1＝0（舍去），x2， ∴P（，）， 方法二：过点B作BD垂直于x轴，交CP于D，如图： ∵OC＝OB， ∴△OCB为等腰直角三角形， ∴∠DBC＝∠ABC＝45°， ∵∠PCB＝∠ACB，BC＝BC， ∴△ABC≌△DBC（ASA）， ∴BD＝AB＝2， ∴D（3，2）， ∴直线CP的解析式为yx+3， 由x+3﹣＝x2﹣4x+3得：x1＝0（舍去），x2， ∴P（，）； （3）在对称轴上存在一点Q，将线段PQ绕点Q顺时针旋转90°，使点P恰好落在抛物线上，理由如下： 点P旋转后的对应点为P'， 当P在Q上方时，作PK⊥对称轴于K，P'T⊥对称轴于T， ∵P（，），对称轴为直线x＝2， ∴PK， 设KQ＝m， ∵将线段PQ绕点Q顺时针旋转90°得线段QP'， ∴∠PQP'＝90°，PQ＝P'Q， ∴∠PQK＝90°﹣∠TQP'＝∠QP'T，∠PKQ＝90°＝∠P'TQ， ∴△PKQ≌△QTP'（AAS）， ∴P'T＝KQ＝m，QT＝PK， ∴P'（m+2，m）， ∵P'恰好落在抛物线上， ∴（m+2）2﹣4（m+2）+3m， 解得m1，m2， ∴Q（2，）， 当Q在P上方时，作PW⊥对称轴于W，如图： 由图可得，P，P'关于直线x＝2对称， ∴△PQP'是等腰直角三角形， ∴△P'QW，△PQW是等腰直角三角形， ∴QW＝PW， ∴Q（2，）， 综上所述：Q（2，）或Q（2，）． 【点评】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数关系式、等腰直角三角形的性质以及运算能力，用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系是解题的关键． 3．如图①，已知抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C． （1）求该抛物线的表达式； （2）若点D是抛物线上第一象限内的一个动点，连接CD，BD，BC，AC．当△BCD的面积等于△AOC面积的2倍时，求点D的坐标； （3）抛物线上是否存在点P，使得∠CBP+∠ACO＝∠ABC？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）用待定系数法即可求解； （2）由△BCD的面积DE×BO，即可求解； （3）分点P在BC左侧和点P在BC由此两种情况，利用正方形得判定及性质以及二次函数得图象及性质，进而求解． 【解答】解：（1）把A（﹣1，0），B（3，0）代入y＝ax2+bx+3（a≠0）中，得： ， 解得：， ∴抛物线解析式为y＝﹣x2+2x+3； （2）过点D作y轴平行线交x轴于E，交BC于点F，作CG⊥DE于点G，如图1， 把x＝0代入y＝﹣x2+2x+3中，得：y＝3， ∴C点坐标是（0，3）， 设直线BC：y＝kx+q， 把B（3，0），C（0，3）代入y＝kx+q，代入得： ， 解得：， ∴直线BC的解析式为y＝﹣x+3； 设D（m，﹣m2+2m+3），则F（m，﹣m+3）， ∴DF＝（﹣m2+2m+3）﹣（﹣m+3）＝﹣m2+3m， 由S△BCD＝2S△AOC得：， ∴， 整理得：m2﹣3m+2＝0， 解得：m1＝1，m2＝2， ∵0＜m＜3， ∴m的值为1或2， 当m＝1时，﹣m2+2m+3＝﹣12+2+3＝4， 当m＝2时，﹣m2+2m+3＝﹣4+4+3＝3， ∴点D的坐标为（1，4）或（2，3）； （3）抛物线上是否存在点P，使得∠CBP+∠ACO＝∠ABC；理由如下： 由C（0，3），B（3，0）得OB＝OC， ∴∠OBC＝45°， ①当点P在BC左侧时．如图2， 在y轴上取点M（0，1），延长BM交抛物线于点P． 在△AOC和△BOM中， ， ∴△AOC≌△BOM（SAS）， ∴∠ACO＝∠ABM， ∴∠CBP+∠ACO＝∠CBM+∠OBM＝∠ABC， 设直线BM的解析式为y＝kx+b， 将B（3，0），M（0，1）代入，得： ， 解得：， ∴设直线BM的解析式为yx+1， 由得：或， ∴； ②当点P在BC右侧时，如图2， 作△BOC关于BC的对称△CBN，CN交二次函数y＝﹣x2+2x+3于点P2，则∠CBN＝∠CBO＝45°，∠N＝∠BOC＝90°，∠BCO＝∠BCN＝45°， ∴∠OCN＝∠N＝∠OBN＝90°， ∵OC＝OB， ∴四边形OCNB是正方形， ∴BN＝3， 令y＝﹣x2+2x+3中，y＝3，则﹣x2+2x+0， 解得x＝0或x＝2， ∴P2（2，3），P2N＝3﹣2＝1＝OM， ∵OB＝NB，∠BOM＝∠BNP2＝90°， 在△BOM和△BNP2中， ， ∴△BOM≌△BNP2（SAS）， ∴∠OBM＝∠NBP2， ∴∠CBP2+∠ACO＝∠CBP2+∠BOM＝∠CBP2+∠NBP2＝45°＝∠ABC， ∴在点P2抛物线上，即点P2满足条件∠CBP+∠ACO＝∠ABC． 故存在满足条件的点P有两个，分别是P1（，），P2（2，3）． 【点评】本题属于二次函数的综合应用，考查待定系数法求解析式，三角形的面积，全等三角形的判定和性质等，正方形的判定及性质，轴对称给的性质，掌握这些知识是解题关键． 题型02 二次函数中的等腰三角形存在性问题 1．二次函数y＝ax2+bx﹣4的图象与x轴相交于点A（﹣4，0）和点B（2，0），与y轴相交于点C，顶点为点D． （1）求该二次函数的表达式； （2）若抛物线的对称轴l交x轴于点E，点P是线段DE上的一个动点（不与点E重合），连接PC，作PQ⊥PC交x轴于点Q（k，0），求k的取值范围； （3）连接AD、BD，点M、N分别在线段AB、AD上（均含端点），且∠DMN＝∠DBA，若△DMN是等腰三角形，求点M的坐标． 【分析】（1）由待定系数法即可求解； （2）由Q（k，0），C（0，﹣4），得PQ2＝（k+1）2+a2，CP2＝1+（a+4）2，CQ2＝k2+6，在Rt△QPC中，根据CQ2＝PQ2+CP2列方程即可得到k＝﹣（a+2）2+3，根据a的取值范围即可求出k的取值范围； （3）证明∠DMN＝∠DBA＝∠DAB，并求出m的取值范围，分①若DN＝DM；②若DN＝MN；③若MN＝MD，三种情况讨论，结合等腰三角形的性质即可求出点M的坐标． 【解答】解：（1）由题意得：y＝a（x+4）（x﹣2）＝ax2+bx﹣4， 解得：a， 则抛物线的表达式为：yx2+x﹣4； （2）由抛物线的表达式知，点C的坐标为（0，﹣4），定点坐标为：（﹣1，）， 由点P在线段DE上，设点P的坐标为（﹣1，a）， 则a＜0， ∵Q（k，0），C（0，﹣4）， ∴PQ2＝（k+1）2+a2，CP2＝1+（a+4）2，CQ2＝k2+6， ∵PQ⊥PC， ∴∠QPC＝90°， 在Rt△QPC中，CQ2＝PQ2+CP2， ∴k2+16＝（k+1）2+a2+1+（a+4）2， 整理得k＝﹣（a+2）2+3， ∵a＜0， ∴当a＝﹣2时，k取得最大值3；当a时，k取得最小值， ∴k≤3； （3）由抛物线对称性可得，∠DBA＝∠DAB， ∵∠DMN＝∠DBA， ∴∠DMN＝∠DBA＝∠DAB， 把y＝0代入yx2+x﹣4； 解得x1＝﹣4，x2＝2， ∴点B的坐标为（2，0）， 设点M的坐标为（m，0）， ∵点M在线段AB上（含端点）， ∴﹣4≤m≤2， ①若DN＝DM，则∠DMN＝∠DNM， ∵∠DMN＝∠DAB， ∴∠DAB＝∠DNM， 得点N与点A重合，则点M与点B重合， ∴点M的坐标为（2，0）； ②若DN＝MN，则∠DMN＝∠NDM， ∵∠DMN＝∠DAB， ∴∠NDM＝∠DAB， ∴AM＝DM，即m+4， 解得：m， ∴点M的坐标为（，0）； ③若MN＝MD，则∠MND＝∠MDN， ∵∠AMD是△BDM的外角， ∴∠AMN+∠DMN＝∠BDM+∠DBA， ∵∠DMN＝∠DBA， ∴∠AMN＝∠BDM， ∵MN＝MD，∠MAN＝∠DBM， ∴△AMN≌△BDM（AAS）， ∴AM＝BD， ∴m+4， 解得：m， ∴点M的坐标为（，0）； 综上所述，若△DMN是等腰三角形，则点M的坐标为（2，0）或（，0）或（，0）． 【点评】本题考查了待定系数法求函数解析式，勾股定理，等腰三角形的额性质与判定，二次函数与等腰三角形的存在性问题，本题的关键是把握题目等腰三角形的条件，利用分类讨论思想解决问题． 2．综合与探究 如图，直线y＝﹣x+4交x轴于点A，交y轴于点C，抛物线经过点A，交y轴于点B（0，﹣2），点D为抛物线上一动点，过点D作x轴的垂线，交直线AC于点P，设点D的横坐标为m． （1）求抛物线的解析式． （2）当点D在直线AC下方的抛物线上运动时，求出PD长度的最大值． （3）当以B，C，P为顶点的三角形是等腰三角形时，求此时m的值． 【分析】（1）由直线y＝﹣x+4求出点A的坐标，将A，B的坐标代入即可； （2）用含m的代数式表示点P，D的坐标，由点D在直线AC下方的抛物线上，可用含m的代数式表示出PD的长，利用函数的思想和性质可求出线段PD的最大值； （3）分别由B、C、P的坐标求出BC2，PB2，PC2的值，当△BCP为等腰三角形时，分三种情况进行讨论，当BC＝PB时，BC＝PC时，PB＝PC时，分别列出关于m的方程，即可求出m的值． 【解答】解：（1）在y＝﹣x+4中，当y＝0，x＝4， ∴A（4，0）， 将A（4，0），B（0，﹣2）代入， 得， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）∵点D的横坐标为m， ∴点P的坐标为（m，﹣m+4），点D的坐标为， ∵点D在直线AC下方的抛物线上， ∴， ∵， 当时，线段PD的长度有最大值，最大值为； （3）由B（0，﹣2），C（0，4），P（m，﹣m+4），得BC2＝36，PB2＝m2+（﹣m+4+2）2＝2m2﹣12m+36，PC2＝m2+（﹣m+4﹣4）2＝2m2， 当△BCP为等腰三角形时，有三种情况： ①当BC＝PB时，BC2＝PB2，即36＝2m2﹣12m+36， 解得m1＝0（不合题意，舍去），m2＝6； ②当BC＝PC时，BC2＝PC2，即36＝2m2，解得，； ③当PB＝PC时，PB2＝PC2，即2m2﹣12m+36＝2m2，解得m＝3， 综上所述，m的值为6或或或3． 【点评】本题考查了待定系数法求解析式，函数的思想求极值，等腰三角形的性质等，解题关键是在求等腰三角形的存在性时注意分类讨论思想的运用等． 3．综合与探究． 如图，在平面直角坐标系中，已知二次函数yx+2的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，连接BC． （1）求A，B，C三点的坐标； （2）若点P是x轴上一点，当△BCP为等腰三角形时，求点P的坐标； （3）点Q是二次函数图象上的一个动点，请问是否存在点Q使∠QCB＝∠ABC？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）当y＝0时，即，解方程可得图象与x轴交于点A（﹣1，0），B（3，0），当x＝0时，y＝2，从而得图象与y轴交于点C（0，2）； （2）先利用勾股定理求出，再分当，当PC＝BC时，当PC＝PB时，三种情况讨论求解即可； （3）分点Q在BC上方时和点P在BC下方两种情况讨论求解即可． 【解答】解：（1）当y＝0时，即， 解得：x1＝﹣1，x2＝3． ∴图象与x轴交于点A（﹣1，0），B（3，0）， 当x＝0时，y＝2， ∴图象与y轴交于点C（0，2）， （2）∵B（3，0），C（0，2）， ∴， 当，则点P的坐标为或； 当PC＝BC时， ∵OC⊥BP， ∴OP＝OB＝3， ∴点P的坐标为（﹣3，0）； 当PC＝PB时，设点P的坐标为（m，0）， ∴PC2＝PB2， ∴（m﹣0）2+（0﹣2）2＝（m﹣3）2， 解得， ∴点P的坐标为； 综上所述，点P的坐标为或或（﹣3，0）； （3）当点Q在BC上方时，如图1， ∵∠QCB＝∠ABC， ∴CQ∥AB，即CQ∥x轴， ∴点Q与点C关于抛物线的对称轴对称， ∵抛物线解析式为， ∴抛物线的对称轴为直线； ∵C（0，2）， ∴Q（2，2）； 当点Q在BC下方时，设CQ交x轴于点K（m，0），如图2， 则OK＝m，KB＝3﹣m． ∵∠QCB＝∠ABC， ∴CK＝BK＝3﹣m． 在Rt△COK中，OC2+OK2＝CK2， ∴22+m2＝（3﹣m）2， 解得：， ∴， 设直线CK的解析式为y＝kx+d， ， 解得：， ∴直线CK的解析式为， 联立得， 解得：（不合题意，舍去），， ∴． 综上所述，点Q的坐标为（2，2）或． 【点评】本题主要考查了二次函数综合，求二次函数与坐标轴的交点坐标，一次函数与几何综合，勾股定理，等腰三角形的性质与判定等等，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． 题型03 二次函数中的直角三角形存在性问题 1．记抛物线C1：y＝（x﹣2）2+3的顶点为A，抛物线C2：y＝ax2+1（a＜0）顶点是点B，且与x轴的正半轴交于点 C．当△ABC是直角三角形时，抛物线C2的解析式为　y＝﹣x2+1或yx2+1　． 【分析】由题意知A（2，3）、B（0，1）根据勾股定理可得AB2＝（2﹣0）2+（3﹣1）2＝8由抛物线C2的顶点B（0，1）在y轴上得到抛物线C2的解析式为y＝ax2+1设点C坐标为（c，0），根据勾股定理得到AC2＝（2﹣c）2+32＝c2﹣4c+13；BC2＝c2+1由于△ABC是直角三角形，进行分类讨论即可求出结果． 【解答】解：由y＝（x﹣2）2+3和y＝ax2+1（a＜0）知：A（2，3）、B（0，1）， ∴AB2＝（2﹣0）2+（3﹣1）2＝8． ∵抛物线C2的顶点B（0，1）在y轴上， ∴抛物线C2的解析式为y＝ax2+1． 设点C坐标为（c，0）， ∴AC2＝（2﹣c）2+32＝c2﹣4c+13，BC2＝c2+1． ∵△ABC是直角三角形， 则：①当∠ABC＝90°时，AC2＝BC2+AB2， 即c2﹣4c+13＝（c2+1）+8，解得：c＝1 ∴C1（1，0）， 将点C1坐标代入y＝ax2+1得：a+1＝0；解得：a＝﹣1， ∴抛物线C2的解析式为：y＝﹣x2+1， ②当∠BAC＝90°时，BC2＝AC2+AB2， 即c2+1＝（c2﹣4c+13）+8，解得：c＝5， ∴C2（5，0）， 将点C2坐标代入y＝ax2+1得：25a+1＝0，解得：a， ∴抛物线C2的解析式为：yx2+1， 综上，当△ABC为直角三角形时，抛物线C2的解析式为：y＝﹣x2+1或yx2+1． 故答案为：y＝﹣x2+1或yx2+1． 【点评】考查了抛物线与x轴的交点，待定系数法确定函数解析式，二次函数的性质等知识点，难度较大． 2．如图，抛物线y＝ax2+bx﹣4a（a≠0）经过A（﹣1，0）、C（0，4）两点，与x轴交于另一点B，连接AC，BC．在抛物线的对称轴上是否存在点M，使得由点M，A，C构成的△MAC是直角三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【分析】依据题意，由抛物线过（0，4），（﹣1，0），从而，求出a，b可得解析式y＝﹣x2+3x+4＝﹣（x）2，从而抛物线的对称轴是直线x，又M在对称轴上， 可设点M（，m）．再分AM是斜边、CM是斜边、AC是斜边三种情况，分别求解即可． 【解答】解：由题意，∵抛物线过（0，4），（﹣1，0）， ∴． ∴． ∴抛物线的表达式为：y＝﹣x2+3x+4＝﹣（x）2． ∴抛物线的对称轴是直线x． 又M在对称轴上， ∴可设点M（，m）． ∴AM2＝（1）2+m2，CM2＝（0）2+（m﹣4）2，AC217． ①当AM是斜边时，（1）2+m2＝（0）2+（m﹣4）2+17，解得：m； ②当CM是斜边时，同理可得：m； ③当AC是斜边时，同理可得：m或； 综上，点M的坐标为：（，）或（，）或（，）或（，）． 【点评】本题主要考查了二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征、勾股定理及其逆定理等，解题时要熟练掌握并能灵活运用分类讨论思想是关键． 3．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+4与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C，已知点B（4，0），此抛物线对称轴为直线x． （1）求抛物线的解析式； （2）将抛物线向下平移t个单位长度，使平移后所得抛物线的顶点落在△BOC内（包括△BOC的边界），求t的取值范围； （3）设点P是抛物线上任一点，点Q在直线x＝7上，△PAQ能否成为以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若能，求出符合条件的点P的坐标；若不能，请说明理由． 【分析】（1）由抛物线对称轴求出b与a的数量关系，再将（4，0）代入解析式求解． （2）先求出点C坐标，从而可得直线BC的解析式，进而求解． （3）分类讨论点P在x轴上方与x轴下方两种情况，过点P作x轴的平行线交直线x＝7于点M，过点A作y轴平行线交PM于点N，通过△ANP≌△PMQ求解． 【解答】解：（1）∵抛物线对称轴为直线x， ∴b＝﹣3a， ∴y＝ax2﹣3ax+4， 把（4，0）代入y＝ax2﹣3ax+3得0＝16a﹣12a+4， 解得a＝﹣1， ∴b＝﹣3a＝3， ∴y＝﹣x2+3x+4． （2）把x＝0代入y＝﹣x2+x+4得y＝4， ∴点C坐标为（0，4）， 设直线BC解析式为y＝kx+m， 将（0，4），（4，0）代入y＝kx+m得， 解得， ∴y＝﹣x+4， 把x代入y＝﹣x+4得y4， 把x代入y＝﹣x2+3x+434， ∴抛物线顶点坐标为（，），平移后顶点坐标为（，t）， 由题意得0t， 解得t． （3）如图，当点P在x轴上方时，过点P作x轴的平行线交直线x＝7于点M，过点A作y轴平行线交PM于点N， 当△PAQ为以点P为直角顶点的等腰直角三角形时，△ANP≌△PMQ， 设点P（m，﹣m2+3m+4），则NA＝yP＝﹣m2+3m+4，MP＝7﹣xP＝7﹣m， 由NA＝PM得﹣m2+3m+4＝7﹣m， 解得m＝1或m＝3， ∴点P坐标为（1，6）或（3，4）． 如图，当点P在x轴下方， 同理可得AN＝﹣yP＝m2﹣3m﹣4，MP＝7﹣xP＝7﹣m， ∴m2﹣3m﹣4＝7﹣m， 解得m＝1+2或m＝1﹣2， 把m＝1+2代入y＝﹣m2+3m+4得y＝﹣6+2， 把m＝1﹣2代入y＝﹣m2+3m+4得y＝﹣6﹣2， ∴点P坐标为（1+2，﹣6+2）或（1﹣2，﹣6﹣2）． 综上所述，点P坐标为（1，6）或（3，4）或（1﹣2，﹣6﹣2）或（1+2，﹣6+2）． 【点评】本题考查二次函数的综合应用，解题关键是掌握二次函数的性质，掌握二次函数与方程的关系，通过分类讨论求解． 题型04 二次函数中的周长存在性问题 1．如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与一直线相交于A（1，0）、C（﹣2，3）两点，与y轴交于点N，其顶点为D． （1）求抛物线及直线AC的函数关系式； （2）若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，求△APC的面积的最大值及此时点P的坐标； （3）在对称轴上是否存在一点M，使△ANM的周长最小．若存在，请求出M点的坐标和△ANM周长的最小值；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）根据点A，C的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线及直线AC的函数关系式； （2）过点P作PE∥y轴交x轴于点E，交直线AC于点F，过点C作CQ∥y轴交x轴于点Q，设点P的坐标为（x，﹣x2﹣2x+3）（﹣2＜x＜1），则点E的坐标为（x，0），点F的坐标为（x，﹣x+1），进而可得出PF的值，由点C的坐标可得出点Q的坐标，进而可得出AQ的值，利用三角形的面积公式可得出S△APCx2x+3，再利用二次函数的性质，即可解决最值问题； （3）利用二次函数图象上点的坐标特征可得出点N的坐标，利用配方法可找出抛物线的对称轴，由点C，N的坐标可得出点C，N关于抛物线的对称轴对称，令直线AC与抛物线的对称轴的交点为点M，则此时△ANM周长取最小值，再利用一次函数图象上点的坐标特征求出点M的坐标，以及利用两点间的距离公式结合三角形的周长公式求出△ANM周长的最小值即可得出结论． 【解答】解：（1）将A（1，0），C（﹣2，3）代入y＝﹣x2+bx+c，得： ，解得：， ∴抛物线的函数关系式为y＝﹣x2﹣2x+3； 设直线AC的函数关系式为y＝mx+n（m≠0）， 将A（1，0），C（﹣2，3）代入y＝mx+n，得： ，解得：， ∴直线AC的函数关系式为y＝﹣x+1． （2）过点P作PE∥y轴交x轴于点E，交直线AC于点F，过点C作CQ∥y轴交x轴于点Q，如图1所示． 设点P的坐标为（x，﹣x2﹣2x+3）（﹣2＜x＜1），则点E的坐标为（x，0），点F的坐标为（x，﹣x+1）， ∴PE＝﹣x2﹣2x+3，EF＝﹣x+1， PF＝PE﹣EF＝﹣x2﹣2x+3﹣（﹣x+1）＝﹣x2﹣x+2． ∵点C的坐标为（﹣2，3）， ∴点Q的坐标为（﹣2，0）， ∴AQ＝1﹣（﹣2）＝3， ∴S△APCAQ•PFx2x+3（x）2． ∵0， ∴当x时，△APC的面积取最大值，最大值为，此时点P的坐标为（，）． （3）当x＝0时，y＝﹣x2﹣2x+3＝3， ∴点N的坐标为（0，3）． ∵y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4， ∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣1． ∵点C的坐标为（﹣2，3）， ∴点C，N关于抛物线的对称轴对称． 令直线AC与抛物线的对称轴的交点为点M，如图2所示． ∵点C，N关于抛物线的对称轴对称， ∴MN＝CM， ∴AM+MN＝AM+MC＝AC， ∴此时△ANM周长取最小值． 当x＝﹣1时，y＝﹣x+1＝2， ∴此时点M的坐标为（﹣1，2）． ∵点A的坐标为（1，0），点C的坐标为（﹣2，3），点N的坐标为（0，3）， ∴AC3，AN， ∴C△ANM＝AM+MN+AN＝AC+AN＝3． ∴在对称轴上存在一点M（﹣1，2），使△ANM的周长最小，△ANM周长的最小值为3． 【点评】本题考查了待定系数法求一次函数解析式、待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征、一次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质、三角形的面积以及周长，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出抛物线及直线AC的函数关系式；（2）利用三角形的面积公式找出S△APCx2x+3；（3）利用二次函数图象的对称性结合两点之间线段最短找出点M的位置． 2．如图，在直角坐标系中，抛物线经过点A（0，4），B（1，0），C（5，0），其对称轴与x轴相交于点M． （1）求抛物线的解析式和对称轴； （2）在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使△PAB的周长最小？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）因为抛物线经过点B（1，0），C（5，0），可以假设抛物解析式为y＝a（x﹣1）（x﹣5），把A（0，4）代入即可解决问题，对称轴根据图象即可解决． （2）连接AC与对称轴的交点即为点P，此时△PAB周长最小．求出直线AC的解析式即可解决问题． 【解答】解：（1）∵抛物线经过点B（1，0），C（5，0）， ∴可以假设抛物解析式为y＝a（x﹣1）（x﹣5），把A（0，4）代入得4＝5a， ∴a， ∴抛物线解析式为y（x﹣1）（x﹣5）x2x+4． 由图象可知抛物线对称轴x＝3． （2）存在．连接AC与对称轴的交点即为点P，此时△PAB周长最小． 设直线AC的解析式为y＝kx+b，则， 解得， ∴直线AC解析式为yx+4，和对称轴的交点P为（3，）． 【点评】本题考查二次函数综合题、两点之间线段最短、一次函数、待定系数法等知识，解题的关键是灵活应用这些知识解决问题，学会利用对称解决最短问题，属于中考常考题型． 3．如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与y轴交于点C，与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点． （1）求抛物线的解析式； （2）连接AC，在抛物线的对称轴上是否存在点P，使得△ACP的周长最小？若存在，求出点P的坐标和△ACP的周长的最小值，若不存在，请说明理由． 【分析】（1）用待定系数法求函数的解析式即可； （2）当B、C、P三点共线时，△ACP的周长有最小值，直线BC与对称轴的交点为P点，又由，可得△ACP的周长的最小值为． 【解答】解：（1）将A（﹣1，0），B（3，0）代入y＝﹣x2+bx+c， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2+2x+3； （2）抛物线的对称轴上存在点P，使得△ACP的周长最小，理由如下： ∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4， ∴抛物线的对称轴为直线x＝1， ∵A、B点关于直线x＝1对称， ∴PA＝PB， ∴△ACP的周长＝AC+AP+CP＝AC+PB+CP≥AC+BC， ∴当B、C、P三点共线时，△ACP的周长有最小值， 当x＝0时，y＝3， ∴C（0，3）， ∴， ∴△ACP的周长的最小值为； 设直线BC的解析式为y＝kx+m， ∴， 解得， ∴y＝﹣x+3， ∴P（1，2）． 【点评】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，轴对称的性质是解题的关键． 题型05 二次函数中的面积存在性问题 1．已知关于x的二次函数y＝a（x﹣m）2﹣a（x﹣m）（a，m为常数，且a≠0）的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点N，Q为函数图象的顶点．△ABQ的面积与△ABN的面积相等时，m的值为 　或　． 【分析】依据题意，当x＝0时，y＝a（0﹣m）2﹣a（0﹣m）＝am2+am，从而求出点N的坐标为（0，am2+am），再令y＝0，可得a（x﹣m）2﹣a（x﹣m）＝a（x﹣m）（x﹣m﹣1）＝0，求出x1＝m，x2＝m+1，故AB＝（m+1）﹣m＝1，可得△ABN的面积1×|am2+am|，△ABQ的面积＝×1×|a|，又依据△ABQ的面积与△ABN的面积相等，再计算可以得解． 【解答】解：由题意，当x＝0时，y＝a（0﹣m）2﹣a（0﹣m）＝am2+am， ∴点N的坐标为（0，am2+am）． 又令y＝0， ∴a（x﹣m）2﹣a（x﹣m）＝a（x﹣m）（x﹣m﹣1）＝0． ∴x1＝m，x2＝m+1． ∴AB＝（m+1）﹣m＝1． ∴△ABN的面积1×|am2+am|． 又y＝a（x﹣m）2﹣a（x﹣m）＝a（x﹣m）2a， ∴△ABQ的面积＝×1×|a|． ∵△ABQ的面积与△ABN的面积相等， ∴1×|am2+am|＝×1×|a|． 整理得，m2+m0或m2+m0， ∴m或m． 故答案为：或． 【点评】本题主要考查了二次函数的图象与性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键． 2．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c（其中b，c为常数）经过点A（3，0），B（0，3），顶点为C． （1）求四边形OACB的面积； （2）点P是x轴上位于A点左侧的一动点，若△POB的面积与四边形PACB的面积之比为1：3，求点P的坐标． 【分析】（1）将A、B的坐标代入二次函数解析式求出b，c确定二次函数解析式，然后求出点C即可解答； （2）设P（a，0），根据△POB的面积与四边形PACB的面积之比为1：3列出关于a的方程解答即可． 【解答】解：（1）把A（3，0），B（0，3）代入y＝﹣x2+bx+c中得： ， 解得， ∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4， ∴顶点坐标C（1，4）， ∴四边形OACB的面积为：7.5； （2）设P（a，0）， 当a＞0时，3， 解得a， 当a＜0时，33×|a|＝7.5|a|， 解得a， ∴P（，0）或（，0）． 【点评】本题考查了二次函数的性质以及二次函数图象上点的坐标特征，利用所给点的坐标正确确定二次函数的解析式是解题的关键． 3．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与轴交于点A，与x轴交于点B、C，已知A（0，4），B（4，0）． （1）求抛物线的表达式，并求出点C的坐标． （2）点M是抛物线（第一象限内）上的一个动点，连接MA，MB，当△MAB面积最大时，求M点的坐标． （3）若点M坐标固定为（1，6），Q是抛物线上除M点之外的一个动点，当△ABM与△ABQ的面积相等求出点Q的坐标． 【分析】（1）用待定系数法求出函数表达式，即可求解； （2）由△MAB面积MH×OB，即可求解； （3）过点M作直线MR∥AB交y轴于点R，得到直线MR的表达式为：y＝﹣（x﹣1）+6＝﹣x+7，即可求解；过点T作直线TQ∥BC，得到直线TQ的表达式为：y＝﹣x+1，即可求解． 【解答】解：（1）由题意得：， 解得：， 则抛物线的表达式为：y＝﹣x2+3x+4， 令y＝0，则x＝4（舍去）或﹣1， 即C（﹣1，0）； （2）过点M作MH∥y轴交AB于点H， 由点A、B的坐标得，直线AB的表达式为：y＝﹣x+4， 设点M（x，﹣x2+3x+4），则点H（x，﹣x+4）， 则△MAB面积MH×OB4×（﹣x2+3x+4+x﹣4）＝﹣2x2+8x， ∵﹣2＜0，故当x＝2时，△MAB面积最大， 此时点M（2，6）； （3）由（2）知，直线AB的表达式为：y＝﹣x+4， 过点M作直线MR∥AB交y轴于点R， 则直线MR的表达式为：y＝﹣（x﹣1）+6＝﹣x+7，则点R（0，7）， 则AR＝3， 联立y＝﹣x+7和抛物线的表达式得：﹣x+7＝﹣x2+3x+4， 解得：x＝1（舍去）或3，即点Q（3，4）， 则点A下方取点T，使AT＝AR，则点T（0，1）， 过点T作直线TQ∥BC， 则直线TQ的表达式为：y＝﹣x+1， 联立上式和抛物线的表达式得：﹣x+1＝﹣x2+3x+4， 解得：x＝2±， 则点Q（2，﹣1）或（2，﹣1）， 综上，点Q的坐标为：（3，4）或（2，﹣1）或（2，﹣1）． 【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到平行线的性质、面积的计算等，用平行线的方法处理面积之间的关系是解题的关键． 题型06 二次函数中的平行四边形存在性问题 1．如图，直线y＝﹣x+4与x轴交于点C，与y轴交于点B，抛物线y＝ax2+x+c经过B，C两点． （1）求抛物线的解析式； （2）E是直线BC上方抛物线上的一动点，当点E到直线BC的距离最大时，求点E的坐标； （3）Q是抛物线对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点P，使得以P，Q，B，C为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）先利用一次函数的性质求出B、C的坐标，然后把B、C的坐标代入到抛物线解析式中求解即可； （2）要求E到直线BC的最大距离，即要求△BCE面积的最大值，由此转换成求△BCE的面积最大值时点E的坐标即可； （3）分BC为对角线和边两种情况，利用平行四边形对角线中点坐标相同进行求解即可． 【解答】解：（1）∵直线y＝﹣x+4与x轴交于点C，与y轴交于点B， ∴点B，C的坐标分别为B（0，4），C（4，0）， 把点B（0，4）和点C（4，0）代入抛物线y＝ax2+x+c， 得：， 解之，得， ∴抛物线的解析式为． （2）如图，过点E作EG∥y轴，交直线BC于点G． 设点E的坐标为，则点G的坐标为（m，﹣m+4）， ∴， ∴， ∴当m＝2时，点E到BC的距离就最大．此时点E的坐标为（2，4）． （3）存在．由抛物线可得对称轴是直线x＝1． ∵Q是抛物线对称轴上的动点，∴点Q的横坐标为1． ①当BC为边时，点B到点C的水平距离是4， ∴点Q到点P的水平距离也是4． ∴点P的横坐标是5或﹣3，∴点P的坐标为或； ②当BC为对角线时，点Q到点C的水平距离是3， ∴点B到点P的水平距离也是3，∴点P的坐标为． 综上所述，在抛物线上存在点P，使得以P，Q，B，C为顶点的四边形是平行四边形， 点P的坐标是或或． 【点评】本题主要考查了二次函数的综合应用，一次函数与坐标轴的交点问题，平行四边形的性质，正确作出辅助线和画图图形是解题的关键． 2．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A，B两点，它的对称轴直线x＝1交抛物线于点M，过点M作MC⊥y轴于点C，连接BC，已知点A的坐标为（﹣1，0）． （1）求此抛物线的函数表达式； （2）动点P，Q在此抛物线上，其横坐标分别为m，m+1，其中﹣1＜m＜1． ①若∠POA＝∠QBO，请求此时点Q的坐标； ②在线段BC上是否存在一点D，使得以C，P，D，Q为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出此时m的值；若不存在，说明理由． 【分析】（1）由待定系数法即可求解； （2）①证明BQ∥OP，得到直线OP的表达式为：y＝﹣（m+2）x，联立上式和抛物线的表达式得：﹣x2+2x+3＝﹣（m+2）x，解得：xxP＝m，即可求解； ②当CD为对角线时，由中点坐标公式列出方程组，即可求解；当CP或CQ角线时，同理可解． 【解答】解：（1）由题意得：， 解得：， 则抛物线的表达式为：y＝﹣x2+2x+3； （2）由抛物线的表达式知，点B、M的坐标分别为：（3，0）、（1，4），则点C（0，4）， 设点P（m，﹣m2+2m+3），则点Q（m+1，﹣m2+4）， ①由点BQ的坐标得，直线BQ的表达式为：y＝﹣（m+2）（x﹣3）， ∵∠POA＝∠QBO，则BQ∥OP， 则直线OP的表达式为：y＝﹣（m+2）x， 联立上式和抛物线的表达式得：﹣x2+2x+3＝﹣（m+2）x， 解得：xxP＝m， 解得：m， 则点Q的坐标为：（，）； ②存在，理由： 由点B、C的坐标得，直线BC的表达式为：yx+4， 设点D的坐标设为（t，t+4）， 当CD为对角线时， 由中点坐标公式得：， 解得：m（不合题意的值已舍去）； 当CP或CQ角线时， 同理可得：或， 解得：m（舍去）； 综上，m． 【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到平行四边形的性质、线段长度的表示方法、一次函数的图象和性质，其中（2），确定BQ∥OP是本题解题的关键． 3．如图抛物线y1＝ax2﹣4x+c与直线y2＝kx+b都经过A（0，5），B（﹣5，0）两点，该抛物线的顶点为C． （1）求此抛物线和直线AB的表达式； （2）根据图象，直接写出满足y1＞y2时x的取值范围； （3）设直线AB与该抛物线的对称轴交于点E，在射线EB上是否存在一点M，过点M作x轴的垂线交抛物线于点N，使点M，N，C，E是平行四边形的四个顶点？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由． 【分析】（1）将A（0，3），B（﹣3，0），分别代入抛物线和直线的表达式中求解，得出完整表达式即可； （2）根据图象即可求解； （3）分“点M在x轴的上方”和“点M在x轴的下方”两种情况讨论，根据题意画出符合题意的图形，设出点M的坐标，依据解析式得出点N的坐标，利用M，N的坐标表示出线段MN，求出CE的长度，利用平行四边形的对边相等得到CE＝MN，得出方程求解，得出M的坐标即可． 【解答】解：（1）∵抛物线经过A（0，5），B（﹣5，0）两点， ∴， 解得：， ∴抛物线的表达式为． ∵直线y2＝kx+b经过A（0，5），B（﹣5，0）两点， ∴， 解得：， ∴直线AB的表达式为y2＝x+5； （2）∵A（0，5），B（﹣5，0）， ∴根据图象可得，当y1＞y2时，﹣5＜x＜0； （3）在射线EB上存在一点M，过点M作x轴的垂线交抛物线于点N，使点M，N，C，E是平行四边形的四个顶点；理由如下： ∵， ∴抛物线的顶点C的坐标为（﹣2，9）． ∵CE∥y轴，E在直线y2＝x+5上， ∴﹣2+5＝3，点E的坐标为（﹣2，3）． ∴CE＝9﹣3＝6． 情况一：如图1，若点M在x轴的上方，连接CN， ∴四边形CEMN为平行四边形，CE＝MN． 设M（a，a+5），则N（a，﹣a2﹣4a+5）． ∴MN＝（﹣a2﹣4a+5）﹣（a+5）＝﹣a2﹣5a， ∴﹣a2﹣5a＝6， 解得：a＝﹣3或a＝﹣2（舍去）． ∴a+5＝﹣3+5＝2， ∴M（﹣3，2）； 情况二：如图2，若点M在x轴的下方，连接EN，CM，MN， ∴四边形CENM为平行四边形，CE＝MN． 设M（a，a+5），则N（a，﹣a2﹣4a+5）． ∴MN＝（a+5）﹣（﹣a2﹣4a+5）＝a2+5a， ∴a2+5a＝6， 解得：a＝﹣6或a＝1（舍去）． ∴a+5＝﹣6+5＝﹣1， ∴M（﹣6，﹣1）， 综上所述，在射线EB上存在一点M，过点M作x轴的垂线交抛物线于点N，使点M，N，C，E是平行四边形的四个顶点；M点的坐标为（﹣3，2）或（﹣6，﹣1）． 【点评】本题主要考查了二次函数的综合运用，求二次函数、一次函数的解析式，解一元二次方程，利用点的坐标的特征表示相应线段的长度、平行四边形的性质，分类讨论、画出图形、数形结合是解题的关键． 题型07 二次函数中的其他特殊四边形存在性问题 1．如图，抛物线y＝﹣x2+6x+c交y轴正半轴于点A，过点A作AC∥x轴交抛物线于另一点C，点B在x轴上，点D在抛物线上，当四边形ABCD是菱形时，则c的值为 　9　． 【分析】连接BD，根据菱形的性质得出BD⊥AC，BD与AC互相平分，即可得出直线BD是抛物线的对称轴，D是顶点，把解析式化成顶点式得到顶点坐标为（3，9+c），由D的纵坐标等于A的纵坐标是2倍得到c（9+c），求得c＝9． 【解答】解：连接BD， ∵四边形ABCD是菱形， ∴BD⊥AC，BD与AC互相平分， ∵AC∥x轴， ∴BD⊥x轴， ∵点A、C在抛物线y＝﹣x2+6x+c上， ∴直线BD是抛物线的对称轴， ∵抛物线y＝﹣x2+6x+c＝﹣（x﹣3）2+9+c， ∴D（3，9+c）， ∴c（9+c）， ∴c＝9， 故答案为：9． 【点评】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，菱形的性质，根据题意得到关于c的方程是解题的关键． 2．已知直线y＝﹣x+c（c＞0）与x轴、y轴分别交于A、B两点，抛物线y＝ax2+bx+c过点A，与x轴的另一个交点为点C． （1）若c＝3，点C的坐标为（1，0），求抛物线的解析式； （2）若b＝﹣4，探究OB与OC之间的数量关系，并说明理由； （3）点D的坐标为（﹣c，0），以AD为边在x轴上方作正方形ADEF，若抛物线y＝ax2+bx+c的顶点M在正方形ADEF的边上，求b的值． 【分析】（1）将点A，C点坐标代入抛物线的解析式，解方程求的a，b的值，进而得出结果； （2）解方程表示出点B和点C坐标，进而表示出OB和OC，进而得出结果； （3）当顶点在DE上时，对称轴，抛物线过点A（c，0），从而得出ac2+bc+c＝0，进而求得b的值；当顶点在EF上时，顶点的纵坐标为2c，从而得出，结合ac2+bc+c＝0求得结果． 【解答】解：（1）若c＝3，则y＝﹣x+3， 令y＝0，则x＝3， ∴A（3，0）， ∵点C的坐标为（1，0）， ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为y＝x2﹣4x+3； （2）OB与OC之间的数量关系为：OB＝3OC，理由： 若b＝﹣4，则y＝ax2﹣4x+c， 在直线y＝﹣x+c（c＞0）中， 令y＝0，则x＝c， ∴A（c，0）， 令x＝0，则y＝c， ∴B（0，c）， ∴OB＝c． ∵抛物线y＝ax2+bx+c过点A， ∴ac2﹣4c+c＝0， ∵c＞0， ∴ac＝3． ∴c． 令y＝0，则ax2﹣4x+c＝0， ∴x， ∴x或x． ∴C（，0）， ∴OCc， ∴OB＝3OC； （3）如图1， 当顶点在DE上时， ∴， ∴b＝2ac①， ∵抛物线过点A（c，0）， ∴ac2+bc+c＝0， ∵c＞0， ∴ac+b+1＝0②， 由①②得， b， 如图2， 当顶点在EF上时， 由题意得， ， ∴b1＝2，b2＝﹣2（舍去） 综上所述：b或﹣2． 【点评】本题考查了二次函数的图象性质，求 二次函数的解析式，解一元二次方程，正方形的性质等知识，解决问题的关键是分类讨论． 3．如图，已知二次函数y＝ax2+bx﹣2的图象经过点A（1，0），B（﹣3，0）． （1）求该二次函数的表达式； （2）如图2，矩形PQMN，边MN在线段AB上（M点在N点的左侧），P、Q点在抛物线上，设N（n，0），当n为何值时，矩形PQMN的周长最大，最大值是多少？ （3）在（2）的结论下，矩形PQMN保持不动，沿x轴平移抛物线，平移后的抛物线与矩形的两边交于点E、F，且直线EF平分矩形PQMN的面积，请直接写出平移后的抛物线解析式． 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）先求得抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，得到，MN＝PQ＝2n+2，根据矩形的周长公式得到关于n的二次函数，再利用二次函数的性质求解即可； （3）根据题意直线EF经过矩形PQMN的中心点G，分向右平移和向左平移两种情况讨论，分别计算求解即可． 【解答】解：（1）∵二次函数y＝ax2+bx﹣2的图象经过点A（1，0），B（﹣3，0）， ∴， 解得， ∴二次函数的解析式为； （2）∵， ∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣1， 设对称轴交x轴于点C、D，如图1， ∵N（n，0）， ∴， ∴，NC＝n+1， 则MN＝PQ＝2n+2， ∴矩形PQMN的周长为， ∵， ∴当时，矩形PQMN的周长有最大值，最大值为； （3）解：由（2）得，， ∴，连接QN，设矩形PQMN的中心为点G，则， 由题意得直线EF经过点G， ∴CE＝DF， 如图2， 当抛物线向右平移m个单位，则平移后的抛物线的解析式为，且E（﹣3+m，0）， ∴CE＝﹣1﹣（﹣3+m）＝2﹣m＝DF， ∴F（﹣1+2﹣m，﹣1），即F（1﹣m，﹣1）， ∴， 解得或（舍去）； ∴平移后的抛物线的解析式为； 当抛物线向右平移m个单位，则平移后的抛物线的解析式为，且E（1﹣m，0），如图3， ∴CE＝1﹣m﹣（﹣1）＝2﹣m＝DF， ∴F（﹣1﹣2+m，﹣1），即F（m﹣3，﹣1）， ∴， 解得或（舍去）； ∴平移后的抛物线的解析式为； 综上，平移后的抛物线的解析式为或． 【点评】本题考查了是二次函数的综合运用，考查了待定系数法，二次函数的性质，轴对称变换，矩形的性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会利用参数构建方程解决问题． 题型08 二次函数中的全等三角形存在性问题 1．如图，抛物线的图象经过点A（4，4），B（5，0）和原点O，点P为抛物线上的一个动点，过点P作x轴的垂线，垂足为D（m，0）（m＞0），并与直线OA交于点C． （1）求出抛物线的函数表达式； （2）连接OP，当S△OPCS△OCD时，求出此时的点P坐标； （3）在直线OA上取一点M，使得以P、C、M为顶点的三角形与△OCD全等，求出点M的坐标． 【分析】（1）用待定系数法即可求解； （2）当0＜m＜4时，S△OPCS△OCD，则CDPD，进而求解；当3≤m≤4时，同理可解； （3）以P、C、M为顶点的三角形与△OCD全等时，存在∠PMC和∠CPM为直角两种情况，利用数形结合和分类求解的方法，分别求解即可． 【解答】解：（1）由题意得：，解得， 故抛物线的表达式为y＝﹣x2+5x； （2）设直线OA的表达式为y＝kx， 将点A的坐标代入上式并解得k＝1， 故直线OA的表达式为y＝x， 设点P的坐标为（m，﹣m2+5m），则点C的坐标为（m，m）， 当0＜m＜4时，如题干图， ∵S△OPCS△OCD， ∴CDPD，即﹣m2+5mm，解得m＝0（舍去）或； 当3≤m≤4时， 同理可得：PDCD，即﹣m2+5mm，解得m＝0（舍去）或， 综上，点P的坐标为（，）或（，）； （3）以P、C、M为顶点的三角形与△OCD全等时，存在∠PMC和∠CPM为直角两种情况， ∵OA的倾斜角为45°，故△ODC为等腰直角三角形，则P、C、M为顶点的三角形也为等腰直角三角形， ①当∠MPC为直角时，如图1， 当点P在OA是上方时， ∵P、C、M为顶点的三角形与△OCD全等， ∴PM＝OD＝m＝PC， 故点P的坐标为（m，2m）， 将点P的坐标代入抛物线表达式得：2m＝﹣m2+5m，解得m＝0（舍去）或3， 故点P的坐标为（3，6）， 点P向右平移3 个单位得到点M（6，6）； 当点P在OA下方时，不存在满足条件的点M． ②当∠PMC为直角时，如图2， 则PM＝OD＝m，PC＝OCm， 故点P的坐标为（m，mm）， 将点P的坐标代入抛物线表达式得mm＝﹣m2+5m，解得m＝0（舍去）或4， 则点C的坐标为（4，4）， ∵CM＝m＝4， 直线CM的倾斜角为45°， 故点C向右平移CM向上平移CM的单位得到点M， 则点M的坐标为（3，3）； 当点P在OA下方时， 同理可得，点M的坐标为（3，3）， 综上，点M的坐标为（6，6）或（3，3）或（3，3）． 【点评】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系． 2．如图，已知二次函数yx2+bx+c的图象与x轴和y轴的正半轴分别交于点A（6，0）和点B，直线yx+4经过点B，交x轴于点C．点D是第一象限内二次函数图象上一动点，DE⊥BC于点E，DF∥x轴交直线BC于点F． （1）求点B、点C的坐标以及二次函数的表达式； （2）是否存在点D，使得△DEF与△BOC全等？若存在，求出点D的坐标，若不存在，请说明理由． 【分析】（1）解方程求得B（0，4），C（3，0），将点A（6，0）和点B（0，4）代入yx2+bx+c解方程组得到yx2x+4； （2）根据垂直的定义得到∠DEF＝∠BOC＝90°，推出当△DEF与△BOC全等时，点E与点O为一组对应点，①当△DEF≌△COB时，推出此种情况不存在；②当△DEF≌△BOC时，设D（m，m2m+4），则F（m﹣5，m+4），解方程即可得到结论． 【解答】解：（1）在yx+4中，令y＝0，则x＝3，令x＝0则y＝4， ∴B（0，4），C（3，0）， 将点A（6，0）和点B（0，4）代入yx2+bx+c得，， 解得， ∴二次函数的表达式为yx2x+4； （2）∵DE⊥BC， ∴∠DEF＝∠BOC＝90°， ∴当△DEF与△BOC全等时，点E与点O为一组对应点， ①当△DEF≌△COB时， ∵DF∥x轴， ∴∠DFE＝∠BCO， ∵B（0，4），C（3，0）， ∴OB＝4，OC＝3， ∴OB≠OC， ∴∠OBC≠∠OCB， ∴∠DFE≠∠CBO， ∴此种情况不存在； ②当△DEF≌△BOC时， ∵∠DEF＝∠BOC，∠DFE＝∠BCO， ∴只需DF＝BC， ∵OB＝4，OC＝3， ∴BC＝5， 设D（m，m2m+4），则F（m﹣5，m+4）， ∵点F在直线BC上， ∴（m﹣5）+4m2m+4， ∴m＝2或m＝5， ∴D（2，8）或（5，4）， 综上所述，存在点D，使得△DEF与△BOC全等，点D的坐标（2，8）或（5，4）． 【点评】本题是二次函数的综合题，熟练掌握二次函数的图象及性质，全等三角形的性质是解题的关键． 3．如图，抛物线y1＝ax2+bx与x轴交于点A（﹣3，0），点B，点D是抛物线y1的顶点，过点D作x轴的垂线，垂足为点C（﹣1，0）． （1）求抛物线y1所对应的函数解析式； （2）如图1，点M是抛物线y1上一点，且位于x轴上方，横坐标为m，连接MC，若∠MCB＝∠DAC，求m的值； （3）如图2，将抛物线y1平移后得到顶点为B的抛物线y2．点P为抛物线y1上的一个动点，过点P作y轴的平行线，交抛物线y2于点Q，过点Q作x轴的平行线，交抛物线y2于点R．当以点P，Q，R为顶点的三角形与△ACD全等时，请直接写出点P的坐标． 【分析】（1）根据A、C两点的坐标用待定系数法求出解析式； （2）如图，当M点在x轴上方时，若∠M1CB＝∠DAC，则DA∥CM1，先求直线AD的解析式，由点C的坐标可求出直线CM1的解析式，联立直线和抛物线方程可求出点M1的坐标，当点M在x轴下方时，由轴对称的性质可求出直线CM2的解析式，同理联立直线和抛物线方程则求出点M的坐标； （3）先求出y2的解析式，可设出点P坐标，表示Q、R坐标及PQ、QR，根据以P，Q，R为顶点的三角形与△ACD全等，分类讨论对应边相等的可能性即可求P点坐标． 【解答】解：（1）由题意得：， 解得． 抛物线y1所对应的函数解析式为； （2）当x＝﹣1时，， ∴D（﹣1，1）， 设直线AD的解析式为y＝kx+b， ∴， 解得， ∴直线AD的解析式为， 如答图1，当M点在x轴上方时， ∵∠M1CB＝∠DAC， ∴DA∥CM1， 设直线CM1的解析式为， ∵直线经过点C， ∴， 解得：， ∴直线CM1的解析式为， ∴， 解得：，（舍去）， ∴， 综合以上可得m的值为； （3）∵抛物线y1平移后得到y2，且顶点为B（1，0）， ∴， 即． 设，则， ∴， ①如答图2，当P在Q点上方时， PQ＝1﹣m，QR＝2﹣2m， ∵△PQR与△ACD全等， ∴当PQ＝DC且QR＝AC时，m＝0， ∴，， 当PQ＝AC且QR＝DC时，无解； ②如答图3，当点P在Q点下方时， 同理：PQ＝m﹣1，QR＝2m﹣2，m﹣1＝1， ∴m＝2， 则，． 综合可得P点坐标为或． 【点评】本题是二次函数综合题，考查了二次函数的性质、待定系数法求函数的解析式，三角形全等的判定，应用了数形结合和分类讨论的数学思想． 提优练习 1．新定义：若一个点的纵坐标是横坐标的2倍，则称这个点为二倍点．若二次函数y＝x2﹣x+c（c为常数）在﹣2＜x＜4的图象上存在两个二倍点，则c的取值范围是 　﹣4＜c　． 【分析】由点的纵坐标是横坐标的2倍可得二倍点在直线y＝2x上，由﹣2＜x＜4可得二倍点所在线段AB的端点坐标，结合图象，通过求抛物线与线段交点求解． 【解答】解：由题意可得二倍点所在直线为y＝2x， 将x＝﹣2代入y＝2x得y＝﹣4， 将x＝4代入y＝2x得y＝8， 设A（﹣2，﹣4），B（4，8），如图， 联立方程x2﹣x+c＝2x， 当Δ＞0时，抛物线与直线y＝2x有两个交点， 即9﹣4c＞0， 解得c， 此时，直线x＝﹣2和直线x＝4与抛物线交点在点A，B上方时，抛物线与线段AB有两个交点， 把x＝﹣2代入y＝x2﹣x+c得y＝6+c， 把x＝4代入y＝x2﹣x+c得y＝12+c， ∴， 解得c＞﹣4， ∴﹣4＜c满足题意． 故答案为：﹣4＜c． 【点评】本题考查二次函数图象与系数的关系，解题关键掌握函数与方程及不等式的关系，将代数问题转化为图形问题求解． 2．如图，已知抛物线y＝x2﹣3x+2与x轴交于A、B两点，且与y轴交于点C，若抛物线上存在点P，使得△PAB的面积为1，则点P的坐标是 　（0，2）或（3，2）　． 【分析】先求出A（1，0），B（2，0），C（0，2），AB＝1，再根据面积公式列出关于m的方程，解答即可． 【解答】解：抛物线y＝x2﹣3x+2与x轴交于A、B两点，且与y轴交于点C， 令y＝0，则x2﹣3x+2＝0，（x﹣2）（x﹣1）＝0，x1＝2，x2＝1， ∴A（1，0），B（2，0），C（0，2）， ∴AB＝1， 设点P（m，m2﹣3m+2）， ∴S△PAB丨m2﹣3m+2丨＝1， 即丨m2﹣3m+2丨＝2， 当m2﹣3m+2＝2时，m＝0或3，点P的坐标为（0，2）或（3，2）； 当m2﹣3m+2＝﹣2，Δ＜0，无解． ∴若抛物线上存在点P，使得△PAB的面积为1，则点P的坐标是 （0，2）或（3，2）． 【点评】本题考查了二次函数与x轴的交点以及二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解答本题的关键． 3．如图，学校计划建一个矩形花圃，其中一边靠墙，已知墙长为42米，篱笆长为60米，若设垂直于墙的边AB的长为x米，平行于墙的边BC长为y米，围成的矩形花圃的面积为S平方米． （1）当x＝10米时，y＝ 　40　米，S＝ 　400　平方米； （2）求S与x之间的函数表达式； （3）围成的矩形花圃是否存在最大面积？若存在，求出这个最大面积，并求出此时x的值，若不存在，说明理由． 【分析】（1）将x＝10代入y＝60﹣2x中，可求出y值，再将x，y的值代入S＝xy中，即可求出S的值； （2）利用矩形的面积公式，可找出S关于x的函数表达式，再结合矩形的各边为正及墙长为42米，即可确定x的取值范围； （3）利用二次函数的性质，即可解决最值问题． 【解答】解：（1）根据题意得：当x＝10米时，y＝60﹣2x＝60﹣2×10＝40（米），S＝xy＝10×40＝400（平方米）． 故答案为：40，400； （2）根据题意得：S＝xy＝x（60﹣2x）， ∴S＝﹣2x2+60x． ∵， ∴9≤x＜30， ∴S与x之间的函数表达式为S＝﹣2x2+60x（9≤x＜30）； （3）S＝﹣2x2+60x＝﹣2（x﹣15）2+450， ∵﹣2＜0， ∴当x＝15时，S取得最大值，最大值为450， ∴围成的矩形花圃存在最大面积，这个最大面积是450平方米，此时x的值为15． 【点评】本题考查了二次函数的应用以及代数式求值，根据各数量之间的关系，找出S关于x的函数关系式是解题的关键． 4．在平面直角坐标系xOy中，点（1，y1），（3，y2）在抛物线y＝x2﹣2mx+m2上． （1）求抛物线的顶点 　（m，0）　； （2）若y1＜y2，求m的取值范围； （3）若点（x0，y0）在抛物线上，若存在﹣1＜x0＜0，使y1＜y0＜y2成立，求m的取值范围． 【分析】（1）利用配方法将已知抛物线解析式转化为顶点式，可直接得到答案； （2）由y1＜y2，得到1﹣2m+m2＜9﹣6m+m2，解不等式即可； （3）由题意可知或，解不等式组即可． 【解答】解：（1）∵抛物线y＝x2﹣2mx+m2＝（x﹣m）2． ∴抛物线的顶点坐标为（m，0）． 故答案为：（m，0）； （2）∵点（1，y1），（3，y2）在抛物线y＝x2﹣2mx+m2上，且y1＜y2， ∴1﹣2m+m2＜9﹣6m+m2， ∴m＜2； （3）∵点（x0，y0）在抛物线上，存在﹣1＜x0＜0，使y1＜y0＜y2成立， ∴或， 解得0＜m． 【点评】本题考查了二次函数与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，熟知二次函数的性质是解题的关键． 5．如图，抛物线y＝ax2+bx+8（a≠0）与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D．已知点A（﹣4，0），B（2，0）． （1）求该抛物线的函数表达式； （2）若在抛物线的对称轴上存在一点E，使得△ECD是以CD为腰的等腰三角形，请求出所有满足题意的点E的坐标． 【分析】（1）由待定系数法即可求解； （2）由CD＝CE或CD＝DE，列出等式即可求解． 【解答】解：（1）由题意得：y＝a（x+4）（x﹣2）＝a（x2+2x﹣8）＝ax2+bx+8， 即﹣8a＝8， 解得：a＝﹣1， 则抛物线的表达式为：y＝﹣x2﹣2x+8； （2）由抛物线的表达式知，其对称轴为直线x＝﹣1， 故点D（﹣1，0），设点E（﹣1，m）， 由点C、D、E的坐标得，CD2＝65，CE2＝（m﹣8）2+1，DE2＝m2， 当CD＝CE或CD＝DE时， 即（m﹣8）2+1＝65或m2＝65， 解得：m＝0（舍去）或16或±， 故点E的坐标为：（﹣1，16）或（﹣1，）或（﹣1，）． 【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到等腰三角形的性质，分类求解是解题的关键． 6．如图，已知抛物线L：y＝ax2+bx+4与x轴交于A（﹣1，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C． （1）求抛物线L的表达式； （2）若抛物线L关于原点对称的抛物线为L′，求抛物线L′的表达式； （3）在抛物线L′上是否存在一点P，使得S△ABC＝2S△ABP，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）将点A（﹣1，0），B（4，0）代入y＝ax2+bx+4，即可求解； （2）根据抛物线L与抛物线为L′关于原点对称，求出抛物线L′的表达式即可； （3）设点P坐标为（m，m2+3m﹣4），根据S△ABC＝2S△ABP，列出关于m的方程，解方程求出m即可． 【解答】解：（1）将点A（﹣1，0），B（4，0）代入y＝ax2+bx+4， 则， 解得， ∴抛物线L的表达式为y＝﹣x2+3x+4； （2）∵抛物线L'与L关于原点对称， ∴抛物线L'的解析式为y＝x2+3x﹣4； （3）存在，理由： ∵A（﹣1，0），B（4，0），C（0，4）， ∴S△ABCAB•OC5×4＝10， ∵S△ABC＝2S△ABP， ∴S△ABP＝5， 设点P坐标为（m，m2+3m﹣4）， ∴SABPAB•|yP|＝5， ∴|m2+3m﹣4|＝1， 解得m或m， ∴P（，2）或（，﹣2）． 【点评】本题考查抛物线与x轴的交点，二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质是解题关键． 7．如图1，已知抛物线y＝ax2﹣4ax+c的图象经过点A（1，0），B（m，0），C（0，﹣3），过点C作CD∥x轴交抛物线于点D，点P是抛物线上的一个动点，连接PD，设点P的横坐标为n． （1）填空：m＝　3　，a＝　﹣1　，c＝　﹣3　； （2）在图1中，若点P在x轴上方的抛物线上运动，连接OP，当四边形OCDP面积最大时，求n的值； （3）如图2，若点Q在抛物线的对称轴l上，连接PQ、DQ，是否存在点P使△PDQ为等腰直角三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）将点A（1，0），C（0，﹣3）代入y＝ax2﹣4ax+c，可得a＝﹣1，c＝﹣3，可得抛物线的解析式，令y＝0解方程可得点B的坐标，即可得m的值； （2）连接PC，由点P的横坐标为n得P（n，﹣n2+4n﹣3），根据面积和可得四边形OCDP的面积，利用二次函数的性质可得其最大值； （3）分三种情况：作辅助线，构建全等三角形，根据全等三角形的性质以及点P的坐标列方程求得n的值，即可得点P的坐标． 【解答】解：（1）将点A（1，0），C（0，﹣3）代入y＝ax2﹣4ax+c得， ，解得， ∴抛物线的解析式：y＝﹣x2+4x﹣3， y＝0，则0＝﹣x2+4x﹣3，解得x＝3或1， ∴B（3，0）， ∴m＝3， 故答案为：3，﹣1，﹣3； （2）连接PC， ∵C（0，﹣3），CD∥x轴交抛物线于点D， ∴点D的纵坐标为﹣3， ﹣3＝﹣x2+4x﹣3，解得x＝0或4， ∴D（4，﹣3）， ∵点P的横坐标为n， ∴P（n，﹣n2+4n﹣3）， ∴S四边形OCDP＝S△COP+S△PCD， 3n4（﹣n2+4n﹣3+3） ＝﹣2n2n， ＝﹣2（n）2， ∵﹣2＜0， ∴当n时，S四边形OCDP有最大值， ∴n的值为； （3）∵y＝﹣x2+4x﹣3， ∴抛物线的对称轴为直线x2， ∴点Q的横坐标为2， 分三种情况： ①当P为直角顶点时，PQ＝PD，如图2，过P作MN∥y轴，过Q作QM⊥MN于M，过D作DN⊥MN于N， ∴∠PMQ＝∠DNP＝90°， ∵△PQD是等腰直角三角形，且PQ＝PD，∠DPQ＝90°， ∴∠MPQ+∠PQM＝∠MPQ+∠DPN＝90°， ∴∠PQM＝∠DPN， ∴△PQM≌△DPN（AAS）， ∴QM＝PN， ∵P（n，﹣n2+4n﹣3），D（4，﹣3），点Q的横坐标为2， ∴PN＝QM＝|2﹣n|， ∴3﹣|2﹣n|＝n2﹣4n+3，解得n或或 ∴点P的坐标为（，）或（，）或（，）或（，）； ②当D为直角顶点时，DQ＝PD，如图3，过D作MN∥y轴，过P作PM⊥MN于M，过Q作QN⊥MN于N， 同理△PDM≌△DQN（AAS）， ∴DM＝QN， ∵P（n，﹣n2+4n﹣3），D（4，﹣3），点Q的横坐标为2， ∴DM＝QN＝4﹣2＝2， ∴3﹣2＝n2﹣4n+3，解得n＝2或2， ∴点P的坐标为（2，﹣1）或（2，﹣1）； 如图5， 同理△PDM≌△DQN（AAS）， ∴PM＝DN，DM＝QN， ∵P（n，﹣n2+4n﹣3），D（4，﹣3），点Q的横坐标为2， ∴DM＝QN＝4﹣2＝2， ∴2＝n2﹣4n+3﹣3，解得n＝2或2， ∴点P的坐标为（2，﹣5）或（2，﹣5）； ③当Q为直角顶点时，DQ＝PQ，如图4，过P作PM⊥l于M，过D作DN⊥l于N， 同理△PQM≌△QDN（AAS）， ∴QM＝DN，PM＝QN， ∵P（n，﹣n2+4n﹣3），D（4，﹣3），点Q的横坐标为2， ∴DN＝QM＝4﹣2＝2，PM＝QN＝|2﹣n|， ∴MN＝QM﹣QN＝2﹣|2﹣n|， ∴2﹣|2﹣n|＝n2﹣4n+3﹣3，解得n＝0或5或4或﹣1， 当n＝4时与D重合，舍去， ∴点P的坐标为（0，﹣3）或（5，﹣8）或（﹣1，﹣8）； 综上所述，点P的坐标是（，）或（，）或（2，﹣1）或（2，﹣1）或（2，﹣5）或（2，﹣5）或（5，﹣8）或（4，﹣3）或（﹣1，﹣8）． 【点评】本题属于二次函数综合题，主要考查了二次函数的性质，全等三角形的判定与性质以及解一元二次方程的方法，解第（2）问时需要运用二次函数的性质，解第（3）问时需要运用分类讨论思想和方程的思想解决问题． 8．二次函数y＝ax2+bx+2的图象经过A（﹣1，0）． （1）试求二次函数表达式（用含有a的式子表示）； （2）已知点P（1，2）、Q（1，3），连接PQ，以PQ为边在PQ的右侧作正方形PQMN，若二次函数图象与正方形PQMN的边有公共点，求a的取值范围； （3）在（2）中，已知直线l：，是否存在a，使得直线l与二次函数图象同时经过正方形PQMN（包括内部与边界）？若存在，试求出a的取值范围；若不存在，说明理由． 【分析】（1）将点A（﹣1，0）代入y＝ax2+bx+2，求出b＝a+2，即可表示函数的解析式； （2）当抛物线经过点P（1，2）时，a＝﹣1，当抛物线经过点（2，3）时，a，根据临界情况求出a的取值范围即可； （3）当直线经过点（2，2）时，a，当直线经过点（1，3）时，a；根据临界情况直线与正方形有公共点时a的取值范围，再结合（2）求出符合条件的a的取值即可． 【解答】解：（1）将点A（﹣1，0）代入y＝ax2+bx+2， ∴a﹣b+2＝0， ∴b＝a+2， ∴函数的解析式为y＝ax2+（a+2）x+2； （2）∵正方形PQMN， ∴M（2，3），N（2，2）， 当抛物线经过点P（1，2）时，a+2+a+2＝2， 解得a＝﹣1， 当抛物线经过点（2，3）时，4a+2a+4+2＝3， 解得a； ∴﹣1≤a时，二次函数图象与正方形PQMN的边有公共点； （3）存在a，使得直线l与二次函数图象同时经过正方形PQMN（包括内部与边界），理由如下： 当直线经过点（2，2）时，2aa2， 解得a， 当直线经过点（1，3）时，aa3， 解得a； ∴a时，直线与正方形有交点； ∴当a时，直线l与二次函数图象同时经过正方形PQMN（包括内部与边界）． 【点评】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，正方形的性质，分别求出抛物线、直线与正方形有交点时a的取值范围是解题的关键． 9．如图，抛物线y＝ax2+bx+c交x轴于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点A、C的坐标分别为（﹣6，0），（0，6），对称轴x＝﹣2交x轴于E，点D为抛物线顶点． （1）求抛物线的解析式； （2）点P是直线AC下方的抛物线上一点，且S△PAC＝2S△DAC．求P的坐标； （3）M为抛物线对称轴上一点，是否存在以B、C、M为顶点的三角形是等腰三角形，若存在，请求出点M的坐标，若不存在，请说明理由． 【分析】（1）由点A、点C的坐标和对称轴的值列出方程组，即可求出抛物线解析式． （2）由抛物线解析式可求出顶点D的坐标，进而求出△DAC和△PAC的面积，由面积可推出△PAC的AC边上的高h，求出到AC距离等于h的直线解析式，联立直线解析式和抛物线解析式，即可求出点P的坐标． （3）若△BCM是等腰三角形，通过作图画“两圆一线”来确定点M的位置，再根据半径的长度及勾股定理求出点M的坐标． 【解答】解：（1）将点A（﹣6，0），点C（0，6）代入抛物线解析式，由对称轴x＝﹣2， 得， 解得，， ∴抛物线解析式为：． （2）将x＝﹣2代入抛物线解析式得：， ∴顶点D（﹣2，8）， ∵OA＝OC＝6，∠AOC＝90°， ∴，∠OAC＝∠OCA＝45°， 设直线AC解析式为：y＝kx+b， 将点A（﹣6，0），点C（0，6）代入， 得， 解得，， ∴直线AC的解析式为：y＝x+6， 如图，设直线AC与对称轴的交点为F，将x＝﹣2代入y＝x+6＝﹣2+6＝4， ∴点F（﹣2，4）， ∴DF＝4， ∴， ∴S△PAC＝2S△DAC＝2×12＝24， 设△PAC中AC边上的高为h，则， ∴， 如图，设在直线AC下方的y轴上有一点G到AC的距离为GH，且， ∵∠OCA＝45°，∠GHC＝90°， ∴△CHG是等腰直角三角形， ∴， ∴点P在过点G与直线AC平行的直线上， 即将直线AC向下平移8个单位长度即可得到直线PG， ∴直线PG的解析式为：y＝x﹣2 联立， 解得：或， ∴点P的坐标为（2，0），（﹣8，﹣10）． （3）存在以B、C、M为顶点的三角形是等腰三角形，理由如下： ∵点A与点B关于对称轴x＝﹣2对称，点A（﹣6，0）， ∴点B（2，0）， ∴， ①如图，连接BC，以点C为圆心，BC的长为半径画圆，与对称轴的交点即为所求点M，此时CM＝CB，△BCM为等腰三角形． 由图知：点M位于点C上方时，B、C、M三点共线，所以此点舍去； 点M位于点C下方时，点M与点E重合，此时点M的坐标为（﹣2，0）． ②如图，以点B为圆心，BC的长为半径画圆，与对称轴的交点即为所求点M，此时BM＝BC， △BCM为等腰三角形． ∵在Rt△BEM中，，BE＝4， ∴， ∴此时点M的坐标为（﹣2，）或（﹣2，）． ③如图，作线段BC的垂直平分线，与BC交于点P，与y轴交于点Q，与对称轴的交点即为所求点M，此时MB＝MC，△BCM为等腰三角形． 连接QB，∵PQ为线段BC的垂直平分线， ∴QB＝QC，点P为BC中点， ∵B（2，0），C（0，6）， ∴由中点坐标公式得点P（1，3）， 设OQ＝x，则QB＝QC＝6﹣x， 在Rt△OBQ中，由勾股定理得：22+x2＝（6﹣x）2， 解得：， ∴点Q（0，）； 设直线PQ的解析式为：y＝k1x+b1， 将P（1，3），Q（0，）代入解析式， 得， 解得， ∴直线PQ解析式为：， 将x＝﹣2代入直线PQ解析式得：， ∴此时点M（﹣2，2）． ∴综上所述：点M的坐标为（﹣2，0）或（﹣2，2）或或． 【点评】本题主要考查求二次函数解析式、二次函数因动点产生的三角形面积问题、因动点产生的等腰三角形问题，求出到底边的距离等于高的直线解析式，利用画“两圆一线”构造等腰三角形是解题的关键． 10．如图，已知抛物线y＝ax2﹣2ax+3与x轴交于点A（﹣1，0）和点B，与y轴交于点C，连接AC，过B、C两点作直线． （1）求此抛物线的函数表达式． （2）将直线BC向下平移m（m＞0）个单位长度，交抛物线于B′、C′两点，在直线B′C′上方的抛物线上是否存在定点D，无论m取何值时，都是点D到直线B′C′的距离最大．若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由． （3）若点P是抛物线上一动点，且满足∠PBC+∠ACO＝45°，请直接写出点P的坐标． 【分析】（1）把点A的坐标代入抛物线解析式中，求得a的值，即可求得解析式； （2）过点D作DE⊥x轴交B′C′于点E，交BC于点G，过点D作DF⊥B′C′于F；由B、C的坐标知△DEF是等腰直角三角形，则；求出直线BC的解析式，则可得直线B′C′的解析式；设D（t，﹣t2+3t+3），则可得点E的坐标，求得DF的最大值，即可求得点D的坐标； （3）分两种情况考虑：∠PBC在直线BC的下方；∠PBC在直线BC的上方；分别求出直线BP的解析式，联立方程组求解即可求得点P的坐标． 【解答】解：（1）把点 A（﹣1，0）的坐标代入y＝ax2﹣2ax+3中，得：a+2a+3＝0， ∴a＝﹣1， ∴抛物线解析式为：y＝﹣x2+2x+3； （2）存在定点D，无论m取何值时，都是点D到直线B′C′的距离最大； 如图1，过点D作DE⊥x轴交B′C′于点E，交BC于点G，过点D作DF⊥B′C′于F； 令y＝﹣x2+2x+3＝0，解得：x1＝﹣1，x2＝3；令x＝0，则y＝3； ∴B（3，0），C（0，3）， ∴OB＝OC＝3， ∴∠OCB＝∠OBC＝45°， ∵DE∥OC，BC∥B′C′， ∴∠DGC＝∠OCB＝45°，∠FED＝∠DGC＝45°， ∴∠FED＝∠D＝45°， 即△DEF是等腰直角三角形，则； 设直线BC的解析式为y＝kx+b，则有， 解得：， 即直线BC的解析式为y＝﹣x+3； ∵直线BC向下平移m（m＞0）个单位长度得直线B′C′， ∴直线B′C′的解析式为y＝﹣x+3﹣m； 设D（t，﹣t2+3t+3），则E的坐标为（t，﹣t+3﹣m）， ∴DE＝﹣t2+3t+3﹣（﹣t+3﹣m）＝﹣t2+3t+m， ∴， ∵， ∴当时，DF取得最大值，DF的最大值为， 此时点D的坐标为； ∴存在定点，无论m取何值时，都是点D到直线B′C′的距离最大； （3）①当∠PBC在直线BC的下方时； 如图2，在y轴正半轴上取点M（0，1），连接BM交抛物线于点P， ∵A（﹣1，0）， ∴OA＝OM＝1， ∵OB＝OC＝3，∠COA＝∠BOM＝90°， ∴△COA≌△BOM， ∴∠ABM＝∠ACO， ∵∠ABM+∠PBC＝∠OBC＝45°， ∴∠ACO+∠PBC＝45°； 设直线BM解析式为y＝k1x+b1，则有， ∴， ∴直线BM解析式为， 联立直线BM解析式与抛物线解析式得：， 解得：，（舍去）， ∴； ②∠PBC在直线BC的上方时； 如图3，作点M关于直线BC的对称点H，连接CH，MH，直线BH交抛物线于点P， 由对称得：CH＝CM＝2，MH⊥BC，∠BCH＝∠BCM＝45°， ∴∠MCH＝90°， ∴H（2，3）； 设直线BH的解析式为y＝k2x+b2，则有， ∴， ∴直线BH解析式为y＝﹣3x+9， 联立直线与抛物线解析式得：， 解得：解得：，（舍去）， ∴P（2，3）； 综上，满足条件的点P的坐标为或P（2，3）． 【点评】本题是二次函数的综合，考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的图象与性质，直线的平移，等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，对称的性质，注意分类讨论，防止漏解． 11．如图，已知二次函数的图象经过点A（﹣1，0），B（3，0），与y轴交于点C（0，﹣3）． （1）求抛物线的解析式； （2）若点D为抛物线的顶点，求△BCD的面积； （3）抛物线上是否存在点P，使∠PAB＝∠ABC，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）运用待定系数法将A（﹣1，0），B（3，0），C（0，﹣3）代入y＝ax2+bx+c，即可求解； （2）利用待定系数法求出直线BC的解析式，运用配方法将抛物线解析式化为顶点式即可求得顶点坐标，过点D作DE⊥x轴交直线BC于点E，求得DE，利用S△BCD＝S△BDE+S△CDE，即可求得答案； （3）先求出点C关于对称轴的对称点；先运用待定系数法求出直线BC的解析式，再根据互相平行的两直线的关系求出与BC平行的直线AP2的解析式，联立抛物线解析式即可求解． 【解答】解：（1）设二次函数解析式为y＝ax2+bx+c，其图象经过点A（﹣1，0），B（3，0），C（0，﹣3）．代入得： ， 解得：， ∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3； （2）设直线BC的解析式为y＝mx+n， ∵B（3，0），C（0，﹣3）， ∴， 解得：， ∴直线BC的解析式为y＝x﹣3． ∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4， ∴D（1，﹣4）， 过点D作DE⊥x轴交直线BC于点E，如图1， ∴E（1，﹣2）， ∴DE＝﹣2+4＝2， ∴S△BCD＝S△BDE+S△CDE2×22×1＝3； （3）抛物线上存在点P，使∠PAB＝∠ABC；理由如下： 如图2， ①当点P是抛物线上关于对称轴与点C对称的点时，则有∠PAB＝∠ABC， ∵点C（0，﹣3）关于对称轴x＝1的对称点坐标为（2，﹣3）， ∴P1（2，﹣3）； ②当直线PA∥BC时，则有∠PAB＝∠ABC， ∵直线BC的解析式为y＝x﹣3， ∴直线AP的解析式中一次项系数为1． 设与BC平行的直线AP2的解析式为y＝x+m， 将A（﹣1，0）代入得：﹣1+m＝0， 解得：m＝1， ∴直线AP2的解析式为y＝x+1， 联立抛物线解析式得： ， 解得：或（不合题意，舍去）， ∴P2（4，5）． 综上所述，P1（2，﹣3），P2（4，5）． 【点评】本题考查了二次函数综合题，运用待定系数法求一次函数和二次函数解析式，配方法，三角形面积，互相平行的两直线的关系等，熟练掌握二次函数图象和性质，利用待定系数法求函数解析式等相关知识，灵活运用方程思想和分类讨论思想是解题关键． 12．已知：二次函数y＝x2+bx+c的顶点P在直线y＝﹣4x上，并且图象经过点A（﹣1，0）． （1）求这个二次函数的解析式； （2）D是线段BP上的一个动点，过点D作DE⊥x轴于点E，E点的坐标为（a，0），△DCE的面积为S． ①求△DCE的面积S的最大值； ②在BP上是否存在点D，使△DCE为直角三角形？若存在，请求出点D的坐标，若不存在，请说明理由． 【分析】（1）设抛物线顶点坐标为（m，﹣4m），则抛物线解析式为y＝（x﹣m）2﹣4m，然后代入点A坐标进行求解即可； （2）①由（1）得点P坐标为（1，﹣4），先求出点B坐标，进而求出直线BP解析式，从而得到点D的坐标，则DE＝6﹣2a，则S△CDEDE•OEa（6﹣2a），由此利用二次函数的性质求解即可；②先求出点C的坐标，再利用勾股定理求出CD2，CE2，DE2，再分∠CDE＝90°，∠DCE＝90°，两种情况利用勾股定理建立方程求解即可． 【解答】解：（1）设抛物线顶点坐标为（m，﹣4m），则抛物线解析式为y＝（x﹣m）2﹣4m， 把A（﹣1，0）代入y＝（x﹣m）2﹣4m中得：（﹣1﹣m）2﹣4m＝0， 解得m＝1， ∴抛物线解析式为y＝（x﹣1）2﹣4＝x2﹣2x﹣3； （2）①由（1）得点P坐标为（1，﹣4） 在y＝x2﹣2x﹣3中，当y＝x2﹣2x﹣3＝0时， 解得x＝﹣1或x＝3， ∴B（3，0）， 设直线BP解析式为y＝kx+b′， ∴， ∴， ∴直线BP解析式为y＝2x﹣6， ∵DE⊥x，E点的坐标为（a，0）， ∴D（a，2a﹣6）， ∴DE＝6﹣2a， ∴S△CDEDE•OEa（6﹣2a）， ∵﹣1＜0， ∴当时，S△CDE有最大值，最大值为； ②在y＝x2﹣2x﹣3中，当x＝0时，y＝﹣3， ∴C（0，﹣3）； ∵DE⊥x，E点的坐标为（a，0）， ∴D（a，2a﹣6）， ∴CE2＝a2+32＝a2+9，DE2＝（6﹣2a）2＝4a2﹣24a+36，CD2＝（a﹣0）2+（2a﹣6+3）2＝5a2﹣12a+9， 当∠DCE＝90°时，则CE2+CD2＝DE2， ∴5a2﹣12a+9+a2+9＝4a2﹣24a+36， 解得或（舍去）， ∴点D的坐标为； 当∠CDE＝90°时，则CE2＝CD2+DE2， ∴5a2﹣12a+9+4a2﹣24a+36＝a2+9，2a2﹣9a+9＝0， 解得或a＝3（舍去）， ∴点D的坐标为； 综上所述，点D的坐标为或． 【点评】本题主要考查了二次函数综合，一次函数与几何综合，勾股定理等知识点，熟练掌握二次函数的性质是解答本题的关键． 13．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝﹣x2﹣2x+3的图象与x轴分别交于点A、C与y轴交于点B，顶点为D． （1）点A坐标为 　（﹣3，0）　，点D坐标为 　（﹣1，4）　； （2）P为AD之间抛物线上一点，直线BP交AD于E，交x轴于F，若S△DBE＝S△AEF，求P点坐标． （3）M为抛物线对称轴上一动点，若平面内存在点N，使得以B、C、M、N为顶点的四边形为菱形，则这样的点N共有 　4　个． 【分析】（1）在y＝﹣x2﹣2x+3中，令y＝0可得A（﹣3，0），由y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4，得抛物线顶点D为（﹣1，4）； （2）连接DO，由A（﹣3，0），C（1，0），D（﹣1，4），B（0，3），求出S四边形AOBD＝S△AOD+S△BOD，根据S△DBE＝S△AEF，可得S四边形AOBD＝S△BOF，故S△BOF，可求出OF＝5，F（﹣5，0），得直线BF函数表达式为yx+3，联立，即可解得P（，）； （3）分三种情况：①若以BC，BM为邻边，则以B为圆心，BC为半径作圆与对称轴直线x＝﹣1有交点M1，M2，②若以CB，CM为邻边，则以C为圆心，CB为半径作圆与对称轴直线x＝﹣1有交点M3，M4，③若以MB，MC为邻边，则作BC的垂直平分线与对称轴直线x＝﹣1有交点M5，分别画出图形可得答案． 【解答】解：（1）在y＝﹣x2﹣2x+3中，令y＝0得0＝﹣x2﹣2x+3， 解得x＝1或x＝﹣3， ∴A（﹣3，0）， ∵y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4， ∴抛物线顶点D为（﹣1，4）， 故答案为：（﹣3，0），（﹣1，4）； （2）连接DO，如图： 由（1）知，A（﹣3，0），C（1，0），D（﹣1，4）， 在y＝﹣x2﹣2x+3中，令x＝0得y＝3， ∴B（0，3）， ∴S四边形AOBD＝S△AOD+S△BOD3×43×1， ∵S△DBE＝S△AEF， ∴S△DBE+S四边形EAOB＝S△AEF+S四边形EAOB， 即S四边形AOBD＝S△BOF， ∴S△BOF， ∴OF×3， ∴OF＝5， ∴F（﹣5，0）， 由B（0，3），F（﹣5，0）得直线BF函数表达式为yx+3， 联立， 解得或， ∴P（，）； （3）①若以BC，BM为邻边，则以B为圆心，BC为半径作圆与对称轴直线x＝﹣1有交点M1，M2，如图： 可作菱形BM1N1C，而M2与BC共线，以B，C，M2，N为顶点不能作菱形； ②若以CB，CM为邻边，则以C为圆心，CB为半径作圆与对称轴直线x＝﹣1有交点M3，M4，如图： 可作菱形CM3N3B和菱形CM4N4B； ③若以MB，MC为邻边，则作BC的垂直平分线与对称轴直线x＝﹣1有交点M5，如图： 可作菱形CM5BN5； 综上所述，以B、C、M、N为顶点的四边形为菱形，则这样的点N共有4个； 故答案为：4． 【点评】本题考查二次函数综合应用，涉及三角形面积，菱形的判定等知识，解题的关键是分类讨论思想的应用，属于中考压轴题． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$