专题08 等比数列、数列综合问题（7基础题型+4提升题型）-【好题汇编】备战2024-2025学年高二数学上学期期末真题分类汇编（天津专用）

专题08 等比数列、数列综合问题 利用an与Sn关系求通项或项 1．（23-24高二上·天津河东·期末）已知数列的前项和为，若，则有（    ） A．为等差数列 B．为等比数列 C．为等差数列 D．为等比数列 【答案】B 【知识点】利用an与sn关系求通项或项、由定义判定等比数列、判断等差数列 【分析】AB选项，根据，求出为公比为的等比数列，A错误，B正确；CD选项，再求出，根据等差数列和等比数列的定义得到CD错误. 【详解】AB选项，当得，解得， ①，当时，，② 式子①-②得，故， 所以为，是公比为的等比数列，A错误，B正确； CD选项，由于，故，故不是等差数列， 由于，故不是等比数列，CD错误. 故选：B 2．（23-24高二上·天津·期末2023·天津·高考真题）已知数列的前n项和为，若，则（    ） A．16 B．32 C．54 D．162 【答案】C 【知识点】利用等比数列的通项公式求数列中的项、等比数列通项公式的基本量计算 【分析】由题意确定该数列为等比数列，即可求得的值. 【详解】当时，，所以，即， 当时，， 所以数列是首项为2，公比为3的等比数列， 则. 故选：C. 3．（23-24高二上·天津宁河·期末）数列的前项和为，，则 ；设数列的前项和为，则 . 【答案】 【知识点】写出等比数列的通项公式、由定义判定等比数列、求等比数列前n项和、利用an与sn关系求通项或项 【分析】利用关系及等比数列的定义求通项公式，根据等比数列前n项和公式求. 【详解】由，，即， 又，故是首项、公比都为2的等比数列，则， 所以，故. 故答案为：， 4．（23-24高二上·天津·期末）已知数列的前n项和为，且，则数列的通项公式 ． 【答案】 【知识点】利用an与sn关系求通项或项、由定义判定等比数列、写出等比数列的通项公式 【分析】当时求得；当时，利用可知数列为等比数列，利用等比数列通项公式可求得结果. 【详解】当时，，解得：； 当时，，， 则数列是以为首项，为公比的等比数列，. 故答案为：. 等比数列通项公式的应用 1．（23-24高二上·天津·期末）在等比数列中，，，则的公比为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【知识点】等比数列通项公式的基本量计算 【分析】直接由等比数列基本量的计算即可得解. 【详解】由题意（分别为等比数列的首项，公比）. 故选：B. 2．（23-24高二上·天津·期末）已知数列为等比数列，若，，则的值为（    ） A．8 B． C．16 D．±16 【答案】A 【知识点】等比数列通项公式的基本量计算 【分析】利用等比数列的通项公式即可求解. 【详解】因为为等比数列，设的公比为， 则，， 两式相除可得，所以， 所以， 故选：A. 3．（23-24高二上·天津·期末）已知数列是等比数列，且，，则（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】B 【知识点】等比中项的应用、等比数列的其他性质 【分析】根据等比中项求出，再根据等比数列的奇数项同号即可确定的值. 【详解】设等比数列的公比为， ，， ， ， 又， . 故选：B. 4．（23-24高二上·天津·期末）已知为等比数列，若，，则（    ） A． B．8 C．16 D． 【答案】B 【知识点】利用等比数列的通项公式求数列中的项、等比数列通项公式的基本量计算 【分析】利用等比数列的通项公式即可求解. 【详解】因为为等比数列，设的公比为， 则，， 两式相除可得，所以， 所以， 故选：B. 5．（23-24高二上·天津·期末）已知数列满足，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】构造法求数列通项、由定义判定等比数列、写出等比数列的通项公式 【分析】根据题意分析可知数列是以首项为4，公比为2的等比数列，结合等比数列通项公式运算求解. 【详解】因为，则，且， 可知数列是以首项为4，公比为2的等比数列， 所以，即， 所以. 故选：C. 等比数列求和公式及其应用 1．（23-24高二上·天津·期末2010·辽宁·高考真题）设{an}是由正数组成的等比数列，为其前n项和．已知a2a4＝1，S3＝7，则S5＝（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】等比数列 【分析】由等比数列的性质易得a3＝1，进而由求和公式可得q，再代入求和公式计算可得． 【详解】由题意可得a2a4＝a32＝1，∴a3＝1， 设{an}的公比为q，则q＞0， ∴S31＝7，解得q或q（舍去）， ∴a14，∴S5 故选B. 2．（23-24高二上·天津·期末）数列 ​中，​， 若​， 则​（    ） A．5 B．6 C．7 D．17 【答案】B 【知识点】由定义判定等比数列、求等比数列前n项和 【分析】先令得到，从而得到数列​是等比数列，进而求得，再将化为，由此可得的值. 【详解】依题意，令​，则​，即有​， 故数列​是以2为首项，2为公比的等比数列， 设数列​的前​项和为​，则， 所以， 又因为， 所以，故​. 故选：B​. 3．（23-24高二上·天津·期末）等比数列中，，公比，用表示它的前项之积：，则中最大的是 A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】等比数列的简单应用 【详解】分析：由题意可得an=512•，则|an|=512•，|an|=1，得n=10，∴|Πn|最大值在n=10之时取到，因为n＞10时，|an|＜1，n越大，会使|Πn|越小．所有n为偶数的an为负，故所有n为奇数的an为正，由此能求出最大的是Π9． 详解：∵在等比数列{an}中，a1=512，公比q=﹣，∴an=512•，则|an|=512•． 令|an|=1，得n=10，∴|Πn|最大值在n=10之时取到，因为n＞10时，|an|＜1，n越大，会使|Πn|越小． ∴n为偶数时，an为负，n为奇数时，an为正． ∵Πn=a1a2…an，∴Πn 的最大值要么是Π10，要么是Π9． ∵Π10  中有奇数个小于零的项，即a2，a4，a6，a8，a10，则Π10＜0， 而 Π9 中有偶数个项小于零，即a2，a4，a6，a8，故 Π9 最大， 故答案为：C 4．（23-24高二上·天津·期末）已知数列，其前项的和为，则 . 【答案】 【知识点】求等比数列前n项和、等比数列的定义 【分析】利用等比数列的定义及求和公式运算即可得解. 【详解】解：由题意， ∴，. ∴数列是首项为，公比为的等比数列. ∴前项和，. ∴. 故答案为：. 等比数列的性质及其应用 1．（23-24高二上·天津宁河·期末）在等比数列中，，则（    ） A．2 B．4 C．8 D．16 【答案】B 【知识点】等比数列下标和性质及应用 【分析】根据等比数列的性质即可求出． 【详解】是等比数列，， . 故选：B. 2．（23-24高二上·天津·期末）记等比数列的前项和为，若，，则（    ） A．12 B．18 C．21 D．27 【答案】C 【知识点】等比数列片段和性质及应用 【分析】根据等比数列的性质，可知等比数列的公比,所以成等比数列，根据等比的中项性质即可求出结果. 【详解】因为为等比数列的前项和，且，，易知等比数列的公比, 所以成等比数列 所以，所以，解得. 故选：C. 3．（23-24高二上·天津·期末）已知为等比数列的前项和，，，则（    ） A．3 B． C． D． 【答案】C 【知识点】等比数列前n项和的其他性质、等比数列片段和性质及应用、等比中项的应用 【分析】根据等比数列前n项和的性质，结合等比中项的应用计算即可求解. 【详解】由题意知，为等比数列的前n项和， 则成等比数列， 由等比中项，得， 即，解得或（舍去）. 故选：C 4．（23-24高二上·天津·期末）已知递增等比数列，，，，则（    ） A．8 B．16 C．32 D．64 【答案】D 【知识点】等比数列下标和性质及应用、等比数列通项公式的基本量计算 【分析】根据等比数列的性质、定义、通项公式计算求解即可. 【详解】因为递增等比数列中， 所以， 又， 解得， 所以，解得， 所以， 故选：D 5．（23-24高二上·天津·期末）已知数列的首项，且数列是以为公差的等差数列，则 ． 【答案】 【知识点】等比数列通项公式的基本量计算、等比数列的定义 【分析】分析可知数列是等比数列，确定该数列的首项和公比，即可得出的值. 【详解】因为数列是以为公差的等差数列，则， 所以，，所以，数列是首项为，公比为的等比数列， 因此，. 故答案为：. 6．（23-24高二上·天津·期末）已知，，若a，b，c三个数成等差数列，则b= ，若a，b，c三个数成等比数列，则b= ． 【答案】 5 【知识点】等比中项的应用、等差中项的应用 【分析】由等差中项与等比中项计算即可. 【详解】若a，b，c三个数成等差数列. 所以. 若a，b，c三个数成等比数列. 所以 故答案为：5，. 7．（23-24高二上·天津·期末）已知等比数列的公比，前项和为．证明，，成等比数列，并求这个数列的公比． 【答案】证明见解析； 【知识点】求等比数列前n项和、由定义判定等比数列、等比数列的定义 【分析】利用等比数列求和公式、等比数列的定义运算分析即可得证得解. 【详解】证明：当时，， ， ， 因为， 所以，，成等比数列，公比为1． 当时，， ， ， 所以． 因为为常数，所以，，成等比数列，公比为． 综上知，，，成等比数列，公比为． 等比数列通项公式、求和公式的综合应用 1．（23-24高二上·天津·期末）设正项等比数列的前项和为，若，，则（    ） A．9 B．8 C．7 D．6 【答案】A 【知识点】求等比数列前n项和、写出等比数列的通项公式、等比中项的应用 【分析】先由等比中项求出，再根据等比数列通项公式以及前项和公式计算即可. 【详解】因为是正项等比数列，所以， 则可化为，解得，或(舍） 设等比数列的公比为， 则, 所以， 则. 故选：. 等差数列、等比数列的基本计算 1．（23-24高二上·天津·期末）设为正项等比数列的前项和，，，成等差数列，则的值为（    ） A． B． C．16 D．17 【答案】D 【知识点】求等比数列前n项和、等差中项的应用 【分析】设等比数列的公比为q，q＞0，运用等差数列的中项性质和等比数列的通项公式，解方程可得公比q，再由等比数列的求和公式，计算可得所求值． 【详解】正项等比数列{an}的公比设为q，q＞0，a5，3a3，a4成等差数列， 可得6a3＝a5+a4，即6a1q2＝a1q4+a1q3， 化为q2+q﹣6＝0，解得q＝2（﹣3舍去）， 则1+q4＝1+16＝17． 故选D． 2．（23-24高二上·天津河东·期末）已知等差数列的公差为2，其前项和为，若是与的等比中项，则等于（    ） A．108 B．64 C．49 D．48 【答案】C 【知识点】等比中项的应用、求等差数列前n项和、等差数列通项公式的基本量计算 【分析】根据题意，列出方程求得，结合等差数列的求和公式，即可求解. 【详解】由题意知，等差数列的公差为2， 因为是与的等比中项，可得，即，解得， 所以. 故选：C. 3．（23-24高二上·天津·期末）已知等差数列的前项和为，且，，成公比为的等比数列，则的值为 . 【答案】3 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、等比数列通项公式的基本量计算 【分析】根据等差数列的基本量计算即可求解，即可求解公比. 【详解】，所以，所以， 故， 故答案为：3 4．（23-24高二上·天津·期末）已知数列为等比数列，且，设等差数列的前n项和为，若，则 ． 【答案】 【知识点】求等差数列前n项和、等比数列下标和性质及应用 【分析】根据等比数列的性质可得，然后结合等差数列的前项和公式，即可得到结果. 【详解】因为数列为等比数列，且， 所以，解得或（舍） 即，又因为数列为等差数列， 则. 故答案为:. 5．（23-24高二上·天津·期末）在数列中，，，若数列为等差数列，则 . 【答案】 【知识点】求等比数列前n项和、利用定义求等差数列通项公式 【分析】 设，根据，求出和，得到的通项公式，进而得到的通项公式，最后利用等比数列求和公式求和即可. 【详解】设，则为等差数列，设的公差为， ，，，， 则，，， 则，， ， . 故答案为：. 6．（23-24高二上·天津滨海新·期末）已知公差不为0的等差数列中，，且，，成等比数列，则当 时，取最大值，的最大值为 ． 【答案】 5或6 30 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、二次函数法求等差数列前n项和的最值 【分析】设数列的公差为，结合等比数列的定义列出方程，求出，再由的性质即可得到结果. 【详解】设数列的公差为，因为，，成等比数列，所以 即，又，所以， ， 因为，图象开口向下，对称轴为 所以当或时，取最大值，的最大值为30. 故答案为：5或6；30. 数列、解析几何综合问题 1．（23-24高二上·天津和平·期末）设数列、的前n项和分别为、，若，，，则下列4个结论中，正确结论的个数是 个． ①； ②； ③无论实数m取何值，直线恒过定点； ④椭圆的两个焦点分别为点、，点P为椭圆上的任意一点，则的周长与的值相同． 【答案】3 【知识点】利用an与sn关系求通项或项、椭圆中焦点三角形的周长问题、直线过定点问题、求等比数列前n项和 【分析】当，两式作差得数列为等比数列，进而确定数列的通项公式，再利用直线过定点及椭圆定义逐个判断即可得答案. 【详解】因为，当，两式作差得，所以① 又，令，所以，，故 满足①，故是以为首项为公比的等比数列，， 又，所以， 易得 对①，，故①正确 对②，，故②正确 对③，，即，则解得，故直线过定点，即定点，故③正确 对④，易知椭圆， 且其长半轴长为，半焦距为 ， 所以的周长为，故④错误. 综上，正确结论为①②③ 故答案为： 分段数列求和等综合问题 1．（23-24高二上·天津和平·期末）设数列满足，，，令，则数列的前100项和为 ． 【答案】 【知识点】由递推关系式求通项公式、利用定义求等差数列通项公式、写出等比数列的通项公式、分组（并项）法求和 【分析】根据给定的递推公式，求出数列的通项公式，进而求出，再利用分组求和法求解即得. 【详解】数列满足，，， 数列是以1为首项，1为公差的等差数列，即， 数列是以2为首项，2为公比的等比数列，即， 因此，显然的周期为4， 则 ， 令，则有， ，数列是等差数列， 数列的前100项和，即数列的前25项和. 故答案为：. 2．（23-24高二上·天津·期末）在数列中，，. (1)求，； (2)记. （i）证明数列是等差数列，并求数列的通项公式； （ii）对任意的正整数，设，求数列的前项和. 【答案】(1)， (2)（i）证明见解析；. （ii）. 【知识点】由递推关系证明数列是等差数列、求等差数列前n项和、求等比数列前n项和、错位相减法求和 【分析】（1）由递推公式即可得到，； （2）对于（i），利用已知条件和等差数列的概念即可证明； 对于（ii），先写出，再利用错位相减法求得奇数项的前项和，利用等差数列的前项和公式求得偶数项的前项和，进而相加可得. 【详解】（1）由，，得， 所以，， 即，. （2）（i）证明：由和得， ， 所以是，公差为的等差数列； 因为，所以， 即. （ii）由（i）得， 当为奇数，即时，， 设前项中奇数项和为，前项中偶数项和为 所以①， ②， 由①②得： ， ， ， 即，则； 当为偶数，即时，， 所以. 综上所述，. 3．（23-24高二上·天津西青·期末）已知数列为等差数列，数列为公比大于0的等比数列，且，，. (1)求数列和的通项公式； (2)设，求数列的前12项和. 【答案】(1)，； (2). 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、等比数列通项公式的基本量计算、求等比数列前n项和、裂项相消法求和 【分析】（1）根据等比、等差数列通项公式求基本量，进而写出通项公式； （2）应用分组求和，结合裂项相消法、等比数列前n项和公式求. 【详解】（1）令公比为且，则，整理， 所以，故， 又，令的公差为，则， 所以，可得，故. （2）由， 所以 . 4．（23-24高二上·天津河东·期末）已知数列为递增等差数列，数列为等比数列，且，，， (1)求数列与的通项公式： (2)对任意的正整数，设，求数列的前项和； (3)求证. 【答案】(1)， (2) (3)证明见解析. 【知识点】裂项相消法求和、错位相减法求和、等比数列通项公式的基本量计算、等差数列通项公式的基本量计算 【分析】（1）根据已知条件求得的公差及的公比，从而求得与的通项公式； （2）利用裂项相消法和错位相减法进行计算即可； （3）利用，结合裂项相消法即可得证. 【详解】（1）设数列的公差为d，且，数列的公比为q. 因为，，所以，则 ，解得 所以的通项公式为，的通项公式为. （2）n为奇数时，记， 则 所以记 n为偶数时，记，则， 记， 故 所以 故的前项和为. （3）证明：， 所以 等差、等比数列及数列求和综合问题 5．（23-24高二上·天津·期末）记为等差数列的前项和，已知，. (1)求的通项公式； (2)若是等比数列，且，，求的前n项和. 【答案】(1) (2) 【知识点】利用定义求等差数列通项公式、等差数列前n项和的基本量计算、等比数列通项公式的基本量计算、求等比数列前n项和 【分析】（1）由已知条件求出数列首项与公差，可求的通项公式； （2）由可得的首项与公比，可求前n项和. 【详解】（1）设等差数列公差为，，， 解得，所以； （2）设等比数列公比为，，， 得，解得， 所以. 6．（23-24高二上·天津·期末）已知数列， (1)令，求证：数列是等比数列； (2)若，求数列的前项和. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】写出等比数列的通项公式、由递推关系证明等比数列、错位相减法求和 【分析】（1）证明根据递推公式证明为定值即可； （2）利用错位相减法求解即可. 【详解】（1）因为， 所以，即， 又， 所以数列是公比为，首项为的等比数列； （2）由（1）得，则， 则， ， 两式相减得， 所以. 7．（23-24高二上·天津宁河·期末）已知数列是等差数列，满足，，数列是首项为1的等比数列，且，，成等差数列. (1)求，的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 【答案】(1)，； (2). 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、等比数列通项公式的基本量计算、求等比数列前n项和、分组（并项）法求和 【分析】（1）由等差数列的性质得，结合已知及通项公式求公差，即可得通项公式，根据等差中项性质有，结合等比数列通项公式求公比，即可得通项公式； （2）应用分组求和，结合等差、等比数列前n项和公式求. 【详解】（1）由题设， 若数列的公差为，则， 所以， 由，，成等差数列，故， 若数列的公比为，则， 所以. （2）由（1）可知， 所以 . 8．（23-24高二上·天津宁河·期末）已知数列满足：，. (1)求证：数列为等差数列； (2)设，求数列的前项和； (3)设，求数列的前项和. 【答案】(1)证明见解析； (2)； (3). 【知识点】由递推关系证明数列是等差数列、求等比数列前n项和、错位相减法求和、裂项相消法求和 【分析】（1）由题设可得，结合等差数列定义即可证结论； （2）由题设，应用裂项相消法求和； （3）由题设，应用错位相减法及等比数列前n项和公式求和. 【详解】（1）由题设，又， 所以数列是首项为1，公差为3的等差数列. （2）由（1）可得，故， 所以， 则. （3）由（2）得，则， 所以， 两式作差得，即， 所以. 9．（23-24高二上·天津和平·期末）已知数列满足，数列的首项为2，且满足 (1)求和的通项公式 (2)设 ，求数列的前n项和 【答案】(1)， (2) 【知识点】错位相减法求和、累乘法求数列通项、利用an与sn关系求通项或项 【分析】 （1）根据即可求出的通项，利用累乘法即可求出的通项； （2）利用错位相减法求解即可. 【详解】（1）由①， 当时，， 当时，②， 由①②得， 所以， 当时，上式也成立， 所以， 因为，所以， 当时，， 当时，上式也成立， 所以； （2）， 则， ， 两式相减得 ， 所以. 10．（23-24高二上·天津河北·期末）已知数列是公比大于0的等比数列，数列是等差数列，且，. (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和； (3)设，求数列的前项和. 【答案】(1)， (2) (3) 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、等比数列通项公式的基本量计算、求等比数列前n项和、错位相减法求和 【分析】（1）根据等差数列、等比数列的通项公式列出方程求解即可； （2）由等差数列及等比数列的求和公式求解； （3）根据错位相减法求和即可. 【详解】（1）设等比数列的公比为，等差数列的公差为， 由，得， 即，解得或（舍）， 故； 由，得，解得， 故； 综上，的通项公式为的通项公式为. （2）由（1）可得. 所以，数列的前项和. （3）由（1）可得， 则①② ①-②，得， 所以，. 11．（23-24高二上·天津和平·期末）已知数列为等差数列，数列为公比大于0的等比数列，满足，，． (1)求数列，的通项公式； (2)令，求数列的前n项和． 【答案】(1)， (2) 【知识点】错位相减法求和、求等比数列前n项和、写出等比数列的通项公式、利用定义求等差数列通项公式 【分析】（1）根据题意分别利用等差等比数列知识分别求出通项公式，从而求解. （2）由(1)知，然后利用错位相减法求和，从而求解. 【详解】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为， 因为，有，，故． 由，，有，则，故． 所以数列的通项公式为；数列的通项公式为. （2）由（1）知， 所以① ② 由①－②得， 得， 所以． 故数列的前项和为. 12．（23-24高二上·天津·期末）已知为数列的前项和，且（），. (1)求数列与的通项公式； (2)求数列的前项和； (3)设数列的前项和为，求数列的前项和. 【答案】(1)， (2) (3) 【知识点】错位相减法求和、裂项相消法求和、利用an与sn关系求通项或项 【分析】（1）根据前n项和与项的关系求出的通项公式，再由对数运算求出； （2）根据错位相减法求和； （3）根据裂项相消法求求和. 【详解】（1）当时，，所以， 当时，由可得， 两式相减可得：，即， 所以数列是以3为首项，3为公比的等比数列， 所以， 所以. （2）因为， 所以， ， 两式相减得， ， 所以. （3）因为数列的前项和为，所以， 所以， 则 . 13．（23-24高二上·天津·期末）设数列是公差不为零的等差数列，满足，.数列的前和为，且满足. (1)求数列和的通项公式； (2)求值； (3)在和之间插入1个数，使，，成等差数列；在和之间插入2个数，，使，，，成等差数列；；在和之间插入个数，，…，，使，，，…，，成等差数列. 求. 【答案】(1)； (2) (3) 【知识点】利用an与sn关系求通项或项、裂项相消法求和、错位相减法求和、等比数列通项公式的基本量计算 【分析】（1）设的公差为，根据题意列式求出和即可求出；根据可求出； （2）将变形为，再利用裂项相消法求和； （3）根据等差中项的性质得到，再根据错位相减法可求出. 【详解】（1）设的公差为，， 则，解得， 所以； 由得，得， ，所以， 所以，即， 所以. 综上，，； （2）， ， ； （3）依题意得，，， ，，， 所以 令， 则， 所以， 所以， 所以， 所以， . 【点睛】关键点点睛：本题第二问和第三问有难度，第二问需要先对通项公式进行裂项，再利用裂项相消法求和；第三问关键是根据等差数列的性质，转化为等差数列乘以等比数列的形式，求和使用的方法是错位相减法. 数列求和与不等式恒成立问题 14．（23-24高二上·天津滨海新·期末）已知等差数列的前n项和为，公差，且，，，成等比数列． (1)求数列的通项公式； (2)设是首项为1，公比为3的等比数列， （ⅰ）求数列的前n项和； （ⅱ）若不等式对一切恒成立，求实数的最大值． 【答案】(1)， (2)（i），，（ii） 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、求等差数列前n项和、等比数列通项公式的基本量计算、错位相减法求和 【分析】（1）根据等差数列通项公式与前n项和公式，结合等比中项进行求解； （2）（i）先计算的通项公式，再用错位相减法求解；（ii）代入，，得到对一切恒成立，构造函数，再求的最小值，即可求得结果. 【详解】（1）依题意得，且，解得， ，. （2）（i）由题意得，， 所以， 则， 两式相减，得 ， ，. （ii）由（1）可得， 不等式对一切恒成立， 即，则对一切恒成立， 令，，即， 又， 当时，，即， 当时，，即， 所以且，则， 所以. 实数的最大值为. 【点睛】关键点睛：不等式对一切恒成立，即转化为对一切恒成立，令，问题转化为. 15．（23-24高二上·天津·期末）已知是等差数列，是递增的等比数列.，，. (1)求数列和的通项公式及； (2)若数列满足，， （ⅰ）求证：为等比数列； （ⅱ）设，对，都有恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)，， (2)（ⅰ）证明见解析（ⅱ） 【知识点】确定数列中的最大（小）项、等差数列通项公式的基本量计算、等比数列通项公式的基本量计算、求等比数列前n项和 【分析】（1）根据等差数列、等比数列的通项公式列出方程求解公差、公比即可得解通项公式，再由等差数列求和公式求； （2）（ⅰ）根据条件及，利用等比数列的定义证明为等比数列； （ⅱ）求出，再由等比数列的求和公式化简得出，分奇数、偶数求出数列的最大值即可得解. 【详解】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为， 则，解得或（由等比数列递增知不符合题意，舍去）， 所以， 所以，. . （2）（ⅰ）因为，， 所以， 即，又 所以是以为首项，公比为的等比数列. （ⅱ）由（ⅰ）知，所以， 故， 所以， 当时，单调递减，所以时有最大值， 当时，单调递增，且， 因为，所以，即的最大值. 因为恒成立，所以. 【点睛】关键点点睛：本题的关键点之一，利用等比数列的求和公式求和的运算得出， 关键点之二，利用分类讨论的思想，分别求出数列中的偶数项、奇数项的最值得出的最大值. 16．（23-24高二上·天津·期末）已知数列中，，（）. (1)求数列的通项； (2)求数列的前n项和； (3)若对于，使得恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】根据数列的单调性求参数、利用an与sn关系求通项或项、错位相减法求和 【分析】（1）根据条件得到，从而得出数列从第二项起，是以为首项，以为公比的等比数列，即可求出结果； （2）根据（1）中结果，得出时，，再利用错位相减法，即可求出时，，进而可求出结果； （3）将问题转化成，当时，，当时，通过构造，利用数列的单调性，得出，进而可求出结果. 【详解】（1）因为①， 当时，②， 由①②得，整理得到， 又由，当时，得到，即， 故数列从第二项起，是以为首项，以为公比的等比数列， 所以，即，又时，， 所以. （2）由（1）知，当时，， 当时，③， ④， 由③④得到， 整理得，又时，， 所以. （3）因为，等价于，当时，， 由（1）知，当时，， 设，则对恒成立， 所以，故当时，，又， 所以. 等差、等比数列、数列求和存在性问题 17．（23-24高二上·天津·期末）已知数列是首项为1的等差数列，数列是公比不为1的等比数列，且满足，， （1）求数列，的通项公式； （2）令，记数列的前n项和为，求证：对任意的，都有； （3）若数列满足，，记，是否存在整数，使得对任意的 都有成立？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 【答案】（1），；（2）证明见解析；（3）存在整数，使得对任意的都有成立，理由见解析. 【知识点】裂项相消法求和、数列求和的其他方法、数列不等式恒成立问题 【分析】（1）利用等差等比数列的基本量表示已知条件，解方程组得到基本量，利用等差等比数列的通项公式得到答案； （2）根据（1）的结论得到数列的通项公式，利用指数的运算裂项，相消求和后得到的表达式，判定单调性，然后利用不等式的基本性质即可证明； （3）假设存在满足要求的整数，取得到的范围，进而求得的值为，然后证明当时，对任意的，都有成立．为此先要根据，利用等比数列的求和公式，求得，结合，求得，然后利用作差法证明即可. 【详解】（1）设等差数列的公差为d，等比数列的公比为， 则，所以， 因为，所以． 所以，解得 所以，． （2）因为 所以 又因为对任意的，都有单调递增， 即， 所以对任意的，都有成立； （3）假设存在满足要求的整数， 令，则，解得； 令，则，解得； 令，则，解得； 所以， 又已知，故若存在，则． 下证：当时，对任意的，都有成立． ； ； 即 又； 所以 则 而对任意的，单调递增， 所以 即对任意的都有成立，得证. 所以，存在整数，使得对任意的都有成立． 【点睛】本题考查等差比数列得综合问题，涉及等差等比数列的通项公式，求和公式，裂项求和法，存在性问题和探索性方法，考查不等式的证明，属难题. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！12 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题08 等比数列、数列综合问题 利用an与Sn关系求通项或项 1．（23-24高二上·天津河东·期末）已知数列的前项和为，若，则有（    ） A．为等差数列 B．为等比数列 C．为等差数列 D．为等比数列 2．（23-24高二上·天津·期末2023·天津·高考真题）已知数列的前n项和为，若，则（    ） A．16 B．32 C．54 D．162 3．（23-24高二上·天津宁河·期末）数列的前项和为，，则 ；设数列的前项和为，则 . 4．（23-24高二上·天津·期末）已知数列的前n项和为，且，则数列的通项公式 ． 等比数列通项公式的应用 1．（23-24高二上·天津·期末）在等比数列中，，，则的公比为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（23-24高二上·天津·期末）已知数列为等比数列，若，，则的值为（    ） A．8 B． C．16 D．±16 3．（23-24高二上·天津·期末）已知数列是等比数列，且，，则（    ） A． B． C．或 D．或 4．（23-24高二上·天津·期末）已知为等比数列，若，，则（    ） A． B．8 C．16 D． 5．（23-24高二上·天津·期末）已知数列满足，，则（    ） A． B． C． D． 等比数列求和公式及其应用 1．（23-24高二上·天津·期末2010·辽宁·高考真题）设{an}是由正数组成的等比数列，为其前n项和．已知a2a4＝1，S3＝7，则S5＝（ ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·天津·期末）数列 ​中，​， 若​， 则​（    ） A．5 B．6 C．7 D．17 3．（23-24高二上·天津·期末）等比数列中，，公比，用表示它的前项之积：，则中最大的是 A． B． C． D． 4．（23-24高二上·天津·期末）已知数列，其前项的和为，则 . 等比数列的性质及其应用 1．（23-24高二上·天津宁河·期末）在等比数列中，，则（    ） A．2 B．4 C．8 D．16 2．（23-24高二上·天津·期末）记等比数列的前项和为，若，，则（    ） A．12 B．18 C．21 D．27 3．（23-24高二上·天津·期末）已知为等比数列的前项和，，，则（    ） A．3 B． C． D． 4．（23-24高二上·天津·期末）已知递增等比数列，，，，则（    ） A．8 B．16 C．32 D．64 5．（23-24高二上·天津·期末）已知数列的首项，且数列是以为公差的等差数列，则 ． 6．（23-24高二上·天津·期末）已知，，若a，b，c三个数成等差数列，则b= ，若a，b，c三个数成等比数列，则b= ． 7．（23-24高二上·天津·期末）已知等比数列的公比，前项和为．证明，，成等比数列，并求这个数列的公比． 等比数列通项公式、求和公式的综合应用 1．（23-24高二上·天津·期末）设正项等比数列的前项和为，若，，则（    ） A．9 B．8 C．7 D．6 等差数列、等比数列的基本计算 1．（23-24高二上·天津·期末）设为正项等比数列的前项和，，，成等差数列，则的值为（    ） A． B． C．16 D．17 2．（23-24高二上·天津河东·期末）已知等差数列的公差为2，其前项和为，若是与的等比中项，则等于（    ） A．108 B．64 C．49 D．48 3．（23-24高二上·天津·期末）已知等差数列的前项和为，且，，成公比为的等比数列，则的值为 . 4．（23-24高二上·天津·期末）已知数列为等比数列，且，设等差数列的前n项和为，若，则 ． 5．（23-24高二上·天津·期末）在数列中，，，若数列为等差数列，则 . 6．（23-24高二上·天津滨海新·期末）已知公差不为0的等差数列中，，且，，成等比数列，则当 时，取最大值，的最大值为 ． 数列、解析几何综合问题 1．（23-24高二上·天津和平·期末）设数列、的前n项和分别为、，若，，，则下列4个结论中，正确结论的个数是 个． ①； ②； ③无论实数m取何值，直线恒过定点； ④椭圆的两个焦点分别为点、，点P为椭圆上的任意一点，则的周长与的值相同． 分段数列求和等综合问题 1．（23-24高二上·天津和平·期末）设数列满足，，，令，则数列的前100项和为 ． 2．（23-24高二上·天津·期末）在数列中，，. (1)求，； (2)记. （i）证明数列是等差数列，并求数列的通项公式； （ii）对任意的正整数，设，求数列的前项和. 3．（23-24高二上·天津西青·期末）已知数列为等差数列，数列为公比大于0的等比数列，且，，. (1)求数列和的通项公式； (2)设，求数列的前12项和. 4．（23-24高二上·天津河东·期末）已知数列为递增等差数列，数列为等比数列，且，，， (1)求数列与的通项公式： (2)对任意的正整数，设，求数列的前项和； (3)求证. 等差、等比数列及数列求和综合问题 5．（23-24高二上·天津·期末）记为等差数列的前项和，已知，. (1)求的通项公式； (2)若是等比数列，且，，求的前n项和. 6．（23-24高二上·天津·期末）已知数列， (1)令，求证：数列是等比数列； (2)若，求数列的前项和. 7．（23-24高二上·天津宁河·期末）已知数列是等差数列，满足，，数列是首项为1的等比数列，且，，成等差数列. (1)求，的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 8．（23-24高二上·天津宁河·期末）已知数列满足：，. (1)求证：数列为等差数列； (2)设，求数列的前项和； (3)设，求数列的前项和. 9．（23-24高二上·天津和平·期末）已知数列满足，数列的首项为2，且满足 (1)求和的通项公式 (2)设 ，求数列的前n项和 10．（23-24高二上·天津河北·期末）已知数列是公比大于0的等比数列，数列是等差数列，且，. (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和； (3)设，求数列的前项和. 11．（23-24高二上·天津和平·期末）已知数列为等差数列，数列为公比大于0的等比数列，满足，，． (1)求数列，的通项公式； (2)令，求数列的前n项和． 12．（23-24高二上·天津·期末）已知为数列的前项和，且（），. (1)求数列与的通项公式； (2)求数列的前项和； (3)设数列的前项和为，求数列的前项和. 13．（23-24高二上·天津·期末）设数列是公差不为零的等差数列，满足，.数列的前和为，且满足. (1)求数列和的通项公式； (2)求值； (3)在和之间插入1个数，使，，成等差数列；在和之间插入2个数，，使，，，成等差数列；；在和之间插入个数，，…，，使，，，…，，成等差数列. 求. 数列求和与不等式恒成立问题 14．（23-24高二上·天津滨海新·期末）已知等差数列的前n项和为，公差，且，，，成等比数列． (1)求数列的通项公式； (2)设是首项为1，公比为3的等比数列， （ⅰ）求数列的前n项和； （ⅱ）若不等式对一切恒成立，求实数的最大值． 15．（23-24高二上·天津·期末）已知是等差数列，是递增的等比数列.，，. (1)求数列和的通项公式及； (2)若数列满足，， （ⅰ）求证：为等比数列； （ⅱ）设，对，都有恒成立，求实数的取值范围. 16．（23-24高二上·天津·期末）已知数列中，，（）. (1)求数列的通项； (2)求数列的前n项和； (3)若对于，使得恒成立，求实数的取值范围. 等差、等比数列、数列求和存在性问题 17．（23-24高二上·天津·期末）已知数列是首项为1的等差数列，数列是公比不为1的等比数列，且满足，， （1）求数列，的通项公式； （2）令，记数列的前n项和为，求证：对任意的，都有； （3）若数列满足，，记，是否存在整数，使得对任意的 都有成立？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！12 学科网（北京）股份有限公司 $$