第二章　方程(组)与不等式(组) 2025年九年级中考数学人教版一轮复习专题复习课件（河南）

第一部分　河南中招考点梳理篇 第二章　方程(组)与不等式(组) 整合点(三)　分式方程及其应用(1课时) 立足课标★明方向 单击此处编辑母版标题样式 单击此处编辑母版文本样式 二级 三级 四级 五级 目录 CONTENTS 1 立足课标★明方向 2 考点梳理★固基础 3 聚焦河南★瞄靶向 4 预测河南★押考前 立足课标★明方向 1 立足课标★明方向 立足课标★明方向 立足课标★明方向 2 考点梳理★固基础 立足课标★明方向 未知数 最简公分母为0 考点梳理★固基础 考点梳理★固基础 考点梳理★固基础 考点梳理★固基础 3 聚焦河南★瞄靶向 立足课标★明方向 A 聚焦河南★瞄靶向 聚焦河南★瞄靶向 聚焦河南★瞄靶向 4 预测河南★押考前 立足课标★明方向 D 预测河南★押考前 预测河南★押考前 预测河南★押考前 预测河南★押考前 预测河南★押考前 预测河南★押考前 谢 谢 观 看 1.能解可化为一元一次方程的分式方程. 2.能根据具体问题的实际意义，检验方程的解是否合理. 考点1　分式方程(重点) 分式方程的概念 分母中含有① 的方程叫做分式方程 解分式方程的基本思想 通过去分母把分式方程转化成整式方程 一般步骤 增根 使分式方程② 的根称为原分式方程的增根 易中考·总结全 分式方程的增根与无解不是同一个概念. (1)分式方程有增根的原因：将分式方程化为整 式方程时，在方程的两边同乘了使最简公分母为0的整式. (2)分式方程无解的原因有两个：一是去分母后的整式方程无解；二是整式方程的解使最简公分母为0. 考点2　分式方程的应用 行程问题 时间＝eq \f(路程,速度) 工程问题 工作时间＝eq \f(工作总量,工作效率)，工作效率＝eq \f(工作总量,工作时间) 购买问题 eq \f(总价,单价)＝数量 销售问题 折扣＝eq \f(售价,标价)，标价＝eq \f(售价,折扣) 易中考·总结全 解分式方程实际问题时注意双检验： 1.检验是否是分式方程的解； 2.检验是否符合实际问题. 命题点1　分式方程及其解法(7年1考) 1.(2017·河南)解分式方程eq \f(1,x－1)－2＝eq \f(3,1－x)，去分母得(　 　) A.1－2(x－1)＝－3　　　 B.1－2(x－1)＝3 C.1－2x－2＝－3　　　 D.1－2x＋2＝3 命题点2　分式方程的实际应用(7年1考) 2.(2022·河南节选)近日，教育部印发《义务教育课程方案》和课程标准(2022年版)，将劳动从原来的综合实践活动课程中独立出来.某中学为了让学生体验农耕劳动，开辟了一处耕种园，需要采购一批菜苗开展种植活动.据了解，市场上每捆A种菜苗的价格是菜苗基地的eq \f(5,4)，用300元在市场上购买的A种菜苗比在菜苗基地购买的少3捆.求菜苗基地每捆A种菜苗的价格. 解：设菜苗基地每捆A种菜苗的价格是x元， 根据题意，得eq \f(300,x)＝eq \f(300,\f(5,4)x)＋3， 解得x＝20， 经检验，x＝20是原方程的解且符合题意. 答：菜苗基地每捆A种菜苗的价格是20元. 1.(2025·易中考预测)已知关于x的分式方程eq \f(2x－m,x－3)＝1的解是非负数，则m的取值范围是(　 　) A.m≤3　　　 B.m＜3 C.m＞3且m≠6　　　 D.m≥3且m≠6 2.(2023·泰安)为进行某项数学综合与实践活动，小明到一个批发兼零售的商店购买所需工具.该商店规定一次性购买该工具达到一定数量后可以按批发价付款，否则按零售价付款.小明如果给学校九年级学生每人购买一个，只能按零售价付款，需用3 600元；如果多购买60个，则可以按批发价付款，同样需用3 600元.若按批发价购买60个与按零售价购买50个所付款相同，这个学校九年级学生有多少人？ 解：设这个学校九年级学生有x人， 根据题意，得eq \f(3 600,x)×50＝eq \f(3 600,x＋60)×60， 解得x＝300， 经检验，x＝300是所列方程的解，且符合题意. 答：这个学校九年级学生有300人. 3.(2024·福建)解方程：eq \f(3,x＋2)＋1＝eq \f(x,x－2). 解：原方程两边都乘(x＋2)(x－2)，得3(x－2)＋(x＋2)(x－2)＝x(x＋2)， 整理，得3x－10＝2x， 解得x＝10， 检验：当x＝10时，(x＋2)(x－2)≠0. 故原方程的解为x＝10. 4.(2024·云南)某旅行社组织游客从A地到B地的航天科技馆参观，已知A地到B地的路程为300千米，乘坐C型车比乘坐D型车少用2小时，C型车的平均速度是D型车的平均速度的3倍，求D型车的平均速度. 解：设D型车的平均速度是x千米/时，则C型车的平均速度是3x千米/时， 根据题意，得eq \f(300,x)－eq \f(300,3x)＝2， 解得x＝100， 经检验，x＝100是所列方程的解，且符合题意. 答：D型车的平均速度是100千米/时. 5.(2024·自贡)为传承我国传统节日文化，端午节前夕，某校组织了包粽子活动.已知七(3)班甲组同学平均每小时比乙组多包20个粽子，甲组包150个粽子所用的时间与乙组包120个粽子所用的时间相同.求甲、乙两组同学平均每小时各包多少个粽子. 解：设乙组同学平均每小时包x个粽子，则甲组同学平均每小时包(x＋20)个粽子， 根据题意，得eq \f(150,x＋20)＝eq \f(120,x)， 解得x＝80， 经检验，x＝80是原方程的解，且符合题意， x＋20＝100. 答：甲组同学平均每小时包100个粽子，乙组同学平均每小时包80个粽子. 6.(2024·安阳一模节选)“安阳是一生必去的城市，有文化，必安阳！”越来越多的游客慕名来到安阳旅游，与甲骨文有关的文旅产品受到游客的普遍欢迎.某商店销售以甲骨文为主题的A，B两款文化衫，每件A款文化衫的利润比每件B款文化衫的利润多8元，销售A款文化衫获利300元和销售B款文化衫获利180元时的销售数量相同.求每件A款文化衫和B款文化衫的利润. 解：设每件A款文化衫利润是x元，则每件B款文化衫利润是(x－8)元， 根据题意，得eq \f(300,x)＝eq \f(180,x－8)， 解得x＝20. 经检验，x＝20是原分式方程的解且符合题意. ∴x－8＝12， 答：每件A款文化衫利润是20元，每件B款文化衫利润是12元. $$ 第一部分　河南中招考点梳理篇 第二章　方程(组)与不等式(组) 整合点(一)　一次方程(组)及其应用(1课时) 立足课标★明方向 单击此处编辑母版标题样式 单击此处编辑母版文本样式 二级 三级 四级 五级 目录 CONTENTS 1 立足课标★明方向 2 考点梳理★固基础 3 聚焦河南★瞄靶向 4 预测河南★押考前 立足课标★明方向 落地2022年课标新理念·大单元整合 立足课标★明方向 1 立足课标★明方向 立足课标★明方向 立足课标★明方向 2 考点梳理★固基础 立足课标★明方向 相等关系 b±c 考点梳理★固基础 方程的解也叫做方程的根 考点梳理★固基础 一个 1 不等于0 ax＋b＝0(a≠0) 考点梳理★固基础 考点梳理★固基础 两 1 考点梳理★固基础 考点梳理★固基础 考点梳理★固基础 考点梳理★固基础 3 聚焦河南★瞄靶向 立足课标★明方向 聚焦河南★瞄靶向 聚焦河南★瞄靶向 聚焦河南★瞄靶向 A 聚焦河南★瞄靶向 聚焦河南★瞄靶向 聚焦河南★瞄靶向 4 预测河南★押考前 立足课标★明方向 A 预测河南★押考前 C C 预测河南★押考前 A 预测河南★押考前 B 预测河南★押考前 预测河南★押考前 预测河南★押考前 谢 谢 观 看 1.能根据现实情境理解方程的意义，能针对具体问题列出方程(2022版课标调整)；理解方程解的意义(2022版课标新增)，经历估计方程解的过程. 2.掌握等式的基本性质；能解一元一次方程. 3.掌握消元法(2022版课标调整)，能解二元一次方程组. 4.*能解简单的三元一次方程组. 考点1　等式的基本性质及方程的相关概念 1.等式的概念及性质 等式 表示① 的式子，叫做等式 性质1 等式两边加(或减)同一个数(或式子)，结果仍相等. 若a＝b，则a±c＝② 应用：解方程中的移项 性质2 等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等. 若a＝b，则ac＝bc； 若a＝b，则eq \f(a,c)＝eq \f(b,c)(c≠0) 应用：解方程中的去分母或系数化为1 其他 等式具有对称性和传递性：若a＝b，则b＝a； 若a＝b，b＝c，则a＝c 2.方程的相关概念 方程 含有未知数的等式叫做方程 方程的解 使方程左、右两边相等的未知数的值叫做方程的解， ③ 解方程 求方程解的过程叫做解方程 考点2　一元一次方程(重点) 1.一元一次方程：在整式方程中，只含有④ 未知数，并且未知数的次数是⑤ ，系数⑥ 的方程叫做一元一次方程.⑦ 是一元一次方程的标准形式. 易中考·总结全 (1)a≠0时，方程有唯一解x＝－eq \f(b,a)； (2)a＝0，b＝0时，方程有无数个解； (3)a＝0，b≠0时，方程无解. 2.解一元一次方程的一般步骤 步骤 具体做法 注意事项 去分母 若方程中未知数的系数为分数，方程两边同时乘各分母的最小公倍数 不要漏乘不含分母的项 去括号 依据去括号法则去括号 括号前面是负号时，去括号后括号内各项均要变号 移项 含未知数的项移到等号的一边，不含未知数的项移到另一边 移项要变号 合并同类项 把方程化为ax＝－b(a≠0)的形式 计算要认真、细致 系数化为1 方程两边同时乘未知数的系数的倒数，化为x＝－eq \f(b,a)的形式 分子、分母不要颠倒 考点3　二元一次方程(组)及其解法(重点) 相关概念 1.二元一次方程：方程含有⑧ 个未知数，并且含有未知数的项的次数都是⑨ 的整式方程； 2.二元一次方程组：把具有相同未知数的两个二元一次方程(或一个二元一次方程，一个一元一次方程)联立起来组成的方程组 基本思想 消元，即将二元一次方程组转化为一元一次方程 解题方法 1.代入消元法：当方程组中一个未知数的系数是1或－1，或一个方程的常数项为0时，选择代入消元法较简单； 解题方法 2.加减消元法：当方程组中同一个未知数的系数相等或互为相反数或成整数倍关系时，选择加减消元法较简单 考点4　一次方程(组)的应用 1.列方程(组)解应用题的一般步骤 审 即审清题意，分清题中的已知量和未知量 设 即设出关键未知数 列 即找出题干中的等量关系，列方程(组) 解 即解方程(组) 验 即检验结果是否正确或是否有实际意义 答 回归题目，规范作答 2.常见应用类型 销售打折问题 销售额＝售价×销量； 利润＝销售额－成本； 利润率＝eq \f(利润,进价)×100%； 售价＝标价×折扣 储蓄问题(单利) 利息＝本金×利率×期数； 本息和＝本金＋利息＝本金×(1＋利率×期数) 行程问题 路程＝速度×时间. 相遇问题：两地距离＝两者路程和. 追及问题： 同地不同时，前者路程＝追者路程， 同时不同地，前者路程＋两地距离＝追者路程. 航行问题：顺速＝船速＋水速； 逆速＝船速－水速 数字问题 一个三位数，个位上的数字为a，十位上的数字为b，百位上的数字为c，则这个三位数是100c＋10b＋a 浓度问题(跨学科) 溶液＝溶质＋溶剂； 溶质＝浓度×溶液 命题点1　一次方程(组)及其解法(7年1考) 1.(2023·河南)方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(3x＋y＝5，,x＋3y＝7))的解为 . eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝2)) 命题点2　一次方程(组)及其应用(7年4考) 2.(2024·河南节选)为响应“全民植树增绿，共建美丽中国”的号召，学校组织学生到郊外参加义务植树活动，并准备了A，B两种食品作为午餐.这两种食品每包质量均为50 g，营养成分表如下. INCLUDEPICTURE"24HN16.TIF" 　 若要从这两种食品中摄入4 600 kJ热量和70 g蛋白质，应选用A，B两种食品各多少包？ 解：设应选用A种食品x包，B种食品y包， 根据题意，得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(700x＋900y＝4 600，,10x＋15y＝70，)) 解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝4，,y＝2.)) 答：应选用A种食品4包，B种食品2包. 3.(2018·河南)《九章算术》中记载：“今有共买羊，人出五，不足四十五；人出七，不足三.问人数、羊价各几何.”其大意是：今有人合伙买羊，若每人出5钱，还差45钱；若每人出7钱，还差3钱.问合伙人数、羊价各是多少.设合伙人数为x人，羊价为y钱，根据题意，可列方程组为(　 　) A.eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(y＝5x＋45，,y＝7x＋3))　　　　 B.eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(y＝5x－45，,y＝7x＋3)) C.eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(y＝5x＋45，,y＝7x－3))　　　 D.eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(y＝5x－45，,y＝7x－3)) 4.(2019·河南节选)学校计划为“我和我的祖国”演讲比赛购买奖品.已知购买3个A奖品和2个B奖品共需120元；购买5个A奖品和4个B奖品共需210元.求A，B两种奖品的单价. 解：设A种奖品的单价为x元，B种奖品的单价为y元， 根据题意，得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(3x＋2y＝120，,5x＋4y＝210，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝30，,y＝15，)) 答：A种奖品的单价为30元，B种奖品的单价为15元. 5.(2017·河南节选)学校“百变魔方”社团准备购买A，B两种魔方，已知购买2个A种魔方和6个B种魔方共需130元；购买3个A种魔方和4个B种魔方所需钱数相同.求两种魔方的单价. 解：设A种魔方的单价为a元，B种魔方的单价为b元. 由题意可得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(2a＋6b＝130，,3a＝4b.))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a＝20，,b＝15.)) 答：A种魔方的单价为20元，B种魔方的单价为15元. 1.(2024·深圳)在明朝程大位《算法统宗》中有首住店诗：我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空.诗的大意是：一些客人到李三公的店中住宿，如果每一间客房住7人，那么有7人无房可住；如果每一间客房住9人，那么就空出一间房.设该店有客房x间，房客y人，则可列方程组为(　 　) 　　　　　　　　　　　　　 A.eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(7x＋7＝y，,9x－1＝y)) B.eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(7x＋7＝y，,9x＋1＝y)) C.eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(7x－7＝y，,9x－1＝y)) D.eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(7x－7＝y，,9x＋1＝y)) 2.(2024·宜宾)某果农将采摘的荔枝分装为大箱和小箱销售，其中每个大箱装4千克荔枝，每个小箱装3千克荔枝.该果农现采摘有32千克荔枝，根据市场销售需求，大小箱都要装满，则所装的箱数最多为(　 　) A.8箱　　　 B.9箱　　　 C.10箱　　　 D.11箱 3.若二元一次方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(5x－3y＝28，,y＝－3x))的解为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝a，,y＝b，))则a＋b＝(　 　) A.－28　　　 B.－14　　　 C.－4　　　 D.14 4.(2024·兰州)数学家朱世杰所著的《四元玉鉴》是中国元代重要的数学著作之一，书中记载着这样一个问题，大意是：999文钱买了甜果和苦果共1 000个，11文钱可买9个甜果，4文钱可买7个苦果，问甜果，苦果各买了多少个.设买了甜果x个，苦果y个，则可列方程组为(　 　) A.eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＋y＝1 000，,\f(11,9)x＋\f(4,7)y＝999))　　　　 B.eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x－y＝1 000，,\f(11,9)x＋\f(4,7)y＝999)) C.eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x－y＝1 000，,\f(4,7)x＋\f(11,9)y＝999))　　　 D.eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＋y＝999，,\f(4,7)x＋\f(11,9)y＝1 000)) 5.《九章算术》是中国古代的数学专著，它以计算为中心，以解决人们生产、生活中的数学问题为目的，书中有一个数学问题：今有数人共同买琎(一种像玉的美石)，每人出eq \f(1,2)两钱，多出4两钱；每人出eq \f(1,3)两钱，少3两钱.问人数、琎的价格分别是多少.若设人数为x人，根据题意，可以列出方程(　 　) A.eq \f(1,2)x＋4＝eq \f(1,3)x－3　　　 B.eq \f(1,2)x－4＝eq \f(1,3)x＋3 C.eq \f(1,2)x－3＝eq \f(1,3)x＋4　　　 D.eq \f(1,2)x＋4＝eq \f(1,3)x＋3 6.(2024·浙江)解方程组：eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(2x－y＝5，,4x＋3y＝－10.)) 解：eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(2x－y＝5，①,4x＋3y＝－10，②)) ①×3＋②，得10x＝5， 解得x＝eq \f(1,2)， 把x＝eq \f(1,2)代入①，得2×eq \f(1,2)－y＝5， 解得y＝－4， 所以方程组的解是eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝\f(1,2)，,y＝－4.)) 7.(2024·山西)当下电子产品更新换代速度加快，废旧智能手机数量不断增加.科学处理废旧智能手机，既可减少环境污染，还可回收其中的可利用资源.据研究，从每吨废旧智能手机中能提炼出的白银比黄金多760克.已知从2.5吨废旧智能手机中提炼出的黄金，与从0.6吨废旧智能手机中提炼出的白银克数相等.求从每吨废旧智能手机中能提炼出黄金与白银各多少克. 解：设从每吨废旧智能手机中能提炼出黄金x克，白银y克， 根据题意，得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(y＝x＋760，,2.5x＝0.6y，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝240，,y＝1 000.)) 答：从每吨废旧智能手机中能提炼出黄金240克，白银1 000克. $$ 第一部分　河南中招考点梳理篇 第二章　方程(组)与不等式(组) 整合点(四)　一元一次不等式(组)(1课时) 立足课标★明方向 单击此处编辑母版标题样式 单击此处编辑母版文本样式 二级 三级 四级 五级 目录 CONTENTS 1 立足课标★明方向 2 考点梳理★固基础 3 聚焦河南★瞄靶向 4 预测河南★押考前 立足课标★明方向 1 立足课标★明方向 立足课标★明方向 立足课标★明方向 2 考点梳理★固基础 立足课标★明方向 未知数 考点梳理★固基础 ＞ ＜ ＜ 考点梳理★固基础 考点梳理★固基础 x＞a x≤a x≥a 考点梳理★固基础 考点梳理★固基础 考点梳理★固基础 考点梳理★固基础 考点梳理★固基础 3 聚焦河南★瞄靶向 立足课标★明方向 A 2＜x≤3 x＞a 聚焦河南★瞄靶向 x≤－2 －2 聚焦河南★瞄靶向 聚焦河南★瞄靶向 聚焦河南★瞄靶向 聚焦河南★瞄靶向 聚焦河南★瞄靶向 4 预测河南★押考前 立足课标★明方向 D 预测河南★押考前 B 预测河南★押考前 C C 预测河南★押考前 B C 预测河南★押考前 x≥3 2＜x＜3 预测河南★押考前 预测河南★押考前 预测河南★押考前 预测河南★押考前 预测河南★押考前 谢 谢 观 看 1.结合具体问题，了解不等式的意义，探索不等式的基本性质. 2.能解数字系数的一元一次不等式，并能在数轴上表示出解集；会用数轴确定由两个一元一次不等式组成的不等式组的解集. 3.能根据具体问题中的数量关系，列出一元一次不等式，解决简单的问题. 考点1　不等式的概念与性质(重点) 1.概念 不等式的定义 一般地，用符号“<”(或“≤”)“>”(或“≥”)“≠”连接的式子叫做不等式 不等式的解 使不等式成立的① 的值 不等式的解集 一个含有未知数的不等式的所有的解，组成这个不等式的解集 2.不等式的性质 性质1 不等式两边都加上(或减去)同一个数(或式子)，不等号的方向不变，即若a＞b，则a±c② b±c 应用：解不等式中的移项 性质2 不等式两边同乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变，即若a＞b，c＞0，则ac＞bc或（eq \f(a,c)＞eq \f(b,c)） 应用：解不等式中的去分母(或系数化为1) 性质3 不等式两边同乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变，即若a＞b，c＜0，则ac③ bc或（eq \f(a,c)④ eq \f(b,c)） 应用：解不等式中的去分母(或系数化为1) 不等式的其他相关性质 ①对称性：如果a>b，那么b<a. ②传递性：如果a>b，且b>c，那么a>c. ③同向相加性：如果a>b，c>d，那么a＋c>b＋d. ④如果a≥b，且b≥a，那么a＝b. 考点2　一元一次不等式及其解法(重点) 概念 含有一个未知数，并且未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式 解法步骤 去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1(系数化为1时，注意不等号方向是否改变) 解集在数轴上的表示 x＜a 　 ⑤ 　 ⑥ 　 ⑦ 　 易中考·总结全 在数轴上表示不等式的解集时，要注意“两定”：一是定界点，一般在数轴上只标出原点和界点即可，定界点时要注意，点是实心还是空心，若界点含于解集，则为实心点，不含于解集则为空心点；二是定方向，定方向的原则是“小于向左，大于向右”. 考点3　一元一次不等式组及其解法(重点) 1.一元一次不等式组：一般地，关于同一未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成一个一元一次不等式组. 2.一元一次不等式组的解法 (1)解一元一次不等式组的一般步骤：先求出这个不等式组中每个一元一次不等式的解集，然后求各不等式解集的公共部分，得出不等式组的解集. (2)常见的几种不等式组解集在数轴上的表示(其中a>b) 不等式组 在数轴上表示 解集 口诀 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x>a，,x>b)) x>a 同大取大 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x<a，,x<b)) x<b 同小取小 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x<a，,x>b)) b<x<a 大小小大中间找 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x>a，,x<b)) 无解 大大小小无解了 易中考·总结全 表示不等关系的关键词与不等号的对应 “大于”“多于”“超过”“高于”⇔“>”. “小于”“少于”“不足”“低于”⇔“<”. “至少”“不少于”“不低于”“不小于”⇔“≥”. “最多”“不高于”“不大于”“不超过”⇔“≤”. 命题点1　解一元一次不等式(组)(7年4考) 常考命题角度：直接考查(7年3考)、与数轴结合考查(7年1考) 1.(2024·河南)下列不等式中，与－x＞1组成的不等式组无解的是(　 　) A.x＞2　　　 B.x＜0　　　 C.x＜－2　　　 D.x＞－3 2.(2022·河南)不等式组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x－3≤0，,\f(x,2)＞1))的解集为 . 3.(2020·河南)已知关于x的不等式组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＞a，,x＞b，))其中a，b在数轴上的对应点如图所示，则这个不等式组的解集为 . 4.(2019·河南)不等式组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(\f(x,2)≤－1，,－x＋7＞4))的解集是 . 命题点2　一元一次不等式组的特殊解(7年2考 常考命题角度：整数解的最值(7年1考)、与分式化简结合考查(7年1考)、整数解的和与积(近7年未考查过) 5.(2018·河南)不等式组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＋5＞2，,4－x≥3))的最小整数解是 . 命题点3　一元一次不等式(组)的实际应用7年4考 6.(2017·河南)某服装专卖店计划购进A，B两种型号的精品女装.已知购进2件A型女装和3件B型女装共需5 600元；购进1件A型女装和2件B型女装共需3 400元. (1)求A，B两种型号女装的进价； (2)该专卖店购进A，B两种型号的女装共60件，其中A型的件数不少于B型件数的2倍，如果B型女装打八折，那么该专卖店至少需要准备多少货款？ 解：(1)设A型女装的进价是x元/件，B型女装的进价是y元/件，根据题意，得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(2x＋3y＝5 600，,x＋2y＝3 400，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝1 000，,y＝1 200.)) 答：A型女装的进价是1 000元/件，B型女装的进价是1 200元/件. (2)设购进A型女装m件，则购进B型女装(60－m)件， 根据题意，得m≥2(60－m)，∴m≥40. 设购买A，B两种型号的女装的总费用为w元，w＝1 000m＋1 200×0.8×(60－m)＝40m＋57 600. ∵40＞0，∴w随m的增大而增大， ∴当m＝40时，w最小＝40×40＋57 600＝59 200. 答：该专卖店至少需要准备59 200元的货款. 7.(2023·河南)某健身器材专卖店推出两种优惠活动，并规定购物时只能选择其中一种. 活动一：所购商品按原价打八折. 活动二：所购商品按原价每满300元减80元(如：所购商品原价为300元，可减80元，需付款220元；所购商品原价为770元，可减160元，需付款610元). (1)购买一件原价为450元的健身器材时，选择哪种活动更合算？请说明理由. (2)购买一件原价在500元以下的健身器材时，若选择活动一和选择活动二的付款金额相等，求一件这种健身器材的原价. (3)购买一件原价在900元以下的健身器材时，原价在什么范围内，选择活动二比选择活动一更合算？设一件这种健身器材的原价为a元，请直接写出a的取值范围. 解：(1)∵450×eq \f(8,10)＝360(元)，450－80＝370(元)， ∴选择活动一更合算. (2)设一件这种健身器材的原价为x元， 若x＜300，则活动一按原价打八折，活动二按原价，此时付款金额不可能相等，∴300≤x＜500，∴eq \f(8,10)x＝x－80，解得x＝400，∴一件这种健身器材的原价是400元. (3)当300≤a＜600时，a－80＜0.8a，解得a＜400，∴300≤a＜400.当600≤a＜900时，a－160＜0.8a， 解得a＜800，∴600≤a＜800. 综上所述，300≤a＜400或600≤a＜800. 1.(2025·易中考预测)不等式组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(2x＋7＞1，,5－3x≥2))的解集在数轴上表示正确的是(　 　) 2.(2024·遂宁)不等式组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(3x－2＜2x＋1，,x≥2))的解集在数轴上表示为(　 　) 3.(2024·上海)如果x＞y，那么下列正确的是(　 　) A.x＋5≤y＋5　　　 B.x－5＜y－5 C.5x＞5y　　　 D.－5x＞－5y 4.(2024·赤峰)解不等式组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(3x－2＜2x，①,2x＋1≥x－1②))时，不等式①和不等式②的解集在数轴上表示正确的是(　 　) 5.(2024·包头)若2m－1，m,4－m这三个实数在数轴上所对应的点从左到右依次排列，则m的取值范围是(　 　) A.m＜2　　　 B.m＜1　　　　 C.1＜m＜2　　　 D.1＜m＜eq \f(5,3) 6.(2024·安徽)已知实数a，b满足a－b＋1＝0，0＜a＋b＋1＜1，则下列判断正确的是(　 　) A.－eq \f(1,2)＜a＜0　　　　 B.eq \f(1,2)＜b＜1 C.－2＜2a＋4b＜1　　　 D.－1＜4a＋2b＜0 7.(2024·广东)关于x的不等式组中，两个不等式的解集如图所示，则这个不等式组的解集是 . 8.(2024·吉林)不等式组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x－2＞0，,x－3＜0))的解集是 . 9.(2024·黑龙江)关于x的不等式组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(4－2x≥0，,\f(1,2)x－a＞0))恰有3个整数解，则a的取值范围是 . －eq \f(1,2)≤a＜0 10.(2024·内蒙古)对于实数a，b定义运算“※”为a※b＝a＋3b，例如5※2＝5＋3×2＝11，则关于x的不等式x※m＜2有且只有一个正整数解时，m的取值范围是 . 11.(2024·济南)解不等式组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(4x＞2x－1①，,\f(x＋2,2)＜\f(x＋5,3)②，))并写出它的所有整数解. 0≤m＜eq \f(1,3) 解：解不等式①，得x＞－1， 解不等式②，得x＜4， 原不等式组的解集是－1＜x＜4， ∴整数解为0,1,2,3. 12.(2024·东营)随着新能源汽车的发展，东营市某公交公司计划用新能源公交车淘汰“冒黑烟”较严重的燃油公交车.新能源公交车有A型和B型两种车型，若购买A型公交车3辆，B型公交车1辆，共需260万元；若购买A型公交车2辆，B型公交车3辆，共需360万元. (1)求购买A型和B型新能源公交车每辆各需多少万元. (2)经调研，某条路线上的A型和B型新能源公交车每辆年均载客量分别为70万人次和100万人次.公司准备购买10辆A型、B型两种新能源公交车，总费用不超过650万元.为保障该路线的年均载客总量最大，请设计购买方案，并求出年均载客总量的最大值. 解：(1)设购买每辆A型新能源公交车需x万元，每辆B型新能源公交车需y万元， 根据题意，得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(3x＋y＝260，,2x＋3y＝360，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝60，,y＝80.)) 答：购买每辆A型新能源公交车需60万元，每辆B型新能源公交车需80万元. (2)设购买m辆A型新能源公交车，则购买(10－m)辆B型新能源公交车， 根据题意得60m＋80(10－m)≤650， 解得m≥eq \f(15,2)， 设该路线的年均载客总量为w万人次，则w＝70m＋100(10－m)， 即w＝－30m＋1 000. ∵－30＜0，∴w随m的增大而减小. 又∵m≥eq \f(15,2)，且m为正整数， ∴当m＝8时，w取得最大值，最大值为－30×8＋1 000＝760，此时10－m＝10－8＝2. 答：当购买8辆A型新能源公交车，2辆B型新能源公交车时，年均载客总量最大，最大值为760万人次. $$ 第一部分　河南中招考点梳理篇 第二章　方程(组)与不等式(组) 整合点(二)　一元二次方程及其应用(1课时) 立足课标★明方向 单击此处编辑母版标题样式 单击此处编辑母版文本样式 二级 三级 四级 五级 目录 CONTENTS 1 立足课标★明方向 2 考点梳理★固基础 3 聚焦河南★瞄靶向 4 预测河南★押考前 立足课标★明方向 1 立足课标★明方向 立足课标★明方向 立足课标★明方向 2 考点梳理★固基础 立足课标★明方向 2 考点梳理★固基础 考点梳理★固基础 一次项系数一半的平方 考点梳理★固基础 两个不相等 ＝ ＜ 考点梳理★固基础 a(1＋m)2＝b a(1－m)2＝b (a－2x)(b－2x) (a－x)(b－x) 考点梳理★固基础 n(n－1) 考点梳理★固基础 3 聚焦河南★瞄靶向 立足课标★明方向 A A 聚焦河南★瞄靶向 D A 聚焦河南★瞄靶向 C 聚焦河南★瞄靶向 4 预测河南★押考前 立足课标★明方向 B C 预测河南★押考前 C C 预测河南★押考前 B 预测河南★押考前 预测河南★押考前 预测河南★押考前 谢 谢 观 看 1.理解配方法，能用配方法、公式法、因式分解法解数字系数的一元二次方程. 2.会用一元二次方程根的判别式判断方程是否有实根和两个实根是否相等. 3.了解一元二次方程的根与系数的关系(2022版课标删掉“*”). 4.能根据具体问题的实际意义，检验方程解的合理性. 考点1　一元二次方程的有关概念 概念 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是① 的整式方程 一般形式 考点2　一元二次方程的解法(重点) 解法 适用情况 注意事项/步骤 直接开平方法 1.形如ax2＋c＝0(a≠0，ac＜0)的方程； 2.形如(x＋b)2＝a(a≥0)的方程 开方后所取值记得加“±” 公式法 适用于所有一元二次方程，ax2＋bx＋c＝ 0(a≠0)的求根公式为②x＝ (b2－4ac≥0) 1.方程的右边一定要化为0； 2.将a，b，c代入公式时应注意其符号； 3.若b2－4ac＜0，则原方程无解 因式分解法 将方程右边化为0后，方程的左边可以提取含有x的公 eq \f(－b±\r(b2－4ac),2a) 因式分解法 因式，形如x(ax＋b)＝0或(ax＋b)·(cx＋d)＝0 不能在方程两边同除以公因式 配方法 适用于所有一元二次方程，其中当二次项系数为1，一次项系数为偶数时，配方法较简单 1.化二次项系数为1； 2.把常数项移到方程的另一边； 3.在方程两边同时加上 ③ ； 4.把方程整理成(x＋b)2＝a(a≥0)的形式； 5.运用直接开平方法解方程 考点3　一元二次方程根的判别式及根与系数的关系 1.一元二次方程根的判别式 概念 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的判别式为Δ＝b2－4ac 根的情况与判别式的关系 1.Δ＞0⇔方程有④ 的实数根； 2.Δ⑤ 0⇔方程有两个相等的实数根； 3.Δ⑥ 0⇔方程没有实数根 2.根与系数的关系 根与系数的关系 如果ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两个根为x1，x2， 那么x1＋x2＝⑦ ，x1x2＝⑧ －eq \f(b,a) eq \f(c,a) 考点4　一元二次方程的实际应用 平均增长(下降)率问题 设a为初始量，m为平均增长率，2为增长次数，b为增长后的量，则⑨ ；m为平均下降率，2为下降次数，b为下降后的量，则⑩ 面积问题 1.如图①，设空白部分的宽为x，则S阴影＝⑪ ； ① 2.如图②、图③、图④，S阴影＝⑫ ； ② ③ 面积问题 INCLUDEPICTURE"N2021yzkSX-10.EPS" ④ ⑤ 3.如图⑤，围栏总长为a，BC的长为b，则S阴影＝⑬ 循环赛问题 1.若n(n≥2)个人(或球队数)相互之间握手(或单循环赛)，则握手(或单循环赛) 总次数＝⑭ ； 2.n(n≥2)个人相互赠送礼物，则礼物总份数＝⑮ 每每问题 1.常用公式：利润＝售价－成本； 总利润＝单件利润×销售量. 2.每每问题中，单价每涨a元，少卖b件，若涨价y元，则少卖的数量为eq \f(y,a)·b件 eq \f(ba－b,2) eq \f(1,2)n(n－1) 命题点1　一元二次方程根的判别式及根与系数的关系7年7考 1.(2023·河南)关于x的一元二次方程x2＋mx－8＝0的根的情况是(　 　) A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 C.只有一个实数根 D.没有实数根 2.(2022·河南)一元二次方程x2＋x－1＝0的根的情况是(　 　) A.有两个不相等的实数根 B.没有实数根 C.有两个相等的实数根 D.只有一个实数根 3.(2021·河南)若方程x2－2x＋m＝0没有实数根，则m的值可以是(　 　) A.－1　　　 B.0　　　 C.1　　　 D.eq \r( ,3) 4.(2020·河南)定义运算：m☆n＝mn2－mn－1.例如4☆2＝4×22－4×2－1＝7，则方程1☆x＝0的根的情况为(　 　) A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 C.无实数根 D.只有一个实数根 5.(2024·河南)若关于x的方程eq \f(1,2)x2－x＋c＝0有两个相等的实数根，则c的值为 . eq \f(1,2) 命题点2　一元二次方程的实际应用(7年(1考 6.(2020·河南)国家统计局统计数据显示，我国快递业务收入逐年增加.2017年至2019年我国快递业务收入由5 000亿元增加到7 500亿元.设我国2017年至2019年快递业务收入的年平均增长率为x，则可列方程为(　 　) A.5 000(1＋2x)＝7 500 B.5 000×2(1＋x)＝7 500 C.5 000(1＋x)2＝7 500 D.5 000＋5 000(1＋x)＋5 000(1＋x)2＝7 500 1.(2024·济南)若关于x的方程x2－x－m＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是(　 　) A.m＜－eq \f(1,4)　　　 B.m＞－eq \f(1,4)　　　　 C.m＜－4　　　 D.m＞－4 2.(2024·赤峰)等腰三角形的两边长分别是方程x2－10x＋21＝0的两个根，则这个三角形的周长为(　 　) A.17或13　　　 B.13或21　　　　 C.17　　　 D.13 3.(2024·潍坊)已知关于x的一元二次方程x2－mx－n2＋mn＋1＝0，其中m，n满足m－2n＝3，关于该方程根的情况，下列判断正确的是(　 　) A.无实数根 B.有两个相等的实数根 C.有两个不相等的实数根 D.无法确定 4.(2024·北京)若关于x的一元二次方程x2－4x＋c＝0有两个相等的实数根，则实数c的值为(　 　) A.－16　　　 B.－4　　　 C.4　　　 D.16 5.(2024·云南)两年前生产1千克甲种药品的成本为80元，随着生产技术的进步，现在生产1千克甲种药品的成本为60元.设甲种药品成本的年平均下降率为x，根据题意，下列方程正确的是(　 　) A.80(1－x2)＝60　　　 B.80(1－x)2＝60 C.80(1－x)＝60　　　 D.80(1－2x)＝60 6.(2024·眉山)已知方程x2＋x－2＝0的两根分别为x1，x2，则eq \f(1,x1)＋eq \f(1,x2)的值为 . eq \f(1,2) 7.(2024·遂宁)已知关于x的一元二次方程x2－(m＋2)x＋m－1＝0. (1)求证：无论m取何值，方程都有两个不相等的实数根. (2)如果方程的两个实数根为x1，x2，且xeq \o\al(2,1)＋xeq \o\al(2,2)－x1x2＝9，求m的值. (1)证明：x2－(m＋2)x＋m－1＝0， 这里a＝1，b＝－(m＋2)，c＝m－1， Δ＝b2－4ac ＝[－(m＋2)]2－4×1×(m－1) ＝m2＋4m＋4－4m＋4 ＝m2＋8. ∵m2≥0，∴Δ＞0. ∴无论m取何值，方程都有两个不相等的实数根. (2)解：由题意得：x1＋x2＝m＋2，x1x2＝m－1. ∵xeq \o\al(2,1)＋xeq \o\al(2,2)－x1x2＝9，即(x1＋x2)2－3x1x2＝9，∴(m＋2)2－3(m－1)＝9. 整理，得m2＋m－2＝0. ∴(m＋2)(m－1)＝0. 解得m1＝－2，m2＝1. ∴m的值为－2或1. $$