专题6-2相似三角形的热考几何模型（考点清单，12种题型解读+8种方法解读）-2024-2025学年九年级数学上学期期末考点大串讲（苏科版）

考点清单6-2 相似三角形的热考几何模型 （12种题型解读+8种方法解读） 【考点题型一】利用“A 型”或“X型”模型求线段的长 1．（24-25九年级上·安徽六安·期中）如图，在中，点D为上一点，且，过点D作交于点E，连接，过点D作交于点F．若，求的长．    【答案】 【分析】本题考查平行线分线段成比例．根据平行线分线段成比例即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， 解得：， ∴． 2．（24-25九年级上·陕西咸阳·期中）如图，直线，分别交直线，于点，，，，，，若，，，求的长． 【答案】 【分析】根据平行线分线段成比例定理得到比例式，代入数据计算即可．本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键． 【详解】解：∵， 由平行线截线段成比例可得：， 设， 则， ，， ， 解得：， ∴． 3．（24-25九年级上·海南·阶段练习）阅读材料，并解决问题． 角平分线分线段成比例定理：如图，在中，平分，则，下面是这个定理的部分证明过程． 证明：如图，过点作，交的延长线于点． 任务： (1)请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分； (2)填空：如图，已知中，，，，平分，则的长是 ； (3)如图，在中，是的中点，是的平分线，交于点，，，求长． 【答案】(1)证明过程见解析 (2) (3) 【分析】本题考查了平行线分线段成比例，角平分线的应用、勾股定理等知识点，掌握相关结论是解题关键． （1）根据可得，，结合条件可推出，即可求证； （2）求出，根据题意可得，进而得； （3）由题意得结合是的中点，可得根据可推出，进而得即可求解； 【详解】（1）证明：∵， ，，， ， ， ， ． （2）解：∵，，， ∴， ∵平分， 由题意得：， ∴， ∴， 故答案为： （3）解：是的平分线，，， 是的中点，， ∵， ， ， ． 【考点题型二】“A”字相似模型 4．（23-24九年级上·北京昌平·期中）如图，在中，，点在上，于点． (1)求证：； (2)，且，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，解题的关键是掌握相似三角形的判定方法与性质． （1）根据，，可得，即可证明； （2）由，得到，即可求解． 【详解】（1）证明： 于点，， ， ， ； （2）解： ， ， ，，， ， ． 5．（24-25九年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，D是的边上一点，连接，若， (1)求证： (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了相似三角形的性质与判定，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． （1）根据公共角，，直接证明两三角形相似即可； （2）根据，列出比例式，代入数据计算即可． 【详解】（1）证明： ，， ； （2） ， ， ，， （负值舍去）． 6．（23-24八年级下·江苏无锡·期末）[基础学习] （1）如图1，在中，，，分别为，，上的点，，交于点，求证：． [尝试应用] （2）如图2，已知、为的边上的两点，且满足，一条平行于的直线分别交、和于点、和，求的值． [拓展提高] （3）如图3，矩形中（为常数），点是矩形边上的一个动点，延长至点，使，连接，，与相交于点，连接，求的最小值（用的代数式表示）． 【答案】（1）见解析（2）（3） 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，矩形的性质，勾股定理等知识，熟练掌握相似三角形的性质和判定是解题的关键． （1）由题意得：，，根据相似三角形的性质得到，进而证明出结论； （2）过点M作交于点H，交于点N，交于点G，由（1）中结论可得，，根据，证明，，，，根据相似三角形的性质可得，整理可得； （3）如图，连接并延长交于点H，连接，证明，求出，由此可得：点H为定点，点G在线段上运动，当时，有最小值，利用勾股定理求出，由，即可求出的最小值为． 【详解】（1）证明： ， ，， ，， ， ； （2）如图，过点M作交于点H，交于点N，交于点G， ∵， 由（1）中结论可得，， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ， ； （3）解：如图，连接并延长交于点H，连接， ， ， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 由此可得：点H为定点，点G在线段上运动， 当时，有最小值， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即的最小值为． 7．（24-25九年级上·四川内江·期中）（1）如图1，在中，E是上一点，过点E作的平行线交于点F．点D是上任意一点．连结交于点G，求证：； （2）如图2，在（1）的条件下，连结，，若，且、恰好将三等分．求的值； （3）如图3，在等边中，，连结，点在上，若，求的值． 【答案】（1）见解析（2）（3） 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，等边三角形的判定及性质． （1）根据，可得，从而得到，同理，进而得到，即可； （2）利用条件证明，，由（1）知，，设，则，，由得，，（负值舍去），； （3）利用相似转化线段之间的关系，设，根据，得，，由，得到，，最后代入． 【详解】解：（1）， ， ， 同理， ， ； （2）解：∵恰好将三等分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 由（1）知，， 设则， 由得，， ∴（负值舍去）， ∴； （3）解：过G点作的平行线，分别交于E、F， ∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， 由（1）中结论知，， 设， ∵， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【考点题型三】“8”字相似模型 8．（2021·山东聊城·一模）如图，在平行四边形中，点E是上一点，，连接交于点G，延长交的延长线于点F，则的值为（　　）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质，解决本题的关键是利用平行四边形的性质对边平行而构建相似三角形． 先根据平行四边形的性质得到，则可判断，，于是根据相似三角形的性质和即可得结果． 【详解】解：∵四边形为平行四边形， ， ， ∴ ， ∴ ， ， ， ∴ ， ∴ ． 故选：A． 9．（23-24九年级下·江苏南京·自主招生）如图，过点P作两条直线分别与圆交于A，B和C，D两点，分别求证：． 【答案】证明见解析 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，同弧所对的圆周角相等，圆内接四边形的性质等等，对于左边图由同弧所对圆周角相等得到，则可证明，进而可得；对于右边图，利用圆内接四边形对角互补和平角的定义得到，则可证明，得到，进而可得． 【详解】解：如题左边图所示， ∵都在同一个圆上， ∴， ∴， ∴， ∴； 如题右边图所示，连接， ∵四边形是圆内接四边形， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． 10．（24-25九年级上·福建泉州·阶段练习）如图，，相交于点P，连接，，，，． (1)求证：，并判断与是不是位似图形？（不必说明理由） (2)若，，，求的长． 【答案】(1)，与不是位似图形； (2)6 【分析】本题主要考查了位似图形的概念、相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． （1）根据两角对应相等的两个三角形相似进行证明即可；再根据位似图形的概念判断即可； （2）根据相似三角形对应边成比例推出，进而证明，再根据相似三角形的性质列出比例式求解即可． 【详解】（1）证明：∵，， ∴； ∵如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．与的对应点的连线不交于一个点， ∴与不是位似图形； （2）解：∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， ∴． 11．（辽宁省锦州市第四中学教育集团2024—2025学年上学期九年级期中考试数学试卷）如图，在梯形中，，与相交于点，点在线段上，的延长线与相交于点，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)如果，，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、梯形的性质；熟练掌握相似三角形的判定与性质和平行四边形的判定是解题的关键． （1）由已知得出，由平行线得出，得出，证出，得到相似三角形，继而得出，即可得出结论； （2）由平行线得出，，得出，证出，由平行四边形的性质得出，由已知，即可得出结论． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ， ， ∵， ∴， ∴ ， 四边形是平行四边形； （2）证明：， ，， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， ． 【考点题型四】一线三等角相似模型 12．（24-25九年级上·山西·期中）如图，已知矩形纸片，，点E在上，把纸片沿折叠，点D的对应点恰好落在上，则的长度为（   ） A．3 B． C． D．2．5 【答案】B 【分析】本题考查矩形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，折叠的性质等知识，灵活运用各知识点是解答本题的关键．由勾股定理求出得，证明得，代入数值求出，进而可求出的长度． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴． 由折叠的性质知，， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴． 故选B． 13．（24-25九年级上·江苏无锡·期中）如图，点E，F  分别在正方形的边，上，且．    (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查正方形的性质，相似三角形的判定与性质，余角的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． （1）根据正方形的性质得，则，又根据，则，从而得出，即可由相似三角形的判定得出结论； （2）根据正方形的性质得，再根据得，然后代入计算即可． 【详解】（1）证明：∵正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． （2）解：∵，， ∴， ∵正方形， ∴， 由（1）知：， ∴， ∴， ∴． 14．（22-23九年级上·广东深圳·期中）【基础巩固】（1）如图1，在中，是边上一点，是边上一点，．求证：； 【尝试应用】（2）如图2，在四边形中，点是边的中点，，若，，求线段的长． 【拓展提高】（3）在中，，以为直角顶点作等腰直角三角形（其中），点在上，点在上．若，求的长． 【答案】（1）见解析；（2）5；（3）10 【分析】本题是相似形综合题，考查了相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，熟练掌握一线三等角基本几何模型是解题的关键． （1）利用一线三等角模型，可说明，得； （2）如图2中，延长交的延长线于点．证明，推出，求出，，再利用勾股定理求解； （3）过点作与交于点，使，由（1）同理得，可知，再利用，可得答案． 【详解】（1）证明：，， ， ， ∴， ， ， ， ； （2）解：如图2中，延长交的延长线于点． ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ； （3）解：如图，过点作与交于点，使， ，， ， ， ， ，， ， ，， ， ， ， ， ， ， ，（舍去） ． 15．（24-25九年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，点，点在轴上（点在点的左侧），且点、的横坐标是方程的解，点为轴正半轴上一动点，连接，与的垂直平分线交于点． (1)求点的坐标；（用含的代数式表示） (2)点是点关于轴的对称点，连接，，是否存在这样的值，使与相似？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，或 【分析】（1）利用因式分解法解出的值，得到点与点左边，进而得到的垂直平分线，再根据点的坐标设直线为，求出直线解析式，即可得到点的坐标； （2）利用对称得到点，作轴，轴，，，证明，得到，根据与相似，分以下两种情况①，②，结合勾股定理，以及相似三角形性质和判定求解，即可解题． 【详解】（1）解： 解得，， 点在点的左侧， ，， 的垂直平分线为， 直线为， 点， 设直线为， 有，解得， 直线为， 当时，， 点的坐标为； （2）解：点为轴正半轴上一动点，且点 ，点是点关于轴的对称点， 点 ， ， ， 作轴，轴，，，如图所示： ，， 点是点关于轴的对称点， ， ，即， ， ，，，， ， 为直角三角形， 与相似，即也为为直角三角形， ①， ， ， 即， 解得； ②， ， ， ， 即， 解得或（舍去）； 综上所述，存在这样的值，使与相似，或． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，待定系数法求一次函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征，解一元二次方程，线段垂直平分线的性质，勾股定理，坐标与图形，解题的关键在于利用分类讨论的思想方法解决问题． 【考点题型五】三角形内接矩形模型 16．（2023九年级上·全国·专题练习）如图，在中，，高，正方形一边在上，点分别在上，交于点，求的长． 【答案】 【分析】设正方形的边长，易证四边形是矩形，则，根据正方形的性质得出，推出，根据相似三角形的性质计算即可得解． 【详解】解：设正方形的边长， 四边形是正方形， ， ， 是的高， ， 四边形是矩形， ， ， （相似三角形对应边上的高的比等于相似比）， ， ， ， 解得：， ． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的判定和性质．解题的关键是掌握相似三角形的判定和性质，矩形的判定和性质的运用，注意：矩形的对边相等且平行，相似三角形的对应高的比等于相似比． 17．（24-25九年级上·辽宁营口·期中）如图所示，有一块三角形余料，它的边长，高．要把它加工为矩形零件． (1)如果使矩形的长为宽的两倍，且长边在上，其余两个顶点分别在上，则加工成矩形零件的长和宽分别是多少？ (2)如果要使加工的矩形零件面积最大，求矩形零件面积达到最大时的两边长． 【答案】(1)这个矩形零件的长为，宽为 (2)矩形零件面积达到最大时的两边长分别为60，40． 【分析】本题是相似形的综合题，考查了相似三角形的应用，二次函数的最值问题，根据相似三角形对应高的比等于对应边的比列式表示出正方形的边长与三角形的边与这边上的高的关系是解题的关键． （1）设，则，然后根据相似三角形对应高的比等于相似比列出比例式求出即可； （2）设，用表示出的长度，然后根据相似三角形对应高的比等于相似比列出比例式并用表示出，然后根据矩形的面积公式列式计算，再根据二次函数的最值问题解答． 【详解】（1）解：由题意可设矩形的边长，则， ， ， ， ， 解得， ， 这个矩形零件的长为，宽为； （2）解：设，矩形的面积为， 由条件可得， ， ， 解得． ， ， 当时，有最大值，此时， 矩形零件面积达到最大时的两边长分别为60，40． 18．（21-22九年级上·全国·课后作业）一块直角三角形木板的面积为，一条直角边为，怎样才能把它加工成一个面积最大的正方形桌面？甲、乙两位木匠的加工方法如图所示，请你用学过的知识说明哪位木匠的方法符合要求（加工损耗忽略不计，计算结果中的分数可保留）． 【答案】乙木匠的加工方法符合要求．说明见解析． 【分析】要求哪位木匠的加工方法符合要求，需要先求出两种加工方式中正方形的边长，边长最大就符合要求；由已知三角形的面积和一条直角边的边长可求出其余两边的边长，根据乙加工方案中的平行关系得到相似三角形，根据相似三角形对应变成比例，可求出正方形的边长；根据甲加工方案中，根据相似三角形的高的比等于边长比，可求出正方形的边长，对比两方案的边长即可知谁符合要求． 【详解】解：作BH⊥AC于H，交DE于M，如图 ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ 又∵DE∥AC ∴ ∴，解得 设正方形的边长为x米，如图乙 ∵DE∥AB ∴ ∴，解得 ∵ ∴乙木匠的加工方法符合要求． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质的实际应用及分析、解决问题的能力，正确理解题意，建立数学模型，把实际问题转化为数学问题是解决本题的关键． 19．（24-25九年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，锐角中，，边上的高，矩形的边在上，其余两点、分别在、上，且交于点． (1)求的值； (2)设，矩形的面积为． 求与的函数关系式； 请直接写出的最大值为 ． 【答案】(1) (2)； 【分析】（1）由矩形的性质可得，由垂线的定义和平行线的性质可证得，由可证得，于是有； （2）由可得，由矩形的性质可证得四边形是矩形，于是有，由即可得出与的函数关系式；将与的函数关系式化成顶点式并求其最值，即可得出的最大值． 【详解】（1）解：四边形是矩形， ，即， ， ， ， ， ， ， ， ； （2）解：由（1）可得：， ， 四边形是矩形， ， 又， 四边形是矩形， ， ； ， ， 当时，有最大值， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了垂线的定义，平行线的性质，相似三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，用关系式表示变量间的关系，二次函数的图象与性质，求二次函数的最值等知识点，构建二次函数解决最值问题是解题的关键． 【考点题型六】射影定理 20．（21-22九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，在 Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，已知AD＝，那么BC＝ ． 【答案】 【分析】证明△BCD∽△BAC，根据相似三角形的性质列式计算即可． 【详解】解：∵∠ACB＝90°，CD⊥AB， ∴∠ACB＝∠CDB＝90°， ∵∠B＝∠B， ∴△BCD∽△BAC， ∴＝，即＝， ∴, ∵ ∴BC＝， 故答案为：． 【点睛】本题考查三角形相似的判定和性质，牢记相关知识点并能结合图形灵活应用是解题关键． 21．（24-25九年级上·四川眉山·期中）如图，在中，，于D， (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】此题考查了相似三角形的性质和判定，勾股定理，解题的关键是熟练掌握以上知识点． （1）首先根据题意证明出，然后利用相似三角形的性质证明即可； （2）首先根据勾股定理求出，然后利用等面积法求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． （2）解：∵，，； ∴； ∴； ∴； 解得：． 22．（2024·江苏徐州·中考真题）在中，点在边上，若，则称点是点的“关联点”． (1)如图（1），在中，若，于点．试说明：点是点的“关联点”． (2)如图（2），已知点在线段上，用无刻度的直尺和圆规作一个，使其同时满足下列条件：①点为点的“关联点”；②是钝角（保留作图痕迹，不写作法）． (3)若为锐角三角形，且点为点的“关联点”．设，，用含、的代数式表示的取值范围（直接写出结果）． 【答案】(1)证明见解析 (2)图见解析 (3)或 【分析】（1）证，根据“关联点”的定义即可得结论； （2）以为直径作，过点作的垂线，交于，由圆周角定理可得，由（1）可得，以为圆心，为半径作圆，在直线右侧的上取点作即可得答案； （3）分类讨论，①当时，根据第二问可得出锐角三角形时C的位置，再利用勾股定理求出临界值范围即可，②当时，同①方法． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点D是点C的“关联点”． （2）解：如图，①作线段的垂直平分线，交于点； ②以为圆心，为半径作圆； ③过作交于点； ④以为圆心，为半径画圆，则点在上且在直线右侧．连接、，即为所求， 证明：∵在以为直径的圆上运动， ∴， 由（1）可知：， ∵， ∴． （3）①当时， 如图所示，结合第（2）问，我们发现当点C在直线左侧、A的右侧时，是锐角三角形， 此时， ∵，且，， 在中，， 在中，， ； ②当时，同理可得：； 综上所述，或． 【点睛】本题主要考查了尺规作图，圆周角定理、相似三角形的判定和性质、勾股定理等内容，熟练掌握相关知识和正确理解题意是解题的关键． 23．（2024·山东济南·中考真题）某校数学兴趣小组的同学在学习了图形的相似后，对三角形的相似进行了深入研究． （一）拓展探究 如图1，在中，，垂足为． （1）兴趣小组的同学得出．理由如下： ①______ ②______ 请完成填空：①______；②______； （2）如图2，为线段上一点，连接并延长至点，连接，当时，请判断的形状，并说明理由． （二）学以致用 （3）如图3，是直角三角形，，平面内一点，满足，连接并延长至点，且，当线段的长度取得最小值时，求线段的长． 【答案】（1）①；②；（2）是直角三角形，证明见解析；（3） 【分析】（1）根据余角的性质和三角形相似的性质进行解答即可； （2）证明，得出，证明，得出，即可得出答案； （3）证明，得出，求出，以点为圆心，2为半径作，则都在上，延长到，使，交于，连接，证明，得出，说明点在过点且与垂直的直线上运动，过点作，垂足为，连接，根据垂线段最短，得出当点E在点处时，最小，根据勾股定理求出结果即可． 【详解】解：（1）， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （2）是直角三角形；理由如下： ， ， ， 由（1）得， ， ， ， ， ， 是直角三角形． （3）， ， ， ， 如图，以点为圆心，2为半径作，则都在上，延长到，使，交于，连接， 则， ∵为的直径， ∴， ， ∴， ， ， ， 点在过点且与垂直的直线上运动， 过点作，垂足为，连接， ∵垂线段最短， ∴当点E在点处时，最小， 即的最小值为的长， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， 在中根据勾股定理得：， 即当线段的长度取得最小值时，线段的长为． 【点睛】本题主要考查了三角形相似的判定和性质，圆周角定理，矩形的判定和性质，勾股定理，垂线段最短，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握三角形相似的判定方法． 【考点题型七】手拉手模型 24．（山西省临汾市2024—2025学年九年级上学期11月期中考试数学试题）综合与探究 问题情境 小丽在学习全等三角形的知识时，发现这样一个模型：它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成．在相对位置变化时，始终存在一对全等三角形．它们类似大手拉着小手，这种模型称为“手拉手模型”．小丽进行了如下操作： (1)问题发现 如图1，在和中，，，，连接，交于点M．小丽发现这就是手拉手模型，易证，进而可以得知： ①的值为______； ②的度数为______． (2)类比探究 如图2，在和中，若，，连接交的延长线于点M，与交于点P．小丽发现不等腰的三角形也可得到手拉手模型．请你求出此时的值及的度数，并说明理由； (3)拓展延伸 在（2）的条件下，将绕点O在平面内任意旋转，，所在直线交于点M，若，，请直接写出当点C与点M重合时的长． 【答案】(1)① 1；② 40° (2)，，理由见解析 (3)或 【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质、相似三角形的判定及性质，熟练掌握性质定理是解题的关键． （1）①利用证明，得出，即可得出答案； ②根据，得出，根据三角形的内角和定理即可得出答案； （2）根据两边的比相等且夹角相等，得出，根据相似三角形的性质及三角形内角和即可得出答案； （3）正确画图形，当点C与点M重合时，有两种情况：图3和图4，同理可证，则有，，根据勾股定理即可得出答案． 【详解】（1）① ， 故答案为：1； ② 在中，故答案为：； （2）解：∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ，， ∵， ∴， ∴； （3）①点C与点M重合时，如图3，同理得：， ∴，， 设，则， ∵，，， ∴， 同理可得； 在中，由勾股定理得：， ，（舍去）， ∴； ②点C与点M重合时，如图4，同理得：， 设，则 在中，由勾股定理得：， （舍去）， ∴ 综上所述，的长为或． 25．（23-24八年级下·江苏苏州·阶段练习）（1）【问题发现】如图①，正方形，，将正方形绕点D旋转，直线、交于点P，请直接写出线段与之间的数量关系是______，位置关系是______； （2）【拓展探究】如图2，矩形，，，将矩形绕D旋转；直线,交于点P，（1）中线段之间的关系还成立吗？若成立，请写出理由；若不成立，请写出线段之间的关系； （3）【解决问题】若，矩形绕D旋转过程中当点P与点G重合时，求线段的长． 【答案】（1），；（2）、的数量关系不成立，位置关系仍成立，、的数量关系为：，理由见解析；（3）的长为或 【分析】（1）证明得到与的数量关系，通过角的等量代换，求得，得到和的位置关系； （2）可通过已知对应角，和对应边的比例关系，证明，求得和的数量关系；然后利用角的等量代换，求得，得到和的位置关系； （3）分情况讨论，①当点和点在边上方重合时，②当点和点在边下方重合时，分别求解． 【详解】解：（1），； ∵四边形，都是正方形， ∴，，． ∴， ∴． ∴． ∴，， ∵， ∴． ∴； （2）（1）中数量关系不成立，位置关系成立． ，． 理由如下：由题意知在矩形、中， ， ∴． ∴． ∵，， ∴． ∴． ∴，． ∵， ∴．∴． 综上所述：，； （3）或． 如解图①， ； 如解图2，连接，设，则，     ，， 在中，， ， ∴（舍去）． 综上所述，当点与点重合时，线段的长为或． 【点睛】本题综合考查了全等三角形及相似三角形的判定及性质，以及勾股定理的应用，根据题意画出符合题意的图形是解决本题的关键． 26．（23-24九年级上·辽宁沈阳·阶段练习）1.问题发现 图（1），在和中，，，，连接，交于点M. ①的值为______；②的度数为_______． （2）类比探究 图（2），在和中，，，连接，交的延长线于点M，请计算的值及的度数； （3）拓展延伸 在（2）的条件下，若，，将绕点O在平面内旋转一周． ①当直线经过点B且点C在线段上时，求的长； ②请直接写出运动过程中M点到直线距离的最大值． 【答案】（1）①1；②；（2），；（3）①的长为；②M点到直线距离的最大值为 【分析】（1）直接根据两个共顶点的等腰三角形证明，可以证明，最后在和中导角直接可以求解． （2）改变三角形结构，直接通过判定和相似，同样可以用第一问的方式证明，根据相似比，求线段比例，最后在和中导角直接可以求解的度数． （3）深度理解题意，本质上问的就是当B，C，D，三点共线时，求的长，在利用，对应边成比例求的长，最值的求解，先找到点和点的轨迹，可以发现是在两个圆弧上运动，再利用最大时，则M点到直线距离的最大，直接求解即可． 【详解】（1）①∵， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； ②设与交于点F， 由①知，， ∴， ∵， ， ∴， 故答案为：； （2）如下图，在和中，设与交于点； ∵∠，， ∴； ∵， 即， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴，． （3）①如下图所示，当直线经过点B且点C在线段上时； 在中，，； 过点O作的垂线，垂足为； ∴； ∵； ∴； ∴，； 在中，由勾股定理得； ； ∴； ∵； ∴； 即； ②如下图所示，∵，； ∴点M的轨迹是圆弧，即点M在圆P上运动，且； 要想求出点到直线的最大值，动点距离直线越远越好， 从下图可以看出，点的轨迹也是圆，点运动极限位置取决于的最大值； ∵，； ∴的最大值取得当且仅当时； 即在中； ； ∴； 过点作的垂线，垂足为； ∴； 即线段即为所求； 在中； ； ∵； ∴； ∵； ∴； ； ∴； ∴M点到直线距离的最大值为． 【点睛】本题主要考查等腰背景下全等三角形的判定和性质综合，特殊直角三角形为背景的相似三角形的判定和性质综合，利用特殊角的三角函数解三角形，圆轨迹动态下求线段的最值，熟练掌握手拉手模型证明三角形全等，数量掌握相似三角形的判定，特别是两边对应成比例，夹角相等类的，对于求点到直线最值类型要注意动点的轨迹寻找和影响最值的主要因素，进而综合判定求解是解题的关键． 27．（2022·山东烟台·中考真题）   (1)【问题呈现】如图1，△ABC和△ADE都是等边三角形，连接BD，CE．求证：BD＝CE． (2)【类比探究】如图2，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°．连接BD，CE．请直接写出的值． (3)【拓展提升】如图3，△ABC和△ADE都是直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°，且＝＝．连接BD，CE． ①求的值； ②延长CE交BD于点F，交AB于点G．求sin∠BFC的值． 【答案】(1)见解析 (2) (3)①；② 【分析】（1）证明△BAD≌△CAE，从而得出结论； （2）证明△BAD∽△CAE，进而得出结果； （3）①先证明△ABC∽△ADE，再证得△CAE∽△BAD，进而得出结果； ②在①的基础上得出∠ACE＝∠ABD，进而∠BFC＝∠BAC，进一步得出结果． 【详解】（1）证明：∵△ABC和△ADE都是等边三角形， ∴AD＝AE，AB＝AC，∠DAE＝∠BAC＝60°， ∴∠DAE﹣∠BAE＝∠BAC﹣∠BAE， ∴∠BAD＝∠CAE， ∴△BAD≌△CAE（SAS）， ∴BD＝CE； （2）解：∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形， ，∠DAE＝∠BAC＝45°， ∴∠DAE﹣∠BAE＝∠BAC﹣∠BAE， ∴∠BAD＝∠CAE， ∴△BAD∽△CAE， ； （3）解：①，∠ABC＝∠ADE＝90°， ∴△ABC∽△ADE， ∴∠BAC＝∠DAE，， ∴∠CAE＝∠BAD， ∴△CAE∽△BAD， ； ②由①得：△CAE∽△BAD， ∴∠ACE＝∠ABD， ∵∠AGC＝∠BGF， ∴∠BFC＝∠BAC， ∴sin∠BFC． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是熟练掌握“手拉手”模型及其变形． 【考点题型八】飞鱼模型 28．（24-25九年级上·四川乐山·期中）如图，中，是边上的中线，是上一点，有，连接，并延长交于，则等于　　 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是相似三角形的判定和性质，根据题目告诉的值，可以过点作的平行线，得到的中点，再根据平行线分线段成比例定理得到，可以求出的值．过点作的平行线，得到的中点，再用平行线分线段成比例定理得到，然后求出的值． 【详解】解：如图：过点作交于， 是边上的中线， ， ， ． ． 故选：C． 29．（23-24九年级上·江苏南京·阶段练习）已知：如图，中，，，求证：． 【答案】见详解 【分析】本题考查了相似三角形的判定及性质；过作交于，由相似三角形的判定方法得，，由相似三角形的性质得，，由此可得，即可求证；掌握相似三角形的判定及性质是解题的关键． 【详解】证明：过作交于， ，， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 30．（24-25九年级上·福建泉州·期中）如图，是的中线，点E是的中点，延长交于点F，若，则的长为 ． 【答案】2 【分析】本题考查的是三角形中位线定理，平行线分线段成比例，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．取的中点H，连接，即可得出是的中位线，由中位线定理即可得出 ，由平行线分线段成比例即可得出，即可得出点F是的中点，进而可得出． 【详解】解：取的中点H，连接， ∵， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∵点E是的中点， ∴． ∴点F是的中点， ∴， ∴， 故答案为：2． 31．（24-25九年级上·安徽滁州·期中）如图，是的中线，点是上一点，且，连接并延长交于点． (1)若，求的长； (2)求的值． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题考查中线定义，线段和差关系，平行线分线段成比例等知识内容，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）过作交于点，继而得到，再利用中线定义得到，再利用平行线分线段定理可得，继而得到本题答案； （2）如图，过作交于点，，再利用中线定义得到，再利用平行线分线段定理可得，继而得到本题答案． 【详解】（1）解：如图，过作交于点， ∴， ∵是的中线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）解：如图，过作交于点， ∴， ∵是的中线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴． 32．（24-25九年级上·安徽亳州·阶段练习）如图，是的中线，点M在上，连接并延长交于点N．      【填空】 （1）若，则 ； （2）若，则 ； （3）若，则 ； … 【论证】请选择上述情况中的一种，画出符合条件的图形，并证明你的结论； 【猜想】若，则 （用含n的代数式表示，不用说明理由）． 【答案】[填空]（1）；（2）1；（3）；[论证]见解析；[猜想] 【分析】本题考查了平行线分线段成比例，三角形中位线定理，解题的关键是通过构造三角形的中位线为使用平行线分线段成比例作铺垫． [填空]（1）取中点G，连接，根据三角形中位线定理得出，根据平行线分线段成比例得出，然后根据比例的性质求解即可； （2）仿照（1）求解即可； （3）仿照（1）求解即可； [论证]见上述解析； [猜想] 仿照（1）求解即可． 【详解】[填空]：解：（1）取中点G，连接，则，    ∵为边上的中线， ∴点为中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， 故答案为：； （2）取中点G，连接，则，    ∵为边上的中线， ∴， ∴， 设，则， ∴， 故答案为：1； （3）取中点G，连接，则，    ∵为边上的中线， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∴； 故答案为：; [论证]：上述已证明； [猜想]解：取中点G，连接，则，    ∵为边上的中线， ∴， ∴， 设，则， ∴， 故答案为：． 【考点题型九】角平分线分线段成比例模型 33．（2024·吉林长春·三模）如图①，是的角平分线．数学兴趣小组发现结论：．经过讨论得到如下种证明思路： 思路：过点向两边作垂线段，利用三角形的面积比证出结论； 思路：过点作的平行线，与的延长线相交，利用三角形相似证出结论； 思路：过点作的平行线，与的延长线相交，利用平行线分线段成比例证出结论． (1)请参考以上种证明思路，选择其中一种证出结论； (2)在图①中，是的角平分线．若，，，则的长度为_______； (3)如图②，在中，，的角平分线、相交于点，若，则的值为_______． 【答案】(1)选择思路1，见解析 (2) (3) 【分析】（1）选择思路：过点向两边作垂线段，利用三角形的面积比证出结论；选择思路：过点作的平行线，与的延长线相交，利用三角形相似证出结论；思路：过点作的平行线，与的延长线相交，利用平行线分线段成比例证出结论． （2）由（1）得，代入求解即可； （3）在上取一点，使得，由得，再证明，得，从而即可得解． 【详解】（1）解：选择思路：过点作，于、，令的边上的高为， ∵平分， ∴， ∴， ∵的边上的高为， ∴， ∴； 选择思路：过点作交延长线于点， ∴，， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴； 选择思路：过点作交延长线于点， ∴，，， ∵平分， ∴， ∴， ∴； （2）解：由（）得， ∵，，， ∴， ∴， 故答案为：； （3）解：在上取一点，使得， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵的角平分线、相交于点， ∴，，， ∴ ， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定及性质，平行线的性质，全等三角形的判定及性质，角平分线的定义以及平行线分线段成比例，熟练掌握相似三角形的判定及性质，平行线的性质以及全等三角形的判定及性质是解题的关键． 34．（23-24九年级上·江苏淮安·阶段练习）聪明好学的晨晨看到一课外书上有个重要补充： 角平分线定理：三角形一个内角的平分线分对边所成的两条线段与这个角的两邻边对应成比例，于是他就和其他同学研究一番，写出了已知、求证如下：“已知：如图①，中，平分交于点D， 求证： ． 可是他们依然找不到证明的方法，经过老师的提示：过点B作交延长线于点E，于是得到，从而打开思路． 【问题初探】（1）请你按老师的提示或你认为其他可行的方法帮晨晨完成证明； 【现学现用】 利用角平分线定理解决如下问题： （2）已知，中，是角平分线，， 则的长为 ； （3）如图②，中，，点D是边上一点，将沿着翻折，使得点B与边上的点E重合，若是直角三角形，求的长度． 【问题解决】 （4）如图③，已知反比例函数 ，点A是该图象第一象限上的动点，连接并延长交另一支于点B，以为斜边作等腰直角，顶点C在第四象限，与x轴交于点P，连接，点A在运动过程中，是否存在的情况？ 若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）或；（4） 【分析】（1）根据题目所给的思路进行证明即可； （2）由角平分线定理 得到，则； （3）由折叠的性质可得，由角平分线定理得到，，设，再分当时， 当时， 两种情况利用勾股定理建立方程求解即可； （4）如图所示，过点A、C分别作x轴的垂线，垂足分别为E、F，连接，由等腰直角三角形的性质得到，则，进而求出，得到，则由角平分线定理得到；由反比例函数的对称性可得，则，证明，得到，，证明，得到，可设，则，求出（负值舍去），得到，则． 【详解】解：（1）如图所示，过点B作交延长线于点E， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）∵中，是角平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：； （3）由折叠的性质可得， ∴，， ∴； 设 当时，由勾股定理得， ∴， 解得（负值舍去）， ∴； 当时，同理可得， 解得（负值舍去）， ∴ 综上所述，的长为或； （4）如图所示，过点A、C分别作x轴的垂线，垂足分别为E、F，连接， ∵是以为斜边的等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 由反比例函数的对称性可得， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴，即， ∴可设， ∵点A在反比例函数的图象上， ∴， ∴（负值舍去）， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了反比例函数与几何综合，相似三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质，全等三角形的性质与判定，角平分线定理，证明角平分线定理是解题的关键． 35．（23-24九年级上·山西大同·期末）阅读以下材料，并完成相应的任务： 角平分线分线段成比例定理的认识 定理：三角形内角平分线分对边所得的两条线段和这个角的两边对应成比例，即：如图①，在中，平分，则 综合与实践课上，“奋斗”小组利用不同的方法验证出该定理的正确性． 方法一：证明：如图②，过点作，交线段于点      （依据1） 平分     （依据2）     即     方法二：证明：如图③，过点作，交的延长线于点……．    任务： (1)填空：方法1中的依据1指的是______________，依据2指的是______________ (2)“方法二”给出了这个定理的部分证明过程，请按照材料中的证明思路，写出该证明的剩余部分； (3)如图④，已知在中，，，，平分，请你直接写出线段的长． 【答案】(1)平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形和原三角形相似；等角对等边 (2)证明见解析 (3) 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，平行线的性质，角平分线的性质，勾股定理，熟练掌握相似三角形的判定，角平分线的性质是解答本题的关键． （1）根据题意，得到，，由此证明，故依据1指的是：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形和原三角形相似；过点作于点，通过证明，得到，故依据2指的是：等角对等边，由此得到答案． （2）过点作，交的延长线于点，得到，，，由角平分线的性质得到，由此得到证明． （3）由已知得，再由角平分线的性质，得到，从而得到，再由勾股定理得到，由此得到答案． 【详解】（1）根据题意得： ， ，， ， 依据1指的是：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形和原三角形相似； 如图，过点作于点，    在和中， ， ， 依据2指的是：等角对等边， 故答案为：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形和原三角形相似；等角对等边． （2）证明：如图③，过点作，交的延长线于点， ， ，，， 平分， ， ， ， ． （3）由已知得：在中，，，， ， ， 平分， ， ， ， ， 在中，，，， ， ． 36．（23-24八年级下·江苏淮安·阶段练习）【结论提出】：三角形的角平分线分对边所成的两条线段段比等于夹这个角的两条边的比． 【思路说明】（1）已知：如图1，中，平分 交于D．试说明：． 理由：过点C作，交BA延长线于点E，易得______， 由，平分，可得______，代入上式得．    【直接应用】 （2）如图2，中，，平分交于D，若，，在不添加辅助线的情况下直接写出 ． （3）如图3，若四边形为矩形，，，将沿翻折得到，延长、分别交于M、H两点，当时． ①求的长； ②直接写出 ． 【拓展延伸】 （4）如图4，若平行四边形中，，，当点E为边的三等分点时，将沿翻折得到，直线与所在直线交于点P、与所在直线交于点Q，请直接写出的长 ．    【答案】（1）；；（2）；（3）①；②；（4）的长为或． 【分析】（1）根据平行线分线段成比例，以及平行线的性质和角平分线的定义作答即可； （2）由三角形的角平分线分对边所成的两条线段的比等于夹这个角的两条边的比，求出与的比值，再利用勾股定理进行计算即可； （3）①设利用翻折的性质和勾股定理进行求解即可； ②证明，得到平分，利用结论即可得解； （4）分和两种情况进行求解．过点作于点，利用角平分线的结论，以及勾股定理求出，再利用平行四边形的对边平行的性质得到，利用相似比进行计算即可． 【详解】解：（1）∵， ∴，， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：；； （2）解：∵平分， 由（1）知：， 设，， ∵，， ∴，即：， 解得：， ∴； （3）解：①∵四边形是矩形，，， ∴， ∵翻折， ∴， ∴， ∵， 设，则：， 在中： ， ∴，解得：， ∴，； ②连接，    在和中， ， ， ，即平分， ； （4）解：当时，    ∵平行四边形中，，， ∴，， ∵翻折， ∴，，，， ∴平分， ∴，即， ∴设，则， ∴， 过点作于点， ∵， ，， ， ， ， 即：， 整理得， 解得：或， ∴（舍去）或， ∵， ， 即：， ； 当时：如图，过点作交的延长线于点，    同理可证：， ∴平分， ∴，即， ∴设，则， ∴， ，， ， ， ， 即：， 整理得， 解得：或， ∴或（舍去）， ∵， ， 即：， ； 综上所述，的长为或． 【点睛】本题考查三角形的角平分线分对边所成的两条线段的比等于夹这个角的两条边的比．同时考查了矩形的性质，平行四边形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，解一元二次方程，综合性很强，属于中考常考题型． 【考点题型十】三平行模型 37．（23-24九年级上·山东聊城·阶段练习）如图：，分别交、、于点E、F、G，已知，，，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．先证明，，然后根据相似三角形性质求出，，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴，， ∴，， 即，， ∴，， ∴． 故答案为：． 38．（21-22九年级上·安徽安庆·期中）图，，点H在BC上，AC与BD交于点G，AB＝2，CD＝3，求GH的长． 【答案】 【分析】根据平行线分线段成比例定理，由，可证△CGH∽△CAB，由性质得出，由，可证△BGH∽△BDC，由性质得出，将两个式子相加，即可求出GH的长． 【详解】解：∵， ∴∠A=∠HGC，∠ABC=∠GHC， ∴△CGH∽△CAB， ∴， ∵， ∴∠D=∠HGB，∠DCB=∠GHB， △BGH∽△BDC， ∴， ∴， ∵AB=2，CD=3， ∴， 解得：GH=． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，平行线性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 39．（24-25九年级上·广西百色·期中）如图，平行四边形的对角线交于点，平分交于点，交于点，且，，连接．下列结论： ； ； ； ． 其中正确的结论有（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】证明，推出，再利用三角形中位线定理可判断；证明推出可判断；设，求出，可判断；求出，，（用表示），通过计算证明可判断． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴点在以为圆心，为半径的圆上， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，故正确， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，故错误； 设，则，，， ∴， ∴，故正确； ∵， ∴， ∴，， ∴，故正确， 综上可知：正确， 故选：． 【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质，勾股定理，平行四边形的性质，三角形中位线，相似三角形的判定与性质，圆周角定理等知识，灵活运用这些知识是解题的关键． 40．（2024·江苏盐城·模拟预测）请阅读下列材料，完成相应的任务： 有这样一个题目：设有两只电阻，分别为和，问并联后的电阻值R是多少？ 我们可以利用公式，求得R的值，也可以设计一种图形直接得出结果 如图①，在直线l上任取两点A、B，分别过点A、B作直线l的垂线1，，且点C、D位于直线l的同侧，连接，交于点E，则线段的长度就是并联后的电阻值R． 证明：∵， ∴， 又∵， ∴（依据1）， ∴（依据2）． 同理可得：， ∴， ∴， ∴， 即：． 任务： (1)上述证明过程中的“依据1”和“依据2”分别是指： 依据1：　　； 依据2：　　； (2)如图②，两个电阻并联在同一电路中，已知千欧，千欧，请在图③中（1个单位长度代表1千欧）画出表示该电路图中总阻值R的线段长； (3)受以上作图法的启发，小明提出了已知和R，求的一种作图方法，如图④，作，过点B作的垂线，并在垂线上截取，使点D与点A在直线的同一侧，作射线，交的延长线于点E，则即为．你认为他的方法是否正确，若正确，请加以证明，请说明理由． 【答案】(1)两组角对应相等的两个三角形相似，相似三角形的对应边成比例； (2)详见解析 (3)小明的方法正确，详见解析 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，正确理解已知证明过程是解题关键． （1）根据相似三角形的判定和性质分析即可； （2）根据已知证明过程和图形作图即可； （3）证明，得到，再结合，，得出，即可证明． 【详解】（1）解：证明：∵， ∴， 又∵， ∴（两组角对应相等的两个三角形相似）， ∴（相似三角形的对应边成比例）． 同理可得：， ∴， ∴， ∴， 即：． 故答案为：两组角对应相等的两个三角形相似，相似三角形的对应边成比例； （2）如图，线段表示R的长． 在上取点M，使，在上取点N，使，连接，交于点E，过点E作于点F，则线段为所求线段． （3）小明的方法正确． 理由：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 由题意可知， ∴， ∴， ∵． ∴， ∴． 41．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）某天晚上，小明看到人民广场的人行横道两侧都有路灯，发现自己在两路灯下的影长与自身的站定位置具有一定关系，小明从有关部门查得左侧甲路灯的高度为4.8米，右侧乙路灯的高度为6.4米，两路灯之间的距离为12米，已知小明的身高为1.6米，小明在两路灯之间行走（如图所示），并测量相关数据. (1)当小明站在人行横道的中央时（即点是的中点），则小明在两路灯下的影长之和________米； (2)当小明移动到某一点时，，求影长的长度； (3)当小明移动到某一点时，两路灯产生的影长相等（），此时小明距离甲路灯多远？ 【答案】(1)5 (2)米 (3)离甲路灯米 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，熟练掌握相似三角形判定与性质是解此题的关键． （1）利用相似三角形的判定与性质分别求得，即可； （2）利用等腰直角三角形的性质和相似三角形的判定与性质解答即可； （3）设米，小明距离甲路灯的距离为米，则米，米，利用相似三角形的判定与性质列出方程组，解方程组即可得出答案． 【详解】（1）解：点是的中点， 米， 由题意得：， ， ， ， ， ， 由题意得：， ， ， ， ， ， ， 故答案为：； （2）解：，，， 米，米， 米， 米， ， ， ， ， ， （米）； （3）解：设米，小明距离甲路灯的距离为米，则米，米， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 组成方程组得：， 解得：， 经检验，它们是原方程的解， 小明距离甲路灯米． 【考点题型十一】对角互补模型 42．（21-22九年级上·黑龙江鸡西·期末）如图，在Rt中，，，，在Rt中，，点在上，交于点，交于点，当时，的长为（    ） A．4 B．6 C． D． 【答案】B 【分析】如图作PQ⊥AB于Q，PR⊥BC于R．由△QPE∽△RPF，推出，可得PQ＝2PR＝2BQ，由PQ//BC，可得AQ：QP：AP＝AB：BC：AC＝3：4：5，设PQ＝4x，则AQ＝3x，AP＝5x，BQ＝2x，可得2x＋3x＝6，求出x即可解决问题． 【详解】解：如图作PQ⊥AB于Q，PR⊥BC于R． ∵∠PQB＝∠QBR＝∠BRP＝90°， ∴四边形PQBR是矩形， ∴∠QPR＝90°＝∠MPN， ∴∠QPE＝∠RPF， ∴△QPE∽△RPF， ∴， ∴PQ＝2PR＝2BQ， ∵PQ//BC， ∴△AQP∽△ABC， ∴AQ：QP：AP＝AB：BC：AC＝3：4：5， 设PQ＝4x，则AQ＝3x，AP＝5x，BQ＝2x， ∴2x＋3x＝6， ∴x＝， ∴AP＝5x＝6． 故选：B． 【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质、勾股定理、矩形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题． 43．（2024·江苏扬州·二模）如图，已知中，，点D在边上，．数学老师让同组的几位同学用一块含的三角板，开展如下的数学探究活动：将绕着点D按顺时针方向旋转，旋转过程中边始终分别与的边相交于点M、N． (1)【特殊化感知】在三角板的旋转过程中，若，则 (2)【一般化研究】在三角板的旋转过程中，的值是否为定值，若是，求出这个定值；若不是，说明理由； (3)【拓展延伸】 ①如图1，在三角板的旋转过程中，求的最大值； ②如图2，连接，取的中点P，在旋转过程中，求点N在从点C运动到点B的过程中，点P运动的路径为 ． 【答案】(1)4 (2)是定值4，见解析 (3)①最大值为8；② 【分析】（1）由题意得四边形为矩形，则得；由已知得，，则可得的长，从而得结果的值； （2）过D点分别作，则得四边形为矩形，则得；由已知得是等腰直角三角形，从而得；证明，有；最后可求得的值； （3）①由变形得，由（2）知为定值4，则可求得的最大值； ②连接，得，表明点P在线段的垂直平分线上，且为线段，当点N与点C重合时，点P与点Q重合，当点N与点B重合时，点P与点K重合；设交于点O，过C作，则可求得，进而得，分别在中利用勾股定理即可求得的长． 【详解】（1）解：， ， 四边形为矩形， ； ， ； ，， ， ， ， 故答案为：4； （2）解：是定值4； 如图，过D点分别作，垂足分别为G，H； 则， 四边形为矩形， ； ，， ， ， ， 即是等腰直角三角形， ， ； ； ， ， 即， ， ， ， 即 ，， ； 即为定值； （3）解：①， 即， ， ， 由（2）知，即， ， 的最大值为8； ②如图，连接， ，P为的中点， ， 表明点P在线段的垂直平分线上，且为线段， 当点N与点C重合时，点P与点Q重合，当点N与点B重合时，点P与点K重合； 设交于点O，则； 过C作于S， ， ， ， 由勾股定理得， ； 当点N与点C重合时，点P与点Q重合， 由（2）知，，则， ， 在中，由勾股定理得：； 当点N与点B重合时，点P与点K重合，此时 由（2）知，，即， ， 由勾股定理得：， ， 在中，由勾股定理得：， ． 故点P的运动路径为； 故答案为：． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理，矩形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，直角三角形斜边上中线的性质，线段垂直平分线的判定，旋转的性质等知识，综合性强，构造适当的辅助线是关键与难点． 44．（2024·湖北随州·模拟预测）点P在四边形的对角线上，直角三角板的直角边，分别交，边于点M，N． 【特例探究】（1）如图1，若O是边长为2的正方形对角线，的交点，当点Р在点O处时，无论三角板绕点O怎样转动，我们发现，三角板与正方形重叠部分的面积总等于______； 【类比探究】（2）如图2，在（1）的条件下，改变点Р的位置（P在对角线AC上），若，则有． 下面是该结论的证明过程： 证明：过点P作于点G，作于点H， …… 请按以上证明思路完成剩余的证明过程； 【迁移探究】（3）如图3，在（2）的条件下，将“正方形”改为“矩形”，且，，其他条件不变．若，且过点B，直接写出的长． 【答案】（1）1；（2）详见解析；（3） 【详解】本题考查正方形和矩形的性质，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，作辅助线构造相似三角形是解题的关键． （1）利用正方形的性质证明，即可解题； （2）过点P作于点G，作于点H，证明即可得到结论； （3）过点P作于点G，作于点H，则，得到，然后证明，即可解题． 解：（1）解：∵是正方形，， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）四边形是正方形， 是等腰直角三角形， ； （3）过点P作于点G，作于点H， ∴四边形是矩形， ∴ ∴， ∴， ∴，， ∴，， 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴． 【考点题型十二】半角模型 45．（21-22九年级上·山东济南·期末）在菱形中，，，，相交于点．将一个足够大的直角三角板60°角的顶点放在菱形的顶点处，绕点左右旋转，其中三角板60°角的两边分别与边，相交于点，，连接与相交于点．旋转过程中，当点为边的四等分点时（）， ． 【答案】/0.75 【分析】根据菱形的性质，确定△AOB为直角三角形，然后利用勾股定理求出边AB的长度；证明△ABE≌△ACF，得到AE=AF，再根据已知条件∠EAF=60°，可以判定△AEF是等边三角形；得出∠AEF=60°，证明△CAE∽△CFG，由对应边的比例关系求出CG的长度． 【详解】解：∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD，AB＝BC＝CD＝AD， ∴△AOB为直角三角形，且OA＝AC＝2，OB＝BD＝． 在Rt△AOB中，由勾股定理得：AB＝＝＝2． ∵AB＝BC＝AC＝4， ∴△ABC与△ACD均为等边三角形， ∴∠BAC＝∠BAE+∠CAE＝60°，∠ACE＝∠EBA＝∠FCA＝60°， 又∵∠EAF＝∠CAF+∠CAE＝60°， ∴∠BAE＝∠CAF． 在△ABE与△ACF中，， ∴△ABE≌△ACF（ASA）， ∴BE＝CF，AE＝AF， ∴△AEF是等腰三角形， 又∵∠EAF＝60°， ∴△AEF是等边三角形． ∴∠AEF＝60°， ∵BC＝4，E为为边BC的四等分点，且BE＞CE， ∴CE＝1，BE＝3． ∴CF＝BE＝3， ∵∠EAC+∠AEG+∠EGA＝∠GFC+∠FCG+∠CGF＝180°，∠AEG＝∠FCG＝60°，∠EGA＝∠CGF， ∴∠EAC＝∠GFC． 又∵∠ACE＝∠FCG＝60°， ∴△CAE∽△CFG， ∴＝，即＝， 解得：CG＝； 故答案为 ． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、菱形的性质、勾股定理、旋转的性质、等边三角形的判定与性质等知识；熟练掌握全等三角形的判定与性质和相似三角形的判定与性质是解题的关键． 46．（23-24九年级上·辽宁大连·期末）【问题初探】 数学课上，同学们将两块大小不一的等腰直角三角板叠放在一起，使得其中的一个顶点重合，然后绕着这个顶点转动一个三角板，可以得到如图1，图2所示的两种情况，据此得到如图3，图4所示的两个图形． （1）小明发现：图3中存在全等三角形，进而发现，且； （2）小强发现：图4中存在相似三角形，进而发现． 请你直接写出小强发现的所有的相似三角形．__________．（对应顶点要写在对应的位置） 【类比分析】 小红发现，图3中的两个全等三角形可以看做是将一个三角形绕着顶点A逆时针旋转得到的，她在图4中进行了类似的操作，进而发现了，，之间的数量关系． 请你先进行小红的操作，再探究，，之间的数量关系． 【学以致用】 如图5，在等边中，点D，E在边上，，，，则的面积是__________．（直接写出答案） 【答案】【问题初探】，；【类比分析】；【学以致用】 【分析】【问题初探】根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和可得，；结合题意推得，；根据三个角对应相等的两个三角形是相似三角形，相似三角形的对应边成比例可推得，，即可求得；即可得出答案． 【类比分析】先根据题意推得；根据两边及其夹角对应相等的两个三角形是全等三角形可证明，判断得出可以看做将绕着顶点A逆时针旋转得到的；即可推得将绕点逆时针旋转得到，连接；根据旋转前和旋转后的图形是全等图形可得，根据全等三角形的对应边相等，对应角相等可得，，；根据等腰直角三角形的旋转可推得；根据全等三角形的判定和性质可得，结合直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平分即可推得． 【学以致用】将和分别绕点逆时针旋转得到和，连接，过点作交于点，过点作的延长线交于点，根据等边三角形的三个角都是，三条边都相等可得，；根据旋转的性质和全等三角形的性质可得，，，，，，根据直角三角形两锐角互余可得，根据直角三角形中，所对的边是斜边的一半和勾股定理可分别求出、、的值，根据全等三角形的判定和性质可求得； 根据等边三角形三线合一可得，结合勾股定理求出的值，即可根据三角形的面积公式求解． 【详解】【问题初探】解：由题可得，，， ∵，， ，， ∴，； ∵，，， ∴， ∴； 即； ∵，，， ∴， ∴； 即； 则； 故答案为：，． 【类比分析】解：如图： 由题可得，，， ∵，， ∴， ∵，，， ∴， 故可以看做将绕着顶点A逆时针旋转得到的． 如图：将绕点逆时针旋转得到，连接， 则， ∵， ∴，，； ∵， ∵，， ∴， 即； ∵，，， ∴， ∴， 在中，，，， ∴． 【学以致用】解：将和分别绕点逆时针旋转得到和，连接，过点作交于点，过点作的延长线交于点，如图： ∵是等边三角形， ∴，， ∵，， ∴，，，，，， ∴， 在中，，， ∴，； ∴， 在中，， 则； ∵，， ∴， 又∵， ∴； ∵，，， ∴， ∴， 故； 则， ； 在中，； 故的面积为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了三角形的外角性质，相似三角形的判定和性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，直角三角形的性质，等边三角形的性质等；通过旋转和全等三角形的判定和性质推得，根据直角三角形的性质和勾股定理求出的值是解题的关键． 47．（23-24九年级下·湖南岳阳·期末）已知正方形，一等腰直角三角板的一个锐角顶点与重合，将此三角板绕点旋转时，两边分别交直线于． (1)当分别在边上时（如图1），将绕点顺时针旋转至，求证：； (2)当分别在边所在的直线上时（如图2），线段之间又有怎样的数量关系，并证明你的结论： (3)在图3中，作直线交直线于两点，在（2）的条件下，若，，求的长． 【答案】(1)证明过程见详解 (2)或，理由见详解 (3) 【分析】（1）根据正方形的性质，等腰直角三角板的性质可得，，根据旋转的性质可证，可得，根据即可求证； （2）分类讨论，第一种情况，当点在点左边，点在点下方，将绕点逆时针旋转得，连接，，交于点，可得，再证，即可求解；第二种情况，当点在点右边，点在点上方，将绕点顺时针旋转得，同理，，可证，由此即可求解； （3）连接，运用勾股定理可得，，，根据三角形相似的判定和性质可得，由此即可求解． 【详解】（1）证明：∵四边形是正方形， ∴，， 根据直角三角板的性质可得，， ∴， ∵将绕点顺时针旋转至， ∴，，，， 在，中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：或，理由如下， 第一种情况，当点在点左边，点在点下方，如图所示， ∵四边形是正方形， ∴， ∴将绕点逆时针旋转得，连接，，交于点， ∴， ∴，，，， 根据等腰直角三角板可得，， ∴， ∴， ∴平分，且， ∴，且平分，即，， 在中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； 第二种情况，当点在点右边，点在点上方，如图所示， 将绕点顺时针旋转得， 同理，， ∴， 根据等腰直角三角版可得，， ∴， ∴， 在中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）解：如图所示，连接， ∵四边形是正方形， ∴，则， 在中，， ∴， 由（2）中可得，，且， ∴，即， 解得，， ∴在中，，且， 在中，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴，，则， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识的综合运用，掌握上述知识，合理作出辅助线，图形结合，分类讨论思想是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 考点清单6-2 相似三角形的热考几何模型 （12种题型解读+8种方法解读） 【考点题型一】利用“A 型”或“X型”模型求线段的长 1．（24-25九年级上·安徽六安·期中）如图，在中，点D为上一点，且，过点D作交于点E，连接，过点D作交于点F．若，求的长．    2．（24-25九年级上·陕西咸阳·期中）如图，直线，分别交直线，于点，，，，，，若，，，求的长． 3．（24-25九年级上·海南·阶段练习）阅读材料，并解决问题． 角平分线分线段成比例定理：如图，在中，平分，则，下面是这个定理的部分证明过程． 证明：如图，过点作，交的延长线于点． 任务： (1)请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分； (2)填空：如图，已知中，，，，平分，则的长是 ； (3)如图，在中，是的中点，是的平分线，交于点，，，求长． 【考点题型二】“A”字相似模型 4．（23-24九年级上·北京昌平·期中）如图，在中，，点在上，于点． (1)求证：； (2)，且，求的长． 5．（24-25九年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，D是的边上一点，连接，若， (1)求证： (2)若，，求的长． 6．（23-24八年级下·江苏无锡·期末）[基础学习] （1）如图1，在中，，，分别为，，上的点，，交于点，求证：． [尝试应用] （2）如图2，已知、为的边上的两点，且满足，一条平行于的直线分别交、和于点、和，求的值． [拓展提高] （3）如图3，矩形中（为常数），点是矩形边上的一个动点，延长至点，使，连接，，与相交于点，连接，求的最小值（用的代数式表示）． 7．（24-25九年级上·四川内江·期中）（1）如图1，在中，E是上一点，过点E作的平行线交于点F．点D是上任意一点．连结交于点G，求证：； （2）如图2，在（1）的条件下，连结，，若，且、恰好将三等分．求的值； （3）如图3，在等边中，，连结，点在上，若，求的值． 【考点题型三】“8”字相似模型 8．（2021·山东聊城·一模）如图，在平行四边形中，点E是上一点，，连接交于点G，延长交的延长线于点F，则的值为（　　）    A． B． C． D． 9．（23-24九年级下·江苏南京·自主招生）如图，过点P作两条直线分别与圆交于A，B和C，D两点，分别求证：． 10．（24-25九年级上·福建泉州·阶段练习）如图，，相交于点P，连接，，，，． (1)求证：，并判断与是不是位似图形？（不必说明理由） (2)若，，，求的长． 11．（辽宁省锦州市第四中学教育集团2024—2025学年上学期九年级期中考试数学试卷）如图，在梯形中，，与相交于点，点在线段上，的延长线与相交于点，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)如果，，求证：． 【考点题型四】一线三等角相似模型 12．（24-25九年级上·山西·期中）如图，已知矩形纸片，，点E在上，把纸片沿折叠，点D的对应点恰好落在上，则的长度为（   ） A．3 B． C． D．2．5 13．（24-25九年级上·江苏无锡·期中）如图，点E，F  分别在正方形的边，上，且．    (1)求证：； (2)若，，求的长． 14．（22-23九年级上·广东深圳·期中）【基础巩固】（1）如图1，在中，是边上一点，是边上一点，．求证：； 【尝试应用】（2）如图2，在四边形中，点是边的中点，，若，，求线段的长． 【拓展提高】（3）在中，，以为直角顶点作等腰直角三角形（其中），点在上，点在上．若，求的长． 15．（24-25九年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，点，点在轴上（点在点的左侧），且点、的横坐标是方程的解，点为轴正半轴上一动点，连接，与的垂直平分线交于点． (1)求点的坐标；（用含的代数式表示） (2)点是点关于轴的对称点，连接，，是否存在这样的值，使与相似？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 【考点题型五】三角形内接矩形模型 16．（2023九年级上·全国·专题练习）如图，在中，，高，正方形一边在上，点分别在上，交于点，求的长． 17．（24-25九年级上·辽宁营口·期中）如图所示，有一块三角形余料，它的边长，高．要把它加工为矩形零件． (1)如果使矩形的长为宽的两倍，且长边在上，其余两个顶点分别在上，则加工成矩形零件的长和宽分别是多少？ (2)如果要使加工的矩形零件面积最大，求矩形零件面积达到最大时的两边长． 18．（21-22九年级上·全国·课后作业）一块直角三角形木板的面积为，一条直角边为，怎样才能把它加工成一个面积最大的正方形桌面？甲、乙两位木匠的加工方法如图所示，请你用学过的知识说明哪位木匠的方法符合要求（加工损耗忽略不计，计算结果中的分数可保留）． 19．（24-25九年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，锐角中，，边上的高，矩形的边在上，其余两点、分别在、上，且交于点． (1)求的值； (2)设，矩形的面积为． 求与的函数关系式； 请直接写出的最大值为 ． 【考点题型六】射影定理 20．（21-22九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，在 Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，已知AD＝，那么BC＝ ． 21．（24-25九年级上·四川眉山·期中）如图，在中，，于D， (1)求证：； (2)若，，求的长． 22．（2024·江苏徐州·中考真题）在中，点在边上，若，则称点是点的“关联点”． (1)如图（1），在中，若，于点．试说明：点是点的“关联点”． (2)如图（2），已知点在线段上，用无刻度的直尺和圆规作一个，使其同时满足下列条件：①点为点的“关联点”；②是钝角（保留作图痕迹，不写作法）． (3)若为锐角三角形，且点为点的“关联点”．设，，用含、的代数式表示的取值范围（直接写出结果）． 23．（2024·山东济南·中考真题）某校数学兴趣小组的同学在学习了图形的相似后，对三角形的相似进行了深入研究． （一）拓展探究 如图1，在中，，垂足为． （1）兴趣小组的同学得出．理由如下： ①______ ②______ 请完成填空：①______；②______； （2）如图2，为线段上一点，连接并延长至点，连接，当时，请判断的形状，并说明理由． （二）学以致用 （3）如图3，是直角三角形，，平面内一点，满足，连接并延长至点，且，当线段的长度取得最小值时，求线段的长． 【考点题型七】手拉手模型 24．（山西省临汾市2024—2025学年九年级上学期11月期中考试数学试题）综合与探究 问题情境 小丽在学习全等三角形的知识时，发现这样一个模型：它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成．在相对位置变化时，始终存在一对全等三角形．它们类似大手拉着小手，这种模型称为“手拉手模型”．小丽进行了如下操作： (1)问题发现 如图1，在和中，，，，连接，交于点M．小丽发现这就是手拉手模型，易证，进而可以得知： ①的值为______； ②的度数为______． (2)类比探究 如图2，在和中，若，，连接交的延长线于点M，与交于点P．小丽发现不等腰的三角形也可得到手拉手模型．请你求出此时的值及的度数，并说明理由； (3)拓展延伸 在（2）的条件下，将绕点O在平面内任意旋转，，所在直线交于点M，若，，请直接写出当点C与点M重合时的长． 25．（23-24八年级下·江苏苏州·阶段练习）（1）【问题发现】如图①，正方形，，将正方形绕点D旋转，直线、交于点P，请直接写出线段与之间的数量关系是______，位置关系是______； （2）【拓展探究】如图2，矩形，，，将矩形绕D旋转；直线,交于点P，（1）中线段之间的关系还成立吗？若成立，请写出理由；若不成立，请写出线段之间的关系； （3）【解决问题】若，矩形绕D旋转过程中当点P与点G重合时，求线段的长． 26．（23-24九年级上·辽宁沈阳·阶段练习）1.问题发现 图（1），在和中，，，，连接，交于点M. ①的值为______；②的度数为_______． （2）类比探究 图（2），在和中，，，连接，交的延长线于点M，请计算的值及的度数； （3）拓展延伸 在（2）的条件下，若，，将绕点O在平面内旋转一周． ①当直线经过点B且点C在线段上时，求的长； ②请直接写出运动过程中M点到直线距离的最大值． 27．（2022·山东烟台·中考真题）   (1)【问题呈现】如图1，△ABC和△ADE都是等边三角形，连接BD，CE．求证：BD＝CE． (2)【类比探究】如图2，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°．连接BD，CE．请直接写出的值． (3)【拓展提升】如图3，△ABC和△ADE都是直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°，且＝＝．连接BD，CE． ①求的值； ②延长CE交BD于点F，交AB于点G．求sin∠BFC的值． 【考点题型八】飞鱼模型 28．（24-25九年级上·四川乐山·期中）如图，中，是边上的中线，是上一点，有，连接，并延长交于，则等于　　 A． B． C． D． 29．（23-24九年级上·江苏南京·阶段练习）已知：如图，中，，，求证：． 30．（24-25九年级上·福建泉州·期中）如图，是的中线，点E是的中点，延长交于点F，若，则的长为 ． 31．（24-25九年级上·安徽滁州·期中）如图，是的中线，点是上一点，且，连接并延长交于点． (1)若，求的长； (2)求的值． 32．（24-25九年级上·安徽亳州·阶段练习）如图，是的中线，点M在上，连接并延长交于点N．   【填空】 （1）若，则 ； （2）若，则 ； （3）若，则 ； … 【论证】请选择上述情况中的一种，画出符合条件的图形，并证明你的结论； 【猜想】若，则 （用含n的代数式表示，不用说明理由）． 【考点题型九】角平分线分线段成比例模型 33．（2024·吉林长春·三模）如图①，是的角平分线．数学兴趣小组发现结论：．经过讨论得到如下种证明思路： 思路：过点向两边作垂线段，利用三角形的面积比证出结论； 思路：过点作的平行线，与的延长线相交，利用三角形相似证出结论； 思路：过点作的平行线，与的延长线相交，利用平行线分线段成比例证出结论． (1)请参考以上种证明思路，选择其中一种证出结论； (2)在图①中，是的角平分线．若，，，则的长度为_______； (3)如图②，在中，，的角平分线、相交于点，若，则的值为_______． 34．（23-24九年级上·江苏淮安·阶段练习）聪明好学的晨晨看到一课外书上有个重要补充： 角平分线定理：三角形一个内角的平分线分对边所成的两条线段与这个角的两邻边对应成比例，于是他就和其他同学研究一番，写出了已知、求证如下：“已知：如图①，中，平分交于点D， 求证： ． 可是他们依然找不到证明的方法，经过老师的提示：过点B作交延长线于点E，于是得到，从而打开思路． 【问题初探】（1）请你按老师的提示或你认为其他可行的方法帮晨晨完成证明； 【现学现用】 利用角平分线定理解决如下问题： （2）已知，中，是角平分线，， 则的长为 ； （3）如图②，中，，点D是边上一点，将沿着翻折，使得点B与边上的点E重合，若是直角三角形，求的长度． 【问题解决】 （4）如图③，已知反比例函数 ，点A是该图象第一象限上的动点，连接并延长交另一支于点B，以为斜边作等腰直角，顶点C在第四象限，与x轴交于点P，连接，点A在运动过程中，是否存在的情况？ 若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由． 35．（23-24九年级上·山西大同·期末）阅读以下材料，并完成相应的任务： 角平分线分线段成比例定理的认识 定理：三角形内角平分线分对边所得的两条线段和这个角的两边对应成比例，即：如图①，在中，平分，则 综合与实践课上，“奋斗”小组利用不同的方法验证出该定理的正确性． 方法一：证明：如图②，过点作，交线段于点      （依据1） 平分     （依据2）     即     方法二：证明：如图③，过点作，交的延长线于点……．    任务： (1)填空：方法1中的依据1指的是______________，依据2指的是______________ (2)“方法二”给出了这个定理的部分证明过程，请按照材料中的证明思路，写出该证明的剩余部分； (3)如图④，已知在中，，，，平分，请你直接写出线段的长． 36．（23-24八年级下·江苏淮安·阶段练习）【结论提出】：三角形的角平分线分对边所成的两条线段段比等于夹这个角的两条边的比． 【思路说明】（1）已知：如图1，中，平分 交于D．试说明：． 理由：过点C作，交BA延长线于点E，易得______， 由，平分，可得______，代入上式得．    【直接应用】 （2）如图2，中，，平分交于D，若，，在不添加辅助线的情况下直接写出 ． （3）如图3，若四边形为矩形，，，将沿翻折得到，延长、分别交于M、H两点，当时． ①求的长； ②直接写出 ． 【拓展延伸】 （4）如图4，若平行四边形中，，，当点E为边的三等分点时，将沿翻折得到，直线与所在直线交于点P、与所在直线交于点Q，请直接写出的长 ．      【考点题型十】三平行模型 37．（23-24九年级上·山东聊城·阶段练习）如图：，分别交、、于点E、F、G，已知，，，，则 ． 38．（21-22九年级上·安徽安庆·期中）图，，点H在BC上，AC与BD交于点G，AB＝2，CD＝3，求GH的长． 39．（24-25九年级上·广西百色·期中）如图，平行四边形的对角线交于点，平分交于点，交于点，且，，连接．下列结论： ； ； ； ． 其中正确的结论有（    ） A． B． C． D． 40．（2024·江苏盐城·模拟预测）请阅读下列材料，完成相应的任务： 有这样一个题目：设有两只电阻，分别为和，问并联后的电阻值R是多少？ 我们可以利用公式，求得R的值，也可以设计一种图形直接得出结果 如图①，在直线l上任取两点A、B，分别过点A、B作直线l的垂线1，，且点C、D位于直线l的同侧，连接，交于点E，则线段的长度就是并联后的电阻值R． 证明：∵， ∴， 又∵， ∴（依据1）， ∴（依据2）． 同理可得：， ∴， ∴， ∴， 即：． 任务： (1)上述证明过程中的“依据1”和“依据2”分别是指： 依据1：　　； 依据2：　　； (2)如图②，两个电阻并联在同一电路中，已知千欧，千欧，请在图③中（1个单位长度代表1千欧）画出表示该电路图中总阻值R的线段长； (3)受以上作图法的启发，小明提出了已知和R，求的一种作图方法，如图④，作，过点B作的垂线，并在垂线上截取，使点D与点A在直线的同一侧，作射线，交的延长线于点E，则即为．你认为他的方法是否正确，若正确，请加以证明，请说明理由． 41．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）某天晚上，小明看到人民广场的人行横道两侧都有路灯，发现自己在两路灯下的影长与自身的站定位置具有一定关系，小明从有关部门查得左侧甲路灯的高度为4.8米，右侧乙路灯的高度为6.4米，两路灯之间的距离为12米，已知小明的身高为1.6米，小明在两路灯之间行走（如图所示），并测量相关数据. (1)当小明站在人行横道的中央时（即点是的中点），则小明在两路灯下的影长之和________米； (2)当小明移动到某一点时，，求影长的长度； (3)当小明移动到某一点时，两路灯产生的影长相等（），此时小明距离甲路灯多远？ 【考点题型十一】对角互补模型 42．（21-22九年级上·黑龙江鸡西·期末）如图，在Rt中，，，，在Rt中，，点在上，交于点，交于点，当时，的长为（    ） A．4 B．6 C． D． 43．（2024·江苏扬州·二模）如图，已知中，，点D在边上，．数学老师让同组的几位同学用一块含的三角板，开展如下的数学探究活动：将绕着点D按顺时针方向旋转，旋转过程中边始终分别与的边相交于点M、N． (1)【特殊化感知】在三角板的旋转过程中，若，则 (2)【一般化研究】在三角板的旋转过程中，的值是否为定值，若是，求出这个定值；若不是，说明理由； (3)【拓展延伸】 ①如图1，在三角板的旋转过程中，求的最大值； ②如图2，连接，取的中点P，在旋转过程中，求点N在从点C运动到点B的过程中，点P运动的路径为 ． 44．（2024·湖北随州·模拟预测）点P在四边形的对角线上，直角三角板的直角边，分别交，边于点M，N． 【特例探究】（1）如图1，若O是边长为2的正方形对角线，的交点，当点Р在点O处时，无论三角板绕点O怎样转动，我们发现，三角板与正方形重叠部分的面积总等于______； 【类比探究】（2）如图2，在（1）的条件下，改变点Р的位置（P在对角线AC上），若，则有． 下面是该结论的证明过程： 证明：过点P作于点G，作于点H， …… 请按以上证明思路完成剩余的证明过程； 【迁移探究】（3）如图3，在（2）的条件下，将“正方形”改为“矩形”，且，，其他条件不变．若，且过点B，直接写出的长． 【考点题型十二】半角模型 45．（21-22九年级上·山东济南·期末）在菱形中，，，，相交于点．将一个足够大的直角三角板60°角的顶点放在菱形的顶点处，绕点左右旋转，其中三角板60°角的两边分别与边，相交于点，，连接与相交于点．旋转过程中，当点为边的四等分点时（）， ． 46．（23-24九年级上·辽宁大连·期末）【问题初探】 数学课上，同学们将两块大小不一的等腰直角三角板叠放在一起，使得其中的一个顶点重合，然后绕着这个顶点转动一个三角板，可以得到如图1，图2所示的两种情况，据此得到如图3，图4所示的两个图形． （1）小明发现：图3中存在全等三角形，进而发现，且； （2）小强发现：图4中存在相似三角形，进而发现． 请你直接写出小强发现的所有的相似三角形．__________．（对应顶点要写在对应的位置） 【类比分析】 小红发现，图3中的两个全等三角形可以看做是将一个三角形绕着顶点A逆时针旋转得到的，她在图4中进行了类似的操作，进而发现了，，之间的数量关系． 请你先进行小红的操作，再探究，，之间的数量关系． 【学以致用】 如图5，在等边中，点D，E在边上，，，，则的面积是__________．（直接写出答案） 47．（23-24九年级下·湖南岳阳·期末）已知正方形，一等腰直角三角板的一个锐角顶点与重合，将此三角板绕点旋转时，两边分别交直线于． (1)当分别在边上时（如图1），将绕点顺时针旋转至，求证：； (2)当分别在边所在的直线上时（如图2），线段之间又有怎样的数量关系，并证明你的结论： (3)在图3中，作直线交直线于两点，在（2）的条件下，若，，求的长． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司3 学科网（北京）股份有限公司 $$