第2部分 (2) 专题8　函数的实际问题 2025年九年级中考数学人教版一轮复习专题复习课件（河南）

第二部分　河南中考重难题型突破篇 (二)解答题型突破 专题八　函数的实际问题 谢 谢 观 看 类型1　一次函数的实际应用题 1.(2024·安阳二模)河南是中华文明和黄河文化的发源地之一，其地域广阔，景色奇特.为了充分挖掘旅游资源，某景区准备购进一批印有当地风土人情的太阳帽和旅行包.已知购进4个太阳帽和3个旅行包需要61元，购进7个太阳帽和5个旅行包需要103元. (1)求每个太阳帽、旅行包的进价. (2)该景区太阳帽售价为6元，旅行包售价为20元.景区计划购进太阳帽和旅行包共700个，且购进太阳帽的数量不少于旅行包数量的1.5倍，景区该如何设计进货方案，可使销售所获利润最大？最大利润为多少？ 解：(1)设每个太阳帽的进价是m元，每个旅行包的进价是n元， 根据题意得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(4m＋3n＝61，,7m＋5n＝103，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(m＝4，,n＝15，)) ∴每个太阳帽的进价是4元，每个旅行包的进价是15元. (2)设购进x个太阳帽，所获利润为w元，则购进旅行包(700－x)个， ∵购进太阳帽的数量不少于旅行包数量的1.5倍， ∴x≥1.5(700－x)， 解得x≥420， 根据题意得w＝(6－4)x＋(20－15)(700－x)＝－3x＋3 500. ∵－3＜0， ∴w随x的增大而减小， ∴当x＝420时，w取最大值为－3×420＋3 500＝2 240， 此时700－x＝700－420＝280， ∴购进420个太阳帽，280个旅行包，可使销售所获利润最大，最大利润为2 240元. 2.(2024·许昌二模)某超市购进甲、乙两种水果的价格分别为10元/kg、15元/kg，乙种水果在销售30 kg后采取降价销售，这个价格保持到销售完这批水果.这两种水果的销售额y(单位：元)与销售量x(单位：kg)之间的函数关系如图所示. (1)甲种水果每千克的销售价为 元； (2)求乙种水果销售额y(单位：元)与销售量x(单位：kg) 之间的函数解析式，并写出自变量x的取值范围； (3)当两种水果销售额和销售量均相同，且销售额大于0时， 请直接写出销售这两种水果的利润和. 解：(1)根据图象，得当甲种水果销售120千克时，销售额为2 400元， 故单价为eq \f(2 400,120)＝20元. 故答案为20. (2)当0≤x≤30时，是正比例函数， 设解析式为y＝mx， 把点(30,750)代入解析式，得750＝30m， 解得m＝25，故解析式为y＝25x. 当30＜x≤120时，是一次函数， 设解析式为y＝kx＋b， 把点(30,750)，(120,2 100)代入解析式， 得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(30k＋b＝750，,120k＋b＝2 100，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(k＝15，,b＝300，)) 故解析式为y＝15x＋300. 综上，y＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(25x，0≤x≤30，,15x＋300，30<x≤120.)) (3)900元. 3.(2024·开封一模)近年来，市民交通安全意识逐步增强，头盔需求量增大.某生产厂家销售的甲、乙两种头盔，已知甲种头盔比乙种头盔的单价多11元，购进甲种头盔10个，乙种头盔20个，共需1 730元. (1)求甲、乙两种头盔的单价. (2)某商店欲购进两种头盔共100个，正好赶上厂家进行促销活动，其方式如下：甲种头盔按单价的八折出售，乙种头盔每个降价6元出售.如果此次购买甲种头盔的数量不低于乙种头盔的数量，那么应购买多少个甲种头盔可以使此次购买头盔的总费用最少？最少费用是多少元？ 解：(1)设购买乙种头盔的单价为x元，则甲种头盔的单价为(x＋11)元， 根据题意，得10(x＋11)＋20x＝1 730， 解得x＝54， x＋11＝65， 答：甲种头盔的单价是65元，乙种头盔的单价是54元. (2)设购买m个甲种头盔，则购买(100－m)个乙种头盔，设总费用为w元， 则m≥100－m， 解得m≥50， w＝0.8×65m＋(54－6)(100－m)＝4m＋4 800， ∵4＞0， ∴w随m的增大而增大， ∴m＝50时，w取最小值，最小值＝4×50＋4 800＝5 000. 答：应购买50个甲种头盔可以使此次购买头盔的总费用最少，最少费用是5 000元. 4.(2024·鹤壁一模)围棋起源于中国，被列为“琴棋书画”四大文化之一；象棋也是中华民族的文化瑰宝，它源远流长，趣味浓厚.国家“双减”政策实施后，某校为参加棋类社团的同学购买象棋和围棋，其中购买40副象棋和20副围棋共花费2 600元，已知购买1副象棋比1副围棋少花10元. (1)求每副象棋和围棋的价格. (2)随着社团活动的开展和同学们对棋类运动的热爱，学校决定再次购买40副围棋和m(m≥20)副象棋，在购买时，恰逢商场推出了优惠活动，活动的方案如下： 方案一：购买围棋超过20副时，超过部分每购买1副围棋赠送1副象棋； 方案二：按购买总金额的八折付款. 分别求出按照方案一、二购买的总费用y1、y2关于m的函数解析式. (3)请直接写出该校选择哪种方案购买更划算. 解：(1)设每副象棋的价格是x元，每副围棋的价格是y元， 根据题意得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(40x＋20y＝2 600，,y－x＝10，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝40，,y＝50.)) 答：每副象棋的价格是40元，每副围棋的价格是50元. (2)根据购买围棋超过20副时，超过部分每购买1副围棋赠送1副象棋， 可得y1＝50×40＋40(m－20)＝40m＋1 200. 根据按购买总金额的八折付款， 可得y2＝0.8×(50×40＋40m)＝32m＋1 600. (3)当20≤m＜50时，选择方案一更划算；当m＝50时，两种方案一样划算；当m＞50时，选择方案二更划算. 类型2　二次函数图象的实际应用题 5.(2024·信阳二模)跳大绳是大家喜欢的传统体育运动，绳子两端由两人拉着旋转，绳子离开地面时呈抛物线状，有一次跳大绳，甲、乙两人的手A，B离地面高度都为1米，现以地面为x轴，过点A向地面作的垂线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，AB＝6米，绳子甩到最高处C点离地面2.8米，此时所有点都处于同一平面内. (1)求此时绳子所对应的抛物线表达式. (2)身高1.55米的小红跳入绳中，在绳子的正下方来回跳动， 则她离A点的水平方向上的最小距离和最大距离分别是多少米？ (3)若身高与小红相同的一群同学想同时跳绳，相互间的间距为 0.8米，则此绳最多可容纳多少人一起跳？ 解：(1)根据题意，由抛物线的对称性可知顶点C(3，2.8)，设抛物线解析式为y＝a(x－3)2＋2.8， 把点A(0,1)代入y＝a(x－3)2＋2.8中， 解得a＝－0.2， ∴绳子所对应的抛物线表达式为y＝－0.2(x－3)2＋2.8. (2)当y＝1.55时，1.55＝－0.2(x－3)2＋2.8，整理得(x－3)2＝6.25， 解得x1＝0.5，x2＝5.5， ∴她离A点的水平方向上最小距离为0.5米，最大距离为5.5米. (3)5.5－0.5＝5(米)，5÷0.8＝6.25， 答：此绳最多可容纳7人一起跳. 6.护林员在一个斜坡上的点A处安装自动浇灌装置(其高度忽略不计)为坡地AB进行浇灌，OA＝10 m，点A处的自动浇灌装置喷出的水柱呈抛物线形.已知水柱在距出水口A的水平距离为6 m时，达到距离地面OB的竖直高度的最大值为13 m.设喷出的水柱距出水口的水平距离为x(m)，距地面的竖直高度为y(m)，以坡底B所在的水平方向为x轴，A处所在的竖直方向为y轴建立平面直角坐标系，原点为O，如图所示.经过测量，可知斜坡AB的函数表达式近似为y＝－eq \f(1,2)x＋10. (1)求图中水柱所在抛物线的函数表达式； (2)若该装置浇灌的最远点C离地面的竖直高度为1 m，求此时喷到C处的水柱距出水口的水平距离； (3)给该浇灌装置安装一个支架，可调节浇灌装置的高度，则水柱恰好可以覆盖整个坡地AB时，安装的支架的高度为多少米？ 解：(1)由题意，可知A(0,10)，抛物线的顶点坐标为(6,13)，∴设抛物线的函数表达式为y＝a(x－6)2＋13. 把A(0,10)代入，得36a＋13＝10，解得a＝－eq \f(1,12). ∴水柱所在抛物线的函数表达式为y＝－eq \f(1,12)(x－6)2＋13. (2)对于直线AB：y＝－eq \f(1,2)x＋10，当y＝1时，1＝－eq \f(1,2)x＋10，解得x＝18. ∴喷到C处的水柱距出水口的水平距离为18 m. (3)设安装的支架高度为h米，即抛物线向上平移h个单位长度. ∴平移后的抛物线表达式为y＝－eq \f(1,12)(x－6)2＋13＋h. 对于y＝－eq \f(1,2)x＋10，当y＝0时，0＝－eq \f(1,2)x＋10，解得x＝20. ∴B(20,0). 将B(20,0)代入y＝－eq \f(1,12)(x－6)2＋13＋h，得－eq \f(1,12)×(20－6)2＋13＋h＝0，解得h＝eq \f(10,3). ∴水柱恰好可以覆盖整个坡地AB时，安装的支架的高度为eq \f(10,3)米. 7.(2024·平顶山三模)小明发现有一处隧道的截面由抛物线的一部分和矩形构成，他对此展开研究：测得矩形的宽为OC＝2 m，长为OA＝8 m，最高处点P到地面的距离PQ为6 m.建立如图所示的平面直角坐标系，并设抛物线的表达式为y＝a(x－h)2＋k.其中y(m)表示抛物线上任意一点到地面OA的高度，x(m)表示抛物线上任意一点到隧道一边OC的距离. INCLUDEPICTURE"24ZT110.TIF" 　 (1)求抛物线的解析式. (2)为了保障货车在道路上的通行能力及行车安全，根据我国交通运输部的相关规定，普通货车的宽度应在2 m～2.55 m之间，高度应在3.8 m～4.2 m之间.小明发现隧道为单行道，一货车EFGH沿隧道中线行驶，宽度FG为2.4 m，货车的最高处与隧道上部的竖直距离DE约为1.3 m.通过计算，判断这辆货车的高度是否符合规定. 解：(1)由题意得，抛物线的顶点为P(4,6)， ∴可设抛物线为y＝a(x－4)2＋6. 又过C(0,2)，∴2＝a(0－4)2＋6. ∴a＝－eq \f(1,4). ∴抛物线的解析式为y＝－eq \f(1,4)(x－4)2＋6. (2)∵FG＝2.4，∴FQ＝1.2，OF＝4－1.2＝2.8. ∴F(2.8,0). 可设D(2.8，d)，∴d＝－eq \f(1,4)(2.8－4)2＋6＝5.64. ∴D(2.8,5.64)，即DF＝5.64 m. ∴EF＝DF－DE＝5.64－1.3＝4.34(m). ∵4.34 m＞4.2 m， ∴这辆货车的高度不符合规定. 类型3　二次函数的利润问题 8.(2024·安阳模拟)安阳是“文字之都”，甲骨文文创产品也日益成为甲骨文文化传播的使者，增加了人们理解甲骨文文化的途径.一家文创店某款甲骨文纪念品进价为每件30元.如果以单价60元销售，每天可卖出20件.调查发现，该纪念品的售价每降价1元，日销售量就会增加2件.设该纪念品每件降低m元(m为正整数)，日销量利润为w元. (1)当m为多少时，日销售利润保持不变？ (2)当m为多少时，日销售利润最大？最大利润是多少元？ 解：(1)由题意，得(60－30－m)(20＋2m)＝(60－30)×20， 整理得m2－20m＝0， 解得m1＝20，m2＝0(舍去)， 答：当m为20时，日销售利润保持不变. (2)w＝(30－m)(20＋2m)＝－2m2＋40m＋600＝－2(m－10)2＋800， ∵－2＜0， ∴当m＝10时，w有最大值800. 答：当m为10时，日销售利润最大，最大值为800元. $$