24.1～24.2 综合练习 （圆的有关性质及点和圆、直线和圆的位置关系） 测试题 2024--2025学年人教版九年级数学上册

第二十四章 圆的有关性质及点和圆、直线和圆的位置关系测试题 考试范围：圆的有关性质及点和圆、直线和圆的位置关系；考试时间：100分钟；总分：120分 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1．已知⊙O的半径是4cm，圆心O到同一平面内直线L的距离为3cm，则直线L与⊙O的位置关系是（　　） A．相交 B．相切 C．相离 D．无法判断 2．如图，⊙O中，ABDC是圆内接四边形，∠BOC＝110°，则∠BDC的度数是（　　） A．110° B．70° C．55° D．125° 3．如图，⊙O为△ABC的内切圆，AC＝10，AB＝8，BC＝9，点D，E分别为BC，AC上的点，且DE为⊙O的切线，则△CDE的周长为（　　） A．9 B．7 C．11 D．8 4．如图，点A的坐标为（﹣3，﹣2），⊙A的半径为1，P为x轴上一动点，PQ切⊙A于点Q，则当PQ取最小值时，点P的坐标为（　　） A．（﹣4，0） B．（﹣2，0） C．（﹣4，0）或（﹣2，0） D．（﹣3，0） （2题图） （3题图） （4题图） （5题图） 5．如图，⊙O的半径为2，△ABC是⊙O的内接三角形，连接OB，OC，若∠BAC与∠BOC互补，则弦BC的长为（　　） A．2 B． C． D． 6．如图，圆O通过五边形OABCD的四个顶点．若150°，∠A＝75°，∠D＝60°，则的度数为（　　） A．25° B．40° C．50° D．60° （6题图） （7题图） 7．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理，如图1，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O为圆心的圆，如图2，已知圆心O在水面上方，且⊙O被水面截得的弦AB长为4米，⊙O半径长为3米．若点C为运行轨道的最低点，则点C到弦AB所在直线的距离是（　　） A．1米 B．米 C．3米 D．米 8．如图，已知A、B两点的坐标分别为（﹣2，0）、（0，1），⊙C的圆心坐标为（0，﹣1），原点（0，0）在⊙C上，E是⊙C上的一动点，则△ABE面积的最小值为（　　） A．1 B．2 C．1 D． 9．半径为2的⊙O中，两条弦AB＝2，AC＝2，∠BAC的度数为（　　） A．45°或60° B．105° C．15° D．15°或105° 10．如图，点A，B的坐标分别为A（2，0），B（0，2），点C为坐标平面内一点，BC＝1，点M为线段AC的中点，连接OM，则OM的最大值为（　　） A． B． C． D． （8题图） （10题图） （11题图） 二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分） 11．如图，∠ABC＝90°，O为射线BC上一点，以点O为圆心、BO长为半径作⊙O，当射线BA绕点B按顺时针方向旋转　 　度时与⊙O相切． 12．如图在平面直角坐标系中，过格点A，B，C作一圆弧，圆心坐标是　 　． （12题图） （13题图） （14题图） （15题图） 13．如图是水平放置的水管截面示意图，已知水管的半径为50cm，水面宽AB＝80cm，则水深CD约为 　 　cm． 14．如图，点I为△ABC的内心，AB＝4cm，AC＝3cm，BC＝2cm，将∠ACB平移，使其顶点与点I重合，则图中阴影部分的周长为　 　cm． 15．如图，PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，点C、D在⊙O上．若∠P＝108°，则∠B+∠D＝　 　． 三．解答题（共8小题，满分75分） 16．（9分）如图，⊙O的半径为2，点A为⊙O上一点，OD⊥弦BC于D，如果∠BAC＝60°．求OD的长和∠OCB度数． 17．（9分）一辆装满货物的卡车，高2.5米，宽1.6米，要开进厂门形状如图所示的某工厂，问这辆卡车能否通过厂门（厂门上方为半圆形拱门）？说明你的理由． 18．（9分）如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线和△ABC的外接圆⊙O相交于点D，求证：DE＝DB． 19．（9分）阅读材料，解答问题： 关于圆的引理 古希腊数学家、物理学家阿基米德流传于世的数学著作有10余种，下面是《阿基米德全集》的《引理集》中记载的一个命题： 如图1，AB是⊙O的弦，点C在⊙O上，CD⊥AB于点D，在弦AB上取点E，使DE＝AD，点F是上的一点，且，连接BF，则BF＝BE． 小颖对这个问题很感兴趣，经过思考，写出了下面的证明过程： 证明：如图2，连接CA，CE，CF，BC， ∵CD⊥AB于点D，DE＝AD， ∴CA＝CE． ∴∠CAE＝∠CEA． ∵， ∴CF＝CA（依据1），∠CBF＝∠CBA． ∵四边形ABFC内接于⊙O， ∴∠CAB+∠CFB＝180°．（依据2） …… （1）上述证明过程中的依据1为 　 　，依据2为 　 　； （2）将上述证明过程补充完整． 20．（9分）如图，在钝角△ABC中，∠C＝45°，AE⊥BC，垂足为E点，且AB与AC的长度为方程x2﹣9x+18＝0的两个根，⊙O是△ABC的外接圆． 求：（1）⊙O的半径； （2）BE的长． 21．（9分）如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以AB为直径作半圆⊙O交AC于点D，点E为BC的中点，连接DE． （1）求证：DE是半圆⊙O的切线； （2）若∠ACB＝60°，DE＝2，求AD的长． 22．（10分）抖空竹在我国有着悠久的历史，是国家级非物质文化遗产之一．为弘扬传统文化，某校将抖空竹列入了体育课程．在学习了圆之后，数学兴趣小组的同学们对抖空竹进行了探究，示意图如图所示，已知绳AC，BD分别与空竹⊙O相切于点C，D，且AC＝BD，连接左右两个绳柄A，B，AB经过圆心O，交⊙O于点E，F． （1）求证：AE＝BF． （2）若AE＝4，AC＝8，求两个绳柄之间的距离AB． 23．（11分）如图，在△ABC中，AB＝AC，BC为⊙O的直径，D为⊙O任意一点，连接AD交BC于点F，EA⊥AD交DB的延长线于E，连接CD． （1）求证：△ABE≌△ACD； （2）填空：①当∠CAD的度数为 　 　时，四边形ABDC是正方形； ②若四边形ABDC的面积为4，则AD的长为 　 　． 参考答案 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1．解：设圆的半径为r，点O到直线l的距离为d， ∵d＝3，r＝4， ∴d＜r， ∴直线l与圆相交． 选：A． 2．解：∵∠BOC＝110° ∴∠A∠BOC110°＝55° 又∵ABDC是圆内接四边形 ∴∠A+∠D＝180° ∴∠D＝180°﹣55°＝125° 选：D． 3．解：设AB，AC，BC，DE和圆的切点分别是P，N，M，Q，CM＝x，根据切线长定理，得 CN＝CM＝x，BM＝BP＝9﹣x，AN＝AP＝10﹣x． 则有9﹣x+10﹣x＝8， 解得：x＝5.5． 所以△CDE的周长＝CD+CE+QE+DQ＝2x＝11． 选：C． 4．解：连接AQ，AP． 根据切线的性质定理，得AQ⊥PQ； 要使PQ最小，只需AP最小， 根据垂线段最短，可知当AP⊥x轴时，AP最短， ∴P点的坐标是（﹣3，0）． 选：D． 5．解：过点O作OD⊥BC，垂足为D， ∵∠BAC与∠BOC互补， ∴∠BAC+∠BOC＝180°， ∵∠BAC∠BOC， ∴∠BOC＝120°， ∵OB＝OC， ∴∠OBC＝∠OCB（180°﹣∠BOC）＝30°， 在Rt△OBD中，OB＝2， ∴ODOB＝1，BDOD， ∵OD⊥BC， ∴BC＝2BD＝2， 选：C． 6．解：连接OB、OC， ∵OA＝OB＝OC＝OD， ∴△OAB、△OBC、△OCD，皆为等腰三角形， ∵∠A＝75°，∠D＝60°， ∴∠1＝180°﹣2∠A＝180°﹣2×75°＝30°，∠2＝180°﹣2∠D＝180°﹣2×60°＝60°， ∵150°， ∴∠AOD＝150°， ∴∠3＝∠AOD﹣∠1﹣∠2＝150°﹣30°﹣60°＝60°， 则的度数为60°． 选：D． 7．解：根据题意和圆的性质知点C为的中点， 连接OC交AB于D， 则OC⊥AB，， 在Rt△OAD中，OA＝3，AD＝2， ∴， ∴， 即点C到弦AB所在直线的距离是米， 选：D． 8．解：如图，过点C作CD⊥AB，交⊙C于E，此时△ABE面积的值最小（AB是定值，只要圆上一点E到直线AB的距离最小， ∵A（﹣2，0），B（0，1）， ∴AB， ∵⊙C的圆心坐标为（0，﹣1），原点（0，0）在⊙C上， ∴OC＝1， ∴BC＝2， ∵BC•OAAB•CD， ∴•CD， ∴CD， ∴DE＝CD﹣CE1， ∴S△ABE的最小值AB•DE（1）2， 选：B． 9．解：分为两种情况：①如图，弦AB和弦AC在直径AE的同旁时， 过O作OG⊥AB于G，OF⊥AC于F， ∵OG和OF都过圆心O，OG⊥AB，OF⊥AC，AB＝2，AC＝2， ∴AGAB，AFAC＝1AO，∠AGO＝∠AFO＝90°， ∴∠FOA＝30°，OGAG， ∴∠FAO＝60°，∠GAO＝45°， ∴∠BAC＝∠FAO﹣∠GAO＝60°﹣45°＝15°； ②当弦AC和弦AB在直径AE的两旁时， 此时∠BAC＝∠GAO+∠FAO＝60°+45°＝105°； 所以∠BAC的度数是15°或105°， 选：D． 10．解：如图， ∵点C为坐标平面内一点，BC＝1， ∴C在⊙B上，且半径为1， 取OD＝OA＝2，连接CD， ∵AM＝CM，OD＝OA， ∴OM是△ACD的中位线， ∴OMCD， 当OM最大时，即CD最大，而D，B，C三点共线时，当C在DB的延长线上时，OM最大， ∵OB＝OD＝2，∠BOD＝90°， ∴BD＝2， ∴CD＝21， ∴OMCD，即OM的最大值为； 选：B． 二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分） 11．解：射线BA绕点B顺时针旋转60度或120度时与圆O相切． 证明：将射线BA绕点B顺时针旋转60°时，记为射线BE， 作OD⊥BE，垂足为D， ∵在直角三角形BOD中，∠DBO＝∠ABO﹣60°＝30°， ∴ODBO，即为⊙O的半径， ∴BE与⊙O相切． 射线BA绕点B顺时针旋转120°时，同理可证． 答案为：60或120． 12．解：根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心， 可以作弦AB和BC的垂直平分线，交点即为圆心． 如图所示，则圆心是（2，0）． 答案为：（2，0）． 13．解：连接OA、如图，设⊙O的半径为R， ∵CD为水深，即C点为弧AB的中点，CD⊥AB， ∴CD必过圆心O，即点O、D、C共线，AD＝BDAB＝40， 在Rt△OAD中，OA＝50，OD＝50﹣x，AD＝40， ∵OD2+AD2＝OA2， ∴（50﹣x）2+402＝502，解得x＝20， 即水深CD约为20． 答案为：20． 14．解：连接AI、BI， ∵点I为△ABC的内心， ∴AI平分∠CAB， ∴∠CAI＝∠BAI， 由平移得：AC∥DI， ∴∠CAI＝∠AID， ∴∠BAI＝∠AID， ∴AD＝DI， 同理可得：BE＝EI， ∴△DIE的周长＝DE+DI+EI＝DE+AD+BE＝AB＝4， 即图中阴影部分的周长为4， 答案为4． 15．解：连接AB， ∵PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点， ∴PA＝PB， ∴∠PAB＝∠PBA， ∵∠APB＝108°， ∴∠PBA＝∠PAB（180°﹣∠APB）＝36°， ∵A、D、C、B四点共圆， ∴∠D+∠CBA＝180°， ∴∠PBC+∠D＝∠PBA+∠CBA+∠D＝36°+180°＝216°， 答案为：216°． 三．解答题（共8小题，满分75分） 16．解：∵∠BAC＝60°， ∴∠BOC＝2∠BAC＝120°， ∵OB＝OC， ∴∠OBC＝∠OCB（180°﹣120°）＝30°， ∵OD⊥弦BC， ∴∠BDO＝90°， ∴ODOB＝1． 17．解：这辆卡车能通过厂门．理由如下： 如图M，N为卡车的宽度，过M，N作AB的垂线交半圆于C，D，过O作OE⊥CD，E为垂足， 则CD＝MN＝1.6m，AB＝2m， 由作法得，CE＝DE＝0.8m， 又∵OC＝OA＝1m， 在Rt△OCE中，OE0.6（m）， ∴CM＝2.3+0.6＝2.9m＞2.5m． 所以这辆卡车能通过厂门． 18．证明：∵点E是△ABC的内心， ∴∠ABE＝∠CBE，∠BAD＝∠DAC， 由圆周角定理得，∠CAD＝∠CBD， ∴∠BAD＝∠DBC， ∴∠DBE＝∠DBC+∠EBC＝∠ABE+∠BAD＝∠DEB， ∴DE＝DB． 19．（1）解：上述证明过程中的依据1为在同圆中相等的弧所对的弦相等，依据2为圆内接四边形的对角互补． 答案为：在同圆中相等的弧所对的弦相等，圆内接四边形的对角互补； （2）证明：如图2，连接CA，CE，CF，BC， ∵CD⊥AB于点D，DE＝AD， ∴CA＝CE． ∴∠CAB＝∠CEA． ∵， ∴CF＝CA， ∴∠CBF＝∠CBA． ∵四边形ABFC内接于⊙O， ∴∠CAB+∠CFB＝180°， ∵∠CEA+∠CEB＝180°， ∴∠CFB＝∠CEB， 在△CFB和△CEB中， ， ∴△CFB≌△CEB（AAS）， ∴BF＝BE． 20．解：（1）连接OB， 解方程x2﹣9x+18＝0， 得，x1＝3，x2＝6， 由图形可知，AC＝3，AB＝6， 由圆周角定理得，∠AOB＝2∠C＝90°， ∴△AOB为等腰直角三角形， ∴OBAB＝3； （2）∵∠C＝45°，AE⊥BC， ∴△AEC为等腰直角三角形， ∴AEAC， ∴BE． 21．（1）证明：连接OD、BD，如图所示： ∵AB为直径作半圆⊙O， ∴∠ADB＝∠CDB＝90°， ∵点E为BC的中点， ∴BE＝DE＝CE， ∴∠DBE＝∠BDE， ∵OB＝OD， ∴∠OBD＝∠ODB， ∴∠OBD+∠DBE＝∠ODB+∠BDE，即∠ABC＝∠ODE＝90°， ∴OD⊥DE， ∵OD是半圆⊙O的半径， ∴DE是半圆⊙O的切线； （2）解：由（1）知：∠ADB＝∠CDB＝90°，BE＝DE＝CE＝2， ∴BC＝4， ∵∠ACB＝60°，DE＝CE， ∴△CDE是等边三角形， ∴CD＝CE＝2， 在Rt△ABC中，∠BAC＝90°﹣60°＝30°， ∴AC＝2BC＝2×4＝8， ∴AD＝AC﹣CD＝8﹣2＝6． 22．（1）证明：连接OC，OD，如解图所示． ∵AC，BD分别与⊙O相切于点C，D， ∴∠ACO＝∠BDO＝90°． 在△ACO和△BDO中， ， ∴△ACO≌△BDO（SAS）． ∴AO＝BO． 又∵EO＝FO， ∴AE＝BF． （2）解：设OE＝OC＝x，则AO＝x+4． 在Rt△ACO中，由勾股定理，得（x+4）2＝x2+82． 解得x＝6． ∴AO＝10． ∴AB＝20． ∴两个绳柄之间的距离AB为20． 23．（1）证明：∵BC为ΘO直径， ∴∠BAC＝∠BDC＝90°， ∴∠ABD+∠ACD＝180°， 又∠ABD+∠ABE＝180°， ∴∠ABE＝∠ACD， 又∠BAF+∠CAF＝∠BAF+∠BAE＝90°， ∴∠CAF＝∠BAE， 在△ABE和△ACD中， ， ∴△ABE≌△ACD（ASA）； （2）解：①当∠CAD＝45°时，四边形ABDC是正方形． 理由：∵∠CAD＝∠BAD＝45°， ∴， ∴BD＝CD， ∴△ABC，△BCD都是等腰直角三角形， ∵BC＝BC， ∴△ABC≌△DBC（ASA）， ∴AB＝AC＝BD＝CD， ∴四边形ABDC是菱形， ∵∠BAC＝90°， ∴四边形ABDC是正方形． 答案为：45°． ②∵△EAB≌△DAC， ∴AE＝AD，S△ABE＝S△ADC， ∴S△AED＝S四边形ABDC＝4， ∴•AD2＝4， ∴AD＝2， 答案为． 第1页（共17页） 学科网（北京）股份有限公司 $$