精品解析：江西省抚州市临川第二中学2024--2025学年九年级上学期期中考试数学试卷

临川二中2024-2025学年度上学期期中考试 九年级数学试卷 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1. 下列关于的方程中属于一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．理解和掌握一元二次方程的概念是解题的关键． 根据一元二次方程的定义，必须满足四个条件：未知数的最高次数是2；二次项系数不为0；是整式方程；含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案． 【详解】解：A．这个方程不是整式方程，故此选项不符合题意； B．方程的二次项系数可能为0，故此选项不符合题意； C．符合一元二次方程的定义，故此选项符合题意； D．化简后方程无二次项，故此选项不符合题意． 故选：C． 2. 下列图形只是中心对称图形的是（ ） A. 平行四边形 B. 菱形 C. 矩形 D. 正方形 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解． 【详解】解：A、平行四边形是中心对称图形，不是轴对称图形，故本选项符合题意； B、菱形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项不合题意； C、矩形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项不合题意； D、正方形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项不合题意； 故选：A． 3. 方程的根是（ ） A. B. C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了解一元二次方程−因式分解法，方程移项变形后，利用因式分解法求出解即可，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． 【详解】解：， ， 或， ∴，； 故选：． 4. 如图，中，，，点是的中点，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形的性质，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出，再根据度角的直角三角形的性质即可求． 【详解】在中，，， 是的中点， 故选：B． 5. 顺次连接对角线相等的四边形的各边中点，所形成的四边形是 A. 平行四边形 B. 菱形 C. 矩形 D. 正方形 【答案】B 【解析】 【分析】菱形，理由为：利用三角形中位线定理得到EF与HG平行且相等，得到四边形EFGH为平行四边形，再由EH＝EF，利用邻边相等的平行四边形是菱形即可得证． 【详解】解：菱形，理由为： 如图所示， ∵E，F分别为AB，BC的中点， ∴EF为△ABC的中位线， ∴EF∥AC，EF=AC， 同理HG∥AC，HG=AC， ∴EF∥HG，且EF=HG， ∴四边形EFGH为平行四边形， ∵EH=BD，AC=BD， ∴EF=EH，则四边形EFGH为菱形， 故选B． 【点睛】此题考查了中点四边形，平行四边形的判定，菱形的判定，熟练掌握三角形中位线定理是解本题的关键． 6. 如图，在中，，，下列四个结论：①，②，③，④，其中正确的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，平行线分线段成比例，根据平行线分线段成比例得出，，可判断①②；先判定，根据相似三角形的性质即可得出③正确，判定四边形是平行四边形，得出，根据两个三角形的周长之比等于相似比，为，得出④正确． 【详解】解：∵， ∴，， ∴①正确， ∵， ∴， ∴②正确， ∵， ∴③正确， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴两个三角形的周长之比等于相似比，为， ∴④正确， ∴正确的个数为4个， 故选：D． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 在比例尺为1:5000000的地图上，，两地的距离为，则该两地的实际距离为___________． 【答案】100 【解析】 【分析】此题考查了图上距离、比例尺和实际距离三者的关系，进行分析解答即可．要求两地的实际距离是多少千米，根据“图上距离比例尺实际距离”，代入数值计算即可． 【详解】解：， ， 故答案为：100 8. 一个袋子中有3个红球，2个白球，从中摸出一个球，这个球是黄球的概率为___________． 【答案】0 【解析】 【分析】本题考查概率公式，利用概率=所求情况数与总情况之比进行解答． 【详解】解：∵袋子中有3个红球，2个白球，没有黄球， ∴从中摸出一个球，这个球是黄球的概率为0， 故答案为：0． 9. 若，且，则与的相似比为___________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的性质，直接根据相似三角形的性质得出答案 【详解】解：∵，， ∴与的相似比为， 故答案为： 10. 若关于的方程的判别式的值为4，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，解题的关键是学会用转化的思想思考问题．根据一元二次方程根的判别式的值，构建方程求解． 【详解】解：∵关于的方程的判别式的值为4， ∴， ∴． 故答案为：． 11. 若一元二次方程的两根为，，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了根与系数的关系以及一元二次方程的解，利用一元二次方程的解及根与系数的关系，找出及是解题的关键．利用一元二次方程的解，可得出，利用根与系数的关系，可得出，再将其代入中，即可求出结论． 【详解】解：∵一元二次方程的两根为，， ∴， ∴， ∵一元二次方程的两根为，， ∴， ∴， 故答案为： 12. 如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，四边形是长方形，点A，C的坐标分别为，，点D是的中点，点P在上运动，当是腰长为5的等腰三角形时，点P的坐标为________． 【答案】或或 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、勾股定理的应用，学会分类讨论是解决本题的关键． 根据题意分为三种情况：或或，进行作图求解即可． 【详解】解：①以O为圆心，以5为半径画弧交BC于P点，此时，如图， 在中，，， ∴， ∴P的坐标是； ②以D为圆心，以5为半径画弧交于和点，此时，如图，过作于N，过作于M， 由作图可知四边形和四边形为长方形， ∴，，，， 在中，设，则，，， ∴， 解得， 则的坐标是； 设，则，，， 在中，， 解得， ，， 即的坐标是； ③假设，则由点向OD边作垂线，交点为，如图， 则有， ， 此时的为等边三角形， ∴，，， 代入， 得， ∴排除此种可能． 综上所述，点P的坐标为或或． 故答案为：或或． 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. （1）解方程：． （2）若且，求的值． 【答案】（1），；（2） 【解析】 【分析】本题考查公式法解一元二次方程，比例的性质，正确计算是解题的关键： （1）利用公式法解一元二次方程即可； （2）先得出，，，再代入得出，求解即可． 【详解】（1）解：， ， ，； （2）解：∵， ∴，，， ∵， ∴， 解得：． 14. 如图，已知和，请写出三种不同类型的能判定的条件． （1）_________________（2）_________________（3）_________________ 【答案】（1）；（2），；（3）， 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．根据（1）三边对应成比例的两个三角形相似；（2）两角对应相等的两个三角形相似；（3）两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，据此即可得出答案 【详解】解：（1）； ∵， ∴； （2），； ∵，， ∴； （3），； ∵，， ∴． 15. 如图，为菱形的对角线，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹） （1）如图，过点作的垂线； （2）如图，点为线段的中点，过点作的平行线． 【答案】（1） 即为所求； （2） 即为所求． 【解析】 【分析】（）作直线，由菱形的性质可得，即为的垂线； （）连接并延长，与的延长线相交于点，作直线，因为点为线段的中点，所以，因为，所以，，故可得，得到，所以四边形为平行四边形，即； 本题考查了菱形的性质，平行四边形的判定，掌握菱形的性质及平行四边形的判定方法是解题的关键． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 16. 某校一年级开设人数相同的A，B，C三个班级，甲、乙两位学生是该校一年级新生，开学初学校对所有一年级新生进行电脑随机分班． （1）“学生甲分到A班”的概率是______； （2）请用画树状图法或列表法，求甲、乙两位新生分到同一个班的概率． 【答案】（1） （2）甲、乙两位新生分到同一个班的概率为． 【解析】 【分析】本题考查的是求简单事件的概率和两步操作事件的概率，用表格或树状图表示出总结果数是解答此类问题的关键． （1）根据概率公式计算可得； （2）用画树状图列出所有的等可能结果，从中确定符合事件的结果，根据概率公式计算可得． 【小问1详解】 解：有A，B，C三个班级，“学生甲分到A班”有一种情况， 则“学生甲分到A班”的概率是， 故答案为：； 【小问2详解】 解：画树状图如图： 共有9个等可能的结果，甲、乙两位新生分到同一个班的有3种情况， ∴甲、乙两位新生分到同一个班的概率为． 17. 已知关于的方程， （1）直接写出的两根， （2）求方程的根，并猜测和（且）两根之间的关系（不必证明） 【答案】（1），； （2），；和的两根互为倒数 【解析】 【分析】本题考查因式分解法解一元二次方程，一元二次方程根与系数的关系： （1）直接根据因式分解法解方程即可； （2）先分别求出两根，进而可得出答案． 【小问1详解】 解：∵， ∴，； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴，，， ∴， ∴，； ∴和的两根互为倒数． 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 关于x的一元二次方程有实数根． （1）求m的取值范围； （2）当时，求m的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式与根的关系，熟练掌握根的判别式与根的关系式解答本题的关键． （1）根据判别式的意义得到，然后解关于m的不等式即可； （2）根据根与系数的关系得到，，代入，然后解关于m的方程即可． 【小问1详解】 由题意得：，，， 原方程有实数根， ， 解得：； 【小问2详解】 ， 由根与系数的关系得：，， ， 或， ， ． 19. 如图，在等边三角形中，点是边上一动点（点不与端点重合），作，交边于点，交边于点． （1）求证：； （2）若，，，求的长． 【答案】（1） 证明：∵是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2） 【解析】 【分析】此题重点考查等边三角形的性质、三角形内角和定理、相似三角形的判定与性质等知识，推导出，进而证明是解题的关键． （1）由等边三角形的性质得，而，则，即可根据“两角分别相等的两个三角形相似”证明； （2）由，，求得，，由相似三角形的性质得出，求得，得出答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵，，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴的长是． 20. 习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气”．某校为响应我市全民阅读活动，利用节假日面向社会开放学校图书馆．据统计，第一个月进馆人次，进馆人次逐月增加，到第三个月末累计进馆人次，若进馆人次的月平均增长率相同． （1）求进馆人次的月平均增长率； （2）因条件限制，学校图书馆每月接纳能力不超过人次，在进馆人次的月平均增长率不变的条件下，校图书馆能否接纳第四个月的进馆人次，并说明理由． 【答案】（1）进馆人次的月平均增长率为．（2）校图书馆能接纳第四个月的进馆人次． 【解析】 【分析】（1）先分别表示出第二个月和第三个月的进馆人次，再根据第一个月的进馆人次加第二和第三个月的进馆人次等于，列方程求解； （2）根据（1）所计算出的月平均增长率，计算出第四个月的进馆人次，再与比较大小即可． 【详解】（1）设进馆人次的月平均增长率为，则由题意得： 化简得： ， 或（舍） 答：进馆人次的月平均增长率为． （2）∵进馆人次的月平均增长率为， 第四个月的进馆人次为： 答：校图书馆能接纳第四个月的进馆人次． 【点睛】本题属于一元二次方程的应用题，列出方程是解题的关键．本题难度适中，属于中档题． 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 黄金三角形是指底边与腰的长度之比为黄金比的等腰三角形． 如图，在中，，，平分交于点， （1）求证： （2）求的值． 【答案】（1） 证明：∵，， ∴ ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴，即； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质： （1）利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理可计算出，，，则可得到，然后根据相似三角形的判定方法易得，利用相似比得到，于是有； （2）设，，则，由（1）的结论得到，然后解方程得出，进而可得出答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：设，， 则， ∵， ∴， 解得：， ∴． 22. 为积极响应新旧动能转换．提高公司经济效益．某科技公司近期研发出一种新型高科技设备，每台设备成本价为30万元，经过市场调研发现，每台售价为40万元时，年销售量为600台；每台售价为45万元时，年销售量为550台．假定该设备的年销售量y(单位∶台)和销售单价(单位∶万元)成一次函数关系． (1)求年销售量与销售单价的函数关系式； (2)根据相关规定，此设备的销售单价不得高于70万元，如果该公司想获得10000万元的年利润．则该设备的销售单价应是多少万元？ 【答案】（1）；（2）该公可若想获得10000万元的年利润，此设备的销售单价应是50万元． 【解析】 【分析】（1）根据点的坐标，利用待定系数法即可求出年销售量y与销售单价x的函数关系式； （2）设此设备的销售单价为x万元/台，则每台设备的利润为（x﹣30）万元，销售数量为（﹣10x+1000）台，根据总利润=单台利润×销售数量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其小于70的值即可得出结论． 【详解】（1）设年销售量y与销售单价x的函数关系式为y=kx+b（k≠0）， 将（40，600）、（45，550）代入y=kx+b，得：， 解得：， ∴年销售量y与销售单价x的函数关系式为y=﹣10x+1000． （2）设此设备的销售单价为x万元/台，则每台设备的利润为（x﹣30）万元，销售数量为（﹣10x+1000）台， 根据题意得：（x﹣30）（﹣10x+1000）=10000， 整理，得：x2﹣130x+4000=0， 解得：x1=50，x2=80． ∵此设备的销售单价不得高于70万元， ∴x=50． 答：该设备的销售单价应是50万元/台． 【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式以及一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出函数关系式；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程． 六、解答题（本大题共12分） 23. 【特例感知】 （1）①在正方形中，设其边长为，则对角线，和的数量关系有：____________； ②在菱形中，设其边长为，则对角线，和的数量关系有：_____________； ③在矩形中，设，，则对角线，和，的数量关系有：____________； 【规律探究】（2）如图1，在中，设，，猜想对角线，和，的数量关系有：_____________并证明你的结论； 【知识应用】（3）如图2，在四边形中，，，，，，点为的中点，求的长． 【答案】（1）；； （2）； 证明：如图1，分别过点，作，，垂足分别为，， ， 四边形是平行四边形， ，， ， 在和中， ， ∴， ，， 设，，则，， 在中，， 在中，， ， 在中，， ， ； （3） 【解析】 【分析】（1）①由四边形是正方形，得，运用勾股定理求出，，即可得到结果；②由四边形是菱形，得，，，在中，由，得到，即可得到结果；③由四边形是矩形，得，运用勾股定理求出，，即可得到结果； （2）分别过点，作，，垂足分别为，．证明，运用勾股定理求出，，即可解答； （3）连接，延长至点，使，连接，，证明四边形是平行四边形，由（1）得，运用勾股定理求出，，即可解答． 【详解】解：（1）①如图1.1， 四边形是正方形， ，，， ，， ； 故答案为：； ②如图1.2， ∵四边形是菱形， ，，，， ， ， ， ； 故答案为：； ③如图1.3， 四边形是矩形， ，，，， ，， ； 故答案为：； （2）略 （3）如图2，连接，延长至点，使，连接，， ∵点为的中点， ∴， 四边形是平行四边形， ∴由（2）结论可得， ，，， ， ∵，， ， （负值舍去）， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形的性质，菱形的性质，平行四边形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，勾股定理，解题的关键是利用勾股定理证明平方关系． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 临川二中2024-2025学年度上学期期中考试 九年级数学试卷 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1. 下列关于的方程中属于一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列图形只是中心对称图形的是（ ） A. 平行四边形 B. 菱形 C. 矩形 D. 正方形 3. 方程的根是（ ） A. B. C. ， D. ， 4. 如图，中，，，点是的中点，，则的值为（ ） A. B. C. D. 5. 顺次连接对角线相等的四边形的各边中点，所形成的四边形是 A. 平行四边形 B. 菱形 C. 矩形 D. 正方形 6. 如图，在中，，，下列四个结论：①，②，③，④，其中正确的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 在比例尺为1:5000000的地图上，，两地的距离为，则该两地的实际距离为___________． 8. 一个袋子中有3个红球，2个白球，从中摸出一个球，这个球是黄球的概率为___________． 9. 若，且，则与的相似比为___________． 10. 若关于的方程的判别式的值为4，则___________． 11. 若一元二次方程的两根为，，则___________． 12. 如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，四边形是长方形，点A，C的坐标分别为，，点D是的中点，点P在上运动，当是腰长为5的等腰三角形时，点P的坐标为________． 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. （1）解方程：． （2）若且，求的值． 14. 如图，已知和，请写出三种不同类型的能判定的条件． （1）_________________（2）_________________（3）_________________ 15. 如图，为菱形的对角线，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹） （1）如图，过点作的垂线； （2）如图，点为线段的中点，过点作的平行线． 16. 某校一年级开设人数相同的A，B，C三个班级，甲、乙两位学生是该校一年级新生，开学初学校对所有一年级新生进行电脑随机分班． （1）“学生甲分到A班”的概率是______； （2）请用画树状图法或列表法，求甲、乙两位新生分到同一个班的概率． 17. 已知关于的方程， （1）直接写出的两根， （2）求方程的根，并猜测和（且）两根之间的关系（不必证明） 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 关于x的一元二次方程有实数根． （1）求m的取值范围； （2）当时，求m的值． 19. 如图，在等边三角形中，点是边上一动点（点不与端点重合），作，交边于点，交边于点． （1）求证：； （2）若，，，求的长． 20. 习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气”．某校为响应我市全民阅读活动，利用节假日面向社会开放学校图书馆．据统计，第一个月进馆人次，进馆人次逐月增加，到第三个月末累计进馆人次，若进馆人次的月平均增长率相同． （1）求进馆人次的月平均增长率； （2）因条件限制，学校图书馆每月接纳能力不超过人次，在进馆人次的月平均增长率不变的条件下，校图书馆能否接纳第四个月的进馆人次，并说明理由． 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 黄金三角形是指底边与腰的长度之比为黄金比的等腰三角形． 如图，在中，，，平分交于点， （1）求证： （2）求的值． 22. 为积极响应新旧动能转换．提高公司经济效益．某科技公司近期研发出一种新型高科技设备，每台设备成本价为30万元，经过市场调研发现，每台售价为40万元时，年销售量为600台；每台售价为45万元时，年销售量为550台．假定该设备的年销售量y(单位∶台)和销售单价(单位∶万元)成一次函数关系． (1)求年销售量与销售单价的函数关系式； (2)根据相关规定，此设备的销售单价不得高于70万元，如果该公司想获得10000万元的年利润．则该设备的销售单价应是多少万元？ 六、解答题（本大题共12分） 23. 【特例感知】 （1）①在正方形中，设其边长为，则对角线，和的数量关系有：____________； ②在菱形中，设其边长为，则对角线，和的数量关系有：_____________； ③在矩形中，设，，则对角线，和，的数量关系有：____________； 【规律探究】（2）如图1，在中，设，，猜想对角线，和，的数量关系有：_____________并证明你的结论； 【知识应用】（3）如图2，在四边形中，，，，，，点为的中点，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $