4.5.2形形色色的函数模型（2大题型提分练）数学湘教版2019必修第一册

4.5.2形形色色的函数模型 题型一 常见的函数模型——二次函数、分段函数 1．某水果批发商销售每箱进价为40元的苹果，要求每箱售价不得低于50元．市场调查发现，若每箱以50元的价格销售，平均每天销售90箱，价格每提高1元，平均每天少销售3箱．要获得最大利润，每箱苹果的售价应定为（   ） A．55元 B．60元 C．65元 D．70元 2．某灯具商店销售一种节能灯，每件进价8元，每月销售量y（单位：件）与销售价格x（单位：元）之间满足如下关系式：（且），则灯具商店每月的最大利润为（   ） A．2560元 B．3496元 C．3520元 D．3528元 3．某花店销售某品种鲜花，当每束鲜花的售价为50元时，花店每天可以卖出18束鲜花；当每束鲜花的售价每降低1元时，花店当天可以多卖出1束鲜花．要使得该店该品种鲜花的日销售额最大，则每束鲜花的售价应为（    ） A．16元 B．18元 C．32元 D．34元 4．2024年7月15日至18日，党的二十届三中全会在北京隆重举行，全会审议并通过了《中共中央关于进一步全面深化改革、推进中国式现代化的决定》（以下简称《决定》），《决定》中指出要完善基本公共服务制度体系，加强普惠性、基础性、兜底性民生建设，解决好人民最关心最直接最现实的利益问题，不断满足人民对美好生活的向往.居民用水作为民生建设的重要内容，愈发引起社会关注，现已知某城市对居民生活用水实行“阶梯水价”.计费方法如下表： 每户每月用水量 水价 不超过15的部分 2.07元/ 超过15但不超过21.67的部分 4.07元/ 超过21.67的部分 6.07元/ 若某户居民希望本月缴纳的水费不超过元，则此户居民本月用水最多为（    ） A．19 B．20 C．21 D．22 5．某商场经营一批进价为19元/件的商品，在市场试销中发现，此商品的销售单价（单位：元）与日销售量（单位：件）之间有如下表所示的关系. 24 31 39 49 44 30 20 12 根据表中提供的数据，可用函数来近似刻画与之间的变化规律. (1)求与之间的函数解析式； (2)设经营此商品的日销售利润为（单位：元），写出关于的函数解析式，并求销售单价为多少元时，才能获得最大日销售利润？ 6．如图，某小区要在一个直角边长为的等腰直角三角形空地上修建一个矩形花园．记空地为，花园为矩形．根据规划需要，花园的顶点在三角形的斜边上，边在三角形的直角边上，顶点到点的距离是顶点到点的距离的2倍． (1)设花园的面积为（单位：），的长为（单位：），写出关于的函数解析式及定义域； (2)当的长为多少时，花园的面积最大？并求出这个最大面积． 7．为提高人们的身体素质，某工厂更新技术开发研制了一款新型智能按摩椅，通过调研知，往年每年每生产千台智能按摩椅，获利千元，且更新技术后需要另外投入费用千元，且每千台按摩椅比之前多盈利2千元，生产的按摩椅供不应求，均能售完. (1)求更新技术后的利润（千元）关于年产量（千台）的函数解析式； (2)更新技术后，当年产量为多少千台时，工厂所获利润最大？并求出最大利润. 8．某企业生产，两种产品，根据市场调查和预测，产品的利润（万元）与投资额（万元）成正比，其关系如图（1）所示；产品的利润（万元）与投资额（万元）的算术平方根成正比，其关系如图（2）所示，    (1)分别将，两种产品的利润表示为投资额的函数； (2)该企业已筹集到万元资金，并全部投入，两种产品的生产，问：怎样分配这万元投资，才能使企业获得最大利润？其最大利润约为多少万元？ 题型二 常见的函数模型——指、对、幂函数 1．酒驾是严重危害交通安全的违法行为.为了保障交通安全，根据国家有关规定：血液中酒精含量达到的驾驶员即为酒后驾车，及以上认定为醉酒驾车.假设某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了.如果在停止喝酒以后，他血液中酒精含量会以每小时的速度减少，那么他至少经过大约（     ）个小时才能驾驶. A． B． C． D． 2．牛顿冷却定律描述物体在常温环境下的温度变化：如果物体的初始温度为，则经过一定时间分钟后的温度满足，称为半衰期，其中是环境温度．若℃，现有一杯℃的热水降至℃大约用时1分钟，那么水温从℃降至45℃，大约还需要（   ）（参考数据：） A．11分钟 B．10分钟 C．9分钟 D．8分钟 3．某工厂产生的废气经过过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量（单位：）与时间（单位：h）的关系为，其中，，是正的常数.如果在前5h消除了的污染物，那么要消除的污染物，至少需要的时间是（   ）h.（参考数据：） A．45 B．76 C．109 D．118 4．遗忘曲线（又称作“艾宾浩斯记忆曲线”）由德国心理学家艾·宾浩斯（H. Ebbinghaus）研究发现，描述了人类大脑对新事物遗忘的规律．人体大脑对新事物遗忘的循序渐进的直观描述，人们可以从遗忘曲线中掌握遗忘规律并加以利用，从而提升自我记忆能力．该曲线对人类记忆认知研究产生了重大影响．陈同学利用信息技术拟合了“艾宾浩斯遗忘曲线”，得到记忆率与初次记忆经过的时间（小时）的大致关系：，若陈同学需要在明天15时考语文考试时拥有复习背诵记忆的42%，则他复习背诵时间需大约在（    ） （参考数据: ） A．14：30 B．14：00 C．13：30 D．13：00 5．我国火力发电厂大气污染物排放标准规定：排放废气中二氧化硫最高允许浓度为.已知我国某火力发电厂排放废气中二氧化硫的初始浓度为，现通过某种工艺对排放废气进行过滤处理，处理后废气中剩余二氧化硫的浓度（单位：）与处理时间（单位：分钟）满足关系式：，那么从现在起至少经过 分钟才能达到排放标准.（参考数据：，结果取整数） 6．某企业欲实现在今后10年内产值翻两翻的目标，则该企业年产值的年平均增长率为 (结果精确到0.001) 7．“宸宸”“琮琮”“莲莲”是2023年杭州亚运会吉祥物，组合名为“江南忆”，出自唐朝诗人白居易的名句“江南忆，最忆是杭州”，它融合了杭州的历史人文、自然生态和创新基因．某中国企业可以生产杭州亚运会吉祥物“宸宸”“琮踪”“莲莲”，根据市场调查与预测，投资成本（百万元）与利润（百万元）的关系如下表： （百万元） … 2 … 4 … 12 … （百万元） … 0.4 … 0.8 … 12.8 … 当投资成本不高于（百万元）时，利润（百万元）与投资成本（百万元）的关系有两个函数模型与可供选择． (1)当投资成本不高于12（百万元）时，选用表中合适数据求出两种函数模型的解析式，并选出你认为最符合实际的函数模型； (2)当投资成本高于12（百万元）时，利润（百万元）与投资成本（百万元）满足关系，结合第（1）问的结果，要想获得不少于一千万元的利润，投资成本（百万元）应该控制在什么范围．（结果保留到小数点后一位）（参考数据：） 8．金骏眉是红茶代表，产于建宁县，色泽红艳，香气馥郁，口感甜美，营养价值高.在饮用中发现，茶水的口感与水的温度有关.经实验表明，用的水泡制，待茶水温度降至时，饮用口感最佳.某实验小组为探究室温下刚泡好的茶水达到最佳饮用口感的放置时间，每隔测量一次茶水温度，得到茶水温度随时间变化的数据如下表： 时间 0 1 2 3 4 5 水温 100 91 82.9 78.37 72.53 67.27 设茶水温度从经过后温度变为，现给出以下三种函数模型：①；②；③. (1)从上述三种函数模型中选出最符合上述实验的函数模型，并根据前3组数据求出该解析式； (2)根据（1）中所求函数模型，求刚泡好的白茶达到最佳饮用口感的放置时间； (3)考虑到茶水温度降至室温就不能再降的事实，求进行实验时的室温约为多少.（参考数据：） 9．鸡蛋在冰箱冷藏的环境下，可以有效减缓鸡蛋内部的变化速度，延长其保质期．已知新鲜鸡蛋存储温度（单位：摄氏度）与保鲜时间（单位：小时）之间的函数关系式为．新鲜鸡蛋在存储温度为8摄氏度的情况下，其保鲜时间约为432小时；在存储温度为6摄氏度的情况下，其保鲜时间约为576小时． (1)新鲜鸡蛋在存储温度为7摄氏度的情况下，其保鲜时间约为多少小时； (2)已知新鲜鸡蛋在冰箱里冷藏一般能存30天至45天左右，若某超市希望保证新鲜鸡蛋的保鲜时间不少于40天，则超市对新鲜鸡蛋的存储温度设置应该不高于多少摄氏度？（结果保留两位小数） 参考数据： 1．在人与自然的斗争中，病毒是一个可怕的敌人，为了抗击某种“疫情”，某制药厂最近新增了一条生产线，该生产线的年固定成本为250万元，每生产千箱防疫物资需另投入成本万元.当年产量大于或等于80千箱时，（万元）；当年产量不足80千箱时，（万元）.每千箱产品的售价为60万元，该厂生产的产品能全部售完.年产量为 千箱时，该厂当年的利润最大. 2．美国数学家柯布（C．W.Cobb）和经济学家保罗道格拉斯（PaulH.Douglas）通过研究1899年至1922年美国制造业，提出了著名的柯布-道格拉斯生产函数，即，其中代表产出，和分别代表资本投入和劳动投入（均为正数），（可视为正值常数）代表综合技术水平，是资本投入与产出的弹性系数，则以下说法正确的是（    ） A．若各项投入保持不变，则产出是关于的减函数 B．存在，使资本投入不变而劳动投入增至原先的8倍时，产出仅增至原先的2倍 C．存在，使各项投入都增至原先的倍时，产出增至原先的倍数超过 D．将资本投入和劳动投入分别改变成原来的倍与倍，则产出不发生变化 3．酒驾是严重危害交通安全的违法行为.为了保障交通安全，根据国家有关规定：血液中酒精含量达到的驾驶员即为酒后驾车，g及以上认定为醉酒驾车.假设某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了.如果停止喝酒以后，他血液中酒精含量会以每小时的速度减少，那么他大约经过 小时才能驾驶.（结果精确到0.1，参考数据：） 4．为研究一种浮游植物的生长规律，某科研团队在一个面积为8000平方米且保持各项指标均稳定的实验池塘中开展研究，一开始在此池塘投放了一定覆盖面积的该植物，观察实验得到该植物覆盖面积（单位：平方米）与所经过月数的下列数据： 0 2 3 4 4 25 63 156 为了描述该植物覆盖面积（单位：平方米）与经过的月数的关系，现有以下三种函数模型可供选择：①；②；③. (1)试判断以上哪个函数模型更适合植物覆盖面积与经过的月数的关系，并求出该模型的函数解析式： (2)约经过几个月，该植物能覆盖整个池塘？ (3)经过4个月的研究，在掌握该植物生长规律后，科研小组开始改善池塘生态，现有两种方案： 方案一：加入能抑制该植物生长的某种物质，使其覆盖面积与经过的月数的关系变为； 方案二：在4月底集中打捞一次，使其覆盖面积减少到4平方米，植物增长速度不变. 请比较这两种方案的植物覆盖面积增长状况，并说明理由. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 4.5.2形形色色的函数模型 题型一 常见的函数模型——二次函数、分段函数 1．某水果批发商销售每箱进价为40元的苹果，要求每箱售价不得低于50元．市场调查发现，若每箱以50元的价格销售，平均每天销售90箱，价格每提高1元，平均每天少销售3箱．要获得最大利润，每箱苹果的售价应定为（   ） A．55元 B．60元 C．65元 D．70元 【答案】B 【分析】设每箱苹果的售价为，每天获得的利润为，由题意得到与的函数关系，借助二次函数即可求解. 【详解】设每箱苹果的售价为，每天获得的利润为， 由题意，则有， 因为，所以当时，取到最大值为. 故选：B 2．某灯具商店销售一种节能灯，每件进价8元，每月销售量y（单位：件）与销售价格x（单位：元）之间满足如下关系式：（且），则灯具商店每月的最大利润为（   ） A．2560元 B．3496元 C．3520元 D．3528元 【答案】D 【分析】设灯具商店每月的利润为，则，根据二次函数的性质求最大值即可. 【详解】设灯具商店每月的利润为， 则， 故当时，的最大值为3528，所以灯具商店每月的最大利润为3528元. 故选:D. 3．某花店销售某品种鲜花，当每束鲜花的售价为50元时，花店每天可以卖出18束鲜花；当每束鲜花的售价每降低1元时，花店当天可以多卖出1束鲜花．要使得该店该品种鲜花的日销售额最大，则每束鲜花的售价应为（    ） A．16元 B．18元 C．32元 D．34元 【答案】D 【分析】设每束鲜花的售价降低元，由日销售额，利用二次函数的性质求解. 【详解】解：设每束鲜花的售价降低元，则花店该品种鲜花的日销售额: ，， 故当，即每束鲜花的售价为34元时，花店该品种鲜花的日销售额最大． 故选：D 4．2024年7月15日至18日，党的二十届三中全会在北京隆重举行，全会审议并通过了《中共中央关于进一步全面深化改革、推进中国式现代化的决定》（以下简称《决定》），《决定》中指出要完善基本公共服务制度体系，加强普惠性、基础性、兜底性民生建设，解决好人民最关心最直接最现实的利益问题，不断满足人民对美好生活的向往.居民用水作为民生建设的重要内容，愈发引起社会关注，现已知某城市对居民生活用水实行“阶梯水价”.计费方法如下表： 每户每月用水量 水价 不超过15的部分 2.07元/ 超过15但不超过21.67的部分 4.07元/ 超过21.67的部分 6.07元/ 若某户居民希望本月缴纳的水费不超过元，则此户居民本月用水最多为（    ） A．19 B．20 C．21 D．22 【答案】B 【分析】设用户的用水量为，缴纳的水费为元，分段求出关于的函数解析式，再令，解出的值，从而得解. 【详解】依题意，设用户的用水量为，缴纳的水费为元， 当时，， 当时，， 当时，， 综上，令，解得，则此户居民本月用水量为. 故选：B. 5．某商场经营一批进价为19元/件的商品，在市场试销中发现，此商品的销售单价（单位：元）与日销售量（单位：件）之间有如下表所示的关系. 24 31 39 49 44 30 20 12 根据表中提供的数据，可用函数来近似刻画与之间的变化规律. (1)求与之间的函数解析式； (2)设经营此商品的日销售利润为（单位：元），写出关于的函数解析式，并求销售单价为多少元时，才能获得最大日销售利润？ 【答案】(1)，；(2)，，销售单价39元. 【分析】（1）取数据对代入求出即可求出解析式. （2）求出日销售利润函数，再利用基本不等式求解. 【详解】（1）取数据对，则，解得， 由实际意义知，，解得，所以与之间的函数解析式，. （2）由（1）得，日销售利润，， ，当且仅当，即时取等号， 所以当销售单价为39元时，获得最大日销售利润400元. 6．如图，某小区要在一个直角边长为的等腰直角三角形空地上修建一个矩形花园．记空地为，花园为矩形．根据规划需要，花园的顶点在三角形的斜边上，边在三角形的直角边上，顶点到点的距离是顶点到点的距离的2倍． (1)设花园的面积为（单位：），的长为（单位：），写出关于的函数解析式及定义域； (2)当的长为多少时，花园的面积最大？并求出这个最大面积． 【答案】(1) (2)当的长为5m时，花园的面积最大，最大面积为150. 【分析】（1）根据矩形面积即可求解，（2）根据基本不等式即可求解. 【详解】（1）则，， 所以 （2）， 当且仅当，即时等号成立， 故当的长为5m时，花园的面积最大，最大面积为150. 7．为提高人们的身体素质，某工厂更新技术开发研制了一款新型智能按摩椅，通过调研知，往年每年每生产千台智能按摩椅，获利千元，且更新技术后需要另外投入费用千元，且每千台按摩椅比之前多盈利2千元，生产的按摩椅供不应求，均能售完. (1)求更新技术后的利润（千元）关于年产量（千台）的函数解析式； (2)更新技术后，当年产量为多少千台时，工厂所获利润最大？并求出最大利润. 【答案】(1) (2)产量为3千台时，该工厂利润最大，最大利润是390千元. 【分析】（1）根据题意，由条件可得，即可得到函数关系式； （2）分别求得与的利润最大值，结合基本不等式代入计算，即可得到结果. 【详解】（1）由已知，， 又 所以； （2）当时，， 则当时，； 当时，， 当且仅当，即时，. 因为，所以的最大值为390， 故当产量为3千台时，该工厂利润最大，最大利润是390千元. 8．某企业生产，两种产品，根据市场调查和预测，产品的利润（万元）与投资额（万元）成正比，其关系如图（1）所示；产品的利润（万元）与投资额（万元）的算术平方根成正比，其关系如图（2）所示，    (1)分别将，两种产品的利润表示为投资额的函数； (2)该企业已筹集到万元资金，并全部投入，两种产品的生产，问：怎样分配这万元投资，才能使企业获得最大利润？其最大利润约为多少万元？ 【答案】(1)；； (2)投入产品万元，投入产品万元，使得企业获利最大，最大利润为万元. 【分析】（1）设投资为，分别用和表示产品的利润，由函数图像设出解析式，然后代入图中的点坐标，求得解析式； （2）设产品投资为万元以及企业的利润为万元，列出函数的解析式，用换元法，配方法得到最大值点和最大值. 【详解】（1）设投资为万元，产品利润为万元，产品利润为万元， 由题意设，， 由图可知，所以，即； ，所以，即； （2）设产品投资为万元，则产品投入万元，企业的利润为万元， 则，， 令，， 则， 当即时，， 此时投入产品万元，投入产品万元，使得企业获利最大， 最大利润为万元. 题型二 常见的函数模型——指、对、幂函数 1．酒驾是严重危害交通安全的违法行为.为了保障交通安全，根据国家有关规定：血液中酒精含量达到的驾驶员即为酒后驾车，及以上认定为醉酒驾车.假设某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了.如果在停止喝酒以后，他血液中酒精含量会以每小时的速度减少，那么他至少经过大约（     ）个小时才能驾驶. A． B． C． D． 【答案】C 【分析】依题意饮酒后的初始含量为，根据酒精递减速度列出不等式计算可得结论. 【详解】根据题意可知，相当于饮酒后的初始含量为血液中酒精含量达到； 依题意可知，小时后血液中酒精含量为，若能正常驾驶需满足， 即，经代入选项验证可得即可满足条件，即至少经过大约5个小时才能驾驶. 故选：C 2．牛顿冷却定律描述物体在常温环境下的温度变化：如果物体的初始温度为，则经过一定时间分钟后的温度满足，称为半衰期，其中是环境温度．若℃，现有一杯℃的热水降至℃大约用时1分钟，那么水温从℃降至45℃，大约还需要（   ）（参考数据：） A．11分钟 B．10分钟 C．9分钟 D．8分钟 【答案】B 【分析】根据已知条件可得，再设水温从℃降至45℃，需要的时间为分钟，可得关于的方程，利用对数的运算性质及换底公式，即可求解. 【详解】有题意知℃，因为一杯℃的热水降至℃大约用时1分钟， 所以，即； 设水温从℃降至45℃，需要的时间为分钟，所以，即， 所以，所以， 所以水温从℃降至45℃，大约还需要10分钟. 故选：B. 3．某工厂产生的废气经过过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量（单位：）与时间（单位：h）的关系为，其中，，是正的常数.如果在前5h消除了的污染物，那么要消除的污染物，至少需要的时间是（   ）h.（参考数据：） A．45 B．76 C．109 D．118 【答案】C 【分析】代入数据，根据指对互化，即可求解. 【详解】设要消除的污染物，至少需要的时间小时， 由题意得，， 故选：C. 4．遗忘曲线（又称作“艾宾浩斯记忆曲线”）由德国心理学家艾·宾浩斯（H. Ebbinghaus）研究发现，描述了人类大脑对新事物遗忘的规律．人体大脑对新事物遗忘的循序渐进的直观描述，人们可以从遗忘曲线中掌握遗忘规律并加以利用，从而提升自我记忆能力．该曲线对人类记忆认知研究产生了重大影响．陈同学利用信息技术拟合了“艾宾浩斯遗忘曲线”，得到记忆率与初次记忆经过的时间（小时）的大致关系：，若陈同学需要在明天15时考语文考试时拥有复习背诵记忆的42%，则他复习背诵时间需大约在（    ） （参考数据: ） A．14：30 B．14：00 C．13：30 D．13：00 【答案】A 【分析】利用函数模型求出需要记忆的时间，即可推断出考前复习背诵的时间在几点开始. 【详解】令，， ∵， ∴x的估计值可取0.5，即他复习背诵时间需大约在14：30. 故选：A. 5．我国火力发电厂大气污染物排放标准规定：排放废气中二氧化硫最高允许浓度为.已知我国某火力发电厂排放废气中二氧化硫的初始浓度为，现通过某种工艺对排放废气进行过滤处理，处理后废气中剩余二氧化硫的浓度（单位：）与处理时间（单位：分钟）满足关系式：，那么从现在起至少经过 分钟才能达到排放标准.（参考数据：，结果取整数） 【答案】16 【分析】由题意得到不等式，两边取对数，得到，代入，求出答案. 【详解】由题意得，即， 故，因为，所以， 故，所以从现在起至少经过16分钟，才能达到排放标准. 故答案为：16 6．某企业欲实现在今后10年内产值翻两翻的目标，则该企业年产值的年平均增长率为 (结果精确到0.001) 【答案】/ 【分析】翻两翻就是变成原来的4倍，再利用增长率公式即可得到方程，然后借助指数、对数运算及利用计算器辅助求解. 【详解】设该企业的年平均增长率为，则依题意得：， 则，即， 所以，即， 故答案为：. 7．“宸宸”“琮琮”“莲莲”是2023年杭州亚运会吉祥物，组合名为“江南忆”，出自唐朝诗人白居易的名句“江南忆，最忆是杭州”，它融合了杭州的历史人文、自然生态和创新基因．某中国企业可以生产杭州亚运会吉祥物“宸宸”“琮踪”“莲莲”，根据市场调查与预测，投资成本（百万元）与利润（百万元）的关系如下表： （百万元） … 2 … 4 … 12 … （百万元） … 0.4 … 0.8 … 12.8 … 当投资成本不高于（百万元）时，利润（百万元）与投资成本（百万元）的关系有两个函数模型与可供选择． (1)当投资成本不高于12（百万元）时，选用表中合适数据求出两种函数模型的解析式，并选出你认为最符合实际的函数模型； (2)当投资成本高于12（百万元）时，利润（百万元）与投资成本（百万元）满足关系，结合第（1）问的结果，要想获得不少于一千万元的利润，投资成本（百万元）应该控制在什么范围．（结果保留到小数点后一位）（参考数据：） 【答案】(1)，，最符合实际的函数模型为；(2) 【分析】（1）分别将代入两个函数模型，由此可求函数解析式中的参数，则解析式可知，再根据时的数据判断最符合实际的模型； （2）分别考虑和时的解集，由此可求投资成本的范围. 【详解】（1）若选函数， 将点，代入可得，解得，，所以， 当时，可得，与实际数据差别较大；若选函数， 将点，代入可得，解得，，所以， 当时，可得，符合题意，因此，最符合实际的函数模型为． （2）①当时，即， 可得，解得，所以； ②当时，即，即， 因为，所以； 综上可得，， 所以要获得不少于一千万的利润，投资成本（百万）的范围是． 8．金骏眉是红茶代表，产于建宁县，色泽红艳，香气馥郁，口感甜美，营养价值高.在饮用中发现，茶水的口感与水的温度有关.经实验表明，用的水泡制，待茶水温度降至时，饮用口感最佳.某实验小组为探究室温下刚泡好的茶水达到最佳饮用口感的放置时间，每隔测量一次茶水温度，得到茶水温度随时间变化的数据如下表： 时间 0 1 2 3 4 5 水温 100 91 82.9 78.37 72.53 67.27 设茶水温度从经过后温度变为，现给出以下三种函数模型：①；②；③. (1)从上述三种函数模型中选出最符合上述实验的函数模型，并根据前3组数据求出该解析式； (2)根据（1）中所求函数模型，求刚泡好的白茶达到最佳饮用口感的放置时间； (3)考虑到茶水温度降至室温就不能再降的事实，求进行实验时的室温约为多少.（参考数据：） 【答案】(1)选模型②，且；(2)6.5min；(3). 【分析】（1）通过表格数据，发现水温随着时间变化逐渐降低，且降低的速度逐渐变慢，所以是第②个函数模型，只需将具体数值代入，即可求得解析式； （2）最佳饮用口感温度为，代入解析式，利用对数式求得； （3）求出的最小值，即为答案. 【详解】（1）由表格数据知：函数单调递减且递减速度逐渐变慢， 故模型①③不符合，选模型②，则，即，可得， 所以且. （2）令，则. 所以泡好的白茶达到最佳饮用口感的放置时间为6.5min. （3）由，即，所以进行实验时的室温约为. 9．鸡蛋在冰箱冷藏的环境下，可以有效减缓鸡蛋内部的变化速度，延长其保质期．已知新鲜鸡蛋存储温度（单位：摄氏度）与保鲜时间（单位：小时）之间的函数关系式为．新鲜鸡蛋在存储温度为8摄氏度的情况下，其保鲜时间约为432小时；在存储温度为6摄氏度的情况下，其保鲜时间约为576小时． (1)新鲜鸡蛋在存储温度为7摄氏度的情况下，其保鲜时间约为多少小时； (2)已知新鲜鸡蛋在冰箱里冷藏一般能存30天至45天左右，若某超市希望保证新鲜鸡蛋的保鲜时间不少于40天，则超市对新鲜鸡蛋的存储温度设置应该不高于多少摄氏度？（结果保留两位小数） 参考数据： 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）由题意有，则，代入，计算即可得； （2）令，结合指数函数的性质计算即可得. 【详解】（1）依题意得，则，当时，， 即该超市的新鲜鸡蛋在存储温度为7摄氏度的情况下，其保鲜时间约为小时； （2）由题意令，得，即，则， 则，即 解得： 故超市对新鲜鸡蛋的存储温度设置应该不高于摄氏度. 1．在人与自然的斗争中，病毒是一个可怕的敌人，为了抗击某种“疫情”，某制药厂最近新增了一条生产线，该生产线的年固定成本为250万元，每生产千箱防疫物资需另投入成本万元.当年产量大于或等于80千箱时，（万元）；当年产量不足80千箱时，（万元）.每千箱产品的售价为60万元，该厂生产的产品能全部售完.年产量为 千箱时，该厂当年的利润最大. 【答案】100 【分析】根据题意写出利润y与年产量x的函数关系式，再根据函数计算当y取最大值时x的取值是多少. 【详解】设年产量为千箱，当年的利润为万元， 由于利润等于收入减去成本，即， 又因为， 则由已知有，即， 当时，， 由二次函数的性质可知当时取最大值950， 当时，， 当且仅当即时，取得最大值1000， 又，所以当年产量为100千箱时，该厂当年的利润取得最大值1000万元. 故答案为：100 2．美国数学家柯布（C．W.Cobb）和经济学家保罗道格拉斯（PaulH.Douglas）通过研究1899年至1922年美国制造业，提出了著名的柯布-道格拉斯生产函数，即，其中代表产出，和分别代表资本投入和劳动投入（均为正数），（可视为正值常数）代表综合技术水平，是资本投入与产出的弹性系数，则以下说法正确的是（    ） A．若各项投入保持不变，则产出是关于的减函数 B．存在，使资本投入不变而劳动投入增至原先的8倍时，产出仅增至原先的2倍 C．存在，使各项投入都增至原先的倍时，产出增至原先的倍数超过 D．将资本投入和劳动投入分别改变成原来的倍与倍，则产出不发生变化 【答案】B 【分析】根据给定的信息，按各选项的条件，结合函数计算判断得解. 【详解】记产出､资本投入､劳动投入未改变前分别为，改变后的产出为. 对于A，，其单调性取决于与1的大小关系，而这个大小关系并不确定，A错误； 对于B，令，解得，B正确； 对于C，，不成立，C错误； 对于D，令，解得， 即仅当时，产出不变，当时，产出发生改变，D错误. 故选：B 3．酒驾是严重危害交通安全的违法行为.为了保障交通安全，根据国家有关规定：血液中酒精含量达到的驾驶员即为酒后驾车，g及以上认定为醉酒驾车.假设某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了.如果停止喝酒以后，他血液中酒精含量会以每小时的速度减少，那么他大约经过 小时才能驾驶.（结果精确到0.1，参考数据：） 【答案】 【分析】以时间为自变量，建立指数型函数，解即可. 【详解】解：设小时后此驾驶员的血液中酒精含量为，则，即. 依题意当，即时才能驾驶，解，得， 因为，所以大约经过小时才能驾驶. 故答案为： 4．为研究一种浮游植物的生长规律，某科研团队在一个面积为8000平方米且保持各项指标均稳定的实验池塘中开展研究，一开始在此池塘投放了一定覆盖面积的该植物，观察实验得到该植物覆盖面积（单位：平方米）与所经过月数的下列数据： 0 2 3 4 4 25 63 156 为了描述该植物覆盖面积（单位：平方米）与经过的月数的关系，现有以下三种函数模型可供选择：①；②；③. (1)试判断以上哪个函数模型更适合植物覆盖面积与经过的月数的关系，并求出该模型的函数解析式： (2)约经过几个月，该植物能覆盖整个池塘？ (3)经过4个月的研究，在掌握该植物生长规律后，科研小组开始改善池塘生态，现有两种方案： 方案一：加入能抑制该植物生长的某种物质，使其覆盖面积与经过的月数的关系变为； 方案二：在4月底集中打捞一次，使其覆盖面积减少到4平方米，植物增长速度不变. 请比较这两种方案的植物覆盖面积增长状况，并说明理由. 【答案】(1)答案见解析，，；(2)9个月；(3)答案见解析. 【分析】（1）根据图表可知随x增长函数值也增长，可确定函数模型，再根据给定数据计算结合误差大小判断选择函数模型. （2）由（1）中选择的函数模型，列式根据指数与对数的运算法则计算即得. （3）求出方案二在的函数模型，计算分析即可得解. 【详解】（1）根据图表可知随x增长函数值增长越来越快， 而函数刻画的是增长速度越来越快的变化规律， 函数刻画的是增长速度越来越慢的变化规律，不符合题意； 若选择函数模型，则有，解得，即，， 当时，，当时，，所给数据均比较接近满足函数； 若选择函数模型，显然， 且，解得，即， 而当时，，与给定的数据相差太大，不符合题意， 所以函数模型更适合； （2）由（1）知，，， 设约经过个月，此生物能覆盖整个池塘， 则，解得 . 所以约经过9个月此生物能覆盖整个池塘； （3）依题意，方案二的函数模型为，当时， 方案二的函数模型对应的值依次为， 方案一的函数模型对应的值依次为， 方案一的增长速度比方案二的小，方案二在第5到9月生物量较方案一小，10月开始方案一生物量较小， 方案二再经过13个月此生物能覆盖整个池塘， 由，解得，方案一再经过15个月此生物能覆盖整个池塘. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$