专题07 数列、等差数列（7基础题型+3提升题型）-【好题汇编】备战2024-2025学年高二数学上学期期末真题分类汇编（天津专用）

专题07 数列、等差数列 数列的增减性及应用 1．（23-24高二上·天津·期末）下列通项公式中，对应数列是递增数列的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】判断数列的增减性 【分析】根据数列单调性作差比较与的大小即可判断. 【详解】解：根据题意，依次分析选项： 对于A，，有，是递减数列，不符合题意， 对于B，，有，是递减数列，不符合题意， 对于C，，则，，不是递增数列，不符合题意， 对于D，，有，由于，则恒成立，是递增数列，符合题意. 故选：D． 2.（23-24高二上·天津·期末）已知函数，记（），若是递减数列，则实数的取值范围是 【答案】 【知识点】根据分段函数的单调性求参数、判断数列的增减性 【分析】要使函数在时单调递减，则，解得t，要使函数单调递减，则必须满足，解得t，又函数在时单调递减，则，解得t，联立解得即可． 【详解】由题得在单调递减，则有，解得，同理在单调递减，则有，又函数在时单调递减，则有，解得，故. 【点睛】本题考查利用函数单调性求分段函数中的参数范围，需要注意分段点也要满足题意． 数列递推公式的应用 1．（23-24高二上·天津·期末）已知数列满足，，则（    ）． A． B． C．3 D． 【答案】C 【知识点】根据数列递推公式写出数列的项 【分析】根据递推关系直接求解即可. 【详解】解：因为，， 所以，，，． 故选：C 2．（23-24高二上·天津·期末）已知数列满足，，则（    ） A．3 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【知识点】根据数列递推公式写出数列的项 【分析】直接把和代入递推关系式求解即可． 【详解】解：数列满足，， ， ， 故选：C． 3．（23-24高二上·天津河北·期末）数列满足，且，则的值为（    ） A．2 B．1 C． D． 【答案】C 【知识点】根据数列递推公式写出数列的项、数列周期性的应用 【分析】根据数列的递推关系式，求得数列的周期性，结合周期性得到，即可求解. 【详解】因为数列满足，且， 可得， 可得数列是以三项为周期的周期数列， 所以. 故选：C. 4．（23-24高二上·天津·期末）已知数列满足，，则数列的前9项和为（ ） A．35 B．48 C．50 D．51 【答案】A 【知识点】根据数列递推公式写出数列的项 【分析】直接利用数列的递推关系式求出数列的各项，进一步求出数列的和． 【详解】解：数列满足，，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时．， 所以． 故选：A． 5．（23-24高二上·天津宁河·期末）已知数列满足，，，则 . 【答案】2 【知识点】根据数列递推公式写出数列的项 【分析】由递推式写出项即可. 【详解】由题设，，，，. 故答案为：2 6．（23-24高二上·天津·期末）已知数列满足，且，则 ． 【答案】 【知识点】累加法求数列通项 【分析】利用累乘法即可得解. 【详解】因为，， 所以， 则，故， 当时，满足上式，故. 故答案为：. 利用an与Sn关系求通项或项 1．（23-24高二上·天津宁河·期末）若数列的前项和，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】利用an与sn关系求通项或项 【分析】利用关系求通项公式. 【详解】当，则， 而，显然不满足上式，所以. 故选：D 2.（23-24高二上·天津西青·期末）数列的前n项和为，则 . 【答案】 【知识点】利用an与sn关系求通项或项 【分析】由及递推关系求结果. 【详解】. 故答案为： 等差数列通项公式及其应用 1．（23-24高二上·天津·期末）已知数列满足，则（    ） A．2023 B．2024 C．2027 D．4046 【答案】C 【知识点】利用等差数列通项公式求数列中的项、由递推关系证明数列是等差数列 【分析】由可得，进而可得，则有数列的偶数项是以为公差的等差数列，再根据等差数列的通项即可得解. 【详解】由①，得， ②， 由②①得， 所以数列的偶数项是以为公差的等差数列， 则， 所以. 故选：C. 2．（23-24高二上·天津·期末）《九章算术》中的“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积是（    ） A．升 B．升 C．升 D．升 【答案】A 【知识点】利用等差数列通项公式求数列中的项、数列、等差数列通项公式的基本量计算 【分析】设此等差数列为，利用方程思想求出和，再利用通项公式进行求解． 【详解】根据题意得该竹子自上而下各节的容积形成等差数列， 设其首项为，公差为， 由题意可得， 所以，解得， 所以， 即第5节竹子的容积为升． 故选：A． 3.（23-24高二上·天津·期末）在数列中，，且，则 . 【答案】 【知识点】由递推关系式求通项公式、由递推关系证明数列是等差数列 【分析】根据等差数列的定义可证明为等差数列，即可求解. 【详解】由得， 所以为等差数列，且公差为1，首项为3， 故，进而， 故答案为: 等差数列求和公式及其应用 1．（23-24高二上·天津西青·期末）在中国农历中，一年有24个节气，北京2022年冬奥会开幕式上“二十四节气”的倒计时让全世界领略了中华智慧.从冬至日起，依次有小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种，这些节气的日影长依次成等差数列，小寒、雨水、清明日影长之和为31.5尺，则前九个节气日影长之和为（    ） A．94.5尺 B．93.5尺 C．92.5尺 D．91.5尺 【答案】A 【知识点】等差中项的应用、求等差数列前n项和 【分析】设小寒日影长为，有，应用等差中项、等差数列前n项和公式求结果. 【详解】设小寒日影长为，则，可得尺， 所以尺. 故选：A 2．（23-24高二上·天津·期末）已知数列是等差数列，是其前n项和，，则（    ） A．160 B．253 C．180 D．190 【答案】B 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、求等差数列前n项和 【分析】根据条件，求出等差数列的首项，再利用等差数列的前项和公式即可求出结果. 【详解】设数列的首项为，公差为， 因为，所以，解得， 所以， 故选：B. 3.（23-24高二上·天津·期末）我国古代名著《九章算术》中有这样一段话：“今有金锤，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤．”意思是：“现有一根金锤，长5尺，头部1尺，重4斤，尾部1尺，重2斤”，若该金锤从头到尾，每一尺的重量构成等差数列，该金锤共重多少斤？ A．6斤 B．7斤 C．9斤 D．15斤 【答案】D 【知识点】等差数列的简单应用、求等差数列前n项和 【分析】直接利用等差数列的求和公式求解即可. 【详解】因为每一尺的重量构成等差数列，，， ， 数列的前5项和为． 即金锤共重15斤， 故选D． 5．（23-24高二上·天津·期末）已知等差数列，的前项和分别为，，若，则 . 【答案】 【知识点】求等差数列前n项和、等差中项的应用 【分析】由已知关系，结合等差数列前n项和公式、等差中项性质即可求结果. 【详解】由，即. 故答案为： 6．（23-24高二上·天津·期末）设为等差数列的前项和，且，，则 . 【答案】39 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、利用等差数列的性质计算、等差数列前n项和的基本量计算、等差数列片段和的性质及应用 【分析】由题意成等差数列，结合，即可求解. 【详解】由题意为等差数列的前项和，且，， 所以， 而成等差数列， 所以. 故答案为：39. 7.（23-24高二上·天津·期末）我国古代数学名著《九章算术》中有如下“竹九节”问题，现有一根节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，且上面节的容积共，下面节的容积共，则第节的容积为 ，节竹总容积为 . 【答案】 【知识点】数列、求等差数列前n项和、求等差中项 【分析】设第节的容积为，根据等差数列的性质可求得的值，利用等差数列的求和公式可求得节竹总容积. 【详解】设第节的容积为，则数列为等差数列， 由已知可得，，所以，，， 所以，， 节竹总容积为. 故答案为：；. 数列求和 1．（23-24高二上·天津·期末）已知的前n项和，则的值为（    ） A．65 B．67 C．61 D．56 【答案】B 【知识点】利用an与sn关系求通项或项、求等差数列前n项和 【分析】由题意结合的关系得到的通项公式，再通过分组求和等差数列求和公式即可得解. 【详解】由题意，当时，， 所以. 故选：B. 2．（23-24高二上·天津·期末）设数列满足，则数列的前10项和为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】由递推关系式求通项公式、裂项相消法求和、利用an与sn关系求通项或项 【分析】由题得，进而有，由裂项相消法求和即可. 【详解】由题意，则， 两式相减得，所以， 又， 所以，， 所以数列的前10项和为. 故选：C. 3.（23-24高二上·天津·期末）对于实数，表示不超过的最大整数.已知数列的通项公式，前项和为，则（    ）. A．65 B．67 C．74 D．82 【答案】C 【知识点】裂项相消法求和 【分析】由，利用裂项相消法求得，再由的定义求解. 【详解】由题知，， 所以， ， ， 当时，，； 当时，，； 当时，，； 当时，，； 当时，，； 所以. 故选：C. 4.（23-24高二上·天津滨海新·期末）如图甲是第七届国际数学家大会（简称ICME-7）的会徽图案，会徽的主题图案是由图乙的一连串直角三角形演化而成的．，，，…为直角顶点，设这些直角三角形的周长从小到大组成的数列为， ；令，为数列的前n项和，则 ． 【答案】 12 【知识点】根据规律填写数列中的某项、由递推数列研究数列的有关性质、裂项相消法求和 【分析】由题意可得的边长，进而可得周长及，进而可得，即可得出答案． 【详解】由题意得， 则，，，， ， ， 前项和， 故， 故答案为：，12 5.（23-24高二上·天津·期末）若数列的通项公式，则数列的前2023项的和＝ . 【答案】 【知识点】求等差数列前n项和、分组（并项）法求和 【分析】由题意用分组求和法即可得解. 【详解】由题意， 所以数列的前2023项的和为. 故答案为：. 等差数列前n项和的最值 1．（23-24高二上·天津宁河·期末）已知等差数列的前项和为，若，公差，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】利用定义求等差数列通项公式、等差数列的单调性、求等差数列前n项和、求等差数列前n项和的最值 【分析】根据题设写出等差数列通项公式得，利用单调性得时，时，即有时最小，进而求最小值. 【详解】由题设，令，可得， 又，故时，时， 所以时最小，即最小为. 故选：C 2．（23-24高二上·天津和平·期末）若是等差数列，表示的前n项和，，则中最小的项是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】等差数列前n项和的基本量计算、利用等差数列的性质计算、求等差数列前n项和的最值 【分析】根据等差数列的前n项和公式可得，再结合等差数列的性质判断处的符号，即可得出答案. 【详解】因为， 所以， 因为，所以， 所以公差， 故当时，，当时，， 所以当时，取得最小值， 即中最小的项是. 故选：B. 3.（23-24高二上·天津·期末）等差数列｛an｝中，Sn是它的前n项之和，且S6＜S7，S7＞S8，则①此数列的公差d＜0；②S9一定小于S6；③a7是各项中最大的一项；④S7一定是Sn中的最大值．其中正确的是 （填入你认为正确的所有序号） 【答案】①②④ 【知识点】利用等差数列的性质计算、等差数列的简单应用 【详解】考点：等差数列的性质． 分析：由已知可得a7＞0，a8＜0；①d=a8-a7＜0，②S9-S6=a7+a8+a9=3a8＜0，③由于d＜0，所以a1最大，④结合d＜0，a7＞0，a8＜0，可得S7最大；可得答案． 解答：解：由s6＜s7，S7＞S8可得S7-S6=a7＞0，S8-S7=a8＜0 所以a8-a7=d＜0①正确 ②S9-S6=a7+a8+a9=3a8＜0，所以②正确 ③由于d＜0，所以a1最大③错误 ④由于a7＞0，a8＜0，s7最大，所以④正确 故答案为①②④ 数列求和与函数不等式恒成立问题 1．（23-24高二上·天津·期末）已知数列的前项和，设为数列的前项和.若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】由Sn求通项公式、裂项相消法求和、函数不等式恒成立问题 【分析】根据的关系求出数列的通项公式，再根据裂项相消法求得，从而根据不等式恒成立求实数的取值范围. 【详解】当时，， 当时满足上式， 所以， 所以， 所以 所以， 由可得， 即恒成立， 因为对勾函数在单调递增， 所以当时有最小值为64， 所以， 故选:A. 数列性质与数列求和综合问题 2．（23-24高二上·天津·期末）已知数列的首项为1，对任意的，定义. (1)若， （ⅰ）求的值和数列的通项公式； （ⅱ）求数列的前n项和； (2)若（），且，，求数列的前2022项的和. 【答案】(1)（ⅰ），（ⅱ）， (2)2696 【知识点】累加法求数列通项、求等差数列前n项和、裂项相消法求和、分组（并项）法求和 【分析】（1）（ⅰ）由累加法结合等差数列求和公式即可得解；（ⅱ）直接由裂项相消法求和即可. （2）首项根据定义得出数列是周期为6的周期数列，由此即可求解. 【详解】（1）（ⅰ）由题意，， 所以当时，， 又， 所以数列的通项公式为， 所以. （ⅱ）由（ⅰ）得， 所以数列的前n项和为. （2）若（），且，， 则， 所以数列是周期为6的周期数列，且其前6项分别为，它们的和为， 数列的前2022项的和为. 数列求和与不等式证明问题 3．（23-24高二上·天津和平·期末）已知数列的各项均为正数，且． (1)证明：数列为等差数列； (2)若，求数列的前n项和，并证明． 【答案】(1)证明见解析 (2)，证明见解析 【知识点】裂项相消法求和、由递推关系证明数列是等差数列、利用定义求等差数列通项公式 【分析】（1）将条件变形为即可证明； （2）求出数列的通项公式，然后利用裂项相消法求和，观察可得答案. 【详解】（1）由数列的各项都为正数，且， 有，即， 所以，数列是以1为公差的等差数列； （2）因为，由（Ⅰ）有，所以， 则， ， 又因为，所以， 所以得证． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！12 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题07 数列、等差数列 数列的增减性及应用 1．（23-24高二上·天津·期末）下列通项公式中，对应数列是递增数列的是（    ） A． B． C． D． 2.（23-24高二上·天津·期末）已知函数，记（），若是递减数列，则实数的取值范围是 数列递推公式的应用 1．（23-24高二上·天津·期末）已知数列满足，，则（    ）． A． B． C．3 D． 2．（23-24高二上·天津·期末）已知数列满足，，则（    ） A．3 B．7 C．8 D．9 3．（23-24高二上·天津河北·期末）数列满足，且，则的值为（    ） A．2 B．1 C． D． 4．（23-24高二上·天津·期末）已知数列满足，，则数列的前9项和为（ ） A．35 B．48 C．50 D．51 5．（23-24高二上·天津宁河·期末）已知数列满足，，，则 . 6．（23-24高二上·天津·期末）已知数列满足，且，则 ． 利用an与Sn关系求通项或项 1．（23-24高二上·天津宁河·期末）若数列的前项和，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 2.（23-24高二上·天津西青·期末）数列的前n项和为，则 . 等差数列通项公式及其应用 1．（23-24高二上·天津·期末）已知数列满足，则（    ） A．2023 B．2024 C．2027 D．4046 2．（23-24高二上·天津·期末）《九章算术》中的“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积是（    ） A．升 B．升 C．升 D．升 3.（23-24高二上·天津·期末）在数列中，，且，则 . 等差数列求和公式及其应用 1．（23-24高二上·天津西青·期末）在中国农历中，一年有24个节气，北京2022年冬奥会开幕式上“二十四节气”的倒计时让全世界领略了中华智慧.从冬至日起，依次有小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种，这些节气的日影长依次成等差数列，小寒、雨水、清明日影长之和为31.5尺，则前九个节气日影长之和为（    ） A．94.5尺 B．93.5尺 C．92.5尺 D．91.5尺 2．（23-24高二上·天津·期末）已知数列是等差数列，是其前n项和，，则（    ） A．160 B．253 C．180 D．190 3.（23-24高二上·天津·期末）我国古代名著《九章算术》中有这样一段话：“今有金锤，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤．”意思是：“现有一根金锤，长5尺，头部1尺，重4斤，尾部1尺，重2斤”，若该金锤从头到尾，每一尺的重量构成等差数列，该金锤共重多少斤？ A．6斤 B．7斤 C．9斤 D．15斤 5．（23-24高二上·天津·期末）已知等差数列，的前项和分别为，，若，则 . 6．（23-24高二上·天津·期末）设为等差数列的前项和，且，，则 . 7.（23-24高二上·天津·期末）我国古代数学名著《九章算术》中有如下“竹九节”问题，现有一根节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，且上面节的容积共，下面节的容积共，则第节的容积为 ，节竹总容积为 . 数列求和 1．（23-24高二上·天津·期末）已知的前n项和，则的值为（    ） A．65 B．67 C．61 D．56 2．（23-24高二上·天津·期末）设数列满足，则数列的前10项和为（    ） A． B． C． D． 3.（23-24高二上·天津·期末）对于实数，表示不超过的最大整数.已知数列的通项公式，前项和为，则（    ）. A．65 B．67 C．74 D．82 4.（23-24高二上·天津滨海新·期末）如图甲是第七届国际数学家大会（简称ICME-7）的会徽图案，会徽的主题图案是由图乙的一连串直角三角形演化而成的．，，，…为直角顶点，设这些直角三角形的周长从小到大组成的数列为， ；令，为数列的前n项和，则 ． 5.（23-24高二上·天津·期末）若数列的通项公式，则数列的前2023项的和＝ . 等差数列前n项和的最值 1．（23-24高二上·天津宁河·期末）已知等差数列的前项和为，若，公差，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·天津和平·期末）若是等差数列，表示的前n项和，，则中最小的项是（  ） A． B． C． D． 3.（23-24高二上·天津·期末）等差数列｛an｝中，Sn是它的前n项之和，且S6＜S7，S7＞S8，则①此数列的公差d＜0；②S9一定小于S6；③a7是各项中最大的一项；④S7一定是Sn中的最大值．其中正确的是 （填入你认为正确的所有序号） 数列求和与函数不等式恒成立问题 1．（23-24高二上·天津·期末）已知数列的前项和，设为数列的前项和.若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 数列性质与数列求和综合问题 2．（23-24高二上·天津·期末）已知数列的首项为1，对任意的，定义. (1)若， （ⅰ）求的值和数列的通项公式； （ⅱ）求数列的前n项和； (2)若（），且，，求数列的前2022项的和. 数列求和与不等式证明问题 3．（23-24高二上·天津和平·期末）已知数列的各项均为正数，且． (1)证明：数列为等差数列； (2)若，求数列的前n项和，并证明． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！12 学科网（北京）股份有限公司 $$