广东省深圳市盐田高级中学2024-2025学年高二上学期圆锥曲线单元测试卷

盐田高级中学2024-2025学年第一学期高二数学圆锥曲线单元测试卷 姓名：___________班级：___________命题人：黄小红 审题人：俞兴保 一、单选题 1．已知抛物线的顶点在坐标原点，准线方程为，则抛物线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 2．方程化简的结果是（ ） A． B． C． D． 3．若方程表示焦点在y轴上的双曲线，则实数m的取值范围为（ ） A． B． C． D． 4．已知双曲线的上下焦点分别为，，过作双曲线渐近线的垂线，垂足为点，若的面积为，则双曲线的离心率为（ ） A． B． C． D． 5.已知是抛物线的焦点，过且倾斜角为的直线与交于两点，与的准线交于点（点在线段上），，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 6．已知直线：与双曲线：的右支交于两点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 7．已知椭圆的右焦点为，过点的直线交椭圆于、两点．若的中点坐标为，则的方程为（ ） A． B． C． D． 8.已知椭圆与双曲线有相同的左右焦点，，若点是与在第一象限内的交点，且，设与的离心率分别为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D．以上答案都不对 2、 多选题 9.已知抛物线的焦点为F，过焦点F的直线l交抛物线于A，B两点（其中点A在x轴上方），则（    ） A． B．弦AB的长度最小值为l C．以AF为直径的圆与y轴相切 D．以AB为直径的圆与抛物线的准线相切 10．已知曲线.（ ） A．若m>n>0，则C是椭圆，其焦点在y轴上 B．若m=n>0，则C是圆，其半径为 C．若mn<0，则C是双曲线，其渐近线方程为 D．若m=0，n>0，则C是两条直线 11．已知，分别为双曲线的左、右焦点，为双曲线上第一象限内一点，且，，关于的平分线的对称点恰好在上，则（    ） A．的实轴长为2 B．的离心率为 C．的面积为 D．的平分线所在直线的方程为 三、填空题 12.过抛物线y2＝8x的焦点作直线l交抛物线于A、B两点，若线段AB的中点的横坐标为3，则|AB|等于 。 13．如图是数学家用来证明一个平面截圆锥得到的截面是椭圆的模型(称为丹德林双球模型)：在圆锥内放两个大小不同的小球，使得它们分别与圆锥侧面､截面相切，设图中球和球的半径分别为1和3，，截面分别与球和球切于点和，则此椭圆的长轴长为 . 14．已知，点P满足，动点M，N满足，，则的最小值是 ． 四、解答题 15．已知顶点在原点，焦点在轴上的抛物线过点． (1)求抛物线的标准方程； (2)过点作直线交抛物线于A、B两点，使得Q恰好平分线段AB，求直线AB的方程． 16．已知动点与定点的距离和M到定直线的距离的比是常数． (1)求动点M的轨迹E； (2)在E上是否存在一点使得它到直线的距离最小？若存在，请求出最小距离；若不存在，请说明理由． 17．已知双曲线与双曲线的渐近线相同，且经过点．（1）求双曲线的方程； （2）已知双曲线的左右焦点分别为，，直线经过，斜率为，与双曲线交于，两点，求的面积． 18．已知椭圆：的左焦点为，离心率为，过且垂直于轴的直线被椭圆截得的线段长为.（1）求椭圆的方程； （2）已知点，过的直线交椭圆于，两点，证明：直线的斜率与直线的斜率之和为定值. 19.已知双曲线的左、右焦点分别为，，点在双曲线上． (1)求的方程； (2)过作两条相互垂直的直线和，与的右支分别交，两点和，两点，求四边形面积的最小值． 盐田高级中学2024-2025学年第一学期高二数学圆锥曲线单元测试卷答案 1． 【答案】A 【详解】因为抛物线的顶点在坐标原点，准线方程为，设抛抛物线的标准方程为，所以，得，故所求抛物线的标准方程为. 2． 【答案】D 【详解】∵方程， 表示平面内到定点、的距离的和是常数的点的轨迹， ∴它的轨迹是以为焦点，长轴，焦距的椭圆； ∴； ∴椭圆的方程是，即为化简的结果． 3． 【答案】D 因方程表示焦点在y轴上的双曲线，则有，解得， 4． 【答案】D 【详解】由题知，双曲线渐近线的方程为， 所以到渐近线的距离为， 所以在直角三角形中，， 所以的面积为，即 所以双曲线的离心率为 5.【答案】C 【详解】如图， 分别过点作抛物线准线的垂线，垂足分别为， 分别过点作，垂足分别为，设交轴于点，准线与轴交于点.由题知的倾斜角为， 所以，从而， 则，又. 6．【答案】D 【详解】联立得：， 由解得，或. 所以，，则. 直线与双曲线的右支交于两点， 则且，则且，解得，故. 7． 【答案】．A 【详解】设，则有①，②，两式作差可得：，即，又，故，，所以，又，解得， 故的方程为. 8 【答案】B 【详解】由椭圆定义可得,由双曲线定义可得,则, 因为,所以,两边同除,则,则, 所以,因为,所以, 易得单调递增,所以,故选:B 9. 【答案】ACD 【详解】   由题，焦点，设直线, 联立， ， ， 同理可得，， ，故A选项正确； ，故弦AB的长度最小值为4，B选项错误； 记中点，则点M到y轴的距离为， 由抛物线的性质，，所以以AF为直径的圆与y轴相切，故C选项正确； ，记中点， 则点N到抛物线的准线的距离，故以AB为直径的圆与抛物线的准线相切，D选项正确. 10． 【答案】．ACD 【详解】对于A，若，则可化为， 因为，所以，即曲线表示焦点在轴上的椭圆，故A正确； 对于B，若，则可化为， 此时曲线表示圆心在原点，半径为的圆，故B不正确； 对于C，若，则可化为，此时曲线表示双曲线， 由可得，故C正确； 对于D，若，则可化为， ，此时曲线表示平行于轴的两条直线，故D正确； 11． 【答案】ACD 【详解】由题意，在中， ∵关于的平分线的对称点恰好在上， ∴，，三点共线，且， ∵，∴. 设，， 根据双曲线定义可得，， 解得，，即，∴. 在中，根据勾股定理可得，，解得， ∴的实轴长为2，所以A正确； 又，，∴的离心率为，所以B不正确； 的面积为，∴C正确； ∵，∴，∵，易得的平分线的倾斜角为， ∴的平分线所在直线的方程为，即，所以D正确. 12.【答案】10 【解析】由题抛物线y2＝8x的焦点F(2,0)，p=4，设A、B两点坐标 AB的中点的横坐标为3，即 抛物线的焦点弦： 13．【答案】 【详解】如图，圆锥面与其内切球 分别相切与，连接，则，过作于，连接交于点，设圆锥母线与轴的夹角为，截面与轴的夹角为，在△中, , , , △△ , 解得, ,即 , 所以椭圆离心率为 在△中 解得, 14．【答案】3 【详解】以的中点O为坐标原点，的中垂线为y轴，建立如图所示的直角坐标系，则，由双曲线定义可知，点P的轨迹是以，为焦点，实轴长为6的双曲线的左支，即点P的轨迹方程为．，由， 可得． 因为的最小值为，所以的最小值是3． 15． 【解】（1）因为顶点在原点，焦点在y轴上的抛物线过点， 所以抛物线的焦点在y轴正半轴，设其方程为， 将点代入可得，所以，所以抛物线的标准方程为， （2）抛物线中，时，，在抛物线内部，可以为弦的中点． 设点，直线斜率为 点在抛物线上，所以 所以，即，所以直线方程为． 经检验，直线符合题意. 16．【解】（1）设d是点M到直线的距离， 根据题意，动点M的轨迹E就是集合． 由此得．将此式两边平方，并化简，得， 所以M的轨迹E为． （2）由直线方程方程可知与坐标轴的交点为， 易知此直线与椭圆无公共点， 设直线m与该直线平行，则直线m的方程可以写成． 由方程组，消去y，得． 令其根的判别式，解得或， 当时，直线与椭圆的公共点到直线的距离最小，最小距离． 17． 【解】（1）设所求双曲线方程为， 代入点得：，即， 双曲线方程为，即． （2）由（1）知：，，即直线的方程为． 设，，联立，得， 满足且，， 由弦长公式得， 点到直线的距离． 所以． 18．【解】（1）设椭圆的半焦距为，则 解得所以椭圆的方程为. （2）由题意知直线斜率存在，设其方程为，，， 联立方程组代入消元并整理得：， ， 则，. ， 将，代入，整理得： ， ， 将韦达定理代入化简得：. 因为直线过点，所以， 代入，得. 19.【解】（1）设双曲线，则，解得， 所以双曲线的方程为. （2）根据题意，直线，的斜率都存在且不为0， 设直线，，其中，双曲线的渐近线为， 因为，均与的右支有两个交点，所以，，所以， 将的方程与联立，可得， 设，则，， 所以 ， 用替换，可得， 所以． 令，所以， 则， 当，即时，等号成立， 故四边形面积的最小值为． 学科网（北京）股份有限公司 $$