专题13全等三角形的四种基本模型-【上好课】2024-2025学年八年级数学上册同步精品课堂（沪科版）

专题13全等三角形的四种基本模型 题型01平移型 【典例分析】 【例1-1】（24-25八年级上·河南商丘·阶段练习）如图，四点在一条直线上，，，再添一个条件仍不能证明的是（    ） A． B． C． D． 【例1-2】（24-25八年级上·江苏盐城·阶段练习）如图，已知，且，，则的度数为 ． 【例1-3】（24-25八年级上·广东湛江·期中）如图，，，，求证：． 【变式演练】 【变式1-1】（24-25八年级上·全国·单元测试）如图，，，则下列结论错误的是（　　）    A． B． C． D． 【变式1-2】（24-25八年级上·山西忻州·期中）如图，在和中，已知，，再添加一个条件使成立，那么添加的条件是 ． 【变式1-3】（24-25八年级上·海南省直辖县级单位·期中）如图，点在一条直线上，，，．求证：． 题型02翻折型 【典例分析】 【例2-1】（24-25八年级上·湖南岳阳·期中）如图，，要说明，需从下列条件中选一个，错误的选法是（      ） A． B． C． D． 【例2-2】（24-25八年级上·北京·期中）如图，在四边形中，，添加一个条件使得，可添加的条件是 ． 【例2-3】（24-25八年级上·青海海东·阶段练习）如图，已知，且，，求证：． 【变式演练】 【变式2-1】（24-25八年级上·江苏无锡·期中）如图，已知，，，则的度数为 （ ） A． B． C． D． 【变式2-2】（24-25八年级上·北京·阶段练习）如图，，请你添加一个适当的条件 ，使得． 【变式2-3】（24-25九年级上·新疆喀什·期中）如图，已知，求证： 题型03旋转型 【典例分析】 【例3-1】（24-25八年级上·河南周口·期中）如图，，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【例3-2】（24-25八年级上·浙江温州·期中）如图，，，若添加一个条件可得，则添加的条件可以是 ．（写出一个满足条件的答案） 【例3-3】（24-25八年级上·广东广州·期中）如图所示，，，，求证：． 【变式演练】 【变式3-1】（24-25八年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，，若，，则（  ） A．6 B．4 C．10 D．14 【变式3-2】（2024八年级上·全国·专题练习）已知：如图，．求证：． 【变式3-3】（24-25八年级上·云南昭通·期中）如图，，，． 求证：． 题型04一线三等角型 【例4-1】（24-25八年级上·江苏连云港·阶段练习）如图， ， 且 ，， 且， 请按照图中所标注的数据计算FH的长为 (      ) A．17 B．18 C．19 D．20 【例4-2】（24-25八年级上·四川南充·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，，，，且，则点的坐标是 ． 【例4-3】（24-25八年级上·江苏无锡·期中）如图，在中，，，直线经过点，且于，于， (1)求证：； (2)试探究线段、、之间的数量关系． 【变式演练】 【变式4-1】（24-25八年级上·江苏盐城·阶段练习）如图，小虎用10块高度都是的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板（，），点在上，点和分别与木墙的顶端重合，则两堵木墙之间的距离的长度为（   ）    A． B． C． D． 【变式4-2】（2024八年级上·上海·专题练习）如图，点D、A、E在直线m上，于点D，于点E，且．若，则              【变式4-3】（24-25八年级上·福建南平·期中）如图，在中，，，分别过点B、点C作过点A的直线的垂线、，垂足为点D、E．若，，求的长． 一、单选题 1．（24-25八年级上·云南曲靖·期中）如图，在和中，，还需添加两个条件才能使，添加的一组条件不正确的是（   ） A．， B．， C．， D．， 2．（24-25八年级上·河南南阳·期中）与的AC边重合，．添加下一个条件后，仍无法判定的是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·海南海口·期中）如图，平分，，的延长线交于点E，如果，则的度数为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级上·江苏常州·期中）如图，、、、四点在一条直线上，，，再添一个条件能证明的是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 5．（24-25八年级上·福建莆田·期中）如图，线段与相交于点O，连接，且，要使，应添加一个条件是 （只填一个即可）． 6．（24-25八年级上·湖南郴州·期中）如图，在和中，已知，，还需添加一个条件才能使，能添加的一组条件是 ． 7．（24-25八年级上·湖南长沙·期中）如图，，且，若点，的坐标分别为，，则点的坐标是 ．    三、解答题 8．（24-25八年级上·福建厦门·期中）如图，C是的中点，，，求证：．    9．（24-25八年级上·甘肃定西·期中）如图，已知在四边形中，点E在上，，，．求证：． 10．（23-24八年级上·广东东莞·阶段练习）如图，在中，平分，，垂足分别为E、F，且．试说明． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题13全等三角形的四种基本模型 题型01平移型 【典例分析】 【例1-1】（24-25八年级上·河南商丘·阶段练习）如图，四点在一条直线上，，，再添一个条件仍不能证明的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的判定，由可得，再根据全等三角形的判定方法逐项判断即可求解，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 即， 、添加与原条件满足，不能证明，该选项符合题意； 、添加可得，由可证明，该选项不合题意； 、添加，由可证明，该选项不合题意； 、添加可得，由可证明，该选项不合题意； 故选：． 【例1-2】（24-25八年级上·江苏盐城·阶段练习）如图，已知，且，，则的度数为 ． 【答案】/度 【分析】本题考查全等三角形的性质，关键是掌握全等三角形的对应角相等．由三角形内角和定理求出，由全等三角形的性质得到． 【详解】解：，， ， ， ． 故答案为：． 【例1-3】（24-25八年级上·广东湛江·期中）如图，，，，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，“两直线平行同位角相等”，先根据平行线的性质得，再根据得出，然后根据“角角边”证明，最后根据全等三角形的对应边相等得出答案． 【详解】∵， ∴ ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． 【变式演练】 【变式1-1】（24-25八年级上·全国·单元测试）如图，，，则下列结论错误的是（　　）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形对应边，对应角相等是解题的关键．根据全等三角形的对应边，对应角相等即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∴A、B正确，不符合题意， ∵， ∴， ∴C正确，不符合题意， 而不一定等于， ∴D错误，符合题意， 故选：D． 【变式1-2】（24-25八年级上·山西忻州·期中）如图，在和中，已知，，再添加一个条件使成立，那么添加的条件是 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定定理，根据题意已有一条边对应相等，一个角对应相等，据此根据全等三角形的判定定理添加条件即可． 【详解】解：添加条件，证明如下： 在和中， ， ∴， 故答案为：（答案不唯一）． 【变式1-3】（24-25八年级上·海南省直辖县级单位·期中）如图，点在一条直线上，，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，熟记全等三角形的判定定理与性质定理是解题的关键．根据平行线的性质得出，根据证和全等，根据全等三角形的对应边相等即可得出，进而得到． 【详解】证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴ ∴， ∴． 题型02翻折型 【典例分析】 【例2-1】（24-25八年级上·湖南岳阳·期中）如图，，要说明，需从下列条件中选一个，错误的选法是（      ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，掌握常见的全等三角形的判定方法成为解题的关键． 先要确定现有已知在图形上的位置，结合全等三角形的判定方法逐项判断即可． 【详解】解：A、加，结合，，运用可证明，不符合题意； B、加，结合，，运用可证明，不符合题意； C、加，满足，不能得出，符合题意； D、加，结合，，运用可证明，不符合题意． 故选C． 【例2-2】（24-25八年级上·北京·期中）如图，在四边形中，，添加一个条件使得，可添加的条件是 ． 【答案】或或（答案不唯一）． 【分析】本题考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法（即、、、和）是解题的关键．由已知条件：及公共边，要使，可添加或或，根据全等三角形的判定即可求证，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 【详解】解：若添加条件为：，证明如下： 在和中， ∵， ∴； 若添加条件为：，证明如下： 在和中， ∵， ∴ 若添加条件为：，证明如下： ∵， ∴和为直角三角形， 在和中， ∵， ∴． 故答案为：或或（答案不唯一）． 【例2-3】（24-25八年级上·青海海东·阶段练习）如图，已知，且，，求证：． 【答案】证明见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，只需要根据证明，即可证明． 【详解】证明：∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 【变式演练】 【变式2-1】（24-25八年级上·江苏无锡·期中）如图，已知，，，则的度数为 （ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的性质，三角形内角和定理等知识．熟练掌握全等三角形的性质，三角形内角和定理是解题的关键． 由，可得，，根据，计算求解即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， 故选：C． 【变式2-2】（24-25八年级上·北京·阶段练习）如图，，请你添加一个适当的条件 ，使得． 【答案】（或） 【分析】本题考查了全等三角形的判定．熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键． 根据全等三角形的判定定理作答即可． 【详解】解：由题意知，，， 添加时，， 故答案为：． 【变式2-3】（24-25九年级上·新疆喀什·期中）如图，已知，求证： 【答案】见解析 【分析】此题考查了全等三角形的判定．，，根据即可证明． 【详解】证明：∵，， ∴ 题型03旋转型 【典例分析】 【例3-1】（24-25八年级上·河南周口·期中）如图，，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的性质，三角形的内角和定理，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键；根据三角形的内角和定理求出，再根据全等三角形的性质求出． 【详解】解：，， ， ， ， 故选：． 【例3-2】（24-25八年级上·浙江温州·期中）如图，，，若添加一个条件可得，则添加的条件可以是 ．（写出一个满足条件的答案） 【答案】（或） 【分析】本题考查了全等三角形的判定，解题的关键是掌握判定定理，根据已知条件合理添加条件进行证明．根据已知条件可得两个三角形中有两对边相等，所以可以根据和添加条件． 【详解】解：由题意可得：，， 添加：，根据可得； 添加，根据可得； 故答案为：（或）． 【例3-3】（24-25八年级上·广东广州·期中）如图所示，，，，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了三角形全等的判定方法根据三角形全等的判定，由已知先证，再根据可证． 【详解】证明：， ． ， 在与中 ， ． 【变式演练】 【变式3-1】（24-25八年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，，若，，则（  ） A．6 B．4 C．10 D．14 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的性质，由可得出：，，再由即可得出结果． 【详解】解：∵， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， 故选：A． 【变式3-2】（2024八年级上·全国·专题练习）已知：如图，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，掌握运用证明三角形全等成为解题的关键． 先根据角的和差证得，再结合条件，运用即可证明结论． 【详解】证明：∵， ∴，即， 在和中， ， ∴． 【变式3-3】（24-25八年级上·云南昭通·期中）如图，，，． 求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．由可得，即可证明． 【详解】解：， ，， 在和中， ， ． 题型04一线三等角型 【例4-1】（24-25八年级上·江苏连云港·阶段练习）如图， ， 且 ，， 且， 请按照图中所标注的数据计算FH的长为 (      ) A．17 B．18 C．19 D．20 【答案】B 【分析】题目主要考查了全等三角形的判定和性质，根据垂直定义可得：，运用等式的性质可得：，根据全等三角形判定定理可证，推出，，同理可证，得出：，，即可求出的长度． 【详解】解：∵， ∴， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 同理可得：， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， 故选：B． 【例4-2】（24-25八年级上·四川南充·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，，，，且，则点的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了坐标与图形的性质，全等三角形的判定和性质．证明，求出，，从而求得点C坐标． 【详解】解：过点C作轴于点D，如图所示： ∵， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴，， ∴，，， ∴， 故答案为：． 【例4-3】（24-25八年级上·江苏无锡·期中）如图，在中，，，直线经过点，且于，于， (1)求证：； (2)试探究线段、、之间的数量关系． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定； （1）根据证明即可； （2）利用全等三角形的性质证明即可； 【详解】（1）于，于， ； ； ；    ； ；                               在和中， ． （2）由（）得 ， ，，                                    ． 【变式演练】 【变式4-1】（24-25八年级上·江苏盐城·阶段练习）如图，小虎用10块高度都是的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板（，），点在上，点和分别与木墙的顶端重合，则两堵木墙之间的距离的长度为（   ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了全等三角形的应用，根据题意可得，，，，进而得到，再根据等角的余角相等可得，再证明即可，利用全等三角形的性质进行解答． 【详解】解：由题意得：，，，， ∴， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 由题意得：，， ∴，， ∴， 答：两堵木墙之间的距离为． 故选：A． 【变式4-2】（2024八年级上·上海·专题练习）如图，点D、A、E在直线m上，于点D，于点E，且．若，则              【答案】8 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，掌握利用HL判定直角三角形的全等是解题的关键． 根据，得，再结合已知可推出，最后由全等三角形的性质，即可计算出结果． 【详解】解：∵， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：8． 【变式4-3】（24-25八年级上·福建南平·期中）如图，在中，，，分别过点B、点C作过点A的直线的垂线、，垂足为点D、E．若，，求的长． 【答案】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，根据等角的余角相等得到，然后利用证明，可以得到，即可解题． 【详解】解：解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴ 一、单选题 1．（24-25八年级上·云南曲靖·期中）如图，在和中，，还需添加两个条件才能使，添加的一组条件不正确的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】本题考查三角形全等的判定．理解判定三角形全等的是解答关键． A．根据来判断两个三角形全等；B．两个三角形中，两边对应相等，一边的对应角对应相等，不能判定两个三角形全等；C．根据来判断两个三角形全等；D．根据来判断两个三角形全等． 【详解】解：A．在和中，，添加，利用得到，故此项不符合题意； B．在和中，，添加，，不能得到三角形全等，故此项符合题意； C．在和中，，添加，，利用得到，用得到两个三角形全等，故此项不符合题意； D．在和中，，添加，，得到三角形全等，故此项不符合题意． 故选：B． 2．（24-25八年级上·河南南阳·期中）与的AC边重合，．添加下一个条件后，仍无法判定的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．根据全等三角形的判定方法：、、、、依次对各选项分析即可判断． 【详解】解：A、，符合全等三角形的判定定理，能推出，故本选项不符合题意； B、，符合全等三角形的判定定理，能推出，故本选项不符合题意； C、，符合全等三角形的判定定理，能推出，故本选项不符合题意； D、，不符合全等三角形的判定定理，不能推出，故本选项符合题意； 故选：D． 3．（24-25八年级上·海南海口·期中）如图，平分，，的延长线交于点E，如果，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，角平分线的定义，先由平角的定义得到，再证明得到，则． 【详解】解：∵， ∴， ∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 4．（24-25八年级上·江苏常州·期中）如图，、、、四点在一条直线上，，，再添一个条件能证明的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据三角形全等的判定定理，逐一判断解答即可． 本题考查了三角形全等的判定，熟练掌握判定定理是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴ ∵， 满足的条件是，无此判定定理， 故A错误，不符合题意； ∵， ∴ ∵ ∴， 故B正确，符合题意； ∵， ∴ ∵， 满足的条件是，无此判定定理， 故C错误，不符合题意； ∵，不是对应角， 故D错误，不符合题意； 故选：B． 二、填空题 5．（24-25八年级上·福建莆田·期中）如图，线段与相交于点O，连接，且，要使，应添加一个条件是 （只填一个即可）． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法（即和）是解题的关键． 观察图形可知：有一角一边对应相等．根据三角形全等的判定方法解答． 【详解】解：添加条件， 在和中， ， ， 故答案为：（答案不唯一）． 6．（24-25八年级上·湖南郴州·期中）如图，在和中，已知，，还需添加一个条件才能使，能添加的一组条件是 ． 【答案】或 【分析】本题考查全等三角形的判定，利用等量代换可得，再根据全等三角形的判定求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 当，时，， 当，时，， 故答案为：或． 7．（24-25八年级上·湖南长沙·期中）如图，，且，若点，的坐标分别为，，则点的坐标是 ．    【答案】 【分析】此题重点考查图形与坐标、直角三角形的两个锐角互余、同角的余角相等、全等三角形的判定与性质等知识，证明是解题的关键．由，，可得，，再由，可得，从而得出，可根据全等三角形的判定定理“”证明，则，，，所以，于是得到问题的答案． 【详解】解：，， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ，， ，， ， ， 故答案为：． 三、解答题 8．（24-25八年级上·福建厦门·期中）如图，C是的中点，，，求证：．    【答案】证明见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，平行线的性质与判定，先由线段中点的定义得到，再由平行线的性质得到，据此证明得到，则可证明． 【详解】证明：∵点C为中点， ∴， ∵， ∴， 在与中， , ∴， ∴， ∴． 9．（24-25八年级上·甘肃定西·期中）如图，已知在四边形中，点E在上，，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，利用同角的余角相等得，再根据证明，即可证明结论． 【详解】证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 10．（23-24八年级上·广东东莞·阶段练习）如图，在中，平分，，垂足分别为E、F，且．试说明． 【答案】见解析 【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质． 先证明，得出，再证明，从而得出． 【详解】证明：∵平分，， ∴． ∵， ∴． ∴ ∵， ∴． ∴． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$