第01讲 圆的确定 （3个知识点+5种题型+分层练习） -2024-2025学年九年级下学期数学核心知识点与常见题型通关讲解练（沪教版）

第01讲 圆的确定 （3个知识点+5种题型+分层练习） 知识导图 知识清单 知识点1．圆的认识 （1）圆的定义 定义①：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆．固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径．以O点为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”． 定义②：圆可以看做是所有到定点O的距离等于定长r的点的集合． （2）与圆有关的概念 弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等． 连接圆上任意两点的线段叫弦，经过圆心的弦叫直径，圆上任意两点间的部分叫圆弧，简称弧，圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每条弧都叫做半圆，大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧． （3）圆的基本性质：①轴对称性．②中心对称性． 知识点2．点与圆的位置关系 （1）点与圆的位置关系有3种．设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，则有： ①点P在圆外⇔d＞r ②点P在圆上⇔d＝r ①点P在圆内⇔d＜r （2）点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系． （3）符号“⇔”读作“等价于”，它表示从符号“⇔”的左端可以得到右端，从右端也可以得到左端． 知识点3．确定圆的条件 不在同一直线上的三点确定一个圆． 注意：这里的“三个点”不是任意的三点，而是不在同一条直线上的三个点，而在同一直线上的三个点不能画一个圆．“确定”一词应理解为“有且只有”，即过不在同一条直线上的三个点有且只有一个圆，过一点可画无数个圆，过两点也能画无数个圆，过不在同一条直线上的三点能画且只能画一个圆． 题型强化 题型一．圆的认识 1．（2024秋•宝山区校级月考）同一圆中，半圆的直径　　整圆的直径． A．大于 B．小于 C．等于 D．不确定 【分析】根据同一个圆中，半圆与整圆直径相同即可解答． 【解答】解：半径决定圆的大小，同一圆中，半圆、扇形和整圆对应的半径都相等，则直径也相等． 故选：． 【点评】本题考查了圆的基本概念，连接圆上任意两点的线段叫弦，经过圆心的弦叫直径，圆上任意两点间的部分叫圆弧，简称弧，圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每条弧都叫做半圆，大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧． 2．（奉贤区期末）如图，是的直径，点、在上，，，则　　． 【分析】根据三角形内角和定理可求得的度数，再根据平行线的性质及三角形内角和定理即可求得的度数． 【解答】解：，， ， ，， ， ． 故答案为：40． 【点评】本题考查平行线性质、圆的认识及三角形内角和定理的运用． 3．（2024•即墨区校级一模）如图，是的直径，把分成几条相等的线段，以每条线段为直径分别画小圆，设，那么的周长． （1）计算：①把分成两条相等的线段，每个小圆的周长　　； ②把分成三条相等的线段，每个小圆的周长　　； ③把分成四条相等的线段，每个小圆的周长　　； ④把分成条相等的线段，每个小圆的周长　　； （2）请仿照上面的探索方法和步骤，计算并导出：当把大圆直径平均分成等分时，以每条线段为直径画小圆，那么每个小圆的面积与大圆的面积的关系是：　　． 【分析】根据圆的面积公式，将每个圆的面积计算出来，找到和周长的关系即可． 【解答】解：（1）根据， ①把分成两条相等的线段，每个小圆的周长； ②把分成三条相等的线段，每个小圆的周长， ③把分成四条相等的线段，每个小圆的周长； ④把分成条相等的线段，每个小圆的周长． （2）以为直径的圆的面积为． 把分成两条相等的线段，每个小圆的面积； 把分成三条相等的线段，每个小圆的面积； 把分成四条相等的线段，每个小圆的面积； 把分成条相等的线段，每个小圆的面积． 【点评】此题是一道规律探索题，需要先进行计算，将每个特殊的圆的面积计算出来，通过总结规律得出一般公式． 题型二．点与圆的位置关系 4．（2024•嘉定区二模）在中，，，以点为圆心，半径为6的圆记作圆，那么下列说法正确的是　　 A．点在圆外，点在圆上 B．点在圆上，点在圆内 C．点在圆外，点在圆内 D．点、都在圆外 【分析】先根据余弦求出的长，根据点与圆的位置关系即可得出结论． 【解答】解：如图，过点作于点， ，， ， ， ，， ， ， ， 以点为圆心，半径为6的圆记作圆时，点在圆外，点在圆内， 故选：． 【点评】本题考查的是点与圆的位置关系，根据余弦求出的长是解答此题的关键． 5．（2024•闵行区三模）若点到上的所有点的距离中，最大距离为8，最小距离为2，那么的半径为 　　． 【分析】点应分为位于圆的内部位于外部两种情况讨论．当点在圆内时，点到圆的最大距离与最小距离的和是直径；当点在圆外时，点到圆的最大距离与最小距离的差是直径，由此得出答案． 【解答】解：当点在圆内时，最大距离为8，最小距离为2，因而半径是5； 当点在圆外时，最大距离为8，最小距离为2，则直径是6，因而半径是3． 故答案为：5或3． 【点评】本题考查了点与圆的位置关系，注意分两种情况进行讨论是解决本题的关键． 6．（2023•嘉定区二模）如图，在中，，，圆经过、两点，圆心在线段上，点在圆内，且． （1）求圆的半径长； （2）求的长． 【分析】（1）作于点，根据垂径定理得，由，得，则，而，则，所以，则的半径长为5； （2）作于点，由，，得，所以，则，，即可根据勾股定理求得． 【解答】解：（1）作于点，则，， ， ， ， ，， ， ， 解得， 的半径长为5． （2）作于点，则， ，， ， ， ， ， ， 的长是． 【点评】此题重点考查等腰三角形的性质、垂径定理、勾股定理、锐角三角函数与解直角三角形等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键． 题型三．确定圆的条件 7．下列条件中不能确定一个圆的是　　 A．圆心与半径 B．直径 C．三角形的三个顶点 D．平面上的三个已知点 【分析】根据不在同一条直线上的三个点确定一个圆，直接进行判断即可． 【解答】解：、已知圆心和半径能确定一个圆； 、已知直径能确定一个圆； 、已知三角形的三个顶点，可以确定一个圆； 、平面上的三个已知点不能确定一个圆． 故选：． 【点评】本题主要考查了确定圆的条件，属于基础题型．注意分类讨论的思想的运用． 8．平面直角坐标系内的三个点、、，　　确定一个圆，（填“能”或“不能” ． 【分析】根据三个点的坐标特征得到它们共线，于是根据确定圆的条件可判断它们不能确定一个圆． 【解答】解：、，， 点、、共线， 三个点、、不能确定一个圆． 故答案为：不能． 【点评】本题考查了确定圆的条件：不在同一直线上的三点确定一个圆． 9．已知直线和直线外的两点、，经过、作一圆，使它的圆心在直线上． 【分析】连接，作出的垂直平分线交直线于点，以为圆心，为半径作圆． 【解答】解：作图如右： 【点评】本题主要考查确定圆的条件的知识点，本题要求有较强的作图能力，对同学来说需要熟练掌握． 题型四、圆的基本概念辨析 10．（20-21九年级·上海浦东新·阶段练习）下列说法正确的是（    ） A．半圆是弧 B．过圆心的线段是直径 C．弦是直径 D．长度相等的两条弧是等弧 【答案】A 【知识点】圆的基本概念辨析 【分析】利用圆的有关定义分别判断即可． 【详解】解：A、半圆是弧，正确，符合题意； B、过圆心的弦是直径，故原命题错误，不符合题意； C、直径是弦，但弦不一定是直径，故原命题错误，不符合题意； D、在同圆或等圆中，长度相等的两条弧是等弧，故原命题错误，不符合题意． 故选：A． 【点睛】本题考查了圆的认识，解题的关键是了解圆的有关定义及性质． 11．（2020·上海徐汇·二模）如图，的弦AB和直径CD交于点E，且CD平分AB，已知AB=8，CE=2，那么的半径长是 ．    【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形、圆的基本概念辨析 【分析】连接，设半径为，根据勾股定理进行计算即可． 【详解】   如图：连接 ∵平分， ∴ 设半径为 ∵ ∴ 在中： 解得： 故答案为：5 【点睛】本题考查了勾股定理，转化相关线段之间的关系是解题关键． 12．（2024·上海松江·二模）如图，已知中，．点O在边上，以O为圆心，为半径的弧经过点A．    (1)求的半径长； (2)P是上一点，，交于点D，连接．求的正切值． 【答案】(1)5 (2) 【知识点】用勾股定理解三角形、圆的基本概念辨析、解直角三角形的相关计算 【分析】本题主要考查了解直角三角形，圆的基本性质，勾股定理： （1）联结，设，在中，根据勾股定理，求出x的值，即可； （2）过点P作，垂足为H． 根据锐角三角函数可得，，再由，可得，即可求解． 【详解】（1）解：联结，设，    ∵， ∴，        ∵， ∴ 解得：，          ∴的半径长是5． （2）解：过点P作，垂足为H．    ∵， ∴， ∴， 又∵，， ∴，    ∴，                ∴，                   ∴ ． 题型五、判断点与圆的位置关系 13．（2024九年级下·上海·专题练习）在中，，，，以点为圆心，半径为8的圆记作圆，那么下列说法正确的是（　　） A．点在圆内，点在圆外 B．点在圆上，点在圆外 C．点、都在圆内 D．点、都在圆外 【答案】A 【知识点】判断点与圆的位置关系、已知正切值求边长 【分析】本题考查了解直角三角形，点与圆的位置关系，掌握解直角三角形和会判断点与圆的位置关系是解决问题的关键．由解直角三角形求出，由和与圆的半径的大小关系，即可判断出点和点与的位置关系，即可得出答案． 【详解】解：在中，，，， ，即， ， ， 点在的内部， ， ， 点在的外部， 故选：A． 14．（2023·上海普陀·二模）已知矩形，，，以点为圆心，为半径画圆，那么点的位置是在 ． 【答案】外 【知识点】用勾股定理解三角形、根据矩形的性质求线段长、判断点与圆的位置关系 【分析】由矩形的性质得，根据勾股定理得，可知点到圆心的距离大于的半径，则点在外，于是得到问题的答案． 【详解】解：四边形是矩形， ， ，， ， 的半径为，且， 点到圆心的距离大于的半径， 点在外， 故答案为：外． 【点睛】此题重点考查矩形的性质、勾股定理、点与圆的位置关系等知识，根据勾股定理求出的长是解题的关键． 15．（2024·上海·三模）在△ABC中，，，正方形的边在上，顶点，分别在，上． (1)如图，过点作于点，交于点，求：正方形的边长； (2)如图，在上取点，作于点，交于点，于点，求证：四边形是正方形； (3)如图，在上取点，使，连接，，若试判断点R与以为直径的圆的位置关系并说明理由 【答案】(1)3 (2)见解析 (3)点在圆上，理由见解析 【知识点】证明四边形是正方形、判断点与圆的位置关系、相似三角形的判定与性质综合、解直角三角形的相关计算 【分析】（1）如图1中，设正方形的边长为x，利用相似三角形的对应高的比等于相似比构建方程即可解决问题； （2）利用平行线分线段成比例定理证明，再证明四边形是平行四边形即可解决问题； （3）设，，则，，可得，推出，推出，推出，再证明可得结论． 【详解】（1）解：如图1中，设正方形的边长为x． ∵， ∴，     ∴ ， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴正方形的边长为3． （2）证明：如图2中， ∵，四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形． （3）证明：如图3中， 在中， ∵， ∴设，，则，， ∵， ∴ ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 取的中点，连接，则：， ∴点R在以为直径的圆上． 【点睛】本题属于四边形综合题，考查了正方形的判定和性质，正切，平行线分线段成比例定理，相似三角形的判定和性质，圆周角定理等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于压轴题． 分层练习 一、单选题 1．下列叙述中不正确的是（　　） A．圆是中心对称图形，圆心是它的对称中心 B．圆是轴对称图形，直径是它的对称轴 C．连接圆上两点的线段叫弦 D．圆上两点间的部分叫弧 【答案】B 【知识点】圆的基本概念辨析 【分析】利用轴对称的性质、中心对称图形、以及弦、弧的概念进行判断后即可得到答案． 【详解】解：A.圆是中心对称图形，圆心是它的对称中心，正确； B.圆是轴对称图形，直径所在的直线为圆的对称轴，错误； C.连接圆上两点的线段叫弦，正确； D.圆上两点间的部分叫弧，正确； 故选B． 【点睛】本题考查了圆的对称性，圆是轴对称图形，也是中心对称图形． 2．在⊿ABC中，∠C=90°，AB＝3cm，BC＝2cm,以点A为圆心，以2.5cm为半径作圆，则点C和⊙A的位置关系是(   ) A．C在⊙A上 B．C在⊙A外 C．C在⊙A内 D．C在⊙A位置不能确定 【答案】C 【知识点】判断点与圆的位置关系 【分析】先根据勾股定理计算出AC的长，再比较AC与2.5的大小，然后根据点与圆的位置关系进行判断． 【详解】解：∵∠C=90°，AB=3cm，BC=2cm， ∴AC==， ∵r=2.5＞， ∴点C在⊙A内． 故选C． 【点睛】本题考查点与圆的位置关系：设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP=d，则有：点P在圆外⇔d＞r；点P在圆上⇔d=r；点P在圆内⇔d＜r．也考查了勾股定理． 3．已知是半径为5的圆的一条弦，则的长不可能是（   ） A．4 B．8 C．10 D．12 【答案】D 【知识点】圆的基本概念辨析 【分析】根据圆中最长的弦为直径求解． 【详解】因为圆中最长的弦为直径，所以弦长L≤10． 故选:D． 【点睛】考查圆的性质，掌握直径是圆中最长的弦是解题的关键. 4．在矩形中，，以点A为圆心，4为半径作，点C与的位置关系是（　　） A．点C在内 B．点C在上 C．点C在外 D．无法确定 【答案】C 【知识点】用勾股定理解三角形、根据矩形的性质求线段长、判断点与圆的位置关系 【分析】本题主要考查了点与圆的位置关系，矩形的性质，勾股定理．根据矩形的性质和勾股定理求出的长，再根据点与圆的位置关系，即可求解． 【详解】解：在矩形中，， ∴， ∴， ∵的半径为4， ∴， ∴点C与外边， 故选：C． 5．⊙O的半径为5cm，A是线段OP的中点，当OP=7cm时，点A与⊙O的位置关系是（     ） A．点A在⊙O内 B．点A在⊙O上 C．点A在⊙O外 D．不能确定 【答案】A 【知识点】判断点与圆的位置关系 【分析】知道OP的长，点A是OP的中点，得到OA的长与半径的关系，求出点A与圆的位置关系． 【详解】∵OP=7cm，A是线段OP的中点， ∴OA=3.5cm，小于圆的半径5cm， ∴点A在圆内． 故选A． 【点睛】本题考查的是点与圆的位置关系，根据OP的长和点A是OP的中点，得到OA=3.5cm，小于圆的半径相等，可以确定点A的位置． 6．如图，在平面直角坐标系中，点为，点为，点为．则的外心坐标应是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】求三角形外心坐标、已知两点坐标求两点距离、坐标与图形 【分析】由BC两点的坐标可以得到直线BC∥x轴，则直线BC的垂直平分线为直线y=-1，再由外心的定义可知△ABC外心的纵坐标为-1，则设△ABC的外心为P（a，-1），利用两点距离公式和外心的性质得到，由此求解即可． 【详解】解：∵B点坐标为（2，1），C点坐标为（2，-3）， ∴直线BC∥x轴， ∴直线BC的垂直平分线为直线y=-1， ∵外心是三角形三条边的垂直平分线的交点， ∴△ABC外心的纵坐标为-1， 设△ABC的外心为P（a，-1）， ∴， ∴， 解得， ∴△ABC外心的坐标为（-2，-1）， 故选D． 【点睛】本题主要考查了坐标与图形，外心的性质与定义，两点距离公式，解题的关键在于能够熟知外心是三角形三边垂直平分线的交点 二、填空题 7．已知最长的弦是，则直径是 ． 【答案】10 【知识点】圆的基本概念辨析 【分析】本题主要考查圆的有关概念．根据圆的最长弦就是直径，据此即可求解． 【详解】解：中最长的弦为， 的直径为， 故答案为：10． 8．在平面直角坐标系中，的半径为5，则点在 ．(填“内”、“上”或“外”) 【答案】上 【知识点】判断点与圆的位置关系 【分析】根据勾股定理求出OP的长，再与的半径相比即可解答. 【详解】解：∵OP=和的半径相等，故点P在圆上. 【点睛】本题考查了点与圆的位置关系，即点到圆心距离小于半径在圆内、等于半径在圆上、大于半径在圆外. 9．圆的半径是2厘米，则这个圆的周长是 厘米，这个圆的面积是 平方厘米． 【答案】 【知识点】圆的周长和面积问题 【分析】根据圆的周长和面积公式求解即可． 【详解】解：∵圆的半径是2厘米， ∴圆的周长是厘米，圆的面积为平方厘米， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了求圆的周长和面积，熟知圆周长公式和圆面积公式是解题的关键． 10．圆外一点到圆的最大距离为9cm，最小距离为4cm，则圆的半径是 cm． 【答案】2.5 【分析】根据圆外一点到圆的最大距离与最小距离之差为直径即可得出答案. 【详解】解：∵圆外一点到圆的最大距离是9cm，到圆的最小距离是4cm，则圆的直径是9﹣4＝5（cm）， ∴圆的半径是2.5cm． 故答案为：2.5． 【点睛】本题主要考查圆外一点到圆的距离问题，掌握圆外一点到圆的最大距离与最小距离之差为直径为解题的关键. 11．交通工具上的轮子都是做圆的，这是运用了圆的性质中的 ． 【答案】圆的旋转不变形 【知识点】圆的基本概念辨析 【分析】根据圆具有旋转不变性即可解答． 【详解】解：因为圆旋转任意角度都能与自身重合，因此圆具有旋转不变性，根据圆的旋转不变性制作车轮，在转动过程中车子比较平稳， 故答案为：圆的旋转不变性． 【点睛】本题考查了圆的旋转不变性，解题的关键是掌握圆旋转任意角度都能与自身重合． 12．已知的半径为，若，则点与的位置关系是 ． 【答案】点P在内． 【知识点】判断点与圆的位置关系 【分析】本题考查了对点与圆的位置关系的判断．关键要记住若半径为r，点到圆心的距离为d，则有：当时，点在圆外；当时，点在圆上，当时，点在圆内．据此解答即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴点P在内． 故答案为∶点P在内． 13．如图，点O是△ABC的外心，连接OB，若∠OBA＝17°，则∠C的度数为 °． 【答案】73 【知识点】 三角形外接圆的概念辨析、等边对等角、三角形内角和定理的应用 【分析】连接，，根据三角形的内角和和等腰三角形的性质即可得到结论． 【详解】解：连接，， 点是的外心， ， ，，， ， ， 即， ， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查三角形的外接圆与外心，三角形的内角和，等腰三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键． 14．已知下列四个图形：①长度为的线段；②斜边为3的直角三角形；③面积为4的菱形；④半径为，圆心角为90°的扇形；其中，能够被半径为1的圆及其内部所覆盖的图形是 ．（填写序号） 【答案】④ 【知识点】 三角形外接圆的概念辨析、圆的基本概念辨析 【分析】根据图形中最长的的线段与圆的直径相比较即可判断． 【详解】解：半径为1的圆的直径为2， ①∵＞2， ∴长度为线段不能够被半径为1的圆及其内部所覆盖； ②∵3＞2， ∴斜边为3的直角三角形不能够被半径为1的圆及其内部所覆盖； ③∵面积为4的菱形的长的对角线＞2， ∴面积为4的菱形不能够被半径为1的圆及其内部所覆盖； ④∵半径为，圆心角为90°的扇形的弦为2， ∴半径为，圆心角为90°的扇形能够被半径为1的圆及其内部所覆盖； 故答案为：④． 【点睛】本题考查了三角形的外接圆，菱形的性质，求得图形中最长的线段是解题的关键． 15．如图，已知△ABC，△DEF均为等腰直角三角形， ，顶点D，E分别在边AB，AC上滑动．则在滑动过程中，点A，F间距离的最大值为 ． 【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形、求一点到圆上点距离的最值 【分析】以∠EMD为直角作等腰直角三角形EDM，以M为圆心，AM为半径作圆，随着D、E点运动，A始终在圆M上，当A、M、F三点共线时，AF最大；由已知可求，由∠DEF=∠MED=45°，可得∠MEF=90°，则，由AF=AM+MF即可得出结论 【详解】解：△DEF均为等腰直角三角形，， ∴DE=DF=10， ∵△ABC是等腰直角三角形， 以∠EMD为直角作等腰直角三角形EDM，以M为圆心，AM为半径作圆， ∵∠EMD=90°，∠CAB=45° ∴随着D、E点运动，A始终在圆M上， 当A、M、F三点共线时，AF最大； ∵AM=EM， ∴， ∵∠DEF=∠MED=45°， ∴∠MEF=90°， ∴， ∴ 故答案为． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，勾股定理等知识，得出当A、M、F三点共线时，AF最大是解题的关键 16．Rt的两条直角边分别是一元二次方程的两根，则的外接圆半径为 ． 【答案】2.5/ 【知识点】求特殊三角形外接圆的半径、用勾股定理解三角形、因式分解法解一元二次方程 【分析】根据题意先解一元二次方程，进而根据直角三角形的外接圆的半径等于斜边的一边，即可求得答案． 【详解】解：， ， 解得， Rt的两条直角边分别为3，4， 斜边长为， 直角三角形的外接圆的圆心在斜边上，且为斜边的中点， 的外接圆半径为． 【点睛】本题考查的是三角形的外接圆与外心，熟知直角三角形的外心是斜边的中点是解答此题的关键． 17．如图，正方形的边长为，点分别在、上，且，与相交于点，连接，则的最小值为 ． 【答案】 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、用勾股定理解三角形、根据正方形的性质证明、求一点到圆上点距离的最值 【分析】本题考查了正方形的性质，圆周角定理，勾股定理，以及全等三角形的判定与性质，熟练掌握的圆周角所对的弦是直径是解答本题的关键．通过证明，可证，则点在以为直径的一段弧上运动，当点在与弧的交点处时，最短，然后根据勾股定理求出的长即可求解． 【详解】解∶四边形是正方形， ， 在和中 ， ， ， ， ∴， 点在以为直径的一段弧上运动， 设的中点为，则当点在与弧的交点处时，最短， ， ， ∴， ， 故答案为：． 18．如图，在边长为4的正方形中，点E是边上的动点（点E不与B，C重合），连接，过点B作于点F，点G是点C关于直线的对称点，连接，，则当取得最小值时，的面积是 ．    【答案】 【知识点】已知余弦求边长、圆的基本概念辨析、根据正方形的性质求线段长、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】由，可知F点在以为直径的半圆上，连接，延长交于点M，再由点G是点C关于直线的对称点，可得，则当O、F、C三点共线时，取最小值，此时也取最小值；连接，取的中点N，可得，再由，求出，连接交的延长线于点M，可证明，则，由对称性可知，，可得，过点G作交于点K，由，求出，则G点的距离为，再求即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴F点在以为直径的半圆上， 连接，延长交于点M，    ∵点G是点C关于直线的对称点， ∴， 当O、F、C三点共线时，取最小值，此时也取最小值， 连接，取的中点N， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴， ∴， ∵， 由面积相等得： ∴， 连接交的延长线于点M， ∴， ∵， ∴， ∴， 由对称性可知，， ∴， 过点G作交于点K， ∵， ∴ ∵ ∴， ∴G点的距离为， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查正方形的综合应用，熟练掌握正方形的性质，直角三角形的性质，轴对称的性质，点与圆的位置关系是解题的关键． 三、解答题 19．如图， OA=OB，AB交⊙O于点C、D，AC与BD是否相等．为什么． 【答案】，理由见解析． 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【详解】解：连结OC，OD 易知OC，OD为⊙O半径．已知在△OAB中，OA=OB，则∠A=∠B ∵OC=OD，∴∠OCD=∠ODC． ∴∠OCA=∠ODB 在△AOC和△BOD中，OA=OB，∠OCA=∠ODB，∠A=∠B可证△AOC≌△BOD． 所以AC=BD． 【点睛】本题考查全等三角形，本题难度较低，主要考查学生对全等三角形的判定的学习． 20．古时候人们往往会用八卦罗盘来测量建筑的方位．小明自制了一个类似的玩具：以点O为中心，共有内外两圈，均可以绕着点O旋转，外圈有A，B，C，D，E，F，G，H 8个点将圆八等分，内圈仅有J，K两个点，且点A，K，O，J四点共线，连接． (1)求的度数； (2)固定内圈，顺时针转动外圈一周，恰好经过．求外圈只转一周且当与一边垂直时，经过多少时间？ 【答案】(1) (2)外圈只转一周且当与一边垂直时，经过或或 或． 【知识点】圆的基本概念辨析、几何图形中角度计算问题 【分析】本题主要考查了正多边形与圆，正确地识别图形是解题的关键． （1）由题意得将圆8等分，占其中的3份，然后列式计算即可； （2）分和两种情况，分别根据题意列式计算即可． 【详解】（1）解：由题意得：将圆8等分，占其中的3份， ∴． （2）解：由题意得，外圈转动速度为：, ①当时，点A在右侧半圆上，时间， 点A在左侧半圆上，时间； ②当时，点D在右侧半圆上，时间； 点D在左侧半圆上，时间． 综上所述，外圈只转一周且当与一边垂直时，经过或或或． 21．LED感应灯是一种通过感应模块自动控制光源点亮的一种新智能照明产品，当人进入感应范围内灯自动亮，离开感应范围灯灭．若在感应范围内有多个感应灯装置，那么人离哪个感应灯更近，这个感应灯就会亮，其它感应灯就不亮，这样既方便又节能．（说明：人到两个感应灯距离相等时，两个灯都亮） (1)如图①，已知在中，，若在的其中两个顶点B、C处分别装有感应灯，垂直平分，垂足为点F，交于点E，请求出在该三角形内能使感应灯C亮的区域面积； (2)如图②，在中，，为边上的高，在的三个顶点处都装有感应灯，请求出在该三角形内能使感应灯B亮的区域面积； (3)如图③，在平面内五个散点A、B、C、D、E处装有自控灯，请用直尺和圆规在平面内作出能使感应灯上亮的区域图形． 【答案】(1)三角形内能使感应灯B亮的区域面积为 (2)在该三角形内能使感应灯B亮的区域面积为 (3)见解析 【知识点】已知正切值求边长、画圆(尺规作图)、用勾股定理解三角形、线段垂直平分线的性质 【分析】本题考查线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，锐角三角函数等知识： （1）先求出的值，即可求出的面积； （2）先找出感应灯B亮的区域，然后求出面积； （3）分别以直径画圆，围成区域即为所求． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴，即：， 解得：， ∴的面积为：， ∴该三角形内能使感应灯B亮的区域面积为； （2）解：在中，，为边上的高， ∴，即垂直平分， ∴上任意一点到点B与点C的距离都相等， 在中，由勾股定理，得， ∴， ∴， ∴， 作的垂直平分线，交于点E，如图： 则上任一点到点A与点B的距离都相等，， ∴由题意可知：在该三角形内能使感应灯B亮的区域是四边形， 在中，， ∴， ∴ ， ∴在该三角形内能使感应灯B亮的区域面积为． （3）觖：分别以为直径画圆，围成区域（实线所围区域）即为所求． 22．某班数学兴趣小组经过市场调查，整理出某种商品在第天的售价与销量的相关信息如下表： 观察表格：根据表格解答下列问题： 0 1 2 1 -3 -3 （1）__________._____________.___________. （2）在下图的直角坐标系中画出函数的图象，并根据图象，直接写出当取什么实数时，不等式成立； （3）该图象与轴两交点从左到右依次分别为、，与轴交点为，求过这三个点的外接圆的半径. 【答案】（1），，；（2）或；（3） 【知识点】求特殊三角形外接圆的半径、根据交点确定不等式的解集 【分析】(1)直接将(1，1)代入求出a即可，进而将x=2代入求出y，再分别将(0, -3) ，(2， -3)代入求出b，c的值; (2)再利用函数解析式进而得出函数图象，进而得出不等式的解集. (3)根据题意求得外接圆的圆心的坐标为(1，1)，进而求得圆的半径,即可求得圆的面积. 【详解】解：(1)∵过(1,1) ∴ 当x=2时， ∵过，，， ∴ 解得 故答案为，，； （2）如图所示： 当或时，. （3）由（2）可知,则作、 的垂直平分线的交点, ∴外接圆的半径， 故答案为. 【点睛】本题考查了二次函数与不等式、抛物线与轴交点、三角形的外接圆等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识. 23．如图所示为年月日我国陆军进行军事训练的一幕，全体官兵士气高昂，精神饱满．图所示为训练中远程火炮射击的简图．已知一门炮筒长约的远程火炮位于点，点为炮口，火炮与水平地面夹角约为．此时火炮进行了一次射击，炮弹在飞行后落在了斜坡上．已知的坡角为，炮弹的轨迹为圆弧，炮弹轨迹所对的圆的圆心恰为点，，斜坡的高，则：    (1)求的半径； (2)如图，在炮弹发射的同时，我军某参演部队检测到了炮弹，并自斜坡上射出一发拦截弹，已知发射点距坡底为，射出拦截弹的轨迹为直线且与水平方向夹角为．拦截弹恰好于点成功拦截炮弹．若拦截弹的速度约为，炮弹的速度约为，则求炮弹飞过的路径长．（结果取整数．参考数据：，，，） 【答案】(1)的半径为 (2)炮弹飞过的路径长为 【知识点】坡度坡比问题(解直角三角形的应用）、圆的基本概念辨析、用勾股定理解三角形、含30度角的直角三角形 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，结合圆的性质、含度角的直角三角形的性质、勾股定理，熟练掌握知识点、数形结合、正确计算是解题的关键． （1）过点作于，根据含度角的直角三角形的性质，得出的长，勾股定理求出的长，结合，求出的长，最后根据勾股定理计算，即为的半径； （2）连接，过点作于，先计算得出，解直角三角形得出、的长，为的半径，根据勾股定理计算，根据，求出拦截弹的轨迹长度，根据“时间路程速度”求出时间，结合炮弹的速度，求出炮弹飞过的路径长即可． 【详解】（1）解：如图，过点作于，    ∵炮筒长约的远程火炮位于点，点为炮口，火炮与水平地面夹角约为，， ∴，， ∴，，， ∴， 又∵炮弹的轨迹为圆弧，炮弹轨迹所对的圆的圆心恰为点， ∴的半径为， 答：的半径为； （2）解：如图，连接，过点作于，    ∵的半径为， ∴， ∵的坡角为，射出拦截弹的轨迹为直线且与水平方向夹角为， ∴， ∵于， ∴， 又∵发射点距坡底为，即， ∴， ∴， ∴， ∵拦截弹的速度约为， ∴时间， ∵炮弹的速度约为， ∴炮弹飞过的路径长， 答：炮弹飞过的路径长为． 24．如图，广场上有一盏高为的路灯，把灯O看作一个点光源，身高的女孩站在离路灯的点B处．图2为示意图，其中于点A，于点B，点O，C，D在一条直线上，已知．    (1)求女孩的影子的长． (2)若女孩以为半径绕着路灯顺时针走一圈（回到起点），求人影扫过的图形的面积．（取3.14） 【答案】(1)女孩的影子的长为1米 (2)平方米 【知识点】中心投影、相似三角形实际应用、圆的周长和面积问题 【分析】本题考查了相似三角形的应用，利用相似三角形对应边成比例列出比例式是解题的关键． （1）根据相似三角形的判定和性质定理得到的长，即可得出答案． （2）根据圆的面积公式即可得到结论． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴米， 答：女孩的影子的长为1米； （2）解：∵女孩以为半径绕着路灯顺时针走一圈（回到起点）， ∴人影扫过的图形的面积平方米． 25．如图，在正方形网格中，A、B、C、D均为小正方形的格点，请仅用无刻度的直尺作图（保留痕迹，描出必要的格点）． (1)在图1中作出的外心D； (2)图2中D是的中点，作出边上的点F（不与点B重合），使得． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】斜边的中线等于斜边的一半、已知外心的位置判断三角形的形状、无刻度直尺作图 【分析】本题考查作图-应用与设计作图，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型． （1）如图1中，分别作及的垂直平分线，相交于点D，点D即为所求． （2）如图2中，过点A作的垂线，垂足即为点F，连接，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一亲，可得． 【详解】（1）如图1，点D即为的外心； （2）如图2，点F即为所作； 26．为了确定大货车能否通过公路隧道，道路交通学习小组展开了以下研究． 材料收集 材料1 材料2 材料3 如图1某一公路单向隧道由一弧形拱与矩形组成，经测量得， 如图2，为了确定弧形拱的圆心与半径，学习小组找到一根长的笔直杆子，调整杆子位置直至点在上，点在圆弧上，，． 如图3，某一集装箱大货车宽为，高为，停在隧道口． 问题解决 任务1 确定圆心位置：利用直尺与图规确定圆心的位置（保留作图痕迹） 任务2 确定弧形拱半径：求出弧形拱的半径 任务3 确定车辆通过可能：通过计算说明该货车能否通过隧道． 【答案】任务1：图形见解析；任务2：；任务3：大货车能通过该隧道，理由见解析 【知识点】用勾股定理解三角形、作垂线(尺规作图) 【分析】本题考查的是圆知识的综合应用，解题的关键是找出弓形所在的圆心，画出半径，构造直角三角形，借助勾股定理解题． （1）画出两条线段的垂直平分线，交点即为圆心； （2）利用所得圆心，作的垂线得直角三角形，用勾股定理解即可求出； （3）根据车辆的宽和高度，构造直角三角形，借助勾股定理列出方程，解出，比较即可． 【详解】（1） 在弧形拱上任取一点M，连接，分别作的垂直平分线，两直线的交点即为圆心O． （2）过点作交于点，交于点 令，则，， ∵，， ∴， ∵ ∴ 解得： ∴ （3）构造，且 过点作于点 ∴， ∵ ∴大货车能通过该隧道 27．在中，的角平分线交边于点，过顶点作边的平行线交的延长线于点，点为的中点，连接． (1)如图1，若，，，求的面积； (2)如图2，过点作，连接，，若，．求证：； (3)如图3，若，，，把绕点旋转，得到，连接，点为的中点，连接，请直接写出的最大值． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【知识点】求过圆内一点的最长弦、斜边的中线等于斜边的一半、等腰三角形的性质和判定、含30度角的直角三角形 【分析】（1）过作于点，由角平分线的性质证得CD=DP，再根据等角对等边和勾股定理求得PD=PB=CD=4，AC=BC= ，然后由求解即可； （2）延长到点，使，连接，根据全等三角形的判定证明，则有，再根据平行线的判定与性质和角平分线的定义证得，，然后证明得出即可； （3）由旋转性质和圆的定义可得出点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，由含30°角在直角三角形性质和角平分线性质可求得AD、DF，再根据等腰三角形的判定与性质和三角形的外角性质证得DE=DF，进而由三角形的中位线性质可得，故当点、、、共线时最长,根据圆的直径是最长的弦求解即可． 【详解】（1）解：过作于点，则， 平分，， ， ，， ， 在中，， ， ，， ， ； （2）证明：延长到点，使，连接， ∵为的中点， ∴， 在和中， ∴（SAS)， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ∴（ASA)， ∴， ∵， ∴ （3）解： 由旋转性质得：， ∴点的轨迹是以为圆心，为半径的圆， ∵，，F为AD的中点， ∴∠ADC=90°－30°=60°，CF=AF=DF， ∴CD=DF ∵平分， ∴， ∴， 由和得， ∴，， 由（1）中知道，CA=CE， ∴∠CAD=∠CED=30°，又∠ADC=60°， ∴∠DCE=∠AED=30°, ∴DE=CD，即DE=DF= ， ∴点D为EF的中点， ∵点为的中点， ， 当点、、、共线时，最长， 的最大值为， 的最大值为． 【点睛】本题考查平行线的判定与性质、角平分线的性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质、等腰三角形的判定与性质、含30°角的直角三角形的边角关系、旋转性质、三角形的中位线和外角性质、圆的有关性质等知识，是有关三角形问题的综合题型，知识点较多，熟练掌握三角形的相关知识的联系与运用是解答的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第01讲 圆的确定 （3个知识点+5种题型+分层练习） 知识导图 知识清单 知识点1．圆的认识 （1）圆的定义 定义①：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆．固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径．以O点为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”． 定义②：圆可以看做是所有到定点O的距离等于定长r的点的集合． （2）与圆有关的概念 弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等． 连接圆上任意两点的线段叫弦，经过圆心的弦叫直径，圆上任意两点间的部分叫圆弧，简称弧，圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每条弧都叫做半圆，大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧． （3）圆的基本性质：①轴对称性．②中心对称性． 知识点2．点与圆的位置关系 （1）点与圆的位置关系有3种．设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，则有： ①点P在圆外⇔d＞r ②点P在圆上⇔d＝r ①点P在圆内⇔d＜r （2）点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系． （3）符号“⇔”读作“等价于”，它表示从符号“⇔”的左端可以得到右端，从右端也可以得到左端． 知识点3．确定圆的条件 不在同一直线上的三点确定一个圆． 注意：这里的“三个点”不是任意的三点，而是不在同一条直线上的三个点，而在同一直线上的三个点不能画一个圆．“确定”一词应理解为“有且只有”，即过不在同一条直线上的三个点有且只有一个圆，过一点可画无数个圆，过两点也能画无数个圆，过不在同一条直线上的三点能画且只能画一个圆． 题型强化 题型一．圆的认识 1．（2024秋•宝山区校级月考）同一圆中，半圆的直径　　整圆的直径． A．大于 B．小于 C．等于 D．不确定 2．（奉贤区期末）如图，是的直径，点、在上，，，则　　． 3．（2024•即墨区校级一模）如图，是的直径，把分成几条相等的线段，以每条线段为直径分别画小圆，设，那么的周长． （1）计算：①把分成两条相等的线段，每个小圆的周长　　； ②把分成三条相等的线段，每个小圆的周长　　； ③把分成四条相等的线段，每个小圆的周长　　； ④把分成条相等的线段，每个小圆的周长　　； （2）请仿照上面的探索方法和步骤，计算并导出：当把大圆直径平均分成等分时，以每条线段为直径画小圆，那么每个小圆的面积与大圆的面积的关系是：　　． 题型二．点与圆的位置关系 4．（2024•嘉定区二模）在中，，，以点为圆心，半径为6的圆记作圆，那么下列说法正确的是　　 A．点在圆外，点在圆上 B．点在圆上，点在圆内 C．点在圆外，点在圆内 D．点、都在圆外 5．（2024•闵行区三模）若点到上的所有点的距离中，最大距离为8，最小距离为2，那么的半径为 　　． 6．（2023•嘉定区二模）如图，在中，，，圆经过、两点，圆心在线段上，点在圆内，且． （1）求圆的半径长； （2）求的长． 题型三．确定圆的条件 7．下列条件中不能确定一个圆的是　　 A．圆心与半径 B．直径 C．三角形的三个顶点 D．平面上的三个已知点 8．平面直角坐标系内的三个点、、，　　确定一个圆，（填“能”或“不能” ． 9．已知直线和直线外的两点、，经过、作一圆，使它的圆心在直线上． 题型四、圆的基本概念辨析 10．（20-21九年级·上海浦东新·阶段练习）下列说法正确的是（    ） A．半圆是弧 B．过圆心的线段是直径 C．弦是直径 D．长度相等的两条弧是等弧 11．（2020·上海徐汇·二模）如图，的弦AB和直径CD交于点E，且CD平分AB，已知AB=8，CE=2，那么的半径长是 ．    12．（2024·上海松江·二模）如图，已知中，．点O在边上，以O为圆心，为半径的弧经过点A．    (1)求的半径长； (2)P是上一点，，交于点D，连接．求的正切值． 题型五、判断点与圆的位置关系 13．（2024九年级下·上海·专题练习）在中，，，，以点为圆心，半径为8的圆记作圆，那么下列说法正确的是（　　） A．点在圆内，点在圆外 B．点在圆上，点在圆外 C．点、都在圆内 D．点、都在圆外 14．（2023·上海普陀·二模）已知矩形，，，以点为圆心，为半径画圆，那么点的位置是在 ． 15．（2024·上海·三模）在△ABC中，，，正方形的边在上，顶点，分别在，上． (1)如图，过点作于点，交于点，求：正方形的边长； (2)如图，在上取点，作于点，交于点，于点，求证：四边形是正方形； (3)如图，在上取点，使，连接，，若试判断点R与以为直径的圆的位置关系并说明理由 分层练习 一、单选题 1．下列叙述中不正确的是（　　） A．圆是中心对称图形，圆心是它的对称中心 B．圆是轴对称图形，直径是它的对称轴 C．连接圆上两点的线段叫弦 D．圆上两点间的部分叫弧 2．在⊿ABC中，∠C=90°，AB＝3cm，BC＝2cm,以点A为圆心，以2.5cm为半径作圆，则点C和⊙A的位置关系是(   ) A．C在⊙A上 B．C在⊙A外 C．C在⊙A内 D．C在⊙A位置不能确定 3．已知是半径为5的圆的一条弦，则的长不可能是（   ） A．4 B．8 C．10 D．12 4．在矩形中，，以点A为圆心，4为半径作，点C与的位置关系是（　　） A．点C在内 B．点C在上 C．点C在外 D．无法确定 5．⊙O的半径为5cm，A是线段OP的中点，当OP=7cm时，点A与⊙O的位置关系是（     ） A．点A在⊙O内 B．点A在⊙O上 C．点A在⊙O外 D．不能确定 6．如图，在平面直角坐标系中，点为，点为，点为．则的外心坐标应是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 7．已知最长的弦是，则直径是 ． 8．在平面直角坐标系中，的半径为5，则点在 ．(填“内”、“上”或“外”) 9．圆的半径是2厘米，则这个圆的周长是 厘米，这个圆的面积是 平方厘米． 10．圆外一点到圆的最大距离为9cm，最小距离为4cm，则圆的半径是 cm． 11．交通工具上的轮子都是做圆的，这是运用了圆的性质中的 ． 12．已知的半径为，若，则点与的位置关系是 ． 13．如图，点O是△ABC的外心，连接OB，若∠OBA＝17°，则∠C的度数为 °． 14．已知下列四个图形：①长度为的线段；②斜边为3的直角三角形；③面积为4的菱形；④半径为，圆心角为90°的扇形；其中，能够被半径为1的圆及其内部所覆盖的图形是 ．（填写序号） 15．如图，已知△ABC，△DEF均为等腰直角三角形， ，顶点D，E分别在边AB，AC上滑动．则在滑动过程中，点A，F间距离的最大值为 ． 16．Rt的两条直角边分别是一元二次方程的两根，则的外接圆半径为 ． 17．如图，正方形的边长为，点分别在、上，且，与相交于点，连接，则的最小值为 ． 18．如图，在边长为4的正方形中，点E是边上的动点（点E不与B，C重合），连接，过点B作于点F，点G是点C关于直线的对称点，连接，，则当取得最小值时，的面积是 ．    三、解答题 19．如图， OA=OB，AB交⊙O于点C、D，AC与BD是否相等．为什么． 20．古时候人们往往会用八卦罗盘来测量建筑的方位．小明自制了一个类似的玩具：以点O为中心，共有内外两圈，均可以绕着点O旋转，外圈有A，B，C，D，E，F，G，H 8个点将圆八等分，内圈仅有J，K两个点，且点A，K，O，J四点共线，连接． (1)求的度数； (2)固定内圈，顺时针转动外圈一周，恰好经过．求外圈只转一周且当与一边垂直时，经过多少时间？ 21．LED感应灯是一种通过感应模块自动控制光源点亮的一种新智能照明产品，当人进入感应范围内灯自动亮，离开感应范围灯灭．若在感应范围内有多个感应灯装置，那么人离哪个感应灯更近，这个感应灯就会亮，其它感应灯就不亮，这样既方便又节能．（说明：人到两个感应灯距离相等时，两个灯都亮） (1)如图①，已知在中，，若在的其中两个顶点B、C处分别装有感应灯，垂直平分，垂足为点F，交于点E，请求出在该三角形内能使感应灯C亮的区域面积； (2)如图②，在中，，为边上的高，在的三个顶点处都装有感应灯，请求出在该三角形内能使感应灯B亮的区域面积； (3)如图③，在平面内五个散点A、B、C、D、E处装有自控灯，请用直尺和圆规在平面内作出能使感应灯上亮的区域图形． 22．某班数学兴趣小组经过市场调查，整理出某种商品在第天的售价与销量的相关信息如下表： 观察表格：根据表格解答下列问题： 0 1 2 1 -3 -3 （1）__________._____________.___________. （2）在下图的直角坐标系中画出函数的图象，并根据图象，直接写出当取什么实数时，不等式成立； （3）该图象与轴两交点从左到右依次分别为、，与轴交点为，求过这三个点的外接圆的半径. 23．如图所示为年月日我国陆军进行军事训练的一幕，全体官兵士气高昂，精神饱满．图所示为训练中远程火炮射击的简图．已知一门炮筒长约的远程火炮位于点，点为炮口，火炮与水平地面夹角约为．此时火炮进行了一次射击，炮弹在飞行后落在了斜坡上．已知的坡角为，炮弹的轨迹为圆弧，炮弹轨迹所对的圆的圆心恰为点，，斜坡的高，则：    (1)求的半径； (2)如图，在炮弹发射的同时，我军某参演部队检测到了炮弹，并自斜坡上射出一发拦截弹，已知发射点距坡底为，射出拦截弹的轨迹为直线且与水平方向夹角为．拦截弹恰好于点成功拦截炮弹．若拦截弹的速度约为，炮弹的速度约为，则求炮弹飞过的路径长．（结果取整数．参考数据：，，，） 24．如图，广场上有一盏高为的路灯，把灯O看作一个点光源，身高的女孩站在离路灯的点B处．图2为示意图，其中于点A，于点B，点O，C，D在一条直线上，已知．    (1)求女孩的影子的长． (2)若女孩以为半径绕着路灯顺时针走一圈（回到起点），求人影扫过的图形的面积．（取3.14） 25．如图，在正方形网格中，A、B、C、D均为小正方形的格点，请仅用无刻度的直尺作图（保留痕迹，描出必要的格点）． (1)在图1中作出的外心D； (2)图2中D是的中点，作出边上的点F（不与点B重合），使得． 26．为了确定大货车能否通过公路隧道，道路交通学习小组展开了以下研究． 材料收集 材料1 材料2 材料3 如图1某一公路单向隧道由一弧形拱与矩形组成，经测量得， 如图2，为了确定弧形拱的圆心与半径，学习小组找到一根长的笔直杆子，调整杆子位置直至点在上，点在圆弧上，，． 如图3，某一集装箱大货车宽为，高为，停在隧道口． 问题解决 任务1 确定圆心位置：利用直尺与图规确定圆心的位置（保留作图痕迹） 任务2 确定弧形拱半径：求出弧形拱的半径 任务3 确定车辆通过可能：通过计算说明该货车能否通过隧道． 27．在中，的角平分线交边于点，过顶点作边的平行线交的延长线于点，点为的中点，连接． (1)如图1，若，，，求的面积； (2)如图2，过点作，连接，，若，．求证：； (3)如图3，若，，，把绕点旋转，得到，连接，点为的中点，连接，请直接写出的最大值． 学科网（北京）股份有限公司 $$