专题4-1实数（考题猜想，热考必刷44题14种题型）-2024-2025学年八年级数学上学期期末考点大串讲（苏科版）

考题猜想4-1 实数 （热考必刷44题14种题型专项训练） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 · 利用算术平方根的非负性求解 · 算术平方根的实际应用 · 与算术平方根/立方根有关的规律探究问题 · 已知一个数的平方根，求这个数 · 利用平方根/立方根的概念解方程 · 平方根与立方根综合 · 无理数整数部分的相关计算 · 实数与数轴 · 实数的混合运算 · 与实数运算有关的新定义问题 · 程序设计与实数运算 · 实数运算的实际应用 一．利用算术平方根的非负性求解（共3小题） 1．（22-23八年级上·江西宜春·期中）已知，求的平方根． 2．（23-24八年级下·江苏徐州·期末）已知，，满足等式． (1)求、、的值； (2)判断以、、为边能否构成三角形？若能构成三角形，此三角形是什么形状的三角形？若不能，请说明理由． 3．（22-23八年级上·江苏泰州·期中）已知a，b，c都是实数，且满足，且，求代数式的值． 二．算术平方根的实际应用（共4小题） 4．（24-25八年级上·河南周口·期中）如图，在一个由个小正方形（每个小正方形的边长均为）组成的正方形网格中，阴影部分也是正方形． (1)求阴影部分的面积． (2)求阴影部分的周长．（精确到） 5．（23-24七年级下·江苏南通·期中）小明制作了一张面积为的正方形贺卡想寄给朋友，现有一个长方形信封如图所示，长、宽之比为．面积为． (1)求长方形信封的长和宽； (2)小明能将贺卡不折叠就放入此信封吗？请通过计算给出判断． 6．（22-23七年级下·江苏扬州·期末）如图，用4张长为a，宽为的长方形纸片拼成一个大正方形后，中间恰好是一个小正方形．若大正方形的边长为7，长方形纸片的面积为12．    (1)求中间小正方形的边长； (2)若长方形纸片的长和宽各增加1，求此时长方形纸片的面积； (3)求的值． 7．（24-25八年级上·河南郑州·期中）阅读与思考： 下面是小涵同学的数学错题本笔记，请仔细阅读他的解题思路并完成相应的任务． 题目：如图，在中，，，，求的面积． 方法1：如果的三边长分别为，设为周长的一半，那么利用海伦公式，就可求出的面积． 方法2：作辅助线，构造直角三角形，设未知数列方程，并求解，从而求出的面积． (1)任务一：按“方法1”求的面积． (2)任务二：写出“方法2”的解答过程． 三．与算术平方根/立方根有关的规律探究问题（共3小题） 8．（21-22八年级·江苏·假期作业）观察求算术平方根的规律，并利用这个规律解决下列问题：，，，，， (1)已知，求的值； (2)已知，，求的值； (3)根据上述探究方法，尝试解决问题：已知，，用含的代数式表示． 9．（22-23八年级上·江苏·期中）我们知道，平方数的开平方运算可以直接求得，如等，有些数则不能直接求得，如，但可以通过计算器求得．还有一种方法可以通过一组数的内在联系，运用规律求得，请你观察下表： a … 0.04 4 400 40000 … … x 2 y z … (1)表格中的三个值分别为：x＝　 　；y＝　 　；z＝　 　； (2)用公式表示这一规律：当a＝4×100n（n为整数）时，＝　 　； (3)利用这一规律，解决下面的问题： 已知，则①≈　 　；②≈　 　． 10．（23-24七年级下·江苏南通·期中）下面是小李探索的近似值的过程，请补充完整： 我们知道面积是2的正方形的边长是，且，设，可画出示意图． 由面积公式，可得． 略去，得方程． 解得，即_________ ． 上述过程中，主要运用的数学思想是_________ ． （2）容易知道，设，请类比（1）的方法的近似值．（要求：画出示意图，标明数据，并写出求解过程） 四．已知一个数的平方根，求这个数（共2小题） 11．一个正数的x的平方根是与，求a和x的值． 12．（2024七年级下·全国·专题练习）已知正实数x的两个平方根分别为a和． (1)若，求b和x的值； (2)若时，求a和x的值； (3)若，求x的值． 五．利用平方根/立方根的概念解方程（共2小题） 13．（24-25八年级上·江苏南京·期中）求出下列x的值： (1)； (2)． 14．（24-25八年级上·江苏无锡·期中）求下列各式中的实数x． (1)； (2)． 六．立方根的实际应用（共3小题） 15．（24-25八年级上·河南周口·阶段练习）已知甲正方体纸盒的底面积为，乙正方体纸盒的体积比甲正方体纸盒的体积大，丙正方体纸盒的体积是乙正方体纸盒体积的． (1)求乙正方体纸盒的体积． (2)求丙正方体纸盒的棱长． 16．（24-25七年级上·浙江·期中）如图，一个底面半径为的瓶子内装着一些溶液．当瓶子正放时，瓶内溶液的高度为；倒放时，空余部分的高度为．瓶内的溶液正好倒满2个一样大的正方体容器（取3，容器的厚度不计）． (1)该瓶子的容积（装满时溶液的体积）是多少立方厘米？ (2)正方体容器的棱长是多少厘米？ 17．（22-23八年级上·江苏·期中）小明在学完立方根后研究了如下问题：如何求出的立方根？他进行了如下步骤： ①首先进行了估算：因为，，所以是两位数； ②其次观察了立方数：；猜想的个位数字是7； ③接着将往前移动3位小数点后约为50，因为，，所以的十位数字应为3，于是猜想，验证得：的立方根是； ④最后再依据“负数的立方根是负数”得到，同时发现结论：若两个数互为相反数，则这两个数的立方根也互为相反数；反之也成立． 请你根据小明的方法和结论，完成下列问题： (1)= ； (2)若，则 ； (3)已知，且与互为相反数，求的值． 七．平方根与立方根综合（共3小题） 18．（24-25八年级上·全国·期中）已知的立方根是2，的算术平方根是3， (1)分别求出a，b的值； (2)求的平方根． 19．（22-23八年级上·江苏无锡·期中）已知的立方根是2，的算术平方根是3． (1)求的值 (2)求的平方根． 20．（23-24八年级上·江苏苏州·阶段练习）已知的立方根是3，的算术平方根是4，是的整数部分．求的平方根． 21．（24-25八年级上·全国·期中）某地气象资料表明：当地雷雨持续的时间（）可以用公式：来估计，其中d（km）是雷雨区域的直径．（参考数据：，，，） (1)如果雷雨区域的直径为，那么这场雷雨大约能持续多长时间？（结果精确到） (2)如果一场雷雨持续了，那么这场雷雨区域的直径大约是多少？（结果精确到） 八．无理数整数部分的相关计算（共4小题） 22．（24-25八年级上·江苏苏州·期中）通过学习，我们知道是一个无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来．聪明的小丽认为的整数部分为1，所以减去其整数部分，差就是的小数部分．所以用来表示的小数部分．根据小丽的方法请完成下列问题： (1)的整数部分为 ，小数部分为 ； (2)已知的整数部分为，的整数部分为，求的立方根． 23．（23-24七年级下·江苏南通·期末）阅读下面的文字，解答问题． 现规定：分别用和表示实数x的整数部分和小数部分，如实数3.14的整数部分是，小数部分是；实数的整数部分是，小数部分是无限不循环小数，无法写完整，但是把它的整数部分减去，就等于它的小数部分，即就是的小数部分，所以． (1)__________，__________；__________，__________． (2)如果，，求的立方根； (3)若，求x的取值范围． 24．（23-24七年级下·江苏南通·期中）【阅读材料】 ，即， ， 的整数部分是1， 的小数部分是． 【解决问题】 （1）的整数部分是_______，小数部分是_______； （2）已知a是的整数部分，b是的小数部分，求代数式的值； （3）已知，其中x是整数，且，求的值． 25．（23-24七年级下·山西吕梁·阶段练习）阅读与思考： 我们在学习有理数时，可以根据有理数在数轴上的位置关系比较有理数的大小．数学兴趣小组发现可以用相同的方法比较无理数的大小，请根据他们的探究过程，完成下列问题： (1)借助网格，并用尺规画出与在数轴上的位置； (2)根据与在数轴上的位置，可得__________；（选搷“>”．“<＂或“=”） (3)若为的小数部分，为的整数部分，求． 九．实数与数轴（共4小题） 26．（23-24八年级下·江苏泰州·期末）实数a、b、c在数轴上的位置如图所示，化简 27．（22-23八年级上·江苏无锡·期中）实数在数轴上对应点的位置如图所示，若 ． (1)求的值； (2)求的平方根． 28．（23-24八年级上·江苏苏州·期中）阅读下面的解题过程体会如何发现隐含条件并回答下面的问题 化简：． 解：隐含条件，解得：，． 原式． 【启发应用】 （1）按照上面的解法，试化简：． 【类比迁移】 （2）实数，在数轴上的位置如图所示，化简：． （3）已知，，为的三边长．化简：． 29．（23-24八年级下·江苏南通·期中）（1）【阅读理解】勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，是用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一，它不但因证明方法层出不穷吸引着人们，更因为应用广泛而使人着迷．下面四幅图中，不能证明勾股定理的是 ； A．     B．       C．       D． （2）【实践操作】如图1，在数轴上找出表示的点，过点作直线垂直于，在上取点，使，以原点为圆心，长为半径作弧，则弧与数轴负半轴的交点表示的数是 ； （3）【延伸应用】如图2，有一个小朋友拿着一根竹竿要通过一个长方形的门，如果把竹竿竖放就比门高出尺，斜放就恰好等于门的对角线（），已知门宽尺，求竹竿长． 一十．实数的混合运算（共3小题） 30．（24-25八年级上·江苏无锡·期中）计算： (1)； (2) 31．（24-25八年级上·江苏常州·期中）计算 (1)； (2)． 32．（24-25八年级上·江苏泰州·期中）（1）计算： （2）求中的的值． 一十二．与实数运算有关的新定义问题（共3小题） 33．（24-25七年级上·江苏无锡·期中）对于两个有理数a、b，我们对运算“”作出如下定义： (1)计算： ； (2)若，求的值． 34．（23-24七年级上·江苏无锡·期中）定义：若，则称与是关于3的实验数． (1)4与__________是关于3的实验数，__________与是关于3的实验数．（用含的代数式表示） (2)若，，判断与是否是关于3的实验数，并说明理由． (3)若，，且与是关于3的实验数，求． 35．（23-24八年级下·江苏苏州·期中）对于实数，定义新运算“”：，例如：，因为，所以． (1)求和的值； (2)若是一元二次方程的两个根，且，求的值． 36．（23-24七年级下·江苏宿迁·期中）定义一种新运算“★”： ； ； 观察上述各式的运算方法，解答下列问题： (1)请按照以上新运算“★”的运算方法，写出的运算表达式； (2)若，求y的值． 一十三．程序设计与实数运算（共4小题） 37．（23-24七年级下·江苏南通·期中）如图是一个数值转换器示意图： (1)当输入的x为36时，输出的y的值是_______； (2)若输入x值后，始终输不出y的值，则满足题意的x值是_______； (3)若输出的，则x的最小整数值是_______. 38．（23-24七年级下·广东阳江·期中）如图是一个数值转换器，请根据其原理解决问题：当x为12时，求y的值，并写出详细过程． 39．（23-24七年级上·浙江·期末）有一个数值转换器，运算流程如下： (1)在，2，4，16中选择3个合适的数分别输入，求对应输出的值． (2)若输出的值为，求输入的值． 40．（22-23七年级下·北京海淀·期中）一个数值转换器如图所示：    (1)当输入的值为16时，输出的值是______； (2)若输入有效的值后，始终输不出值，则所有满足要求的的值为______； (3)若输出的值是，请直接写出两个满足要求的的值． 一十四．实数运算的实际应用（共4小题） 41．（22-23八年级上·山西忻州·期末）如图，是张大爷的一块小菜地，已知CD是中AB边上的高，，求BD的长．（结果保留根号） 42．（21-22七年级下·湖北宜昌·期中）某农场有一块用铁栅栏围墙围成面积为700平方米的长方形空地，长方形长宽之比为7：4． (1)求该长方形的长宽各为多少？ (2)农场打算把长方形空地沿边的方向改造出两块不相连的正方形试验田，两个小正方形的边长比为4：3，面积之和为600平方米，并把原来长方形空地的铁栅栏围墙全部用来围两个小正方形试验田，请问能改造出这样的两块不相连的正方形试验田吗，如果能，原来的铁栅栏围墙够用吗？ 43．（21-22七年级下·北京·期中）“说不完的”探究活动，根据各探究小组的汇报，完成下列问题． (1)到底有多大？ 下面是小欣探索的近似值的过程，请补充完整： 我们知道面积是2的正方形边长是，且．设，画出如下示意图． 由面积公式，可得______． 因为值很小，所以更小，略去，得方程______，解得____（保留到0.001），即_____． (2)怎样画出？请一起参与小敏探索画过程． 现有2个边长为1的正方形，排列形式如图（1），请把它们分割后拼接成一个新的正方形．要求：画出分割线并在正方形网格图（图中每个小正方形的边长均为1）中用实线画出拼接成的新正方形． 小敏同学的做法是：设新正方形的边长为．依题意，割补前后图形的面积相等，有，解得．把图（1）如图所示进行分割，请在图（2）中用实线画出拼接成的新正方形． 请参考小敏做法，现有5个边长为1的正方形，排列形式如图（3），请把它们分割后拼接成一个新的正方形．要求：画出分割线并在正方形网格图（4）中用实线画出拼接成的新正方形．说明：直接画出图形，不要求写分析过程． 44．（20-21八年级上·江苏苏州·阶段练习）数学阅读是学生个体根据已有的知识经验，通过阅读数学材料建构数学意义和方法的学习活动，是学生主动获取信息，汲取知识，发展数学思维，学习数学语言的途径之一．请你先阅读下面的材料，然后再根据要求解答提出的问题： 问题情境：设a，b是有理数，且满足，求的值． 解：由题意得， ∵a，b都是有理数， ∴也是有理数， ∵是无理数， ∴， ∴， ∴ 解决问题：设x，y都是有理数，且满足，求的值． $$考题猜想4-1 实数 （热考必刷44题14种题型专项训练） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 · 利用算术平方根的非负性求解 · 算术平方根的实际应用 · 与算术平方根/立方根有关的规律探究问题 · 已知一个数的平方根，求这个数 · 利用平方根/立方根的概念解方程 · 平方根与立方根综合 · 无理数整数部分的相关计算 · 实数与数轴 · 实数的混合运算 · 与实数运算有关的新定义问题 · 程序设计与实数运算 · 实数运算的实际应用 一．利用算术平方根的非负性求解（共3小题） 1．（22-23八年级上·江西宜春·期中）已知，求的平方根． 【答案】 【分析】本题考查的知识点是绝对值的非负性、算术平方根的非负性及平方根的定义，解题关键是正确得出m，n的值．直接利用绝对值的非负性及算术平方根的非负性得出m，n的值，进而利用平方根的定义即可得出答案． 【详解】解：， ，， 解得：，， ， 的平方根为：． 2．（23-24八年级下·江苏徐州·期末）已知，，满足等式． (1)求、、的值； (2)判断以、、为边能否构成三角形？若能构成三角形，此三角形是什么形状的三角形？若不能，请说明理由． 【答案】(1)a=，b=5，c= (2)能，三角形为直角三角形 【分析】（1）根据非负数的性质到，即可得到、、的值； （2）先利用三角形的三边关系判断能构成三角形，再利用勾股定理的逆定理判断三角形为直角三角形即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴，，． （2）∵，满足三边关系， ∴a、b、c能构成三角形， ∵， ∴， ∴三角形为直角三角形． 【点睛】此题考查二次根式的非负性、非负数的性质、勾股定理的逆定理、三角形三边关系等知识，熟练掌握勾股定理的逆定理、三角形三边关系是解题的关键． 3．（22-23八年级上·江苏泰州·期中）已知a，b，c都是实数，且满足，且，求代数式的值． 【答案】212 【分析】利用非负性求出的值，利用整体思想代入代数式求值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查非负性，代数式求值．熟练掌握非负数的和为0，每个非负数均为0，是解题的关键． 二．算术平方根的实际应用（共4小题） 4．（24-25八年级上·河南周口·期中）如图，在一个由个小正方形（每个小正方形的边长均为）组成的正方形网格中，阴影部分也是正方形． (1)求阴影部分的面积． (2)求阴影部分的周长．（精确到） 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题主要考查了算术平方根及正方形的面积，解题的关键是求出阴影部分的面积； （1）用大正方形的面积减去空白的面积，可得阴影部分的面积； （2）根据算术平方根的意义，求出小正方形的边长，再利用正方形的周长公式求出周长即可． 【详解】（1） （2）由（1）可知，正方形面积为， 正方形边长为， 阴影部分的周长为 ． 5．（23-24七年级下·江苏南通·期中）小明制作了一张面积为的正方形贺卡想寄给朋友，现有一个长方形信封如图所示，长、宽之比为．面积为． (1)求长方形信封的长和宽； (2)小明能将贺卡不折叠就放入此信封吗？请通过计算给出判断． 【答案】(1)长方形信封的长为，宽为； (2)小明能将这张贺卡不折叠就放入此信封，理由见解析 【分析】本题考查算术平方根的应用，以及无理数的估算，关键是掌握由算术平方根的定义求出正方形贺卡的边长． （1）设长方形信封的长为，宽为，根据面积为列方程求解即可； （2）先求出贺卡的边长，然后与信封的宽比较即可． 【详解】（1）∵信封的长、宽之比为， ∴设长方形信封的长为，宽为， 由题意得， ∴（负值舍去）， ∴长方形信封的长为，宽为； （2）面积为的正方形贺卡的边长是． ∵， ∴ ∴ ∴信封的宽大于正方形贺卡的边长， ∴小明能将这张贺卡不折叠就放入此信封． 6．（22-23七年级下·江苏扬州·期末）如图，用4张长为a，宽为的长方形纸片拼成一个大正方形后，中间恰好是一个小正方形．若大正方形的边长为7，长方形纸片的面积为12．    (1)求中间小正方形的边长； (2)若长方形纸片的长和宽各增加1，求此时长方形纸片的面积； (3)求的值． 【答案】(1)1 (2)20 (3)4 【分析】（1）先求出中间小正方形的面积，然后再求出边长即可； （2）根据小长方形原来的长为a、宽为b，面积为12，大正方形的边长为7，得出，，根据小长方形的长和宽各增加1后，边长为，，求出面积即可； （3）根据幂的乘方和同底数幂的除法运算法则进行变形计算即可． 【详解】（1）解：∵大正方形的边长为7，长方形纸片的面积为12， ∴小正方形的面积为：， ∴小正方形的边长为：． （2）解：∵小长方形原来的长为a、宽为b，面积为12，大正方形的边长为7， ∴，， 小长方形的长和宽各增加1后，边长为，，则面积为： ． （3）解：∵，， ∴ ． 【点睛】本题主要考查了幂的运算的应用，算术平方根的定义，解题的关键是熟练掌握幂的乘方和同底数幂除法运算法则，准确计算． 7．（24-25八年级上·河南郑州·期中）阅读与思考： 下面是小涵同学的数学错题本笔记，请仔细阅读他的解题思路并完成相应的任务． 题目：如图，在中，，，，求的面积． 方法1：如果的三边长分别为，设为周长的一半，那么利用海伦公式，就可求出的面积． 方法2：作辅助线，构造直角三角形，设未知数列方程，并求解，从而求出的面积． (1)任务一：按“方法1”求的面积． (2)任务二：写出“方法2”的解答过程． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题主要考查了勾股定理，三角形面积的计算，解题的关键是熟练掌握勾股定理，根据勾股定理列出关于的方程． （1）按照“方法1”的思路，先求出的值，然后再代入数据求出的面积即可； （2）按照“方法2”的思路，先求出的长，再利用三角形面积公式求出的面积即可． 【详解】（1）解：∵，，， ， ； （2）解：过点作于点， 设，则， ， 根据勾股定理得：， 即， 解得：， ， ． 三．与算术平方根/立方根有关的规律探究问题（共3小题） 8．（21-22八年级·江苏·假期作业）观察求算术平方根的规律，并利用这个规律解决下列问题：，，，，， (1)已知，求的值； (2)已知，，求的值； (3)根据上述探究方法，尝试解决问题：已知，，用含的代数式表示． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据算术平方根的规律，根号内扩大100倍，结果扩大10倍，将式子变形即可求解； （2）根据算术平方根的规律，根号内扩大100倍，结果扩大10倍，将式子变形即可求解； （3）根据立方根的规律，根号内扩大1000倍，结果扩大10倍，将式子变形即可求解； 【详解】（1） ， ． （2）， ． ． （3）， ． ． ，即． 【点睛】本题主要考查算术平方根、立方根、二次根式的乘法运算，熟练掌握算术平方根、平方根的定义以及二次根式的乘法运算法则是解决本题的关键． 9．（22-23八年级上·江苏·期中）我们知道，平方数的开平方运算可以直接求得，如等，有些数则不能直接求得，如，但可以通过计算器求得．还有一种方法可以通过一组数的内在联系，运用规律求得，请你观察下表： a … 0.04 4 400 40000 … … x 2 y z … (1)表格中的三个值分别为：x＝　 　；y＝　 　；z＝　 　； (2)用公式表示这一规律：当a＝4×100n（n为整数）时，＝　 　； (3)利用这一规律，解决下面的问题： 已知，则①≈　 　；②≈　 　． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）直接利用算术平方根定义计算填表即可； （2）归纳总结得到一般性规律，然后求出的值即可； （3）利用（2）得出的规律即可解答． 【详解】（1）解：根据算术平方根定义可得：． 故答案为． （2）解：当（n为整数）时，． 故答案为． （3）解：若，则①；②． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了算术平方根、数字规律等知识点，熟练掌握算术平方根的定义是解本题的关键． 10．（23-24七年级下·江苏南通·期中）下面是小李探索的近似值的过程，请补充完整： 我们知道面积是2的正方形的边长是，且，设，可画出示意图． 由面积公式，可得． 略去，得方程． 解得，即_________ ． 上述过程中，主要运用的数学思想是_________ ． （2）容易知道，设，请类比（1）的方法的近似值．（要求：画出示意图，标明数据，并写出求解过程） 【答案】（1）1.5，数形结合思想；（2）1.75 【分析】本题主要考查了求无理数的近似值的方法， （1）结合解答过程即可得出答案； （2）类比近似值的求解过程，构造边长为2的大正方形，求解即可． 【详解】解：（1）由题意知，主要运用的数学思想是数形结合思想； 故答案为：1.5，数形结合思想； （2）如图，设，则， 根据图中面积可得：， ， 略去得方程， ， ． 四．已知一个数的平方根，求这个数（共2小题） 11．一个正数的x的平方根是与，求a和x的值． 【答案】 【分析】本题考查平方根，根据一个正数的2个平方根互为相反数，得到，求出的值，进而求出x的值即可． 【详解】∵一个正数的x的平方根是与， ∴， 解得：， ∴． 12．（2024七年级下·全国·专题练习）已知正实数x的两个平方根分别为a和． (1)若，求b和x的值； (2)若时，求a和x的值； (3)若，求x的值． 【答案】(1)， (2)， (3)2 【分析】本题考查的是平方根的含义，掌握平方根的含义是解本题的关键． （1）根据平方根的定义及性质即可求得b的值和x的值； （2）根据平方根的定义及性质即可求得a的值和x的值； （3）根据平方根的定义将原式进行变形后解方程，然后结合已知条件确定x的值即可． 【详解】（1）解：∵正实数x的平方根分别为a和， ∴， 即， ∵， ∴，； （2）∵，， ∴， 解得：， ∴； （3）∵正实数x的平方根分别为a和， ∴， ∵， ∴， 即， 解得：， ∵x为正实数， ∴． 五．利用平方根/立方根的概念解方程（共2小题） 13．（24-25八年级上·江苏南京·期中）求出下列x的值： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)， 【分析】本题主要考查立方根与平方根，解题的关键是掌握立方根和平方根的定义． （1）先化简得到，再根据立方根的定义进行解题即可； （2）先化简得到，再根据平方根的定义进行解题即可． 【详解】（1）解：， ∴， 则， 解得； （2）解：， ， ， 解得，． 14．（24-25八年级上·江苏无锡·期中）求下列各式中的实数x． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查平方根、立方根，解题的关键是掌握平方根和立方根的定义． （1）先移项，再两边都除以4，继而利用平方根的定义求解即可； （2）先两边都除以27，再利用立方根的定义求解，然后解一元一次方程可得答案． 【详解】（1）解：， ， ， 则； （2）解：， ， 则，即， 解得：． 六．立方根的实际应用（共3小题） 15．（24-25八年级上·河南周口·阶段练习）已知甲正方体纸盒的底面积为，乙正方体纸盒的体积比甲正方体纸盒的体积大，丙正方体纸盒的体积是乙正方体纸盒体积的． (1)求乙正方体纸盒的体积． (2)求丙正方体纸盒的棱长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了立方根和算术平方根的应用，熟练掌握算术平方根和立方根定义，是解题的关键． （1）先求出甲正方体的边长，然后求出甲正方体的体积，再求出乙正方体的体积即可； （2）先求出丙正方体的体积，再求出其棱长即可． 【详解】（1）解：∵甲正方体纸盒的底面积为， ∴甲正方体纸盒的边长为， ∴甲正方体纸盒的体积为：， ∵乙正方体纸盒的体积比甲正方体纸盒的体积大， ∴乙正方体纸盒的体积为． （2）解：∵丙正方体纸盒的体积是乙正方体纸盒体积的， ∴丙正方体的体积为：， ∴丙正方体纸盒的棱长为． 16．（24-25七年级上·浙江·期中）如图，一个底面半径为的瓶子内装着一些溶液．当瓶子正放时，瓶内溶液的高度为；倒放时，空余部分的高度为．瓶内的溶液正好倒满2个一样大的正方体容器（取3，容器的厚度不计）． (1)该瓶子的容积（装满时溶液的体积）是多少立方厘米？ (2)正方体容器的棱长是多少厘米？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查有理数的混合运算、求一个数的立方根，还涉及求常见几何体的体积，读懂题意，得出“瓶子的容积与同底、高为的圆柱体积相等”是解题的关键． （1）瓶子的容积与同底、高为的圆柱体积相等，由此可解； （2）首先求出瓶内的溶液的体积，然后根据瓶内的溶液正好倒满2个一样大的正方体容器求解即可． 【详解】（1）解：； （2）解：因为． 所以棱长． 17．（22-23八年级上·江苏·期中）小明在学完立方根后研究了如下问题：如何求出的立方根？他进行了如下步骤： ①首先进行了估算：因为，，所以是两位数； ②其次观察了立方数：；猜想的个位数字是7； ③接着将往前移动3位小数点后约为50，因为，，所以的十位数字应为3，于是猜想，验证得：的立方根是； ④最后再依据“负数的立方根是负数”得到，同时发现结论：若两个数互为相反数，则这两个数的立方根也互为相反数；反之也成立． 请你根据小明的方法和结论，完成下列问题： (1)= ； (2)若，则 ； (3)已知，且与互为相反数，求的值． 【答案】(1) (2)3 (3)，；，；， 【分析】（1）根据题目中给定的方法进行求解即可； （2）根据两个数互为相反数，则这两个数的立方根也互为相反数，进行计算即可； （3）根据立方根的性质，立方根是本身的数为，进行分类讨论，再根据两个数互为相反数，则这两个数的立方根也互为相反数，进行计算即可． 【详解】（1）解：因为，，所以是两位数， 因为；猜想的个位数字是9， 接着将往前移动3位小数点后约为117，因为，所以的十位数字应为4，于是猜想，验证得：的立方根是； 最后再依据“负数的立方根是负数”得到； （2）解：∵， ∴和 互为相反数， ∴， ∴； 故答案为：3． （3）解：，即， ∴或1或 解得：或3或1 ∵与互为相反数，即， ∴，即， ∴时，； 当时，； 当时，． 【点睛】本题考查求一个负数的立方根，以及互为相反数的两个数的立方根也互为相反数．熟练掌握题目中给定的立方根的计算方法是解题的关键． 七．平方根与立方根综合（共3小题） 18．（24-25八年级上·全国·期中）已知的立方根是2，的算术平方根是3， (1)分别求出a，b的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题主要考查了根据立方根和算术平方根求原数，求一个数的平方根，解题的关键是熟练掌握相关的定义． （1）对于两个实数a、b若满足，那么a就叫做b的平方根，若a为非负数，那么a就叫做b的算术平方根，对于两个实数a、b若满足，那么a就叫做b的立方根，据此列式求出a、b的值即可； （2）根据（1）所求得到的值，再根据平方根的定义求解即可． 【详解】（1）解：∵的立方根是2， ∴， ∴， ∵的算术平方根是3， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∵的平方根是， ∴的平方根是． 19．（22-23八年级上·江苏无锡·期中）已知的立方根是2，的算术平方根是3． (1)求的值 (2)求的平方根． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了立方根、平方根、算术平方根的定义，根据立方根和算术平方根的定义求出的值是解此题的关键． （1）根据立方根和算术平方根的定义得出，，求解即可得出答案； （2）由（1）得：，求出的值，最后根据平方根的定义即可得出答案． 【详解】（1）解： 的立方根是2，的算术平方根是3， ，， 解得：； （2）解：由（1）得：， ， 的平方根为． 20．（23-24八年级上·江苏苏州·阶段练习）已知的立方根是3，的算术平方根是4，是的整数部分．求的平方根． 【答案】 【分析】根据立方根，算术平方根，平方根和无理数的估算进行求解即可． 【详解】解：∵的立方根是3，的算术平方根是4，c是的整数部分， ∴，，， ∴，，， ∴， ∴的平方根是． 【点睛】本题考查了立方根，算术平方根，平方根和无理数的估算，理解题意及正确地计算能力是解决问题的关键． 21．（24-25八年级上·全国·期中）某地气象资料表明：当地雷雨持续的时间（）可以用公式：来估计，其中d（km）是雷雨区域的直径．（参考数据：，，，） (1)如果雷雨区域的直径为，那么这场雷雨大约能持续多长时间？（结果精确到） (2)如果一场雷雨持续了，那么这场雷雨区域的直径大约是多少？（结果精确到） 【答案】(1)这场雷雨大约能持续 (2)这场雷雨区域的直径大约是 【分析】本题考查了算术平方根，立方根的应用； （1）根据，其中是雷雨区域的直径，开平方的意义，可得答案； （2）根据，其中是雷雨区域的直径，开立方的意义，可得答案． 【详解】（1）解：当时，则， 因此； 答：这场雷雨大约能持续. （2）当时，由可得（） 答：这场雷雨区域的直径大约是 八．无理数整数部分的相关计算（共4小题） 22．（24-25八年级上·江苏苏州·期中）通过学习，我们知道是一个无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来．聪明的小丽认为的整数部分为1，所以减去其整数部分，差就是的小数部分．所以用来表示的小数部分．根据小丽的方法请完成下列问题： (1)的整数部分为 ，小数部分为 ； (2)已知的整数部分为，的整数部分为，求的立方根． 【答案】(1)6； (2)的立方根是2 【分析】本题考查无理数整数部分的计算，求一个数的立方根： （1）估算出在哪两个连续整数之间即可； （2）通过无理数的估算求得，的值，然后将其代入中计算，最后根据立方根的定义即可求得答案． 【详解】（1）解：， ， 的整数部分为6，小数部分为， 故答案为：6；； （2）， ， ， ∴， ， ， ∴， ∴的立方根是2． 23．（23-24七年级下·江苏南通·期末）阅读下面的文字，解答问题． 现规定：分别用和表示实数x的整数部分和小数部分，如实数3.14的整数部分是，小数部分是；实数的整数部分是，小数部分是无限不循环小数，无法写完整，但是把它的整数部分减去，就等于它的小数部分，即就是的小数部分，所以． (1)__________，__________；__________，__________． (2)如果，，求的立方根； (3)若，求x的取值范围． 【答案】(1)1，，3， (2)的立方根是2 (3) 【分析】本题考查了估算无理数的大小和平方根的意义，求一个数的立方根，能够估算出无理数的范围是解决问题的关键． （1）先估算出和的范围，再根据题目规定的表示方法写出答案即可； （2）先估算出，的范围，即可求出a，b的值，进一步即可求出结果． （3）根据的含义列出不等式组即可求出结果． 【详解】（1）解： 故答案为： （2） 的立方根是2． （3）∵， ∴， 解得：． 24．（23-24七年级下·江苏南通·期中）【阅读材料】 ，即， ， 的整数部分是1， 的小数部分是． 【解决问题】 （1）的整数部分是_______，小数部分是_______； （2）已知a是的整数部分，b是的小数部分，求代数式的值； （3）已知，其中x是整数，且，求的值． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】此题考查了估算无理数的大小，在确定形如的无理数的整数部分时，常用的方法是“夹逼法”，其依据是平方和开平方互为逆运算．在应用“夹逼法”估算无理数时，关键是找出位于无理数两边的平方数，则无理数的整数部分即为较小的平方数的算术平方根． （1）先估算出的取值范围，进而可求出的整数部分和小数部分； （2）先根据的取值范围，进而可求出的取值范围，然后求出a和b的值即可求解； （3）先求出的整数部分，再求出的小数部分，然后求出，，然后再代入求值即可． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∴的整数部分是8；小数部分是． （2），即， ， 的整数部分为1， 的小数部分为， ，， ． （3），即， ， 的整数部分为3， 的小数部分为． ，， ． 25．（23-24七年级下·山西吕梁·阶段练习）阅读与思考： 我们在学习有理数时，可以根据有理数在数轴上的位置关系比较有理数的大小．数学兴趣小组发现可以用相同的方法比较无理数的大小，请根据他们的探究过程，完成下列问题： (1)借助网格，并用尺规画出与在数轴上的位置； (2)根据与在数轴上的位置，可得__________；（选搷“>”．“<＂或“=”） (3)若为的小数部分，为的整数部分，求． 【答案】(1)见解析 (2)> (3) 【分析】本题考查了实数与数轴，准确的用数轴上的点表示实数并用数轴比较大小及估算无理数大小是本题解题关键． （1）以为斜边的直角三角形的直角边为1和2，以为斜边的直角三角形的直角边为1和3，以此为已知尺规作图即可； （2）由（1）中数轴可直观比较； （3）求出的小数部分和整数部分，再代入计算即可． 【详解】（1）如图，点A为，点B为， （2）∵数轴上右边的点大于左边的点， ∴由图得，为， 故答案为：； （3）∵， ∴的整数部分为3，小数部分为， ∴，， ∴ ． 九．实数与数轴（共4小题） 26．（23-24八年级下·江苏泰州·期末）实数a、b、c在数轴上的位置如图所示，化简 【答案】 【分析】本题考查整式的加减，算术平方根，利用数轴得到，再利用算术平方根的性质进行化简，然后去括号，合并同类项进行计算． 【详解】解：由数轴得：，则             ∴原式=               =               = 27．（22-23八年级上·江苏无锡·期中）实数在数轴上对应点的位置如图所示，若 ． (1)求的值； (2)求的平方根． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是实数与数轴，求平方根； （1）根据数轴可得，进而化简绝对值，即可求解； （2）根据（1）得出，再求平方根，即可求解． 【详解】（1）解：由所给数轴可知，， 所以 ，， 则 ． （2）由（1）知， 所以的平方根是． 28．（23-24八年级上·江苏苏州·期中）阅读下面的解题过程体会如何发现隐含条件并回答下面的问题 化简：． 解：隐含条件，解得：，． 原式． 【启发应用】 （1）按照上面的解法，试化简：． 【类比迁移】 （2）实数，在数轴上的位置如图所示，化简：． （3）已知，，为的三边长．化简：． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题主要考查了化简二次根式，实数与数轴，三角形三边的关键： （1）先根据题意得到，据此化简二次根式即可； （2）先根据数轴得到，据此化简二次根式和绝对值即可； （3）根据三角形三边的关系得到，据此化简二次根式即可． 【详解】解：（1）∵有意义， ∴，即， ∴ ； （2）由题意得，， ∴， ∴ ； （3）∵，，为的三边长 ∴， ∴ ． 29．（23-24八年级下·江苏南通·期中）（1）【阅读理解】勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，是用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一，它不但因证明方法层出不穷吸引着人们，更因为应用广泛而使人着迷．下面四幅图中，不能证明勾股定理的是 ； A．     B．       C．       D． （2）【实践操作】如图1，在数轴上找出表示的点，过点作直线垂直于，在上取点，使，以原点为圆心，长为半径作弧，则弧与数轴负半轴的交点表示的数是 ； （3）【延伸应用】如图2，有一个小朋友拿着一根竹竿要通过一个长方形的门，如果把竹竿竖放就比门高出尺，斜放就恰好等于门的对角线（），已知门宽尺，求竹竿长． 【答案】（1）C；（2）；（3）竹竿长尺 【分析】本题考查了勾股定理的证明与应用、实数与数轴，理解题意、熟练掌握勾股定理是解题的关键． （1）观察图形，根据各个图形面积之间的和差关系，列出等式整理，逐个判断即可； （2）根据勾股定理求得，根据交点在数轴负半轴，得出答案即可； （3）设竹竿长尺，根据题意，则尺，门高 尺，门宽尺，利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：（1）∵A图形中，四个直角三角形的面积小正方形的面积大正方形的面积， ∴， 整理得：，能证明勾股定理； ∵B图形中，四个直角三角形的面积小正方形的面积大正方形的面积， ∴， 整理得：，能证明勾股定理； ∵C图形中，大正方形的面积两个小正方形的面积两个长方形的面积， ∴，不能证明勾股定理： ∵D图形中，两个小直角三角形的面积大直角三角形的面积整个梯形的面积， ∴， 整理得：，能证明勾股定理； 综上所述，不能证明勾股定理的是C， 故答案为：C； （2）∵由题意得：，，， 在中，， ∴， ∵交点在数轴负半轴， ∴点表示的数为， 故答案为：； （3）设竹竿长尺，则尺，门高 尺，门宽尺， 在中， ∴， ∴， 整理得：， 解得：， 答：竹竿长尺． 一十．实数的混合运算（共3小题） 30．（24-25八年级上·江苏无锡·期中）计算： (1)； (2) 【答案】(1)3 (2) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，立方根，算术平方根的求解，熟练掌握二次根式的性质是解决问题的关键． （1）先根据立方根的定义和算术平方根定义开方，然后进行有理数的混合运算； （2）先去绝对值，然后计算即可． 【详解】（1） ； （2） ． 31．（24-25八年级上·江苏常州·期中）计算 (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了实数的运算，零指数幂： （1）先计算算术平方根，立方根和乘方，再计算加减法即可得到答案； （2）先计算算术平方根和零指数幂，再去绝对值，最后计算加减法即可得到答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 32．（24-25八年级上·江苏泰州·期中）（1）计算： （2）求中的的值． 【答案】（1）；（2）， 【分析】本题考查了实数的混合运算，利用平方根解方程，掌握相关的运算法则是解题的关键． （1）先进行开方和负整数指数幂的运算，再进行加减运算即可； （2）根据平方根的定义，进行求解即可． 【详解】解：（1） （2）解： ， 一十二．与实数运算有关的新定义问题（共3小题） 33．（24-25七年级上·江苏无锡·期中）对于两个有理数a、b，我们对运算“”作出如下定义： (1)计算： ； (2)若，求的值． 【答案】(1)22 (2) 【分析】本题考查定义新运算，有理数计算，绝对值和完全平方非负性等． （1）根据题意展开计算即可； （2）根据题意先利用非负性求出，再利用题意展开计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， 故答案为：22； （2）解：∵， ∴， ∴ ， ， ， ． 34．（23-24七年级上·江苏无锡·期中）定义：若，则称与是关于3的实验数． (1)4与__________是关于3的实验数，__________与是关于3的实验数．（用含的代数式表示） (2)若，，判断与是否是关于3的实验数，并说明理由． (3)若，，且与是关于3的实验数，求． 【答案】(1)， (2)是，见解析 (3) 【分析】本题考查了实数运算、整式的加减、解方程，化简绝对值，解题关键是准确理解新定义，熟练运用整式运算法则和解方程方法进行计算． （1）根据实验数的定义，列式，可得答案； 即可； （2）将两式相减得出结果是否是3，根据实验数的定义判断即可； （3）根据实验数的定义，列出方程，解方程即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴4与是关于3的实验数，与是关于3的实验数． （2）a与b是关于3 的实验数， 理由：∵ ， ∴a与b是关于3 的实验数； （3）∵c与d是关于3的实验数，，， ∴， 即， 当时，原方程化简为，此时； 当时，原方程化简为，解得： 当时，原方程化简为，方程无解； ∴x的值为的任意实数． 35．（23-24八年级下·江苏苏州·期中）对于实数，定义新运算“”：，例如：，因为，所以． (1)求和的值； (2)若是一元二次方程的两个根，且，求的值． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题考查了新定义、一元二次方程根与系数的关系以及实数的运算： （1）根据题目已知定义计算即可； （2）先根据一元二次方程根的定义得到，再根据新定义化简原式，利用根与系数的关系求解即可． 【详解】（1） ； ； （2）是一元二次方程的根， ， 根据根与系数的关系得， ． 36．（23-24七年级下·江苏宿迁·期中）定义一种新运算“★”： ； ； 观察上述各式的运算方法，解答下列问题： (1)请按照以上新运算“★”的运算方法，写出的运算表达式； (2)若，求y的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了新定义的运算，解一元一次方程，理解新定义运算是解题的关键． （1）根据新运算的运算方法即可求解； （2）根据新运算的运算表达式得到关于y的一元一次方程，解方程即可解题． 【详解】（1）解：由题知， ； （2）解： ， ， ， ， ． 一十三．程序设计与实数运算（共4小题） 37．（23-24七年级下·江苏南通·期中）如图是一个数值转换器示意图： (1)当输入的x为36时，输出的y的值是_______； (2)若输入x值后，始终输不出y的值，则满足题意的x值是_______； (3)若输出的，则x的最小整数值是_______. 【答案】(1) (2)0和1 (3)5 【分析】本题考查了算术平方根的计算和无理数的判断， （1）根据运算规则即可求解； （2）根据0的算术平方根是0，1的算术平方根是1即可判断； （3）先得出输入的，，再根据运算法则，进行逆运算即可求解． 【详解】（1）解：当时，取算术平方根，不是无理数， 继续取6算术平方根，是无理数， 所以输出的y值为； 故答案为：； （2）解：当，1时，始终输不出y值．因为0的算术平方根是0，1的算术平方根是1，一定是有理数； 故答案为：0，1； （3）∵输出的， ∴， ∴输入的， 当时，5的算术平方根是，是无理数， 所以输出的y值为， ∴x的最小整数值是． 38．（23-24七年级下·广东阳江·期中）如图是一个数值转换器，请根据其原理解决问题：当x为12时，求y的值，并写出详细过程． 【答案】，见详解 【分析】本题主要考查了有理数和无理数的分类、实数的运算以及流程图，掌握有理数和无理数的分类以及读懂流程图是解答本题的关键． 【详解】解：把代入数值转换器，第一次计算可得，为有理数，进行第二次计算， 把代入数值转换器，第二次计算可得，为无理数， 则输出． 39．（23-24七年级上·浙江·期末）有一个数值转换器，运算流程如下： (1)在，2，4，16中选择3个合适的数分别输入，求对应输出的值． (2)若输出的值为，求输入的值． 【答案】(1)当时，；当时，；当时， (2)3或9 【分析】（1）将，4，分别代入，计算求解即可； （2）由题意知，分当是无理数的相反数时，当是有理数的负平方根时，两种情况求解作答即可． 【详解】（1）解：当时，其算术平方根为，是无理数，故； 当时，其算术平方根为2，是有理数，故； 当时，其算术平方根为4，是有理数，故； （2）解：当是无理数的相反数时，则的算术平方根是， ∴， 当是有理数的负平方根时，则的算术平方根的负平方根是， ∴， 综上所述，的值为3或9． 【点睛】本题考查了相反数，算术平方根，平方根．熟练掌握相反数，算术平方根，平方根的概念是解题的关键． 40．（22-23七年级下·北京海淀·期中）一个数值转换器如图所示：    (1)当输入的值为16时，输出的值是______； (2)若输入有效的值后，始终输不出值，则所有满足要求的的值为______； (3)若输出的值是，请直接写出两个满足要求的的值． 【答案】(1) (2)0，1 (3)， 【分析】（1）根据运算规则即可求解； （2）根据0的算术平方根是0，1的算术平方根是1即可判断； （3）根据运算法则，进行逆运算即可求得无数个满足条件的数． 【详解】（1）解：当时，取算术平方根，不是无理数， 继续取算术平方根，不是无理数， 继续取算术平方根得，是无理数，所以输出的y值为； 故答案为：； （2）解：当，1时，始终输不出y值．因为0的算术平方根是0，1的算术平方根是1，一定是有理数； 故答案为：0，1； （3）解：25的算术平方根为5，5的算术平方根是， ∴，都满足要求． 【点睛】本题考查了算术平方根的计算和无理数的判断，正确理解给出的运算方法是关键． 一十四．实数运算的实际应用（共4小题） 41．（22-23八年级上·山西忻州·期末）如图，是张大爷的一块小菜地，已知CD是中AB边上的高，，求BD的长．（结果保留根号） 【答案】 【分析】先在Rt△ACD中根据勾股定理求出AD的长，进而可知BC的长，再在Rt△BCD中，根据勾股定理求出BD的长即可. 【详解】∵CD是中AB边上的高， ∴△ACD和△BCD都是直角三角形. 在Rt△ACD中 ∴， ∵, ∴， 在Rt△BCD中， . 【点睛】本题主要考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理并能正确的计算是解题的关键. 42．（21-22七年级下·湖北宜昌·期中）某农场有一块用铁栅栏围墙围成面积为700平方米的长方形空地，长方形长宽之比为7：4． (1)求该长方形的长宽各为多少？ (2)农场打算把长方形空地沿边的方向改造出两块不相连的正方形试验田，两个小正方形的边长比为4：3，面积之和为600平方米，并把原来长方形空地的铁栅栏围墙全部用来围两个小正方形试验田，请问能改造出这样的两块不相连的正方形试验田吗，如果能，原来的铁栅栏围墙够用吗？ 【答案】(1)该长方形的长为35米，宽为20米 (2)能改造出这样的两块不相连的正方形试验田，原来的铁栅栏围墙不够用 【分析】（1）设该长方形的长为米，则宽为米，再根据面积为700平方米建立方程，利用平方根解方程即可得； （2）设较大的小正方形的边长为米，则较小的小正方形的边长为米，根据面积之和为600平方米建立方程，解方程可得，再根据无理数的估算进行分析判断即可得． 【详解】（1）解：设该长方形的长为米，则宽为米， 由题意得：， 解得或（不符题意，舍去）， 则， 答：该长方形的长为35米，宽为20米． （2）解：设较大的小正方形的边长为米，则较小的小正方形的边长为米， 由题意得：， 解得或（不符题意，舍去）， 则较大的小正方形的边长为米，较小的小正方形的边长为米， ， ，， 能改造出这样的两块不相连的正方形试验田， 改造出这样的两块不相连的正方形试验田所需铁栅栏围墙长为（米）， 原来长方形空地的铁栅栏围墙长为米， ， ， 原来的铁栅栏围墙不够用， 答：能改造出这样的两块不相连的正方形试验田，原来的铁栅栏围墙不够用． 【点睛】本题考查了算术平方根的应用、利用平方根解方程、无理数的估算、实数运算的应用，找准等量关系，正确建立方程是解题关键． 43．（21-22七年级下·北京·期中）“说不完的”探究活动，根据各探究小组的汇报，完成下列问题． (1)到底有多大？ 下面是小欣探索的近似值的过程，请补充完整： 我们知道面积是2的正方形边长是，且．设，画出如下示意图． 由面积公式，可得______． 因为值很小，所以更小，略去，得方程______，解得____（保留到0.001），即_____． (2)怎样画出？请一起参与小敏探索画过程． 现有2个边长为1的正方形，排列形式如图（1），请把它们分割后拼接成一个新的正方形．要求：画出分割线并在正方形网格图（图中每个小正方形的边长均为1）中用实线画出拼接成的新正方形． 小敏同学的做法是：设新正方形的边长为．依题意，割补前后图形的面积相等，有，解得．把图（1）如图所示进行分割，请在图（2）中用实线画出拼接成的新正方形． 请参考小敏做法，现有5个边长为1的正方形，排列形式如图（3），请把它们分割后拼接成一个新的正方形．要求：画出分割线并在正方形网格图（4）中用实线画出拼接成的新正方形．说明：直接画出图形，不要求写分析过程． 【答案】(1)，，，； (2)见解析 【分析】（1）根据图形中大正方形的面积列方程即可； （2）在网格中分别找到1×1和1×2的长方形，依次连接顶点即可． 【详解】（1）由面积公式，可得 ∵值很小，所以更小，略去，得方程，解得（保留到0.001），即． 故答案为：，，，； （2）小敏同学的做法，如图： 排列形式如图（3），如图： 画出分割线并在正方形网格图（4）中用实线画出拼接成的新正方形，如图所示 【点睛】本题考查了估算无理数的大小，考查数形结合的思想，根据正方形的面积求出带根号的边长是解题的关键． 44．（20-21八年级上·江苏苏州·阶段练习）数学阅读是学生个体根据已有的知识经验，通过阅读数学材料建构数学意义和方法的学习活动，是学生主动获取信息，汲取知识，发展数学思维，学习数学语言的途径之一．请你先阅读下面的材料，然后再根据要求解答提出的问题： 问题情境：设a，b是有理数，且满足，求的值． 解：由题意得， ∵a，b都是有理数， ∴也是有理数， ∵是无理数， ∴， ∴， ∴ 解决问题：设x，y都是有理数，且满足，求的值． 【答案】8或0 【分析】根据题目中例题的方法，对所求式子进行变形，求出x、y的值，从而可以求得x+y的值． 【详解】解：∵， ∴（x2-2y-8）+（y-4）=0， ∴x2-2y-8=0，y-4=0， 解得，x=±4，y=4， 当x=4，y=4时，x+y=4+4=8， 当x=-4，y=4时，x+y=（-4）+4=0， 即x+y的值是8或0． 【点睛】本题考查实数的运算，解题的关键是明确题目中例题的解答方法，然后运用类比的思想解答所求式子的值． $$