4.1 线段、射线和线段（知识解读+达标检测）-2024-2025学年七年级数学上册《知识解读•题型专练》（北师大版2024新教材）

4.1 线段、射线和线段 【考点1 直线、射线与线段】 【考点2 直线的性质】 【考点3 线段的应用】 【考点4 作图-直线射线和线段】 【考点5线段的性质】 【考点6 两点间距离】 【考点7线段的简单计算】 【考点8 “双中点”模型】 知识点1 直线、射线与线段的概念 注意：直线是可以向两边无限延伸的，射线受端点的限制，只能向一边无限延伸；线段不能 延伸，所以直线与射线不可测量长度，只有线段可以测量 知识点2 ：基本事实 1. 经过两点有一条直线，并且仅有一条直线，即两点确定一条直线 2. 两点之间的线段中，线段最短，简称两点间线段最短 知识3：线段的性质 两点之间的线段中，线段最短，简称：两点间线段最短。 知识点4： 基本概念 1. 两点间的距离： 两个端点之间的长度叫做两点间的距离。 2. 线段的等分点： 把一条线段平均分成两份的点，叫做这个线段的中点 知识5：双中点模型： C 为 AB 上任意一点，M、N 分别为 AC、BC 中点，则 【考点1 直线、射线与线段】 【典例1】如图所示，下列说法不正确的是（   ） A．点A在直线外 B．点C在直线上 C．射线与射线是同一条 D．直线和直线相交于点B 【变式1-1】下列各图中表示射线，线段的是（     ） A． B． C． D． 【变式1-2】手电筒发射出来的光线，若发光点标识为点A，光线上任意一点标识为点B，则光线可表示为（    ） A．线段 B．射线 C．直线 D．射线 【考点2 直线的性质】 【典例2】在下列生活，生产现象中，不可以用基本事实“两点确定一条直线”来解释的有（   ） A． B．C．D． 【变式2-1】如图，经过刨平的木板上的两个点，能弹出一条笔直的墨线，而且只能弹出一条墨线，能解释这一实际应用的数学知识是 ． 【变式2-2】下列四种实践方式：①木匠弹墨线；②打靶瞄准；③弯曲公路改直；④拉绳插秧．其中可以用基本事实“两点确定一条直线”来解释的有（填序号） ． 【变式2-3】开学整理教室时，卫生委员总是先把每一列最前和最后的课桌摆好，然后再依次摆中间的课桌，一会儿一列课桌就摆在一条线上，整整齐齐，其运用的数学原理是 ． 【考点3 线段的应用】 【典例3】观察图形，并回答下列问题：    (1)图中共有几条线段？说明你分析这个问题的具体思路； (2)请你用上面的思路来解决“十五个同学聚会每个人都与其他人握一次手，共握了多少次”这个问题； (3)十五个同学聚会，每个人都送给其他人一张名片呢，共送了几张？ 【变式3-1】数轴上表示整数的点称为整点，某数轴的单位长度是1厘米，若在这个数轴上随意画出一条长厘米的线段，则线段盖住的整点共有（　　）个 A．或 B．或 C．或 D．或 【变式3-2】杭衢高铁线上，要保证衢州、金华、义乌、诸暨、杭州每两个城市之间都有高铁可乘，需要印制不同的火车票（　　） A．20种 B．15种 C．10种 D．5种 【变式3-3】往返于甲、乙两地的火车，途中停靠三个站，则至多要准备 种车票． 【考点4 作图-直线射线和线段】 【典例4】如图，已知不在一条直线上的四点，，，．请按下列要求作图，并回答问题：    (1)画直线与射线，设直线与射线相交于点； (2)在线段上取一点，使；（请用尺规作图，不写作法和结论） (3)分别用几何语言表述点和点与直线的位置关系． 【变式4-1】如图，A，，是平面上三个点，按要求画出图形，并回答问题． (1)作直线，射线，线段； (2)请用适当的语句表述点A与直线的关系： ______； (3)从点A到点的所有线中，线段最短，其理论依据是______； (4)若点是平面内异于点A、、的点，过其中任意两点画直线，一共可以画______条． 【变式4-2】如图，已知三点，，． (1)画直线； (2)用语句表述图中点与直线的关系：________； (3)连接，在线段的延长线上作线段，使（用直尺和圆规作图，保留作图痕迹）； (4)连接，，则________（填“”，“”，“”），理由是__________． 【变式4-3】如图，平面上有三个点A，B，C． (1)根据下列语句画图：作出射线，直线AB；在射线上取一点D（不与点C重合），使； (2)在（1）的条件下，回答问题： ①用适当的语句表述点D与直线的关系：_______； ②若，则_______． 【考点5线段的性质】 【典例5】如图，某同学的家在A处，星期日他到书店去买书．若想尽快赶到书店B，则他能选择的最近的一条路线是（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】如图点为圆锥的顶点，点为圆锥底面上一点，点在上．从点开始绕圆锥一周回到点所经过的最短路线的痕迹如图所示．若沿将圆锥侧面剪开并展开，所得侧面展开图是（    ）． A．B．C． D． 【变式5-2】如图，一只蚂蚁从“A”处爬到“B”处（只能向上、向右爬行），爬行路线共有（　　） A．3条 B．4条 C．5条 D．6条 【变式5-3】用剪刀沿直线将一片平整的树叶剪掉一部分，如图，则剩下的树叶周长小于原树叶的周长，能解释这一现象的数学道理是 ． 【考点6 两点间距离】 【典例6】在一条马路边上有间距为10米的甲、乙两棵树，现要在距离甲树4米的地方立一根电线杆，且电线杆与甲、乙两树在同一条直线上，那么电线杆与乙树的距离为（　　） A．6米 B．14米 C．6米或14米 D．4米或6米 【变式6-1】如果A、B、C在同一条直线上，线段，，则A、C两点间的距离是（    ） A． B． C．或 D．或 【变式6-2】若点B在直线上，，，则A，C两点的距离是 ． 【变式6-3】如图在直线AB上有一点C，，有两只蚂蚁分别以2cm/s、1cm/s从A、C两点同时出发向右运动，经过 秒，两只蚂蚁到C点的距离相等． 【考点7线段的简单计算】 【典例7】如图，已知线段，点为上一点且，点是的中点． (1)求的长度； (2)点是直线上一点，且，求的长． 【变式7-1】如图，点是线段的中点，点，是线段上两点，，．    (1)求的长； (2)若，求的长． 【变式7-2】如图，线段上依次有三点，，是的中点，． (1)求线段的长； (2)求线段的长． 【考点8 “双中点”模型】 【典例8】如图，已知线段，延长至C，使得． (1)求的长； (2)若D是的中点，E是的中点，求的长． 【变式8-1】如图，点C是线段上一点，D为的中点，且，．若点E在直线上，且，则的长为（　　） A．4 B．15 C．3或15 D．4或10 【变式8-2】如图，已知线段，延长至，使得． (1)求的长； (2)若是的中点，是的中点，求的长． 【变式8-3】已知：如图，点D是线的中点，点E是线段的中点，且． (1)若，求的长； (2)若，求的长． 【变式8-4】如图，已知线段，延长至C，使得． (1)求的长； (2)若是的中点，是的中点，求的长． 1．下列说法正确的是（    ） A．直线可以度量 B．直线比射线长 C．延长线段到点 D．射线与射线是同一条射线 2．如图，田亮同学用剪刀沿直线将一片平整的树叶剪掉一部分，发现剩下树叶的周长比原树叶的周长要小，能正确解释这一现象的数学知识是（    ）    A．两点确定一条直线 B．经过一点有无数条直线 C．经过两点，有且仅有一条直线 D．两点之间，线段最短 3．已知，如图，两点把线段分成三部分，是的中点，，则线段的长是（    ）． A．4 B．3 C．1 D．2 4．如图，点是线段上一点，点是线段的中点，则下列等式不成立的是（    ）    A． B． C． D． 5．如图，是线段上一点，是中点，是中点，若，，则（   ） A． B． C． D． 6．如果三点在同一直线上，且线段，，若分别为的中点，那么两点之间的距离为（    ） A． B． C．或 D．无法确定 7．如图，线段，点C在线段AB上，P，Q是线段的三等分点，M，N是线段的三等分点，则线段的长为（   ） A．6 B．9 C．12 D．15 8．如图，在不添加字母的情况下，可以用字母表示出来的不同线段和射线，有 条线段， 条射线． 9．如图线段，要求尺规作图，在直线上找一点，作，则_______． 10．如图，点M是线段的中点，B是线段上一点，若，，则 ． 11．如图，网格纸中有七个黑点和六个白点，经过同色的三点可以画 条直线． 12．如图，有两条线段， ， ，在数轴上，点A 表示的数是， 点 D在数轴上表示的数是15．若线段以1个单位长度/秒的速度向左匀速运动，同时线段以2个单位长度/秒的速度也向左匀速运动．设运动时间为t秒，当时，M为中点，N为 中点， 则线段的长为 ．    13．如图A、B、C、D在同一平面内，请按下列要求画图： (1)过点A、B画直线； (2)画射线； (3)连接和相交于点E； (4)连结并延长到F，使． 14．如图，点P是线段上的一点，点M，N分别是线段的中点．    (1)如图①，若点P是线段的中点，且，则线段长_____，线段长______； (2)如图②，若点P是线段上的任意一点，且，求线段的长． 15．已知，点为线段的中点．    (1)如图1，若，点为线段的中点，则________； (2)如图2，若点在线段上，且，求的值； (3)若，点在直线上，且，点为的中点，请探究与之间的数量关系． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 4.1 线段、射线和线段 【考点1 直线、射线与线段】 【考点2 直线的性质】 【考点3 线段的应用】 【考点4 作图-直线射线和线段】 【考点5线段的性质】 【考点6 两点间距离】 【考点7线段的简单计算】 【考点8 “双中点”模型】 知识点1 直线、射线与线段的概念 注意：直线是可以向两边无限延伸的，射线受端点的限制，只能向一边无限延伸；线段不能 延伸，所以直线与射线不可测量长度，只有线段可以测量 知识点2 ：基本事实 1. 经过两点有一条直线，并且仅有一条直线，即两点确定一条直线 2. 两点之间的线段中，线段最短，简称两点间线段最短 知识3：线段的性质 两点之间的线段中，线段最短，简称：两点间线段最短。 知识点4： 基本概念 1. 两点间的距离： 两个端点之间的长度叫做两点间的距离。 2. 线段的等分点： 把一条线段平均分成两份的点，叫做这个线段的中点 知识5：双中点模型： C 为 AB 上任意一点，M、N 分别为 AC、BC 中点，则 【考点1 直线、射线与线段】 【典例1】如图所示，下列说法不正确的是（   ） A．点A在直线外 B．点C在直线上 C．射线与射线是同一条 D．直线和直线相交于点B 【答案】C 【分析】本题考查了直线、射线、线段．解题的关键是掌握直线、射线、线段的定义，要注意：直线没有端点．根据直线、射线与线段的定义，结合图形解答． 【详解】解：A、点A在直线外，原说法正确，故此选项不符合题意； B、点C在直线上，原说法正确，故此选项不符合题意； C、射线与射线是不是同一条，原说法错误，故此选项符合题意； D、直线和直线相交于点B，原说法正确，故此选项不符合题意． 故选：C 【变式1-1】下列各图中表示射线，线段的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查线段、射线和直线的区别；线段有两个端点且可以被度量；射线只有一个端点向一个方向无限延伸不可以被度量；直线没有端点向两个方向无限延伸不可以被度量．根据线段和射线的特征判定即可． 【详解】解：A选项表示直线和射线；不符合题意； B选项表示射线和线段；符合题意； C选项表示线段和射线；不符合题意； D选项表示线段和射线；不符合题意． 故选：B． 【变式1-2】手电筒发射出来的光线，若发光点标识为点A，光线上任意一点标识为点B，则光线可表示为（    ） A．线段 B．射线 C．直线 D．射线 【答案】D 【分析】此题考查直线、线段、射线问题，熟练掌握射线：直线上的一点和它一旁的部分所组成的图形称为射线，可向一方无限延伸是解题的关键．用射线的概念及表示解答． 【详解】解：手电筒发射出来的光线，手电筒是射线的端点，光的传播方向是射线的方向，故手电筒发射出来的光线，类似于几何中的是射线，故光线可表示为射线． 故选：D． 【考点2 直线的性质】 【典例2】在下列生活，生产现象中，不可以用基本事实“两点确定一条直线”来解释的有（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了直线的性质以及线段的性质，直接利用直线的性质以及线段的性质分析得出答案． 【详解】解：第一、二、三幅图中的生活、生产现象可以用基本事实“两点确定一条直线”来解释，第四幅图中利用的是“两点之间，线段最短”的知识． 故选：D． 【变式2-1】如图，经过刨平的木板上的两个点，能弹出一条笔直的墨线，而且只能弹出一条墨线，能解释这一实际应用的数学知识是 ． 【答案】两点确定一条直线 【分析】本题主要考查直线的性质，掌握直线的性质：两点确定一条直线是解题的关键．根据直线的性质：两点确定一条直线即可得． 【详解】解：能解释这一实际应用的数学知识是：两点确定一条直线， 故答案为：两点确定一条直线． 【变式2-2】下列四种实践方式：①木匠弹墨线；②打靶瞄准；③弯曲公路改直；④拉绳插秧．其中可以用基本事实“两点确定一条直线”来解释的有（填序号） ． 【答案】①②④ 【分析】此题主要考查了直线的性质以及线段的性质，正确把握相关性质是解题关键．接利用直线的性质以及线段的性质分析得出答案． 【详解】解：①木匠弹墨线；②打靶瞄准；④拉绳插秧，可以用基本事实“两点确定一条直线”来解释，③弯曲公路改直，利用的是“两点之间，线段最短”的知识． 故答案为：①②④． 【变式2-3】开学整理教室时，卫生委员总是先把每一列最前和最后的课桌摆好，然后再依次摆中间的课桌，一会儿一列课桌就摆在一条线上，整整齐齐，其运用的数学原理是 ． 【答案】两点确定一条直线 【分析】此题主要考查了直线的性质：两点确定一条直线，正确将实际生活知识与数学知识联系是解题关键．利用直线的性质进而分析得出即可． 【详解】其运用的数学原理是两点确定一条直线． 故答案为：两点确定一条直线． 【考点3 线段的应用】 【典例3】观察图形，并回答下列问题：    (1)图中共有几条线段？说明你分析这个问题的具体思路； (2)请你用上面的思路来解决“十五个同学聚会每个人都与其他人握一次手，共握了多少次”这个问题； (3)十五个同学聚会，每个人都送给其他人一张名片呢，共送了几张？ 【答案】(1)10条，见解析； (2)共握了105次； (3)共送了210张． 【分析】（1）根据线段的概念，分别得到以、、、为端点，且不重复的线段，相加即可得到答案； （2）将人演化成点，根据（1）结论，即可得到答案； （3）十五个同学聚会，每个人都送给其他人一张名片，即每个人都送了14次，据此即可得到答案． 【详解】（1）解：图中共有10条线段，分析思路如下： 以为端点的线段有：、、、，共4条； 以为端点，且与前面不重复的线段有：、、，共3条； 以为端点，且与前面不重复的线段有：、，共2条； 以为端点，且与前面不重复的线段有：，共1条； 答：图中共有条线段； （2）解：将人演化成点，根据（1）结论可知， 握手的次数为：， 答：十五个同学聚会每个人都与其他人握一次手，共握了105次； （3）解：十五个同学聚会，每个人都送给其他人一张名片，即每个人都送了14次， ， 答：十五个同学聚会，每个人都送给其他人一张名片呢，共送了210张． 【点睛】本题考查了线段的计数，线段计数时注意分类讨论，做到不遗漏，不重复，理解（3）互送的区别． 【变式3-1】数轴上表示整数的点称为整点，某数轴的单位长度是1厘米，若在这个数轴上随意画出一条长厘米的线段，则线段盖住的整点共有（　　）个 A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】B 【分析】本题考查了数轴，解题的关键是找出长度为n（n为正整数）的线段盖住n或个整点，分线段的端点与整点重合和不重合两种情况考虑，重合时盖住的整点是线段的长度，不重合时盖住的整点是线段的长度，由此即可得出结论； 【详解】解：若线段的端点恰好与整点重合，则厘米长的线段盖住个整点，个整点， 若线段的端点不与整点重合，则厘米的线段盖住个整点． ∴厘米的线段盖住或个整点． 故选：B． 【变式3-2】杭衢高铁线上，要保证衢州、金华、义乌、诸暨、杭州每两个城市之间都有高铁可乘，需要印制不同的火车票（　　） A．20种 B．15种 C．10种 D．5种 【答案】A 【分析】先求出线段的条数，再计算车票的种数． 【详解】解：需要印制不同的火车票的种数是：2（1+2+3+4）=20（种）． 故选：A． 【点睛】本题考查了线段的运用．注意根据规律计算的同时，还要注意火车票需要考虑往返情况． 【变式3-3】往返于甲、乙两地的火车，途中停靠三个站，则至多要准备 种车票． 【答案】20 【分析】根据题意，作出图形，根据线段的知识解决问题即可． 【详解】如图： 共有10条线段，, 又题中是往返列车，往返的车票都不相同， 所以共有10×2＝20种车票， 故答案为20． 【点睛】本题主要考查运用直线、射线、线段知识解决生活中的问题，需要掌握正确数线段的方法． 【考点4 作图-直线射线和线段】 【典例4】如图，已知不在一条直线上的四点，，，．请按下列要求作图，并回答问题：    (1)画直线与射线，设直线与射线相交于点； (2)在线段上取一点，使；（请用尺规作图，不写作法和结论） (3)分别用几何语言表述点和点与直线的位置关系． 【答案】(1)作图见解析 (2)作图见解析 (3)点与直线的位置关系：点在直线上或直线经过点；点与直线的位置关系：点不在直线上或点在直线外或直线不经过点．（答案不唯一） 【分析】（1）根据直线，射线的定义画出直线与射线，直线与射线相交于点； （2）在线段上取一点，使，则线段即为所作； （3）结合图形，用几何语言表述点和点与直线的位置关系即可． 【详解】（1）解：如图，直线，射线，点即为所作； （2）如图所示：    （3）如图，点在直线上或直线经过点；点不在直线上或点在直线外或直线不经过点． ∴点与直线的位置关系：点在直线上或直线经过点；点与直线的位置关系：点不在直线上或点在直线外或直线不经过点．（答案不唯一） 【点睛】本题考查作图—复杂作图，作一条线段等于已知线段，直线，射线，线段的定义，直线与射线的交点，线段的和差，点和直线的位置关系等知识，运用了数形结合的思想．解题的关键是理解直线，射线，线段的定义，灵活运用所学知识解决问题． 【变式4-1】如图，A，，是平面上三个点，按要求画出图形，并回答问题． (1)作直线，射线，线段； (2)请用适当的语句表述点A与直线的关系： ______； (3)从点A到点的所有线中，线段最短，其理论依据是______； (4)若点是平面内异于点A、、的点，过其中任意两点画直线，一共可以画______条． 【答案】(1)见解析 (2)点A在直线外（或直线不经过点） (3)两点之间线段最短 (4)4或6条 【分析】（1）根据直线，射线，线段的定义，作出图形即可； （2）根据点与直线的位置关系，即可进行解答； （3）根据“两点之间线段最短”即可进行解答； （4）分两种情况进行讨论． 【详解】（1）如图，直线，射线，线段即为所求 （2）点A与直线的关系：点在直线外（或直线不经过点）； 故答案为：点在直线外（或直线不经过点）； （3）从点A到点的所有线中，线段最短，其理论依据是：两点之间线段最短； 故答案为：两点之间线段最短； （4）当点D不在直线上时，可以画：（条）， 当点D在直线或或上时，可以画：（条）， 故答案为：4或6条． 【点睛】本题主要考查了直线，射线，线段，解题的关键是掌握相关定义． 【变式4-2】如图，已知三点，，． (1)画直线； (2)用语句表述图中点与直线的关系：________； (3)连接，在线段的延长线上作线段，使（用直尺和圆规作图，保留作图痕迹）； (4)连接，，则________（填“”，“”，“”），理由是__________． 【答案】(1)见解析 (2)点在直线外； (3)见解析 (4)；两点之间，线段最短； 【分析】（1）根据题意画出直线； （2）根据直线与点的位置关系进行求解； （3）根据几何语言画出几何图形； （4）利用两点之间线段最短得到 ． 【详解】（1）解：如图所示， （2）解：点与直线的关系为：点在直线外， 故答案为：点在直线外； （3）解：作出图如图所示；     （4）解：如图所示， 根据两点之间，线段最短，可得 故答案为：；两点之间，线段最短． 【点睛】本题考查了画直线、线段，点与直线的位置关系，两点之间线段最短：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作． 【变式4-3】如图，平面上有三个点A，B，C． (1)根据下列语句画图：作出射线，直线AB；在射线上取一点D（不与点C重合），使； (2)在（1）的条件下，回答问题： ①用适当的语句表述点D与直线的关系：_______； ②若，则_______． 【答案】(1)见解析 (2)①点D在直线外；②3 【分析】本题考查了直线、射线、点的作图与位置关系，解题的关键是掌握直线、射线、点的作图与位置关系． （1）按照题意作图即可； （2）①根据点与直线的位置关系解答即可； ②利用线段的和差计算线段长． 【详解】（1）如图，射线，直线；射线上一点D；    （2）①点D与直线的关系：点D在直线外； 故答案为：点D在直线外； ②∵， ∴． 故答案为：3． 【考点5线段的性质】 【典例5】如图，某同学的家在A处，星期日他到书店去买书．若想尽快赶到书店B，则他能选择的最近的一条路线是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查两点之间线段最短，熟练掌握两点之间线段最短是解题的关键；因此此题可根据两点之间线段最短进行求解即可． 【详解】解：根据两点之间线段最短可知：最近的一条线路是； 故选B． 【变式5-1】如图点为圆锥的顶点，点为圆锥底面上一点，点在上．从点开始绕圆锥一周回到点所经过的最短路线的痕迹如图所示．若沿将圆锥侧面剪开并展开，所得侧面展开图是（    ）． A．B．C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了两点之间线段最短，圆锥的展开图．从点开始绕圆锥一周回到点所经过的最短路线的痕迹，就用到两点间线段最短． 【详解】解：因为绕圆锥侧面爬行的最短路线应该是一条线段，因此选项A和C错误；又因为从P点出发，绕圆锥侧面爬行后，又回到起始点P处，那么圆锥侧面展开图还原成圆锥后，位于母线上的点P应该能够与母线上的点重合，而选项B还原后两个点不能够重合，而D选项能够重合，故D正确． 故选：D． 【变式5-2】如图，一只蚂蚁从“A”处爬到“B”处（只能向上、向右爬行），爬行路线共有（　　） A．3条 B．4条 C．5条 D．6条 【答案】A 【分析】只能向上或向右走，就是最短的路线，可以用列举的方法进行求解． 【详解】解：如图， 根据规则可得： 一共有3种不同的走法． 故选：A． 【点睛】本题考查了线段问题，利用求最短路线的方法：清晰的分类是解题的关键． 【变式5-3】用剪刀沿直线将一片平整的树叶剪掉一部分，如图，则剩下的树叶周长小于原树叶的周长，能解释这一现象的数学道理是 ． 【答案】两点之间，线段最短 【分析】本题考查线段的性质，根据两点之间，线段最短，进行作答即可． 【详解】解：依题意，能解释这一现象的数学道理是：两点之间，线段最短； 故答案为：两点之间，线段最短． 【考点6 两点间距离】 【典例6】在一条马路边上有间距为10米的甲、乙两棵树，现要在距离甲树4米的地方立一根电线杆，且电线杆与甲、乙两树在同一条直线上，那么电线杆与乙树的距离为（　　） A．6米 B．14米 C．6米或14米 D．4米或6米 【答案】C 【分析】分两种情况讨论电线杆与甲、乙两棵树的位置关系，进而得出电线杆与乙树的距离． 【详解】解：若电线杆在甲、乙两棵树之间，如图一， 那么电线杆与乙树的距离为（米）, 若电线杆在甲、乙两棵树之外，如图二， 那么电线杆与乙树的距离为（米）. 故选：C 【点睛】本题主要考查了两点之间的距离，正确进行分类是解答本题的关键. 【变式6-1】如果A、B、C在同一条直线上，线段，，则A、C两点间的距离是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】分点B在A、C之间和点C在A、B之间两种情况讨论． 【详解】解：点B在A、C之间时，； 点C在A、B之间时，． 所以A、C两点间的距离是或． 故选：D． 【点睛】本题考查的是两点间的距离，分两种情况讨论是解本题的难点也是解本题的关键． 【变式6-2】若点B在直线上，，，则A，C两点的距离是 ． 【答案】2或16 【分析】因为不确定点是在之间还是延长线上，所以两种可能：当点在之间，则两点间的距离是；当点在延长线上，则、两点间的距离是． 【详解】解：当点在之间，则两点间的距离是； 当点在延长线上，则、两点间的距离是； 故答案为：2或16． 【点睛】本题考查了两点间的距离，解决本题的关键是分两种情况进行分析，进而得出结论． 【变式6-3】如图在直线AB上有一点C，，有两只蚂蚁分别以2cm/s、1cm/s从A、C两点同时出发向右运动，经过 秒，两只蚂蚁到C点的距离相等． 【答案】或20 【分析】设经过t秒两只蚂蚁到点C的距离相等，若此时两只蚂蚁在点C两侧，则可列方程，解得，若此时两只蚂蚁在点C右侧，可列方程，解得，则可知经过秒或20秒，两只蚂蚁到点C的距离相等． 【详解】设经过t秒两只蚂蚁到点C的距离相等，若此时两只蚂蚁在点C两侧， 则， 解得， 若此时两只蚂蚁在点C右侧， ∴，解得， ∴经过秒或20秒，两只蚂蚁到点C的距离相等． 【点睛】本题考查直线、线段、射线，点的运动，能够掌握数形结合思想是解决本题的关键． 【考点7线段的简单计算】 【典例7】如图，已知线段，点为上一点且，点是的中点． (1)求的长度； (2)点是直线上一点，且，求的长． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题主要考查了线段的和差计算，利用数形结合的思想求解是解题的关键． （1）先求出的长，再根据线段中点的定义求解即可； （2）分点D在点P的左边时，点D在点P的右边时，两种情况讨论求解即可． 【详解】（1） ， ， ， 点是的中点， ； （2）解：如图，点D在点P的左边时， ，，， ， ， ； 点D在点P的右边时， ，，， ， ， ， ， 综上所述：的长为或． 【变式7-1】如图，点是线段的中点，点，是线段上两点，，．    (1)求的长； (2)若，求的长． 【答案】(1)4 (2)6 【分析】本题考查与线段中点有关的计算．理清线段之间的和差关系，是解题的关键． （1）中点得到，再根据，进行计算即可； （2）先求出的长，再根据，得到，求解即可． 【详解】（1）解：因为点是线段的中点，， 所以， 又因为， 所以； （2） 因为， 所以， 所以． 【变式7-2】如图，线段上依次有三点，，是的中点，． (1)求线段的长； (2)求线段的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据已知条件求得，根据图形可得，代入数据即可求解； （2）根据题意求得的长，根据即可求解． 【详解】（1）解：∵，是的中点， ∴，, ∴， （2）解：∵， ∴， ∵, ∴ 又∵， ∴ ． 【点睛】本题考查了线段的中点的性质，线段的和差计算，数形结合是解题的关键． 【考点8 “双中点”模型】 【典例8】如图，已知线段，延长至C，使得． (1)求的长； (2)若D是的中点，E是的中点，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了与线段中点有关的线段和差计算： （1）先求出，再由即可得到答案； （2）先根据线段中点的定义得到，再根据即可求出答案． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴； （2）解：∵D是的中点，E是的中点，，， ∴， ∴． 【变式8-1】如图，点C是线段上一点，D为的中点，且，．若点E在直线上，且，则的长为（　　） A．4 B．15 C．3或15 D．4或10 【答案】D 【分析】本题考查了两点间的距离，根据线段中点的定义得到，，求得，分两种情况：当点在点右侧，当点在点左侧，根据线段的和差分别讨论，是解决问题关键． 【详解】解：∵D为的中点，， ∴，， ∵， ∴， 如图1，当点在点右侧， ∵， ∴， ∴； 如图2，当点在点左侧， ∵， ∴， 故的长为4或10， 故选：D． 【变式8-2】如图，已知线段，延长至，使得． (1)求的长； (2)若是的中点，是的中点，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查两点间的距离，利用中点求线段长． （1）首先根据求出，根据题意知，即可得到本题答案； （2）利用中点分别求出，，再利用线段和差即可得到本题答案． 【详解】（1）解：∵线段， ， ∴， ∴； （2）解：∵D是的中点，E是的中点， ∴，， ∴． 【变式8-3】已知：如图，点D是线的中点，点E是线段的中点，且． (1)若，求的长； (2)若，求的长． 【答案】(1)5 (2)20 【分析】本题主要考查了线段中点的有关计算，线段和差的相关计算． （1）先求出， 再根据线段中点即可得出． （2）由已知条件可得出，由线段中点的定义得出，，由线段的和差关系可得出，即可求出，进一步即可得出 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵点D是线的中点， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵点D是线的中点，点E是线段的中点， ∴，， ∴， 解得：， ∴ 【变式8-4】如图，已知线段，延长至C，使得． (1)求的长； (2)若是的中点，是的中点，求的长． 【答案】(1)的长为； (2)的长为． 【分析】本题考查的是两点间的距离： （1）根据可得，即可得答案； （2）根据线段中点的定义分别求出和的长度，再利用线段的和差得出答案． 【详解】（1）解：∵，， ， ， 故的长为； （2）解：是的中点，是的中点， ， ， 故的长为． 1．下列说法正确的是（    ） A．直线可以度量 B．直线比射线长 C．延长线段到点 D．射线与射线是同一条射线 【答案】C 【分析】根据直线、射线、线段的定义可判断选项是否符合题意． 本题考查了直线、射线、线段的定义，关键是掌握直线、射线、线段的定义． 【详解】解：A、直线长度无法度量，故选项不符合题意； B、直线和射线都无法度量，故选项不符合题意； C、延长线段到点，说法正确，故选项符合题意； D、射线与射线端点不同，不是同一条射线，故选项不符合题意； 故选：C． 2．如图，田亮同学用剪刀沿直线将一片平整的树叶剪掉一部分，发现剩下树叶的周长比原树叶的周长要小，能正确解释这一现象的数学知识是（    ）    A．两点确定一条直线 B．经过一点有无数条直线 C．经过两点，有且仅有一条直线 D．两点之间，线段最短 【答案】D 【分析】此题主要考查了线段的性质．根据两点之间，线段最短进行解答． 【详解】解：田亮同学用剪刀沿直线将一片平整的树叶剪掉一部分，发现剩下树叶的周长比原树叶的周长要小，能正确解释这一现象的数学知识是两点之间，线段最短， 故选：D． 3．已知，如图，两点把线段分成三部分，是的中点，，则线段的长是（    ）． A．4 B．3 C．1 D．2 【答案】B 【分析】本题考查的是两点间的距离，解题的关键是要注意各线段之间的和、差及倍数关系． 可设，，，再根据求出k的值，故可得出线段的长度，再根据M是的中点可求出的长，由即可得出结论 【详解】解：∵ ， ∴设，，， ∵，即， ∴， ∴， ∵为的中点， ∴， ， 故选：B． 4．如图，点是线段上一点，点是线段的中点，则下列等式不成立的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了两点间的距离，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．根据图形和题意可以分别判断各个选项是否正确即可． 【详解】解：∵点C是线段上一点， ∴不一定是的二倍，故选项A中的结论不成立，符合题意； 由图可得， ，故选项B中的结论成立，不符合题意； ，故选项C中的结论成立，不符合题意； ∵D是线段的中点， ∴，故选项D中的结论成立，不符合题意． 故选：A． 5．如图，是线段上一点，是中点，是中点，若，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查根据线段中点计算，解题的关键是线段和差关系及中点意义； 根据是线段的中点得到，根据是线段的中点得到，结合即可得到答案． 【详解】解：是线段的中点， ∴， 是线段的中点， ， ， 故选：B． 6．如果三点在同一直线上，且线段，，若分别为的中点，那么两点之间的距离为（    ） A． B． C．或 D．无法确定 【答案】C 【分析】本题考查了线段的和差、线段中点的定义，分两种情况：点在点间和点在点间，然后画出图形，根据线段的和差、线段中点的定义分别解答即可求解，运用分类讨论思想解答是解题的关键． 【详解】解：如图，点在点间， ∵分别为的中点， ∴，， ∴； 如图，点在点间， ∵分别为的中点， ∴，， ∴； 综上，为或， 故选：． 7．如图，线段，点C在线段AB上，P，Q是线段的三等分点，M，N是线段的三等分点，则线段的长为（   ） A．6 B．9 C．12 D．15 【答案】C 【分析】本题考查了两点间的距离，n等分点的定义，数形结合是解题的关键．由三等分点的定义得，，然后由两点间的距离求解即可． 【详解】解：∵P，Q是线段的三等分点，M，N是线段的三等分点， ∴，， ∴． 故选C． 8．如图，在不添加字母的情况下，可以用字母表示出来的不同线段和射线，有 条线段， 条射线． 【答案】 6 6 【分析】本题主要考查了直线、射线、线段的知识点，准确分析判断是解题的关键．根据射线、线段的表示方法解答即可． 【详解】线段：共计6条； 射线：共计6条； 故答案为：6，6． 9．如图线段，要求尺规作图，在直线上找一点，作，则_______． 【答案】图形见解析，或 【分析】本题主要考查线段和尺规作图，分两种情况：点位于点的左侧和点位于点的右侧． 【详解】分两种情况：点位于点的左侧和点位于点的右侧，如图所示． 点位于点的左侧时，． 点位于点的右侧时，． 故答案为：或 10．如图，点M是线段的中点，B是线段上一点，若，，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了与线段中点有关的线段和差计算，先求出，进而得到，再由线段中点的定义得到，则，据此求出的长，进而求出的长即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵点M是线段的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 11．如图，网格纸中有七个黑点和六个白点，经过同色的三点可以画 条直线． 【答案】3 【分析】本题考查了直线，根据直线的特点在图中画出满足条件的直线，即可作答． 【详解】作图如下： 经过同色的三点可以画3条直线， 故答案为：3． 12．如图，有两条线段， ， ，在数轴上，点A 表示的数是， 点 D在数轴上表示的数是15．若线段以1个单位长度/秒的速度向左匀速运动，同时线段以2个单位长度/秒的速度也向左匀速运动．设运动时间为t秒，当时，M为中点，N为 中点， 则线段的长为 ．    【答案】 【分析】本题考查了两点间的距离，找出运动时间为秒时, 点在数轴上表示的数，进而即可找出点在数轴上表示的数，利用两点间的距离公式可求出线段的长． 【详解】 解：当运动时间为秒时，点在数轴上表示的数为点在数轴上表示的数为，点在数轴上表示的数为点在数轴上表示的数为， ∵ ∴点一直在点的右侧. ∵为中点, 为中点, ∴点在数轴上表示的数为，点在数轴上表示的数为，， 故答案为： ． 13．如图A、B、C、D在同一平面内，请按下列要求画图： (1)过点A、B画直线； (2)画射线； (3)连接和相交于点E； (4)连结并延长到F，使． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 (4)见解析 【分析】本题考查作图-复杂作图，直线，射线，线段的定义等知识，解题的关键是熟练掌握直线，射线，线段的定义． （1）根据直线的定义画出图形即可； （2）根据射线的定义画出图形即可； （3）根据题意画出图形即可； （4）根据题意画出图形即可． 【详解】（1）解：如图，直线即为所求； （2）解：如图，射线即为所求； （3）解：如图，点E即为所求； （4）解：如图，线段即为所求． 14．如图，点P是线段上的一点，点M，N分别是线段的中点．    (1)如图①，若点P是线段的中点，且，则线段长_____，线段长______； (2)如图②，若点P是线段上的任意一点，且，求线段的长． 【答案】(1)20；10； (2)． 【分析】本题主要考查了与线段中点有关的线段和差计算： （1）根据线段中点的定义得到，则，，再由线段中点的定义得到，则； （2）根据线段中点的定义得到，则可得． 【详解】（1）解：∵点M是的中点，， ∴， ∵点P是线段的中点， ∴，， ∵点N是的中点， ∴， ∴； （2）解：∵点M是的中点，点N是的中点， ∴， ∴． 15．已知，点为线段的中点．    (1)如图1，若，点为线段的中点，则________； (2)如图2，若点在线段上，且，求的值； (3)若，点在直线上，且，点为的中点，请探究与之间的数量关系． 【答案】(1)3 (2)或 (3)或 【分析】本题主要考查了线段中点的有关计算，线段之间的数量关系，解题的关键是熟练掌握中点的定义，数形结合． （1）根据线段中点定义，数形结合，进行计算即可； （2）分两种情况进行讨论：当点E在点D的左侧时，当点E在点D的右侧时，分别画出图形，求出结果即可； （3）分两种情况进行讨论：当点E在线段的延长线上时，当点E在线段上时，分别画出图形，求出结果即可． 【详解】（1）解：∵点为线段的中点，， ∴， ∵点为线段的中点， ∴， ∴， 故答案为：3． （2）解：∵点为线段的中点， ∴， 设，则 当点E在点D的左侧时，如图所示：    ∴， ∴， ∴； 当点E在点D的右侧时，如图所示：    ∴， ∴， ∴； 综上分析可知，或． （3）解：∵点为线段的中点，， ∴， ∵F为的中点，， ∴， 当点E在线段的延长线上时，如图所示：    此时； 当点E在线段上时，如图所示：    此时． 综上分析可知，或． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$