第1部分 微专题9　线段最值问题 课件 2025年中考数学人教版一轮复习专题复习（河南）

第一部分　河南中招考点梳理篇 微专题九　线段最值问题 4 3 3 3 谢 谢 观 看 模型归纳 【模型一】利用“点到直线的所有线段中，垂线段最短”求最值 类型一　一动一定求最值 问题：如图，直线l外一定点A和直线l上一动点B，求点A，B之间距离的最小值. 模型解读：通常过点A作直线l的垂线AB，利用垂线段最短解决问题，即连接直线外一点和直线上各点的所有线段中，垂线段最短. 类型二　两定一动求最值 问题：如图，A，P为直线l上的两点，A为定点，P为动点，B为直线l外的一定点，求kPA＋BP(0＜k＜1)的最小值. 模型解读：如图，构造∠PAN，使得sin∠PAN＝k，过点P作PE⊥AN于点E，从而利用kPA＝sin∠PAN·PA＝PE，使得kPA＋BP＝PE＋BP，过点B作BF⊥AN于点F，交直线l于点P′，利用“垂线段最短”转化为求BF的长. 类型三　两动一定求最值 问题：如图①，P是∠AOB的内部一定点，在OA上找一点M，在OB上找一点N，使得PN＋MN的值最小. 模型解读：要使PN＋MN的值最小，设法将PN，MN转化在同一条直线上，如图②，作点P关于OB的对称点P′，作P′M⊥OA于点M，交OB于点N，利用“垂线段最短”求解即可. INCLUDEPICTURE"24WT91.TIF" 　　　 【模型二】利用“两点之间线段最短”求最值 1.“一线两点”型(一动＋两定) 类型一　异侧线段和最小值问题 问题：两定点A，B位于直线l异侧，在直线l上找一点P，使PA＋PB值最小. 模型解读：根据两点之间线段最短，PA＋PB的最小值即为线段AB的长.连接AB交直线l于点P，点P即为所求. 类型二　同侧线段和最小值问题(将军饮马模型) 问题：两定点A，B位于直线l同侧，在直线l上找一点P，使得PA＋PB值最小. 模型解读：将两定点同侧转化为异侧问题，同类型一即可解决.作点B关于l的对称点B′，连接AB′，与直线l的交点即为点P. 类型三　同侧差最大值问题 问题：两定点A，B位于直线l同侧，在直线l上找一点P，使得|PA－PB|的值最大. 模型解读：根据三角形任意两边之差小于第三边，|PA－PB|≤AB，当A，B，P三点共线时，等号成立，即|PA－PB|的最大值为线段AB的长.连接AB并延长，与直线l的交点即为点P. 类型四　异侧差最大值问题 问题：两定点A，B位于直线l异侧，在直线l上找一点P，使得|PA－PB|的值最大. 模型解读：将异侧点转化为同侧，同类型三即可解决. 2.“一点两线”型(两动＋一定) 问题：点P是∠AOB的内部一定点，在OA上找一点M，在OB上找一点N，使得△PMN周长最小. 模型解读：要使△PMN周长最小，即PM＋PN＋MN值最小.根据两点之间线段最短，将三条线段转化到同一直线上即可. 3.“两点两线”型(两动＋两定) 问题：点P，Q是∠AOB的内部两定点，在OA上找点M，在OB上找点N，使得四边形PQNM周长最小. 模型解读：要使四边形PQNM周长最小，PQ为定值，即求得PM＋MN＋NQ的最小值即可，需将线段PM，MN，NQ尽可能转化在一条直线上，因此想到作点P关于OA的对称点，点Q关于OB的对称点. 典例分析 例1(一动一定)如图，点P是Rt△ABC斜边AB上的一点，PE⊥AC于点E，PF⊥BC于点F，BC＝5，AC＝12，求线段EF长度的最小值. 解：连接PC. ∵PE⊥AC，PF⊥BC， ∴∠PEC＝∠PFC＝90°，又∵∠ACB＝90°， ∴四边形ECFP是矩形，∴EF＝PC， ∴当PC最小时，EF也最小，即当CP⊥AB时，PC最小， ∵BC＝5，AC＝12，∴AB＝13， ∴eq \f(1,2)AC·BC＝eq \f(1,2)AB·PC，∴PC＝eq \f(60,13). ∴线段EF长度的最小值为eq \f(60,13). 例2(两定一动)如图，在菱形ABCD中，AB＝AC＝10，对角线AC，BD相交于点O，点M在线段AC上，且AM＝3，点P为线段BD上的一个动点，则MP＋eq \f(1,2)PB的最小值是 . eq \f(7\r( ,3),2) 例3(两动一定)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，BC＝8，AD是∠BAC的平分线，若点P，Q分别是AD和AC上的动点，则PC＋PQ的最小值是 . 例4(“一线两点”型) 【问题提出】 (1)如图①，某牧马人要从A地前往B地，途中要到旁边一条笔直的河边l喂马喝一次水，经测量A点到河边的距离AC为300米，B点到河边的距离BD为900米，且点C，D间距离为900米，请计算该牧马人行走的最短路径长. 【问题探究】 (2)如图②，在△ABC中，AB＝AC，BC＝6，AC的中垂线分别交AB，AC于E，F，△ABC的面积为24，若点D是BC边的中点，点M是线段EF上的一动点，请求出△CDM周长的最小值. 【问题解决】 (3)如图③所示，某工厂生产车间的平面示意图为四边形ABCD，∠C＝∠D＝90°，AD＝70 m，CD＝60 m，BC＝110 m，在AB的中点处有一个出货口M，在BC上有一个质检口N，点D为货物包装口.为了使得该生产车间出货——质检——包装过程达到最高效率，现要求从出货口M到质检口N的距离MN与质检口到包装口D的距离ND之和最短(即MN＋ND最短).请根据要求计算出MN＋ND的最小值为多少？(结果保留根号) 　　　　 解：(1)如图①中，作点A关于直线l的对称点A′，连接BA′交直线l于点P，连接PA，此时PA＋PB的值最小，最小值为线段BA′的长. 过点B作BT⊥AA′交A′A的延长线于点T. 在Rt△A′BT中，BT＝CD＝900米，A′T＝1 200米， ∴BA′＝eq \r( ,BT2＋A′T2)＝eq \r( ,9002＋1 2002)＝1 500(米)， ∴该牧马人的最短路径长为1 500米. (2)如图②中，连接AD，AM. ∵AB＝AC，AD是△ABC的中线， ∴AD⊥BC，BD＝CD＝3， ∵S△ABC＝eq \f(1,2)BC·AD＝24，BC＝6， ∴AD＝8， ∵EF垂直平分线段AC， ∴MA＝MC， ∴MD＋MC＝AM＋MD≥AD＝8， ∴MD＋MC的最小值为8， ∴△CDM的周长的最小值为11. (3)如图③中，延长DC到R，使得CR＝DC，连接MR，过点M作MQ⊥CD于点Q. ∵BC⊥DR，CD＝CR， ∴ND＝NR， ∴MN＋ND＝MN＋NR≥MR， ∵AM＝BM，AD∥MQ∥BC， ∴DQ＝CQ＝30 m， ∴MQ＝eq \f(1,2)(AD＋BC)＝90(m)， ∴MR＝eq \r( ,MQ2＋QR2)＝eq \r( ,902＋902)＝90eq \r( ,2)(m)， ∴MN＋DN≥90eq \r( ,2)， ∴MN＋ND的最小值为90eq \r( ,2) m. 例5(“两点两线”型) 如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6，点E在AB上，且AE＝1，点F，G分别为BC，DC上的动点，连接EC，FE，FG，点M为△EBC的外心. (1)求点M到AB的距离； (2)若EF⊥FG，且FC＝2BF，求DG的长； (3)连接AG，求四边形AEFG周长的最小值. INCLUDEPICTURE"24WT108.TIF" 　　 解：(1)如图，作MN⊥AB于N， ∵点M为△EBC的外心，∴EM＝MC，∵MN∥BC，∴EN＝BN， ∴MN＝eq \f(1,2)BC＝3； (2)∵EF⊥FG， ∴∠GFC＋∠EFB＝∠BEF＋∠EFB＝90°， ∴∠GFC＝∠BEF， ∵∠EBF＝∠FCG，∴△EBF∽△FCG， ∴BF∶CG＝EB∶FC， ∴2∶CG＝3∶4， ∴CG＝eq \f(8,3)，∴DG＝eq \f(4,3)； (3)作A关于DC的对称点Q，连接GQ， 作E关于BC的对称点P，连接PF，连接PQ， 当点P，F，G，Q共线时，四边形AEFG的周长最小， ∵PQ2＝PA2＋QA2， ∴PQ2＝72＋122， ∴PQ＝eq \r( ,193)， ∴四边形AEFG的周长最小值为eq \r( ,193)＋1. 变式训练 1.如图，已知菱形ABCD的边长为4，∠ABC＝60°，点N为BC的中点，点M是对角线AC上一点，则MB＋MN的最小值为 . 2eq \r( ,7) 2.如图，抛物线y＝ax2－bx－4与x轴交于A(－1,0)，B(4,0)两点，与y轴交于点C，直线l为该抛物线的对称轴，点M为直线l上的一点，则MA＋MC的最小值为 . 4eq \r( ,2) 3.如图，在边长为2的等边△ABC中，点P，M，N分别是BC，AB，AC上的动点，则△PMN周长的最小值为 . 4.如图，正方形ABCD内接于⊙O，线段MN在对角线BD上运动，若⊙O的面积为2π，MN＝1，则AM＋CN的最小值为 . $$