第三章　函数 2025年九年级中考数学人教版一轮复习专题复习课件（河南）

第一部分　河南中招考点梳理篇 第三章　函数 整合点(三)　一次函数及其应用(2课时) 单击此处编辑母版标题样式 单击此处编辑母版文本样式 二级 三级 四级 五级 目录 CONTENTS 1 立足课标★明方向 2 考点梳理★固基础 3 聚焦河南★瞄靶向 4 预测河南★押考前 y＝x(答案不唯一) y＝2x(答案不唯一) B D A B B A 谢 谢 观 看 1.结合具体情境体会一次函数的意义，能根据已知条件确定一次函数的表达式，会利用待定系数法确定一次函数的表达式. 2.能画一次函数的图象，根据一次函数的图象和表达式y＝kx＋b(k≠0)探索并理解k＞0和k＜0时图象的变化情况，理解正比例函数.(2022版课标调整) 3.体会一次函数与二元一次方程的关系. 4.能用一次函数解决简单实际问题. 立足课标★明方向 考点1　一次函数的图象与性质(重点) 函数名称 正比例函数 一次函数 解析式 y＝kx(k为常数，k≠0) y＝kx＋b(k，b为常数，k≠0) 图象形状及特点 过原点的一条直线 过点(0，b)且平行于直线y＝kx的一条直线 作图方法 过点(0,0)，(1，k)作直线 过点(0，b)，（－eq \f(b,k)，0）作直线 考点梳理★固基础 考点2　一次函数解析式的确定 常用方法 待定系数法 一般步骤 一设：设出一次函数解析式y＝kx＋b； 二列：找出函数图象上的两个点的坐标，代入y＝kx＋b中，得到二元一次方程组； 三解：解这个二元一次方程组，得k，b； 四还原：将k，b的值代入y＝kx＋b中即可 易中考·总结全 对于正比例函数y＝kx(k≠0)，只需找出函数图象上的一点(非原点)，即可确定k的值. 考点3　一次函数图象的平移 考点4　一次函数与方程(组)、一元一次不等式的关系 一次函数与一元一次方程的关系 一次函数y＝kx＋b的图象与x轴交点的横坐标是方程kx＋b＝0的解 一次函数与二元一次方程组的关系 方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(y＝k1x＋b1，,y＝k2x＋b2))的解是一次函数y＝k1x＋b1与y＝k2x＋b2的图象交点的横、纵坐标 一次函数与一元一次不等式的关系 1.从“数”上看：(1)kx＋b＞0的解集是y＝kx＋b中，y＞0时x的取值范围； (2)kx＋b＜0的解集是y＝kx＋b中，y＜0时x的取值范围. 2.从“形”上看： (1)kx＋b＞0的解集是函数y＝kx＋b的图象位于x轴上方部分对应的点的横坐标； (2)kx＋b＜0的解集是函数y＝kx＋b的图象位于x轴下方部分对应的点的横坐标 考点5　一次函数的实际应用 解答步骤 (1)设出实际问题中的变量； (2)建立一次函数关系式； (3)确定自变量的取值范围； (4)利用函数的性质解决问题； (5)检验所求解是否符合题意并作答 常见题型 (1)根据实际问题中给出的数据列出相应的函数解析式，解决实际问题； (2)利用一次函数的增减性对实际问题中的方案进行比较； (3)结合实际问题的函数图象解决实际问题. 注意：①运用一次函数的有关知识解决实际问题的关键是结合方程、不等式的有关知识求解；②在确定一次函数的解析式时，要注意自变量的取值范围应受实际条件的限制 课时1　一次函数的图象与性质 命题点　　一次函数的图象与性质(7年2考) 1.(2022·河南)请写出一个y随x的增大而增大的一次函数的表达式： . 2.(2021·河南)请写出一个图象经过原点的函数的解析式： . 聚焦河南★瞄靶向 1.(2024·辽宁)如图，在平面直角坐标系xOy中，菱形AOBC的顶点A在x轴负半轴上，顶点B在直线y＝eq \f(3,4)x上，若点B的横坐标是8，则点C的坐标为(　 　) A.(－1,6)　　　 B.(－2,6) C.(－3,6)　　　 D.(－4,6) 预测河南★押考前 2.(2024·甘孜州)在平面直角坐标系中，一次函数y＝x＋1的图象不经过的象限为(　 　) A.第一象限　　　 B.第二象限 C.第三象限　　　 D.第四象限 3.(2024·长沙)对于一次函数y＝2x－1，下列说法正确的是(　 　) A.它的图象与y轴交于点(0，－1) B.y随x的增大而减小 C.当x＞eq \f(1,2)时，y＜0 D.它的图象经过第一、二、三象限 4.(2024·广东)已知不等式kx＋b＜0的解集是x＜2，则一次函数y＝kx＋b的图象大致是(　 　) 5.(2024·山西)已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)都在正比例函数y＝3x的图象上，若x1＜x2，则y1与y2的大小关系是(　 　) A.y1＞y2　　　 B.y1＜y2 C.y1＝y2　　　 D.y1≥y2 6.(2024·威海)同一条公路连接A，B，C三地，B地在A，C两地之间.甲、乙两车分别从A地、B地同时出发前往C地.甲车速度始终保持不变，乙车中途休息一段时间，继续行驶.如图表示甲、乙两车之间的距离y(km)与时间x(h)的函数关系.下列结论正确的是(　 　) A.甲车行驶eq \f(8,3) h与乙车相遇 B.A，C两地相距220 km C.甲车的速度是70 km/h D.乙车中途休息36分钟 7.(2024·广安)已知，直线l：y＝eq \f(\r( ,3),3)x－eq \f(\r( ,3),3)与x轴相交于点A1，以OA1为边作等边三角形OA1B1，点B1在第一象限内，过点B1作x轴的平行线与直线l交于点A2，与y轴交于点C1，以C1A2为边作等边三角形C1A2B2(点B2在点B1的上方)，以同样的方式依次作等 边三角形C2A3B3、等边三角形C3A4B4……则点A2 024的横坐标为 . eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)))2 023 课时2　一次函数的实际应用 聚焦河南★瞄靶向 命题点　　一次函数的实际应用(7年2考) 1.(2020·河南)暑期将至，某健身俱乐部面向学生推出暑期优惠活动，活动方案如下. 方案一：购买一张学生暑期专享卡，每次健身费用按六折优惠； 方案二：不购买学生暑期专享卡，每次健身费用按八折优惠. 设某学生暑期健身x(次)，按照方案一所需费用为y1(元)， 且y1＝k1x＋b；按照方案二所需费用为y2(元)，且y2＝k2x. 它们的函数图象如图所示. (1)求k1和b的值，并说明它们表示的实际意义. (2)求打折前的每次健身费用和k2的值. (3)八年级学生小华计划暑期前往该俱乐部健身8次，应选择哪种方案所需费用更少？说明理由. 解：(1)∵y1＝k1x＋b的图象过点(0,30)，(10,180)， ∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(b＝30，,10k1＋b＝180，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(k1＝15，,b＝30，)) k1＝15表示的实际意义是购买一张学生暑期专享卡后每次健身费用为15元，b＝30表示的实际意义是购买一张学生暑期专享卡的费用为30元. (2)由题意可得，打折前的每次健身费用为15÷0.6＝25(元)，则k2＝25×0.8＝20. (3)选择方案一所需费用更少.理由如下： 由题意可知，y1＝15x＋30，y2＝20x. 当健身8次时，选择方案一所需费用：y1＝15×8＋30＝150(元)； 选择方案二所需费用：y2＝20×8＝160(元). ∵150＜160， ∴选择方案一所需费用更少. 2.(2018·河南)某校为改善办学条件，计划购进A，B两种规格的书架，经市场调查发现有线下和线上两种购买方式，具体情况如下表： (1)如果在线下购买A，B两种书架20个，共花费5 520元，求A，B两种书架各购买了多少个； (2)如果在线上购买A，B两种书架20个，共花费v元，设A种书架购买m个，求v关于m的函数关系式； (3)在(2)的条件下，若购买B种书架的数量不少于A种书架的2倍，请求出花费最少的购买方案，并计算按照这种购买方案线上比线下节约多少元. 解：(1)设购买A种书架x个，则购买B种书架(20－x)个， 根据题意，得240x＋300(20－x)＝5 520， 解得x＝8， ∴20－8＝12， 答：购买A种书架8个，B种书架12个. (2)根据题意，得v＝210m＋250(20－m)＋20m＋30(20－m)＝－50m＋5 600. (3)根据题意，得20－m≥2m，解得m≤eq \f(20,3). ∵－50＜0，∴v随m的增大而减小， ∴当m＝6时，v最小为－300＋5 600＝5 300， ∴花费最少的购买方案是购买A种书架6个，B种书架20－6＝14(个). 线下购买时的花费为240×6＋300×14＝5 640(元)， 5 640－5 300＝340(元)， ∴线上比线下节约340元. 预测河南★押考前 1.(2024·广元)近年来，中国传统服饰备受大家的青睐，走上国际时装周舞台，大放异彩.某服装店直接从工厂购进长、短两款传统服饰进行销售，进货价和销售价如表： 类别 价格　　　 短款 长款 进货价/(元/件) 80 90 销售价/(元/件) 100 120 (1)该服装店第一次用4 300元购进长、短两款服饰共50件，求两款服饰分别购进的件数. (2)第一次购进的两款服饰售完后，该服装店计划再次购进长、短两款服饰共200件(进货价和销售价都不变)，且第二次进货总价不高于16 800元.服装店这次应如何设计进货方案，才能获得最大销售利润，最大销售利润是多少？ 解：(1)由题意，设购进短款服饰x件，购进长款服饰y件， ∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＋y＝50，,80x＋90y＝4 300，))∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝20，,y＝30.)) 答：长款服饰购进30件，短款服饰购进20件. (2)由题意，设第二次购进m件短款服饰，则购进(200－m)件长款服饰， ∴80m＋90(200－m)≤16 800. ∴m≥120. 设利润为w元，则w＝(100－80)m＋(120－90)(200－m)＝－10m＋6 000. ∵－10＜0， ∴w随m的增大而减小. ∴当m＝120时，w最大为－10×120＋6 000＝4 800. 答：当购进120件短款服饰，80件长款服饰时有最大利润，最大利润是4 800元. 2.(2024·甘孜州)端午节是我国的传统节日，有吃粽子的习俗.节日前夕，某商场购进A，B两种粽子共200盒进行销售.经了解，进价与标价如下表所示(单位：元/盒)： 种类 进价 标价 A 90 120 B 50 60 (1)设该商场购进A种粽子x盒，销售两种粽子所得的总利润为y元，求y关于x的函数解析式(不必写出自变量x的取值范围)； (2)若购进的200盒粽子销售完毕，总利润不低于3 000元，请问至少需要购进A种粽子多少盒？ 解：(1)y＝(120－90)x＋(60－50)(200－x) ＝20x＋2 000， ∴y关于x的函数解析式为y＝20x＋2 000. (2)20x＋2 000≥3 000， 解得x≥50， 故若购进的200盒粽子销售完毕，总利润不低于3 000元，至少需要购进A种粽子50盒. 3.(2024·长春)区间测速是指在某一路段前后设置两个监控点，根据车辆通过两个监控点的时间来计算车辆在该路段上的平均行驶速度.小春驾驶一辆小型汽车在高速公路上行驶，其间经过一段长度为20千米的区间测速路段，从该路段起点开始，他先匀速行驶eq \f(1,12)小时，再立即减速以另一速度匀速行驶(减速时间忽略不计)，当他到达该路段终点时，测速装置测得该辆汽车在整个路段行驶的平均速度为100千米/时.汽车在区间测速路段行驶的路程y(千米)与在此路段行驶的时间x(时)之间的函数图象如图所示. INCLUDEPICTURE"24HN89.TIF" 　　　 (1)a的值为 ； eq \f(1,5) (2)当eq \f(1,12)≤x≤a时，求y与x之间的函数关系式； (3)通过计算说明在此区间测速路段内，该辆汽车减速前是否超速(此路段要求小型汽车行驶速度不得超过120千米/时). 解：(2)设当eq \f(1,12)≤x≤eq \f(1,5)时，y与x之间的函数关系式为y＝kx＋b(k≠0)， 则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(\f(1,6)k＋b＝17，,\f(1,5)k＋b＝20，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(k＝90，,b＝2，)) ∴y＝90x＋2(eq \f(1,12)≤x≤eq \f(1,5)). (3)当x＝eq \f(1,12)时，y＝90×eq \f(1,12)＋2＝9.5， ∴减速前的速度为9.5÷eq \f(1,12)＝114(千米/时)， ∵114＜120， ∴这辆汽车减速前没有超速. 4.(2024·包头)如图是1个碗和4个整齐叠放成一摞的碗的示意图，碗的规格都是相同的.小亮尝试结合学习函数的经验，探究整齐叠放成一摞的这种规格的碗的总高度y(单位：cm)随着碗的数量x(单位：个)的变化规律.下表是小亮经过测量得到的y与x之间的对应数据： x/个 1 2 3 4 y/cm 6 8.4 10.8 13.2 (1)依据小亮测量的数据，写出y与x之间的函数表达式，并说明理由； (2)若整齐叠放成一摞的这种规格的碗的总高度不超过28.8 cm，求此时碗的数量最多为多少个. 解：(1)由表中的数据，x每增加1，y的增加量不变， ∴y是x的一次函数. 设y＝kx＋b， 由题意得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(k＋b＝6，,2k＋b＝8.4，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(k＝2.4，,b＝3.6，)) ∴y与x之间的函数表达式为y＝2.4x＋3.6. (2)设碗的数量有x个， 则2.4x＋3.6≤28.8， 解得x≤10.5， ∴x的最大整数解为10. 答：碗的数量最多为10个. $$ 第一部分　河南中招考点梳理篇 第三章　函数 整合点(五)　二次函数(3课时) y＝ax2＋bx＋c y＝a(x－h)2＋k 向上 向下 y轴 左侧 右侧 原点 ＞ ＞ ＜ ＞ ＜ ＝ ＞ ＞ ＞ ＜ ＞ ＞ ＜ ＞ ＜ ＝ 相同 不同 D B C D D －1＜x＜2 B B B B D y＝x2＋1(答案不唯一) (1,4) 80 100 2 000 谢 谢 观 看 1.会用描点法画出二次函数的图象，会利用一些特殊点画出二次函数的草图(2022版课标调整)，通过图象了解二次函数的性质. 2.会根据二次函数的表达式求其图象与坐标轴的交点，知道二次函数系数与图象形状和对称轴的关系(2022版课标调整). 3.会用配方法将数字系数的二次函数的表达式化为y＝a(x－h)2＋k的形式，并能由此得到二次函数图象的顶点坐标，说出图象的开口方向，画出图象的对称轴，得出二次函数的最大值或最小值，并能确定相应自变量的值(2022版课标调整)，并能解决简单实际问题. 立足课标★明方向 课时1　二次函数的图象与性质 考点1　二次函数的概念及解析式 概念 形如① (a，b，c为常数，a≠0)的函数叫做二次函数 解析式的形式 1.一般式：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)； 2.顶点式：② (a≠0)，其中(h，k)是抛物线的顶点坐标； 3.交点式：y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，其中x1，x2是抛物线与x轴交点的横坐标 三种解析式之间的关系 顶点式eq \o(――→,\s\up17(配方))一般式eq \o(――→,\s\up17(因式分解))交点式 考点梳理★固基础 考点2　二次函数的图象与性质 1.二次函数的图象与性质 函数 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0) a>0 a<0 图象 图象开口 开口向上 开口向下 对称轴、顶点 对称轴是直线x＝－eq \f(b,2a)， 顶点坐标是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(b,2a)，\f(4ac－b2,4a))) 增减性 在对称轴的左侧，y随x的增大而减小；在对称轴的右侧，y随x的增大而增大.简记为“左减右增” 在对称轴的左侧，y随x的增大而增大；在对称轴的右侧，y随x的增大而减小. 简记为“左增右减” 最值 y最小值＝eq \f(4ac－b2,4a) y最大值＝eq \f(4ac－b2,4a) 2.二次函数的图象与系数a，b，c的关系 a 决定抛物线的形状和开口方向 a>0，开口③ ； a<0，开口④ a，b 决定抛物线对称轴的位置（对称轴为直线x＝－eq \f(b,2a)） b＝0，对称轴为⑤ ； ab>0(a，b同号)，对称轴在y轴⑥ ； ab<0(a，b异号)，对称轴在y轴⑦ c 决定抛物线与y轴交点的位置 c＝0，抛物线过⑧ ； c>0，抛物线与y轴交于正半轴； c<0，抛物线与y轴交于负半轴 图象 (草图) 结论 a⑨ 0， b⑩ 0， c⑪ 0， Δ⑫ 0 a⑬ 0， b⑭ 0， c⑮ 0， Δ⑯ 0 a⑰ 0， b⑱ 0， c⑲ 0， Δ⑳ 0 aeq \o(○,\s\up8(21)) 0， beq \o(○,\s\up8(22)) 0， ceq \o(○,\s\up8(23)) 0， Δeq \o(○,\s\up8(24)) 0 易中考·总结全 根据二次函数图象判断含a，b，c的关系式与0的关系：a＋b＋c＞0⇔当x＝1时，y＞0；a＋b＋c＜0⇔当x＝1时，y＜0；a＋b＋c＝0⇔当x＝1时，y＝0. 考点3　二次函数解析式的确定 若给定了二次函数的解析式，求解时只需根据相应条件，列出关于未知系数的方程(组)求解即可.若未给定二次函数解析式，则需先设出二次函数解析式.已知任意三点坐标，可设为y ＝ ax2 ＋bx ＋c，其他情况需要根据条件设出恰当的二次函数解析式(a≠0)，常见的几种设法如下： 方法 待定系数法 具体 求法 1.顶点在原点，可设y＝ax2； 2.对称轴是y轴(或顶点在y轴上)，可设y＝ax2＋c； 3.顶点在x轴上，可设y＝a(x－h)2； 4.抛物线过原点，可设y＝ax2＋bx； 5.已知顶点(h，k)时，可设y＝a(x－h)2＋h； 6.已知抛物线与x轴的两交点坐标为(x1,0)，(x2,0)，或已知对称轴及与x轴的一个交点坐标(x1,0)时，利用对称轴可求出另一个交点坐标(x2,0)，可设为交点式y＝a(x－x1)·(x－x2) y＝a(x－h)2＋k 考点4　二次函数图象的平移 二次函数y＝a(x－h)2＋k(a≠0)与y＝a(x－h1)2＋k1(a≠0)的图象关系是形状eq \o(○,\s\up8(25)) ，位置eq \o(○,\s\up8(26)) ，它们可以相互平移得到.平移的规律如下表： 平移前抛物线的解析式 移动方向 平移后抛物线的解析式 简记 y＝a(x－ h)2＋k (a≠0) 向左平移m个单位 eq \o(○,\s\up8(27)) 左加 向右平移m个单位 eq \o(○,\s\up8(28)) 右减 向上平移m个单位 eq \o(○,\s\up8(29)) 上加 向下平移m个单位 eq \o(○,\s\up8(30)) 下减 y＝a(x－h y＝a(x－h y＝a(x－h)2＋k 易中考·总结全 二次函数图象的平移规律，可先将图象对应解析式化为顶点式，平移规律简记为“上加下减(常数项)，左加右减(自变量)”. 考点5　二次函数与一元二次方程、不等式的关系 1.二次函数与一元二次方程的关系 二次函数与 一元二次方 程的转化 根的判别 式的情况 抛物线与x轴交点与一元 二次方程实数根的情况 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，当y＝0时，得一元二次方程ax2＋bx＋c＝0 b2－4ac>0 抛物线与x轴有两个交点(x1,0)，(x2,0)⇔x1，x2是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的两个不相等的实数根 b2－4ac＝0 抛物线与x轴只有一个交点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(b,2a)，0))⇔x＝－eq \f(b,2a)是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的二重实根，即x1＝x2＝－eq \f(b,2a) b2－4ac<0 抛物线与x轴没有交点⇔一元二次方程ax2＋bx＋c＝0没有实数根 2.二次函数与一元一次不等式的关系 (1)ax2＋bx＋c>0的解集⇔抛物线y＝ax2＋bx＋c位于x轴上方部分对应的点的横坐标的取值范围. (2)ax2＋bx＋c<0的解集⇔抛物线y＝ax2＋bx＋c位于x轴下方部分对应的点的横坐标的取值范围. 2.(2019·河南)已知抛物线y＝－x2＋bx＋4经过(－2，n)和(4，n)两点，则n的值为(　 　) A.－2　　　 B.－4　　　 C.2　　　 D.4 命题点1　二次函数的图象与性质(7年3考) 1.(2023·河南)二次函数y＝ax2＋bx的图象如图所示，则一次函数y＝x＋b的图象一定不经过(　 　) A.第一象限　　　 B.第二象限 C.第三象限　　　 D.第四象限 聚焦河南★瞄靶向 3.(2024·广元)如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c过点C(0，－2)，与x轴交点的横坐标分别为x1，x2，且－1＜x1＜0,2＜x2＜3，有下列结论：①a－b＋c＜0；②方程ax2＋bx＋c＋2＝0有两个不相等的实数根；③a＋b＞0；④a＞eq \f(2,3)；⑤b2－4ac＞4a2.其中正确的结论有(　 　) A.1个　　　 B.2个　　　 C.3个　　　 D.4个 命题点2　二次函数解析式的确定 4.(2024·河南省实验中学四模改编)写出一个经过点(1，－1)的抛物线的表达式 . y＝－x2(答案不唯一) 5.(2024·开封一模)如图，已知二次函数y＝－x2＋bx＋c的图象经过点A(4,1)，点B(0,5). (1)求该二次函数的表达式，并求出对称轴和顶点坐标； (2)点C(m，n)在该二次函数图象上，当m≤x≤4时，n的最大值为eq \f(29,4)，最小值为1，请根据图象直接写出m的取值范围. 解：(1)将点A，B的坐标分别代入二次函数y＝－x2＋bx＋c，得方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(－16＋4b＋c＝1，,c＝5，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(b＝3，,c＝5，)) ∴y＝－x2＋3x＋5. ∵y＝－x2＋3x＋5＝－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(3,2)))2＋eq \f(29,4)， ∴对称轴是直线x＝eq \f(3,2)，顶点坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，\f(29,4))). (2)当－x2＋3x＋5＝1时，解得x＝－1或x＝4， 如图，A(4,1)，D(－1,1)，顶点是Eeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，\f(29,4)))， 根据题意，点C应在点E，D之间的函数图象上，可以看出，－1≤m≤eq \f(3,2). 6.(2024·临颍县二模)在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝－x2＋bx＋c(b，c为常数)经过A(1,0)和B(－5,0)两点. (1)求抛物线的函数表达式； (2)当－4≤x≤t时，y的最大值与最小值的差为16，求t的值； (3)已知点M(1,9)，N(－4，n)，若该抛物线与线段MN只有一个公共点，请直接写出n的取值范围. 解：(1)把A(1,0)和B(－5,0)两点代入y＝－x2＋bx＋c， 得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(－1＋b＋c＝0，,－25－5b＋c＝0，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(b＝－4，,c＝5，)) ∴抛物线的函数表达式为y＝－x2－4x＋5. (2)抛物线解析式为y＝－x2－4x＋5＝－(x＋2)2＋9， ∴当x＝－2时，y最大，最大为9， 当x＜－2时，y随x增大而增大， 当x＞－2时，y随x增大而减小. 当t≤－2时，则x＝－4，y最小＝－(－4＋2)2＋9＝5，x＝t，y最大＝－t2－4t＋5， ∵y的最大值与最小值的差为16， ∴－t2－4t＋5－5＝16，方程无解； 当－2＜t≤0时，x＝－4，y最小＝－(－4＋2)2＋9＝5，x＝－2，y最大＝9， ∵y的最大值与最小值的差为16， ∴9－5≠16，不合题意； ∴当t＞0时，x＝t，y最小＝－t2－4t＋5，x＝－2，y最大＝9， ∵y的最大值和最小值的差为16， ∴9－(－t2－4t＋5)＝16，解得t1＝2，t2＝－6(舍去). 综上所述，t的值为2. (3)n＜5或n＝9. 命题点3　二次函数与一元二次方程、不等式的关系 7.如图，已知抛物线y＝ax2＋c与直线y＝kx＋m交于A(－3，y1)，B(1，y2)两点，则关于x的不等式ax2＋c≥－kx＋m的解集是(　 　) A.x≤－3或x≥1　　　 B.x≤－1或x≥3 C.－3≤x≤1　　　 D.－1≤x≤3 8.如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c与直线y＝kx＋h交于A，B两点，下列是关于x的不等式或方程，结论正确的是(　 　) A.ax2＋(b－k)x＋c＞h的解集是2＜x＜4 B.ax2＋(b－k)x＋c＞h的解集是x＞4 C.ax2＋(b－k)x＋c＞h的解集是x＜2 D.ax2＋(b－k)x＋c＝h的解是x1＝2，x2＝4 9.(2025·易中考改编)二次函数y＝ax2＋c的图象与直线y＝kx＋b(k＞0)交于点M(－2，m)，N(1，n)两点(mn＜0)，则关于x的不等式ax2＋kx＋(c－b)＞0的解集为 . 10.(2024·河南省实验中学二模)如图，已知抛物线y＝－x2＋mx＋3经过点M(－2,3). (1)求m的值，并求出此抛物线的顶点坐标； (2)当－3≤x≤0时，直接写出y的取值范围. 解：(1)把M(－2,3)代入y＝－x2＋mx＋3得 －4－2m＋3＝3， 解得m＝－2， ∴y＝－x2－2x＋3＝－(x＋1)2＋4， ∴抛物线的顶点坐标为(－1,4). (2)∵y＝－(x＋1)2＋4， ∴抛物线开口向下，有最大值4. ∵当x＝0时，y＝3，当x＝－3时，y＝0， ∴当－3≤x≤0时，y的取值范围是0≤y≤4. 1.(2024·驻马店一模)一次函数y＝mx＋n的图象如图所示，则二次函数y＝mx2＋nx的图象可能是(　 　) 预测河南★押考前 2.(2024·许昌二模)如图，平面直角坐标系中有两条抛物线，它们的顶点P，Q都在x轴上，平行于x轴的直线与两条抛物线相交于A，B，C，D四点，若AB＝10，BC＝5，CD＝6，则PQ的长度为(　 　) A.7　　　 B.8　　　 C.9　　　 D.10 3.(2024·平顶山三模)如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴交于点A，B，对称轴为直线x＝－2，若点A的坐标为(－5,0)，有下列结论：①点B的坐标为(1,0)；②4a＋2b＋c＜0；③a＝4b；④点(x1，y1)，(x2，y2)在抛物线上，当x1＜x2＜－2时，则y1＞y2.其中正确的个数为(　 　) A.1个　　　 B.2个　　　 C.3个　　　 D.4个 4.(2024·信阳市三模)已知抛物线y＝－x2＋bx＋c过点A(－2，y1)，B(1，y2)，C(3，y3)，且y3＜y1＜y2，则b的取值范围是(　 　) A.－2＜b＜2　　　 B.－1＜b＜1 C.－1＜b＜2　　　 D.－2＜b＜1 5.(2024·南阳二模)若二次函数y＝(x＋h)2＋k的图象如图所示，则点P(h，k)所在的象限是(　 　) A.第一象限　　　 B.第二象限 C.第三象限　　　 D.第四象限 6.(2024·濮阳二模)请写出一个开口向上，且过点(0,1)的抛物线的表达式： . 7.(2024·南阳二模)已知A(0,3)、B(2,3)是抛物线y＝－x2＋bx＋c上两点，该抛物线的顶点坐标是 . 8.(2025·易中考改编)如图，二次函数y＝(x＋2)2＋m的图象与y轴交于点C，点B在抛物线上，且与点C关于抛物线的对称轴对称，已知一次函数y＝kx＋b的图象经过该二次函数图象上的点A(－1,0)及点B. (1)求二次函数与一次函数的解析式； (2)根据图象，写出满足(x＋2)2＋m≥kx＋b的x的取值范围. 解：(1)∵抛物线y＝(x＋2)2＋m经过点A(－1,0)， ∴0＝1＋m，∴m＝－1， ∴抛物线解析式为y＝(x＋2)2－1＝x2＋4x＋3， ∴点C(0,3). ∵对称轴为直线x＝－2，B，C关于对称轴对称， ∴点B(－4,3). ∵直线y＝kx＋b经过点A，B， ∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(－4k＋b＝3，,－k＋b＝0，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(k＝－1，,b＝－1，)) ∴一次函数解析式为y＝－x－1. (2)由图象可知，满足(x＋2)2＋m≥kx＋b的x的取值范围为x≤－4或x≥－1. 9.(2025·易中考预测)已知抛物线y＝ax2－2ax＋b(a＞0)经过A(n－1，y1)，B(2n＋1，y2)两点. (1)若抛物线经过点(0，－3)和(3,0)，求抛物线的解析式； (2)在(1)的条件下，求y2－y1的最小值； (3)若点A，B分别位于抛物线对称轴的左侧和右侧，且y1＜y2，请直接写出n的取值范围. 解：(1)由题意，将(0，－3)和(3,0)代入y＝ax2－2ax＋b， 得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(b＝－3，,9a－6a＋b＝0，))∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a＝1，,b＝－3，)) ∴抛物线的解析式为y＝x2－2x－3. (2)由题意，y2－y1＝(2n＋1)2－2(2n＋1)－3－[(n－1)2－2(n－1)－3] ＝(2n＋1－1)2－4－n2＋4n ＝4n2－4－n2＋4n ＝3n2＋4n－4 ＝3eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(n＋\f(2,3)))2－eq \f(16,3). 又∵3＞0， ∴当n＝－eq \f(2,3)时，y2－y1取最小值－eq \f(16,3). (3)∵a＞0， ∴抛物线的开口向上，且对称轴是直线x＝－eq \f(－2a,2a)＝1. ∴抛物线上的点离对称轴越近所对应的函数值越小. 又y1＜y2， ∴|n－1－1|＜|2n＋1－1|，即|n－2|＜|2n|. ①当n＜0时，2－n＜－2n， ∴n＜－2. ②当0≤n≤2时，2－n＜2n， ∴n＞eq \f(2,3). ∴此时eq \f(2,3)＜n≤2. ③当n＞2时，n－2＜2n， ∴n＞－2. ∴此时n＞2. 又点A，B分别位于抛物线对称轴的左侧和右侧， ∴n－1＜1＜2n＋1. ∴0＜n＜2. 综上，eq \f(2,3)＜n＜2. 10.(2025·易中考改编)已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)中的x和y满足下表： x … －3 －2 －1 0 1 … y … m 0 －1 0 3 … (1)根据表格内容，求该二次函数的表达式和m的值； (2)请在如图所示的平面直角坐标系中画出上述二次函数的图象，并在图象上标出点A(－2,0)，B(1,3)； (3)连接AB，若M是线段AB上(不与点A，B重合)的一个动点，过点M作MN⊥x轴，交抛物线于点N，求线段MN的最大值. 解：(1)∵抛物线过(－2,0)，(0,0)， ∴抛物线的对称轴是直线x＝eq \f(－2＋0,2)＝－1. ∴顶点为(－1，－1). ∴可设抛物线表达式为y＝a(x＋1)2－1. 又过(0,0)，∴a－1＝0.∴a＝1. ∴抛物线表达式为y＝(x＋1)2－1. ∴当x＝－3时，y＝4－1＝3＝m，即m＝3. (2)作图如下. (3)由题意，如图. ∵A(－2,0)，B(1,3)， ∴直线AB的解析式为y＝x＋2. ∵M在线段AB上， ∴故可设M(t，t＋2)(－2＜t＜1). 又MN⊥x轴，N在抛物线y＝(x＋1)2－1＝x2＋2x上，∴N(t，t2＋2t). ∴MN＝t＋2－(t2＋2t)＝－t2－t＋2＝－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t＋\f(1,2)))2＋eq \f(9,4). ∴当t＝－eq \f(1,2)时，MN取最大值，最大值为eq \f(9,4). 课时2　二次函数的图象与性质的综合应用 考点梳理★固基础 考点1　二次函数综合应用求最值或取值范围 对于二次函数的一般式y ＝ ax2 ＋bx ＋c(a≠0)，可将其先化为顶点式y＝aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(b,2a)))2＋eq \f(4ac－b2,4a)(a≠0)，再根据问题进行判断. 1.如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在图象的顶点处取得最大值或最小值，即当x＝－eq \f(b,2a)时，y最值＝eq \f(4ac－b2,4a). 2.如果自变量的取值范围是x1≤x≤x2(x1<x2，x1，x2对应的函数值分别为y1，y2)，那么，首先要看－eq \f(b,2a)是否在自变量x的取值范围内. (1)若－eq \f(b,2a)在此范围内. ①当a>0时，y最小值＝eq \f(4ac－b2,4a).y的最大值要看－eq \f(b,2a)－x1与x2－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(b,2a)))的大小，当前者大时，y最大值＝y1；当后者大时，y最大值＝y2. ②当a<0时，y最大值＝eq \f(4ac－b2,4a).y的最小值要看－eq \f(b,2a)－x1与x2－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(b,2a)))的大小，当前者大时，y最小值＝y1；当后者大时，y最小值＝y2. (2)若－eq \f(b,2a)不在此范围内，则需要考虑函数在x1≤x≤x2范围内的增减性. ①若在此范围内，y随x的增大而增大，则y最小值＝y1，y最大值＝y2； ②若在此范围内，y随x的增大而减小，则y最大值＝y1，y最小值＝y2. 考点2　二次函数与几何图形的综合应用 二次函数与几何图形的综合应用题型很多，最常见的类型有存在性问题、动点问题，涉及的内容有方程、函数、等腰三角形、直角三角形、相似三角形、平行四边形等.解决这类综合应用问题，对应策略如下： (1)存在性问题：注意灵活运用数形结合思想，可先假设存在，然后借助已知条件求解，若有解(求出的结果符合题目要求)，则假设成立，即存在；若无解(推出矛盾或求出的结果不符合题目要求)，则假设不成立，即不存在. (2)动点问题：通常利用数形结合、分类和转化思想，借助图形，切实把握图形运动的全过程，动中取静，选取某一时刻作为研究对象，然后根据题意建立方程模型或函数模型求解. 聚焦河南★瞄靶向 命题点1　二次函数综合应用求最值或取值（7年2考） 1.(2021·河南)如图，抛物线y＝x2＋mx与直线y＝－x＋b相交于点A(2,0)和点B. (1)求m和b的值； (2)求点B的坐标，并结合图象写出不等式x2＋mx＞－x＋b的解集； (3)点M是直线AB上的一个动点，将点M向左平移3个单位长度得到点N，若线段MN与抛物线只有一个公共点，直接写出点M的横坐标xM的取值范围. 解：(1)将点A的坐标代入抛物线表达式，得0＝4＋2m，解得m＝－2， 将点A的坐标代入直线表达式，得0＝－2＋b，解得b＝2. 故m＝－2，b＝2. (2)由(1)得，直线和抛物线的表达式分别为y＝－x＋2，y＝x2－2x， 联立上述两个函数表达式并解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝－1，,y＝3))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝2，,y＝0))(不符合题意，舍去)， 故点B的坐标为(－1,3)， 从图象看，不等式x2＋mx＞－x＋b 的解集为x＜－1或x＞2. (3)－1≤xM＜2 或 xM＝3. 2.(2020·河南)如图，抛物线y＝－x2＋2x＋c与x轴正半轴，y轴正半轴分别交于点A，B，且OA＝OB，点G为抛物线的顶点. (1)求抛物线的解析式及点G的坐标； (2)点M，N为抛物线上两点(点M在点N的左侧)，且到对称轴的距离分别为3个单位长度和5个单位长度，点Q为抛物线上点M，N之间(含点M，N)的一个动点，求点Q的纵坐标yQ的取值范围. 解：(1)∵抛物线y＝－x2＋2x＋c与y轴正半轴交于点B， ∴点B(0，c)，c＞0. ∵OA＝OB＝c，∴点A(c,0)， ∴0＝－c2＋2c＋c， ∴c＝3或0(舍去)， ∴抛物线解析式为y＝－x2＋2x＋3. ∵y＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4， ∴顶点G的坐标为(1,4). (2)∵y＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4， ∴对称轴为直线x＝1，顶点(1,4). ∵点M，N为抛物线上两点(点M在点N的左侧)，且到对称轴的距离分别为3个单位长度和5个单位长度， ∴点M的横坐标为－2或4，点N的横坐标为6， ∴点M坐标为(－2，－5)或(4，－5)，点N坐标为(6，－21). ∵点Q为抛物线上点M，N之间(含点M，N)的一个动点， ∴当M，N在对称轴的同侧时，－21≤yQ≤－5； 当M，N在对称轴的两侧时，－21≤yQ≤4. ∴点Q的纵坐标yQ的取值范围为－21≤yQ≤－5或－21≤yQ≤4. 命题点2　二次函数与几何图形的综合应用（7年2考） 3.(2019·河南)如图，抛物线y＝ax2＋eq \f(1,2)x＋c交x轴于A，B两点，交y轴于点C.直线y＝－eq \f(1,2)x－2经过点A，C. (1)求抛物线的解析式. (2)点P是抛物线上一动点，过点P作x轴的垂线， 交直线AC于点M，设点P的横坐标为m. ①当△PCM是直角三角形时，求点P的坐标. ②作点B关于点C的对称点B′，则平面内存在直线l，使点M，B，B′到该直线的距离都相等.当点P在y轴右侧的抛物线上，且与点B不重合时，请直接写出直线l：y＝kx＋b的解析式.(k，b可用含m的式子表示) 解：(1)当x＝0时，y＝－eq \f(1,2)x－2＝－2，∴点C的坐标为(0，－2). 当y＝0时，－eq \f(1,2)x－2＝0，解得x＝－4，∴点A的坐标为(－4,0). 将A(－4,0)，C(0，－2)代入y＝ax2＋eq \f(1,2)x＋c， 得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(16a－2＋c＝0，,c＝－2，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a＝\f(1,4)，,c＝－2，)) ∴抛物线的解析式为y＝eq \f(1,4)x2＋eq \f(1,2)x－2. (2)①当△PCM是直角三角形时，点P的坐标为(－2，－2)或(6,10). ②直线l的解析式为y＝－eq \f(m＋4,2m－4)x－2或y＝eq \f(－m＋4,2m＋4)x－2或y＝x－eq \f(3,4)m－2. 4.(2018·河南)如图，抛物线y＝ax2＋6x＋c交x轴于A，B两点，交y轴于点C，直线y＝x－5经过点B，C. (1)求抛物线的解析式. (2)过点A的直线交直线BC于点M. ①当AM⊥BC时，过抛物线上一动点P(不与点B，C重合)，作直线AM的平行线交直线BC于点Q，若以点A，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，求点P的横坐标； ②连接AC，当直线AM与直线BC的夹角等于∠ACB的2倍时，请直接写出点M的坐标. INCLUDEPICTURE"24HN138.TIF" 　　 解：(1)当x＝0时，y＝x－5＝－5，则C(0，－5)， 当y＝0时，x－5＝0，解得x＝5，则B(5,0)， 把B(5,0)，C(0，－5)代入y＝ax2＋6x＋c，得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(25a＋30＋c＝0，,c＝－5，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a＝－1，,c＝－5，)) ∴抛物线解析式为y＝－x2＋6x－5. (2)①P点的横坐标为4或eq \f(5＋\r( ,41),2)或eq \f(5－\r( ,41),2). ②点M的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(13,6)，－\f(17,6)))或eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(23,6)，－\f(7,6))). 预测河南★押考前 1.(2024·浙江)已知二次函数y＝x2＋bx＋c(b，c为常数)的图象经过点A(－2,5)，对称轴为直线x＝－eq \f(1,2). (1)求二次函数的表达式； (2)若点B(1,7)向上平移2个单位长度，向左平移m(m＞0)个单位长度后，恰好落在y＝x2＋bx＋c的图象上，求m的值； (3)当－2≤x≤n时，二次函数y＝x2＋bx＋c的最大值与最小值的差为eq \f(9,4)，求n的取值范围. 解：(1)∵二次函数的表达式为y＝x2＋bx＋c， ∴抛物线的对称轴为直线x＝－eq \f(b,2)＝－eq \f(1,2). ∴b＝1. ∴二次函数的表达式为y＝x2＋x＋c. 又二次函数的图象经过点A(－2,5)，∴4－2＋c＝5. ∴c＝3. ∴二次函数的表达式为y＝x2＋x＋3. (2)∵点B(1,7)向上平移2个单位长度，向左平移m个单位长度(m＞0)， ∴平移后的点为(1－m,9). 又(1－m,9)在y＝x2＋x＋3的图象上， ∴9＝(1－m)2＋(1－m)＋3. ∴m＝4或m＝－1(舍去). ∴m＝4. (3)当n＜－eq \f(1,2) 时， ∴最大值与最小值的差为5－eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(n＋\f(1,2)))2＋\f(11,4)))＝eq \f(9,4). ∴n1＝n2＝－eq \f(1,2)，不符合题意，舍去. 当－eq \f(1,2)≤n≤1 时， ∴最大值与最小值的差为5－eq \f(11,4)＝eq \f(9,4)，符合题意. 当n＞1时，最大值与最小值的差为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(n＋\f(1,2)))2＋eq \f(11,4)－eq \f(11,4)＝eq \f(9,4)，解得 n1＝1 或 n2＝－2，不符合题意. 综上所述，n的取值范围为－eq \f(1,2)≤n≤1. 2.(2024·滑县三模)已知抛物线y＝－x2＋bx＋c(b，c是常数)的顶点是P，与x轴相交于点O(0,0)和点F(4,0). (1)求点P的坐标； (2)如图①，直线y＝x与抛物线相交于点O和点E，直线x＝t(0＜t＜3)与抛物线相交于点A，与直线y＝x相交于点B，求线段AB长度的最大值； (3)如图②，点C是点E关于抛物线对称轴对称的对称点，Q是抛物线上的动点，当1≤S△QCE≤3时，直接写出点Q的纵坐标yQ的取值范围. INCLUDEPICTURE"24HN140.TIF" 　　 解：(1)∵抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴相交于点O(0,0)和点F(4,0)，∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(0＝c，,0＝－16＋4b＋c，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(b＝4，,c＝0，)) ∴抛物线的解析式为y＝－x2＋4x＝－(x－2)2＋4， ∴顶点P的坐标为(2,4). (2)联立y＝x和y＝－x2＋4x，解得x＝3或x＝0(舍去)， ∴点E的坐标为(3,3). 设点A的坐标为(t，－t2＋4t)，B(t，t)(0＜t＜3)， ∴AB＝－t2＋4t－t＝－t2＋3t＝－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t－\f(3,2)))2＋eq \f(9,4). ∴当t＝eq \f(3,2)时，线段AB的长度有最大值，且最大值为eq \f(9,4). ∴线段AB的长度的最大值为eq \f(9,4). (3)∵抛物线的解析式为y＝－(x－2)2＋4， ∴抛物线的对称轴为直线x＝2. ∵点C是点E关于抛物线对称轴对称的对称点，点E的坐标为(3,3)，∴点C的坐标为(1,3)，∴CE＝2. 点Q的纵坐标为yQ，易得yQ≤4. ∵1≤S△QCE≤3，∴1≤eq \f(1,2)CE·|yQ－3|≤3，即1≤|yQ－3|≤3，当yQ－3≥0，即yQ≥3时，1≤yQ－3≤3，解得yQ＝4； 当yQ－3＜0，即yQ＜3时，－3≤yQ－3≤－1，解得0≤yQ≤2. 综上，点Q的纵坐标yQ的取值范围为0≤yQ≤2或yQ＝4. 3.(2024·信阳三模)在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝x2－2tx＋t2－t. (1)求抛物线的顶点坐标(用含t的代数式表示). (2)点P(x1，y1)，Q(x2，y2)在抛物线上，其中t－1≤x1≤t＋2，x2＝1－t. ①若y1的最小值是－2，求y1的最大值； ②若对于x1，x2，都有y1＜y2，直接写出t的取值范围. 解：(1)∵y＝x2－2tx＋t2－t＝(x－t)2－t，∴抛物线的顶点坐标为(t，－t). (2)①∵y＝x2－2tx＋t2－t＝(x－t)2－t，∴抛物线的对称轴为直线x＝t.∵1＞0，∴抛物线开口向上. ∵t－1≤x1≤t＋2，∴当x＝t时，y1的最小值为－t. ∵y1的最小值是－2，∴t＝2. ∵|t－1－t|＝1，|t＋2－t|＝2， ∴当x＝t＋2时，y1最大＝(t＋2－t)2－t＝4－t＝4－2＝2， 即y1的最大值为2. ②∵点P(x1，y1)，Q(x2，y2)在抛物线y＝(x－t)2－t上， ∴y1＝(x1－t)2－t，y2＝(x2－t)2－t. ∵对于x1，x2，都有y1＜y2， ∴y2－y1＝(x2－t)2－t－(x1－t)2＋t＝(x2－t)2－(x1－t)2＝(x2－x1)(x2＋x1－2t)＞0， ∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x2－x1＞0，,x2＋x1－2t＞0))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x2－x1＜0，,x2＋x1－2t＜0，)) Ⅰ.当eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x2－x1＞0，①,x2＋x1－2t＞0②))时，由不等式①知，x2＞x1，∵t－1≤x1≤t＋2，x2＝1－t，∴1－t＞t＋2，∴t＜－eq \f(1,2)， 由不等式②知，x2＋x1＞2t，∵t－1≤x1≤t＋2，x2＝1－t，∴0≤x2＋x1≤3，∴2t＜0，∴t＜0，∴t＜－eq \f(1,2)； Ⅱ.当eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x2－x1＜0，,x2＋x1－2t＜0))时，由x2－x1＜0得x2＜x1， ∵t－1≤x1≤t＋2，x2＝1－t， ∴1－t＜t－1，∴t＞1， 由x2＋x1－2t＜0知，x2＋x1＜2t， ∵t－1≤x1≤t＋2，x2＝1－t， ∴0≤x2＋x1≤3，∴2t＞3，∴t＞eq \f(3,2)，∴t＞eq \f(3,2). 综上，满足条件的t的取值范围为t＜－eq \f(1,2)或t＞eq \f(3,2). 4.(2025·易中考预测)如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c交x轴于A，B两点，交y轴于点C(0,3)，顶点F的坐标为(1,4)，对称轴交x轴于点H，直线y＝eq \f(1,2)x＋1交x轴于点D，交y轴于点E，交抛物线的对称轴于点G. (1)求出a，b，c的值； (2)点M为抛物线对称轴上一个动点，当△DGM是以DG为腰的等腰三角形时，请求出点M的坐标； (3)点P为抛物线上一个动点，当点P关于直线y＝eq \f(1,2)x＋1的对称点恰好落在x轴上时，请直接写出此时点P的坐标. 解：(1)∵抛物线顶点F的坐标为(1,4)， ∴设抛物线的解析式为y＝a(x－1)2＋4. 将C(0,3)代入y＝a(x－1)2＋4，得a＋4＝3， 解得a＝－1， ∴抛物线的解析式为y＝－(x－1)2＋4，即y＝－x2＋2x＋3，∴a＝－1，b＝2，c＝3. (2)当y＝0时，eq \f(1,2)x＋1＝0，解得x＝－2，∴点D的坐标为(－2,0).当x＝1时，y＝eq \f(1,2)x＋1＝eq \f(3,2)， ∴点G的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(3,2)))，∴DH＝1－(－2)＝3，GH＝eq \f(3,2)， ∴DG＝eq \r( ,DH2＋GH2)＝eq \f(3\r( ,5),2). 分两种情况考虑(如图①)： ①当DG＝DM时，HG＝HM1， ∴点M1的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，－\f(3,2)))； ②当GD＝GM时，GM2＝GM3＝eq \f(3\r( ,5),2)， ∴点M2的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(3＋3\r( ,5),2)))，点M3的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(3－3\r( ,5),2))).综上所述，点M的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，－\f(3,2)))或eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(3＋3\r( ,5),2)))或eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(3－3\r( ,5),2))). (3)过点E作EN⊥直线DE，交x轴于点N，如图②所示. 当x＝0时，y＝eq \f(1,2)x＋1＝1， ∴点E的坐标为(0,1)， ∴OE＝1，DE＝eq \r( ,OE2＋OD2)＝eq \r( ,5). ∵∠DOE＝∠DEN＝90°，∠ODE＝∠EDN， ∴△DOE∽△DEN， ∴eq \f(DN,DE)＝eq \f(DE,DO)，即eq \f(DN,\r( ,5))＝eq \f(\r( ,5),2)，∴DN＝eq \f(5,2)，∴点N的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，0)). ∵点E(0,1)，点Neq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，0))， ∴线段EN所在直线的解析式为y＝－2x＋1(可利用待定系数法求出). 设点P关于直线y＝eq \f(1,2)x＋1的对称点落在x轴上Q点处，连接PQ交DE于点R. 设直线PQ的解析式为y＝－2x＋m，当y＝0时，－2x＋m＝0，解得x＝eq \f(m,2)，∴点Q的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(m,2)，0)). 联立直线PQ和直线DE的解析式成方程组，得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(y＝－2x＋m，,y＝\f(1,2)x＋1，))解得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝\f(2m－2,5)，,y＝\f(m＋4,5)，))∴点R的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2m－2,5)，\f(m＋4,5))).∵点R为线段PQ的中点，∴点P的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3m－8,10)，\f(2m＋8,5))).∵点P在抛物线y＝－x2＋2x＋3上， ∴－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3m－8,10)))2＋2×eq \f(3m－8,10)＋3＝eq \f(2m＋8,5)， 整理，得9m2－68m＋84＝0，解得m1＝6，m2＝eq \f(14,9)， ∴点P的坐标为(1,4)或eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)，\f(20,9))). 课时3　二次函数的实际应用 考点梳理★固基础 考点　　二次函数的实际应用 (1)与二次函数有关的实际应用问题，解题步骤如下： ①一找：找出问题中的变量和常量以及它们之间的函数关系；②二列：列出函数关系式，并确定自变量的取值范围；③三解：应用二次函数的图象及性质解决实际问题；④四验：检验结果的合理性，特别是检验是否符合实际意义. (2)考查方向 ①与实际问题结合，建立二次函数模型，求解最值，如与桥梁、隧道等建筑物结合，求解二次函数最值与两对称点间的线段长；②与经济利润问题结合，构造二次函数，求解最大利润；③与其他函数相结合. 易中考·总结全 二次函数的最值不一定是实际问题的最优解或最优方案，一定要结合实际问题中自变量的取值范围确定最优解或最优方案. 聚焦河南★瞄靶向 命题点　　二次函数的实际应用(7年3考) 类型一　二次函数图象问题 1.(2023·河南)小林同学不仅是一名羽毛球运动爱好者，还喜欢运用数学知识对羽毛球比赛进行技术分析，下面是他对击球线路的分析. 如图，在平面直角坐标系中，点A，C在x轴上，球网AB与y轴的水平距离 OA＝3 m，CA＝2 m，击球点P在y轴上.若选择扣球，羽毛球的飞行高度y(m)与水平距离x(m)近似满足一次函数关系y＝－0.4x＋2.8；若选择吊球，羽毛球的飞行高度y(m)与水平距离x(m)近似满足二次函数关系y＝a(x－1)2＋3.2. (1)求点P的坐标和a的值. (2)小林分析发现，上面两种击球方式均能使球过网. 要使球的落地点到C点的距离更近，请通过计算判断 应选择哪种击球方式. 解：(1)在y＝－0.4x＋2.8中，令x＝0，得y＝2.8， ∴点P的坐标为(0,2.8)； 把P(0,2.8)代入y＝a(x－1)2＋3.2，得a＋3.2＝2.8， 解得a＝－0.4， ∴a的值是－0.4. (2)∵OA＝3 m，CA＝2 m， ∴OC＝5 m，∴C(5,0)， 在y＝－0.4x＋2.8中，令y＝0，得x＝7， 在y＝－0.4(x－1)2＋3.2中，令y＝0，得x＝－2eq \r( ,2)＋1(舍去)或x＝2eq \r( ,2)＋1≈3.83， ∵|7－5|＞|3.83－5|， ∴选择吊球方式，球的落地点到C点的距离更近. 2.(2024·河南)从地面竖直向上发射的物体离地面的高度h(m)满足关系式h＝－5t2＋v0t，其中t(s)是物体运动的时间，v0(m/s)是物体被发射时的速度.社团活动时，科学小组在实验楼前从地面竖直向上发射小球. (1)小球被发射后 s时离地面的高度最大(用含v0的式子表示). (2)若小球离地面的最大高度为20 m，求小球被发射时的速度. (3)按(2)中的速度发射小球，小球离地面的高度有两次与实验楼的高度相同.小明说：“这两次间隔的时间为3 s.”已知实验楼高15 m，请判断他的说法是否正确，并说明理由. eq \f(v0,10) 解：(2)当t＝eq \f(v0,10) 时，h＝20. －5×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(v0,10)))2＋v0×eq \f(v0,10)＝20. 解得v0＝20(取正值). 所以小球被发射时的速度是20 m/s. (3)小明的说法不正确. 理由如下： 由(2)得h＝－5t2＋20t. 当h＝15时，15＝－5t2＋20t. 解方程，得t1＝1，t2＝3. ∵3－1＝2(s)， ∴小明的说法不正确. 3.(2022·河南)小红看到一处喷水景观，喷出的水柱呈抛物线形状，她对此展开研究：测得喷水头P距地面0.7 m，水柱在距喷水头P水平距离5 m处达到最高，最高点距地面3.2 m；建立如图所示的平面直角坐标系，并设抛物线的表达式为y＝a(x－h)2＋k，其中x(m)是水柱距喷水头的水平距离，y(m)是水柱距地面的高度. (1)求抛物线的表达式. (2)爸爸站在水柱正下方，且距喷水头P水平距离3 m.身高1.6 m的小红在水柱下方走动，当她的头顶恰好接触到水柱时，求她与爸爸的水平距离. INCLUDEPICTURE"24HN144.TIF" 　　 解：(1)由题意知，抛物线顶点为(5,3.2)， 设抛物线的表达式为y＝a(x－5)2＋3.2，将(0,0.7)代入，得0.7＝25a＋3.2，解得a＝－eq \f(1,10)， ∴y＝－eq \f(1,10)(x－5)2＋3.2＝－eq \f(1,10)x2＋x＋eq \f(7,10)， ∴抛物线的表达式为y＝－eq \f(1,10)x2＋x＋eq \f(7,10). (2)当y＝1.6时，－eq \f(1,10)x2＋x＋eq \f(7,10)＝1.6， 解得x＝1或x＝9， ∴她与爸爸的水平距离为3－1＝2(m)或9－3＝6(m)， 所以，当她的头顶恰好接触到水柱时，与爸爸的水平距离是2 m或6 m. 类型二　利润问题 4.(2018·河南)某公司推出一款产品，经市场调查发现，该产品的日销售量y(个)与销售单价x(元)之间满足一次函数关系.关于销售单价、日销售量、日销售利润的几组对应值如表： 销售单价x/元 85 95 105 115 日销售量y/个 175 125 75 m 日销售利润w/元 875 1 875 1 875 875 (注：日销售利润＝日销售量×(销售单价－成本单价)) (1)求y关于x的函数解析式(不要求写出x的取值范围)及m的值. 解：(1)设y关于x的函数解析式为y＝kx＋b， eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(85k＋b＝175，,95k＋b＝125，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(k＝－5，,b＝600，)) 即y关于x的函数解析式是y＝－5x＋600， 当x＝115时，y＝－5×115＋600＝25， 即m的值是25. (2)根据以上信息，填空： 该产品的成本单价是 元，当销售单价x＝ 元时，日销售利润w最大，最大值是 元. (3)公司计划开展科技创新，以降低该产品的成本，预计在今后的销售中，日销售量与销售单价仍存在(1)中的关系.若想实现销售单价为90元时，日销售利润不低于3 750元的销售目标，该产品的成本单价应不超过多少元？ (3)设科技创新后成本为b元， 当x＝90时，(－5×90＋600)(90－b)≥3 750， 解得b≤65， 答：该产品的成本单价应不超过65元. 预测河南★押考前 1.(2024·南阳模拟)某乡镇实施产业扶贫，帮助贫困户承包了荒山种植某品种蜜柚，到了收获季节，已知该蜜柚的成本价为8元/千克，投入市场销售时，调查市场行情，发现该蜜柚销售不会亏本，且每天销售量y(千克)与销售价格x(元/千克)之间的函数关系如图所示. (1)求y与x的函数关系式，并写出x的取值范围. (2)当该品种的蜜柚定价为多少时，每天销售获得的利润最大？最大利润是多少？ (3)某农户今年共采摘蜜柚4 800千克，该品种蜜柚的保质期为40天，根据(2)中获得最大利润的方式进行销售，能否销售完这批蜜柚？请说明理由. 解：(1)设y与x的函数关系式为y＝kx＋b， 将(10,200)，(15,150)代入，得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(10k＋b＝200，,15k＋b＝150，)) 解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(k＝－10，,b＝300，)) ∴y与x的函数关系式为y＝－10x＋300， 由－10x＋300≥0得x≤30，所以x的取值范围为8≤x≤30. (2)设每天销售获得的利润为w元， 则w＝(x－8)y＝(x－8)(－10x＋300)＝－10(x－19)2＋1 210， ∵8≤x≤30， ∴当x＝19时，w取得最大值，最大值为1 210. 所以当该品种的蜜柚定价为19元时，每天销售获得的利润最大，最大利润是1 210元. (3)由(2)知，当获得最大利润时，定价为19元/千克， 则每天的销售量为y＝－10×19＋300＝110(千克)， ∵保质期为40天， ∴总销售量为40×110＝4 400， 又∵4 400＜4 800， ∴不能销售完这批蜜柚. 2.(2024·济源市模拟)“河畅水清、岸绿景美、鱼翔浅底”穿城而过的蟒河正逐渐被打造成一条秀美景观带，千年河道焕发生机，为更好地形成“一河清水，两岸秀色，三季有花，四季常青”的景观，市政养护人员安排了一移动灌溉装置，其喷出水柱的路径可近似地看作一条抛物线.该灌溉装置的喷水头到水平地面的距离是1米，喷出的抛物线形水柱在距离喷水头水平距离6米处达到最大高度3米.将灌溉装置放在紧邻坡面的水平地面上，用其灌溉一坡度为1∶6的坡地绿植.以水平地面为x轴，以喷水装置所在竖直方向为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系. INCLUDEPICTURE"24HN149.TIF" 　 (1)求该抛物线的解析式. (2)请你计算坡地上能够灌溉的点与灌溉装置的最大水平距离. (3)春风拂面，草木新绿，伴随着万物复苏的生机，各种病虫害也进入了高发期.园林局积极探索新技术、新方法，给道路两旁的行道树、花灌木上整齐划一地戴上了1米高的“黄色围脖”——粘虫胶带，这些胶带粘贴在树干上，形成一道阻隔环，有效防止地下的害虫爬到树上形成虫害，从而大大降低了化学药品的使用频率.若斜坡上有一棵戴有“黄色围脖”的树木，离灌溉装置的水平距离为9米，养护人员在操作时计划让水柱刚好喷到该树的底部，请问需要让灌溉装置在水平面上向后平移多少米？ 解：(1)由题意可知，抛物线的顶点坐标为(6,3)， 设抛物线水柱的解析式为：y1＝a(x－6)2＋3， 将(0,1)代入，得1＝a(0－6)2＋3，解得a＝－eq \f(1,18)， y1＝－eq \f(1,18)(x－6)2＋3＝－eq \f(1,18)x2＋eq \f(2,3)x＋1. (2)∵坡地绿植的坡度为1∶6， ∴坡地所在直线的解析式为y2＝eq \f(1,6)x，由题意得－eq \f(1,18)x2＋eq \f(2,3)x＋1＝eq \f(1,6)x，解得x1＝eq \f(9＋3\r( ,17),2)，x2＝eq \f(9－3\r( ,17),2)(不符合题意，故舍去)，∴坡地上能够灌溉的点与灌溉装置的最大水平距离为eq \f(9＋3\r( ,17),2) 米. (3)设需要让灌溉装置向后平移m米，由(1)可知平移后，水柱对应的抛物线解析式为y＝－eq \f(1,18)(x－6＋m)2＋3，因为这棵树底部点的横坐标为9，设纵坐标为h，则 eq \f(h,9)＝eq \f(1,6)，h＝eq \f(3,2)，即这棵树底部对应点的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(9，\f(3,2)))，当水柱刚好浇到这棵树的底部时，则－eq \f(1,18)(9－6＋m)2＋3＝eq \f(3,2)，解得m1＝3eq \r( ,3)－3，m2＝－3eq \r( ,3)－3，∵m＞0，∴m＝3eq \r( ,3)－3. 答：让水柱刚好喷到该树的底部，需要让灌溉装置在水平面上向后平移(3eq \r( ,3)－3)米. 3.(2025·易中考改编)某学校为美化学校环境，打造绿色校园，决定用篱笆围成一个一面靠墙(墙足够长)的矩形花园，用一道篱笆把花园分为A，B两块(如图所示)，花园里种满牡丹和芍药.学校已定购篱笆120米. (1)设计一个使花园面积最大的方案，并求出其最大面积； (2)在花园面积最大的条件下，A，B两块内分别种植牡丹和芍药，每平方米种植2株，已知牡丹每株售价25元，芍药每株售价15元，学校计划购买费用不超过5万元，求最多可以购买多少株牡丹. 解：(1)设垂直于墙的边为x米，围成的矩形面积为S平方米，则平行于墙的边为(120－3x)米，根据题意，得S＝x(120－3x)＝－3x2＋120x＝－3(x－20)2＋1 200，∵－3＜0，∴当x＝20时，S取最大值1 200，∴120－3x＝120－3×20＝60，∴垂直于墙的边为20米，平行于墙的边为60米，花园面积最大为1 200平方米. (2)设购买牡丹m株，则购买芍药1 200×2－m＝(2 400－m)株，∵学校计划购买费用不超过5万元，∴25m＋15(2 400－m)≤50 000，解得m≤1 400， ∴最多可以购买1 400株牡丹. 4.(2024·驻马店四模)开封黑岗口引黄调蓄水库上的东京大桥，又名“彩虹桥”.夜晚在桥上彩灯的映衬下好似彩虹般绚丽.主景观由三个抛物线型钢拱组成(如图①所示)，其中最高的钢拱近似看成二次函数的图象抛物线，钢拱最高处C点与路面的距离OC为50米，若以点O为原点，OC所在的直线为y轴，建立如图②所示的平面直角坐标系，抛物线与x轴相交于A，B两点，且AB两点间的距离为80米. (1)求这条抛物线的解析式； (2)钢拱最高处C点与水面的距离CD为72米，请求出此时这条钢拱之间水面的宽度； (3)当－32＜x＜16时，求y的取值范围. INCLUDEPICTURE"24HN154.TIF" 　 解：(1)∵OC＝50 m，AB＝80 m，∴C(0,50)，A(－40,0)，B(40,0)，设抛物线解析式为y＝a(x－40)(x＋40)，把C(0,50)代入，得50＝a×(－40)×40，解得a＝－eq \f(1,32)， ∴抛物线解析式为y＝－eq \f(1,32)(x－40)(x＋40)＝－eq \f(1,32)x2＋50. (2)∵CD＝72 m，OC＝50 m， ∴OD＝CD－OC＝22 m， ∴D(0，－22)， 把y＝－22代入y＝－eq \f(1,32)x2＋50，得－22＝－eq \f(1,32)x2＋50， 解得x1＝48，x2＝－48， ∴此时这条钢拱之间水面的宽度为48－(－48)＝96(m). (3)∵y＝－eq \f(1,32)x2＋50， ∴抛物线的顶点坐标为(0,50)， ∴当x＝0时，y取最大值50，∵a＝－eq \f(1,32)＜0， ∴抛物线开口向下，则离对称轴越远，函数值越小. ∵－32＜x＜16， ∴当x＝－32时，y取最小值，y＝－eq \f(1,32)×322＋50＝18， ∴当－32＜x＜16时，18＜y≤50. 5.(2024·南阳一模)【发现问题】北京时间2023年10月7日晚，杭州第19届亚运会女子排球比赛落幕，中国女排在决赛中以3∶0击败日本队，以全胜战绩成功卫冕，斩获队史亚运第9冠.爱思考的小芳在观看比赛时发现一个有趣的现象：排球被垫起后，沿弧线运动，运动轨迹类似抛物线的一部分.于是她和同学小宛一起进行实验探究. 【提出问题】排球运动过程中距地面的竖直高度y(m)与距垫球点的水平距离x(m)近似满足怎样的函数关系？ 【分析问题】经实地测量可知，排球场地长为18 m，球网在场地中央且高度为2.24 m，建立如图所示的平面直角坐标系. 测得小宛第一次发球时排球运动过程中的竖直高度y与水平距离x的几组数据如下表，并在平面直角坐标系xOy中，描出了各组数值的对应点(x，y). 水平距离x/m 0 2 4 6 8 11 12 竖直高度y/m 2.00 2.44 2.71 2.80 2.71 2.24 2.00 【解决问题】 (1)①请在图中坐标系中画出表示排球运行的轨迹； ②根据表格数据和所画轨迹形状，求排球运动过程中的竖直高度y与水平距离x近似满足的函数关系式； ③通过计算，判断小宛这次发球能否过网，并说明理由. (2)小宛第二次发球时，如果只上下调整击球高度OA，球运行轨迹形状不变，那么为了确保排球既要过网，又不出界(排球压线属于没出界)，求击球高度OA的取值范围. 解：(1)(1)①轨迹如图； ②根据题意，设y与x的函数关系式为y＝a(x－6)2＋2.8， 将(0,2)代入关系式，得2＝a(0－6)2＋2.8，解得a＝－eq \f(1,45)，经检验其它数据(x，y)也满足上述关系，∴y＝－eq \f(1,45)(x－6)2＋2.8. ③当x＝9时，y＝－eq \f(1,45)×(9－6)2＋2.8＝2.6＞2.24， ∴这次发球能过网. (2)当OA＝2时，抛物线的解析式为y＝－eq \f(1,45)(x－6)2＋2.8，设击球高度OA＝h，则平移距离为(h－2)m， ∴平移后的抛物线的解析式为y＝－eq \f(1,45)(x－6)2＋2.8＋h－2，∵9≤x≤18，当x＝9时，y＞2.24，∴－eq \f(1,45)(x－6)2＋2.8＋h－2＞2.24，∴h＞1.64，当x＝18时，y＝0，∴－eq \f(1,45)(x－6)2＋2.8＋h－2＝0，∴h＝2.4 答：击球高度OA的取值范围是1.64 m＜OA≤2.4 m. 6.(2024·河师大附中三模)【问题背景】水火箭是一种基于水和压缩空气的简易火箭，通常由塑胶汽水瓶作为火箭的箭身，并把水当作喷射剂，图①是某学校兴趣小组在科技节制作的一款简易弹射水火箭. 【实验操作】为验证水火箭的性能，兴趣小组收集了其飞行高度y(单位：m)与飞行时间t(单位：s)的对应数据，发现其近似满足二次函数关系.数据如表所示： 飞行时间t/s 0 2 4 6 8 10 飞行高度y/m 0 10 16 18 16 10 (1)【建立模型】求y关于t的函数表达式. (2)【深化研究】若水火箭相对于出发点的水平距离x(单位：m)与飞行时间t满足关系x＝3t，求水火箭从地面发出到落地时飞行的水平距离. (3)【反思优化】如图②，兴趣小组在操场上设置一个高度可以变化的发射平台PQ，当发射高度变化时，水火箭飞行的轨迹形状不变.可视为抛物线上下平移得到，线段AB为水火箭回收区域，P，A，B在同一直线上，已知AP＝36.6 m，AB＝0.6 m，在(2)的条件下，要使水火箭能落到线段AB上(含端点)，请通过计算，直接写出发射平台PQ的高度的取值范围. 　　 解：(1)由于飞行高度y与飞行时间t的对应数据近似满足二次函数关系，设y关于t的函数表达式y＝at2＋bt＋c， 将点(0,0)，(2,10)，(4,16)代入解析式， 得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(c＝0，,4a＋2b＋c＝10，,16a＋4b＋c＝16，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(c＝0，,a＝－\f(1,2)，,b＝6，)) ∴y关于t的函数表达式为y＝－eq \f(1,2)t2＋6t. (2)∵x＝3t，即t＝eq \f(x,3)，将t＝eq \f(x,3)代入y＝－eq \f(1,2)t2＋6t，得y＝－eq \f(1,18)x2＋2x，当y＝0时，火箭落地，即－eq \f(1,18)x2＋2x＝0， 解得x1＝36，x2＝0(舍去)， ∴水火箭从地面发出到落地时飞行的水平距离为36 m. (3)设发射平台PQ的高度为h，则抛物线向上平移后的解析式为y＝－eq \f(1,18)x2＋2x＋h，当火箭落在端点A时，即点A(36.6,0)在抛物线y＝－eq \f(1,18)x2＋2x＋h图象上，将A(36.6,0)代入，即0＝－eq \f(1,18)×36.62＋2×36.6＋h，解得h＝1.22 m， 当火箭落在端点B时，点B(37.2,0)在抛物线y＝－eq \f(1,18)x2＋2x＋h图象上，将B(37.2,0)代入，即0＝－eq \f(1,18)×37.22＋2×37.2＋h，解得h＝2.48 m， 故发射平台PQ的高度的取值范围为1.22 m≤PQ≤2.48 m. $$ 第一部分　河南中招考点梳理篇 第三章　函数 整合点(一)　平面直角坐标系中点的坐标(1课时) 立足课标★明方向 单击此处编辑母版标题样式 单击此处编辑母版文本样式 二级 三级 四级 五级 目录 CONTENTS 1 立足课标★明方向 2 考点梳理★固基础 3 聚焦河南★瞄靶向 4 预测河南★押考前 立足课标★明方向 落地2022年课标新理念·大单元整合 立足课标★明方向 1 立足课标★明方向 立足课标★明方向 立足课标★明方向 立足课标★明方向 2 考点梳理★固基础 立足课标★明方向 x<0，y> x>0，y< 考点梳理★固基础 纵 横 (0,0) 互为相反数 纵坐标 横坐标 考点梳理★固基础 (－a，b) (－a，－b) 考点梳理★固基础 |b| |a| 考点梳理★固基础 3 聚焦河南★瞄靶向 立足课标★明方向 B 聚焦河南★瞄靶向 4 预测河南★押考前 立足课标★明方向 D D 预测河南★押考前 (2,8)或(2，－10) A 预测河南★押考前 D 预测河南★押考前 (3,30°) 预测河南★押考前 (2,1) 预测河南★押考前 预测河南★押考前 谢 谢 观 看 1.图形的位置与坐标 (1)结合实例进一步体会用有序数对可以表示物体的位置(2022版课标删除). (2)理解平面直角坐标系的有关概念，能画出平面直角坐标系；在给定的平面直角坐标系中，能根据坐标描出点的位置，由点的位置写出它的坐标. (3)在实际问题中，能建立适当的平面直角坐标系，描述物体的位置. (4)对给定的正方形，会选择合适的平面直角坐标系，写出它的顶点坐标，体会用坐标刻画一个简单图形. 2.图形的运动与坐标 (1)在平面直角坐标系中，以坐标轴为对称轴，能写出一个已知顶点坐标的多边形的对称图形的顶点坐标，并知道对应顶点坐标之间的关系. (2)在平面直角坐标系中，能写出一个已知顶点坐标的多边形沿坐标轴方向平移后图形的顶点坐标，并知道对应顶点坐标之间的关系. (3)在平面直角坐标系中，探索并了解将一个多边形依次沿两个坐标轴方向平移后所得到的图形和原来的图形具有平移关系，体会图形顶点坐标的变化. 考点1　平面直角坐标系中点的特征 各象限内的点 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(第一象限：x>0，y>0；,第二象限：③ 0；,第三象限：x<0，y<0；,第四象限：④ 0)) 坐标轴上的点 x轴上点的⑤ 坐标为0； y轴上点的⑥ 坐标为0； 原点的坐标为⑦ . 注意：坐标轴上的点不属于任何象限 各象限角平分线上的点 第一、三象限角平分线上的点的横、纵坐标相等； 第二、四象限角平分线上的点的横、纵坐标 ⑧ 平行于坐标轴的直线上的点 平行于x轴的直线上的点的⑨ 相等；平行于y轴的直线上的点的⑩ 相等 点的对称 点P(a，b)eq \o(――→,\s\up17(关于x轴对称))点P′(a，－b)； 点P(a，b)eq \o(――→,\s\up17(关于y轴对称))点P′⑪ ； 点P(a，b)eq \o(――→,\s\up17(关于原点对称))点P′⑫ . 口诀：关于谁对称，谁不变，另一个变号；关于原点对称都变号 点的平移 点P(x，y)eq \o(――→,\s\up17(向上平移c个单位))点P′(x，yeq \x(＋c))； 点P(x，y)eq \o(――→,\s\up17(向下平移c个单位))点P′(x，yeq \x(－c))； 点P(x，y)eq \o(――→,\s\up17(向左平移c个单位))点P′(xeq \x(－c)，y)； 点P(x，y)eq \o(――→,\s\up17(向右平移c个单位))点P′(xeq \x(＋c)，y). 口诀：右加左减，上加下减 考点2　平面直角坐标系中的距离 点到坐标轴及原点的距离 1.点P(a，b)到x轴的距离是⑬ ； 2.点P(a，b)到y轴的距离是⑭ ； 3.点P(a，b)到原点的距离是⑮ 平面内两点间的距离 设P(x，y)，Q(x1，y1). 1.PQ∥x轴⇔y＝y1，PQ＝|x－x1|； 2.PQ∥y轴⇔x＝x1，PQ＝|y－y1|； 3.若P，Q为平面直角坐标系内任意两点，则PQ＝eq \r(x1－x2＋y1－y2) eq \r(a2＋b2) 命题点　　图形与坐标(7年1考) (2022·河南)如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正六边形ABCDEF的中心与原点O重合，AB∥x轴，交y轴于点P.将△OAP绕点O顺时针旋转，每次旋转90°，则第2 022次旋转结束时，点A的坐标为(　 　) A.(eq \r( ,3)，－1)　　　 B.(－1，－eq \r( ,3)) C.(－eq \r( ,3)，－1)　　　 D.(1，eq \r( ,3)) 1.(2022·易中考预测)已知坐标平面上有一直线l与一点A.若l的方程式为x＝－2，A点坐标为(6,5)，则A点到直线l的距离为(　 　) A.3　　　 B.4　　　 C.7　　　 D.8 2.(2025·易中考预测)在平面直角坐标系的第四象限内有一点M，到x轴的距离为4，到y轴的距离为5，则点M的坐标为(　 　) A.(－4,5)　　　 B.(－5,4) C.(4，－5)　　　 D.(5，－4) 3.(2025·易中考改编)在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标是(2，－1)，若AB∥y轴，且AB＝9，则点B的坐标是 . 4.(2024·贵州)为培养青少年的科学态度和科学思维，某校创建了“科技创新”社团.小红将“科”“技”“创”“新”写在如图所示的方格纸中，若建立平面直角坐标系，使“创”“新”的坐标分别为(－2,0)，(0,0)，则“技”所在的象限为(　 　) A.第一象限　　　 B.第二象限 C.第三象限　　　 D.第四象限 5.(2024·河北)平面直角坐标系中，我们把横、纵坐标都是整数，且横、纵坐标之和大于0的点称为“和点”.将某“和点”平移，每次平移的方向取决于该点横、纵坐标之和除以3所得的余数(当余数为0时，向右平移；当余数为1时，向上平移；当余数为2时，向左平移)，每次平移1个单位长度. 例：“和点”P(2,1)按上述规则连续平移3次后，到达点P3(2,2)，其平移过程如下， 若“和点”Q按上述规则连续平移16次后，到达点Q16(－1,9)，则点Q的坐标为(　 　) A.(6,1)或(7,1)　　　 B.(15，－7)或(8,0) C.(6,0)或(8,0)　　　 D.(5,1)或(7,1) 6.(2024·甘孜州)如图，在一个平面区域内，一台雷达探测器测得在点A，B，C处有目标出现.按某种规则，点A，B的位置可以分别表示为(1,90°)，(2,240°)，则点C的位置可以表示为 . 7.(2024·山东)任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2.反复进行上述两种运算，经过有限次运算后，必进入循环圈1→4→2→1，这就是“冰雹猜想”.在平面直角坐标系xOy中，将点(x，y)中的x，y分别按照“冰雹猜想”同步进行运算得到新的点的横、纵坐标，其中x，y均为正整数.例如，点(6,3)经过第1次运算得到点(3,10)，经过第2次运算得到点(10,5)，以此类推.则点(1,4)经过2 024次运算后得到点 . 8.(2024·绥化)如图，已知A1(1，－eq \r( ,3))，A2(3，－eq \r( ,3))，A3(4,0)，A4(6,0)，A5(7，eq \r( ,3))，A6(9，eq \r( ,3))，A7(10,0)，A8(11，－eq \r( ,3))，…，依此规律，则点A2 024的坐标为 . (2 891，－eq \r( ,3)) $$ 第一部分　河南中招考点梳理篇 第三章　函数 整合点(二)　函数及其图象(1课时) 立足课标★明方向 单击此处编辑母版标题样式 单击此处编辑母版文本样式 二级 三级 四级 五级 目录 CONTENTS 1 立足课标★明方向 2 考点梳理★固基础 3 聚焦河南★瞄靶向 4 预测河南★押考前 立足课标★明方向 1 立足课标★明方向 立足课标★明方向 立足课标★明方向 2 考点梳理★固基础 立足课标★明方向 考点梳理★固基础 考点梳理★固基础 考点梳理★固基础 考点梳理★固基础 考点梳理★固基础 3 聚焦河南★瞄靶向 立足课标★明方向 A 聚焦河南★瞄靶向 C 聚焦河南★瞄靶向 C 聚焦河南★瞄靶向 C 聚焦河南★瞄靶向 C 聚焦河南★瞄靶向 聚焦河南★瞄靶向 聚焦河南★瞄靶向 聚焦河南★瞄靶向 聚焦河南★瞄靶向 聚焦河南★瞄靶向 聚焦河南★瞄靶向 4 预测河南★押考前 立足课标★明方向 C 预测河南★押考前 D 预测河南★押考前 C 预测河南★押考前 D 预测河南★押考前 A 预测河南★押考前 谢 谢 观 看 1.探索简单实例中的数量关系和变化规律，了解常量、变量的意义. 2.结合实例，了解函数的概念和三种表示法，能举出函数的实例. 3.能结合图象对简单实际问题中的函数关系进行分析. 4.能确定简单实际问题中函数自变量的取值范围，并会求出函数值. 5.能用适当的函数表示法刻画简单实际问题中变量之间的关系，理解函数值的意义.(2022版课标新增) 6.结合对函数关系的分析，能对变量的变化情况进行初步讨论. 考点1　函数及其相关概念 概念 一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x和y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们称x是自变量，y是x的函数 表示方法 1.解析式法；2.列表法；3.图象法 画函数图象的步骤 1.列表——给出一些自变量的值及其对应的函数值； 2.描点——在平面直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出表格中对应的各点； 3.连线——按照横坐标由小到大的顺序，把所描出的各点用平滑曲线连接起来 由x求y的方法 1.已知函数解析式：将x值代入函数解析式中，即可得y值； 2.已知函数图象：过点(x,0)作垂直于x轴的直线，与函数图象相交于一点，过该点作y轴的垂线，读出与y轴交点的纵坐标即可 根据函数图象描述函数性质 从增减性、最值、对称性、图象分支所在象限等方面来考虑 考点2　函数自变量取值范围的确定 表达式的形式 自变量的取值范围 含有分式 分母≠0 含有二次根式 被开方数为非负数 考点3　函数图象的判断及应用 1.根据实际问题判断函数图象时，一般需遵循以下四点 (1)找起点：结合题干中所给自变量及函数值的取值范围，在函数图象中找出对应点. (2)找特殊点：即交点或转折点，说明图象在此点处将发生变化. (3)判断图象趋势：即判断函数的增减性. (4)看是否与坐标轴相交，即两个变量中是否有一个量能取到0. 2.解决与动点有关的函数图象问题的思路 (1)认真观察几何图形，找出运动起点和终点，由动点移动范围确定自变量的取值范围. (2)分清楚整个运动过程分为几段，关注动点运动过程中的特殊位置(如转折点、起点、终点)对应的函数值. (3)关注每一段运动过程中函数值的变化规律，与图象上升(或下降)的变化趋势相比对，逐个排除错误选项. (4)在以上方法行不通的情况下，则需求出各段函数的解析式，再进行判断. 命题点　　函数图象的判断及应用(7年6考) 类型一　几何图形与函数图象 1.(2023·河南)如图①，点P从等边三角形ABC的顶点A出发，沿直线运动到三角形内部一点，再从该点沿直线运动到顶点B.设点P运动的路程为x，eq \f(PB,PC)＝y，图②是点P运动时y随x变化的关系图象，则等边三角形ABC的边长为(　 　) A.6　　　 B.3　　　 C.4eq \r( ,3)　　　 D.2eq \r( ,3) 2.(2021·河南)如图①，矩形ABCD中，点E为BC的中点，点P沿BC从点B运动到点C，设B，P两点间的距离为x，PA－PE＝y，图②是点P运动时y随x变化的关系图象，则BC的长为(　 　) INCLUDEPICTURE"24HN56.TIF" 　　 A.4　　　 B.5　　　 C.6　　　 D.7 3.(2018·河南)如图①，点F从菱形ABCD的顶点A出发，沿A→D→B以1 cm/s的速度匀速运动到点B，图②是点F运动时，△FBC的面积y(cm2)随时间x(s)变化的关系图象，则a的值为(　 　) INCLUDEPICTURE"24HN58.TIF" 　　 A.eq \r( ,5)　　　 B.2　　　 C.eq \f(5,2)　　　 D.2eq \r( ,5) 类型二　实际情景与函数图象 4.(2024·河南)把多个用电器连接在同一个插线板上，同时使用一段时间后，插线板的电源线会明显发热，存在安全隐患.数学兴趣小组对这种现象进行研究，得到时长一定时，插线板电源线中的电流I与使用电器的总功率P的函数图象(如图①)，插线板电源线产生的热量Q与I的函数图象(如图②).下列结论中错误的是(　 　) INCLUDEPICTURE"24HN60.TIF" 　　 A.当P＝440 W时，I＝2 A B.Q随I的增大而增大 C.I每增加1 A，Q的增加量相同 D.P越大，插线板电源线产生的热量Q越多 5.(2022·河南)呼气式酒精测试仪中装有酒精气体传感器，可用于检测驾驶员是否酒后驾车.酒精气体传感器是一种气敏电阻(图①中的R1)，R1的阻值随呼气酒精浓度K的变化而变化(如图②)，血液酒精浓度M与呼气酒精浓度K的关系见图③.下列说法不正确的是(　 　) INCLUDEPICTURE"24HN63.TIF" A.呼气酒精浓度K越大，R1的阻值越小 B.当K＝0时，R1的阻值为100 Ω C.当K＝10时，该驾驶员为非酒驾状态 D.当R1＝20时，该驾驶员为醉驾状态 6.(2020·河南)小亮在学习中遇到这样一个问题： 如图，点D是上一动点，线段BC＝8 cm，点A是线段BC的中点，连接BD，过点C作CF∥BD，交DA的延长线于点F.当△DCF为等腰三角形时，求线段BD的长度. 小亮分析发现，此问题很难通过常规的推理计算彻底解决，于是尝试结合学习函数的经验研究此问题.请将下面的探究过程补充完整： (1)根据点D在上的不同位置，画出相应的图形，测量线段BD，CD，FD的长度，得到下表的几组对应值. BD/cm 0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 7.0 8.0 CD/cm 8.0 7.7 7.2 6.6 5.9 a 3.9 2.4 0 FD/cm 8.0 7.4 6.9 6.5 6.1 6.0 6.2 6.7 8.0 操作中发现： ①当点D为的中点时，BD＝5.0 cm，则上表中a的值是5.0； ②线段CF的长度无需测量即可得到，请简要说明理由. (2)将线段BD的长度作为自变量x，CD和FD的长度都是x的函数，分别记为yCD和yFD，并在平面直角坐标系xOy中画出了函数yFD的图象，如图所示.请在同一坐标系中画出函数yCD的图象. (3)继续在同一坐标系中画出所需的函数图象，并结合图象直接写出：当△DCF为等腰三角形时，线段BD长度的近似值(结果保留一位小数). INCLUDEPICTURE"24HN66.TIF" 　 解：②∵点A是线段BC的中点，∴AB＝AC. ∵CF∥BD，∴∠F＝∠BDA. 又∵∠BAD＝∠CAF，∴△BAD≌△CAF(AAS)，∴BD＝CF， ∴线段CF的长度无需测量即可得到. (2)由题意可得： (3)由题意画出函数yCF的图象. 由图象可得：BD＝3.8 cm或5.0 cm或6.2 cm时，△DCF为等腰三角形.(答案不唯一) 1.(2024·巴中)函数y＝eq \r( ,x＋2)自变量的取值范围是(　 　) A.x＞0　　　 B.x＞－2　　　 C.x≥－2　　　 D.x≠－2 2.(2024·武汉)如图，一个圆柱体水槽底部叠放两个底面半径不等的实心圆柱体，向水槽内匀速注水.下列图象能大致反映水槽中水的深度h与注水时间t的函数关系的是(　 　) 3.(2024·兰州)如图①，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，连接BD，点M从B出发沿BD方向以eq \r( ,3) cm/s的速度运动至D，同时点N从B出发沿BC方向以1 cm/s的速度运动至C，设运动时间为x(s)，△BMN的面积为y(cm2).y与x的函数图象如图②所示，则菱形ABCD的边长为(　 　) INCLUDEPICTURE"24HN74.TIF" 　　　 A.2eq \r( ,2) cm　　　 B.4eq \r( ,2) cm C.4 cm　　　 D.8 cm 4.(2024·青海)化学实验小组查阅资料了解到：某种絮凝剂溶于水后能够吸附水中悬浮物并发生沉降，从而达到净水的目的.实验得出加入絮凝剂的体积与净水率之间的关系如图所示，下列说法正确的是(　 　) A.加入絮凝剂的体积越大，净水率越高 B.未加入絮凝剂时，净水率为0 C.絮凝剂的体积每增加0.1 mL，净水率的增加量相等 D.加入絮凝剂的体积是0.2 mL时，净水率达到76.54% 5.(2024·广元)如图①，在△ABC中，∠ACB＝90°，点P从点A出发沿A→C→B以1 cm/s的速度匀速运动至点B，图②是点P运动时，△ABP的面积y(cm2)随时间x(s)变化的函数图象，则该三角形的斜边AB的长为(　 　) INCLUDEPICTURE"24HN77.TIF" 　　　 A.5　　　 B.7　　　 C.3eq \r( ,2)　　　 D.2eq \r( ,3) $$ 第一部分　河南中招考点梳理篇 第三章　函数 整合点(四)　反比例函数(1课时) 立足课标★明方向 单击此处编辑母版标题样式 单击此处编辑母版文本样式 二级 三级 四级 五级 目录 CONTENTS 1 立足课标★明方向 2 考点梳理★固基础 3 聚焦河南★瞄靶向 4 预测河南★押考前 立足课标★明方向 1 立足课标★明方向 立足课标★明方向 立足课标★明方向 2 考点梳理★固基础 立足课标★明方向 双曲线 考点梳理★固基础 考点梳理★固基础 考点梳理★固基础 考点梳理★固基础 |k| 考点梳理★固基础 考点梳理★固基础 考点梳理★固基础 ab 考点梳理★固基础 考点梳理★固基础 考点梳理★固基础 考点梳理★固基础 考点梳理★固基础 考点梳理★固基础 3 聚焦河南★瞄靶向 立足课标★明方向 C m＜n 聚焦河南★瞄靶向 聚焦河南★瞄靶向 聚焦河南★瞄靶向 聚焦河南★瞄靶向 聚焦河南★瞄靶向 聚焦河南★瞄靶向 聚焦河南★瞄靶向 聚焦河南★瞄靶向 聚焦河南★瞄靶向 聚焦河南★瞄靶向 4 预测河南★押考前 立足课标★明方向 C 预测河南★押考前 C 预测河南★押考前 A 预测河南★押考前 C 预测河南★押考前 B 预测河南★押考前 B 预测河南★押考前 8 预测河南★押考前 预测河南★押考前 预测河南★押考前 预测河南★押考前 预测河南★押考前 预测河南★押考前 预测河南★押考前 预测河南★押考前 预测河南★押考前 预测河南★押考前 预测河南★押考前 预测河南★押考前 谢 谢 观 看 1.结合具体情境体会反比例函数的意义，能根据已知条件确定反比例函数的表达式. 2.能用描点法画出反比例函数的图象，根据图象和表达式y＝eq \f(k,x)(k≠0)探索并理解k＞0和k＜0时图象的变化情况，知道当k＞0和k＜0时反比例函数y＝eq \f(k,x)(k≠0)图象的整体特征(2022版课标调整). 3.能用反比例函数解决简单实际问题. 考点1　反比例函数的概念 1.反比例函数的概念：一般地，如果两个变量x，y之间的关系式可以表示为y＝① (k为常数，且k≠0)，那么称y是x的反比例函数，它的图象是② .自变量x的取值范围为不等于0的一切实数. 2.反比例函数解析式的三种形式(k为常数，且k≠0) (1)y＝eq \f(k,x)；(2)y＝k·x－1；(3)xy＝k. eq \f(k,x) 考点2　反比例函数的图象与性质(重点) 反比例函数y＝eq \f(k,x)(k是常数，且k≠0)的图象关于原点对称，它的位置和性质受k的符号的影响具体如下： y＝eq \f(k,x)(k是常数，k≠0) k>0 k<0 图象 所在象限 第一、三象限 (x，y同号) 第二、四象限 (x，y异号) 性质 在每个象限内，y随x的增大而减小 在每个象限内，y随x的增大而增大 函数值的大小比较 当x1<x2<0或0<x1<x2时，y1>y2； 当x1<0<x2时，y1<0<y2 当x1<x2<0或0<x1<x2时，y1<y2； 当x1<0<x2时，y1>0>y2 易中考·总结全 对于反比例函数，不能简单地说y随x的增大而增大(或增大而减小)，应指明在某一象限内或自变量的取值范围内函数的增减变化情况. 考点3　反比例函数中k的几何意义(重点) k的几何意义 如图，在反比例函数y＝eq \f(k,x)(k≠0)图象上任取一点P(x，y)，过这一点分别作x轴、y轴的垂线PM、PN，与坐标轴围成的矩形PMON的面积S＝|xy|＝③ 基本 图形 的面积 S阴影＝|k| INCLUDEPICTURE"N2021yzkSX-25.EPS" 　 S阴影＝eq \f(|k|,2) 　　 　 S阴影＝2|k| 　 易中考·总结全 一般反比例函数与几何图形(三角形、四边形)结合，可直接利用k的几何意义求面积，若图形两边均与坐标轴不平行或重合，则先将其分割，然后求其面积之和. 考点4　反比例函数解析式的确定 待定系数法 1.设所求反比例函数的解析式为y＝eq \f(k,x)(k≠0)； 2.找出反比例函数图象上一点P(a，b)； 3.将点P的坐标代入y＝eq \f(k,x)中，得k＝④ ； 4.确定反比例函数解析式为y＝eq \f(ab,x) 利用k的几 何意义 当题中已知面积时，考虑用k的几何意义求解，由面积得|k|，再结合图象所在象限判断k的正负，从而得出k的值，代入解析式即可 考点5　反比例函数的综合应用 一次函数与反比例函数的综合题 (1)求交点坐标：将一次函数与反比例函数联立方程组求解即可，若为正比例函数，只要知道一个交点坐标，其关于原点对称的点即另一个交点. (2)确定函数解析式：将一个交点坐标代入y＝eq \f(k,x)可求k，再由反比例函数解析式确定另一个交点坐标，最后由两个交点坐标利用待定系数法可求一次函数的解析式. (3)利用函数图象确定不等式ax＋b＞eq \f(k,x)或ax＋b＜eq \f(k,x)的解集：需数形结合进行分析判断，函数值较大表现在图象上为图象在另一图象的上方，函数值较小表现在图象上为图象在另一图象的下方. (4)求几何图形面积：①通常将坐标轴上的边或与坐标轴平行的边作为底边，再利用点的坐标求得底边上的高，最后利用面积公式求解；②当三边均不在坐标轴上时，一般可采用割补法将其转化为一边在坐标轴上(或平行于坐标轴)的三角形，再利用面积的和或差来求解.此外，求面积时要充分利用“数形结合”的思想，即用“坐标”求“线段”，用“线段”求“坐标”. 考点6　反比例函数的实际应用 特征 反比例函数的实际应用主要是通过实例构建反比例函数模型，即通过题意或图象列出关系式，根据图象和性质解决问题 解题方法 1.分析实际问题中变量之间的关系； 2.建立反比例函数模型； 3.用反比例函数的有关知识解答，注意利用反比例函数两变量之积是定值的性质，算出定值 常见应用 路程(s)一定，速度(v)和时间(t)成反比，即v＝eq \f(s,t)； 矩形面积(S)一定，长(y)和宽(x)成反比，即y＝eq \f(S,x)； 电压(U)一定，电流(I)和电阻(R)成反比，即I＝eq \f(U,R)容积(V)一定，排水速度(Q)和排水时间(t)成反比，即Q＝eq \f(V,t) 易中考·总结全 在反比例函数实际应用题中，要注意自变量的取值范围，有时只是反比例函数图象的一支或一段. 命题点1　反比例函数的图象与性质(7年1考 1.(2020·河南)若点A(－1，y1)，B(2，y2)，C(3，y3)在反比例函数y＝－eq \f(6,x)的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是(　 　) A.y1＞y2＞y3　　　 B.y2＞y3＞y1 C.y1＞y3＞y2　　　 D.y3＞y2＞y1 2.(2017·河南)已知点A(1，m)，B(2，n)在反比例函数y＝－eq \f(2,x)的图象上，则m与n的大小关系为 . 命题点2　反比例函数中k的几何意义(7年3考　　　　　 3.(2018·河南)如图，反比例函数y＝eq \f(k,x)(x>0)的图象过格点(网格线的交点)P. (1)求反比例函数的解析式. (2)在图中用直尺和2B铅笔画出两个矩形(不写画法)，要求每个矩形均需满足下列两个条件： ①四个顶点均在格点上，且其中两个顶点分别是点O，点P； ②矩形的面积等于k的值. 解：(1)∵点P(2,2)在反比例函数y＝eq \f(k,x)(x＞0)的图象上，∴eq \f(k,2)＝2，即k＝4. ∴反比例函数的解析式为y＝eq \f(4,x). (2)当线段OP为矩形对角线时，满足条件的矩形为矩形OAPB； 当线段OP为矩形的边时， 由题意可得，矩形的面积等于4， ∵点P的坐标为(2,2)，∴OP＝2eq \r(2)，∴矩形另一边等于eq \r(2)，∴满足条件的矩形为矩形OPMN或矩形OPED.(如图，任选两个矩形) 命题点3　反比例函数的综合应用(7年6考) 4.(2024·河南)如图，矩形ABCD的四个顶点都为格点(网格线的交点)，对角线AC，BD相交于点E，反比例函数y＝eq \f(k,x)(x＞0)的图象经过点A. (1)求这个反比例函数的表达式； (2)请先描出这个反比例函数图象上不同于点A的 三个格点，再画出反比例函数的图象； (3)将矩形ABCD向左平移，当点E落在这个反比例 函数的图象上时，平移的距离为 . eq \f(9,2) 解：(1)∵反比例函数 y＝eq \f(k,x)(x＞0)的图象经过点A(3,2)， 代入得2＝eq \f(k,3)，∴k＝6， ∴这个反比例函数的表达式为y＝eq \f(6,x). (2)如图： 5.(2022·河南)如图，反比例函数y＝eq \f(k,x)(x＞0)的图象经过点A(2,4)和点B，点B在点A的下方，AC平分∠OAB，交x轴于点C. (1)求反比例函数的表达式. (2)请用无刻度的直尺和圆规作出线段AC的垂直平分线(要求：不写作法，保留作图痕迹). (3)线段OA与(2)中所作的垂直平分线相交于点D，连接CD.求证：CD∥AB. (1)解：∵反比例函数y＝eq \f(k,x)(x＞0)的图象经过点A(2,4)，∴k＝2×4＝8， ∴反比例函数的解析式为y＝eq \f(8,x). (2)解：如图，直线m即为所求. (3)证明：∵AC平分∠OAB， ∴∠OAC＝∠BAC. ∵直线m垂直平分线段AC， ∴DA＝DC， ∴∠OAC＝∠DCA， ∴∠DCA＝∠BAC， ∴CD∥AB. 6.(2021·河南)如图，大、小两个正方形的中心均与平面直角坐标系的原点O重合，边分别与坐标轴平行，反比例函数y＝eq \f(k,x)的图象与大正方形的一边交于点A(1,2)，且经过小正方形的顶点B. (1)求反比例函数的解析式； (2)求图中阴影部分的面积. 解：(1)∵反比例函数y＝eq \f(k,x)的图象经过点A(1,2)， ∴2＝eq \f(k,1)，∴k＝2， ∴反比例函数的解析式为y＝eq \f(2,x). (2)∵小正方形的中心与平面直角坐标系的原点O重合，边分别与坐标轴平行， ∴设B点的坐标为(m，m). ∵反比例函数y＝eq \f(2,x)的图象经过B点， ∴m＝eq \f(2,m)，∴m2＝2， ∴小正方形的面积为4m2＝8. ∵大正方形的中心与平面直角坐标系的原点O重合，边分别与坐标轴平行，且A(1,2)， ∴大正方形在第一象限的顶点坐标为(2,2)， ∴大正方形的面积为4×22＝16， ∴图中阴影部分的面积＝大正方形的面积－小正方形的面积＝16－8＝8. 7.(2017·河南)如图，一次函数y＝－x＋b与反比例函数y＝eq \f(k,x)(x＞0)的图象交于点A(m,3)和B(3,1). (1)填空：一次函数的解析式为y＝－x＋4，反比例函数的解析式为y＝eq \f(3,x). (2)点P是线段AB上一点，过点P作PD⊥x轴于点D，连接OP，若△POD的面积为S，求S的取值范围. 解：(2)设P(x，y)， 由(1)可知1≤x≤3， ∴PD＝y＝－x＋4，OD＝x， ∴S＝eq \f(1,2)x(－x＋4)， ∴由二次函数的图象可得， S的取值范围为eq \f(3,2)≤S≤2. 1.(2024·大庆)在同一平面直角坐标系中，函数y＝kx－k(k≠0)与y＝eq \f(k,|x|)的大致图象为(　 　) 2.(2024·宿迁)如图，点A在双曲线y1＝eq \f(k,x)(x＞0)上，连接AO并延长，交双曲线y2＝eq \f(k,4x)(x＜0)于点B，点C为x轴上一点，且AO＝AC，连接BC，若△ABC的面积是6，则k的值为(　 　) A.2　　　 B.3　　　 C.4　　　 D.5 3.(2024·苏州)如图，点A为反比例函数y＝－eq \f(1,x)(x＜0)图象上的一点，连接AO，过点O作OA的垂线与反比例函数y＝eq \f(4,x)(x＞0)的图象交于点B，则eq \f(AO,BO)的值为(　 　) A.eq \f(1,2)　　　　 B.eq \f(1,4)　　　 C.eq \f(\r( ,3),3)　　　 D.eq \f(1,3) 4.(2024·济宁)已知点A(－2，y1)，B(－1，y2)，C(3，y3)在反比例函数y＝eq \f(k,x)(k＜0)的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是(　 　) A.y1＜y2＜y3　　　 B.y2＜y1＜y3 C.y3＜y1＜y2　　　 D.y3＜y2＜y1 5.(2024·长春)如图，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，点A(4,2)在函数y＝eq \f(k,x)(k＞0，x＞0)的图象上.将直线OA沿y轴向上平移，平移后的直线与y轴交于点B，与函数y＝eq \f(k,x)(k＞0，x＞0)的图象交于点C.若BC＝eq \r( ,5)，则点B的坐标是(　 　) A.(0，eq \r( ,5))　　　 B.(0,3) C.(0,4)　　　 D.(0,2eq \r( ,5)) 6.(2025·易中考预测)为保障安全，潜水员潜水时会佩戴如图①所示的水压表和深度表.图②是深度表的工作原理简化电路图，其中R1(Ω)的阻值会随下潜深度h(m)的变化而变化，其变化关系图象如图③所示.深度表由电压表改装.已知电压表示数U(V)与电阻R1的关系式是U＝eq \f(90,R1＋15).则下列说法不正确的是(　 　) INCLUDEPICTURE"24HN109.TIF" 　　 A.随着潜水深度的增大，R1的阻值不断减小 B.随着潜水深度的增大，电压表数值不断减小 C.当下潜的深度为10 m时，R1的阻值为30 Ω D.当下潜的深度为40 m时，电压表的示数为3 V 7.(2024·深圳)如图，在平面直角坐标系中，四边形AOCB为菱形，tan∠AOC＝eq \f(4,3)，且点A落在反比例函数y＝eq \f(3,x)的图象上，点B落在反比例函数y＝eq \f(k,x)(k≠0)的图象上，则k＝ . 8.(2025·易中考预测)如图，一次函数y＝eq \f(4,3)x＋b的图象与y轴交于点B(0,2)，与反比例函数y＝eq \f(k,x)(x＜0)的图象交于点D(m，n).以BD为对角线作矩形ABCD，使顶点A，C落在x轴上(点A在点C的右边)，BD与AC交于点E. (1)求一次函数和反比例函数的解析式； (2)求点A的坐标. 解：(1)∵一次函数y＝eq \f(4,3)x＋b的图象与y轴交于点B(0,2)， ∴b＝2， ∴一次函数的解析式为y＝eq \f(4,3)x＋2. ∵B(0,2)，∴OB＝2. 作DF⊥y轴于F. ∵四边形ABCD是矩形， ∴BE＝ED. ∵OE∥DF，∴OB＝OF＝2， ∴n＝－2. ∵D(m，－2)在直线y＝eq \f(4,3)x＋2上， ∴m＝－3，∴D(－3，－2). ∵点D在双曲线y＝eq \f(k,x)上，∴k＝6， ∴反比例函数的解析式为y＝eq \f(6,x). (2)由(1)可知，OE＝eq \f(1,2)DF＝eq \f(3,2)， 在Rt△BOE中，BE＝eq \r( ,22＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))2)＝eq \f(5,2)， 在矩形ABCD中，AE＝BE＝eq \f(5,2)， ∴OA＝AE－EO＝eq \f(5,2)－eq \f(3,2)＝1， ∴A(1,0). 9.(2024·巴中)如图，在平面直角坐标系中，直线y＝x＋2与反比例函数y＝eq \f(k,x)(k≠0)的图象交于A，B两点，点A的横坐标为1. (1)求k的值及点B的坐标； (2)点P是线段AB上一点，点M在直线OB上运动，当S△BPO＝eq \f(1,2)S△ABO时，求PM的最小值. 解：(1)把x＝1代入y＝x＋2，得出y＝3， ∴A(1,3)，∴k＝1×3＝3， ∴反比例函数的解析式为y＝eq \f(3,x)， 联立解析式得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(y＝x＋2，,y＝\f(3,x)，)) 解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝3))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝－3，,y＝－1，)) ∴B(－3，－1). (2)∵S△BPO＝eq \f(1,2)S△ABO， ∴P是AB的中点，∴P(－1,1)， ∴OB的解析式为y＝eq \f(1,3)x， 当PM取得最小值时，PM⊥OB， ∴设直线PM的解析式为y＝－3x＋b， 将P(－1,1)代入得3＋b＝1，解得b＝－2， ∴直线PM的解析式为y＝－3x－2， 联立eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(y＝－3x－2，,y＝\f(1,3)x，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝－\f(3,5)，,y＝－\f(1,5)，)) ∴Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,5)，－\f(1,5)))， ∴PM的最小值为eq \r( ,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1＋\f(3,5)))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,5)))2)＝eq \f(2\r( ,10),5). 10.(2024·广州)一个人的脚印信息往往对应着这个人某些方面的基本特征.某数学兴趣小组收集了大量不同人群的身高和脚长数据，通过对数据的整理和解析，发现身高y(cm)和脚长x(cm)之间近似存在一个函数关系，部分数据如表： 脚长x/cm … 23 24 25 26 27 28 … 身高y/cm … 156 163 170 177 184 191 … (1)在图中描出表中数据对应的点(x，y)； (2)根据表中数据，从y＝ax＋b(a≠0)和y＝eq \f(k,x)(k≠0)中选择一个函数模型，使它能近似地反映身高和脚长的函数关系，并求出这个函数的解析式(不要求写出x的取值范围)； (3)某场所发现了一个人的脚印，脚长约为25.8 cm，请根据(2)中求出的函数解析式，估计这个人的身高. 解：(1)描点如图示： (2)∵y＝eq \f(k,x)(k≠0)转化为k＝xy＝23×156≠24×163≠25×170≠…， ∴y与x的函数解析式不可能是y＝eq \f(k,x). 故选一次函数y＝ax＋b(a≠0)，将点(23,156)、(24,163)代入解析式， 得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(23a＋b＝156，,24a＋b＝163，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a＝7，,b＝－5，)) ∴一次函数解析式为y＝7x－5. (3)当x＝25.8 cm时，y＝7×25.8－5＝175.6(cm). 答：估计这个人的身高为175.6 cm. $$