贵州省仁怀市第四中学2024-2025学年高二上学期10月检测数学试题

第 1页，共 3页 仁怀四中 2024—2025年度第一学期月考 高二数学试卷答案 一、单选题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 D D C B B B C B ABD BD AC 二、填空题 12. 5 13. 13 14. 323 � 三、解答题 15.解：(1)该组合体的表面积为 �组合体 = �长方体 + �圆柱侧 = 2 × (8 × 8 + 4 × 8 + 4 × 8) + 2� × 2 × 8 = 256 + 32�； (2)该组合体的体积为 �组合体 = �长方体 + �圆柱 = 4 × 8 × 8 + � × 2 2 × 8 = 256 + 32�． 16.解：(1)由正弦定理可知�: �: � = sin�: sin�: sin�， 得 3sin� = 3sin�cos� + sin�sin�， 因为 3sin� = 3sin(� + �) = 3sin�cos� + 3cos�sin�， 得 3cos�sin� = sin�sin�， ∵ �，� ∈ (0, �)，∴ sin� ≠ 0，∴ tan� = 3，即� = �3． (2)由 3sin� = 2sin�，得 3� = 2�， 由余弦定理可得�2 = �2 + �2 − 2��cos� = 28， 则�2 + 94 � 2 − 32 � 2 = 28，即74� 2 = 28， 解得� = 4，� = 6， 故△ ���的面积为� = 12 ��sin� = 1 2 × 4 × 6 × 3 2 = 6 3． 17.解：(1)连接��，如图， 第 2页，共 3页 ∵四边形����是正方形，�是��的中点， ∴ �是��的中点． 又�是��的中点，∴ ��/ ​ /��． ∵ ��⫋平面���，�� ⊈平面���， ∴ ��/ ​ /平面���． (2)存在，且点�为��的中点． 理由如下： 如图，取��的中点�，连接��，��， ∵ �，�分别为��，��的中点， ∴ ��/ ​ /��． 又��⫋平面���，�� ⊈平面���， ∴ ��/ ​ /平面���． 又��//平面���，�� ∩ �� = �， ∴平面���/ ​ /平面���． 18.解：(1)由题意，�� = 22 + 22 = 2 2，�� = 22 + 22 = 2 2， 在����中，��2 = ��2 + ��2， ， ∵ �� ⊥平面����，�� ⊂平面����， ， 又�� ∩ �� = �，�� ⊂平面���，�� ⊂平面���， 平面���； (2)因为�� ⊥平面���，垂足为�， 故 为��与平面���所成的角， 第 3页，共 3页 在������中，�� = 4 2，在 中，�� = 2 2， 在 中，�� = 2��， 故 sin∠��� = ���� = 1 2，又 ， ， 故直线��与平面���所成的角为�6． 19.(1)证明：∵ ��/ ​ /��，�� ⊂平面���，�� ⊄平面���， ∴ ��/ ​ /平面���， 又平面���//平面����，�� ⊄平面����， ∴ ��/ ​ /平面����， 又�� ⊂面���，平面��� ∩平面���� = ��， 所以��/ ​ /��， 同理��/ ​ /��， ∴ ��/​ /��; (2)解：由��−���� = 1 3 ⋅ �� ⋅ 4 = 8 3， 得�� = 2， ∵平面���//平面����，且平面��� ∩平面���� = ��，平面��� ∩平面���� = ��， ∴ ��//��，��//��， 又点�是��的中点，可知�，�，�分别为��，��，��的中点， 所以�� = 2，�� = 1，�� = 1， 又�� ⊥平面����，所以�� ⊥平面����， 又�� ⊂平面����， 所以�� ⊥ ��， ∴四边形����的面积为(1+2)×1 2 = 3 2． 第 1页，共 4页 仁怀四中 2024—2025年度第一学期月考 高二数学试卷 一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知复数� = � 2024 1+2� (�是虚数单位)，则�在复平面内对应的点位于( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 2.如图是由哪个平面图形旋转得到的( ) A. B. C. D. 3.已知�, �为两条不同的直线，�, �为两个不同的平面，下列命题为真命题的是( ) A.若� ⊂ �，� ⊂ �，�//�，�//�，则�//� B.若�//�，� ⊂ �，则�//� C.若�//�，� ⊄ �，� ⊂ �，则�//� D.若�//�，� ⊂ �，� ⊂ �，则�//� 4.在正方体���� − �1�1�1�1中，��1和�1�1的中点分别为�，�.如图，若以�，�，�所确定的平面将正 方体截为两个部分，则所得截面的形状为( ) A.六边形 B.五边形 C.四边形 D.三角形 5.已知正方体���� − �1�1�1�1的外接球的体积为 36�，点�为棱��的中点，则三棱锥�1 − ���的体积为 ( ) A. 3 B. 2 3 C. 3 3 D. 4 3 第 2页，共 4页 6.已知轴截面为正方形的圆柱��′的体积与球�的体积之比为32，则圆柱��′的表面积与球�的表面积之 比为( ) A. 1 B. 32 C. 2 D. 5 2 7.如图，在圆锥��中，轴截面���的顶角∠��� = 60°，设�是母线��的中点，� 在底面圆周上，且�� ⊥ ��，则异面直线��与��所成角的大小为( ) A. 15° B. 30° C. 45° D. 60° 8.如图，正方体���� − �1�1�1�1的棱长为 1，线段�1�1上有两个动点�，�，且�� = 1 2，则下列结论中错 误的是( ) A. �� ⊥ �� B. △ ���的面积与△���的面积相等 C. ��//平面���� D.三棱锥� − ���的体积为定值 二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.在△ ���中，sin �2 = 1 2，�� = 1，�� = 5，则( ) A. cos� = 12 B. �� = 21 C. △ ���的面积为52 D. △ ���外接圆的直径是 2 7 10.已知圆台�1�2的上、下底面圆的直径分别为 2 和 6，母线长为 4，则下列结论正确的是( ) A.该圆台的高为 2 2 B.该圆台的体积为26 3�3 第 3页，共 4页 C.该圆台的表面积为1123 � D.挖去以该圆台的上底面为底面、高为 2 的圆柱，剩余的几何体的表面积为 30� 11.如图，在正四棱锥� − ����中，�，�，�分别是��，��，��的中点，动点�在线段��上运动时，下列 四个结论中恒成立的为( ) A. �� ⊥ �� B. ��//�� C. ��//平面��� D. ��//平面��� 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。 12.设复数� = �(2 − �)(其中�为虚数单位)，则|�| =________． 13.△ ���中，内角�，�，�的对边分别为�，�，�.若� = 1，� = 60°，△ ���的面积� = 3，则� =________． 14.已知三棱锥� − ���的四个顶点均在同一个球面上，底面���满足 BA = BC = 6，∠ABC = �2，若该三 棱锥体积的最大值为 3，则其外接球的体积为________． 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.(本小题 13 分) 如图是由一个长方体和一个圆柱组成的组合体． (1)求该组合体的表面积； (2)求该组合体的体积． 16.(本小题 15 分) 在△ ���中，角�，�，�所对的边分别为�，�，�，且 3� = 3�cos� + �sin�． (1)求角�的大小； (2)若� = 2 7，3��� � = 2��� �，求△ ���的面积． 第 4页，共 4页 17.(本小题 15 分) 如图，四棱锥� − ����中，四边形����是正方形，若�，�分别是线段��，��的中点． (1)求证：��//平面���； (2)在线段��上是否存在一点�，使得平面���//平面���?并说明理由． 18.(本小题 17 分) 已知����是矩形，�� ⊥平面����，�� = 2，�� = �� = 4，�为��的中点． (1)求证：�� ⊥平面���； (2)求直线��与平面���所成的角． 19.(本小题 17 分) 如图，四棱锥� − ����的底面是边长为 2 的正方形，�� ⊥平面���D.点�是��的中点，过点�作平行于平 面���的截面，与直线��，��，��分别交于点�，�，�． (1)证明：��//��； (2)若四棱锥� − ����的体积为83，求四边形����的面积．