第六章　圆 2025年九年级中考数学人教版一轮复习专题复习课件（河南）

第一部分　河南中招考点梳理篇 第六章　圆 整合点(三)　与圆有关的计算(1课时) 立足课标★明方向 单击此处编辑母版标题样式 单击此处编辑母版文本样式 二级 三级 四级 五级 目录 CONTENTS 1 立足课标★明方向 2 考点梳理★固基础 3 聚焦河南★瞄靶向 4 预测河南★押考前 立足课标★明方向 1 立足课标★明方向 立足课标★明方向 立足课标★明方向 2 考点梳理★固基础 立足课标★明方向 2πR πR2 考点梳理★固基础 考点梳理★固基础 l2 扇形 等腰三角形 弧长 半径 πrl πr(r＋l) 考点梳理★固基础 各边 各角 外接圆 中心 半径 边心距 中心角 n 中心 偶数 中心 考点梳理★固基础 na 考点梳理★固基础 考点梳理★固基础 考点梳理★固基础 考点梳理★固基础 3 聚焦河南★瞄靶向 立足课标★明方向 聚焦河南★瞄靶向 C 聚焦河南★瞄靶向 聚焦河南★瞄靶向 聚焦河南★瞄靶向 聚焦河南★瞄靶向 聚焦河南★瞄靶向 4 预测河南★押考前 立足课标★明方向 A 预测河南★押考前 B 预测河南★押考前 D 预测河南★押考前 108 预测河南★押考前 28.7 预测河南★押考前 预测河南★押考前 4π 11π 预测河南★押考前 4π 预测河南★押考前 3 000π 预测河南★押考前 252π 预测河南★押考前 预测河南★押考前 C 预测河南★押考前 谢 谢 观 看 会计算圆的弧长、扇形的面积.了解正多边形的概念及正多边形与圆的关系. 考点1　弧长与扇形面积的计算 圆的周长 C＝① 1.R为圆(扇形)的半径. 2.n°为弧所对的圆心角的度数. 3.l是扇形的弧长 扇形的弧长 l＝② 圆的面积 S＝③ 扇形的面积 S扇形＝④ ＝eq \f(1,2)l·R eq \f(nπR,180) eq \f(n,360)πR2 易中考·总结全 扇形面积公式S扇形＝eq \f(1,2)lR与三角形面积公式十分类似，可把扇形想象成曲边三角形，把弧长l看作底，R看作底上的高. 考点2　圆锥的相关计算 圆锥 l为母线长，r为底面半径，h为圆锥高 (1)r2＋h2＝⑤ . (2)圆锥的侧面展开图是⑥ ，轴截面是⑦ . (3)圆锥底面圆的周长(2πr)等于其侧面展开图扇形的 ⑧ . (4)圆锥的母线长等于其侧面展开图扇形的⑨ . (5)圆锥的侧面积为⑩ ；圆锥的全面积为⑪ 考点3　正多边形和圆 正多边 形与圆 ⑫ 相等，⑬ 也相等的多边形叫做正多边形.任何正多边形都有一个外接圆与一个内切圆，这两个圆是同心圆 外接圆 把圆分成n(n≥3)等份，依次连接各分点所得的多边形是这个圆的内接正n边形，这个圆叫做正n边形的⑭ ，正多边形的外接圆的圆心叫做正多边形的⑮ ，外接圆的半径叫做正多边形的⑯ ，正多边形的中心到其一边的距离叫做正多边形的⑰ ，正多边形每一边所对的外接圆的圆心角叫做正多边形的⑱ 正多边形 的对称性 正多边形都是轴对称图形.一个正n边形共有⑲ 条对称轴，每条对称轴都通过正n边形的⑳ ；边数为eq \o(○,\s\up8(21)) 的正多边形还是中心对称图形，它的对称中心是正多边形的eq \o(○,\s\up8(22)) eq \f(360°,n) eq \f(1,2)nar 考点4　阴影部分面积的计算(重点) 1.弓形面积的求法 半圆对应的弓形 劣弧对应的弓形 优弧对应的弓形 S阴影＝eq \f(1,2)S圆 S阴影＝S扇形AOB－S△AOB S阴影＝S△AOB＋S大扇形AOB 2.求不规则面积的常用方法 (1)和差法 方法 图形(图形转化) 面积的计算 直接和差法 S阴影＝S△ACB－S扇形CAD S阴影＝S△OBD＋S扇形COD 构造和差法 S阴影＝S△ODC－S扇形DOE S阴影＝S扇形AOB－S△AOB (2)等积转化法 方法 图形的转化 面积的计算 直接等 面积 转化法 S阴影＝S扇形COD 平移转 化法 (E，F分别是AB，CD的中点) S阴影＝S正方形BCFE 对称转 化法 S阴影＝S扇形ACB－S△ADC 旋转转 化法 S阴影＝S扇形ABE－S扇形MBN 命题点1　弧长的计算(7年1考) 1.(2021·河南)如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，D均在小正方形的顶点上，且点B，C在eq \o(AD,\s\up20(︵))上，∠BAC＝22.5°，则eq \o(BC,\s\up20(︵))的长为 . eq \f(5π,4) 命题点2　阴影部分周长、面积的计算(7年6考) 2.(2024·河南)如图，⊙O是边长为4eq \r( ,3)的等边三角形ABC的外接圆，点D是eq \o(BC,\s\up20(︵))的中点，连接BD，CD.以点D为圆心，BD的长为半径在⊙O内画弧，则阴影部分的面积为(　 　) A.eq \f(8π,3)　　　 B.4π　　　 C.eq \f(16π,3)　　　 D.16π 3.(2022·河南)如图，将扇形AOB沿OB方向平移，使点O移到OB的中点O′处，得到扇形A′O′B′.若∠O＝90°，OA＝2，则阴影部分的面积为 . eq \f(π,3)＋eq \f(\r( ,3),2) 4.(2020·河南)如图，在扇形BOC中，∠BOC＝60°，OD平分∠BOC交eq \o(BC,\s\up20(︵))于点D，点E为半径OB上一动点.若OB＝2，则阴影部分周长的最小值为 . eq \f(6\r( ,2)＋π,3) 5.(2019·河南)如图，在扇形AOB中，∠AOB＝120°，半径OC交弦AB于点D，且OC⊥OA.若OA＝2eq \r( ,3)，则阴影部分的面积为 . eq \r( ,3)＋π 6.(2018·河南)如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，将△ABC绕AC的中点D逆时针旋转90°得到△A′B′C′，其中点B的运动路径为eq \o(BB′,\s\up20(︵))，则图中阴影部分的面积为 . eq \f(5,4)π－eq \f(3,2) 1.(2024·泰安)两个半径相等的半圆形按如图方式放置，半圆形O′的一个直径端点与半圆形O的圆心重合，若半圆形的半径为2，则阴影部分的面积是(　 　) A.eq \f(4,3)π－eq \r( ,3)　　　　 B.eq \f(4,3)π C.eq \f(2,3)π－eq \r( ,3)　　　 D.eq \f(4,3)π－eq \f(\r( ,3),4) 2.(2023·宜宾)《梦溪笔谈》是我国古代科技著作，其中它记录了计算圆弧长度的“会圆术”.如图，eq \o(AB,\s\up20 (︵))是以点O为圆心、OA为半径的圆弧，N是AB的中点.MN⊥AB.“会圆术”给出eq \o(AB,\s\up20 (︵))的长l的近似值计算公式：l＝AB＋eq \f(MN2,OA).当OA＝4，∠AOB＝60°时，则l的值为(　 　) A.11－2eq \r( ,3)　　　 B.11－4eq \r( ,3) C.8－2eq \r( ,3)　　　 D.8－4eq \r( ,3) 3.(2024·重庆)如图，在矩形ABCD中，分别以点A和C为圆心，AD长为半径画弧，两弧有且仅有一个公共点.若AD＝4，则图中阴影部分的面积为(　 　) A.32－8π　　　 B.16eq \r( ,3)－4π C.32－4π　　　 D.16eq \r( ,3)－8π 4.(2024·兰州)“轮动发石车”是我国古代的一种投石工具，在春秋战国时期被广泛应用，图①是陈列在展览馆的仿真模型.图②是模型驱动部分的示意图，其中⊙M，⊙N的半径分别是1 cm和10 cm，当⊙M顺时针转动3周时，⊙N上的点P随之旋转n°，则n＝ . INCLUDEPICTURE"24LY60.TIF" 　　 5.(2024·内蒙古)为了促进城乡协调发展，实现共同富裕，某乡镇计划修建公路.如图，eq \o(AB,\s\up20 (︵))与eq \o(CD,\s\up20(︵))是公路弯道的外、内边线，它们有共同的圆心O，所对的圆心角都是72°，点A，C，O在同一条直线上，公路弯道外侧边线比内侧边线多36米，则公路宽AC的长是 米.(π取3.14，计算结果精确到0.1) 6.(2024·临夏州)如图，对折边长为2的正方形纸片ABCD，OM为折痕，以点O为圆心，OM为半径作弧，分别交AD，BC于E，F两点，则eq \o(EF,\s\up20(︵))的长度为 (结果保留π). eq \f(2π,3) 7.(2024·长沙)半径为4，圆心角为90°的扇形的面积为 (结果保留π). 8.(2024·吉林)某新建学校因场地限制，要合理规划体育场地.小明绘制的铅球场地设计图如图所示，该场地由⊙O和扇形OBC组成，OB，OC分别与⊙O交于点A，D.OA＝1 m，OB＝10 m，∠AOD＝40°，则阴影部分的面积为 m2(结果保留π). 9.(2024·深圳)如图，在矩形ABCD中，BC＝eq \r( ,2)AB，O为BC中点，OE＝AB＝4，则扇形EOF的面积为 . 10.(2024·甘肃)甘肃临夏砖雕是一种历史悠久的古建筑装饰艺术，是第一批国家级非物质文化遗产.如图①是一块扇面形的临夏砖雕作品，它的部分设计图如图②，其中扇形OBC和扇形OAD有相同的圆心O，且圆心角∠O＝100°，若OA＝120 cm，OB＝60 cm，则阴影部分的面积是 cm2.(结果用π表示) 11.(2024·自贡)龚扇是自贡“小三绝”之一，为弘扬民族传统文化，某校手工兴趣小组将一个废弃的大纸杯侧面剪开直接当作扇面，制作了一个龚扇模型(如图)，扇形外侧两竹条AB，AC夹角为120°，AB长30 cm，BD长为18 cm，则扇面面积为 cm2(结果保留π). 12.(2025·易中考预测)如图，在矩形ABCD中，BC＝2，CD＝eq \r( ,3)，以点B为圆心，BC的长为半径作eq \o(CE,\s\up20(︵))交AD于点E；以点A为圆心，AE的长为半径作eq \o(EF,\s\up20(︵))交AB于点F，则 图中阴影部分的面积为 . eq \f(5π,12)＋eq \f(\r( ,3),2) 13.(2025·易中考预测)我们都知道蜂巢是由很多个正六边形组合起来的.正六边形蜂巢的建筑结构密合度最高、用材最少、空间最大、也最为坚固.如图，某蜂巢的房孔是边长为6的正六边形ABCDEF，若圆O的内接正六边形为正六边形ABCDEF，则BF的长为(　 　) INCLUDEPICTURE"24LY69.TIF" 　　 A.12　　　 B.3eq \r( ,3)　　　 C.6eq \r( ,3)　　　 D.6eq \r( ,2) $$ 第一部分　河南中招考点梳理篇 第六章　圆 整合点(二)　与圆有关的位置关系(1课时) 立足课标★明方向 单击此处编辑母版标题样式 单击此处编辑母版文本样式 二级 三级 四级 五级 目录 CONTENTS 1 立足课标★明方向 2 考点梳理★固基础 3 聚焦河南★瞄靶向 4 预测河南★押考前 立足课标★明方向 1 立足课标★明方向 立足课标★明方向 立足课标★明方向 2 考点梳理★固基础 立足课标★明方向 考点梳理★固基础 考点梳理★固基础 垂直 考点梳理★固基础 切点 考点梳理★固基础 考点梳理★固基础 三个顶点 三条边 考点梳理★固基础 考点梳理★固基础 3 聚焦河南★瞄靶向 立足课标★明方向 C 聚焦河南★瞄靶向 B 聚焦河南★瞄靶向 聚焦河南★瞄靶向 聚焦河南★瞄靶向 聚焦河南★瞄靶向 聚焦河南★瞄靶向 聚焦河南★瞄靶向 聚焦河南★瞄靶向 D 聚焦河南★瞄靶向 D 聚焦河南★瞄靶向 C 聚焦河南★瞄靶向 4 预测河南★押考前 立足课标★明方向 D 预测河南★押考前 C 6.5 cm或2.5 cm 预测河南★押考前 65° 预测河南★押考前 预测河南★押考前 预测河南★押考前 预测河南★押考前 预测河南★押考前 预测河南★押考前 谢 谢 观 看 1.探索并掌握点与圆的位置关系(2022版课标调整).知道三角形的内心和外心. 2.了解直线和圆的位置关系，掌握切线的概念，探索切线与过切点的半径的关系，会用三角尺过圆上一点画圆的切线(2022版课标删除).在尺规作图内容中，增加：*过圆外一点作圆的切线. 3.*探索并证明切线长定理：过圆外一点所画的圆的两条切线长相等. 考点1　点、直线与圆的位置关系 1.点与圆的位置关系(圆的半径为r，点到圆心的距离为d) 点A在圆内 d＝OA＜r 点B在圆上 d＝OB＝r 点C在圆外 d＝OC＞r 2.直线与圆的位置关系 设⊙O的半径为r，圆心到直线的距离为OP＝d，则直线和圆的位置关系如下表： 位置关系 相离 相切 相交 图示 d与r的关系 d>r d＝r d<r 交点个数 0 1 2 考点2　切线的性质与判定(重点) 概念 直线和圆只有一个公共点，这时我们说这条直线和圆相切，这条直线叫做圆的切线，这个点叫做切点 性质 圆的切线① 于过切点的半径 判定定理 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线 判定方法 1.“有切点，连半径，证垂直”：若已知直线经过圆上一点，则连接这点和圆心得到半径，再证明所连半径与这条直线垂直； 2.“无切点，作垂直，证半径”：若已知条件中不确定直线与圆是否有公共点，则过圆心作直线的垂线段，再证明垂线段的长等于半径的长 *切线长及定理 1.切线长的概念：经过圆外一点作圆的切线，这点与② 之间的线段的长度，叫做这点到圆的切线长. 2.*切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角.如图，PA，PB分别切⊙O于A，B两点，则有PA＝PB，∠APO＝∠BPO＝eq \f(1,2)∠APB 易中考·总结全 解答与切线有关的证明与计算的技巧 1.当已知切线时，常连接切点和圆心，从而构造出直角或直角三角形，然后结合图形的性质及题中条件求解. 2.证明一条直线是圆的切线的方法： (1)当已知条件明确指出圆与直线有公共点时，连接圆心和此公共点，然后证明直线垂直于这条半径，简称为“连半径，证垂直”. (2)当已知条件未明确指出圆与直线有公共点时，可过圆心作直线的垂线，再证明圆心到直线的距离等于半径，简称为“作垂直，证半径”. 考点3　三角形的内心和外心 三角形的外心 三角形的内心 概念 三角形外接圆的圆心 三角形内切圆的圆心 作法 三角形三条边的垂直平分线的交点 三角形三个内角的平分线的交点 性质 三角形的外心到三角形③ 的距离相等 三角形的内心到三角形④ 的距离相等 位置 外心不一定在三角形内 内心一定在三角形内 易中考·总结全 若已知⊙O是△ABC的内切圆，三角形三边的长分别为a，b，c，面积为S，圆的半径为r，则r＝eq \f(2S,a＋b＋c).特别地，当△ABC是直角三角形，∠C＝90°时，r＝eq \f(1,2)(a＋b－c). 命题点1　点、直线与圆的位置关系 1.(2024·广州)如图，⊙O中，弦AB的长为4eq \r( ,3)，点C在⊙O上，OC⊥AB，∠ABC＝30°.⊙O所在的平面内有一点P，若OP＝5，则点P与⊙O的位置关系是(　 　) A.点P在⊙O上　　　 B.点P在⊙O内 C.点P在⊙O外　　　 D.无法确定 2.(2023·宿迁)在同一平面内，已知⊙O的半径为2，圆心O到直线l的距离为3，点P为圆上的一个动点，则点P到直线l的最大距离是(　 　) A.2　　　 B.5　　　 C.6　　　 D.8 3.(2024·镇江)如图，将△ABC沿过点A的直线翻折并展开，点C的对应点C′落在边AB上，折痕为AD，点O在边AB上，⊙O经过点A，D.若∠ACB＝90°，判断BC与⊙O的位置关系，并说明理由. 解：BC与⊙O相切，理由如下： 如图，连接OD， ∵OA＝OD， ∴∠OAD＝∠ODA， 由折叠的性质得∠CAD＝∠OAD， ∴∠CAD＝∠ODA， ∴AC∥OD， ∴∠ODB＝∠ACB＝90°， ∴OD⊥BC. ∵OD是⊙O的半径， ∴BC与⊙O相切. 命题点2　切线的性质与判定(7年5考) 4.(2023·河南)如图，PA与⊙O相切于点A，PO交⊙O于点B，点C在PA上，且CB＝CA.若OA＝5，PA＝12，则CA的长为 . eq \f(10,3) 5.(2020·河南)我们学习过利用尺规作图平分一个任意角，而“利用尺规作图三等分一个任意角”曾是数学史上一大难题，之后被数学家证明是不可能完成的.人们根据实际需要，发明了一种简易操作工具——三分角器.图①是它的示意图，其中AB与半圆O的直径BC在同一直线上，且AB的长度与半圆的半径相等；DB与AC垂直于点B，DB足够长. INCLUDEPICTURE"24LY31.TIF" 　 使用方法如图②所示，若要把∠MEN三等分，只需适当放置三分角器，使DB经过∠MEN的顶点E，点A落在边EM上，半圆O与另一边EN恰好相切，切点为F，则EB，EO就把∠MEN三等分了. 为了说明这一方法的正确性，需要对其进行证明.如下给出了不完整的“已知”和“求证”，请补充完整，并写出“证明”过程. 已知：如图②，点A，B，O，C在同一直线上，EB⊥AC，垂足为点B， . 求证： . 解：已知：如图②，点A，B，O，C在同一直线上，EB⊥AC，垂足为点B，AB＝OB，EN切半圆O于F.M，A，E三点共线. 求证：EB，EO是∠MEN三等分线. 证明：∵EB⊥AC， ∴∠ABE＝∠OBE＝90°. ∵AB＝OB，BE＝BE，∴△ABE≌△OBE(SAS)，∴∠1＝∠2. ∵BE⊥OB，∴BE是⊙O的切线. ∵EN切半圆O于F，∴∠2＝∠3，∴∠1＝∠2＝∠3，∴EB，EO就是∠MEN三等分线. INCLUDEPICTURE"24LY74.TIF" 命题点3　三角形的外接圆和内切圆 6.(2024·滨州)刘徽是魏晋时期我国伟大的数学家，中国古典数学理论的奠基者之一，被誉为“世界古代数学泰斗”.刘徽在注释《九章算术》时十分重视一题多解，其中最典型的是勾股容方和勾股容圆公式的推导，他给出了内切圆直径的多种表达形式.如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AB，BC，CA的长分别为c，a，b.则可以用含c，a，b的式子表示出△ABC的内切圆直径d，下列表达式错误的是(　 　) A.d＝a＋b－c B.d＝eq \f(2ab,a＋b＋c) C.d＝eq \r( ,2c－ac－b) D.d＝|(a－b)(c－b)| 命题点3　三角形的外接圆和内切圆 6.(2024·滨州)刘徽是魏晋时期我国伟大的数学家，中国古典数学理论的奠基者之一，被誉为“世界古代数学泰斗”.刘徽在注释《九章算术》时十分重视一题多解，其中最典型的是勾股容方和勾股容圆公式的推导，他给出了内切圆直径的多种表达形式.如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AB，BC，CA的长分别为c，a，b.则可以用含c，a，b的式子表示出△ABC的内切圆直径d，下列表达式错误的是(　 　) A.d＝a＋b－c B.d＝eq \f(2ab,a＋b＋c) C.d＝eq \r( ,2c－ac－b) D.d＝|(a－b)(c－b)| 7.(2023·聊城)如图，点O是△ABC外接圆的圆心，点I是△ABC的内心，连接OB，IA.若∠CAI＝35°，则∠OBC的度数为(　 　) A.15°　　　 B.17.5°　　　 C.20°　　　 D.25° 1.(2024·山西)如图，已知△ABC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，与AC相切于点A，连接OD.若∠AOD＝80°，则∠C的度数为(　 　) A.30°　　　 B.40°　　　 C.45°　　　 D.50° 2.(2024·泸州)如图，EA，ED是⊙O的切线，切点为A，D，点B，C在⊙O上，若∠BAE＋∠BCD＝236°，则∠E＝(　 　) A.56°　　　 B.60°　　　 C.68°　　　 D.70° 3.(2025·易中考预测)点P非圆上一点，若点P到⊙O上的点的最小距离是4 cm，最大距离是9 cm，则⊙O的半径是 . 4.(2024·黑龙江)如图，△ABC内接于⊙O，AD是直径，若∠B＝25°，则∠CAD＝ . 5.(2024·宿迁)如图，在⊙O中，AB是直径，CD是弦，且AB⊥CD，垂足为E，AB＝20，CD＝12，在BA的延长线上取一点F，连接CF，使∠FCD＝2∠B. (1)求证：CF是⊙O的切线. (2)求EF的长. (1)证明：连接OC， ∵OC＝OB，∴∠B＝∠BCO， ∴∠AOC＝∠B＋∠BCO＝2∠B. ∵AB⊥CD，∴∠CEO＝90°，∴∠COE＋∠OCE＝90°. ∵∠FCD＝2∠B，∴∠FCD＝∠COE，∴∠FCD＋∠OCE＝90°，∴∠OCF＝90°. ∵OC是⊙O的半径，∴CF是⊙O的切线. (2)解：∵AB是直径，CD是弦，且AB⊥CD， ∴CE＝eq \f(1,2)CD＝6. ∵AB＝20，∴OC＝10，∴OE＝eq \r( ,OC2－CE2)＝8. ∵∠OCF＝∠OEC＝90°，∠COE＝∠FOC，∴△OCE∽△OFC，∴eq \f(OC,OF)＝eq \f(OE,OC)，∴eq \f(10,OF)＝eq \f(8,10)，∴OF＝eq \f(25,2)，∴EF＝OF－OE＝eq \f(25,2)－8＝eq \f(9,2). 6.(2024·东营)如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，点E在⊙O上，点C是eq \x\to(BE)的中点，AE⊥CD，垂足为点D，DC的延长线交AB的延长线于点F. (1)求证：CD是⊙O的切线. (2)若CD＝eq \r( ,3)，∠ABC＝60°，求线段AF的长. (1)证明：连接OC， ∵点C是eq \o(BE,\s\up20(︵))的中点，∴eq \o(BC,\s\up20(︵))＝eq \o(CE,\s\up20(︵))， ∴∠BAC＝∠CAE. ∵OC＝OA，∴∠OCA＝∠OAC， ∴∠OCA＝∠CAD，∴OC∥AD. ∵AE⊥CD，∴OC⊥DF. ∵OC是⊙O的半径， ∴CD是⊙O的切线. (2)解：∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°. ∵∠ABC＝60°，∴∠BAC＝30°， ∴∠CAD＝∠BAC＝30°. ∵∠D＝90°，CD＝eq \r( ,3)， ∴AD＝eq \r( ,3)CD＝3. ∵∠F＝180°－∠D－∠BAD＝30°， ∴AF＝2AD＝6. $$ 第一部分　河南中招考点梳理篇 第六章　圆 整合点(一)　圆的有关概念与性质(1课时) 立足课标★明方向 单击此处编辑母版标题样式 单击此处编辑母版文本样式 二级 三级 四级 五级 目录 CONTENTS 1 立足课标★明方向 2 考点梳理★固基础 3 聚焦河南★瞄靶向 4 预测河南★押考前 立足课标★明方向 落地2022年课标新理念·大单元整合 立足课标★明方向 1 立足课标★明方向 立足课标★明方向 立足课标★明方向 2 考点梳理★固基础 立足课标★明方向 线段 圆心 考点梳理★固基础 圆心 考点梳理★固基础 直径 圆心 考点梳理★固基础 一半 圆周角 直径 考点梳理★固基础 相等 相等 相等 相等 相等 相等 考点梳理★固基础 考点梳理★固基础 垂直 平分 考点梳理★固基础 考点梳理★固基础 互补 内对角 考点梳理★固基础 垂直平分线 考点梳理★固基础 3 聚焦河南★瞄靶向 立足课标★明方向 D 聚焦河南★瞄靶向 A 聚焦河南★瞄靶向 A 聚焦河南★瞄靶向 A 聚焦河南★瞄靶向 C 聚焦河南★瞄靶向 B 聚焦河南★瞄靶向 60° 聚焦河南★瞄靶向 4 预测河南★押考前 立足课标★明方向 B 预测河南★押考前 C 预测河南★押考前 B 预测河南★押考前 B 预测河南★押考前 A 预测河南★押考前 C 预测河南★押考前 C 预测河南★押考前 D 预测河南★押考前 B 预测河南★押考前 B 预测河南★押考前 D 预测河南★押考前 B 10π 预测河南★押考前 ∠1(答案不唯一) △BCD 预测河南★押考前 预测河南★押考前 预测河南★押考前 预测河南★押考前 谢 谢 观 看 1.理解圆、弧、弦、圆心角、圆周角的概念，了解等圆、等弧的概念. 2.探索并证明垂径定理：垂直于弦的直径平分弦以及弦所对的两条弧(2022版课标删掉“*”). 3.探索圆周角与圆心角及其所对弧的关系，知道同弧(或等弧)所对的圆周角相等.了解并证明圆周角定理及其推论：圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半；直径所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径；圆内接四边形的对角互补. 考点1　圆的有关概念 圆 圆是所有到定点的距离等于定长的点的集合.如图，以点O为圆心的圆记作⊙O，线段OA叫做半径 弦 连接圆上任意两点的① ，如图中的AC，BC 直径 经过② 的弦，直径等于半径的2倍 圆弧 圆上任意两点间的部分，如图中的eq \o(AC,\s\up20(︵))，eq \o(BC,\s\up20(︵))，eq \o(AB,\s\up20 (︵)). 优弧：大于半圆的弧叫做优弧，如图中的eq \o(ABC,\s\up20(︵)). 劣弧：小于半圆的弧叫做劣弧，如图中的eq \o(AC,\s\up20(︵))，eq \o(BC,\s\up20(︵)). 等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧 圆周角 在圆中，顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角，我们把这样的角叫做圆周角，如图中的∠ACB是eq \o(AB,\s\up20 (︵))所对的圆周角 圆心角 顶点在③ 的角叫做圆心角，如图中的∠AOB是eq \o(AB,\s\up20 (︵))所对的圆心角 考点2　圆的有关性质(重点) 1.圆的对称性 对称性 任何一条④ 所在的直线都是它的对称轴.圆是中心对称图形，⑤ 是它的对称中心 旋转不变性 圆绕圆心旋转任意角度都与自身重合 2.圆周角定理及其推论 定理 1.一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的⑥ . 2.常见图形： 推论 1.同弧或等弧所对的圆周角相等. 2.半圆(或直径)所对的⑦ 是直角，90°的圆周角所对的弦是⑧ 3.弦、弧、圆心角的关系 定理 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧⑨ ，所对的弦⑩ 推论 1.在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角⑪ ，所对的弦⑫ . 2.在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角⑬ ，所对的优弧与劣弧分别⑭ 易中考·总结全 1.理解圆心角、弧、弦三者之间的关系时，注意一条弦对应两条弧，一条弧对应一个圆心角. 2.在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弦、两条弧中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量也相等. 4.垂径定理及其推论 定理 垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧 推论 平分弦(不是直径)的直径⑮ 于弦，并且⑯ 弦所对的两条弧 易中考·总结全 1.根据垂径定理及其推论可知，对于一个圆和一条直线来说，如果具备以下五个条件中的任意两个条件，那么就可以推出其他三个结论：(1)过圆心；(2)垂直于弦；(3)平分弦(不是直径)；(4)平分弦所对的优弧；(5)平分弦所对的劣弧. 2.应用：如图，半径、弦心距和弦的一半构成直角三角形，满足勾股定理OB2＝OE2＋BE2，常用于在圆中求线段长. 5.圆内接四边形及其性质 (1)定义：四边形的四个顶点都在同一个圆上，这个四边形叫做圆内接四边形. (2)性质定理1：圆内接四边形的对角⑰ . (3)性质定理2：圆内接四边形的外角等于它的⑱ . 如图，四边形ABCD内接于⊙O，则∠A＋∠BCD＝∠B＋∠D＝180°，∠DCE＝∠A. 考点3　确定圆的条件 1.不在同一条直线上的三个点确定一个圆. 2.三角形的三个顶点确定一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆.外接圆的圆心是三角形三边⑲ 的交点，叫做三角形的外心. 命题点1　圆周角定理及其推论(7年3考) 1.(2023·河南)如图，点A，B，C在⊙O上，若∠C＝55°，则∠AOB的度数为(　 　) A.95°　　　 B.100°　　　 C.105°　　　 D.110° 2.(2024·泰安)如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上两点，BA平分∠CBD，若∠AOD＝50°，则∠A的度数为(　 　) A.65°　　　 B.55°　　　 C.50°　　　 D.75° 3.(2024·甘肃)如图，点A，B，C在⊙O上，AC⊥OB，垂足为D，若∠A＝35°，则∠C的度数是(　 　) A.20°　　　 B.25°　　　 C.30°　　　 D.35° 4.(2024·宜宾)如图，AB是⊙O的直径，若∠CDB＝60°，则∠ABC的度数等于(　 　) A.30°　　　 B.45°　　　 C.60°　　　 D.90° 命题点2　圆的内接四边形 5.(2024·济宁)如图，分别延长圆内接四边形ABCD的两组对边，延长线相交于点E，F.若∠E＝54°41′，∠F＝43°19′，则∠A的度数为(　 　) A.42°　　　 B.41°20′ C.41°　　　 D.40°20′ 6.(2024·牡丹江)如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB是⊙O的直径，若 ∠BEC＝20°，则∠ADC的度数为(　 　) A.100°　　　 B.110°　　　 C.120°　　　 D.130° 7.(2024·巴中)如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形.若四边形ABCO为菱形，则∠ADC的大小为 . 命题点3　垂径定理及其推论 8.(2024·新疆)如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为E.若CD＝8，OD＝5，则BE的长为(　 　) A.1　　　 B.2　　　 C.3　　　 D.4 9.(2024·凉山州)数学活动课上，同学们要测一个如图所示的残缺圆形工件的半径，小明的解决方案是：在工件圆弧上任取两点A，B，连接AB，作AB的垂直平分线CD交AB于点D，交eq \o(AB,\s\up20 (︵))于点C，测出AB＝40 cm，CD＝10 cm，则圆形工件的半径为(　 　) A.50 cm　　　 B.35 cm C.25 cm　　　 D.20 cm 10.(2024·通辽)如图，圆形拱门最下端AB在地面上，D为AB的中点，C为拱门最高点，线段CD经过拱门所在圆的圆心，若AB＝1 m，CD＝2.5 m，则拱门所在圆的半径为(　 　) INCLUDEPICTURE"24LY11.TIF" 　　 A.1.25 m　　　 B.1.3 m C.1.4 m　　　 D.1.45 m 1.(2024·长沙)如图，在⊙O中，弦AB的长为8，圆心O到AB的距离OE＝4，则⊙O的半径长为(　 　) A.4　　　 B.4eq \r( ,2)　　　 C.5　　　 D.5eq \r( ,2) 2.(2024·广元)如图，已知四边形ABCD是⊙O的内接四边形，E为AD延长线上一点，∠AOC＝128°，则∠CDE等于(　 　) A.64°　　　 B.60°　　　 C.54°　　　 D.52° 3.(2024·吉林)如图，四边形ABCD内接于⊙O.过点B作BE∥AD，交CD于点E.若∠BEC＝50°，则∠ABC的度数是(　 　) A.50°　　　 B.100°　　　 C.130°　　　 D.150° 4.(2024·郑州一模)如图，点A是⊙O中优弧BAD的中点，∠ABD＝70°，C为劣弧BD上一点，则∠BCD的度数是(　 　) A.120°　　　 B.130°　　　 C.140°　　　 D.150° 5.(2024·郸城县三模)如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的两点，∠AOC＝118°，则∠CDB的度数为(　 　) A.28°　　　 B.29°　　　 C.36°　　　 D.31° 6.(2025·易中考预测)如图，以量角器的直径AB为斜边画直角三角形ABC，量角器上点D对应的读数是100°，则∠BCD的度数为(　 　) A.30°　　　 B.40°　　　 C.50°　　　 D.80° 7.(2025·易中考改编)如图，在⊙O中，直径AB＝20，弦DE⊥AB，交AB于点C，连接DO.若DE＝16，则AC的长为(　 　) A.5　　　 B.4　　　 C.8　　　 D.6 8.(2024·洛阳一模)如图，四边形ABCD内接于⊙O，连接OA，OC.若∠B＝110°，则∠AOC的度数为(　 　) A.70°　　　 B.100°　　　 C.110°　　　 D.140° 9.(2024·信阳一模)⊙O的内接四边形ABCD中，∠B与∠D的数量关系为(　 　) A.∠B＝∠D　　　 B.∠B＋∠D＝180° C.∠B＞∠D　　　 D.∠B＜∠D 10.(2024·济源模拟)某公园摩天轮是一种大型转轮状机械建筑设施，上面挂在轮边缘的是供乘客乘搭的座舱，坐在摩天轮上慢慢往上转可以从高处俯瞰春天的景色.A，B表示摩天轮上的两个座舱，如图所示为其示意图.点O是圆心，半径为15 m，A，B是圆上的两点，∠AOB＝120°，则eq \o(AB,\s\up20 (︵))的长为 m(结果保留π). 11.(2024·南阳二模)如图，已知⊙O是等边三角形ABC的外接圆，连接CO并延长交AB于点D，交⊙O于点E，连接EA，EB. (1)写出图中一个度数为30°的角： .图中与△ACD全等的三角形是 . (2)求证：△AED∽△CEB. (3)连接OA，OB，判断四边形OAEB的形状，并说明理由. (2)证明：∵△ABC是等边三角形， ∴AC＝BC，∴∠5＝∠6. 又∠2＝∠3，∴△AED∽△CEB. (3)解：四边形OAEB为菱形. 理由如下： ∵OA＝OB，OC＝OC，AC＝BC， ∴△OAC≌△OBC(SSS). ∴∠1＝∠2＝eq \f(1,2)∠ACB＝30°. ∵CE是⊙O的直径， ∴∠CAE＝90°，∴AE＝eq \f(1,2)CE. 同理可证，BE＝eq \f(1,2)CE. ∴OA＝OB＝AE＝BE， ∴四边形OAEB为菱形. 12.(2024·新乡二模)如图，AB是半圆O的直径，点C是半圆上一点，点D是弧BC的中点，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，连接CD，DB，OD. (1)求证：BE＝CF. (2)填空： ①当eq \f(AD,AB)＝ 时，四边形AODC为菱形； ②当eq \f(AD,AB)＝ 时，四边形AEDF为正方形. eq \f(\r( ,3),2) eq \f(\r( ,2),2) (1)证明：∵点D是弧BC的中点， ∴eq \o(CD,\s\up20(︵))＝eq \o(BD,\s\up20(︵))，∴∠FAD＝∠BAD. ∵DE⊥AB，DF⊥AC， ∴DE＝DF，∠F＝∠DEB＝90°， 又∵四边形ABDC是圆内接四边形， ∴∠ABD＋∠ACD＝∠FCD＋∠ACD＝180°， ∴∠ABD＝∠FCD， ∴△DCF≌△DBE(AAS)， ∴BE＝CF. $$