1.1锐角的三角函数第2课时正弦与余弦课件 2024-2025学年北师大版九年级数学下册

第一章 直角三角形的边角关系 1.1 锐角三角函数 第2课时 正弦 余弦 北师版·九年级下册 1 复习导入 1. 如图，Rt△ABC中，tanA = ，tanB= . A B C 2. 分别求出图中∠A，∠B 的正切值. 10 ┐ A B C 3. 在Rt△ABC中，∠C＝90°， ，AC＝10，求BC的长. 解： A B C ∠A的对边a ∠A的邻边b 斜边c ┌ 如图，当Rt△ABC中的一个锐角A确定时，它的对边与邻边的比便随之确定.此时，其它边之间的比值也确定吗？ 探究新知 任意画 Rt△ABC 和 Rt△A'B'C'，使得∠C ＝∠C' ＝90°，∠A ＝∠A'＝α，那么 与 有什么关系．你能试着分析一下吗？ A B C A' B' C' 探究新知 正弦与余弦的定义 1 量一量，算一算 因为∠C ＝∠C' ＝ 90°，∠A ＝∠A' ＝ α，所以 △ABC∽△A'B'C' 在 Rt△ABC 中，如果锐角 A 确定，那么 ∠A 的对边与斜边的比、邻边与斜边的比也随之确定. A B C A' B' C' 证一证 （1）Rt△AB1C1和Rt△AB2C2的关系是_________________. （2） ________. （3）如果改变B2在斜边上的位置， 则 __________. B1 B2 A C1 C2 探究活动1 如图： Rt△AB1C1∽Rt△AB2C2 B1 B2 A C1 C2 探究活动1 思考：从上面的问题可以看出：当直角三角形的一个锐角的大小已确定时，它的对边与斜边的比值________，根据是___________________. 随之确定 三角形相似的性质 它的邻边与斜边的比值呢？ 在Rt△ABC中，如果锐角A确定，那么∠A的对边与斜边的比、邻边与斜边的比也随之确定. A B C ∠A的对边a ∠A的邻边b(相邻的直角边) 斜边c ┌ 概念归纳 ∠A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦（sine），记作sinA，即 A B C ∠A的对边a ∠A的邻边b(相邻的直角边) 斜边c ┌ ∠A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦（cosine），记作cosA，即 A B C ∠A的对边a ∠A的邻边b(相邻的直角边) 斜边c ┌ 概念归纳 A B C ∠A的对边a ∠A的邻边b 斜边 ┌ 概念归纳 锐角A的正弦、余弦、正切，都是∠A的三角函数. 归纳总结 （1）sinA，cosA 是在直角三角形中定义的，∠A 是一个锐角； （5）sinA，cosA 的大小只与∠A 的大小有关，而与直角三角形的边长没有必然的关系. （4）sinA，cosA 是一个完整的符号，不表示“sin”，“cos” 乘以 “A” ； （3）sinA，cosA 没有单位，它表示一个比值； （2）sinA，cosA 中常省去角的符号“∠”. 但∠BAC的正弦和余弦表示为： sin∠BAC，cos∠BAC. ∠1 的正弦和余弦表示为：sin∠1，cos∠1； 锐角 A 的正弦、余弦和正切都是∠A 的三角函数（trigonometric function）.当锐角 A 变化时，相应的正弦、余弦和正切值也随之变化. 三角函数的定义 2 在图中，梯子的倾斜程度与 sinA 和 cosA 有关系吗？ 想一想 A C1 C2 梯子的倾斜程度与 sinA 和 cosA 有关系吗？ A sinA 的值越大，梯子越 ； cosA 的值越 ，梯子越陡. 陡 小 8 10 6 8 10 6 A 探究活动2 16 例2 如图，在Rt△ABC中，∠B=90 °，AC=200，sinA=0.6，求BC的长. A B C 例题详解 你还能求出cosC吗？ 对比sinA和cosC，你发现了什么？ 在其他直角三角形中是不是也一样呢？ sinC与cosA呢？ 解： 在 Rt△ABC 中， 即 ∴ BC = 200×0.6 = 120. 在直角三角形中，一个锐角的正弦等于另一个锐角的余弦. A B C 规律小结 在此图中，即：sinA=cosC sinC=cosA sinɑ=cos(90°-ɑ） 例2 如图，在等腰 △ABC中，AB = AC =5，BC = 6. 求： sinB，cosB，tanB. 提示：过点 A 作 AD⊥BC 于 D . 5 5 6 A B C ┌ D 解：过点 A 作 AD⊥BC 于 D，则在 Rt△ABD 中 10 ┐ A B C 如图，在 Rt△ABC 中，∠C = 90°， ，AC = 10，AB 等于多少？sinB 呢？ 思考：关于 cosA 和 sinB，你发现了什么？可以验证吗？ 正弦、余弦和正切的相互转化 3 做一做 如图，在 Rt △ABC 中，∠C ＝ 90°， sinA = cosB 归纳总结 2. 在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，sinA = ，则 tanB的值为_________. 1. 在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，则下列式子一定成立的是（　　） A．sinA = sinB B．cosA = cosB C．tanA = tanB D．sinA = cosB D 针对训练 1. 在 Rt△ABC 中 2. 梯子的倾斜程度与 sinA 和 cosA 的关系： sinA 的值越大，梯子越陡；cosA 的值越小，梯子越陡. 当堂小结 1. 如图，在 Rt△ABC 中，锐角 A 的对边和邻边同时扩大100 倍，sinA 的值（ ） A. 扩大 100 倍 B. 缩小 100 倍 C. 不变 D. 不能确定 2. 已知∠A，∠B 为锐角 (1) 若∠A =∠B，则 sinA sinB； (2) 若 sinA = sinB，则 ∠A ∠B. A B C ┌ C = = 课堂练习 3. 如图， ∠C = 90° 且 CD⊥AB. 4. 在上图中，若BD = 6，CD = 12. 则 cosA =______. ┍ ┌ A C B D 5. 如图：P 是边 OA 上一点，且 P 点的坐 标为 (3，4)，则 cosα =____，tanα=____. x y o 3 4 P α A CDBC ACAB ADAC 6. 如图，在 Rt△ABC 中，∠C ＝90°，AB = 10，BC＝6， 求 sinA、cosA、tanA 的值． 解：∵ 又∵ A B C 6 10 课堂小结 A B C ∠A的对边 ∠A的邻边 斜边 ┌ ∠A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA，即 ∠A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作cosA，即 在直角三角形中，一个锐角的正弦等于另一个锐角的余弦. 做一做 如图，Rt△ABC中，∠C=90 °， ， AC=10， AB等于多少？sinB呢？ A B C 解:在Rt △ABC中， 课后作业 P6-7 随堂练习＋习题1.2 全部 1. 在等腰△ABC中，AB=AC=5，BC=6，求： sinB，cosB，tanB. A B C 解：过A点作AD⊥BC，则BD=DC=3， AD=4. D 2.在△ABC中，∠C=90 °， ，BC=20， 求△ABC的周长和面积. A B C 解:在Rt △ABC中, 由勾股定理可得:AC=15， ∴S△ABC =15×20÷2=150， C△ABC =20+25+15=60. $$