专题6-1相似三角形（考点清单，知识导图+9个考点清单&16种题型解读+10种方法解读）-2024-2025学年九年级数学上学期期末考点大串讲（苏科版）

考点清单6-1 相似三角形 （9个考点梳理+16种题型解读+10种方法解读） 【清单01】比例线段 比例线段：在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段. 四条线段a，b，c，d，如果,那么a，b，c，d叫做组成比例的项，线段a，d叫做比例外项，线段b，c叫做比例内项. 比例中项：如果比例线段的内项是两条相同的线段，即，那么线段b叫做线段a，c的比例中项. 【清单02】比例性质的基本性质 1）基本性质： 2）推论： 3）合比性质：，分比性质： 4）黄金分割：如图，点B把线段AC分割成AB和BC两部分（AB＞BC），满足（此时线段AB是线段AC,BC的比例中项），那么称点B为线段AC的黄金分割点，AB与AC（或BC与AB）的比成为黄金比，它们的比值为，近似值为0.618. 【清单03】平行线分线段成比例 定理：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例. 1）示例：如图，所得的对应线段成比例的有等等. 2）对应线段成比例可用语言形象表示：等等. 推论：平行于三角形一边的直线与其它两边（或两边的延长线）相交，截得的对应线段成比例． 如图，若DE∥BC，则有 【清单04】相似图形 相似图形：把形状相同的图形叫做相似形. 【补充】1）相似图形的形状完全一样，图形的大小不一定相同； 2）全等图形是一种特殊的相似图形，它们不仅形状相同，大小也相同； 3）判断两个图形是否相似，就是看两个图形的是不是形状相同，与其它的因素无关. 【清单05】相似多边形 相似多边形的定义：两个边数相同的多边形，如果它们的角分别相等，边成比例，那么这两个多边形叫做相似多边形. 相似比：相似多边形对应边的比叫做相似比. 相似多边形的表示：两个相似多边形可以用符号“∽”，读作“相似于”. 【补充】1）相似多边形的三个条件：①边数相同；②对应角相等；③对应边成比例； 2）全等多边形的相似比是1，即全等图形是一种特殊的相似图形；； 3）当用符号“∽”表示两个相似图形时，对应点必须写在对应位置. 【清单06】相似三角形 相似三角形的定义：三个角对应相等，三条边对应成比例的两个三角形叫做相似三角形.如△ABC和△DEF相似可表示为△ABC∽△DEF. 【补充】三角形全等是三角形相似的特殊情况，全等三角形的相似比等于1. 【注意事项】符号“∽”表示两个三角形相似时，要把表示对应顶点的大宇母写在对应的位置上，如△ABC∽△DEF，表示顶点A与D，B与E，C与F分别对应； 【易错点】如果仅说△ABC与△DEF相似，没有用“∽”连接，则需要分情况讨论它们之间的对应关系. 【清单07】相似三角形的性质与盘底 相似三角形的性质： 1）相似三角形的对应角相等，对应边的比相等. 2）相似三角形对应高，对应中线，对应角平分线的比都等于相似比. 3）相似三角形周长的比等于相似比. 4）相似三角形面积比等于相似比的平方. 5）传递性：若△ABC∽△BDC，△ABC∽△ADB，则△BDC∽△ADB. 相似三角形的判定方法： 1）判定三角形相似的常用定理： ①平行于三角形一边的直线和其他两边（或其延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似． ②三边成比例的两个三角形相似； ③两边成比例且夹角相等的两个三角形相似； ④两角分别相等的两个三角形相似． 2）直角三角形相似的判定方法： ①有一个锐角相等的两个直角三角形相似. ②两组直角边成比例的两个直角三角形相似. ③斜边和直角边对应成比例的两个直角三角形相似. 【清单08】位似图形 定义: 如果两个图形不仅是相似图形，且对应点连线相交于一点，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个交点叫做位似中心. 判断位似图形的方法：首先看这两个图形是否相似，再看对应点的连线是否经过位似中 2.位似图形的性质 1) 位似图形的所有对应点的连线所在的直线相交与一点. 2）位似图形的对应线段平行(或在同一条直线上)且比相等. 3) 位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比. 4）位似图形是相似图形,具有相似图形的一切性质. 5）一对对应边与位似中心(不在同一直线上)形成的两个三角形相似 3.画位似图形 位似变换：利用位似图形的性质将一个图形进行放大或缩小叫做位似变换. 【清单09】位似图形的坐标特征 一般地，在平面直角坐标系中，如果以原点为位似中心，画出一个与原图形位似的图形，使它与原图形的相似比为k，那么与原图形上的点(x，y)对应的位似图形上的点的坐标为(kx，ky)或(-kx，-ky). 【小结】以原点为位似中心的位似图形的坐标符号变化：若两个图形在原点同侧，则对应点的横、纵坐标符号相同；若两个图形在原点异侧，则对应点的横、纵坐标符号相反. 【考点题型一】成比例线段 1．（23-24九年级上·江苏扬州·期中）下列四组线段中，是成比例线段的一组是（    ） A．4，5，8，10 B．5，6，7，8 C．2，4，6，8 D．3，4，6，7 2．（23-24九年级上·江苏泰州·期中）已知线段， 当时，则的比例中项等于（     ） A． B． C． D． 3．（22-23九年级上·广东河源·期中）已知四条线段4，，2，3成比例，若为整数，则 ． 4．（23-24九年级上·江苏宿迁·期中）已知点P把线段分割成和 两段，如果是和的比例中项，那么的值等于 ． 【考点题型二】图上距离与实际距离 【解题思路】比例尺就是图上长度与实际长度的比（注意单位） 1．（23-24九年级上·江苏盐城·期末）在比例尺为的扬州旅游地图上，某条道路的长为，则这条道路实际长 ． 2．（22-23九年级上·江苏无锡·阶段练习）在比例尺为的地图上，测得A、B两地间的图上距离为2.5厘米，则其实际距离为 米． 【考点题型三】利用比例的性质求解 解题方法：与比例性质相关的题目主要是运用比例的性质对比例式进行各种变形，得出所要求的结果. 1．（23-24九年级上·江苏无锡·期中）若，则（    ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·江苏南京·期末）如果，，那么 ． 3．（20-21九年级上·全国·课后作业）已知线段，，满足，且． (1)求线段，，的长． (2)若线段是线段，的比例中项，求线段的长． 【考点题型四】黄金分割 1．（23-24九年级上·江苏盐城·期中）大自然巧夺天工，一片树叶也蕴含着“黄金分割”．如图，P为的黄金分割点（），如果的长度为，那么的长度是（　　） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·江苏扬州·期中）如图，点P是线段的黄金分割点，且．如果，那么 ． 3．（22-23九年级上·江苏南京·期末）已知线段，若C，D是的两个黄金分割点，则长为 ． 4．（23-24九年级上·江苏连云港·期末）（1）在图①中按下列步骤作图： 第一步：过点C画，使； 第二步：连接，以点D为圆心，的长为半径画弧，交于点E； 第三步：以点A为圆心，的长为半径画弧，交于点B． （2）在所画图中，点B是线段的黄金分割点吗？为什么？ （3）如果一等腰三角形的底边与腰的比等于黄金比，那么这个等腰三角形就叫做黄金三角形．请你在图②中以线段为腰，用直尺和圆规，作一个黄金三角形．（不写作法，保留作图痕迹） 【考点题型五】相似图形的识别 1．（23-24九年级上·江苏宿迁·期末）下列每个选项的两个图形，不是相似图形的是（    ） A．B．C． D． 2．（22-23九年级下·山东青岛·开学考试）下列形状分别为两个正方形、矩形、正三角形、圆的边框，其中不一定是相似图形的是（    ） A．  B．  C．  D．   3．（22-23八年级下·山东烟台·期末）以下命题中，①两个直角三角形一定相似；②两个等边三角形一定相似；③两个菱形一定相似；④任意两个矩形一定相似；⑤两个正六边形一定相似．其中真命题的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【考点题型六】利用相似图形的性质求解 1．（20-21九年级上·江苏扬州·假期作业）图，四边形与四边形相似，若，则 °． 2．（20-21九年级上·江苏南通·阶段练习）如图，矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，剪去一个矩形ABEF后，余下的矩形EFDC∽矩形BCDA，则EC的长为 ． 3．（23-24九年级上·山西太原·期中）五边形五边形，相似比为，若，则 ． 4．（23-24九年级上·吉林长春·期中）如图，四边形四边形．若，，，，，，求线段的长和的大小． 【考点题型七】利用平行线分线段成比例求解 1．（20-21九年级上·江苏南京·期末）如图，直线，直线a、b与、、分别交于点A、B、C和点D、E、F，若，，则的长为（    ）    A．2 B．3 C．4 D．5 2．（23-24九年级上·江苏无锡·期中）如图，直线，直线分别交，，于点，，；直线分别交，，于点，，．若，则（    ）    A． B． C． D． 3．（23-24九年级上·云南昆明·阶段练习）如图，，若，则的长 ． 4．（23-24九年级上·江苏淮安·期中）如图，已知，它们依次交直线于点和点，若，，求的长． 【考点题型八】作平行线构造成比例线段 解题方法：当几何图形中所求线段的比与已知条件没有明确的联系时，可以过某一点作平行线，分离图形，构造出“A 型”或“X型”，得出与已知和未知线段相关联的成比例线段，从而解决问题.有效构建，准确识别是处理此类问题的关键. 1．（23-24九年级上·河北邯郸·阶段练习）如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点A，，都在横线上.若线段，则线段的长是（    ）    A． B． C． D． 2．（22-23八年级下·江苏无锡·期末）如图，在中，D在边上，，O是的中点，连接并延长交于点E，若，则的长为 （  ） A．2 B．2.5 C．3 D．4 3．（23-24九年级上·四川内江·期中）如图，中，在上，且，为的中点，的延长线交于F，那么的值为 ． 4．（22-23八年级下·江苏盐城·期中）本学期我们研究了三角形的中位线的性质，回顾研究的过程，请回答以下问题： (1)三角形中位线定理是： ； (2)梯形是有一组对边平行，另一组对边不平行的四边形，连接梯形两腰的中点，得到的线段叫做梯形的中位线．如图①，就是梯形的中位线，梯形的中位线具有什么性质呢？ 小明思考之后给出了如下的证明思路：如图②，连接并延长，交的延长线于点G．先证和全等，再说明是△ABG的中位线．经过你的分析，请写出梯形的中位线和两底、之间的关系： 、 ；    (3)已知梯形的中位线长为，高为，则梯形面积是 ； (4)如图③，直线l为外的任意一条直线，过A、B、C、D分别作直线l的垂线段、、、，请探索线段、、、之间的数量关系，并证明．    【考点题型九】选择或补充条件证明两个三角形相似 解题方法：判定两个三角形相似需要根据条件选择方法．有时条件不具备，需从以下几个方面探求： 1）条件中若有平行线，可考虑用平行线直接推出相似三角形； 2）两个三角形中若有一组等角，可再找一组等角，或再找夹这组等角的两边成比例； 3）两个三角形中若有两边成比例，可找这两边的夹角相等，或再找第三边成比例； 4）条件中若有一组直角，可再找一组等角或证明斜边、直角边对应成比例； 5）条件中若有等腰三角形，可找顶角相等，或找底角相等，或找底和腰对应成比例. 1．（22-23九年级上·江苏泰州·期末）如图，点D、E为外两点，给出下列信息：①；②；③． 请从上述三条信息中选择两条作为补充条件，余下的一条作为结论组成一个真命题，并说明理由．你选择的补充条件是______，结论是______．（填写序号） 2．（22-23九年级上·江苏镇江·期末）如图， (1)要使，需要添加什么条件，说明理由； (2)在（1）的条件下，如果， ，则 3．（20-21九年级上·江苏镇江·期末）如图，已知． （1）添加条件______（答案不唯一，写出一个即可），使得； （2）由（1），你还能得到哪两个三角形相似？说明理由． 【考点题型十】利用相似三角形的性质求解 解题方法：利用相似三角形的性质可推得成比例线段，从而建立等式求得未知线段的长.在中考题中常常运用相似三角形的面积比等于相似比的平方解决与几何图形面积相关的问题. 1．（23-24九年级上·江苏扬州·期末）如图，三角板在灯光照射下形成投影，三角板与其投影的相似比为，且三角板的一边长为．则投影三角板的对应边长为（　　） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·江苏无锡·期末）如图，，下列结论错误的是（　　） A． B． C．平分 D． 3．（23-24九年级上·北京门头沟·期中）如图，在中，D、E分别是边、上的点，且，若，则与的面积比等于 ．    4．（22-23九年级下·江苏南京·期中）如图，在平行四边形中，点E在上，，射线交的延长线于点F，若，则的值为 ． 【考点题型十一】相似三角形性质与判定综合 1．（23-24九年级上·江苏扬州·期末）如图，正方形的边长为4，，E为的中点． 求证： (1)． (2)． 2．（23-24九年级上·江苏南京·期末）如图，在四边形中，点E，F在边上，连接 ，. (1)求证； (2)若，，，则 . 3．（23-24九年级上·江苏苏州·期中）如图，点E是矩形中边上一点，将沿着翻折，点C恰好落在上的点F处． (1)求证：； (2)若，，求的长． 4．（23-24九年级上·江苏南京·期末）如图，分别以的边和为腰向外作等腰直角和等腰直角，连接． (1)求证：； (2)直接写出的值． 【考点题型十二】在网格中画与已知图形相似的三角形 1．（23-24九年级上·江苏淮安·期中）已知图1和图2中的每个小正方形的边长都是1个单位，请在方格纸上按要求画格点三角形： (1)在图1中画，使得，且相似比为； (2)在图2中画，使得，且面积比为． 2．（23-24九年级上·江苏泰州·期中）如图，的顶点与线段的端点，均在边长为的正方形网格的格点上．    (1)请找一个格点，使得，并画出； (2)①与的相似比是________；②． 3．（22-23九年级上·江苏扬州·期末）如图，在平面直角坐标系中，每个小方格都是边长为1个单位的小正方形，点A、B、C都是格点（每个小方格的顶点叫格点），其中． (1)外接圆的圆心坐标是__________；外接圆的半径是__________； (2)已知与（点D、E、F都是格点）成位似图形，则位似中心M的坐标是__________； (3)请在网格图中的空白处画一个格点，使，且相似比为． 【考点题型十三】相似三角形的实际应用-测量高度 解题方法：利用相似三角形的性质解决问题的关键是构造相似三角形，在构造的三角形中，被测物体一般是三角形的一边，至少有一组对应边的长度应易测得. 1．（23-24九年级上·江苏无锡·期中）如图，灯杆与墙MN的距离为18m，小丽在离灯杆（底部）9m的D处测得其影长为3m，设小丽身高为1.5m． (1)求灯杆的高度； (2)小丽再向墙走6m，她的影子能否完全落在地面上？若能，求此时的影长；若不能，求落在墙上的影长． 2．（22-23九年级上·江苏南京·期末）如图，道路l的正上方挂有一盏路灯M，把路灯M看成一个点光源，路灯M到道路l的距离为，晚上，一名身高为的小女孩沿着道路l散步，从A处径直向前走到达C处．已知小女孩在A处影子的长为，在C处影子的长为，求小女孩的身高． 3．（23-24九年级上·江苏扬州·期中）大明寺栖灵塔雄踞在古城扬州北郊蜀冈中峰之上，某数学兴趣小组决定利用所学知识测量栖灵塔的高度，如图，栖灵塔的高度为，在地面上取E，G两点，分别竖立两根高为的标杆和，两标杆间隔为47.5m，并且瑞光塔，标杆和在同一竖直平面内．从标杆后退到D处（即），从D处观察A点，A、F、D三点成一线；从标杆后退到C处（即），从C处观察A点，A、H、C三点也成一线．已知B、E、D、G、C在同一直线上，，，，请你根据以上测量数据，帮助兴趣小组求出栖灵塔的高度（结果精确到）． 【考点题型十四】相似三角形的实际应用-测量宽度 解题方法：利用相似测量物体(不易测量)的宽度的方法是将实际问题转化为数学问题，并找出包含已知线段和待求线段的两个相似三角形.然后根据三角形的对应边成比例，求出物体的宽度. 1．（22-23九年级上·江苏淮安·期末）如图，为了估算河的宽度，在河对岸选定一个目标作为点，再在河的这一边选点和，使，然后，再选点，使，用视线确定和的交点．此时如果测得米，米，米，则两岸间的大致距离为 米． 2．（23-24九年级上·河南许昌·期末）学完《相似》一章后，某中学数学实践小组决定利用所学知识去测量河的宽度．如图，这条河的两岸是平行的，小丽站在离南岸20米（即米）的点处懒北岸，小军、小强站在南岸边，调整小军、小强两人的位置，当小军、小强两人分别站在两点处时，小丽发现河北岸边的两根电线杆恰好被小军、小强遮挡（即三点共线，三点共线）．已知电线杆之间的距离为75米，小军、小强两人之间的距离为30米，求这条河的宽度． 3（23-24九年级上·福建泉州·期中）阅读下列材料，回答问题： 任务：测量福建闽江河的一条支流的宽度．    工具：米长的标杆和米长的标杆，皮尺（有刻度）等． 小康所在的数学兴趣小组利用皮尺、标杆测出了闽江河的一条支流的宽度，测量过程如下： （1）小康站在河岸的一端点B处立了一根米长的标杆（）； （2）小明站河岸的另一端点D处，立了另一根米长的标杆（）； （3）小英在点A处测得点A，B，D恰好在同一条直线上，点A，C，E恰好在同一条直线上； （4）小康利用皮尺测出米． 求解过程： ∵，，∴． ∵，∴，∴． ∵米，米，米，设， ∴ ① ， 解得 ② ， 答：闽江河的一条支流宽度为※※※米． (1)补全小康求解过程中①②缺失的内容． (2)小康求得闽江河的一条支流的宽度用到的几何知识是______． (3)请你利用皮尺等工具，并利用相似三角形的知识设计一个与材料不同的测量方案，画出图形，并简要说明一下（不必计算）． 【考点题型十五】坐标系与位似图形 1．（22-23八年级下·江苏·期末）如图，在平面直角坐标系中，将以原点O为位似中心放大后得到，若，则与的面积比是（　　）    A．1：2 B．1：3 C．1：4 D．1：9 2．（22-23九年级上·江苏南通·期末）如图，把缩小后得到，则与的相似比为（    ） A． B． C． D． 3．（22-23九年级上·吉林长春·期中）如图，在平面直角坐标中，与是位似图形，且它们的顶点都在格点上，则位似中心的坐标为 ． 4．（21-22九年级上·浙江金华·期末）如图，在平面直角坐标系中，各顶点的坐标为．    (1)以坐标原点为位似中心，在轴上方作与的位似比为的位似图形． (2)顶点的坐标为 ，与的面积之比为 ． 【考点题型十六】坐标系中画位似图形 解题方法：画位似图形的一般步骤： 1）确定位似中心. 2）连接位似中心和原图的关键点并延长. 3）根据位似比，确定所作的位似图形的关键点. 4）顺次连接上述各点，得到放大或缩小后的图形. 1．（23-24九年级上·山东日照·期末）在如图所示的正方形网格中，建立平面直角坐标系，的三个顶点的坐标分别为，，． (1)画出关于原点对称的，并分别写出的坐标； (2)在网格内，画出以点为位似中心，把放大为原来的倍后的； (3)若也是的位似图形，点是位似中心，在图中画出点． 2．（22-23九年级上·江西萍乡·期末）如图，已知，，．    (1)求线段的长； (2)把A、、三点的横坐标，纵坐标都乘2，得到，，的坐标，画出，并求的长； (3)与是位似图形吗？若是，请写出位似中心的坐标，并求出位似比． 3．（23-24九年级上·山东德州·期末）已知：在直角坐标平面内，三个顶点的坐标分别为、、（正方形网格中每个小正方形的边长是一个单位长度）． (1)画出绕原点顺时针旋转得到的，点的坐标是___________； (2)以点为位似中心，在网格内画出，使与位似，且位似比为，点的坐标是___________； (3)的面积是___________平方单位． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 考点清单6-1 相似三角形 （9个考点梳理+16种题型解读+10种方法解读） 【清单01】比例线段 比例线段：在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段. 四条线段a，b，c，d，如果,那么a，b，c，d叫做组成比例的项，线段a，d叫做比例外项，线段b，c叫做比例内项. 比例中项：如果比例线段的内项是两条相同的线段，即，那么线段b叫做线段a，c的比例中项. 【清单02】比例性质的基本性质 1）基本性质： 2）推论： 3）合比性质：，分比性质： 4）黄金分割：如图，点B把线段AC分割成AB和BC两部分（AB＞BC），满足（此时线段AB是线段AC,BC的比例中项），那么称点B为线段AC的黄金分割点，AB与AC（或BC与AB）的比成为黄金比，它们的比值为，近似值为0.618. 【清单03】平行线分线段成比例 定理：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例. 1）示例：如图，所得的对应线段成比例的有等等. 2）对应线段成比例可用语言形象表示：等等. 推论：平行于三角形一边的直线与其它两边（或两边的延长线）相交，截得的对应线段成比例． 如图，若DE∥BC，则有 【清单04】相似图形 相似图形：把形状相同的图形叫做相似形. 【补充】1）相似图形的形状完全一样，图形的大小不一定相同； 2）全等图形是一种特殊的相似图形，它们不仅形状相同，大小也相同； 3）判断两个图形是否相似，就是看两个图形的是不是形状相同，与其它的因素无关. 【清单05】相似多边形 相似多边形的定义：两个边数相同的多边形，如果它们的角分别相等，边成比例，那么这两个多边形叫做相似多边形. 相似比：相似多边形对应边的比叫做相似比. 相似多边形的表示：两个相似多边形可以用符号“∽”，读作“相似于”. 【补充】1）相似多边形的三个条件：①边数相同；②对应角相等；③对应边成比例； 2）全等多边形的相似比是1，即全等图形是一种特殊的相似图形；； 3）当用符号“∽”表示两个相似图形时，对应点必须写在对应位置. 【清单06】相似三角形 相似三角形的定义：三个角对应相等，三条边对应成比例的两个三角形叫做相似三角形.如△ABC和△DEF相似可表示为△ABC∽△DEF. 【补充】三角形全等是三角形相似的特殊情况，全等三角形的相似比等于1. 【注意事项】符号“∽”表示两个三角形相似时，要把表示对应顶点的大宇母写在对应的位置上，如△ABC∽△DEF，表示顶点A与D，B与E，C与F分别对应； 【易错点】如果仅说△ABC与△DEF相似，没有用“∽”连接，则需要分情况讨论它们之间的对应关系. 【清单07】相似三角形的性质与盘底 相似三角形的性质： 1）相似三角形的对应角相等，对应边的比相等. 2）相似三角形对应高，对应中线，对应角平分线的比都等于相似比. 3）相似三角形周长的比等于相似比. 4）相似三角形面积比等于相似比的平方. 5）传递性：若△ABC∽△BDC，△ABC∽△ADB，则△BDC∽△ADB. 相似三角形的判定方法： 1）判定三角形相似的常用定理： ①平行于三角形一边的直线和其他两边（或其延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似． ②三边成比例的两个三角形相似； ③两边成比例且夹角相等的两个三角形相似； ④两角分别相等的两个三角形相似． 2）直角三角形相似的判定方法： ①有一个锐角相等的两个直角三角形相似. ②两组直角边成比例的两个直角三角形相似. ③斜边和直角边对应成比例的两个直角三角形相似. 【清单08】位似图形 定义: 如果两个图形不仅是相似图形，且对应点连线相交于一点，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个交点叫做位似中心. 判断位似图形的方法：首先看这两个图形是否相似，再看对应点的连线是否经过位似中 2.位似图形的性质 1) 位似图形的所有对应点的连线所在的直线相交与一点. 2）位似图形的对应线段平行(或在同一条直线上)且比相等. 3) 位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比. 4）位似图形是相似图形,具有相似图形的一切性质. 5）一对对应边与位似中心(不在同一直线上)形成的两个三角形相似 3.画位似图形 位似变换：利用位似图形的性质将一个图形进行放大或缩小叫做位似变换. 【清单09】位似图形的坐标特征 一般地，在平面直角坐标系中，如果以原点为位似中心，画出一个与原图形位似的图形，使它与原图形的相似比为k，那么与原图形上的点(x，y)对应的位似图形上的点的坐标为(kx，ky)或(-kx，-ky). 【小结】以原点为位似中心的位似图形的坐标符号变化：若两个图形在原点同侧，则对应点的横、纵坐标符号相同；若两个图形在原点异侧，则对应点的横、纵坐标符号相反. 【考点题型一】成比例线段 1．（23-24九年级上·江苏扬州·期中）下列四组线段中，是成比例线段的一组是（    ） A．4，5，8，10 B．5，6，7，8 C．2，4，6，8 D．3，4，6，7 【答案】A 【分析】本题主要考查了成比例线段的判断，理解定义是解题的关键．即如果四条线段a，b，c，d满足，那么这四条线段称为比例线段． 【详解】解：A．由可知这一组线段成比例，所以A符合题意； B．由，可知这一组线段不成比例，所以B不符合题意； C．由，可知这一组线段不成比例，所以C不符合题意； D．由，可知这一组线段不成比例，所以D不符合题意． 故选：A． 2．（23-24九年级上·江苏泰州·期中）已知线段， 当时，则的比例中项等于（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查比例中项的概念，解题的关键是利用比例的基本性质求两条线段的比例中项的时候，负数应舍去． 【详解】解：∵， ∴或（舍去） 故选B． 3．（22-23九年级上·广东河源·期中）已知四条线段4，，2，3成比例，若为整数，则 ． 【答案】6 【分析】根据成比例线段的定义列出等式，再根据比例的基本性质即可求解． 【详解】四条线段4，，2，3成比例， ，解得， 故答案为：6． 【点睛】本题考查了比例线段，正确列出等式并求解是解题关键． 4．（23-24九年级上·江苏宿迁·期中）已知点P把线段分割成和 两段，如果是和的比例中项，那么的值等于 ． 【答案】 【分析】本题考查比例中项的定义及解一元二次方程，根据比例中项的平方等于另外两项的积列出式子，再解一元二次方程方程即可得到答案； 【详解】解：∵是和的比例中项， ∴， ∴，即：， 解得：，（不符合题意舍去）， 故答案为：． 【考点题型二】图上距离与实际距离 【解题思路】比例尺就是图上长度与实际长度的比（注意单位） 1．（23-24九年级上·江苏盐城·期末）在比例尺为的扬州旅游地图上，某条道路的长为，则这条道路实际长 ． 【答案】 【分析】本题考查了成比例线段，设这条道路的实际长度为，则：，解方程，最后统一单位，即可求解． 【详解】解：设这条道路的实际长度为，则： ． 解得， 这条道路的实际长度为． 故答案为：． 2．（22-23九年级上·江苏无锡·阶段练习）在比例尺为的地图上，测得A、B两地间的图上距离为2.5厘米，则其实际距离为 米． 【答案】500 【分析】设A，B两地间的实际距离为，根据比例尺为的地图上，测得A，B两地间的图上距离为，得：，求出x再转换单位即可． 【详解】解：设A，B两地间的实际距离为， 根据题意列方程得，， 解得， ， ∴A、B两地的实际距离为500米， 故答案为：500． 【点睛】本题考查了比例线段，比较简单，解题的关键是理解题意，根据题意列方程，注意统一单位． 【考点题型三】利用比例的性质求解 解题方法：与比例性质相关的题目主要是运用比例的性质对比例式进行各种变形，得出所要求的结果. 1．（23-24九年级上·江苏无锡·期中）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了比例的性质，根据比例的性质变形即可求解，熟知比例的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴设，， ∴， 故选：C． 2．（23-24九年级上·江苏南京·期末）如果，，那么 ． 【答案】44 【分析】本题考查了比例的性质，代数式求值，利用设k法进行计算，即可解答．熟练掌握设k法是解题的关键． 【详解】解：，， ，，， ， ， 解得：， ，，， ， 故答案为：44． 3．（20-21九年级上·全国·课后作业）已知线段，，满足，且． (1)求线段，，的长． (2)若线段是线段，的比例中项，求线段的长． 【答案】(1)，， (2)线段 【分析】（1）设，然后用表示出a、b、c，再代入求解得到，即可得到a、b、c的值； （2）根据比例中项的是义列式得到，即，然后根据算术平方根的定义求解．求解即可求出线段的长． 【详解】（1）设， 则，，， ， 解得， ， ， ； （2）线段是线段、的比例中项， ， 或舍去， 线段． 【点睛】本题考查了比例的性质，比例线段，熟记比例中项的概念是解决问题的关键，同时利用“设k法”用k表示出a、b、c可以使计算更加简便． 【考点题型四】黄金分割 1．（23-24九年级上·江苏盐城·期中）大自然巧夺天工，一片树叶也蕴含着“黄金分割”．如图，P为的黄金分割点（），如果的长度为，那么的长度是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查黄金分割．根据黄金分割的定义及黄金比即可解决问题． 【详解】解：点是的黄金分割点，且， ， 又 ， ． 故选：C． 2．（23-24九年级上·江苏扬州·期中）如图，点P是线段的黄金分割点，且．如果，那么 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了黄金分割，根据黄金分割比例为可得，据此求解即可． 【详解】解：∵点P是线段的黄金分割点，且， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 3．（22-23九年级上·江苏南京·期末）已知线段，若C，D是的两个黄金分割点，则长为 ． 【答案】/ 【分析】本题主要是考查了黄金分割点的概念，把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，他们的比值叫做黄金比． 如图：根据黄金比值，求出的长，根据即可解答． 【详解】解：如图：∵C、D是上的两个黄金分割点，， ∴， ∴． 故答案为：． 4．（23-24九年级上·江苏连云港·期末）（1）在图①中按下列步骤作图： 第一步：过点C画，使； 第二步：连接，以点D为圆心，的长为半径画弧，交于点E； 第三步：以点A为圆心，的长为半径画弧，交于点B． （2）在所画图中，点B是线段的黄金分割点吗？为什么？ （3）如果一等腰三角形的底边与腰的比等于黄金比，那么这个等腰三角形就叫做黄金三角形．请你在图②中以线段为腰，用直尺和圆规，作一个黄金三角形．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】（1）见解析；（2）点B是线段的黄金分割点，理由解析；（3）见解析． 【分析】本题考查了黄金分割以及尺规作图，理解黄金分割点是解题的关键． （1）根据几何语言画出对应的几何图形； （2）设则 利用勾股定理得到再得到利用黄金分割点的定义可判断点是线段的黄金分割点； （3）以为圆心长为半径画弧,以为圆心，长为半径画弧,交点为,则即为所求． 【详解】解：（1）如图，点为所作： （2）设则 ， 即 ∴点是线段的黄金分割点． （3）按（1）中作点E的方法作点F，以为圆心长为半径画弧,以为圆心，长为半径画弧,交点为,则即为所求，如图： 【考点题型五】相似图形的识别 1．（23-24九年级上·江苏宿迁·期末）下列每个选项的两个图形，不是相似图形的是（    ） A．B．C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了图形相似的概念：形状相同，大小不同的两个图形；根据图形相似的概念即可作出判断． 【详解】解：由图形相似的概念知，选项D中的两个图形不相似； 故选：D． 2．（22-23九年级下·山东青岛·开学考试）下列形状分别为两个正方形、矩形、正三角形、圆的边框，其中不一定是相似图形的是（    ） A．  B．  C．  D．   【答案】B 【分析】根据相似图形的定义，形状相同，可得出答案． 【详解】解：A、两个正方形形状相同，是相似图形，不符合题意； B、两个长方形形状不同，不是相似图形，符合题意； C、两个等边三角形形状相同，是相似图形，不符合题意； D、两圆形形状相同，是相似图形，不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题主要考查相似图形的定义，掌握相似图形形状相同是解题的关键． 3．（22-23八年级下·山东烟台·期末）以下命题中，①两个直角三角形一定相似；②两个等边三角形一定相似；③两个菱形一定相似；④任意两个矩形一定相似；⑤两个正六边形一定相似．其中真命题的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据相似图形的定义，形状相同的图形是相似图形．具体的说就是对应的角相等，对应边的比相等，对每个命题进行判断． 【详解】解：①任意两个直角三角形，不能判断它们的对应角相等，对应边的比相等，所以不一定相似； ②任意两个等边三角形，它们的内角相等，对应边的比相等．所以一定相似； ③任意两个菱形，只能判断对应边的比相等，不能判断对应的角相等．所以不一定相似； ④任意两个矩形，它们的对应角相等，不能判断对应边的比相等．所以不一定相似； ⑤任意两个正六边形，它们的内角相等，对应边的比相等．所以一定相似． 故选：B． 【点睛】本题考查的是相似图形，解题的关键是判断对应的角是否相等和对应的边是否成比例． 【考点题型六】利用相似图形的性质求解 1．（20-21九年级上·江苏扬州·假期作业）图，四边形与四边形相似，若，则 °． 【答案】103 【分析】根据相似图形对应边相等求出，再根据四边形内角和定理求解即可． 【详解】解：∵四边形与四边形相似， ∴， ∴， 故答案为：103． 【点睛】本题主要考查了相似图形的性质，四边形内角和定理，熟知相似图形对应边相等是解题的关键． 2．（20-21九年级上·江苏南通·阶段练习）如图，矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，剪去一个矩形ABEF后，余下的矩形EFDC∽矩形BCDA，则EC的长为 ． 【答案】1 【分析】根据相似多边形的性质得＝，即＝，然后利用比例性质求出CE即可． 【详解】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴AB＝CD＝2，AD＝BC＝4， ∵四边形EFDC是矩形， ∴EF＝CD＝2，CE＝DF， ∵余下的矩形EFDC∽矩形BCDA， ∴， 即＝， ∴CE＝1， 故答案为：1． 【点睛】本题考查了相似多边形的性质：如果两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，则这两个多边形是相似多边形；相似多边形对应边的比叫做相似比． 3．（23-24九年级上·山西太原·期中）五边形五边形，相似比为，若，则 ． 【答案】6 【分析】本题考查的是相似多边形的性质，熟记相似多边形的对应边的比即为相似比是解本题的关键．利用相似五边形的对应边之比等于相似比求解即可． 【详解】解：五边形五边形相似比为． ， ， ． 故答案为：6 4．（23-24九年级上·吉林长春·期中）如图，四边形四边形．若，，，，，，求线段的长和的大小． 【答案】27，． 【分析】本题考查了相似多边形的性质，根据四边形内角和得出，根据对应边成比例得出的长． 【详解】解：∵四边形四边形 ， ∴，，， ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴． 【考点题型七】利用平行线分线段成比例求解 1．（20-21九年级上·江苏南京·期末）如图，直线，直线a、b与、、分别交于点A、B、C和点D、E、F，若，，则的长为（    ）    A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，掌握“三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例”是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 又∵， ∴，即， 解得：， 故选C． 2．（23-24九年级上·江苏无锡·期中）如图，直线，直线分别交，，于点，，；直线分别交，，于点，，．若，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线分线段成比例，根据得出，进而得出，即可求解． 【详解】解：∵ ∴ ∵， ∴， 设， ∴； 故选：B． 3．（23-24九年级上·云南昆明·阶段练习）如图，，若，则的长 ． 【答案】4 【分析】本题考查了平行线分线段成比例，牢记“三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例”是解题的关键． 由，利用平行线分线段成比例定理，可得出，代入，可求出的长，再结合，即可求出结论． 【详解】解：∵， 故答案为：4． 4．（23-24九年级上·江苏淮安·期中）如图，已知，它们依次交直线于点和点，若，，求的长． 【答案】 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，先根据平行线分线段成比例定理可得，然后根据求解即可．熟记平行线分线段成比例定理是解题的关键． 【详解】解：∵， ，即， ， ． 【考点题型八】作平行线构造成比例线段 解题方法：当几何图形中所求线段的比与已知条件没有明确的联系时，可以过某一点作平行线，分离图形，构造出“A 型”或“X型”，得出与已知和未知线段相关联的成比例线段，从而解决问题.有效构建，准确识别是处理此类问题的关键. 1．（23-24九年级上·河北邯郸·阶段练习）如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点A，，都在横线上.若线段，则线段的长是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过点A作平行横线的垂线，交点B所在的平行横线于D，交点C所在的平行横线于E，根据平行线分线段成比例定理列出比例式，计算即可． 【详解】 解：过点A作平行横线的垂线，交点B所在的平行横线于D，交点C所在的平行横线于E，    则，即， 解得：，． 故选：C． 【点睛】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键． 2．（22-23八年级下·江苏无锡·期末）如图，在中，D在边上，，O是的中点，连接并延长交于点E，若，则的长为 （  ） A．2 B．2.5 C．3 D．4 【答案】C 【分析】过点D作交于F，根据平行线分线段成比例定理可得，，，再根据O是的中点，可得，进而解答即可． 【详解】解：如图，作交于F，    ∵，O是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选：C． 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．过分点作平行线构建平行线分线段成比例定理的基本图形是解决问题的关键． 3．（23-24九年级上·四川内江·期中）如图，中，在上，且，为的中点，的延长线交于F，那么的值为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了平行线分线段成比例．作平行于交于G，．由平行线分线段成比例定理、比例的性质求得；然后根据为的中点，可得，所以由等量代换证得结论． 【详解】解：如图，作交于G，则 ， ∵， ∴， 根据比例的性质得：， 又E是的中点， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 4．（22-23八年级下·江苏盐城·期中）本学期我们研究了三角形的中位线的性质，回顾研究的过程，请回答以下问题： (1)三角形中位线定理是： ； (2)梯形是有一组对边平行，另一组对边不平行的四边形，连接梯形两腰的中点，得到的线段叫做梯形的中位线．如图①，就是梯形的中位线，梯形的中位线具有什么性质呢？ 小明思考之后给出了如下的证明思路：如图②，连接并延长，交的延长线于点G．先证和全等，再说明是△ABG的中位线．经过你的分析，请写出梯形的中位线和两底、之间的关系： 、 ；    (3)已知梯形的中位线长为，高为，则梯形面积是 ； (4)如图③，直线l为外的任意一条直线，过A、B、C、D分别作直线l的垂线段、、、，请探索线段、、、之间的数量关系，并证明．    【答案】(1)三角形中位线平行于第三边且等于第三边的一半 (2)； (3)42 (4)，证明见解析 【分析】（1）根据三角形中位线定理解答即可； （2）先证和全等，再说明是△ABG的中位线．利用三角形中位线定理得出结论； （3）根据梯形的中位线长为，得出梯形两底和的一半等于于，再根据梯形面积公式计算即可； （4）连接、相交于O，过点O作于P，利用平行四边形的性质和平行线等分线段定理得出是梯形的中位线，是梯形的中位线，再利用梯形的中位线性质得出结论． 【详解】（1）解：三角形中位线定理是：三角形中位线平行于第三边且等于第三边的一半． （2）解：；． 证明：连接并延长，交的延长线于点G．如图，    ∵， ∴，， ∵就是梯形的中位线， ∴ ∴ ∴，， ∴是的中位线， ∴，，即， ∵ ∴． （3）解：∵梯形的中位线长为， ∴梯形两底和的一半等于于， ∴ （4）解：， 证明：连接、相交于O，过点O作于P，如图，    ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵，，，， ∴， ∴，， ∴是梯形的中位线，是梯形的中位线， ∴，， ∴． 【点睛】本题考查三角形与梯形中位线性质，全等三角形的判定与性质，平行线等分线段定理．熟练掌握三角形中位线性质和应用是解题的关键． 【考点题型九】选择或补充条件证明两个三角形相似 解题方法：判定两个三角形相似需要根据条件选择方法．有时条件不具备，需从以下几个方面探求： 1）条件中若有平行线，可考虑用平行线直接推出相似三角形； 2）两个三角形中若有一组等角，可再找一组等角，或再找夹这组等角的两边成比例； 3）两个三角形中若有两边成比例，可找这两边的夹角相等，或再找第三边成比例； 4）条件中若有一组直角，可再找一组等角或证明斜边、直角边对应成比例； 5）条件中若有等腰三角形，可找顶角相等，或找底角相等，或找底和腰对应成比例. 1．（22-23九年级上·江苏泰州·期末）如图，点D、E为外两点，给出下列信息：①；②；③． 请从上述三条信息中选择两条作为补充条件，余下的一条作为结论组成一个真命题，并说明理由．你选择的补充条件是______，结论是______．（填写序号） 【答案】见详解 【分析】分别将条件进行组合，判断是否为真命题，再根据三角形相似的判定方法证明即可． 【详解】（1）条件：①②，结论③； （2）条件：①③，结论②； （3）条件：②③，结论①； 以上三个命题均是真命题． 选择（1）进行证明， 证明：，， ， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了三角形相似的判定及性质，掌握相似的判定方法是解题的关键． 2．（22-23九年级上·江苏镇江·期末）如图， (1)要使，需要添加什么条件，说明理由； (2)在（1）的条件下，如果， ，则 【答案】(1)，理由见解析 (2) 【分析】（1）根据三角形相似的判定定理添加，两个角相等，三角形相似即可证明； （2）根据三角形相似的判定定理即可求出； 【详解】（1）需要添加， ∵，， ∴， ∴， 又 ∴ （2）∵， ∴， 又∵， ∴ 【点睛】此题考查三角形的判定定理，解题的关键是熟悉三角形相似的判定定理和相似比． 3．（20-21九年级上·江苏镇江·期末）如图，已知． （1）添加条件______（答案不唯一，写出一个即可），使得； （2）由（1），你还能得到哪两个三角形相似？说明理由． 【答案】（1）（答案不唯一）；（2），见解析 【分析】（1）添加的条件是∠BAC＝∠DAE，根据相似三角形的判定定理得出即可； （2）根据相似三角形的性质定理得出∠E＝∠C，再根据相似三角形的判定定理推出即可． 【详解】解：（1）添加的条件是∠BAC＝∠DAE， ∵，∠BAC＝∠DAE， ∴△ABC∽△ADE， 故答案为：∠BAC＝∠DAE（答案不唯一）； （2）△AOE∽△COD， 理由是：∵△ABC∽△ADE， ∴∠E＝∠C， ∵∠AOE＝∠COD， ∴△AOE∽△COD． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定定理和性质定理，能灵活运用相似三角形的判定定理和性质定理进行推理是解此题的关键． 【考点题型十】利用相似三角形的性质求解 解题方法：利用相似三角形的性质可推得成比例线段，从而建立等式求得未知线段的长.在中考题中常常运用相似三角形的面积比等于相似比的平方解决与几何图形面积相关的问题. 1．（23-24九年级上·江苏扬州·期末）如图，三角板在灯光照射下形成投影，三角板与其投影的相似比为，且三角板的一边长为．则投影三角板的对应边长为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查相似三角形的性质的应用，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键． 根据对应边的比等于相似比列式进行计算即可得解． 【详解】解：设投影三角板的对应边长为x， ∵三角板与投影三角板比为， ∴， 解得． 故选：A． 2．（23-24九年级上·江苏无锡·期末）如图，，下列结论错误的是（　　） A． B． C．平分 D． 【答案】B 【分析】本题考查相似三角形的性质，根据相似三角形的对应角相等，对应边成比例，进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴，，， ∴，平分； 综上：只有选项B错误，符合题意； 故选B． 3．（23-24九年级上·北京门头沟·期中）如图，在中，D、E分别是边、上的点，且，若，则与的面积比等于 ．    【答案】 【分析】由，可得，证明，根据，计算求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质．解题的关键在于熟练掌握相似三角形的判定与性质． 4．（22-23九年级下·江苏南京·期中）如图，在平行四边形中，点E在上，，射线交的延长线于点F，若，则的值为 ． 【答案】9 【分析】根据，得出，结合平行四边形的性质，得出，，最后根据相似三角形面积比等于相似比的平方，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴，即， 解得：． 故答案为：9． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，解题的关键是掌握相似三角形面积比等于相似比的平方． 【考点题型十一】相似三角形性质与判定综合 1．（23-24九年级上·江苏扬州·期末）如图，正方形的边长为4，，E为的中点． 求证： (1)． (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，正方形的性质，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键． （1）利用两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，可证． （2）根据相似三角形的性质解答即可． 【详解】（1）证明：四边形是正方形， ，， 为的中点， ， ， 又， ． （2）证明：， ， ， ， ， ， 2．（23-24九年级上·江苏南京·期末）如图，在四边形中，点E，F在边上，连接 ，. (1)求证； (2)若，，，则 . 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟记相关定理内容是解题关键． （1）根据得，结合“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”可证； （2）证即可求解； 【详解】（1）证明：∵ ∴ 即： ∵， ∴ （2）解：∵， ∴， ∵， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∵，则 故答案为： 3．（23-24九年级上·江苏苏州·期中）如图，点E是矩形中边上一点，将沿着翻折，点C恰好落在上的点F处． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】 本题考查了矩形与折叠，相似三角形的判定和性质，勾股定理，掌握相似三角形对应边成比例是解题关键． （1）由矩形的性质可知，，由折叠的性质可知，，进而推出，即可证明相似； （2）由矩形和折叠的性质可知，，再由勾股定理，得出，进而得出，然后；利用相似三角形的性质，得到，即可求出的长． 【详解】（1） 证明：∵四边形是矩形， ∴， ∴， 由折叠的性质，可知， ∴， ∴， ∴； （2） 解：∵四边形是矩形，，， ∴， 由折叠的性质可知：， ∵， ∴， ∴， 由（1）知：， ∴，即， 解得：． 4．（23-24九年级上·江苏南京·期末）如图，分别以的边和为腰向外作等腰直角和等腰直角，连接． (1)求证：； (2)直接写出的值． 【答案】(1)证明见解析； (2)． 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质和勾股定理，解题的关键熟练掌握相似三角形的判定和性质． （）利用等腰直角三角形的性质证明； （）依据所得条件，证明，通过相似三角形的性质即可求解； 【详解】（1）∵，是等腰直角三角形， ∴ ，， ∴ ； （2）由（）得：， ∴， ∵，是等腰直角三角形， ∴，，， ∴，即， ∴， ∴． 【考点题型十二】在网格中画与已知图形相似的三角形 1．（23-24九年级上·江苏淮安·期中）已知图1和图2中的每个小正方形的边长都是1个单位，请在方格纸上按要求画格点三角形： (1)在图1中画，使得，且相似比为； (2)在图2中画，使得，且面积比为． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了作相似三角形， （1）根据相似比得出各边均扩大2倍，通过计算求出扩大后三角形三边长再连接各点即可； （2）由面积的比得两三角形相似比为，画出所有对应边为原来倍的三角形即可． 【详解】（1）解：如图：即为所求． ； （2）解：如图：即为所求． ． 2．（23-24九年级上·江苏泰州·期中）如图，的顶点与线段的端点，均在边长为的正方形网格的格点上．    (1)请找一个格点，使得，并画出； (2)①与的相似比是________；②． 【答案】(1)图见解析（答案不唯一） (2)， 【分析】（1）利用相似三角形的判定方法，找到格点，即可； （2）由（1）即可得出相似比，根据相似三角形的对应角相等，得到，即可得出结果． 本题考查相似三角形的判定和性质，熟练掌握三边对应成比例的两个三角形相似，是解题的关键．同时考查了勾股定理． 【详解】（1）解：如图，即为所求；    由图可知：，，，， ∴， ∴； （2）由（1）知与的相似比是； ∵， ∴， ∴， 由图可知：， ∴； 故答案为：，． 3．（22-23九年级上·江苏扬州·期末）如图，在平面直角坐标系中，每个小方格都是边长为1个单位的小正方形，点A、B、C都是格点（每个小方格的顶点叫格点），其中． (1)外接圆的圆心坐标是__________；外接圆的半径是__________； (2)已知与（点D、E、F都是格点）成位似图形，则位似中心M的坐标是__________； (3)请在网格图中的空白处画一个格点，使，且相似比为． 【答案】(1)； (2) (3)见解析 【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质和三角形的外接圆的概念即可求出圆心坐标，然后勾股定理即可求出半径的长度； （2）根据位似变换和位似中心的概念解答； （3）根据相似三角形的对应边的比相等，都等于相似比解答． 【详解】（1）解：如图，根据网格的特点分别作的垂直平分线，交于点G，连接， 根据网格的特点可得圆心； ∴半径， 故答案为：；； （2）解：如图，连接，交于点，即位似中心， 根据网格的特点可知， 故答案为：； （3）解： ，且相似比为． 根据网格的特点作出，如图， 即为所求作的三角形． 【点睛】本题考查的是格点正方形、位似变换与位似中心与相似三角形的性质，掌握如果两个图形不仅是相似图形，且对应点连线相交于一点，对应线段互相平行，这两个图形是位似图形是解题的关键． 【考点题型十三】相似三角形的实际应用-测量高度 解题方法：利用相似三角形的性质解决问题的关键是构造相似三角形，在构造的三角形中，被测物体一般是三角形的一边，至少有一组对应边的长度应易测得. 1．（23-24九年级上·江苏无锡·期中）如图，灯杆与墙MN的距离为18m，小丽在离灯杆（底部）9m的D处测得其影长为3m，设小丽身高为1.5m． (1)求灯杆的高度； (2)小丽再向墙走6m，她的影子能否完全落在地面上？若能，求此时的影长；若不能，求落在墙上的影长． 【答案】(1)灯杆的高度为6米 (2)能，小丽落在墙上的影长为0.6米 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质． （1）由相似三角形对应成比例即可求出的长． （2）将往墙移动6米到，作射线交于点P，延长交地面于点Q，证明，求得，说明小丽的影子不能完全落在地面上，证明，据此求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴． ∴灯杆的高度为6米； （2）解：将往墙移动6米到，作射线交于点P，延长交地面于点Q，如图所示． ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴小丽的影子不能完全落在地面上． 同理，可得出， ∴，即，∴． ∴小丽落在墙上的影长为米． 2．（22-23九年级上·江苏南京·期末）如图，道路l的正上方挂有一盏路灯M，把路灯M看成一个点光源，路灯M到道路l的距离为，晚上，一名身高为的小女孩沿着道路l散步，从A处径直向前走到达C处．已知小女孩在A处影子的长为，在C处影子的长为，求小女孩的身高． 【答案】 【分析】根据相似三角形的判定和性质得出，，再由等量代换得出，求解确定，然后代入原式中求解即可． 【详解】解：根据题意得， ∴， ∴，， ∵， ∴，即， ∵， ∴， 代入求解得：， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴小女孩的身高为． 【点睛】题目主要考查相似三角形的判定和性质即应用举例，理解题意，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题关键． 3．（23-24九年级上·江苏扬州·期中）大明寺栖灵塔雄踞在古城扬州北郊蜀冈中峰之上，某数学兴趣小组决定利用所学知识测量栖灵塔的高度，如图，栖灵塔的高度为，在地面上取E，G两点，分别竖立两根高为的标杆和，两标杆间隔为47.5m，并且瑞光塔，标杆和在同一竖直平面内．从标杆后退到D处（即），从D处观察A点，A、F、D三点成一线；从标杆后退到C处（即），从C处观察A点，A、H、C三点也成一线．已知B、E、D、G、C在同一直线上，，，，请你根据以上测量数据，帮助兴趣小组求出栖灵塔的高度（结果精确到）． 【答案】栖灵塔的高度约为． 【分析】本题考查了相似三角形的实际应用．设，则，证明，得到，，根据，得到即，解方程即可得到答案． 【详解】解：设，则， ，，， ，， ，， ，， ， ， 即， 解得：， 经检验，是原方程的解， ， ， 答：栖灵塔的高度约为． 【考点题型十四】相似三角形的实际应用-测量宽度 解题方法：利用相似测量物体(不易测量)的宽度的方法是将实际问题转化为数学问题，并找出包含已知线段和待求线段的两个相似三角形.然后根据三角形的对应边成比例，求出物体的宽度. 1．（22-23九年级上·江苏淮安·期末）如图，为了估算河的宽度，在河对岸选定一个目标作为点，再在河的这一边选点和，使，然后，再选点，使，用视线确定和的交点．此时如果测得米，米，米，则两岸间的大致距离为 米． 【答案】100 【分析】证明，由相似三角形的性质“对应边成比例”求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴，即有， 解得米， 即两岸间的大致距离为100米． 故答案为：100． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键． 2．（23-24九年级上·河南许昌·期末）学完《相似》一章后，某中学数学实践小组决定利用所学知识去测量河的宽度．如图，这条河的两岸是平行的，小丽站在离南岸20米（即米）的点处懒北岸，小军、小强站在南岸边，调整小军、小强两人的位置，当小军、小强两人分别站在两点处时，小丽发现河北岸边的两根电线杆恰好被小军、小强遮挡（即三点共线，三点共线）．已知电线杆之间的距离为75米，小军、小强两人之间的距离为30米，求这条河的宽度． 【答案】这条河的宽度为30米 【分析】本题考查相似三角形的应用，延长交于点，设这条河的宽度为x米．由相似三角形对应高的比等于相似比得到，代入有关数据列方程求解方程，即可得到河的宽度． 【详解】解：延长交于点，如解图所示． 依题意，米，米． 设这条河的宽度为米． ， ． ， 即， 解得． 答：这条河的宽度为30米． 3（23-24九年级上·福建泉州·期中）阅读下列材料，回答问题： 任务：测量福建闽江河的一条支流的宽度．    工具：米长的标杆和米长的标杆，皮尺（有刻度）等． 小康所在的数学兴趣小组利用皮尺、标杆测出了闽江河的一条支流的宽度，测量过程如下： （1）小康站在河岸的一端点B处立了一根米长的标杆（）； （2）小明站河岸的另一端点D处，立了另一根米长的标杆（）； （3）小英在点A处测得点A，B，D恰好在同一条直线上，点A，C，E恰好在同一条直线上； （4）小康利用皮尺测出米． 求解过程： ∵，，∴． ∵，∴，∴． ∵米，米，米，设， ∴ ① ， 解得 ② ， 答：闽江河的一条支流宽度为※※※米． (1)补全小康求解过程中①②缺失的内容． (2)小康求得闽江河的一条支流的宽度用到的几何知识是______． (3)请你利用皮尺等工具，并利用相似三角形的知识设计一个与材料不同的测量方案，画出图形，并简要说明一下（不必计算）． 【答案】(1)， (2)相似三角形的判定与性质 (3)见解析 【分析】本题考查了相似三角形的应用．熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． （1）按照步骤作答即可； （2）根据利用了相似三角形的判定与性质进行作答即可； （3）如图，设计使可测量，，，通过，可计算求解的值． 【详解】（1）解：∵，， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵米，米，米，设， ∴， 解得， 答：闽江河的一条支流宽度为15米． 故答案为：，； （2）解：由题意知，用到的几何知识是相似三角形的判定与性质， 故答案为：相似三角形的判定与性质； （3）解：如图，在河岸一边，确定恰好在同一条直线上的三点B，D，C，利用皮尺测、的长，在端点C处，立一根米长的标杆（），在B点正对岸点A处（），测点A，D，E恰好在同一条直线上；由可证，计算求解即可；    【考点题型十五】坐标系与位似图形 1．（22-23八年级下·江苏·期末）如图，在平面直角坐标系中，将以原点O为位似中心放大后得到，若，则与的面积比是（　　）    A．1：2 B．1：3 C．1：4 D．1：9 【答案】D 【分析】根据图形可知位似比为，根据相似比等于位似比，面积比等于相似比的平方，即可求得答案． 【详解】解： ， 则与的位似比为， 与的相似比为, 则与的面积比为, 故选D． 【点睛】本题考查了位似图形的性质，求得位似比是解题的关键． 2．（22-23九年级上·江苏南通·期末）如图，把缩小后得到，则与的相似比为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意求出，，根据位似图形的概念解答即可． 【详解】解：由平面直角坐标系可知：，， ∴与的相似比为：， 故选B． 【点睛】本题考查的是位似变换，熟记位似图形对应边的比是位似比是解题的关键． 3．（22-23九年级上·吉林长春·期中）如图，在平面直角坐标中，与是位似图形，且它们的顶点都在格点上，则位似中心的坐标为 ． 【答案】 【分析】直接利用位似图形的性质：对应点的连线都经过同一点，连接对应点，进而得出位似中心的位置． 【详解】解：如图所示， 位似中心点的坐标为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了位似变换，正确掌握位似图形的性质是解题的关键． 4．（21-22九年级上·浙江金华·期末）如图，在平面直角坐标系中，各顶点的坐标为．    (1)以坐标原点为位似中心，在轴上方作与的位似比为的位似图形． (2)顶点的坐标为 ，与的面积之比为 ． 【答案】(1)作图见解析 (2) ； 【分析】（1）根据位似图形性质作图即可得到答案； （2）由（1）中作的位似图形得到顶点的坐标，再由相似的性质即可得到面积比． 【详解】（1）解：如图所示：    即为所求； （2）解：由（1）中所作图形可得顶点的坐标为；由相似三角形性质可知，与的面积之比为； 故答案为：；． 【点睛】本题考查复杂作图-位似作图、坐标与图像及相似三角形性质，熟练掌握位似定义及性质是解决问题的关键． 【考点题型十六】坐标系中画位似图形 解题方法：画位似图形的一般步骤： 1）确定位似中心. 2）连接位似中心和原图的关键点并延长. 3）根据位似比，确定所作的位似图形的关键点. 4）顺次连接上述各点，得到放大或缩小后的图形. 1．（23-24九年级上·山东日照·期末）在如图所示的正方形网格中，建立平面直角坐标系，的三个顶点的坐标分别为，，． (1)画出关于原点对称的，并分别写出的坐标； (2)在网格内，画出以点为位似中心，把放大为原来的倍后的； (3)若也是的位似图形，点是位似中心，在图中画出点． 【答案】(1)画图见解析，，，； (2)画图见解析； (3)画图见解析． 【分析】（）先写出，，关于原点对称，，，然后描点，连接即可； （）放大为原来的倍，即延长，，然后连接即可； （）连接，相交于点； 此题考查了作图——中心对称和位似变换，解题的关键是正确理解并掌握画中心对称和位似图形的一般步骤． 【详解】（1）如图，，，关于原点对称，，，连接， ∴即为所求； （2）如图，延长，，然后连接， ∴即为所求； （3）如图，连接，相交于点， ∴点即为所求． 2．（22-23九年级上·江西萍乡·期末）如图，已知，，．    (1)求线段的长； (2)把A、、三点的横坐标，纵坐标都乘2，得到，，的坐标，画出，并求的长； (3)与是位似图形吗？若是，请写出位似中心的坐标，并求出位似比． 【答案】(1) (2)见解析， (3)与是位似图形，位似中心，位似比为 【分析】（1）根据两点间距离公式求解即可； （2）先确定点到，，的坐标，再画出图形，然后运用两点间距离公式求解即可； （3）先根据题意画出，再根据位似、位似中心、位似比的概念解答即可． 【详解】（1）解：． （2）解：由题意得：，， 故如图所示：      由题意得：，， ． （3）解：把、、三点的横坐标，纵坐标都乘2，得到，，的坐标 与是位似图形，位似中心． 位似比为：． 【点睛】本题主要考查了两点间距离公式、位似作图、位似中心、位似的定义等知识点，掌握位似的相关概念是解答本题的关键． 3．（23-24九年级上·山东德州·期末）已知：在直角坐标平面内，三个顶点的坐标分别为、、（正方形网格中每个小正方形的边长是一个单位长度）． (1)画出绕原点顺时针旋转得到的，点的坐标是___________； (2)以点为位似中心，在网格内画出，使与位似，且位似比为，点的坐标是___________； (3)的面积是___________平方单位． 【答案】(1)作图见解析， (2)作图见解析， (3)10 【分析】此题主要考查了位似图形的性质以及平移的性质和三角形面积求法等知识，得出对应点坐标是解题关键． （1）利用平移的性质得出平移后图象进而得出答案； （2）利用位似图形的性质得出对应点位置即可； （3）利用等腰直角三角形的性质得的面积． 【详解】（1）如图，即为所求；； 故答案为：； （2）如图即为所求，； 故答案为：； （3）∵，，， ， ∴是等腰直角三角形， ∴的面积是：（平方单位）． 故答案为：10． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司3 学科网（北京）股份有限公司 $$