27.2.1相似三角形的判定 相似与圆有关的综合证明专题复习 2024-2025学年人教版数学九年级下册

圆与相似综合证明 1．如图，已知为的直径，是弦，且于点．连接、、． (1)求证：； (2)若，，求的直径． 2．如图，在中，，平分交于点，点在上，． (1)求证：是△BDE的外接圆的切线； (2)若，，求的长． 3．如图，是的直径，点D在的延长线上，与相切于点C，连接，，过点B作于点E． (1)求证：； (2)若，，求半径的长． 4．如图，为的直径，点F 在上，，点P 在的延长线上，与相切于点C，与的延长线相交于点D，与相交于点E． (1)求证：； (2)若，，求的长． 5．如图，线段为的直径，点C，E在上，弧BC等于弧CE，，垂足为点D，连接，弦与线段相交于点F． (1)求证：； (2)若，在的延长线上取一点M，使，的半径为6．求证：直线是的切线． 6．如图，是的直径，过点作，是上的一点，且，延长，交延长线于点，连接．   (1)求证：是的切线； (2)若，，，则的长为______________． 7．如图，四边形是的内接四边形，是直径，是的中点，过点作交的延长线于点． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 8．在△ABC中，点是的中点，以为圆心以为半径作圆．是的中点，连接，交圆于点．连接，连接并延长，交于点． (1)求证：平分； (2)若，，求的长． 9．如图，在中，，，，是的角平分线，过，，三点的圆与斜边交于点，连接． (1)求证：； (2)求外接圆的半径． 10．如图，四边形内接于，，是对角线，点在的延长线上，且． (1)判断与的位置关系，并说明理由； (2)与的延长线交于点，若，，， ①求的值． ②求的长． 11．在中，直径．点C为圆上一动点，点D在圆外，四边形为菱形，连结． (1)如图1，交于点E， ①求证：； ②连结，若，求的长． (2)如图2，连结交于G，F为圆上一点，交于M．当点C在圆上运动时，直径上是否存在一点N，使为定值．若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 12．如图，在锐角△ABC中，是最短边．以为直径的，交于D，过O作，交于E，连接． (1)求证：； (2)若，，求的度数； (3)若，，求的长． 13．如图，在中，，是的直径，与边交于点，为的中点，连接，与交于点． (1)若，求的大小； (2)求证：； (3)若，，求的面积． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 圆与相似综合证明 1．如图，已知为的直径，是弦，且于点．连接、、． (1)求证：； (2)若，，求的直径． 【详解】（1）证明：∵为的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 即：的直径为． 2．如图，在中，，平分交于点，点在上，． (1)求证：是△BDE的外接圆的切线； (2)若，，求的长． 【详解】（1）证明：取的中点，连接，如图， ， ， 为△BDE的外接圆的直径，点为△BDE的外接圆的圆心． 平分， ． ， ， ， ， ， ， 是△BDE的外接圆的切线． （2）解：设△BDE的外接圆的半径为 在中， ， 即， 解得． ， ， 即， ． 3．如图，是的直径，点D在的延长线上，与相切于点C，连接，，过点B作于点E． (1)求证：； (2)若，，求半径的长． 【详解】（1）证明：连接， ∵与相切于C， ∴， ∴， ∴， ∵为的直径， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ， ∴， ∵， ∴， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ， ∴半径的长为． 4．如图，为的直径，点F 在上，，点P 在的延长线上，与相切于点C，与的延长线相交于点D，与相交于点E． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【详解】（1）证明：如图，连接， 与半圆相切于点， ， ， ， ， ∵， ， ， ， ∴； （2）解：设，则， ∴，， ∴， 在中，， ∴， 解得，（舍去） ∴，，， ∵，， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴． 5．如图，线段为的直径，点C，E在上，弧BC等于弧CE，，垂足为点D，连接，弦与线段相交于点F． (1)求证：； (2)若，在的延长线上取一点M，使，的半径为6．求证：直线是的切线． 【详解】（1）证明：如图，延长交于点G， ∵， ∴, ∴弧BC等于弧CE， ∴， ∴； （2）证明：连接交于点H，如图， ∵弧BC等于弧CE， ∴，． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴，即， ∴直线是的切线． 6．如图，是的直径，过点作，是上的一点，且，延长，交延长线于点，连接．    (1)求证：是的切线； (2)若，，，则的长为______________． 【详解】（1）证明：连接，   ， ， ， ， ， ， ， ， 是的半径， 与相切； （2），， ， ， ， 是的直径， ， ， ， ， ， ， ， 设，， ， ， ， ， 7．如图，四边形是的内接四边形，是直径，是的中点，过点作交的延长线于点． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 【详解】（1）证明：如图，连接， ∵， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是半径， ∴是的切线； （2）解：∵是直径， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是的内接四边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， 解得：． 8．在△ABC中，点是的中点，以为圆心以为半径作圆．是的中点，连接，交圆于点．连接，连接并延长，交于点． (1)求证：平分； (2)若，，求的长． 【详解】（1）证明：∵点是的中点，是的中点， ∴是△ABC的中位线， ∴， ∴， ∴， ∵是的中点， ∴， 由题意得是的直径， ∴， ∴是线段的垂直平分线， ∴，，即平分； （2）解：由（1）知， ∴， ∴， ∵，是的中点， ∴是的中位线， ∴． 9．如图，在中，，，，是的角平分线，过，，三点的圆与斜边交于点，连接． (1)求证：； (2)求外接圆的半径． 【详解】（1）证明：， 为直径， ． 是△ABC的角平分线， ． 在和△ADE中， ， ， ； （2）解：在△ABC中，，，， ． ，， ． ， ． ，， ， ． ，，，， ， ． 在中，，，， ， 的外接圆的半径为． 10．如图，四边形内接于，，是对角线，点在的延长线上，且． (1)判断与的位置关系，并说明理由； (2)与的延长线交于点，若，，， ①求的值． ②求的长． 【详解】（1）解：相切，理由如下， 证明：连接，如图1， ∵ 四边形内接于，， ∴ 是的直径，即点在上． ∴ ． ∴ ． ∵ ． 又∵ ， ∴ ∴，即． ∴ DE⊥OD ∵是的半径 ∴是的切线． （2）解：①如图2，与交于点， ∵， ∴ ∴ ∴ ∴垂直平分 ∴ ，． ∴； ②∵ ，， ∴ ． ∴ ∴设，则，． 在中，， ∴ ． 解得：，（舍）． ∴ ． 11．在中，直径．点C为圆上一动点，点D在圆外，四边形为菱形，连结． (1)如图1，交于点E， ①求证：； ②连结，若，求的长． (2)如图2，连结交于G，F为圆上一点，交于M．当点C在圆上运动时，直径上是否存在一点N，使为定值．若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 【详解】（1）解：①接， ∵四边形为菱形， ∴， ∵， ∴， ∴； ②设交于点， ∵为直径， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）存在，过点作，交于点，则：， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵菱形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴存在点，当时，为定值． 12．如图，在锐角△ABC中，是最短边．以为直径的，交于D，过O作，交于E，连接．    (1)求证：； (2)若，，求的度数； (3)若，，求的长． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， （2）解：延长交于点G， ∵是的外角， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； （3）解：∵O是中点 ∴， ∵， ∴， ∵是直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 13．如图，在中，，是的直径，与边交于点，为的中点，连接，与交于点．    (1)若，求的大小； (2)求证：； (3)若，，求的面积． 【详解】（1）解：连接，如图，   ， ∴，∠A=4∠B ∴，， ∵是的直径， ∴， ∴， ∵为的中点， ∴， ∴． （2）解：如图，   ， ∴ ∵是的直径， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵为的中点， ∴， ∴， ∵，， ∴， ． （3）解：连接，如图， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴设，则， ∴， ∵为的中点， ∴， ∴， ∵ ∴ ，即， ∴ 由勾股定理，得，即 解得：， ∴， ，， 由勾股定理，得， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 由（2）知， ∴ ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $$