函数模型的应用课件-2025届高三数学一轮专题复习

§2.12　函数模型的应用 第二章　函　数 【学习目标】 【要点整合】 知识点一　　构建函数模型解决实际问题 （2）三种增函数模型的性质 函数 性质 y＝ax(a>1) y＝logax(a>1) y＝xn(n>0) 在(0，＋∞)上的增减性 单调递增 单调递增 单调递增 增长速度 越来越快 越来越慢 相对平稳 图象的变化 随x的增大逐渐表现为与 平行 随x的增大逐渐表现为与 平行 随n值的变化而各有不同 y轴 x轴 因此，总会存在一个x0，当x>x0时，就有logax<xn<ax. 5 【要点整合】 1.根据一组试验数据画出的散点图如图所示. 现有如下5个函数模型：①y＝0.6x－0.12；②y＝2x－2.02；③y＝2x－5.4x＋6；④y＝log2x；⑤y＝ ＋1.84.请从中选择一个函数模型，使它能近似 地反映这些数据的规律，应选______.(填序号) ④ 【题型一】用函数图象刻画变化过程 2.某校实行凭证入校，凡是不带出入证者一律不准进校园，某学生早上上学骑自行车从家里出发，离开家不久，发现出入证忘在家里了，于是回家取出入证，然后乘坐出租车以更快的速度赶往学校，令x(单位：分钟)表示离开家的时间，y(单位：千米)表示离开家的距离，其中等待红绿灯及在家取出入证的时间忽略不计，下列图象中与上述事件吻合最好的是 √ 3.如图，公园里有一处扇形花坛，小明同学从A点出发，沿花坛外侧的小路顺时针方向匀速走了一圈(路线为AB→BO→OA)，则小明到O点的直线距离y与他从A点出发后运动的时间t之间的函数图象大致是 √ 1..某超市的某种商品的日利润y(单位：元)与该商品的当日售价x(单位：元)之间的关系为y＝ ＋12x－210，那么该商品的日利润最大时，当日售价为________元. 150 【题型二】已知函数模型的问题 11 2.(2021·全国甲卷)青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量.通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记录法的数据V满足L＝5＋lg V.已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记录法的数据约为( 　 ≈1.259) A.1.5　　　B.1.2　　　C.0.8　　　D.0.6 题型二 已知函数模型的实际问题 √ 3.(多选)(2023·德州模拟)在流行病学中，基本传染数是指每名感染者平均可传染的人数.假设某种传染病的基本传染数为R0，1个感染者在每个传染期会接触到N个新人，这N个人中有V个人接种过疫苗 　　　　 　　，那么1个感染者传染人数为 (N－V).已知某种传染病 在某地的基本传染数R0＝4，为了使1个感染者传染人数不超过1，则该地疫苗的接种率不可能为 A.45%　　　B.55%　　　C.65%　　　D.75% √ √ √ 1.当x越来越大时，下列函数中增长速度最快的是 A.y＝5x B.y＝log5x C.y＝x5 D.y＝5x √ 解析：结合函数的性质可知，几种函数模型中，指数函数的增长速度最快. 【题型三】构造函数模型的问题 √ √ 【题型二】已知函数模型的问题 5.牛顿曾经提出了在常温环境下的温度冷却模型θ＝θ0＋(θ1－θ0)e－kt(t为时间，单位：分钟，θ0为环境温度，θ1为物体初始温度，θ为冷却后温度)，假设一杯开水温度θ1＝100 ℃，环境温度θ0＝20 ℃，常数k＝0.2，大约经过________分钟水温降为40 ℃(参考数据：ln 2≈0.7) A.10　　　B.9　　　C.8　　　D.7 √ 练习12020年12月17日凌晨，嫦娥五号返回器携带月球样品在内蒙古四子王旗预定区域安全着陆.嫦娥五号返回舱之所以能达到如此高的再入精度，主要是因为它采用弹跳式返回弹道，实现了减速和再 入阶段弹道调整，这与“打水漂”原理类似(如图所示).现将石片扔向水面，假设石片第一次接触水面的速率为100 m/s，这是第一次“打水漂”，然后石片在水面上多次“打水漂”，每次“打水漂”的速率为上一次的90%，若要使石片的速率低于60 m/s，则至少需要“打水漂”的次数为(参考数据：取ln 0.6≈－0.511，ln 0.9≈－0.105) A.4　　　B.5　　　C.6　　　D.7 √ 设石片第n次“打水漂”时的速率为vn， 则vn＝100×0.9n－1. 由100×0.9n－1<60，得0.9n－1<0.6， 则(n－1)ln 0.9<ln 0.6， 故至少需要“打水漂”的次数为6. 练习2农业农村部发布2022年农区蝗虫防控技术方案.为了做好蝗虫防控工作，完善应急预案演练，专家假设蝗虫的日增长率为6%，最初有N0只，则能达到最初的1 200倍大约经过(参考数据：ln 1.06≈0.058 3，ln 1 200≈7.090 1) A.122天 B.124天 C.130天 D.136天 √ 由题意可知，蝗虫最初有N0只且日增长率为6%. 设经过n天后蝗虫数量达到原来的1 200倍， ∴1.06n＝1 200， ∵n∈N*，∴大约经过122天能达到最初的1 200倍. 练习3里氏震级M的计算公式为：M＝lg A－lg A0，其中A是测震仪记录的地震曲线的最大振幅，A0是相应的标准地震的振幅.假设在一次地震中，测震仪记录的最大振幅是1 000，此时标准地震的振幅为0.001，则此次地震的震级为________级；9级地震的最大振幅是5级地震最大振幅的__________倍. 6 10 000 M＝lg 1 000－lg 0.001＝3－(－3)＝6. 即9级地震的最大振幅是5级地震最大振幅的10 000倍. [目标] 会根据所给数据选择合适的函数模型进行拟合． [重点] 根据给定的函数模型解决实际问题． [难点] 建立数学模型解答实际问题． 1．我们已学过的函数有哪些？ （1）常见的8种函数模型 ①一次函数模型：f(x)＝kx＋b(k，b为常数，k≠0)； ②反比例函数模型：f(x)＝eq \f(k,x)＋b(k，b为常数，k≠0)； ③二次函数模型：f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)； ④指数函数模型：f(x)＝abx＋c(a，b，c为常数，a≠0，b>0，b≠1)； ⑤对数函数模型：f(x)＝mlogax＋n(m，n，a为常数，a>0，a≠1，m≠0)； ⑥幂函数模型：f(x)＝axn＋b(a，b，n为常数，a≠0)； ⑦“对勾”函数模型：f(x)＝ax＋eq \f(b,x)(a，b为常数，且a>0，b>0)； ⑧分段函数模型． 2．建立函数模型解决问题的基本过程是什么？ 提示：①收集数据；②根据收集到的数据，在平面直角坐标系内画出散点图；③根据点的分布特征，选择一个能刻画散点图特征的函数模型；④选择其中的几组数据求出函数模型；⑤将已知数据代入所求出的函数模型中进行检验，看其是否符合实际，若不符合实际，则重复步骤③④⑤；若符合实际，则进入下一步；⑥用所得函数模型解释实际问题． 知识点二 　　应用所给函数模型解决实际问题 基本步骤 (1)审题：深刻理解题意，分清条件和结论，理顺其中的数量关系，把握其中的数学本质． (2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型． (3)解模：用数学知识和方法解决转化出的数学问题． (4)还原：回到题目本身，检验结果的实际意义，给出结论． x － 因为y＝－＋12x－210＝－(x－150)2＋690，所以当x＝150时，  y取最大值，即该商品的利润最大时，当日售价为150元. 4.9＝5＋lg V⇒lg V＝－0.1⇒V＝ ＝≈≈0.8，所以该同学视力的小数记录法的数据约为0.8. 2．某公司为了适应市场需求对产品结构做了重大调整，调整后初期利润增长迅速，后期增长越来越慢，若要建立恰当的函数模型来反映该公司调整后利润y与时间x的关系，可选用(　　) A．一次函数　　　　　　 B．二次函数 C．指数型函数 D．对数型函数 解析：由于一次函数、二次函数、指数型函数后期增长不会越来越慢，只有对数型函数后期增长越来越慢． 答案：D　 3．“红豆生南国，春来发几枝？”如图给出了红豆生长时间t(月)与枝数y(枝)的散点图，那么红豆生长时间与枝数的关系用下列哪个函数模型拟合最好(　　) A．y＝t3 B．y＝log2t C．y＝2t D．y＝2t2 解析：符合指数函数模型． 4．某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个，…，现有2个这样的细胞，分裂x次后得到细胞的个数y与x的关系可以表示为________． 解析：分裂一次后为2×2＝22个，分裂两次后为4×2＝23个，……，分裂x次后为y＝2x＋1个，所以函数关系式y＝2x＋1. 答案：y＝2x＋1 依题意知，40＝20＋(100－20)·e－0.2t，则e－0.2t＝， －0.2t＝ln ＝－2ln 2，所以t＝＝10ln 2≈7(分钟). 即n－1>≈≈4.87，则n>5.87， 则＝1 200， ∴n＝log1.061 200＝≈121.614， 设9级地震的最大振幅和5级地震的最大振幅分别为A1，A2，则9＝lg A1－lg A0＝lg ，则＝109， 5＝lg A2－lg A0＝lg ，则＝105，所以＝104. $$