第2部分 (2) 专题9　几何综合探究题 2025年九年级中考数学人教版一轮复习专题复习课件（河南）

第二部分　河南中考重难题型突破篇 (二)解答题型突破 专题九　几何综合探究题 1 15 15 等腰直角三角形 谢 谢 观 看 类型1　新定义类几何探究题 1.垂中平行四边形的定义如下：在平行四边形中，过一个顶点作关于不相邻的两个顶点的对角线的垂线交平行四边形的一条边，若交点是这条边的中点，则该平行四边形是“垂中平行四边形”. (1)如图①，四边形ABCD为“垂中平行四边形”，AF＝eq \r( ,5)，CE＝2，则AE＝ ；AB＝ . eq \r( ,17) (2)如图②，若四边形ABCD为“垂中平行四边形”，且AB＝BD，猜想AF与CD的关系，并说明理由. (3)①如图③所示，在△ABC中，BE＝5，CE＝2AE＝12，BE⊥AC交AC于点E，E为垂中点，请画出以BC为边的垂中平行四边形，要求：点A在垂中平行四边形的一条边上(温馨提示：不限作图工具). ②若△ABC关于直线AC对称得到△AB′C，连接CB′，作射线CB′交①中所画平行四边形的边于点P，连接PE，请直接写出PE的值. 　　 INCLUDEPICTURE"24ZT118.TIF" 　　 解：(2)AF＝eq \r( ,2)CD，理由如下： ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AD＝BC， ∴△AED∽△FEB， ∴eq \f(AE,EF)＝eq \f(DE,BE)＝eq \f(AD,BF)＝eq \f(2,1)， 设BE＝x，则DE＝2x， ∴AB＝BD＝3x，AE＝eq \r( ,AB2－BE2)＝2eq \r( ,2)x， ∴EF＝eq \f(1,2)AE＝eq \r( ,2)x， ∴AF＝AE＋EF＝3eq \r( ,2)x， ∴AF＝eq \r( ,2)AB， ∴AF＝eq \r( ,2)CD. (3)①如图所示，作平行四边形ABCH则为所求.(作法不唯一) 作法提示：过A作AH∥BC，过C作CH∥AB，两条直线交于点H(也可不用尺规作图，其他工具亦可). ②eq \f(3\r( ,41),4)或eq \f(3\r( ,41),2). 类型2　课本知识拓展类几何探究题 2.(2024·河南)综合与实践 在学习特殊四边形的过程中，我们积累了一定的研究经验.请运用已有经验，对“邻等对补四边形”进行研究. 定义：至少有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做邻等对补四边形. (1)操作判断 用分别含有30°和45°角的直角三角形纸板拼出如图①～④所示的4个四边形，其中是邻等对补四边形的有 (填序号). (2)性质探究 根据定义可得出邻等对补四边形的边、角的性质.下面研究与对角线相关的性质. 如图⑤，四边形ABCD是邻等对补四边形，AB＝AD，AC是它的一条对角线. ①写出图中相等的角，并说明理由； ②若BC＝m，DC＝n，∠BCD＝2θ，求AC的长(用含m，n，θ的式子表示). (3)拓展应用 如图⑥，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，分别在边BC，AC上取点M，N，使四边形ABMN是邻等对补四边形.当该邻等对补四边形仅有一组邻边相等时，请直接写出BN的长. INCLUDEPICTURE"24ZT122.TIF" 　　 解：(1)②④. (2)①∠ACD＝∠ACB， 理由：如图，延长CB至点E，使BE＝DC，连接AE， ∵四边形ABCD是邻等对补四边形， ∴∠ABC＋∠D＝180°. ∵∠ABC＋∠ABE＝180°， ∴∠ABE＝∠D. ∵AB＝AD， ∴△ABE≌△ADC(SAS)， ∴∠E＝∠ACD，AE＝AC， ∴∠E＝∠ACB， ∴∠ACD＝∠ACB. ②如图，过A作AF⊥EC于F， ∵AE＝AC， ∴CF＝eq \f(1,2)CE＝eq \f(1,2)(BC＋BE)＝eq \f(1,2)(BC＋DC)＝eq \f(m＋n,2). ∵∠BCD＝2θ， ∴∠ACD＝∠ACB＝θ. 在Rt△AFC中，cos θ＝eq \f(CF,AC)， ∴AC＝eq \f(CF,cos θ)＝eq \f(m＋n,2cos θ)， AC的长为eq \f(m＋n,2cos θ). (3)eq \f(12,5) eq \r( ,2)或eq \f(12,7) eq \r( ,2). 类型3　实践操作类几何探究题 3.(2022·河南)综合与实践 综合与实践课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动. (1)操作判断 操作一：对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展平； 操作二：在AD上选一点P，沿BP折叠，使点A落在矩形内部点M处，把纸片展平，连接PM，BM. 根据以上操作，当点M在EF上时，写出图①中一个30°的角： . (2)迁移探究 小华将矩形纸片换成正方形纸片，继续探究，过程如下： 将正方形纸片ABCD按照(1)中的方式操作，并延长PM交CD于点Q，连接BQ. ①如图②，当点M在EF上时，∠MBQ＝ °，∠CBQ＝ °； ②改变点P在AD上的位置(点P不与点A，D重合)，如图③，判断∠MBQ与∠CBQ的数量关系，并说明理由. (3)拓展应用 在(2)的探究中，已知正方形纸片ABCD的边长为8 cm，当FQ＝1 cm时，直接写出AP的长. INCLUDEPICTURE"24ZT131.TIF" 解：(1)∠EMB或∠CBM或∠ABP或∠PBM(任写一个即可). (2)②∠MBQ＝∠CBQ，理由如下： ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝BC，∠BAD＝∠C＝90°， 由折叠可得AB＝BM，∠BAD＝∠BMP＝90°， ∴BM＝BC，∠BMQ＝∠C＝90°. 又∵BQ＝BQ， ∴Rt△BCQ≌Rt△BMQ(HL)， ∴∠CBQ＝∠MBQ. (3)AP的长为eq \f(40,11) cm或eq \f(24,13) cm. 类型4　类比探究类几何探究题 4.(2020·河南)将正方形ABCD的边AB绕点A逆时针旋转至AB′，记旋转角为α，连接BB′，过点D作DE垂直于直线BB′，垂足为点E，连接DB′，CE. (1)如图①，当α＝60°时，△DEB′的形状为 ，连接BD，可求出eq \f(BB′,CE)的值为 . eq \r( ,2) (2)当0°＜α＜360°且α≠90°时， ①(1)中的两个结论是否仍然成立？如果成立，请仅就图②的情形进行证明；如果不成立，请说明理由. ②当以点B′，E，C，D为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出eq \f(BE,B′E)的值. 　 解：(2)①两结论仍然成立. 证明：连接BD，如图， ∵AB＝AB′，∠BAB′＝α，∴∠AB′B＝90°－eq \f(α,2). ∵∠B′AD＝α－90°，AD＝AB′，∴∠AB′D＝135°－eq \f(α,2)， ∴∠EB′D＝∠AB′D－∠AB′B＝135°－eq \f(α,2)－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(90°－\f(α,2)))＝45°. ∵DE⊥BB′，∴∠EDB′＝∠EB′D＝45°，∴△DEB′是等腰直角三角形，∴eq \f(DB′,DE)＝eq \r( ,2). ∵四边形ABCD是正方形，∴eq \f(BD,CD)＝eq \r( ,2)，∠BDC＝45°，∴eq \f(BD,CD)＝eq \f(DB′,DE). ∵∠EDB′＝∠BDC，∴∠EDB′＋∠EDB＝∠BDC＋∠EDB，即∠B′DB＝∠EDC，∴△B′DB∽△EDC，∴eq \f(BB′,CE)＝eq \f(BD,CD)＝eq \r( ,2). ②eq \f(BE,B′E)＝3或1. 5.(2024·新疆)【探究】 (1)已知△ABC和△ADE都是等边三角形. ①如图①，当点D在BC上时，连接CE.请探究CA，CE和CD之间的数量关系，并说明理由. ②如图②，当点D在线段BC的延长线上时，连接CE.请再次探究CA，CE和CD之间的数量关系，并说明理由. INCLUDEPICTURE"24ZT139.TIF" 　 (2)如图③，等边三角形ABC中，AB＝6，点E在AC上，CE＝2eq \r( ,3).点D是直线BC上的动点，连接DE，以DE为边在DE的右侧作等边三角形DEF，连接CF.当△CEF为直角三角形时，请直接写出BD的长. 解：(1)①CE＋CD＝CA.理由如下，∵△ABC和△ADE是等边三角形，∴AB＝AC＝BC，AD＝AE＝DE，∠BAC＝∠DAE＝60°，∴∠BAC－∠DAC＝∠DAE－∠DAC，∴∠BAD＝∠CAE，在△ABD和△ACE中，eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(AB＝AC，,∠BAD＝∠CAE，,AD＝AE，))∴△ABD≌△ACE(SAS)，∴CE＝BD. ∵BD＋CD＝BC，∴CE＋CD＝CA. ②CA＋CD＝CE.理由如下，∵△ABC和△ADE是等边三角形，∴AB＝AC＝BC，AD＝AE＝DE，∠BAC＝∠DAE＝60°，∴∠BAC＋∠DAC＝∠DAE＋∠DAC，∴∠BAD＝∠CAE，在△ABD和△ACE中，eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(AB＝AC，,∠BAD＝∠CAE，,AD＝AE，))∴△ABD≌△ACE(SAS)，∴CE＝BD. ∵CB＋CD＝BD，∴CA＋CD＝CE. (2)6－eq \r( ,3)或6＋2eq \r( ,3). $$