第4章一次函数精选题练习-2024-2025学年北师大版数学八年级上册

第4章一次函数精选题练习-2024-2025学年数学八年级上册北师大版 一．选择题（共8小题） 1．若函数y＝（k+3）x|k+2|﹣5是关于x的一次函数，则k的值是（　　） A．﹣1 B．﹣3 C．﹣1或﹣3 D．无法确定 2．若一次函数y＝﹣2x+5的图象经点A（﹣2，y1）和点B（3，y2），则y1，y2的大小关系为（　　） A．y1＜y2 B．y1＞y2 C．y1≤y2 D．y1＝y2 3．如图，一次函数y＝mx+n与y＝mnx（m≠0，n≠0）在同一坐标系内的图象可能是（　　） A． B． C． D． 4．关于一次函数y＝﹣x+4的图象与性质，下列描述正确的是（　　） A．图象过第二、三、四象限 B．y随x的增大而减小 C．函数的图象向下平移4个单位长度后得到函数y＝﹣x+8的图象 D．图象与y轴的交点是（4，0） 5．已知[x]表示不超过实数x的最大整数，函数y＝[x]的部分图象如图所示，若方程[x]＝ax2+在0≤x＜3有2个解，则a的取值范围是（　　） A． B． C． D． 6．将直线y＝﹣2x﹣6向右平移m个单位后得到某正比例函数的图象，则m的值为（　　） A．3 B．﹣3 C．6 D．﹣6 7．如图，甲、乙两车从A城出发匀速行驶至B城．在整个行驶过程中，甲、乙两车离开A城的距离y（千米）与甲车行驶的时间t（小时）之间的函数关系如图所示，则下列结论： ①A，B两城相距300千米； ②乙车比甲车晚出发1小时，却早到1小时； ③乙车出发后1.5小时追上甲车； ④当乙追上甲后，甲乙两车相距50千米时，或． 其中正确的结论有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 8．如图，已知一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象分别与x、y轴交于A、B两点，若OA＝2，OB＝1，则关于x的方程kx+b＝0的解为（　　） A．x＝﹣1 B．x＝1 C．x＝﹣2 D．x＝2 二．填空题（共7小题） 9．若函数y＝（k+1）x是正比例函数，且y的值随x的值增大而减小，则k的取值范围是 　 　． 10．已知点（﹣3，y1），（1，y2）都在直线上，则y1，y2的值的大小关系是 　 　． 11．已知函数y＝（m﹣1）x+m2﹣1，当m 　 　时，它是一次函数；当m 　 　时，它是正比例函数． 12．同一温度的华氏度数y（℉）与摄氏度数x（℃）之间的函数关系是y＝x+32，如果某一温度的摄氏度数是5℃，那么它的华氏度数是 　 　℉． 13．一个长方形面积为2000，一边长为x，相邻另一边长为y，则用式子表示y与x之间的关系：　 　． 14．在平面直角坐标系xOy中，点A（0，2），点B（2，0），点C（0，﹣2），点D（﹣2，0），M为四边形ABCD边上一点．对于点P（6，0）给出如下定义：若∠PMP1＝90°，PM＝P1M，点P1在x轴下方，点P1关于原点的对称点为Q，我们称点Q为点P关于点M为直角顶点的“变换点”；则P关于点B为直角顶点的“变换点”坐标为 　 　；若直线y＝kx+3k（k≠0）上存在点P关于点M为直角顶点的“变换点”，则k的取值范围为 　 　． 15．如图所示，在平面直角坐标系中，线段AB所在直线的函数表达式为y＝﹣x+4，C是AO的中点，P是AB上一动点，则PO+PC的最小值是 　 　． 三．解答题（共5小题） 16．已知，且y是关于x的正比例函数． （1）求y与x的函数关系式； （2）若x≤2，求函数y的最小值． 17．已知点（l，﹣2）在正比例函数y＝kx（k≠0）的图象上． （1）求k的值； （2）若点（a，﹣2）在（1）中函数的图象上，求a的值； （3）若点，，（3，y3）都在此正比例函数图象上，试比较y1，y2，y3的大小． 18．联通公司手机话费收费有A套餐（月租费15元，通话费每分钟0.1元）和B套餐（月租费0元，通话费每分钟0.15元）两种，设A套餐每月话费为y1（元），B套餐每月话费为y2（元），月通话时间为x分钟， （1）分别表示出y1与x，y2与x的函数关系式． （2）如果该手机用户使用A套餐且本月缴费50元，求他本月的通话时间？ （3）若该用户这个月的通话时间为160分钟，使用哪种套餐更划算？ 19．在一条笔直的道路上依次有A，B，C三地，快快同学从A地跑步到C地，同时乐乐同学从B地跑步到A地，休息1min后接到通知，要求乐乐比快快早1min到达C地，两人均匀速运动，如图所示为两人距A地路程s（m）与快快跑步时间t（min）之间的函数图象． （1）a＝ 　 　，乐乐去A地的速度为 　 　m/min； （2）结合图象，求出乐乐从A地到C地对应的函数表达式（写出自变量的取值范围）； （3）请直接写出两人与B地的距离相等的时间． 20．如图1，在平面直角坐标系中，直线交x轴于点A，交y轴于点B，点C与点B关于x轴对称，连接AC． （1）C的坐标是 　 　； （2）在x轴上是否存在一点D，使得△ACD是等腰三角形，若存在，求出点D坐标，若不存在，说明理由； （3）直线x＝a（a≠﹣4）交直线AC于点E、交直线AB于点F，点Q为y轴上的一个动点，△QEF为等腰直角三角形，请直接写出a的值． 第4章一次函数精选题练习-2024-2025学年数学八年级上册北师大版 参考答案与试题解析 一．选择题（共8小题） 1．若函数y＝（k+3）x|k+2|﹣5是关于x的一次函数，则k的值是（　　） A．﹣1 B．﹣3 C．﹣1或﹣3 D．无法确定 【分析】根据一次函数的定义可知|k+2|＝1，k+3≠0，从而可求得k的值． 【解答】解：∵函数y＝（k+3）x|k+2|﹣5是关于x的一次函数， ∴|k+2|＝1且k+3≠0， 解得k＝﹣1． 故选：A． 【点评】本题考查一次函数的定义，关键掌握一次函数y＝kx+b的定义条件是：k、b为常数，k≠0，自变量次数为1． 2．若一次函数y＝﹣2x+5的图象经点A（﹣2，y1）和点B（3，y2），则y1，y2的大小关系为（　　） A．y1＜y2 B．y1＞y2 C．y1≤y2 D．y1＝y2 【分析】将点A（﹣2，y1）和点B（3，y2）坐标代入解析式直接求出函数值比较即可． 【解答】解：当x＝﹣2时，y1＝9， 当x＝3时，y1＝﹣1， ∴y1＞y2． 故选：B． 【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握该知识点是关键． 3．如图，一次函数y＝mx+n与y＝mnx（m≠0，n≠0）在同一坐标系内的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据m、n同正，同负，一正一负时利用一次函数的性质进行判断． 【解答】解：①当mn＞0时，m、n同号，y＝mnx过一三象限，同正时，y＝mx+n经过一、二、三象限；同负时，过二、三、四象限； ②当mn＜0时，m、n异号，y＝mnx过二四象限，m＞0，n＜0时，y＝mx+n经过一、三、四象限；m＜0，n＞0时，过一、二、四象限； 故选：C． 【点评】本题考查了一次函数的性质，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键． 4．关于一次函数y＝﹣x+4的图象与性质，下列描述正确的是（　　） A．图象过第二、三、四象限 B．y随x的增大而减小 C．函数的图象向下平移4个单位长度后得到函数y＝﹣x+8的图象 D．图象与y轴的交点是（4，0） 【分析】根据一次函数图象的性质，一次函数图象上点的坐标特征，一次函数图象与坐标轴的交点进行分析判断． 【解答】解：A、由于一次函数y＝﹣x+4中的k＝﹣1＜0，b＝4＞0，所以函数图象经过第一、二、四象限，故A错误，不符合题意； B、由于一次函数y＝﹣x+4中的k＝﹣1＜0，所以y随x的增大而减小，故B正确，符合题意； C、函数的图象向下平移4个单位长度后得到函数y＝﹣x的图象，故C错误，不符合题意； D、直线y＝﹣x+4，令x＝0可得：y＝4，函数图象与y轴的交点坐标为（0，4），故D错误，不符合题意； 故选：B． 【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及一次函数的性质，掌握一次函数的性质是解题关键． 5．已知[x]表示不超过实数x的最大整数，函数y＝[x]的部分图象如图所示，若方程[x]＝ax2+在0≤x＜3有2个解，则a的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【分析】分别作出当y＝ax2+经过（1，1）、（2，2）、（2，1）、（3，2）时的图象，再由图象判断出函数y＝ax2+与函数y＝[x]的图象在0≤x＜3有两个交点时[x]＝ax2+在0≤x＜3有两个解，即可解答此题． 【解答】解：当函数y＝ax2+与函数y＝[x]的图象在0≤x＜3有两个交点时[x]＝ax2+在0≤x＜3有两个解， 令y＝ax2+经过（1，1），得a＝， ∴y＝x2+， 令y＝ax2+经过（2，2），得a＝， ∴y＝x2+， 令y＝ax2+经过（2，1），得a＝， ∴y＝x2+， 令y＝ax2+经过（3，2），得a＝， ∴y＝x2+， 如图， 可以看出经过（2，2）的y＝x2+和经过（3，2）的y＝x2+，与函数y＝[x]的图象在0≤x＜3有两个交点， ∴＜a≤， 故选：A． 【点评】本题考查了函数图象，其中函数图象与方程的关系是解题的关键． 6．将直线y＝﹣2x﹣6向右平移m个单位后得到某正比例函数的图象，则m的值为（　　） A．3 B．﹣3 C．6 D．﹣6 【分析】根据平移的规律得到平移后直线的解析式为y＝﹣2（x﹣m）﹣6，然后把原点的坐标代入求值即可． 【解答】解：将直线y＝﹣2x﹣6向右平移m个单位后，得到y＝﹣2（x﹣m）﹣6， 把（0，0）代入，得到：0＝﹣2（0﹣m）﹣6， 解得m＝3． 故选：A． 【点评】主要考查的是一次函数图象与几何变换，用平移规律“左加右减，上加下减”直接代入函数解析式求得平移后的函数解析式是解题的关键． 7．如图，甲、乙两车从A城出发匀速行驶至B城．在整个行驶过程中，甲、乙两车离开A城的距离y（千米）与甲车行驶的时间t（小时）之间的函数关系如图所示，则下列结论： ①A，B两城相距300千米； ②乙车比甲车晚出发1小时，却早到1小时； ③乙车出发后1.5小时追上甲车； ④当乙追上甲后，甲乙两车相距50千米时，或． 其中正确的结论有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】由图象所给数据可求得甲、乙两车离开A城的距离y与时间t的关系式，可求得两函数图象的交点，进而判断，再令两函数解析式的差为50，可求得t，可得出答案． 【解答】解：图象可知A、B两城市之间的距离为300km，甲行驶的时间为5小时，而乙是在甲出发1小时后出发的，且用时3小时，即比甲早到1小时，故①②都正确； 设甲车离开A城的距离y与t的关系式为y甲＝kt， 把（5，300）代入可求得k＝60， ∴y甲＝60t， 设乙车离开A城的距离y与t的关系式为y乙＝mt+n， 把（1，0）和（4，300）代入可得， 解得， ∴y乙＝100t﹣100， 令y甲＝y乙可得：60t＝100t﹣100， 解得t＝2.5， 即甲、乙两直线的交点横坐标为t＝2.5， 此时乙出发时间为1.5小时，即乙车出发1.5小时后追上甲车，故③正确； 当乙追上甲后，令y乙﹣y甲＝50，100t﹣100﹣60t＝50 解得， 当乙到达目的地，甲自己行走时，y甲＝60t＝250， 解得， ∴综上所述，当乙追上甲后，甲乙两车相距50千米时，或．故④正确； 综上可知正确的有①②③④，共4个． 故选：D． 【点评】本题主要考查一次函数的应用，掌握一次函数图象的意义是解题的关键，学会构建一次函数，利用方程组求两个函数的交点坐标，属于中考常考题型． 8．如图，已知一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象分别与x、y轴交于A、B两点，若OA＝2，OB＝1，则关于x的方程kx+b＝0的解为（　　） A．x＝﹣1 B．x＝1 C．x＝﹣2 D．x＝2 【分析】利用函数图象，x＝﹣2函数值为0，则于x的方程kx+b＝0的解为x＝﹣2． 【解答】解：∵OA＝2， ∴一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与x轴相交于点A（﹣2，0）， ∴关于x的方程kx+b＝0的解为x＝﹣2． 故选：C． 【点评】本题考查了一次函数与一元一次方程，一次函数的性质，方程的解就是一次函数图象与x轴的交点的横坐标是解题的关键． 二．填空题（共7小题） 9．若函数y＝（k+1）x是正比例函数，且y的值随x的值增大而减小，则k的取值范围是 　k＜﹣1　． 【分析】根据正比例函数图象与系数的关系列出关于k的不等式k+1＜0，然后解不等式即可． 【解答】解：∵正比例函数 y＝（k+1）x中，y的值随自变量x的值增大而减小， ∴k+1＜0， 解得，k＜﹣1； 故答案为：k＜﹣1． 【点评】本题主要考查正比例函数图象在坐标平面内的位置与k的关系．解答本题注意理解：直线y＝kx所在的位置与k的符号有直接的关系．k＞0时，直线必经过一、三象限，y随x的增大而增大；k＜0时，直线必经过二、四象限，y随x的增大而减小． 10．已知点（﹣3，y1），（1，y2）都在直线上，则y1，y2的值的大小关系是 　y1＞y2　． 【分析】由k＝﹣＜0，利用一次函数的性质，可得出y随x的增大而减小，再结合﹣3＜1，即可得出y1＞y2． 【解答】解：∵k＝﹣＜0， ∴y随x的增大而减小， 又∵点（﹣3，y1），（1，y2）都在直线y＝﹣x+b，且﹣3＜1， ∴y1＞y2． 故答案为：y1＞y2． 【点评】本题考查了一次函数的性质，牢记“k＞0，y随x的增大而增大；k＜0，y随x的增大而减小”是解题的关键． 11．已知函数y＝（m﹣1）x+m2﹣1，当m 　≠1　时，它是一次函数；当m 　＝﹣1　时，它是正比例函数． 【分析】根据一次函数与正比例函数的定义列出关于m的不等式组求出m的取值范围即可． 【解答】解：∵函数y＝（m﹣1）x+m2﹣1为一次函数， ∴m﹣1≠0，解得m≠1； ∵函数y＝（m+4）x+m2﹣1为正比例函数， ∴，解得m＝﹣1． 故答案为：≠﹣4；＝﹣1． 【点评】本题考查了正比例函数与一次函数的定义，掌握正比例函数与一次函数的定义是关键． 12．同一温度的华氏度数y（℉）与摄氏度数x（℃）之间的函数关系是y＝x+32，如果某一温度的摄氏度数是5℃，那么它的华氏度数是 　41　℉． 【分析】把x的值代入函数关系式计算求出y值即可． 【解答】解：当x＝5时， y＝×5+32 ＝41， 故答案为：41． 【点评】本题考查一次函数的应用，理解函数值的概念并正确代入准确计算是解题的关键． 13．一个长方形面积为2000，一边长为x，相邻另一边长为y，则用式子表示y与x之间的关系：　y＝（x＞0）　． 【分析】根据题意列出函数关系式即可． 【解答】解：根据题意得：xy＝2000， ∴函数关系式为：y＝（x＞0）． 故答案为：y＝（x＞0）． 【点评】本题考查了根据实际问题列函数关系式，理解题意是关键． 14．在平面直角坐标系xOy中，点A（0，2），点B（2，0），点C（0，﹣2），点D（﹣2，0），M为四边形ABCD边上一点．对于点P（6，0）给出如下定义：若∠PMP1＝90°，PM＝P1M，点P1在x轴下方，点P1关于原点的对称点为Q，我们称点Q为点P关于点M为直角顶点的“变换点”；则P关于点B为直角顶点的“变换点”坐标为 　（﹣2，4）　；若直线y＝kx+3k（k≠0）上存在点P关于点M为直角顶点的“变换点”，则k的取值范围为 　≤k≤8　． 【分析】根据定义即可求出P关于点B为直角顶点的“变换点”R坐标，同理求得P关于点A为直角顶点的“变换点”坐标为（2，4），点P关于点B为直角顶点的“变换点”坐标为（﹣2，4），点P关于点D为直角顶点的“变换点”坐标为（2，8），点P关于点C为直角顶点的“变换点”坐标为（﹣2，8），分别求出对应的k值，即可得到k的范围． 【解答】解：如图，P（6，0），B（2，0）， ∴PB＝6﹣2＝4， ∵∠PBT＝90°，PB＝TB， ∴T（2，﹣4）， ∴R，T关于原点对称， ∴R（﹣2，4）， ∴P关于点B为直角顶点的“变换点”坐标为（﹣2，4）； 同理，P关于点A为直角顶点的“变换点”坐标为（2，4），点P关于点D为直角顶点的“变换点”坐标为（2，8），点P关于点C为直角顶点的“变换点”坐标为（﹣2，8）， ∵直线y＝kx+3k过定点（﹣3，0）， 点P关于点A为直角顶点的“变换点”坐标为（2，4），点P关于点B为直角顶点的“变换点”坐标为（﹣2，4）， 当直线y＝kx+3k过（2，4）时，4＝2k+3k，解得k＝， 当直线y＝kx+3k过（﹣2，4）时，4＝﹣2k+3k，解得k＝4， 同理可得点P关于点D为直角顶点的“变换点”坐标为（2，8），点P关于点C为直角顶点的“变换点”坐标为（﹣2，8）， 当直线y＝kx+3k过（2，8）时，8＝2k+3k，解得k＝， 当直线y＝kx+3k过（﹣2，8）时，8＝﹣2k+3k，解得k＝8， ∴k的取值范围是≤k≤8． 故答案为：（﹣2，4），≤k≤8． 【点评】本题考查一次函数的综合应用，涉及新定义，解题的关键是读懂题意，理解点P关于点M的直角顶点“变换点”的定义． 15．如图所示，在平面直角坐标系中，线段AB所在直线的函数表达式为y＝﹣x+4，C是AO的中点，P是AB上一动点，则PO+PC的最小值是 　　． 【分析】作点B关于AC的对称点B'，连接EB'交AC于点P'，PB+PE的最小值为EB'，分别求出点A，C的坐标，证明四边形ABCB'是正方形即可求出点B'的坐标，即可求出EB'的长度． 【解答】解：如图所示，作点O关于AB的对称点B'，连接OB'交AC于点P'， ∵线段AB所在直线的解析式为y＝﹣x+4， 当x＝0时，y＝4， 当y＝0时，x＝4， ∴AO＝BO＝4， ∴AC，BB'相互垂直平分， ∴四边形ABCB'是正方形， ∴点B'（4，4）， ∵点C（0，2）， ∴PO+PC的最小值为OB′＝． 故答案为：． 【点评】本题考查一次函数的性质，解题的关键是利用一次函数的解析式求出点A，C的坐标． 三．解答题（共5小题） 16．已知，且y是关于x的正比例函数． （1）求y与x的函数关系式； （2）若x≤2，求函数y的最小值． 【分析】（1）根据正比例函数定义求出k值即可； （2）根据正比例函数性质解答出最小值即可． 【解答】解：（1）∵，且y是关于x的正比例函数， ∴k2﹣3＝1，k≠2， ∴k＝﹣2， ∴y＝﹣4x， （2）∵y＝﹣4x中k＝﹣4＜0，y随x的增大而减小，且x≤2， ∴当x＝2时，函数有最小值，最小值为y＝﹣8． 【点评】本题考查了正比例函数的定义和性质，熟练掌握该知识点是关键． 17．已知点（l，﹣2）在正比例函数y＝kx（k≠0）的图象上． （1）求k的值； （2）若点（a，﹣2）在（1）中函数的图象上，求a的值； （3）若点，，（3，y3）都在此正比例函数图象上，试比较y1，y2，y3的大小． 【分析】（1）将点（1，﹣2）代入y＝kx即可解决问题． （2）将点（a，﹣2）代入（1）中所求函数解析式即可． （3）根据正比例函数的性质即可解决问题． 【解答】解：（1）将点（1，﹣2）代入y＝kx得， k＝﹣2， 所以k的值为﹣2． （2）由（1）知， 正比例函数的表达式为y＝﹣2x． 将点（a，﹣2）代入y＝﹣2x得， a＝1， 所以a的值为1． （3）因为正比例函数的表达式为y＝﹣2x，且﹣2＜0， 所以y随x的增大而减小． 又因为， 所以y1＞y2＞y3． 【点评】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征，熟知一次函数的图象与性质是解题的关键． 18．联通公司手机话费收费有A套餐（月租费15元，通话费每分钟0.1元）和B套餐（月租费0元，通话费每分钟0.15元）两种，设A套餐每月话费为y1（元），B套餐每月话费为y2（元），月通话时间为x分钟， （1）分别表示出y1与x，y2与x的函数关系式． （2）如果该手机用户使用A套餐且本月缴费50元，求他本月的通话时间？ （3）若该用户这个月的通话时间为160分钟，使用哪种套餐更划算？ 【分析】（1）根据题意列函数关系式即可； （2）根据题意可知，y1＝0.1x+15＝50，求出x的值即可； （3）分别求出x＝160时，y1和y2的值，比较大小即可． 【解答】解：（1）∵A套餐：月租费15元，通话费每分钟0.1元， ∴y1＝0.1x+15， ∵B套餐：月租费0元，通话费每分钟0.15元， ∴y2＝0.15x； （2）∵该手机用户使用A套餐且本月缴费50元， ∴y1＝0.1x+15＝50， 解得：x＝350， ∴他本月的通话时间为350分钟； （3）∵当x＝160时，y1＝0.1×160+15＝31，y2＝0.15×160＝24， ∴y1＞y2， 即通话时间为160分钟，使用B套餐更划算． 【点评】本题考查了一次函数的应用，根据题意正确列出关系式是解题关键． 19．在一条笔直的道路上依次有A，B，C三地，快快同学从A地跑步到C地，同时乐乐同学从B地跑步到A地，休息1min后接到通知，要求乐乐比快快早1min到达C地，两人均匀速运动，如图所示为两人距A地路程s（m）与快快跑步时间t（min）之间的函数图象． （1）a＝ 　2　，乐乐去A地的速度为 　200m/min　m/min； （2）结合图象，求出乐乐从A地到C地对应的函数表达式（写出自变量的取值范围）； （3）请直接写出两人与B地的距离相等的时间． 【分析】（1）根据题意结合图象以及速度、路程和时间的关系解答即可； （2）先确定F、G的坐标以及t的取值范围，然后利用待定系数法解答即可； （3）先运用待定系数法确定DE、OH，然后根据图像联立解析式求解即可． 【解答】解：（1）∵乐乐在A地休息1分钟， ∴a＝3﹣1＝2， 乐乐去A地的速度为400÷2＝200（m/min）， 故答案为：2；200m/min； （2）设乐乐从A地到C地对应的函数表达式为s＝kt+b（k≠0）． ∵F（3，0），G（7，1200）在该函数图象上， ∴， 解得， ∴乐乐从A地到C地对应的函数表达式为s＝300t﹣900（3≤t≤7）； （3）设线段OH对应的函数表达式为s＝mt（k≠0）． ∵H（8，1200）在函数图象上， ∴8m＝1200， 解得m＝150． ∴线段OH对应的函数表达式为s＝150t（0≤t≤8）． ①当0≤t≤2时，200t＝400﹣150t，解得； ②当2＜t≤3时，400＝150t﹣400，解得（不合题意，舍去）． ③当3＜t≤7时，400﹣（300t﹣900）＝150t﹣400或300t﹣900＝150t，解得或t＝6． ④当t＝8时，两人距B地的路程相等． 综上所述，两人距B地的路程相等的时间为或或6min或8min． 【点评】本题主要考查了列式计算、一次函数图象与行程问题等知识点，审清题意、明确函数图象各点的意义是解答本题的关键． 20．如图1，在平面直角坐标系中，直线交x轴于点A，交y轴于点B，点C与点B关于x轴对称，连接AC． （1）C的坐标是 　（0，3）　； （2）在x轴上是否存在一点D，使得△ACD是等腰三角形，若存在，求出点D坐标，若不存在，说明理由； （3）直线x＝a（a≠﹣4）交直线AC于点E、交直线AB于点F，点Q为y轴上的一个动点，△QEF为等腰直角三角形，请直接写出a的值． 【分析】（1）根据直线解析式求得点A、B的坐标，再由轴对称的性质求得点C的坐标即可； （2）设D（x，0），利用勾股定理表示出AC2，AD2，CD2，再由等腰三角形性质，分三种情况建立方程求解即可得出答案； （3）利用待定系数法求出直线AC的解析式，进而得出EF的长度，再分情况讨论即可． 【解答】解：（1）∵直线y＝﹣x﹣3交x轴于点A，交y轴于点B， ∴A（﹣4，0），B（0，﹣3）， ∵点C与点B关于x轴对称， ∴C的坐标是（0，3）， 故答案为：（0，3）；（2）存在， 设D（x，0）， 则AC2＝OA2+OC2＝42+32＝25，AD2＝（x+4）2，CD2＝OC2+OD2＝9+x2， ∵△ACD是等腰三角形， ∴AD＝AC或CD＝AC或AD＝CD， 当AD＝AC时，AD2＝AC2， ∴（x+4）2＝25， 解得：x＝1或x＝﹣9， ∴D（1，0）或（﹣9，0）； 当CD＝AC时，CD2＝AC2， ∴9+x2＝25， 解得：x＝4或x＝﹣4（舍去）， ∴D（4，0）； 当AD＝CD时，AD2＝CD2， ∴（x+4）2＝9+x2， 解得：x＝﹣， ∴D（﹣，0）； 综上所述，点D坐标为（1，0）或（﹣9，0）或（4，0）或（﹣，0）； （3）设直线AC的解析式为y＝kx+b，把A（﹣4，0），C（0，3）代入， 得， 解得：， ∴直线AC的解析式为y＝x+3， ∵直线x＝a（a≠﹣4）交直线AC于点E、交直线AB于点F， ∴E（a，a+3），F（a，﹣a﹣3）， ∴EF＝a+3﹣（﹣a﹣3）＝a+6， 当a＜0且∠EFQ＝90°时，EF＝FQ，如图， ∴a+6＝﹣a， 解得：a＝﹣； 当a＜0且∠FEQ＝90°时，EF＝EQ，如图， 同理可得：a＝﹣； 当a＜0且∠EQF＝90°时，EQ＝FQ，如图， 设QH⊥EF于H， ∵△QEF为等腰直角三角形， ∴EF＝2QH， 即a+6＝﹣2a， 解得：a＝﹣； 当a＞0且∠FEQ＝90°时，EF＝EQ，如图， 则a+6＝a， 解得：a＝﹣12（不符合题意，舍去），此时不能构成等腰直角三角形； 当a＞0且∠EFQ＝90°时，EF＝FQ， 同理可得：此时不能构成等腰直角三角形； 当a＞0且∠EQF＝90°时，EQ＝FQ，如图， 设QH⊥EF于H， ∴EF＝2QH， 则a+6＝2a， 解得：a＝12； 综上所述，a的值为﹣或﹣或12． 【点评】本题是一次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，一次函数的图象和性质，等腰三角形性质，等腰直角三角形性质等，运用分类讨论思想是解题关键． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$