5.3 应用二元一次方程组---鸡兔同笼（8大题型提分练）-【上好课】2024-2025学年八年级数学上册同步精品课堂（北师大版）

（北师大版）八年级上册数学《第5章 二元一次方程组》 5.3 应用二元一次方程组---鸡兔同笼 知识点 列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤： ◆1、列方程组解决实际问题是把“未知”化为“已知”的过程，其关键是把已知量和未知量联系起来，找出题中的等量关系，列出方程组. ◆2、列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤： （1）审：审题，找出问题中的已知条件和未知量及它们之间的关系． （2）设：设元，找出题中的两个关键的未知量，并用字母表示出来． （3）找：找等量关系，挖掘题目中的所有条件，找出两个等量关系． （4）列：根据等量关系，列出方程组． （5）解：解方程组，求出未知数的值． （6）答：检验所求解是否符合实际意义，然后作答． 题型一 鸡兔同笼问题 解题技巧提炼 设鸡的数量为x，兔的数量为y，通常根据题目中鸡和兔的总数以及脚的总数这两个等量关系来列方程. 1．（2024春•微山县期末）我国古代数学著作《孙子算经》中有“鸡兔同笼”问题：“今有鸡兔同笼，上有头三十五，下有足九十四．问鸡兔各几何．”若设鸡有x只，兔有y只，则可列二元一次方程组为（　　） A． B． C． D． 【分析】根据等量关系：上有三十五头，下有九十四足，即可列出方程组． 【解答】解：设鸡有x只，兔有y只，由题意得： ． 故选：A． 【点评】此题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是仔细审题，根据等量关系得出方程组，难度一般． 2．（2023•绵阳）我国古代数学著作《孙子算经）中有“鸡兔同笼”问题：“今有鸡兔同笼，上有16头，下有44足，问鸡兔各几何．”设鸡x只，兔y只，可列方程组（　　） A． B． C． D． 【分析】根据“上有16头，下有44足”，即可列出关于x，y的二元一次方程组，此题得解． 【解答】解：∵上有16头， ∴x+y＝16； ∵下有44足， ∴2x+4y＝44． ∴根据题意可列方程组． 故选：A． 【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 3．（2024•绵阳）如图，每只蜻蜓有6条腿，2对翅膀，每只蝉有6条腿，1对翅膀．现有若干蜻蜓和蝉，共有42条腿，10对翅膀，则蜻蜓和蝉的只数分别是（　　） A．3，4 B．4，3 C．2，5 D．5，2 【分析】设蜻蜓是x只，蝉是y只，根据现有若干蜻蜓和蝉，共有42条腿，10对翅膀，列出二元一次方程组，解方程组即可． 【解答】解：设蜻蜓是x只，蝉是y只， 由题意得：， 解得：， 故选：A． 【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 4．（2024•沙坪坝区校级开学）我国古代数学著作《九章算术》“方程”章中有一问题：“今有牛五、羊二，值金十两；牛二、羊五，值金八两．问牛值金几何？”原文翻译为：现有牛5头，羊2头，价值金10两；牛2头，羊5头，价值金8两．问：一头牛值金（　　）两． A． B． C． D． 【分析】设一头牛值金x两，一头羊值金y两，根据牛5头，羊2头，价值金10两；牛2头，羊5头，价值金8两得：，即可解得答案． 【解答】解：设一头牛值金x两，一头羊值金y两， 根据题意得：， 解得， ∴一头牛值金两； 故选：D． 【点评】本题考查二元一次方程组的应用，解题的关键是读懂题意，列出方程组． 5．（2023秋•耒阳市校级期中）鸡兔同笼，是中国古代著名典型趣题之一，大约在1500年前，《孙子算经》中就记载了这个有趣的问题：“今有雉兔同笼，上有20头，下有54足，问雉、兔各几何？”翻译过来就是：鸡和兔在同一个笼子里，数一数共有20个头，54条腿，问鸡和兔各几只？（列方程组解答） 【分析】设鸡有x只，兔有y只，根据“鸡和兔在同一个笼子里，数一数共有20个头，54条腿”，列出二元一次方程组，解方程组即可． 【解答】解：设鸡有x只，兔有y只， 由题意得：， 解得：， 答：鸡有13只，兔有7只． 【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 6．（2023春•宜阳县期中）我国古代数学典籍《孙子算经》中有著名的“鸡兔同笼”问题，其原文为“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何？”．其大意是“现有若干只鸡和若干只兔放在一个笼子里，从上面数共有35个头，从下面数共有94只脚，问笼子里鸡和兔各有多少？请你用所学的知识进行解答． 【分析】设鸡有x只，兔有y只，由题意：从上面数共有35个头，从下面数共有94只脚，列出二元一次方程组，解方程组即可． 【解答】解：设鸡有x只，兔有y只， 由题意得：， 解得：， 答：鸡有23只，兔有12只． 【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 题型二 和、差、倍分问题 解题技巧提炼 设未知数时，一般是求什么设什么，并且所列方程的两个数与未知数的个数相等，解这类应用题，要抓住题中反映数量关系的关键字﹣﹣﹣和、差、倍、分、几分之几、比、大、小、多、少、增加、减少……明确各种反映数量关系的关键字的含义． 1．（2024春•长汀县期末）我国古典数学文献《增删算法统宗•六均输》中有一个“隔沟计算”的问题：“甲乙隔沟牧放，二人暗里参详，甲云得乙九只羊，多乙一倍之上，乙说得甲九只，两家之数相当，二人闲坐恼心肠，画地算了半晌”其大意为：甲、乙两人一起放牧，两人心里暗中数羊．如果乙给甲9只羊，那么甲的羊数为乙的2倍；如果甲给乙9只羊，那么两人的羊数相同，请问甲，乙各有多少只羊？设甲有羊x只，乙有羊y只，根据题意列方程组正确的为（　　） A． B． C． D． 【分析】根据“如果乙给甲9只羊，那么甲的羊数为乙的2倍；如果甲给乙9只羊，那么两人的羊数相同”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解． 【解答】解：∵如果乙给甲9只羊，那么甲的羊数为乙的2倍， ∴x+9＝2（y﹣9）； ∵如果甲给乙9只羊，那么两人的羊数相同， ∴x﹣9＝y+9． ∴根据题意可列方程组． 故选：D． 【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 2．（2023春•沭阳县期末）现有100元和20元的人民币共33张，总面额1620元．则其中面额100元的人民币有（　　） A．12张 B．14张 C．20张 D．21张 【分析】根据“有100元和20元的人民币共33张，总面额1620元”可得相应的方程组． 【解答】解：设100元的人民币为x张，20元的人民币y张，根据题意得： ， 解得：， 即面额100的人民币有12张． 故选：A． 【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，根据题干信息找出等量关系并据此列式计算是解题的关键． 3．（2023春•南岗区期末）有大小两种货车，2辆大货车与3辆小货车一次可以运货15.5吨，5辆大货车与6辆小货车一次可以运货35吨，那么3辆大货车与5辆小货车一次可以运货 　 　吨． 【分析】设1辆大货车一次可以运货x吨，1辆小货车一次可以运货y吨，根据“2辆大货车与3辆小货车一次可以运货15.5吨，5辆大货车与6辆小货车一次可以运货35吨”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出x，y的值，再将其代入（3x+5y）中即可求出结论． 【解答】解：设1辆大货车一次可以运货x吨，1辆小货车一次可以运货y吨， 依题意得：， 解得：， ∴3x+5y＝3×4+5×2.5＝24.5， ∴3辆大货车与5辆小货车一次可以运货24.5吨． 故答案为：24.5． 【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 4．（2024•紫金县一模）顺风旅行社组织200人到花果岭和云水洞旅游，到花果岭的人数是到云水洞的人数的2倍少1人，到两地旅游的人数各是多少？ 【分析】此题中的等量关系有： ①顺风旅行社组织200人到花果岭和云水洞旅游； ②到花果岭的人数是到云水洞的人数的2倍少1人． 【解答】解：设到花果岭的旅游人数为x人，则到云水洞的人数为y人，根据题意得出： ， 解得：， 答：到花果岭的旅游人数为133人，则到云水洞的人数为67人． 【点评】本题考查了二元一次方程组的应用．根据实际问题中的条件列方程组时，要注意抓住题目中的一些关键性词语，找出等量关系，列出方程组． 5．（2023秋•朝阳区校级期末）“绿水青山就是金山银山”，科学研究表明：树叶在光合作用后产生的分泌物能够吸附空气中的悬浮颗粒物，具有滞尘净化空气的作用．已知1片银杏树叶1年的平均滞尘量比1片国槐树叶1年的平均滞尘量的2倍少4mg，若2片国槐树叶与1片银杏树叶一年的平均滞尘总量为84mg．请分别求出1片国槐树叶和1片银杏树叶一年的平均滞尘量． 【分析】首先，设一片国槐树叶一年的平均滞尘量为x毫克，一片银杏树叶一年的平均滞尘量为y毫克，结合已知条件可列一元一次方程组即可完成解答． 【解答】解：设一片国槐树叶一年的平均滞尘量为x毫克，一片银杏树叶一年的平均滞尘量为y毫克， 由题意得， 解得． 答：一片国槐树叶一年的平均滞尘量为22毫克，一片银杏树叶一年的平均滞尘量为40毫克． 【点评】本题考查二元一次方程组的应用，找出等量关系列出方程是解题关键． 6．（2023秋•广平县期末）如图，两根铁棒直立于桶底水平的水桶中，在桶中加入水，一根露出水面的长度是它的，另一根露出水面的长度是它的，两根铁棒的长度之和为55，求两根铁棒的长度． 【分析】设较长铁棒的长度为xcm，较短铁棒的长度为ycm．因为两根铁棒之和为55cm，故可得方程：x+y＝55，又知两棒未露出水面的长度相等，又可得方程xy，把两个方程联立，组成方程组，解方程组即可求解． 【解答】解：设较长铁棒的长度为xcm，较短铁棒的长度为ycm， 由题意得：， 解得：， 答：较长铁棒的长度为30cm，较短铁棒的长度为25cm． 【点评】此题主要考查了二元一次方程组的应用，解题关键是根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程组． 7．得益于“互联网+”和人工智能的发展，无人配送服务行业已经进入人们的生活．某大学校园内使用了无人配送车和无人机配送快递．已知一架无人机一次可运送3千克货物，一辆无人配送车一趟可运送120千克货物．快递公司提供了无人机和无人配送车共30台运送2430千克货物，那么运送物资使用的无人机和无人配送车各有几台？ 【分析】设运送物资使用的无人机x台，无人配送车各y台，根据“快递公司提供了无人机和无人配送车共30台运送2430千克货物”即可列出方程组，求解即可． 【解答】解：设运送物资使用的无人机x台，无人配送车各y台， 根据题意得， 解得． 答：运送物资使用的无人机10台，无人配送车各20台． 【点评】本题主要考查了二元一次方程组的应用，准确找出等量关系是解决问题的关键． 8 ．（2023春•海淀区校级期中）列方程解应用题： 北大附中畅春园校区教学楼有4层，其中初一、初二的班级教室都在2﹣4层，共有35个班，1200名学生．进出教学楼共有4道门，其中两道正门大小相同，两道侧门大小也相同．周一早上参加升旗仪式时，各班从教室出发，如果通过两道正门和一道侧门走到操场，那么4分钟可以集合完毕；如果通过两道侧门和一道正门走到操场，那么5分钟可以集合完毕（出门跑到操场指定位置的时间忽略不计）． 求平均每分钟一道正门和一道侧门各可以通过多少人？ 【分析】设一道正门平均每分钟可以通过x人，一道侧门平均每分钟可以通过y人，根据两种假设列方程组求解即可． 【解答】解：设一道正门平均每分钟可以通过x人，一道侧门平均每分钟可以通过y人， 根据题意得， 解得． 答：一道正门平均每分钟可以通过120人，一道侧门平均每分钟可以通过60人． 【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，仔细审题，找出题目的已知量和未知量，设两个未知数，并找出两个能代表题目数量关系的等量关系，然后列出方程组求解即可． 题型三 盈不足问题 解题技巧提炼 据问题的条件，列出相关的方程，通常情况下，一个方程描述一个量的关系，另一个方程描述另一个量的关系. 1（2024春•邓州市期末）阅读下面的诗句：“栖树一群鸦，鸦树不知数，三只栖一树，五只没去处，五只栖一树，闲了一棵树，请你仔细数，鸦树各几何？”大意是：“一群乌鸦在树上栖息，若每棵树上有3只，则5只没地方去，若每棵树上有5只，则多了一棵树．”设乌鸦x只，树y棵．依题意可列方程组（　　） A． B． C． D． 【分析】直接利用已知表示出乌鸦的数量进而得出答案． 【解答】解：设乌鸦x只，树y棵．依题意可列方程组： ． 故选：A． 【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，正确得出等式是解题关键． 2．（2024•深圳）在明朝程大位《算法统宗》中有首住店诗：我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．诗的大意是：一些客人到李三公的店中住宿，如果每一间客房住7人，那么有7人无房可住；如果每一间客房住9人，那么就空出一间房．设该店有客房x间，房客y人，则可列方程组为（　　） A． B． C． D． 【分析】根据“如果每一间客房住7人，那么有7人无房可住；如果每一间客房住9人，那么就空出一间房”，即可列出关于x，y的二元一次方程组，此题得解． 【解答】解：∵如果每一间客房住7人，那么有7人无房可住， ∴7x+7＝y； ∵如果每一间客房住9人，那么就空出一间房， ∴9（x﹣1）＝y． ∴根据题意可列方程组． 故选：A． 【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 3．（2024•黄石港区一模）我国明代数学读本《算法统宗》中有一道题，其题意为：客人一起分银子，若每人7两，还剩4两；若每人9两，还差8两；则①人数为 　 　人；②银子共有 两． 【分析】设有x人，y两银子，列出方程组，解方程组即可求解． 【解答】解：设有x人，y两银子， 由题意可得，， 解得， ∴有6人，46两银子， 故答案为：6，46． 【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，根据题意，找到等量关系，列出方程组是解题的关键． 4．（2024•广水市模拟）一千官兵一千布，一官四尺无零数，四兵才得布一尺，请问官兵多少数？这首诗的意思是：一千名官兵分一千尺布，一名军官分四尺，四名士兵分一尺，正好分完，则军官有　 　名，士兵有　 　名． 【分析】设军官有x名，士兵有y名．由题意列出二元一次方程组，解方程组可得出答案． 【解答】解：设军官有x名，士兵有y名．根据题意得： ， 解得． 故答案为：200，800． 【点评】此题主要考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 5．（2023春·吉林长春·七年级统考期末）问题解决：糖葫芦一般是用竹签串上山楂．再蘸以冰糖制作而成，现将一些山楂分别串在若干个竹签上，如果每根竹签串4个山楂，还剩余3个山楂；如果每根竹签串7个山楂，还剩余6根竹签，求竹签有多少根？山楂有多少个？ 反思归纳：现有m根竹签，n个山楂，若每根竹签串a个山楂，还剩b个山楂，则m、n、a、b满足的等量关系为 　 　（用含m、n、a、b的代数式表示）． 【分析】设竹签有x根，山楂有y个，根据“如果每根竹签串4个山楂，还剩余3个山楂；如果每根竹签串7个山楂，还剩余6根竹签”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出竹签及山楂的数量；利用山楂的个数＝每根竹签串的山楂个数×竹签数量+剩余山楂的数量，即可找出m、n、a、b之间的等量关系． 【解答】问题解决：设竹签有x根，山楂有y个， 依题意得：， 解得：． 答：竹签有15根，山楂有63个． 山楂的个数＝每根竹签串的山楂个数×竹签数量+剩余山楂的数量 am+b＝n． 故答案为：am+b＝n． 【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，根据题意列出方程组是解题的关键． 6．（2024•淮安）《张丘建算经》由北魏数学家张丘建所著，其中有这样一个问题：“今有客不知其数．两人共盘，少两盘；三人共盘，长三盘．问客及盘各几何？”意思为：“现有若干名客人．若2个人共用1个盘子，则少2个盘子；若3个人共用1个盘子，则多出来3个盘子．问客人和盘子各有多少？”请你解答这个问题． 【分析】设有x个客人，y个盘子，根据题意列二元一次方程组并求解即可． 【解答】解：设有x个客人，y个盘子． 根据题意，得， 解得， 答：有30个客人，13个盘子． 【点评】本题考查数学常识，根据题意列二元一次方程组并求解是解题的关键． 题型四 配套问题 解题技巧提炼 生产中的配套问题很多，如螺钉与螺母的配套、盒身与盒底的配套、桌面与桌腿的配套衣身与衣袖的配套等，各种配套都有数量比例，依次设未知数，用未知数可把它们之间的数量关系以及所需材料的总和表示出来，从而得到方程组，使问题得以解决. 1．（2024秋•沙坪坝区校级期中）甘肃博物馆的“砂锅娃娃”系列文创备受欢迎，一个“素砂锅”中含有3个“戏精豆芽”和2个“弹弹粉条”，一名工作人员1天能缝制180个“戏精豆芽”或者240个“弹弹粉条”，若博物馆有15名工作人员缝制“戏精豆芽”和“弹弹粉条”，为了使每天缝制的两种娃娃刚好配套，假设x名工作人员缝制“戏精豆芽”，y名工作人员缝制“弹弹粉条”，根据题意列方程组正确的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据一个“素砂锅”中含有3个“戏精豆芽”和2个“弹弹粉条”，列方程组即可得到结论． 【解答】解：根据题意得，， 故选：B． 【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组的知识，解题的关键是找到等量关系并列出方程组，难度不大． 2．（2023春•和平区校级期末）某车间有90名工人，每人每天平均能生产螺栓15个或螺帽24个，已知一个螺栓配套两个螺帽，应该如何分配工人才能使生产的螺栓和螺帽刚好配套？则生产螺栓和生产螺帽的人数分别为（　　） A．50人，40人 B．30人，60人 C．40人，50人 D．60人，30人 【分析】设分配x人生产螺栓，y人生产螺帽刚好配套，根据等量关系：生产螺栓的工人数+生产螺帽的工人数＝90；螺栓总数×2＝螺帽总数，列出方程组，解方程组即可． 【解答】解：设分配x人生产螺栓，y人生产螺帽，才能使生产的螺栓和螺帽刚好配套， 根据题意，得：， 解得：， 即分配40人生产的螺栓，50人生产螺帽，才能使生产的螺栓和螺帽刚好配套， 故选：C． 【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，列出二元一次方程组是解题的关键． 3．（2023秋•甘井子区校级期末）某工厂生产茶具，每套茶具有1个茶壶和4只茶杯组成，生产这套茶具的主要材料是紫砂泥、用1千克紫砂泥可做2个茶壶或8只茶杯．现要用6千克紫砂泥制作这些茶具，应用多少千克紫砂泥做茶壶，多少千克紫砂泥做茶杯、恰好配成这种茶具多少套？ 【分析】设应用x千克紫砂泥做茶壶，y千克紫砂泥做茶杯，恰好配成这种茶具．由题意：每套茶具有1个茶壶和4只茶杯组成，用1千克紫砂泥可做2个茶壶或8只茶杯．现要用6千克紫砂泥制作这些茶具，列出二元一次方程组，解方程组即可． 【解答】解：设应用x千克紫砂泥做茶壶，y千克紫砂泥做茶杯，恰好配成这种茶具． 由题意得：， 解得：， 则2×3＝6（套）． 答：应用3千克紫砂泥做茶壶，3千克紫砂泥做茶杯，恰好配成这种茶具6套． 【点评】本题考查二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 4．（2024秋•绿园区校级月考）一套仪器由一个A部件和三个B部件构成，用1m3钢材可做40个A部件或240个B部件．现要用6m3钢材制作这种仪器，应用多少m3钢材做A部件，多少m3钢材做B部件恰好配成整套这种仪器？ 【分析】设应用x m3钢材做A部件，y m3钢材做B部件，再根据等量关系“共有6m3钢材”和“一个A部件和三个B部件刚好配成套”列方程组求解即可． 【解答】解：设应用x m3钢材做A部件，y m3钢材做B部件， 由题意得， 解得， 刚好配成：240×2÷3＝160（套）． 答：应用4m3钢材做A部件，2m3钢材做B部件，刚好配成160套． 【点评】本题主要考查了二元一次方程组的应用，读懂题意、设出未知数、找出合适的等量关系、列方程组是解题的关键． 5．（2023秋•武城县期末）一套格栅灯具由3个圆弧灯罩和2块栅板间隔组成，均可用铝合金板冲压制成，已知1m2铝合金板可以冲压4个圆弧灯罩或12块栅板，现要用11m2铝合金板制作这种格栅灯具，应分配多少平方米铝合金板制作成圆弧灯罩，多少平方米铝合金板制作栅板？恰好能配成这种格栅灯具多少套？ 【分析】设应分配x平方米铝合金板制作成圆弧灯罩，y平方米铝合金板制作栅板，恰好能配成这种格栅灯具，由11m2铝合金板制作这种格栅灯具，一套格栅灯具由3个圆弧灯罩和2块栅板间隔组成，1m2铝合金板可以冲压4个圆弧灯罩或12块栅板，列出方程组解答即可． 【解答】解：设应分配x平方米铝合金板制作成圆弧灯罩，y平方米铝合金板制作栅板，由题意得 ， 解得：， 则12． 答：应分配9平方米铝合金板制作成圆弧灯罩，2平方米铝合金板制作栅板，恰好能配成这种格栅灯具12套． 【点评】此题考查二元一次方程组的实际运用，找出题目蕴含的数量关系，列出两个方程，组成方程组解决问题． 6．（2023秋•全椒县期末）在手工制作课上，老师组织班级同学用硬纸制作圆柱形茶叶筒．全班共有学生50人，其中男生x人，女生y人，男生人数比女生人数少2人．已知每名同学每小时剪筒身40个或剪筒底120个． （1）求这个班男生、女生各有多少人？ （2）原计划男生负责剪筒底，女生负责剪筒身，若要求一个筒身配两个筒底，请说明每小时剪出的筒身与筒底能否配套？如果不配套，请说明如何调配人员，才能使每小时剪出的筒身与筒底刚好配套？ 【分析】（1）由题意列出方程组，解方程组解可； （2）分别计算出24名男生和6名女生剪出的筒底和筒身的数量，可得不配套；设男生应向女生支援y人，根据制作筒底的数量＝筒身的数量×2，根据等量关系列出方程，再解即可． 【解答】解：（1）由题意得：， 解得：， 答：这个班有男生有24人，女生有26人； （2）男生剪筒底的数量：24×120＝2880（个）， 女生剪筒身的数量：26×40＝1040（个）， 因为一个筒身配两个筒底，2880：1040≠2：1， 所以原计划男生负责剪筒底，女生负责剪筒身，每小时剪出的筒身与筒底不能配套， 设男生应向女生支援a人， 由题意得：120（24﹣a）＝（26+a）×40×2， 解得：a＝4， 答：原计划男生负责剪筒底，女生负责剪筒身，每小时剪出的筒身与筒底不能配套；男生应向女生支援4人时，才能使每小时剪出的筒身与筒底配套． 【点评】此题考查了二元一次方程组的应用、一元一次方程的应用，解题的关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程或方程组． 题型五 几何图形问题 解题技巧提炼 利用二元一次方程组解决几何图形问题，必须要掌握几何图形的性质、周长、面积等计算公式及对应关系，要善于从图形中获取解题所需的信息,从而得到等量关系式建立方程进而求解． 1．（2023春•滨江区校级期末）在长为10m，宽为8m的矩形空地上，沿平行于矩形各边的方向分割出三个全等的小矩形花圃，其示意图如图所示．则花圃的面积为（　　） A．16 B．8 C．32 D．24 【分析】设每个小矩形花圃的长为xm，宽为ym，观察图形，根据矩形空地的长和宽，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出每个矩形小花圃的长和宽，再将其代入3xy中即可求出花圃的面积． 【解答】解：设每个小矩形花圃的长为xm，宽为ym， 依题意得：， 解得：， ∴3xy＝3×4×2＝24． 故选：D． 【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及生活中的平移现象，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 2．（2023秋•北碚区校级期末）如图，利用两个外形一致的长方形木块测量一张桌子的高度， 首先按图①方式放置，再交换两木块的位置，按图②方式放置，测量的数据如图，则桌子的高度是（　　） A．81cm B．83cm C．85cm D．87cm 【分析】设桌子的高度为xcm，长方形木块的长比宽长ycm，根据图中的数据，可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论． 【解答】解：设桌子的高度为xcm，长方形木块的长比宽长ycm， 根据题意得：， 解得：， ∴桌子的高度是85cm． 故选：C． 【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 3．（2024•永春县校级开学）如图，用12块形状和大小均相同的小长方形纸片拼成一个宽是60厘米的大长方形，则每个小长方形的周长是　 　． 【分析】设小长方形纸片的长为x厘米，宽为y厘米，由大长方形的宽为60厘米，即可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出结论． 【解答】解：设小长方形纸片的长为x厘米，宽为y厘米， 根据题意得：， 解得：， 则每个小长方形的周长＝2（x+y）＝120（厘米）， 故答案为：120厘米． 【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 4．（2024春•潮阳区校级期末）如图，长方形ABCD中放置9个形状，大小完全相同的小长方形，根据图中数据，求出图中阴影面积为 　 　． 【分析】设每个小长方形的长为x，宽为y，根据题意，得，结合S阴影＝S长方形ABCD﹣9xy计算即可． 【解答】解：设每个小长方形的长为x，宽为y，根据题意得： ， 解得 故S阴影＝S长方形ABCD﹣9xy＝9×7﹣9×5×1＝18， 故答案为：18． 【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，正确找到等量关系列出方程是解题关键． 5．（2023•苏州模拟）小东在拼图时，发现8个一样大小的长方形，恰好可以拼成一个大的长方形如图1所示．小林看见了说：“我也来试一试．”结果小林七拼八凑，拼成了如图2那样的正方形，中间还留下了一个恰好是边长为3cm的小正方形，求小长方形的面积． 【分析】设小长方形的宽为xcm，长为ycm，根据图1中大长方形的长、图2中大正方形的边长的不同表示方法得出方程组，解方程组求出小长方形的宽和长即可解决问题． 【解答】解：设小长方形的宽为x cm，长为y cm， 则图1中大长方形的长可以表示为5x cm或3y cm，图2中大正方形的边长可以表示为（2x+y）cm或（2y+3）cm， 那么可得出方程组为：， 解得：， 则小长方形的面积为：9×15＝135（cm2）， 答：小长方形的面积为135cm2． 【点评】本题主要考查二元一次方程组的应用，观察图形得出等量关系，列出方程组是解题的关键． 6．（2023春•东港区校级期中）用如图（1）中的长方形和正方形纸板作侧面和底面，做成如 图（2）所示的竖式和横式两种无盖纸盒．现仓库里有80张正方形纸板和160张长方形纸板，问两种纸盒 各做多少个，恰好将库存纸板用完？ 【分析】设竖式纸盒做x个，横式纸盒做y个，根据现仓库里有80张正方形纸板和160张长方形纸板，列二元一次方程组，求解即可． 【解答】解：设竖式纸盒做x个，横式纸盒做y个， 根据题意，得， 解得， 答：竖式纸盒做16个，横式纸盒做32个，恰好将库存纸板用完． 【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，根据题意建立等量关系是解题的关键． 7．（2024秋•闵行区期中）小王购买了一套经济适用房，他准备将地面铺上地砖，地面结构如图所示．根据图中的数据（单位：m），解答下列问题： （1）用含x、y的代数式表示地面总面积； （2）已知客厅面积比卫生间面积多21平方米，且地面总面积是卫生间面积的15倍．若铺1平方米地砖的平均费用为100元，那么铺地砖的总费用为多少元？ 【分析】（1）设客厅的宽是x，卫生间的宽是y，根据长方形的面积＝长×宽，表示出总面积． （2）设客厅的宽是x，卫生间的宽是y，根据已知客厅面积比卫生间面积多21平方米，且地面总面积是卫生间面积的15倍．若铺1平方米地砖的平均费用为100元，列出方程组求解． 【解答】解：（1）设客厅的宽是x，卫生间的宽是y， 地面的总面积为：3×4+2y+2×3+6x＝6x+2y+18； （2）由题意得 ， 整理得：， ①﹣②×2得：26y＝39，解得：y＝1.5， 把y＝1.5代入①解得：x＝4， 解得：， ∴地面总面积为：S（总）＝6x+2y+18＝45（m2）， ∴铺地砖的总费用为：45×100＝4500（元）． 答：那么铺地砖的总费用为4500元． 【点评】本题考查理解题意的能力，关键是能用x和y表示各部分的面积，且长方形的面积＝长×宽，求出总面积可求出总费用． 题型六 工程问题 解题技巧提炼 工程问题： ①工作量＝人均效率×人数×时间； ②如果一件工作分几个阶段完成，那么各阶段的工作量的和＝工作总量； 1．一件工作，甲，乙合作20天后乙再单独做8天才完成，如果甲的效率提高10%，乙的效率提高20%，合作20天就可完成全部工作，则甲独做这件工作多少天可以完成（　　） A．28天 B．34天 C．48天 D．58天 【分析】设总工程为1，甲每天完成总工程的x，乙每天完成总工程的y，根据工作总量＝工作效率×工作时间，结合“甲、乙合作20天后乙再单独做8天才完成；提高工作效率后，甲、乙合作20天就可完成全部工作”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出x的值，再将其代入中即可求出结论． 【解答】解：设总工程为1，甲每天完成总工程的x，乙每天完成总工程的y， 依题意得：， 解得：， ∴34， ∴甲独做这件工作34天可以完成． 故选：B． 【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 2．甲、乙两工程队共同修建150km的公路，原计划30个月完工．实际施工时，甲队通过技术创新，施工效率提高了50%，乙队施工效率不变，结果提前5个月完工．甲、乙两工程队原计划平均每月分别修建多长？ 【分析】设甲工程队原计划平均每月修建xkm，乙工程队原计划平均每月修建ykm，则两队原计划平均每月修建（x+y）km，技术创新后两队原计划平均每月修建[（1+50%）x+y]km，根据原计划30个月完工，通过技术创新提前5个月完工为等量关系即可列出二元一次方程组，求解即可求出结果． 【解答】解：设甲工程队原计划平均每月修建xkm，乙工程队原计划平均每月修建ykm， 根据题意得，， 解得， 答：甲工程队原计划平均每月修建2 km，乙工程队原计划平均每月修建3 km． 3．某小区计划对外墙进行装饰维护．若甲、乙两个装饰公司合作施工，则共需要6天完成，小区总共需要支付9.6万元；若甲装饰公司先单独施工2天，则乙装饰公司还需要8天来完成剩下的装饰工作，小区总共需要支付9.2万元．问：甲、乙两个装饰公司每天分别收取多少费用？ 【分析】设甲装饰公司平均每天收取的费用为x万元，乙装饰公司平均每天收取的费用为y万元，根据“甲、乙两个公司各做6天，费用9.6万元；甲公司单独做2天，乙公司单独做8天，付费用9.2万元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论． 【解答】解：设甲装饰公司平均每天收取x万元，乙装饰公司平均每天收取y万元．根据题意得， ， 解得， 答：甲装饰公司平均每天收取0.6万元，乙装饰公司平均每天收取1万元． 【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 4．一家商店进行装修，若请甲、乙两个装修组同时施工，8天可以完成，需付给两组费用共3520元，若先请甲组单独做6天，再请乙组单独做12天可以完成，需付给两组费用共3480元，问： （1）甲、乙两组单独工作一天，商店应各付多少元？ （2）已知甲组单独完成需要12天，乙组单独完成需要24天，单独请哪组，商店所付费用较少？ 【分析】（1）设甲单独工作一天需要x元，乙单独工作一天商店需付y元，根据两组合作8天需付3520元，甲组单独做6天，乙组单独做12天，需付费用共3480元，据此列方程组求解； （2）求出两组的总费用，然后选择较少的一组． 【解答】解：（1）设甲单独工作一天需要x元，乙单独工作一天商店需付y元， 由题意得，， 解得：． 答：甲单独工作一天需要300元，乙单独工作一天商店需付140元； （2）甲单独完成需付：300×12＝3600（元）， 乙单独完成需付：140×24＝3360（元）． 答：选择乙组商店所付费用较少． 【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程组求解． 5．（2023•定安县一模）阅读理解： 为打造陶子河沿岸的风景带，有一段长为360米的河道整治任务由A、B两个工程队先后接力完成，A工程队每天整治24米，B工程队每天整治16米，共用20天． （1）根据题意，甲乙两个同学分别列出了尚不完整的方程组如下： 甲：，乙：． 根据甲、乙两名同学所列的方程组，请你分别指出未知数x，y表示的意义，并且补全甲、乙两名同学所列的方程组： 甲：x表示 　 　，y表示 　； 乙：x表示 　 　，y表示 　 　； （2）求出其中一个方程组的解，并回答A、B两工程队分别整治河道多少米？ 【分析】（1）甲、乙两名同学所列的方程组可得，甲：x表示A队的工作时间，y表示B队的工作时间；乙：x表示A队的工作量，y表示B队的工作量，补全方程组即可； （2）根据二元一次方程组的解法求解方程组甲． 【解答】解：（1）甲：， 乙：； 甲：x表示A队的工作时间，y表示B队的工作时间；乙：x表示A队的工作量，y表示B队的工作量； 故答案为：A队的工作时间，B队的工作时间；A队的工作量，B队的工作量． （2）， ①×16﹣②得：﹣8x＝﹣40， 解得：x＝5， 把x＝5代入①得：5+y＝20， 解得：y＝15， ∴方程组的解为：， 则24x＝120，16y＝240， 答：A队整治河道120米，B队整治河道240米． 【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，正确找出题目中的相等关系，列方程组求解． 6．（2023春•杭州月考）某家商店进行装修，若请甲、乙两个装修组同时施工，8天可以完成，需付两组费用共3520元，若先请甲组单独做6天，再请乙组单独做12天可以完成，需付费用3480元． （1）甲、乙两组工作一天，商店各应付多少钱？ （2）现有三种施工方案：①单独请甲组装修；②单独请乙组装修；③请甲，乙两组合做．若装修完后，商店每天可盈利200元，你认为如何安排施工有利于商店经营？说说你的理由． 【分析】（1）设甲组工作一天商店应付x元，乙组工作一天商店应付y元，根据“甲、乙两个装修组同时施工8天，需付两组费用共3520元；甲组单独做6天，再请乙组单独做12天可以完成，需付费用3480元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设甲组每天完成的工作量为m，乙组每天完成的工作量为n，根据“请甲、乙两个装修组同时施工，8天可以完成；若先请甲组单独做6天，再请乙组单独做12天可以完成”，即可得出关于m，n的二元一次方程组，解之即可得出m，n的值，进而可求出甲、乙两个装修组单独施工所需时间，利用总费用＝（每天需付装修费+200）×装修时间，可求出三个方案所需装修费用及耽误营业损失的费用之和，比较后即可得出结论． 【解答】解：（1）设甲组工作一天商店应付x元，乙组工作一天商店应付y元， 依题意得：， 解得：． 答：甲组工作一天商店应付300元，乙组工作一天商店应付140元． （2）设甲组每天完成的工作量为m，乙组每天完成的工作量为n， 依题意得：， 解得：， ∴甲组单独完成装修所需时间为112（天）， 乙组单独完成装修所需时间为124（天）． 施工方案①所需装修费用及耽误营业损失的费用之和为（300+200）×12＝6000（元）； 施工方案②所需装修费用及耽误营业损失的费用之和为（140+200）×24＝8160（元）； 施工方案③所需装修费用及耽误营业损失的费用之和为（300+140+200）×8＝5120（元）． ∵5120＜6000＜8160， ∴方案③请甲，乙两组合做最有利于商店经营． 【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 题型七 解决分类问题 解题技巧提炼 本题运用了分类讨论思想，找到两个基本的等量关系式后，应根据不同范围的重量找到相应的价格作答，在进行分类讨论时，要做到标准统一，既不重复，也不遗漏。 1．（2022春•南湖区校级期中）某市甲、乙两个有名的学校乐团，决定向某服装厂购买同样的演出服．如表是服装厂给出的演出服装的价格表： 购买服装的套数 1～39套（含39套） 40～79套（含79套） 80套及以上 每套服装的价格 100元 80元 60元 经调查：两个乐团共75人（甲乐团人数不少于40人），如果分别各自购买演出服，两个乐团共需花费6600元．请回答以下问题： （1）甲、乙两个乐团各有多少名学生？ （2）现从甲乐团抽调a人，从乙乐团抽调b人（要求从每个乐团抽调的人数不少于5人），去儿童福利院献爱心演出，并在演出后每位乐团成员向儿童们进行“心连心活动”；甲乐团每位成员负责3位小朋友，乙乐团每位成员负责5位小朋友．这样恰好使得福利院65位小朋友全部得到“心连心活动”的温暖．请写出所有的抽调方案，并说明理由． 【分析】（1）设甲、乙个乐团各有x名、y名学生准备参加演出．根据题意，显然各自购买时，甲乐团每套服装是100元，乙乐团每套服装是80元．根据等量关系：①共75人；②分别单独购买服装，一共应付6600元，列方程组求解即可； （2）利用甲乐团每位成员负责3位小朋友，乙乐团每位成员负责5位小朋友恰好使得福利院65位小朋友全部得到“心连心活动”的温暖，列出方程探讨答案即可． 【解答】解：（1）设甲乐团有x名；乙乐团有y名， 根据题意，得， 解得， 答：甲乐团有30名；乙乐团有45名； （2）由题意，得3a+5b＝65，变形得b＝13a，， ∵每位乐团的人数不少于5人且人数为正整数， ∴或， ∴共有两种方案：①从甲乐团抽调5人，从乙乐团抽调10人； ②从甲乐团抽调10人，从乙乐团抽调7人． 【点评】本题考查二元一次方程组与二元一次方程解实际应用题，读懂题意，准确找到等量关系列方程是解决问题的关键． 2．（2023春•奉化区校级期末）某公园的门票价格规定如表： 购票人数 1～50人 51～100人 100以上 票价 10元/人 8元/人 5元/人 （1）某校七年级甲、乙两班共100多人去该公园举行联欢活动，其中甲班50多人，乙班不足50人．如果以班为单位分别买票，两个班一共应付920元；如果两个班联合起来作为一团体购票，一共只要付515元．问：甲、乙两班分别有多少人？ （2）若有A、B两个团队共160人，以各自团队为单位分别买票，共用950元，问A、B两个团队各有多少人？ 【分析】（1）本题等量关系有：甲班人数×8+乙班人数×10＝920；（甲班人数+乙班人数）×5＝515，据此可列方程组求解； （2）A团队a人，B团队（160﹣a）人，根据收费标准进行分类讨论，并列出方程进行解答． 【解答】解：（1）设甲班有x人，乙班有y人． 由题意得：， 解得：． 答：甲班55人，乙班48人； （2）设A团队a人，B团队（160﹣a）人， ①当1≤a≤50时，由题意得：10a+5（160﹣a）＝950， 解得a＝30， 则160﹣a＝130． 即A团队30人，B团队130人； ②当51≤a＜60时，由题意得：8a+5（160﹣a）＝950， 解得a＝50，不合题意，舍去． ③当60≤a＜100时，由题意得：8a+8（160﹣a）＝950，明显该等式不成立． ④当100≤a＜110时，5a+8（160﹣a）＝950． 解得a＝110，不合题意，舍去； ⑤当a≥110时，5a+10（160﹣a）＝950． 解得a＝130，则160﹣a＝30． 即A团队130人，B团队30人； 综上所述，A团队30人，B团队130人或A团队130人，B团队30人． 3．（2023秋•迎泽区校级月考）利用二元一次方程组解决问题： 心理学中，一个人的新习惯或理念的形成，至少需要坚持不懈的努力31天．老师准备为同学们购买自律打卡本，共同促进大家自律习惯的养成．临近双12，天猫活动规则：满500减20，满800减40，满800同时还可以叠加20元的店铺券．某款打卡本价格如下表： 购买数量/本 1～50 51～100 100以上 每本价格/元 12 10 8 某校八年级（1）（2）两个班共102人，其中（1）班人数较少，有40多人，不到50人，（2）班人数较多，有50多人，不到60人．如果两班都以班级为单位分别购买，则一共应付1078元；如果两班联合起来一起购买，则可以节省不少钱． （1）两班各有多少名学生； （2）联合起来购买还能省多少钱． 【分析】（1）设八年级（1）（2）班分别有x、y人，先确定x、y的范围，然后根据题意列出二元一次方程组，求解方程组即可得解； （2）将1078元减去联合起来购票应付款756元，即可得解． 【解答】（1）解：设八年级（1）（2）班分别有x、y人， 当x＝41或42时与y＝51或52时，均不符合题意； ∴42＜x＜50，52＜y＜60， ∴504＜12x＜600，520＜10y＜600， ∴根据题意，， 整理得：， 由②﹣①×5，得x＝49， 将x＝49代入①得y＝53； 答：两班各有49名、53名学生； （2）解：∵102×8＝816＞800， ∴联合起来购票应付：816﹣40﹣20＝756，1078﹣756＝322元， 答：联合起来购买还能省钱322元． 【点评】此题考查了二元一次方程组的应用，正确理解题意、找出题目中的等量关系列出方程组是解答此题的关键． 4．某水果批发市场苹果的价格如下表： 购买苹果（千克） 不超过20千克的部分 20千克以上但不超过40千克的部分 40千克以上的部分 每千克的价格 6元 5元 4元 （1）①若小明第一次购买15千克需付费　 　元； ②若小明第二次购买26千克需付费　 　元． （2）若小强分两次共购买100千克，第一次购买a千克，且第二次购买的重量超过第一次购买的重量，小强两次购买苹果共付费多少元？（用含a的代数式表示） 【分析】该题目是分段收费的问题；要注意购买的千克数在哪个段，就按哪个段的价格算总费用； 总费用＝单价×数量； （1）根据苹果的价格表计算； （2）“小强分两次共购买100千克，第二次购买的数量多于第一次购买的数量”可以知道第一次购买的数量要小于50千克；由于a的取值范围不确定，需要用分类讨论的思想进行解答， 当a≤20时，分别算第一次和第二次的总费用； 当20＜a≤40时，注意第一次购买有2段费用，第二次购买有3段费用，然后再相加； 当40＜a＜50时，注意第一次购买有3段费用，第二次购买也有3段费用，然后再相加；记得最后结果要化为最简的形式． 【解答】解：（1）①由题意得15×6＝90（元）． 故答案为：90； ②由题意得20×6+（26﹣20）×5＝150（元）． 故答案为：150； （2）∵再次共购买100千克，第二次购买的数量多于第一次购买的数量， ∴a＜50， 当a≤20时，需要付费为： 6a+20×6+20×5+4×（100﹣a﹣40） ＝6a+120+100+400﹣4a﹣160 ＝（2a+460）（元）； 当20＜a≤40时，需要付费为： 6×20+5×（a﹣20）+20×6+20×5+4×（100﹣a﹣40） ＝120+5a﹣100+120+100+400﹣4a﹣160 ＝（a+480）（元）； 当40＜a＜50时，需要付费为： 6×20+5×20+4×（a﹣40）+20×6+20×5+4×（100﹣a﹣40） ＝120+100+4a﹣160+120+100+400﹣4a﹣160 ＝520（元）． 5．（2022•南京模拟）为庆祝六一儿童节，某市中小学统一组织文艺汇演，甲、乙两所学校共92人（其中甲校的人数多于乙校的人数，且甲校的人数不足90人）准备统一购买服装参加演出．下面是某服装厂给出的演出服装的价格表： 购买服装的套数 1～45套 46～90套 91套及以上 每套服装的价格（元/套） 60 50 40 如果两所学校分别单独购买服装，一共应付款5000元． （1）如果甲、乙两校联合购买服装一共需要付款 　 元； （2）甲、乙两所学校各有多少学生准备参加演出？（列方程组解应用题） （3）如果甲校有10名同学因故不能参加演出，请你为两所学校设计一种最省钱的购买服装方案． 【分析】（1）直接将人数乘以对应单价即可； （2）先确定两校人数，得到购买单价，再列出方程组计算即可； （3）先求出按照82人购买的金额，再计算按照91人购买的金额，进行比较即可． 【解答】解：（1）92×40＝3680（元）， ∴甲、乙两校联合购买服装一共需要付款3680元， 故答案为：3680； （2）∵甲、乙两所学校共92人（其中甲校的人数多于乙校的人数，且甲校的人数不足90人）， ∴46＜甲校需要购买服装的套数＜90，2＜乙校需要购买服装的套数＜46， 设甲校有x名学生准备参加演出，乙校有y名学生准备参加演出， 根据题意可得：， 解得， 答：甲校有52名学生准备参加演出，乙校有40名学生准备参加演出． （3）由题意得，甲乙两校一共能参加的学生为82人， 两校联合购买82套服装需要的费用为：50×82＝4100（元）， 两校联合购买91套服装需要的费用为：40×91＝3640（元）， ∵3640＜4100．∴两校联合购买91套服装最省钱． 【点评】本题考查了方案选择问题，涉及到了二元一次方程组的应用，解题关键是正确理解与分析题意，列出方程组． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！29 学科网（北京）股份有限公司 $$ （北师大版）八年级上册数学《第5章 二元一次方程组》 5.3 应用二元一次方程组---鸡兔同笼 知识点 列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤： ◆1、列方程组解决实际问题是把“未知”化为“已知”的过程，其关键是把已知量和未知量联系起来，找出题中的等量关系，列出方程组. ◆2、列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤： （1）审：审题，找出问题中的已知条件和未知量及它们之间的关系． （2）设：设元，找出题中的两个关键的未知量，并用字母表示出来． （3）找：找等量关系，挖掘题目中的所有条件，找出两个等量关系． （4）列：根据等量关系，列出方程组． （5）解：解方程组，求出未知数的值． （6）答：检验所求解是否符合实际意义，然后作答． 题型一 鸡兔同笼问题 解题技巧提炼 设鸡的数量为x，兔的数量为y，通常根据题目中鸡和兔的总数以及脚的总数这两个等量关系来列方程. 1．（2024春•微山县期末）我国古代数学著作《孙子算经》中有“鸡兔同笼”问题：“今有鸡兔同笼，上有头三十五，下有足九十四．问鸡兔各几何．”若设鸡有x只，兔有y只，则可列二元一次方程组为（　　） A． B． C． D． 2．（2023•绵阳）我国古代数学著作《孙子算经）中有“鸡兔同笼”问题：“今有鸡兔同笼，上有16头，下有44足，问鸡兔各几何．”设鸡x只，兔y只，可列方程组（　　） A． B． C． D． 3．（2024•绵阳）如图，每只蜻蜓有6条腿，2对翅膀，每只蝉有6条腿，1对翅膀．现有若干蜻蜓和蝉，共有42条腿，10对翅膀，则蜻蜓和蝉的只数分别是（　　） A．3，4 B．4，3 C．2，5 D．5，2 4．（2024•沙坪坝区校级开学）我国古代数学著作《九章算术》“方程”章中有一问题：“今有牛五、羊二，值金十两；牛二、羊五，值金八两．问牛值金几何？”原文翻译为：现有牛5头，羊2头，价值金10两；牛2头，羊5头，价值金8两．问：一头牛值金（　　）两． A． B． C． D． 5．（2023秋•耒阳市校级期中）鸡兔同笼，是中国古代著名典型趣题之一，大约在1500年前，《孙子算经》中就记载了这个有趣的问题：“今有雉兔同笼，上有20头，下有54足，问雉、兔各几何？”翻译过来就是：鸡和兔在同一个笼子里，数一数共有20个头，54条腿，问鸡和兔各几只？（列方程组解答） 6．（2023春•宜阳县期中）我国古代数学典籍《孙子算经》中有著名的“鸡兔同笼”问题，其原文为“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何？”．其大意是“现有若干只鸡和若干只兔放在一个笼子里，从上面数共有35个头，从下面数共有94只脚，问笼子里鸡和兔各有多少？请你用所学的知识进行解答． 题型二 和、差、倍分问题 解题技巧提炼 设未知数时，一般是求什么设什么，并且所列方程的两个数与未知数的个数相等，解这类应用题，要抓住题中反映数量关系的关键字﹣﹣﹣和、差、倍、分、几分之几、比、大、小、多、少、增加、减少……明确各种反映数量关系的关键字的含义． 1．（2024春•长汀县期末）我国古典数学文献《增删算法统宗•六均输》中有一个“隔沟计算”的问题：“甲乙隔沟牧放，二人暗里参详，甲云得乙九只羊，多乙一倍之上，乙说得甲九只，两家之数相当，二人闲坐恼心肠，画地算了半晌”其大意为：甲、乙两人一起放牧，两人心里暗中数羊．如果乙给甲9只羊，那么甲的羊数为乙的2倍；如果甲给乙9只羊，那么两人的羊数相同，请问甲，乙各有多少只羊？设甲有羊x只，乙有羊y只，根据题意列方程组正确的为（　　） A． B． C． D． 2．（2023春•沭阳县期末）现有100元和20元的人民币共33张，总面额1620元．则其中面额100元的人民币有（　　） A．12张 B．14张 C．20张 D．21张 3．（2023春•南岗区期末）有大小两种货车，2辆大货车与3辆小货车一次可以运货15.5吨，5辆大货车与6辆小货车一次可以运货35吨，那么3辆大货车与5辆小货车一次可以运货 　 　吨． 4．（2024•紫金县一模）顺风旅行社组织200人到花果岭和云水洞旅游，到花果岭的人数是到云水洞的人数的2倍少1人，到两地旅游的人数各是多少？ 5．（2023秋•朝阳区校级期末）“绿水青山就是金山银山”，科学研究表明：树叶在光合作用后产生的分泌物能够吸附空气中的悬浮颗粒物，具有滞尘净化空气的作用．已知1片银杏树叶1年的平均滞尘量比1片国槐树叶1年的平均滞尘量的2倍少4mg，若2片国槐树叶与1片银杏树叶一年的平均滞尘总量为84mg．请分别求出1片国槐树叶和1片银杏树叶一年的平均滞尘量． 6．（2023秋•广平县期末）如图，两根铁棒直立于桶底水平的水桶中，在桶中加入水，一根露出水面的长度是它的，另一根露出水面的长度是它的，两根铁棒的长度之和为55，求两根铁棒的长度． 7．得益于“互联网+”和人工智能的发展，无人配送服务行业已经进入人们的生活．某大学校园内使用了无人配送车和无人机配送快递．已知一架无人机一次可运送3千克货物，一辆无人配送车一趟可运送120千克货物．快递公司提供了无人机和无人配送车共30台运送2430千克货物，那么运送物资使用的无人机和无人配送车各有几台？ 8 ．（2023春•海淀区校级期中）列方程解应用题： 北大附中畅春园校区教学楼有4层，其中初一、初二的班级教室都在2﹣4层，共有35个班，1200名学生．进出教学楼共有4道门，其中两道正门大小相同，两道侧门大小也相同．周一早上参加升旗仪式时，各班从教室出发，如果通过两道正门和一道侧门走到操场，那么4分钟可以集合完毕；如果通过两道侧门和一道正门走到操场，那么5分钟可以集合完毕（出门跑到操场指定位置的时间忽略不计）． 求平均每分钟一道正门和一道侧门各可以通过多少人？ 题型三 盈不足问题 解题技巧提炼 据问题的条件，列出相关的方程，通常情况下，一个方程描述一个量的关系，另一个方程描述另一个量的关系. 1（2024春•邓州市期末）阅读下面的诗句：“栖树一群鸦，鸦树不知数，三只栖一树，五只没去处，五只栖一树，闲了一棵树，请你仔细数，鸦树各几何？”大意是：“一群乌鸦在树上栖息，若每棵树上有3只，则5只没地方去，若每棵树上有5只，则多了一棵树．”设乌鸦x只，树y棵．依题意可列方程组（　　） A． B． C． D． 2．（2024•深圳）在明朝程大位《算法统宗》中有首住店诗：我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．诗的大意是：一些客人到李三公的店中住宿，如果每一间客房住7人，那么有7人无房可住；如果每一间客房住9人，那么就空出一间房．设该店有客房x间，房客y人，则可列方程组为（　　） A． B． C． D． 3．（2024•黄石港区一模）我国明代数学读本《算法统宗》中有一道题，其题意为：客人一起分银子，若每人7两，还剩4两；若每人9两，还差8两；则①人数为 　 　人；②银子共有 两． 4．（2024•广水市模拟）一千官兵一千布，一官四尺无零数，四兵才得布一尺，请问官兵多少数？这首诗的意思是：一千名官兵分一千尺布，一名军官分四尺，四名士兵分一尺，正好分完，则军官有　 　名，士兵有　 　名． 5．（2023春·吉林长春·七年级统考期末）问题解决：糖葫芦一般是用竹签串上山楂．再蘸以冰糖制作而成，现将一些山楂分别串在若干个竹签上，如果每根竹签串4个山楂，还剩余3个山楂；如果每根竹签串7个山楂，还剩余6根竹签，求竹签有多少根？山楂有多少个？ 反思归纳：现有m根竹签，n个山楂，若每根竹签串a个山楂，还剩b个山楂，则m、n、a、b满足的等量关系为 　 　（用含m、n、a、b的代数式表示）． 6．（2024•淮安）《张丘建算经》由北魏数学家张丘建所著，其中有这样一个问题：“今有客不知其数．两人共盘，少两盘；三人共盘，长三盘．问客及盘各几何？”意思为：“现有若干名客人．若2个人共用1个盘子，则少2个盘子；若3个人共用1个盘子，则多出来3个盘子．问客人和盘子各有多少？”请你解答这个问题． 题型四 配套问题 解题技巧提炼 生产中的配套问题很多，如螺钉与螺母的配套、盒身与盒底的配套、桌面与桌腿的配套衣身与衣袖的配套等，各种配套都有数量比例，依次设未知数，用未知数可把它们之间的数量关系以及所需材料的总和表示出来，从而得到方程组，使问题得以解决. 1．（2024秋•沙坪坝区校级期中）甘肃博物馆的“砂锅娃娃”系列文创备受欢迎，一个“素砂锅”中含有3个“戏精豆芽”和2个“弹弹粉条”，一名工作人员1天能缝制180个“戏精豆芽”或者240个“弹弹粉条”，若博物馆有15名工作人员缝制“戏精豆芽”和“弹弹粉条”，为了使每天缝制的两种娃娃刚好配套，假设x名工作人员缝制“戏精豆芽”，y名工作人员缝制“弹弹粉条”，根据题意列方程组正确的是（　　） A． B． C． D． 2．（2023春•和平区校级期末）某车间有90名工人，每人每天平均能生产螺栓15个或螺帽24个，已知一个螺栓配套两个螺帽，应该如何分配工人才能使生产的螺栓和螺帽刚好配套？则生产螺栓和生产螺帽的人数分别为（　　） A．50人，40人 B．30人，60人 C．40人，50人 D．60人，30人 3．（2023秋•甘井子区校级期末）某工厂生产茶具，每套茶具有1个茶壶和4只茶杯组成，生产这套茶具的主要材料是紫砂泥、用1千克紫砂泥可做2个茶壶或8只茶杯．现要用6千克紫砂泥制作这些茶具，应用多少千克紫砂泥做茶壶，多少千克紫砂泥做茶杯、恰好配成这种茶具多少套？ 4．（2024秋•绿园区校级月考）一套仪器由一个A部件和三个B部件构成，用1m3钢材可做40个A部件或240个B部件．现要用6m3钢材制作这种仪器，应用多少m3钢材做A部件，多少m3钢材做B部件恰好配成整套这种仪器？ 5．（2023秋•武城县期末）一套格栅灯具由3个圆弧灯罩和2块栅板间隔组成，均可用铝合金板冲压制成，已知1m2铝合金板可以冲压4个圆弧灯罩或12块栅板，现要用11m2铝合金板制作这种格栅灯具，应分配多少平方米铝合金板制作成圆弧灯罩，多少平方米铝合金板制作栅板？恰好能配成这种格栅灯具多少套？ 6．（2023秋•全椒县期末）在手工制作课上，老师组织班级同学用硬纸制作圆柱形茶叶筒．全班共有学生50人，其中男生x人，女生y人，男生人数比女生人数少2人．已知每名同学每小时剪筒身40个或剪筒底120个． （1）求这个班男生、女生各有多少人？ （2）原计划男生负责剪筒底，女生负责剪筒身，若要求一个筒身配两个筒底，请说明每小时剪出的筒身与筒底能否配套？如果不配套，请说明如何调配人员，才能使每小时剪出的筒身与筒底刚好配套？ 题型五 几何图形问题 解题技巧提炼 利用二元一次方程组解决几何图形问题，必须要掌握几何图形的性质、周长、面积等计算公式及对应关系，要善于从图形中获取解题所需的信息,从而得到等量关系式建立方程进而求解． 1．（2023春•滨江区校级期末）在长为10m，宽为8m的矩形空地上，沿平行于矩形各边的方向分割出三个全等的小矩形花圃，其示意图如图所示．则花圃的面积为（　　） A．16 B．8 C．32 D．24 2．（2023秋•北碚区校级期末）如图，利用两个外形一致的长方形木块测量一张桌子的高度， 首先按图①方式放置，再交换两木块的位置，按图②方式放置，测量的数据如图，则桌子的高度是（　　） A．81cm B．83cm C．85cm D．87cm 3．（2024•永春县校级开学）如图，用12块形状和大小均相同的小长方形纸片拼成一个宽是60厘米的大长方形，则每个小长方形的周长是　 　． 4．（2024春•潮阳区校级期末）如图，长方形ABCD中放置9个形状，大小完全相同的小长方形，根据图中数据，求出图中阴影面积为 　 　． 5．（2023•苏州模拟）小东在拼图时，发现8个一样大小的长方形，恰好可以拼成一个大的长方形如图1所示．小林看见了说：“我也来试一试．”结果小林七拼八凑，拼成了如图2那样的正方形，中间还留下了一个恰好是边长为3cm的小正方形，求小长方形的面积． 6．（2023春•东港区校级期中）用如图（1）中的长方形和正方形纸板作侧面和底面，做成如 图（2）所示的竖式和横式两种无盖纸盒．现仓库里有80张正方形纸板和160张长方形纸板，问两种纸盒 各做多少个，恰好将库存纸板用完？ 7．（2024秋•闵行区期中）小王购买了一套经济适用房，他准备将地面铺上地砖，地面结构如图所示．根据图中的数据（单位：m），解答下列问题： （1）用含x、y的代数式表示地面总面积； （2）已知客厅面积比卫生间面积多21平方米，且地面总面积是卫生间面积的15倍．若铺1平方米地砖的平均费用为100元，那么铺地砖的总费用为多少元？ 题型六 工程问题 解题技巧提炼 工程问题： ①工作量＝人均效率×人数×时间； ②如果一件工作分几个阶段完成，那么各阶段的工作量的和＝工作总量； 1．一件工作，甲，乙合作20天后乙再单独做8天才完成，如果甲的效率提高10%，乙的效率提高20%，合作20天就可完成全部工作，则甲独做这件工作多少天可以完成（　　） A．28天 B．34天 C．48天 D．58天 2．甲、乙两工程队共同修建150km的公路，原计划30个月完工．实际施工时，甲队通过技术创新，施工效率提高了50%，乙队施工效率不变，结果提前5个月完工．甲、乙两工程队原计划平均每月分别修建多长？ 3．某小区计划对外墙进行装饰维护．若甲、乙两个装饰公司合作施工，则共需要6天完成，小区总共需要支付9.6万元；若甲装饰公司先单独施工2天，则乙装饰公司还需要8天来完成剩下的装饰工作，小区总共需要支付9.2万元．问：甲、乙两个装饰公司每天分别收取多少费用？ 4．一家商店进行装修，若请甲、乙两个装修组同时施工，8天可以完成，需付给两组费用共3520元，若先请甲组单独做6天，再请乙组单独做12天可以完成，需付给两组费用共3480元，问： （1）甲、乙两组单独工作一天，商店应各付多少元？ （2）已知甲组单独完成需要12天，乙组单独完成需要24天，单独请哪组，商店所付费用较少？ 5．（2023•定安县一模）阅读理解： 为打造陶子河沿岸的风景带，有一段长为360米的河道整治任务由A、B两个工程队先后接力完成，A工程队每天整治24米，B工程队每天整治16米，共用20天． （1）根据题意，甲乙两个同学分别列出了尚不完整的方程组如下： 甲：，乙：． 根据甲、乙两名同学所列的方程组，请你分别指出未知数x，y表示的意义，并且补全甲、乙两名同学所列的方程组： 甲：x表示 　 　，y表示 　； 乙：x表示 　 　，y表示 　 　； （2）求出其中一个方程组的解，并回答A、B两工程队分别整治河道多少米？ 6．（2023春•杭州月考）某家商店进行装修，若请甲、乙两个装修组同时施工，8天可以完成，需付两组费用共3520元，若先请甲组单独做6天，再请乙组单独做12天可以完成，需付费用3480元． （1）甲、乙两组工作一天，商店各应付多少钱？ （2）现有三种施工方案：①单独请甲组装修；②单独请乙组装修；③请甲，乙两组合做．若装修完后，商店每天可盈利200元，你认为如何安排施工有利于商店经营？说说你的理由． 题型七 解决分类问题 解题技巧提炼 本题运用了分类讨论思想，找到两个基本的等量关系式后，应根据不同范围的重量找到相应的价格作答，在进行分类讨论时，要做到标准统一，既不重复，也不遗漏。 1．（2022春•南湖区校级期中）某市甲、乙两个有名的学校乐团，决定向某服装厂购买同样的演出服．如表是服装厂给出的演出服装的价格表： 购买服装的套数 1～39套（含39套） 40～79套（含79套） 80套及以上 每套服装的价格 100元 80元 60元 经调查：两个乐团共75人（甲乐团人数不少于40人），如果分别各自购买演出服，两个乐团共需花费6600元．请回答以下问题： （1）甲、乙两个乐团各有多少名学生？ （2）现从甲乐团抽调a人，从乙乐团抽调b人（要求从每个乐团抽调的人数不少于5人），去儿童福利院献爱心演出，并在演出后每位乐团成员向儿童们进行“心连心活动”；甲乐团每位成员负责3位小朋友，乙乐团每位成员负责5位小朋友．这样恰好使得福利院65位小朋友全部得到“心连心活动”的温暖．请写出所有的抽调方案，并说明理由． 2．（2023春•奉化区校级期末）某公园的门票价格规定如表： 购票人数 1～50人 51～100人 100以上 票价 10元/人 8元/人 5元/人 （1）某校七年级甲、乙两班共100多人去该公园举行联欢活动，其中甲班50多人，乙班不足50人．如果以班为单位分别买票，两个班一共应付920元；如果两个班联合起来作为一团体购票，一共只要付515元．问：甲、乙两班分别有多少人？ （2）若有A、B两个团队共160人，以各自团队为单位分别买票，共用950元，问A、B两个团队各有多少人？ 3．（2023秋•迎泽区校级月考）利用二元一次方程组解决问题： 心理学中，一个人的新习惯或理念的形成，至少需要坚持不懈的努力31天．老师准备为同学们购买自律打卡本，共同促进大家自律习惯的养成．临近双12，天猫活动规则：满500减20，满800减40，满800同时还可以叠加20元的店铺券．某款打卡本价格如下表： 购买数量/本 1～50 51～100 100以上 每本价格/元 12 10 8 某校八年级（1）（2）两个班共102人，其中（1）班人数较少，有40多人，不到50人，（2）班人数较多，有50多人，不到60人．如果两班都以班级为单位分别购买，则一共应付1078元；如果两班联合起来一起购买，则可以节省不少钱． （1）两班各有多少名学生； （2）联合起来购买还能省多少钱． 4．某水果批发市场苹果的价格如下表： 购买苹果（千克） 不超过20千克的部分 20千克以上但不超过40千克的部分 40千克以上的部分 每千克的价格 6元 5元 4元 （1）①若小明第一次购买15千克需付费　 　元； ②若小明第二次购买26千克需付费　 　元． （2）若小强分两次共购买100千克，第一次购买a千克，且第二次购买的重量超过第一次购买的重量，小强两次购买苹果共付费多少元？（用含a的代数式表示） 5．（2022•南京模拟）为庆祝六一儿童节，某市中小学统一组织文艺汇演，甲、乙两所学校共92人（其中甲校的人数多于乙校的人数，且甲校的人数不足90人）准备统一购买服装参加演出．下面是某服装厂给出的演出服装的价格表： 购买服装的套数 1～45套 46～90套 91套及以上 每套服装的价格（元/套） 60 50 40 如果两所学校分别单独购买服装，一共应付款5000元． （1）如果甲、乙两校联合购买服装一共需要付款 　 元； （2）甲、乙两所学校各有多少学生准备参加演出？（列方程组解应用题） （3）如果甲校有10名同学因故不能参加演出，请你为两所学校设计一种最省钱的购买服装方案． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！16 学科网（北京）股份有限公司 $$