精品解析：山东省菏泽市2024-2025学年高一上学期11月期中考试数学试题（A）

2024-2025学年度第一学期期中考试 高一数学试题（A） 2024.11 注意事项： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必将姓名、班级等个人信息填写在答题卡指定位置. 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答.超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的. 1. 下列命题与“，”的表述意义一致的是（ ） A. 有且只有一个实数，使得成立 B. 有些实数，使得成立 C. 不存在实数，使得成立 D. 有无数个实数，使得成立 【答案】C 【解析】 【分析】根据全称量词命题的描述方法即可得解. 【详解】与“，”表述一致的是“不存在实数，使得成立”. 故选：C. 2. 设函数，则下列说法不正确的是（ ） A. 的定义域为 B. 的单调递增区间为 C. 的最小值为0 D. 的图象关于对称 【答案】B 【解析】 【分析】利用解析式求得定义域判断A；求得单调区间判断B；求得最小值判断C；求得对称轴判断D. 【详解】由，解得或，所以函数的定义域为，故A正确； 因为， 所以在上单调递减，在上单调递增，故B错误； 因为，所以最小值为0，故C正确； 因为，所以的图象关于对称，故D正确. 故选：B. 3. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由根号内的整体为非负解不等式，再由分母不为零即可求得函数的定义域. 【详解】易知，解得， 又因，可得， 因此函数的定义域为. 故选：C 4. 已知，是两个不相等的实数，满足，，，则（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】依题意可得，是方程的两个不相等实数根，利用根与系数关系计算可得结果. 【详解】根据题意可知，满足方程， 即可得，是方程的两个不相等的实数根，即，可得； 由根与系数关系可知，因此可得； 又，即可得， 解得. 故选：A 5. 已知，，若是的必要不充分条件，则正实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】解不等式求得，成立时的解集，结合条件可得，求解即可. 【详解】解不等式，可得或，所以成立时，或， 因为，由，可得， 又是的必要不充分条件，所以，解得. 故选：B. 6. 设函数若，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】令，分类求解可得，可得，再分类求解可得实数的取值范围. 【详解】令，则， 当时，可得，解得，又，所以， 当时，可得，解得， 所以，所以， 当时，得，解得，满足， 当时，得，所以，又，所以， 所以实数的取值范围是或. 故选：C. 7. 已知符号函数，若，则关于的说法，正确的是（ ） A. 奇函数，在和单调递增 B. 奇函数，在和单调递减 C. 偶函数，在单调递增，在单调递减 D. 偶函数，在单调递减，在单调递增 【答案】D 【解析】 【分析】先求得函数的解析式，可得单调性，利用函数的奇偶性的定义可判断奇偶性. 【详解】因为，所以， 所以可得在单调递减，在单调递增， 当时，，则有， 当时，，则有， 当时，，则有， 综上所述：对恒成立，所以函数是偶函数. 故选：D. 8. 设函数，则使得成立的的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数的单调性和奇偶性，把函数不等式转化为代数不等式求解. 【详解】易知：函数（）为偶函数，图象关于轴对称，且函数在上单调递增，在上单调递减. 所以， 所以或且，. 即：. 故选：B 【点睛】关键点点睛：分析函数定义域，奇偶性，单调性，把不等式转化为代数不等式时，要注意函数定义域的限制. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 如果，，那么下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】利用不等式的性质，计算可判断ABD，赋值法可判断C. 【详解】因为，，所以，，所以，故A正确； 因为，所以，又，所以， 所以，故B错误； 对于C，取，，此时， 所以，故C错误； 因为，所以，又因为，所以， 所以，又，所以，故D正确. 故选：AD. 10. 已知函数，，记则下列关于函数的说法正确的是（ ） A. 当时， B. 函数的最小值为，无最大值 C. 函数在上单调递减 D. 若关于的方程恰有两个不相等的实数根，则或 【答案】ABD 【解析】 【分析】由定义得出的解析式，画出对应函数图象，再由函数与方程的思想判断选项即可得结论. 【详解】根据题意令可得或； 由函数定义可知； 对于A，当时，，可得A正确； 对于B，由函数图象可知函数的最小值为，无最大值，可得B正确； 对于C，易知函数在上单调递增，可得C错误； 对于D，若关于的方程恰有两个不相等的实数根， 可得函数与图象有两个交点，可得或，即D正确. 故选：ABD 11. 对于任意实数，函数满足：当时，，则（ ） A. B. 的值域为 C. 在区间上单调递增 D. 的图象关于点对称 【答案】BC 【解析】 【分析】求得判断A；求得值域判断B；确定函数的单调性判断C；求得可判断D. 【详解】由时，由题意可得时，，故A错误； 当，由，可得， 当，则，所以，故B正确； 当，为增函数，故C正确； 当时，，，所以， 所以的图象关于点对称，故D错误. 故选：BC. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知命题：“，”为假命题，则实数的取值范围为_____. 【答案】 【解析】 【分析】根据命题的否定及不等式恒成立问题即可求解. 【详解】命题：“，”为假命题， 则“，”为真命题， 当时，不成立， 当时，在上单调递增， 则当，，解得（舍去）， 当时，在上单调递减， 则当，，解得， 综上：实数的取值范围为. 故答案为：. 13. 高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的美誉，函数称为高斯函数，其中，表示不超过的最大整数，例如：，.已知函数，则函数的值域是_________. 【答案】 【解析】 【分析】令，利用判别式法可得的取值范围，即可得的值域，结合所给定义即可得的值域. 【详解】令，由，则有， 当时，有； 当时，则有， 解得，又，即或； 综上可得，则， 故的值域是. 故答案为：. 14. 若不等式对一切实数均成立，则实数的取值范围为_____.若存在实数，使得关于的方程在上述范围有两个不相等的实数解，则实数的取值范围为_________. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】依题意可得不等式对一切实数均成立，分、两种情况讨论，即可求出参数的取值范围；依题意关于的方程在有两个不相等的实数解，令，则，即可求出参数的取值范围. 【详解】因为，又不等式对一切实数均成立， 所以不等式对一切实数均成立， 当，即时，不等式即，解得，显然不恒成立； 当，则，解得， 即实数的取值范围为； 因为关于的方程在有两个不相等的实数解， 令，则，解得或， 即实数的取值范围为. 故答案为：； 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知集合，. （1）若，求； （2）若是的充分条件，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）解不等式求得集合，可求； （2）由已知可得，可得，求解即可. 【小问1详解】 因为，所以， 所以，所以， 因为，所以， 所以，当时，， 所以； 【小问2详解】 因为是的充分条件，所以， 所以，即， 所以的取值范围为. 16. 已知函数. （1）解关于的不等式； （2），，都有恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）答案见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）结合一元二次不等式解集的形式，分情况讨论一元二次不等式的解集. （2）问题可转化为含参数的二次函数在给定区间上的值域问题求解. 【小问1详解】 ，即，即， 所以当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为. 【小问2详解】 因为对，，都有恒成立，所以， 当时，即时，，， 由，即，故； 当时，即时，，， 由，故， 当时，即时，， ， 由，故， 当时，即时，， ， 由，故. 综上可知：. 所以的取值范围为. 17 已知函数对于任意实数，，都有，且. （1）求，的值； （2）证明：点是曲线的一个对称中心； （3）求的值. 【答案】（1）2； （2）证明见解析 （3）8098 【解析】 【分析】（1）令、即可求解； （2）令，即可求解； （3）由（2）知，即可求解. 【小问1详解】 令，有，得； 令有，又，所以； 【小问2详解】 令，则有即， 所以曲线是中心对称图形，对称中心为； 【小问3详解】 由（2）知， 所以 . 18. 某蛋糕店推出两款新品蛋糕，分别为薄脆百香果蛋糕和朱古力蜂果蛋糕，已知薄脆百香果蛋糕单价为x元，朱古力蜂果蛋糕单价为y元，现有两种购买方案： 方案一：薄脆百香果蛋糕购买数量为a个，朱古力蜂果蛋糕购买数量为b个，花费记为; 方案二：薄脆百香果蛋糕购买数量为b个，朱古力蜂果蛋糕购买数量为a个，花费记为． （其中） （1）试问哪种购买方案花费更少？请说明理由； （2）若a，b，x，y同时满足关系，求这两种购买方案花费的差值S最小值（注：差值花费较大值-花费较小值）． 【答案】（1）采用方案二；理由见解析 （2）24 【解析】 【分析】（1）列出两种方案的总费用的表达式，作差比较，即可求解； （2）根据题意，得到，利用换元法和基本不等式，即可求解. 【小问1详解】 解：方案一的总费用为（元）； 方案二的总费用为（元）， 由， 因为，可得，所以， 即，所以，所以采用方案二，花费更少. 【小问2详解】 解：由（1）可知， 令，则， 所以，当时，即时，等号成立， 又因为，可得， 所以， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以差的最小值为，当且仅当时，等号成立， 所以两种方案花费的差值最小为24元. 19. 已知函数与的定义域均为，若对任意区间，存在且，使，则是的生成函数. （1）求证：是的生成函数； （2）若是生成函数，判断并证明的单调性； （3）若是的生成函数，实数，求的一个生成函数. 【答案】（1）证明见解析 （2）在上单调递增，证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）整理可得，根据可证得结论； （2）根据生成函数定义可得，由此可得函数单调性； （3）由，分别讨论和的情况，由生成函数定义可得结果. 【小问1详解】 ，且， ， ，， ，，使得，，满足， 是的生成函数. 【小问2详解】 是的生成函数， 对任意区间，存在且，， 即， ，，， 又，，即， 在上单调递增. 【小问3详解】 ，且，设，， 则，， 当时，的值域为， 对任意区间，存在且，使得且，满足， 即，此时是的一个生成函数； 当时，的值域为， 对任意区间，存在且，使得且，满足， 即，此时是的一个生成函数； 综上所述：是的一个生成函数. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度第一学期期中考试 高一数学试题（A） 2024.11 注意事项： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必将姓名、班级等个人信息填写在答题卡指定位置. 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答.超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的. 1. 下列命题与“，”的表述意义一致的是（ ） A. 有且只有一个实数，使得成立 B. 有些实数，使得成立 C. 不存在实数，使得成立 D. 有无数个实数，使得成立 2. 设函数，则下列说法不正确的是（ ） A. 的定义域为 B. 的单调递增区间为 C. 最小值为0 D. 的图象关于对称 3. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 4. 已知，是两个不相等的实数，满足，，，则（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 5. 已知，，若是的必要不充分条件，则正实数的取值范围是（ ） A. B. C D. 6. 设函数若，则实数的取值范围是（ ） A. B. C D. 7. 已知符号函数，若，则关于的说法，正确的是（ ） A. 奇函数，在和单调递增 B. 奇函数，在和单调递减 C. 偶函数，在单调递增，在单调递减 D. 偶函数，在单调递减，在单调递增 8. 设函数，则使得成立的的取值范围是（ ） A B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 如果，，那么下列不等式一定成立的是（ ） A B. C. D. 10. 已知函数，，记则下列关于函数的说法正确的是（ ） A. 当时， B. 函数的最小值为，无最大值 C. 函数在上单调递减 D. 若关于的方程恰有两个不相等的实数根，则或 11. 对于任意实数，函数满足：当时，，则（ ） A. B. 的值域为 C. 在区间上单调递增 D. 的图象关于点对称 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知命题：“，”为假命题，则实数的取值范围为_____. 13. 高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的美誉，函数称为高斯函数，其中，表示不超过的最大整数，例如：，.已知函数，则函数的值域是_________. 14. 若不等式对一切实数均成立，则实数的取值范围为_____.若存在实数，使得关于的方程在上述范围有两个不相等的实数解，则实数的取值范围为_________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知集合，. （1）若，求； （2）若是的充分条件，求的取值范围. 16. 已知函数. （1）解关于的不等式； （2），，都有恒成立，求实数的取值范围. 17. 已知函数对于任意实数，，都有，且. （1）求，的值； （2）证明：点是曲线的一个对称中心； （3）求的值. 18. 某蛋糕店推出两款新品蛋糕，分别为薄脆百香果蛋糕和朱古力蜂果蛋糕，已知薄脆百香果蛋糕单价为x元，朱古力蜂果蛋糕单价为y元，现有两种购买方案： 方案一：薄脆百香果蛋糕购买数量为a个，朱古力蜂果蛋糕购买数量为b个，花费记为; 方案二：薄脆百香果蛋糕购买数量为b个，朱古力蜂果蛋糕购买数量为a个，花费记为． （其中） （1）试问哪种购买方案花费更少？请说明理由； （2）若a，b，x，y同时满足关系，求这两种购买方案花费的差值S最小值（注：差值花费较大值-花费较小值）． 19. 已知函数与的定义域均为，若对任意区间，存在且，使，则是的生成函数. （1）求证：是的生成函数； （2）若是的生成函数，判断并证明的单调性； （3）若是的生成函数，实数，求的一个生成函数. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $